MATEMATIK MODEL - aniq ilmiy bilimlarda o'rganiladigan hodisa yoki jarayonning matematik tushunchalar tilida tasviri. Bunday holda, modelning haqiqiy matematik xususiyatlarini o'rganish orqali o'rganilayotgan hodisaning bir qator xossalari olinishi kutilmoqda. M.m.ning qurilishi. ko'pincha o'rganilayotgan hodisa va jarayonlarning miqdoriy tahliliga ega bo'lish zarurati bilan bog'liq bo'lib, ularsiz, o'z navbatida, ularning borishi haqida eksperimental tasdiqlangan bashorat qilish mumkin emas.

Matematik modellashtirish jarayoni, qoida tariqasida, quyidagi bosqichlardan o'tadi. Birinchi bosqichda kelajakdagi M.m.ning asosiy parametrlari orasidagi bogʻlanishlar aniqlanadi. Gap birinchi navbatda o'rganilayotgan hodisalarni sifat jihatidan tahlil qilish va tadqiqotning asosiy ob'ektlarini bog'lovchi qonuniyatlarni shakllantirish haqida bormoqda. Shu asosda miqdoriy jihatdan tavsiflanishi mumkin bo'lgan ob'ektlar aniqlanadi. Bosqich gipotetik modelni qurish, boshqacha qilib aytganda, modelning asosiy ob'ektlari o'rtasidagi bog'lanishlar haqidagi sifat g'oyalarini matematik tushunchalar tilida yozish bilan yakunlanadi, ularni miqdoriy jihatdan tavsiflash mumkin.

Ikkinchi bosqichda tuzilgan gipotetik model olib keladigan dolzarb matematik muammolar o'rganiladi. Ushbu bosqichda asosiy narsa modelni matematik tahlil qilish natijasida empirik tekshiriladigan nazariy natijalarni (to'g'ridan-to'g'ri muammoni hal qilish) olishdir. Shu bilan birga, M.m.ni qurish va oʻrganish maqsadida koʻpincha shunday holatlar uchrab turadi. aniq ilmiy bilimlarning turli sohalarida bir xil matematik apparatdan foydalaniladi (masalan, differensial tenglamalar) va har bir aniq holatda juda ahamiyatsiz bo'lsa-da, bir xil turdagi matematik muammolar paydo bo'ladi. Bundan tashqari, ushbu bosqichda yuqori tezlikda ishlaydigan kompyuterlardan (kompyuterlardan) foydalanish katta ahamiyatga ega bo'lib, bu sof matematika doirasida ko'pincha imkonsiz bo'lgan, ilgari erishib bo'lmaydigan (foydalanmasdan) masalalarning taxminiy echimlarini olish imkonini beradi. kompyuterning) aniqlik darajasi.

Uchinchi bosqich tuzilgan gipotetik M.M.ning adekvatlik darajasini aniqlash faoliyati bilan tavsiflanadi. u o'rganish uchun mo'ljallangan hodisalar va jarayonlar. Ya'ni, agar modelning barcha parametrlari aniqlangan bo'lsa, tadqiqotchilar kuzatuv aniqligi doirasida ularning natijalari modelning nazariy natijalariga qanchalik mos kelishini aniqlashga harakat qilishadi. Kuzatish aniqligi chegarasidan chetga chiqishlar modelning nomuvofiqligini ko'rsatadi. Biroq, ko'pincha modelni qurishda uning bir qator parametrlari saqlanib qoladigan holatlar mavjud

noaniq. Modelning parametrik xarakteristikalari nazariy oqibatlar kuzatuv aniqligi doirasida, empirik testlar natijalari bilan taqqoslanadigan tarzda o'rnatiladigan masalalar teskari masalalar deb ataladi.

To'rtinchi bosqichda tuzilgan gipotetik modelning adekvatlik darajasini aniqlash va o'rganilayotgan hodisalar bo'yicha yangi eksperimental ma'lumotlarning paydo bo'lishini hisobga olgan holda, modelni keyingi tahlil qilish va o'zgartirish amalga oshiriladi. Bu erda qabul qilingan qaror qo'llaniladigan matematik vositalarni so'zsiz rad etishdan tortib, qurilgan modelni tubdan yangi ilmiy nazariyani qurish uchun asos sifatida qabul qilishgacha o'zgaradi.

Birinchi M.m. qadimgi fanda paydo bo'lgan. Shunday qilib, quyosh tizimini modellashtirish uchun yunon matematigi va astronomi Evdoks har bir sayyoraga to'rtta sharni berdi, ularning harakatlari kombinatsiyasi gippopedni - sayyoraning kuzatilgan harakatiga o'xshash matematik egri chiziqni yaratdi. Biroq, bu model sayyoralar harakatida kuzatilgan barcha anomaliyalarni tushuntirib bera olmaganligi sababli, keyinchalik u Pergalik Apolloniyning epitsiklik modeli bilan almashtirildi. Oxirgi model o'z tadqiqotlarida Gipparx tomonidan ishlatilgan, keyin esa Ptolemey tomonidan biroz o'zgartirilgan. Ushbu model, o'zidan oldingi modellar singari, sayyoralar bir xil aylana harakatlarini boshdan kechiradi, degan ishonchga asoslangan edi, ularning bir-biriga o'xshashligi aniq nosimmetrikliklar bilan izohlanadi. Shuni ta'kidlash kerakki, Kopernik modeli faqat sifat jihatidan yangi edi (lekin M.M. sifatida emas). Va faqat Kepler, Tycho Brahening kuzatishlariga asoslanib, yangi M.M.ni qurdi. Quyosh tizimi, sayyoralar aylana bo'ylab emas, balki elliptik orbitalarda harakat qilishini isbotlaydi.

Hozirgi vaqtda mexanik va fizik hodisalarni tasvirlash uchun qurilganlar eng adekvatli hisoblanadi. M.m.ning etarliligi haqida. fizikadan tashqarida, ba'zi istisnolardan tashqari, juda ehtiyotkorlik bilan gapirish mumkin. Shunga qaramay, M.m.ning gipotetik tabiatini va ko'pincha oddiygina etarli emasligini tuzatish. turli bilim sohalarida ularning fan taraqqiyotidagi rolini e’tibordan chetda qoldirmaslik kerak. Hatto adekvat bo'lmagan modellar ham ushbu modellarni ishlab chiqishga sarflangan sa'y-harakatlarni to'liq oqlaydigan haqiqat donalari bo'lgan noto'g'ri xulosalar bilan birga keyingi tadqiqotlarni sezilarli darajada tashkil etgan va rag'batlantirgan holatlar tez-tez uchraydi.

Adabiyot:

Matematik modellashtirish. M., 1979;

Ruzavin G.I. Ilmiy bilimlarni matematiklashtirish. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Ekologiyadagi differentsial tenglamalar: tarixiy va uslubiy aks ettirish // Tabiatshunoslik va texnologiya tarixi masalalari. 1997 yil. 3-son.

Falsafiy atamalar lug'ati. Professor V.G.ning ilmiy nashri. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, p. 310-311.

To'rt ettinchi sinf o'quvchisi.

7A sinfida 15 qiz va 13 o'g'il bor.

7B da - 12 qiz va 12 o'g'il,

7B da - 9 qiz va 18 o'g'il,

7Gda - 20 qiz va 10 o'g'il.

Agar yettinchi sinfning har birida nechta o'quvchi bor degan savolga javob berishimiz kerak bo'lsa, biz bir xil qo'shish amalini 4 marta bajarishimiz kerak bo'ladi:

7A sinfida 15 + 13 = 28 talaba;
7B da 12 +12 = 24 talaba;
7B da 9 + 18 = 27 talaba;
7G da 20 + 10 = 30 talaba.

A. V. Pogorelov, 7-11-sinflar uchun geometriya, Ta'lim muassasalari uchun darslik

Matematik modellar

Matematik model - taxminiy opiyordamida ifodalangan modellashtirish ob'ektining ma'nosiMatematik simvolizm.

Matematik modellar matematika bilan bir qatorda ko'p asrlar oldin paydo bo'lgan. Kompyuterlarning paydo bo'lishi matematik modellashtirishning rivojlanishiga katta turtki berdi. Kompyuterlardan foydalanish ilgari analitik tadqiqotlar uchun mos bo'lmagan ko'plab matematik modellarni tahlil qilish va amaliyotda qo'llash imkonini berdi. Kompyuterda matematik tarzda amalga oshirilganosmon modeli chaqirdi kompyuter matematik modeli, A kompyuter modeli yordamida maqsadli hisob-kitoblarni amalga oshirish chaqirdi hisoblash tajribasi.

Informatika matematika fanining bosqichlaribo'linish rasmda ko'rsatilgan. Birinchidanbosqich - modellashtirish maqsadlarini aniqlash. Ushbu maqsadlar har xil bo'lishi mumkin:

1. muayyan ob'ekt qanday ishlashini, uning tuzilishi nimadan iboratligini, asosiy xususiyatlarini, rivojlanish va o'zaro ta'sir qonunlarini tushunish uchun model kerak.
   tashqi dunyo bilan (tushunish);
2. ob'ektni (yoki jarayonni) qanday boshqarishni o'rganish va berilgan maqsadlar va mezonlar (boshqaruv) uchun boshqarishning eng yaxshi usullarini aniqlash uchun model kerak;
3. model ob'ektga (prognozlash) ta'sir qilishning berilgan usullari va shakllarini amalga oshirishning bevosita va bilvosita oqibatlarini bashorat qilish uchun kerak.

Mutlaqo boshqa hududdan misol: barqaror sonlar bilan tinch-totuv yashagan va umumiy oziq-ovqat ta'minotiga ega bo'lgan ikki turdagi individlar populyatsiyalari "to'satdan" o'z sonlarini keskin o'zgartira boshlaydi. Va bu erda matematik modellashtirish (ma'lum darajadagi ishonchlilik bilan) sababni aniqlashga (yoki hech bo'lmaganda ma'lum bir gipotezani rad etishga) imkon beradi.

Ob'ektni boshqarish kontseptsiyasini ishlab chiqish modellashtirishning yana bir mumkin bo'lgan maqsadidir. Parvoz xavfsiz va iqtisodiy jihatdan eng foydali bo'lishini ta'minlash uchun qaysi samolyotning parvoz rejimini tanlashim kerak? Katta ob'ektni qurish bo'yicha yuzlab turdagi ishlarni eng qisqa vaqt ichida yakunlash uchun qanday rejalashtirish kerak? Bunday ko'plab muammolar iqtisodchilar, dizaynerlar va olimlar oldida muntazam ravishda paydo bo'ladi.

Nihoyat, ob'ektga ma'lum ta'sirlarning oqibatlarini bashorat qilish oddiy jismoniy tizimlarda ham nisbatan oddiy masala, ham biologik, iqtisodiy va ijtimoiy tizimlarda o'ta murakkab - amalga oshirish imkoniyati yoqasida bo'lishi mumkin. Yupqa tayoqchada issiqlik taqsimoti rejimining uning tarkibiy qismidagi qotishmaning o'zgarishi tufayli o'zgarishi haqidagi savolga javob berish nisbatan oson bo'lsa-da, katta qurilishning ekologik va iqlimiy oqibatlarini kuzatish (prognoz qilish) nisbatan qiyinroqdir. gidroelektrostantsiya yoki soliq qonunchiligidagi o'zgarishlarning ijtimoiy oqibatlari. Ehtimol, bu erda ham matematik modellashtirish usullari kelajakda yanada muhim yordam beradi.

Ikkinchi bosqich: modelning kirish va chiqish parametrlarini aniqlash; kirish parametrlarini ularning o'zgarishining chiqishga ta'sirining muhimlik darajasiga ko'ra taqsimlash. Bu jarayon reyting yoki daraja bo'yicha ajratish deb ataladi (qarang. "Rasmlashtirishmodellashtirish va modellashtirish").

Uchinchi bosqich: matematik modelni qurish. Bu bosqichda modelning mavhum formulasidan aniq matematik tasvirga ega bo'lgan formulaga o'tish sodir bo'ladi. Matematik model - bu tenglamalar, tenglamalar tizimi, tengsizliklar tizimi, differentsial tenglamalar yoki bunday tenglamalar tizimlari va boshqalar.

To'rtinchi bosqich: matematik modelni o'rganish usulini tanlash. Ko'pincha bu erda raqamli usullar qo'llaniladi, ular dasturlash uchun yaxshi yordam beradi. Qoida tariqasida, bir xil muammoni hal qilish uchun bir nechta usullar mos keladi, ular aniqligi, barqarorligi va boshqalar bilan farqlanadi. Butun modellashtirish jarayonining muvaffaqiyati ko'pincha usulni to'g'ri tanlashga bog'liq.

Beshinchi bosqich: algoritmni ishlab chiqish, kompilyatsiya qilish va kompyuter dasturini tuzatish - rasmiylashtirish qiyin jarayon. Dasturlash tillari orasida ko'plab mutaxassislar matematik modellashtirish uchun FORTRANni afzal ko'rishadi: an'analar tufayli ham, kompilyatorlarning beqiyos samaradorligi (hisoblash ishlari uchun) va unda yozilgan matematik usullar uchun standart dasturlarning ulkan, puxta tuzatilgan va optimallashtirilgan kutubxonalari mavjudligi tufayli. PASCAL, BASIC, C kabi tillar ham vazifaning tabiati va dasturchining moyilligiga qarab qo'llaniladi.

Oltinchi bosqich: dastur sinovi. Dasturning ishlashi oldindan ma'lum bo'lgan javob bilan test muammosi bo'yicha sinovdan o'tkaziladi. Bu rasmiy ravishda to'liq tavsiflash qiyin bo'lgan sinov jarayonining boshlanishi. Odatda, test foydalanuvchi o'zining professional xususiyatlaridan kelib chiqib, dasturni to'g'ri deb hisoblaganida tugaydi.

Ettinchi bosqich: haqiqiy hisoblash tajribasi, uning davomida model haqiqiy ob'ektga (jarayonga) mos keladimi yoki yo'qmi aniqlanadi. Agar kompyuterda olingan jarayonning ba'zi xarakteristikalari ma'lum bir aniqlik darajasiga ega bo'lgan eksperimental olingan xarakteristikalar bilan mos kelsa, model real jarayonga etarli darajada adekvat hisoblanadi. Agar model haqiqiy jarayonga mos kelmasa, biz oldingi bosqichlardan biriga qaytamiz.

Matematik modellarning tasnifi

Matematik modellarni tasniflash turli printsiplarga asoslanishi mumkin. Modellarni fan sohalari (fizika, biologiya, sotsiologiya va boshqalardagi matematik modellar) bo‘yicha tasniflash mumkin. Amaldagi matematik apparatlarga ko'ra tasniflash mumkin (oddiy differensial tenglamalar, qisman differensial tenglamalar, stokastik usullar, diskret algebraik o'zgarishlar va boshqalarni qo'llashga asoslangan modellar). Va nihoyat, agar matematik apparatdan qat'i nazar, turli fanlarda modellashtirishning umumiy muammolaridan kelib chiqadigan bo'lsak, quyidagi tasnif eng tabiiydir:

• tavsiflovchi (tavsiflovchi) modellar;
• optimallashtirish modellari;
• ko'p mezonli modellar;
• o'yin modellari.

Buni misollar bilan tushuntiramiz.

Ta'riflovchi (tavsiflovchi) modellar. Masalan, Quyosh tizimiga bostirib kirgan kometa harakatini modellashtirish uning parvoz yo‘lini, Yerdan o‘tadigan masofani va hokazolarni bashorat qilish uchun amalga oshiriladi. Bunday holda, modellashtirish maqsadlari tavsiflovchi xususiyatga ega, chunki kometa harakatiga ta'sir qilish yoki undagi biror narsani o'zgartirishning hech qanday usuli yo'q.

Optimallashtirish modellari berilgan maqsadga erishishga urinishda ta'sir ko'rsatish mumkin bo'lgan jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi. Bunday holda, model ta'sir qilishi mumkin bo'lgan bir yoki bir nechta parametrlarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, don omborida issiqlik rejimini o'zgartirganda, siz donning maksimal xavfsizligiga erishadigan rejimni tanlash maqsadini belgilashingiz mumkin, ya'ni. saqlash jarayonini optimallashtirish.

Ko'p mezonli modellar. Ko'pincha jarayonni bir vaqtning o'zida bir nechta parametrlar bo'yicha optimallashtirish kerak bo'ladi va maqsadlar bir-biriga zid bo'lishi mumkin. Masalan, oziq-ovqat narxlari va insonning oziq-ovqatga bo'lgan ehtiyojini bilgan holda, odamlarning katta guruhlari (armiya, bolalar yozgi lageri va boshqalar) uchun ovqatlanishni fiziologik jihatdan to'g'ri va shu bilan birga arzonroq tashkil qilish kerak. mumkin. Bu maqsadlar umuman mos kelmasligi aniq, ya'ni. Modellashtirishda bir nechta mezonlar qo'llaniladi, ular orasida muvozanatni izlash kerak.

O'yin modellari nafaqat kompyuter o'yinlariga, balki juda jiddiy narsalarga ham tegishli bo'lishi mumkin. Misol uchun, jang oldidan qo'mondon, agar qarama-qarshi qo'shin haqida to'liq bo'lmagan ma'lumot bo'lsa, rejani ishlab chiqishi kerak: dushmanning mumkin bo'lgan reaktsiyasini hisobga olgan holda jangga ma'lum bir bo'linmalarni qanday tartibda kiritish va hokazo. Zamonaviy matematikaning maxsus bo'limi - o'yin nazariyasi mavjud bo'lib, u to'liq bo'lmagan ma'lumotlar sharoitida qaror qabul qilish usullarini o'rganadi.

Maktab informatika kursida talabalar asosiy kursning bir qismi sifatida kompyuter matematik modellashtirish haqida dastlabki tushunchalarni oladilar. O‘rta maktabda matematik modellashtirishni fizika-matematika sinflari uchun umumta’lim kursida, shuningdek, ixtisoslashtirilgan tanlov kursining bir qismi sifatida chuqur o‘rganish mumkin.

O'rta maktabda kompyuter matematik modellashtirishni o'qitishning asosiy shakllari ma'ruza, laboratoriya va test mashg'ulotlaridir. Odatda, har bir yangi modelni yaratish va o'rganishga tayyorgarlik ko'rish bo'yicha ishlar 3-4 darsni oladi. Materialni taqdim etish jarayonida talabalar tomonidan kelajakda mustaqil hal qilinishi kerak bo'lgan muammolar qo'yiladi va ularni hal qilish yo'llari umumiy ko'rinishda ko'rsatiladi. Savollar tuzilgan, ularga javoblar topshiriqlarni bajarishda olinishi kerak. Vazifalarni yanada muvaffaqiyatli bajarish uchun yordamchi ma'lumotlarni olish imkonini beruvchi qo'shimcha adabiyotlar ko'rsatilgan.

Yangi materialni o'rganishda darslarni tashkil etish shakli odatda ma'ruzadir. Keyingi modelni muhokama qilishni tugatgandan so'ng talabalar ularning ixtiyorida zarur nazariy ma'lumotlar va keyingi ish uchun vazifalar to'plami mavjud. Topshiriqni bajarishga tayyorgarlik ko'rish jarayonida talabalar tegishli yechim usulini tanlaydilar va ishlab chiqilgan dasturni ba'zi taniqli shaxsiy echimlardan foydalangan holda sinab ko'radilar. Vazifalarni bajarishda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan qiyinchiliklar bo'lsa, maslahat beriladi va ushbu bo'limlarni adabiy manbalarda batafsilroq o'rganish taklif etiladi.

Kompyuterda modellashtirishni o'rgatishning amaliy qismi uchun eng mos keladigani loyiha usuli hisoblanadi. Vazifa talaba uchun o'quv loyihasi shaklida tuzilgan va bir necha darslar davomida amalga oshiriladi, asosiy tashkiliy shakli kompyuter laboratoriyasi ishi. Ta'lim loyihasi usuli yordamida modellashtirishni o'rgatish turli darajalarda amalga oshirilishi mumkin. Birinchisi, o'qituvchi tomonidan boshqariladigan loyihani yakunlash jarayonining muammoli taqdimoti. Ikkinchisi - o'qituvchi rahbarligida talabalar tomonidan loyihani amalga oshirish. Uchinchisi, talabalarning o'quv tadqiqot loyihasini mustaqil ravishda bajarishlari.

Ish natijalari raqamli shaklda, grafik va diagramma shaklida taqdim etilishi kerak. Agar iloji bo'lsa, jarayon kompyuter ekranida dinamikada taqdim etiladi. Hisob-kitoblar tugallangandan va natijalar olingandan so'ng, ular tahlil qilinadi, nazariyadan ma'lum faktlar bilan taqqoslanadi, ishonchliligi tasdiqlanadi va mazmunli talqin qilinadi, bu keyinchalik yozma hisobotda aks ettiriladi.

Agar natijalar talaba va o'qituvchini qoniqtirsa, u holda ish hisobga oladi yakunlanadi va uning yakuniy bosqichi hisobot tayyorlash hisoblanadi. Ma’ruzada o‘rganilayotgan mavzu bo‘yicha qisqacha nazariy ma’lumotlar, masalaning matematik formulasi, yechish algoritmi va uning asoslanishi, EHM dasturi, dastur natijalari, natijalar va xulosalar tahlili, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati keltirilgan.

Barcha hisobotlar tuzilgandan so'ng, test darsida talabalar bajarilgan ishlar bo'yicha qisqacha hisobot beradilar va o'z loyihasini himoya qiladilar. Bu loyihani amalga oshiruvchi guruhdan sinfga hisobot berishning samarali shakli bo'lib, masalani qo'yish, rasmiy modelni qurish, model bilan ishlash usullarini tanlash, modelni kompyuterda amalga oshirish, tayyor model bilan ishlash, sharhlash. natijalar va bashorat qilish. Natijada, talabalar ikkita baho olishlari mumkin: birinchisi - loyihani ishlab chiqish va uni himoya qilishning muvaffaqiyati uchun, ikkinchisi - dastur, uning algoritmi, interfeysi optimalligi va boshqalar. Talabalar nazariy viktorinalarda ham baho oladilar.

Muhim savol - matematik modellashtirish uchun maktab informatika kursida qanday vositalardan foydalanish kerak? Modellarni kompyuterda amalga oshirish mumkin:

• elektron jadval protsessoridan foydalanish (odatda MS Excel);
• an'anaviy dasturlash tillarida (Paskal, BASIC va boshqalar), shuningdek ularning zamonaviy versiyalarida (Delphi, Visual) dasturlar yaratish orqali
  Ilova uchun asosiy va boshqalar);
• matematik masalalarni yechish uchun maxsus dastur paketlaridan foydalanish (MathCAD va boshqalar).

Asosiy maktab darajasida birinchi usul afzalroq ko'rinadi. Biroq, o'rta maktabda, dasturlash, modellashtirish bilan bir qatorda, informatika fanining asosiy mavzusi bo'lsa, undan modellashtirish vositasi sifatida foydalanish maqsadga muvofiqdir. Dasturlash jarayonida matematik protseduralar tafsilotlari talabalar uchun mavjud bo'ladi; Bundan tashqari, ularni shunchaki o'zlashtirishga majbur qilishadi va bu ham matematik ta'limga hissa qo'shadi. Maxsus dasturiy paketlardan foydalanishga kelsak, bu boshqa vositalarga qo'shimcha sifatida ixtisoslashtirilgan informatika kursida mos keladi.

Mashq qilish :

• Asosiy tushunchalar diagrammasini tuzing.

1.5.1-misol.

Ma'lum bir iqtisodiy rayon bir necha (n) turdagi mahsulotlarni faqat o'zi va faqat shu mintaqa aholisi uchun ishlab chiqarsin. Texnologik jarayon ishlab chiqilgan, aholining ushbu tovarlarga bo'lgan talabi o'rganilgan deb taxmin qilinadi. Bu hajm ham yakuniy, ham sanoat iste'molini ta'minlashi kerakligini hisobga olgan holda mahsulot ishlab chiqarishning yillik hajmini aniqlash kerak.

Keling, ushbu masalaning matematik modelini yaratamiz. Uning shartlariga ko'ra quyidagilar beriladi: mahsulot turlari, ularga bo'lgan talab va texnologik jarayon; har bir turdagi mahsulot ishlab chiqarish hajmini topishingiz kerak.

Keling, ma'lum miqdorlarni belgilaymiz:

c i- aholining talabi i th mahsulot ( i=1,...,n); a ij- miqdori i ma'lum bir texnologiyadan foydalangan holda j mahsulot birligini ishlab chiqarish uchun zarur bo'lgan mahsulot ( i=1,...,n ; j=1,...,n);

X i - chiqish hajmi i- mahsulot ( i=1,...,n); umumiylik Bilan =(c 1 ,..., c n ) talab vektori, raqamlar deb ataladi a ij- texnologik koeffitsientlar va jami X =(X 1 ,..., X n ) - chiqarish vektori.

Muammo shartlariga ko'ra, vektor X ikki qismga taqsimlanadi: yakuniy iste'mol uchun (vektor Bilan ) va ko'paytirish uchun (vektor x-s ). Keling, vektorning o'sha qismini hisoblaylik X ko'payish jarayoniga kiradi. Ishlab chiqarish uchun belgilanishimiz bo'yicha X j yetkazib berilgan j-mahsulot miqdori a ij · X j miqdorlar i- mahsulot.

Keyin miqdor a i1 · X 1 +...+ a ichida · X n bu qiymatni ko‘rsatadi i- butun chiqarish uchun zarur bo'lgan mahsulot X =(X 1 ,..., X n ).

Shunday qilib, tenglik bajarilishi kerak:

Ushbu fikrni barcha turdagi mahsulotlarga kengaytirib, biz kerakli modelga erishamiz:

n ta chiziqli tenglamalar sistemasini yechish X 1 ,...,X n va kerakli reliz vektorini toping.

Ushbu modelni yanada ixcham (vektor) shaklda yozish uchun biz quyidagi belgilarni kiritamiz:

kvadrat (
) -matritsa A texnologiya matritsasi deb ataladi. Bizning modelimiz endi shunday yozilishini tekshirish oson: x-s=Ah yoki

(1.6)

Biz klassik modelni oldik " Kirish - Chiqish ", muallifi mashhur amerikalik iqtisodchi V. Leontiev.

1.5.2-misol.

Neftni qayta ishlash zavodida neftning ikki navi mavjud: nav A 10 birlik miqdorida, nav IN- 15 birlik. Neftni qayta ishlashda ikkita material olinadi: benzin (biz belgilaymiz B) va mazut ( M). Qayta ishlash texnologiyasi jarayonining uchta varianti mavjud:

I: 1 birlik A+ 2 birlik IN 3 birlik beradi. B+ 2 birlik M

II: 2 birlik. A+ 1 birlik IN 1 birlik beradi. B+ 5 birlik M

III: 2 birlik A+ 2 birlik IN 1 birlik beradi. B+ 2 birlik M

Benzin narxi 10 dollar, mazut 1 dona.

Mavjud miqdordagi neftni qayta ishlash uchun texnologik jarayonlarning eng foydali kombinatsiyasini aniqlash kerak.

Modellashtirishdan oldin quyidagi fikrlarga aniqlik kiritamiz. Muammoning shartlaridan kelib chiqadiki, zavod uchun texnologik jarayonning "rentabelligi" uning tayyor mahsulotlarini (benzin va mazut) sotishdan maksimal daromad olish ma'nosida tushunilishi kerak. Shu munosabat bilan, zavodning "tanlash (qabul qilish) qarori" qaysi texnologiyani va necha marta qo'llashni aniqlashdan iboratligi aniq. Shubhasiz, bunday mumkin bo'lgan variantlar juda ko'p.

Noma'lum miqdorlarni belgilaymiz:

X i- foydalanish miqdori i th texnologik jarayon (i=1,2,3). Boshqa model parametrlari (neft zaxiralari, benzin va mazut narxi) ma'lum.

Endi bitta o'simlik qarori bitta vektorni tanlashga to'g'ri keladi X =(x 1 , X 2 , X 3 ) , buning uchun zavodning daromadi teng (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dollar, bu erda 32 dollar birinchi texnologik jarayonning bir qo'llanilishidan olingan daromad (10 3 dona. B+ 1 dollar · 2 dona. M= $32). Ikkinchi va uchinchi texnologik jarayonlar uchun mos ravishda 15 va 12 koeffitsientlari o'xshash ma'noga ega. Neft zaxiralarini hisobga olish quyidagi shartlarga olib keladi:

xilma-xillik uchun A:

xilma-xillik uchun IN:,

Bu erda birinchi tengsizlik koeffitsientlari 1, 2, 2 - texnologik jarayonlardan bir martalik foydalanish uchun A navli moyning iste'mol darajasi I,II,III mos ravishda. Ikkinchi tengsizlikning koeffitsientlari B navli moy uchun xuddi shunday ma'noga ega.

Umuman olganda, matematik model quyidagi shaklga ega:

Bunday vektorni toping x = (x 1 , X 2 , X 3 ) maksimallashtirish uchun

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

quyidagi shartlar asosida:

Ushbu yozuvning qisqartirilgan shakli:

cheklovlar ostida

(1.7)

Biz chiziqli dasturlash muammosini oldik.

Model (1.7.) deterministik tipdagi (yaxshi belgilangan elementlar bilan) optimallashtirish modeliga misoldir.

1.5.3-misol.

Investor o'zi uchun minimal xavf bilan ma'lum foyda olish uchun ma'lum miqdorda sotib olish uchun aktsiyalar, obligatsiyalar va boshqa qimmatli qog'ozlarning eng yaxshi aralashmasini aniqlashi kerak. Qimmatli qog'ozga investitsiya qilingan dollar uchun foyda j- turi, ikki ko'rsatkich bilan tavsiflanadi: kutilayotgan foyda va haqiqiy foyda. Investor uchun har bir dollar uchun kutilayotgan foyda qimmatli qog'ozlarning barcha to'plami uchun berilgan qiymatdan past bo'lmasligi ma'qul. b.

E'tibor bering, ushbu muammoni to'g'ri modellashtirish uchun matematikdan qimmatli qog'ozlar portfeli nazariyasi sohasida ma'lum asosiy bilimlarga ega bo'lishi kerak.

Muammoning ma'lum parametrlarini belgilaymiz:

n– qimmatli qog‘ozlar turlari soni; A j– qimmatli qog‘ozlarning j-turidan haqiqiy foyda (tasodifiy raqam); - kutilayotgan foyda j- xavfsizlikning uchinchi turi.

Noma'lum miqdorlarni belgilaylik :

y j - turdagi qimmatli qog'ozlarni sotib olish uchun ajratilgan mablag'lar j.

Bizning belgimizdan foydalanib, investitsiya qilingan barcha summa quyidagicha ifodalanadi . Modelni soddalashtirish uchun biz yangi miqdorlarni kiritamiz

.

Shunday qilib, X i- bu turdagi qimmatli qog'ozlarni sotib olish uchun ajratilgan barcha mablag'larning ulushi j.

Bu aniq

Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, investorning maqsadi minimal xavf bilan ma'lum bir foyda darajasiga erishishdir. Aslini olganda, xavf haqiqiy foydaning kutilganidan chetga chiqish o'lchovidir. Shuning uchun uni i va j turdagi qimmatli qog'ozlar uchun foyda kovariatsiyasi bilan aniqlash mumkin. Bu erda M - matematik kutishning belgilanishi.

Asl muammoning matematik modeli quyidagi shaklga ega:

cheklovlar ostida

,
,
,
. (1.8)

Biz qimmatli qog'ozlar portfelining tuzilishini optimallashtirish uchun taniqli Markowitz modelini oldik.

Model (1.8.) stokastik tipdagi (tasodifiylik elementlari bilan) optimallashtirish modeliga misoldir.

1.5.4-misol.

Savdo tashkiloti negizida minimal assortimentli mahsulotlardan birining n turi mavjud. Do'konga ma'lum mahsulotning faqat bitta turini olib kirish kerak. Do'konga olib kirish uchun mos bo'lgan mahsulot turini tanlashingiz kerak. Agar mahsulot turi bo'lsa j talabga ega bo'ladi, do'kon uni sotishdan foyda oladi r j, agar talab bo'lmasa - yo'qotish q j .

Modellashtirishdan oldin biz ba'zi asosiy fikrlarni muhokama qilamiz. Ushbu muammoda qaror qabul qiluvchi (DM) do'kondir. Biroq, natija (maksimal foyda) nafaqat uning qaroriga, balki import qilinadigan mahsulot talabga ega bo'ladimi yoki yo'qmi, ya'ni uni aholi sotib oladimi yoki yo'qligiga ham bog'liq (ba'zi sabablarga ko'ra do'konda buning iloji yo'q deb taxmin qilinadi. aholi talabini o'rganish imkoniyati mavjud ). Demak, aholini ikkinchi qaror qabul qiluvchi, o‘z xohishiga ko‘ra mahsulot turini tanlaydigan shaxs sifatida qarash mumkin. Aholining do'kon bo'yicha eng yomon "qarori": "import qilingan tovarlar talabga ega emas". Shunday qilib, barcha mumkin bo'lgan vaziyatlarni hisobga olish uchun do'kon aholini o'zining "dushmanı" (shartli) deb hisoblashi kerak, bu esa qarama-qarshi maqsadni - do'kon foydasini minimallashtirishni ko'zlaydi.

Shunday qilib, bizda ikkita ishtirokchi qarama-qarshi maqsadlarga intilayotgan qarorlar qabul qilish muammosi mavjud. Aniqlik kiritamizki, do'kon sotiladigan tovarlar turlaridan birini tanlaydi (n qaror varianti mavjud), aholi esa eng ko'p talab qilinadigan tovarlar turlaridan birini tanlaydi ( n yechim variantlari).

Matematik modelni tuzish uchun jadval chizamiz n chiziqlar va n ustunlar (jami n 2 katakchalar) va qatorlar do'kon tanloviga, ustunlar esa aholi tanloviga mos kelishiga rozi bo'ling. Keyin hujayra (i, j) do'kon tanlagan vaziyatga mos keladi i mahsulot turi ( i-chi qator) va aholi tanlaydi j mahsulot turi ( j- ustun). Har bir katakchada biz do'kon nuqtai nazaridan tegishli vaziyatning raqamli bahosini (foyda yoki zarar) yozamiz:

Raqamlar q i do'konning zararini aks ettirish uchun minus bilan yozilgan; har bir vaziyatda aholining "foydasi" (shartli ravishda) qarama-qarshi belgi bilan olingan do'konning "daromad" ga teng.

Ushbu modelning qisqartirilgan shakli:

(1.9)

Biz matritsa deb ataladigan o'yinni oldik. Model (1.9.) o'yin qarorlarini qabul qilish modellariga misoldir.

Matematik modelni yaratish uchun sizga kerak bo'ladi:

1. haqiqiy ob'ekt yoki jarayonni diqqat bilan tahlil qilish;
2. uning eng muhim xususiyatlari va xususiyatlarini ajratib ko'rsatish;
3. o'zgaruvchilarni aniqlash, ya'ni. qiymatlari ob'ektning asosiy xususiyatlari va xususiyatlariga ta'sir qiluvchi parametrlar;
4. mantiqiy-matematik munosabatlar (tenglamalar, tengliklar, tengsizliklar, mantiqiy-matematik tuzilmalar) yordamida ob'ekt, jarayon yoki tizimning asosiy xususiyatlarining o'zgaruvchilar qiymatlariga bog'liqligini tavsiflash;
5. cheklovlar, tenglamalar, tengliklar, tengsizliklar, mantiqiy va matematik tuzilmalar yordamida ob'ekt, jarayon yoki tizimning ichki aloqalarini ajratib ko'rsatish;
6. tashqi aloqalarni aniqlash va ularni cheklovlar, tenglamalar, tenglik, tengsizliklar, mantiqiy va matematik tuzilmalar yordamida tasvirlash.

Matematik modellashtirish ob'ekt, jarayon yoki tizimni o'rganish va uning matematik tavsifini tuzishdan tashqari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. ob'ekt, jarayon yoki tizimning harakatini modellashtiruvchi algoritmni yaratish;
2. model va ob'ekt, jarayon yoki tizimning hisoblash va to'liq miqyosli tajribalar asosida muvofiqligini tekshirish;
3. modelni sozlash;
4. modelidan foydalanish.

O'rganilayotgan jarayonlar va tizimlarning matematik tavsifi quyidagilarga bog'liq:

1. real jarayon yoki tizimning tabiati va fizika, kimyo, mexanika, termodinamika, gidrodinamika, elektrotexnika, plastiklik nazariyasi, elastiklik nazariyasi va boshqalar qonunlari asosida tuzilgan.
2. real jarayonlar va tizimlarni o'rganish va tadqiq qilishning talab qilinadigan ishonchliligi va aniqligi.

Matematik modelni qurish odatda ko'rib chiqilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizimning eng oddiy, eng qo'pol matematik modelini qurish va tahlil qilishdan boshlanadi. Kelajakda, agar kerak bo'lsa, model takomillashtiriladi va uning ob'ektga muvofiqligi to'liqroq bo'ladi.

Keling, oddiy misolni olaylik. Stolning sirt maydonini aniqlash kerak. Odatda, bu uning uzunligi va kengligini o'lchash va keyin olingan raqamlarni ko'paytirish orqali amalga oshiriladi. Ushbu elementar protsedura aslida quyidagilarni anglatadi: haqiqiy ob'ekt (stol yuzasi) mavhum matematik model - to'rtburchak bilan almashtiriladi. Stol yuzasining uzunligi va kengligini o'lchash natijasida olingan o'lchamlar to'rtburchaklar uchun belgilanadi va bunday to'rtburchakning maydoni taxminan stolning kerakli maydoni sifatida olinadi. Biroq, stol uchun to'rtburchaklar modeli eng oddiy, eng qo'pol modeldir. Agar siz muammoga jiddiyroq yondashsangiz, jadval maydonini aniqlash uchun to'rtburchaklar modelini ishlatishdan oldin ushbu modelni tekshirish kerak. Tekshiruvlar quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: stolning qarama-qarshi tomonlari uzunligini, shuningdek diagonallarining uzunliklarini o'lchab, ularni bir-biri bilan solishtiring. Agar kerakli darajada aniqlik bilan qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari va diagonallarning uzunliklari juftlikda teng bo'lsa, jadvalning sirtini haqiqatan ham to'rtburchaklar deb hisoblash mumkin. Aks holda, to'rtburchak modelni rad etish va umumiy to'rtburchak model bilan almashtirish kerak bo'ladi. Aniqlik talabi yuqori bo'lsa, modelni yanada takomillashtirish kerak bo'lishi mumkin, masalan, stol burchaklarining yaxlitlanishini hisobga olish.

Ushbu oddiy misoldan foydalanib, matematik model yagona ob'ekt, jarayon yoki tomonidan aniqlanmasligi ko'rsatildi tizimi.

YOKI (ertaga oydinlik kiritiladi)

Matematikani yechish usullari. Modellar:

1, Tabiat qonunlari asosida model qurish (analitik usul)

2. Statistik usullardan foydalanishning rasmiy usuli. Natijalarni qayta ishlash va o'lchash (statistik yondashuv)

3. Elementlar modeli (murakkab tizimlar) asosida modelni qurish.

1, Analitik - etarlicha o'rganish bilan foydalanish. Umumiy naqsh ma'lum. Modellar.

2. tajriba. Ma'lumot yo'qligida.

3. Taqlid m - ob'ektning xususiyatlarini o'rganadi. Umuman.

Matematik modelni qurishga misol.

Matematik model voqelikning matematik ifodasidir.

Matematik modellashtirish matematik modellarni qurish va o'rganish jarayonidir.

Matematikadan foydalanadigan barcha tabiiy va ijtimoiy fanlar asosan matematik modellashtirish bilan shug'ullanadi: ular ob'ektni uning matematik modeli bilan almashtiradilar va keyin ikkinchisini o'rganadilar. Matematik model va haqiqat o'rtasidagi bog'liqlik farazlar, ideallashtirishlar va soddalashtirishlar zanjiri yordamida amalga oshiriladi. Matematik usullardan foydalangan holda, qoida tariqasida, mazmunli modellashtirish bosqichida qurilgan ideal ob'ekt tasvirlangan.

Modellar nima uchun kerak?

Ko'pincha, har qanday ob'ektni o'rganishda qiyinchiliklar paydo bo'ladi. Asl nusxaning o'zi ba'zan mavjud emas yoki undan foydalanish tavsiya etilmaydi yoki asl nusxani jalb qilish qimmatga tushadi. Ushbu muammolarni simulyatsiya yordamida hal qilish mumkin. Muayyan ma'noda model o'rganilayotgan ob'ektni almashtirishi mumkin.

Modellarning eng oddiy namunalari

§ Fotosuratni shaxsning modeli deb atash mumkin. Biror kishini tanib olish uchun uning fotosuratini ko'rish kifoya.

§ Arxitektor yangi turar-joy maydonining maketini yaratdi. U qo‘l harakati bilan ko‘p qavatli binoni u yerdan ikkinchi qismga ko‘chira oladi. Aslida bu mumkin emas edi.

Model turlari

Modellarni quyidagilarga bo'lish mumkin material" Va mukammal. yuqoridagi misollar moddiy modellardir. Ideal modellar ko'pincha ikonik shakllarga ega. Haqiqiy tushunchalar qog'ozga, kompyuter xotirasiga va hokazolarga osongina yozib olinadigan ba'zi belgilar bilan almashtiriladi.

Matematik modellashtirish

Matematik modellashtirish ramziy modellashtirish sinfiga kiradi. Bundan tashqari, modellar har qanday matematik ob'ektlardan yaratilishi mumkin: raqamlar, funktsiyalar, tenglamalar va boshqalar.

Matematik modelni yaratish

§ Matematik modelni qurishning bir necha bosqichlarini qayd etish mumkin:

1. Muammoni tushunish, biz uchun eng muhim sifatlar, xususiyatlar, miqdorlar va parametrlarni aniqlash.

2. Belgilanishning kiritilishi.

3. Kiritilgan qiymatlar qondirishi kerak bo'lgan cheklovlar tizimini yaratish.

4. Istalgan optimal yechim bilan qanoatlantirilishi kerak bo'lgan shartlarni shakllantirish va qayd etish.

Modellashtirish jarayoni model yaratish bilan tugamaydi, faqat undan boshlanadi. Modelni tuzib, ular javob topish va muammoni hal qilish usulini tanlaydilar. javob topilgach, u haqiqat bilan taqqoslanadi. Va javob qoniqarli bo'lmasligi mumkin, bu holda model o'zgartiriladi yoki hatto butunlay boshqa model tanlanadi.

Matematik modelga misol

Vazifa

Ikkita mebel fabrikasini o‘z ichiga olgan ishlab chiqarish birlashmasi mashina parkini yangilashi kerak. Bundan tashqari, birinchi mebel fabrikasida uchta, ikkinchisi esa ettita mashinani almashtirish kerak. Buyurtmalarni ikkita dastgoh zavodida joylashtirish mumkin. Birinchi zavod 6 tadan ko'p bo'lmagan mashina ishlab chiqarishi mumkin, ikkinchi zavod esa ulardan kamida uchtasi bo'lsa, buyurtmani qabul qiladi. Buyurtmalarni qanday joylashtirishni aniqlashingiz kerak.