|
|
مخطط عام لدراسة الوظيفة ورسم الرسم البياني.
1. دراسة دالة التحدب والتقعر.
الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.
مقدمة.
لقد واجهت بالفعل في دورة الرياضيات المدرسية الخاصة بك الحاجة إلى إنشاء رسوم بيانية للوظائف. في ، استخدمت طريقة نقطة بنقطة. تجدر الإشارة إلى أنه بسيط من حيث المفهوم ويؤدي إلى الهدف بسرعة نسبيا. في الحالات التي تكون فيها الوظيفة مستمرة وتتغير بسلاسة تامة، يمكن أن توفر هذه الطريقة الدرجة اللازمة من الدقة في التمثيل الرسومي. للقيام بذلك، عليك أن تأخذ المزيد من النقاط لتحقيق كثافة معينة من موضعها.
لنفترض الآن أن الوظيفة في في أماكن معينةلها خصوصيات في "سلوكها": إما أن تتغير قيمها بشكل حاد في مكان ما في منطقة صغيرة، أو تحدث فواصل. قد لا يتم اكتشاف الأجزاء الأكثر أهمية في الرسم البياني بهذه الطريقة.
يقلل هذا الظرف من قيمة طريقة "نقطة بنقطة" لإنشاء الرسم البياني.
هناك طريقة ثانية لبناء الرسوم البيانية، تعتمد على الدراسة التحليلية للدوال. ويقارن بشكل إيجابي مع الطريقة التي تمت مناقشتها في دورة الرياضيات المدرسية. 1. دراسة وظيفة التحدب والتقعر
.
دع الوظيفة
 قابلة للاشتقاق على الفترة (أ، ب). ثم هناك مماس للرسم البياني للدالة عند أي نقطة
 هذا المخطط (
 ) ، والظل ليس موازيا لمحور OY، لأن معامله الزاوي يساوي
 ، بالطبع.
عن
 عزيمة
سنقول أن الرسم البياني للوظيفة
 على (أ، ب) لديه إطلاق موجه للأسفل (لأعلى) إذا لم يكن أقل (وليس أعلى) من أي مماس للرسم البياني للدالة على (أ، ب).
أ) منحنى مقعر ب) منحنى محدب
النظرية 1
(شرط ضروري لتقعر (تقعر) المنحنى). إذا كان الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل مرتين عبارة عن منحنى محدب (مقعر)، فإن المشتق الثاني على الفترة (a، b) يكون سالبًا (موجبًا) في هذه الفترة.
النظرية 2(شرط كافي لحدوث (تقعر) المنحنى). إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق مرتين في (أ، ب) و
 (
 ) عند جميع نقاط هذه الفترة، فإن المنحنى الذي يمثل الرسم البياني للدالة يكون محدبًا (مقعرًا) في هذه الفترة.
نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة.
تعريفنقطة
 تسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة إذا كانت عند هذه النقطة
 الرسم البياني لديه مماس، وهناك مثل هذا الحي للنقطة  ، حيث يكون للرسم البياني للدالة على يسار ويمين النقطة اتجاهات مختلفة للتحدب. عن  ومن الواضح أنه عند نقطة الانقلاب يتقاطع المماس مع الرسم البياني للدالة، حيث يقع الرسم البياني على أحد جانبي هذه النقطة فوق المماس، وعلى الجانب الآخر - تحته، أي بالقرب من نقطة الانقلاب الرسم البياني للدالة يمر هندسيًا من أحد جانبي المماس إلى الجانب الآخر و"ينحني" فوقه. ومن هنا يأتي اسم "نقطة الانعطاف".
النظرية 3(شرط ضروري لنقطة الانعطاف). افترض أن الرسم البياني للدالة يحتوي على نقطة انعطاف عند نقطة ما واجعل للدالة نقطة انعطاف عند نقطة ما  المشتقة الثانية المستمرة ثم
 .
ليست كل نقطة تعتبر نقطة انعطاف. على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة
 ليس لديه نقطة انعطاف عند (0، 0)، بالرغم من ذلك
 في
 . ولذلك، فإن مساواة المشتقة الثانية بالصفر ليست سوى شرط ضروري للتحويل. 
نقاط الرسم البياني التي يطلق عليها نقاط حرجةثانيا-مدن.من الضروري إجراء مزيد من التحقيق في مسألة وجود مكامن الخلل في كل نقطة حرجة.
النظرية 4(الشرط الكافي لنقطة الانعطاف). افترض أن الدالة لها مشتق ثانٍ في منطقة معينة من النقطة. ثم، إذا كان داخل الحي المحدد
 له إشارات مختلفة على يسار ويمين النقطة، فإن الرسم البياني له انعطاف عند النقطة.
تعليق.تبقى النظرية صحيحة إذا
 له مشتق ثانٍ في منطقة معينة من النقطة، باستثناء النقطة نفسها، ويوجد مماس للرسم البياني للدالة عند النقطة
 . بعد ذلك، إذا كانت هناك علامات مختلفة داخل الحي المحدد على يسار النقطة وعلى يمينها، فإن الرسم البياني للدالة يكون له انعطاف عند النقطة.
مخطط لدراسة دالة التحدب والتقعر ونقاط الانقلاب.
 مثال.استكشاف الوظيفة
 للتحدب، التقعر، نقاط انعطاف.
1.
 2.
 ,
 =
3.  غير موجود عندما
الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.
عند دراسة سلوك وظيفة في
 أو بالقرب من نقاط عدم الاستمرارية من النوع الثاني، غالبًا ما يتبين أن الرسم البياني للدالة يقترب من أي خط محدد بالقدر المطلوب. وتسمى هذه الخطوط المستقيمة.
عن  التعريف 1.
مستقيم  يسمى الخط المقارب للمنحنى L إذا كانت المسافة من نقطة على المنحنى إلى هذا الخط تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة بعيدًا على طول المنحنى إلى ما لا نهاية. هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي، أفقي، مائل. التعريف 2.مستقيم
 يُسمى الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للدالة إذا كانت إحدى النهايات أحادية الجانب على الأقل تساوي
 ، أي أو
 على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة
 لديه خط مقارب عمودي
 ، لأن
 ، أ
 .
التعريف 3.يُطلق على الخط المستقيم y=A الخط المقارب الأفقي للرسم البياني للدالة عند
 لو
 .
على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة له خط تقارب أفقي y=0، لأن
 .
التعريف 4.مستقيم
 (
 ) يسمى الخط المقارب المائل للرسم البياني للدالة في
 لو
 ;
 إذا لم تكن إحدى النهايتين على الأقل موجودة، فإن المنحنى ليس له خطوط مقاربة. إذا، فيجب علينا البحث عن هذه النهايات بشكل منفصل، مع و
 .
على سبيل المثال. ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة
  ; س = 0 – الخط المقارب العمودي
;
 .
 - الخط المقارب المائل.
4. مخطط دراسة كاملة للوظيفة ورسم رسم بياني.
دعونا نفكر رسم تخطيطي تقريبيوالذي بموجبه ينصح بدراسة سلوك الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.
مثال.استكشاف الوظيفة
 ورسمها. 1. باستثناء س=-1.
2.
 الدالة ليست زوجية ولا فردية |
-
|
|
-
|
|
+
|
|
+
|
ذ
|
|
-4
|
|
ر ص.
|
|
0
|
|
خاتمة.
ومن السمات المهمة للطريقة المدروسة أنها تعتمد في المقام الأول على الكشف والدراسة السمات المميزةفي سلوك المنحنى. أما الأماكن التي تتغير فيها الوظيفة بسلاسة، فلا تتم دراستها بالتفصيل، ولا داعي لمثل هذه الدراسة. لكن تلك الأماكن التي تحتوي فيها الوظيفة على أي خصائص مميزة في السلوك تخضع للبحث الكامل والتمثيل الرسومي الأكثر دقة. هذه الميزات هي نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى ونقاط انقطاع الوظيفة وما إلى ذلك.
إن تحديد اتجاه التقعر والالتواءات، وكذلك الطريقة المحددة للعثور على الخطوط المقاربة، يجعل من الممكن دراسة الوظائف بمزيد من التفصيل والحصول على فكرة أكثر دقة عن الرسوم البيانية الخاصة بها.
رسم بياني للدالة ذ=و (خ)مُسَمًّى محدبعلى الفاصل الزمني (أ، ب)إذا كان يقع أسفل أي من مماساته في هذه الفترة.
رسم بياني للدالة ذ=و (خ)مُسَمًّى مقعرعلى الفاصل الزمني (أ، ب)إذا كان يقع فوق أي من مماساته في هذه الفترة.
يوضح الشكل منحنى محدبًا عند (أ، ب)ومقعرة على (ب، ج).
أمثلة.
دعونا نفكر في معيار كافٍ يسمح لنا بتحديد ما إذا كان الرسم البياني للدالة في فترة زمنية معينة سيكون محدبًا أم مقعرًا.
نظرية. يترك ذ=و (خ)قابلة للتمييز بواسطة (أ، ب). إذا كان في جميع نقاط الفاصل الزمني (أ، ب)المشتقة الثانية للدالة ذ = و (خ)سلبي، أي. F ""(س) < 0, то график функции
на этом интервале выпуклый, если же F""(س) > 0 - مقعرة.
دليل. ولنفترض على وجه اليقين ذلك F""(س) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.
لنأخذ الوظائف على الرسم البياني ص = و(س)نقطة تعسفية م0مع الإحداثي السيني × 0 Î
( أ; ب) ورسم من خلال هذه النقطة م0الظل. معادلتها. يجب أن نظهر أن الرسم البياني للوظيفة على (أ، ب)يقع تحت هذا الظل، أي. بنفس القيمة سإحداثي المنحنى ص = و(س)سيكون أقل من إحداثي الظل.
إذن معادلة المنحنى هي ص = و(س). دعونا نشير إلى إحداثية المماس المقابلة للإحداثي السيني س. ثم . وبالتالي فإن الفرق بين إحداثيات المنحنى والمماس لنفس القيمة سسوف .
اختلاف و(خ) - و(س 0)تحويل وفقا لنظرية لاغرانج، حيث جبين سو × 0.
هكذا،
نطبق مرة أخرى نظرية لاغرانج على التعبير الموجود بين قوسين معقوفين: ، أين ج1بين ج 0و × 0. وفقا لشروط النظرية F ""(س) < 0. Определим знак
произведения второго и третьего сомножителей.
وبالتالي، فإن أي نقطة على المنحنى تقع أسفل مماس المنحنى لجميع القيم سو × 0 Î
( أ; ب) مما يعني أن المنحنى محدب. تم إثبات الجزء الثاني من النظرية بطريقة مماثلة.
أمثلة.
تسمى النقطة على الرسم البياني للدالة المستمرة التي تفصل الجزء المحدب عن الجزء المقعر نقطة الأنحراف.
من الواضح أنه عند نقطة الانعطاف، فإن المماس، إن وجد، يتقاطع مع المنحنى، لأنه على أحد جانبي هذه النقطة، يقع المنحنى تحت المماس، وعلى الجانب الآخر - فوقه.
دعونا نحدد الشروط الكافية لحقيقة أن نقطة معينة من المنحنى هي نقطة انعطاف.
نظرية. دع المنحنى يتم تعريفه بالمعادلة ص = و(س). لو F ""(س 0) = 0 أو F ""(س 0) غير موجود حتى عند المرور عبر القيمة س = × 0المشتق F ""(س) علامة التغييرات، ثم النقطة في الرسم البياني للدالة مع الإحداثي السيني س = × 0هناك نقطة انعطاف.
دليل. يترك F ""(س) < 0 при س
< × 0و F
""(س) > 0 في س
> × 0. ثم في س < × 0المنحنى محدب ومتى س > × 0- مقعرة. ولذلك النقطة أ، ملقاة على المنحنى، مع الإحداثي السيني × 0هناك نقطة انعطاف. ويمكن اعتبار الحالة الثانية بالمثل، متى F
""(س) > 0 في س
< × 0و F
""(س) < 0 при س
> × 0.
وبالتالي، ينبغي البحث عن نقاط الانعطاف فقط بين تلك النقاط التي يختفي فيها المشتق الثاني أو لا وجود له.
أمثلة.العثور على نقاط انعطاف وتحديد فترات التحدب وتقعر المنحنيات.
خطوط التقارب للرسم البياني للوظيفة
عند دراسة دالة، من المهم تحديد شكل الرسم البياني الخاص بها على مسافة غير محدودة من نقطة الرسم البياني من الأصل.
من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة عندما يقترب الرسم البياني للدالة، عند إزالة النقطة المتغيرة إلى ما لا نهاية، من خط مستقيم معين إلى أجل غير مسمى.
يسمى الخط المستقيم الخط المقاربالرسومات الوظيفية ذ = و (خ)، إذا كانت المسافة من النقطة المتغيرة مالرسومات إلى هذا الخط عند إزالة نقطة مإلى ما لا نهاية يميل إلى الصفر، أي. النقطة على الرسم البياني للدالة، لأنها تميل إلى اللانهاية، يجب أن تقترب من الخط المقارب إلى أجل غير مسمى.
يمكن للمنحنى أن يقترب من خط التقارب الخاص به، ويبقى على أحد جوانبه أو على جوانب مختلفة، ويعبر الخط المقارب لعدد لا نهائي من المرات ويتحرك من جانب إلى آخر.
إذا نشير بـ d المسافة من النقطة ممنحنى إلى الخط المقارب، فمن الواضح أن d يميل إلى الصفر عندما تبتعد النقطة مإلى ما لا نهاية.
وسوف نميز أيضًا بين الخطوط المقاربة الرأسية والمائلة.
الخطوط المقاربة الرأسية
دعونا في س→ × 0من أي وظيفة جانبية ذ = و (خ)يزيد بشكل غير محدود في القيمة المطلقة، أي. او او 
. ثم من تعريف الخط المقارب يترتب على ذلك الخط المستقيم س = × 0هو الخط المقارب. والعكس واضح أيضًا إذا كان الخط س = × 0هو الخط المقارب، أي. .
وهكذا، الخط المقارب الرأسي للرسم البياني للوظيفة ص = و(س)ويسمى خط مستقيم إذا و (خ)→ ∞ تحت واحد على الأقل من الشروط س→
× 0– 0 أو س → × 0 + 0, س = × 0
لذلك، للعثور على الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني للدالة ذ = و (خ)بحاجة للعثور على تلك القيم س = × 0، حيث تنتقل الوظيفة إلى ما لا نهاية (تعاني من انقطاع لا نهائي). ثم الخط المقارب العمودي لديه المعادلة س = × 0.
أمثلة.
الخطوط المقاربة المائلة
بما أن الخط المقارب هو خط مستقيم، فإذا كان المنحنى ذ = و (خ)له خط تقارب مائل، فإن معادلته ستكون ذ = kx + ب. مهمتنا هي العثور على المعاملات كو ب.
نظرية. مستقيم ذ = kx + ببمثابة الخط المقارب المائل في س→ +∞ للرسم البياني للوظيفة ذ
= و (خ)ثم وفقط عندما 
. بيان مماثل صحيح ل س → –∞.
دليل. يترك النائب- طول القطعة يساوي المسافة من النقطة مإلى الخط المقارب. بالشرط . دعونا نشير بـ φ إلى زاوية ميل الخط المقارب إلى المحور ثور. ثم من ΔMNPيتبع ذلك. منذ φ زاوية ثابتة(φ ≠ π/2)، إذن، لكن
عندما نرسم دالة بيانيًا، من المهم تحديد فترات التحدب ونقاط الانقلاب. نحن بحاجة إليها، بالإضافة إلى فترات النقصان والزيادة، لتمثيل الدالة بوضوح في شكل رسومي.
يتطلب فهم هذا الموضوع معرفة ماهية مشتقة الدالة وكيفية تقييمها بترتيب ما، بالإضافة إلى القدرة على حلها أنواع مختلفةعدم المساواة
في بداية المقال يتم تعريف المفاهيم الأساسية. ثم سنوضح العلاقة الموجودة بين اتجاه التحدب وقيمة المشتقة الثانية خلال فترة معينة. بعد ذلك، سنشير إلى الشروط التي يمكن بموجبها تحديد نقاط انعطاف الرسم البياني. سيتم توضيح جميع الحجج بأمثلة لحلول المشكلات.
التعريف 1 في الاتجاه الهبوطي خلال فترة زمنية معينة في الحالة التي يكون فيها الرسم البياني الخاص به ليس أقل من المماس له عند أي نقطة في هذه الفترة.
التعريف 2
الوظيفة المراد تمييزها محدبةلأعلى خلال فترة زمنية معينة إذا كان الرسم البياني لدالة معينة لا يقع أعلى من مماسها عند أي نقطة في هذه الفترة.
يمكن أيضًا أن تسمى الدالة المحدبة للأسفل دالة مقعرة. يظهر كلا التعريفين بوضوح في الرسم البياني أدناه:
التعريف 3
نقطة انعطاف الدالة- هذه هي النقطة M (x 0 ; f (x 0)))، حيث يوجد مماس للرسم البياني للدالة، بشرط وجود مشتق بالقرب من النقطة x 0، حيث على اليسار وعلى الجانبين الأيمن، يأخذ الرسم البياني للدالة اتجاهات مختلفة للتحدب.
ببساطة، نقطة الانعطاف هي مكان على الرسم البياني حيث يوجد ظل، واتجاه تحدب الرسم البياني عند المرور عبر هذا المكان سيغير اتجاه التحدب. إذا كنت لا تتذكر الظروف التي يكون من الممكن فيها وجود ظل رأسي وغير رأسي، نوصي بتكرار القسم الخاص بظل الرسم البياني للدالة عند نقطة ما.
يوجد أدناه رسم بياني لدالة تحتوي على عدة نقاط انعطاف، تم تمييزها باللون الأحمر. دعونا نوضح أن وجود نقاط انعطاف ليس إلزاميا. على الرسم البياني لوظيفة واحدة، يمكن أن يكون هناك واحدة أو اثنتين أو عدة أو لا نهائية أو لا شيء.
سنتحدث في هذا القسم عن نظرية يمكنك من خلالها تحديد فترات التحدب على الرسم البياني لدالة معينة.
التعريف 4
سيكون الرسم البياني للدالة محدبًا للأسفل أو للأعلى إذا كانت الدالة المقابلة y = f (x) لها مشتق محدود ثانٍ في الفترة المحددة x، بشرط أن تكون المتباينة f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f) "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X) سيكون صحيحًا.
باستخدام هذه النظرية، يمكنك العثور على فترات التقعر والتحدب على أي رسم بياني للدالة. للقيام بذلك، تحتاج ببساطة إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0 في مجال تعريف الدالة المقابلة.
دعونا نوضح أن تلك النقاط التي لا يوجد عندها المشتق الثاني، ولكن يتم تعريف الدالة y = f (x)، سيتم تضمينها في فترات التحدب والتقعر.
دعونا نلقي نظرة على مثال لمشكلة محددة لنرى كيفية تطبيق هذه النظرية بشكل صحيح.
مثال 1
حالة:بالنظر إلى الدالة y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . تحديد الفترات التي سيكون فيها الرسم البياني الخاص به محدبًا وتقعرًا.
حل
مجال تعريف هذه الوظيفة هو المجموعة بأكملها أرقام حقيقية. لنبدأ بحساب المشتق الثاني.
y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2
نرى أن مجال تعريف المشتق الثاني يتطابق مع مجال الدالة نفسها، وهذا يعني أنه لتحديد فترات التحدب، نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x). ) ≥ 0.
y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2
لقد وجدنا أن الرسم البياني للدالة المعطاة سيكون له تقعر على القطعة [2؛ + ∞) والتحدب على المقطع (- ∞; 2 ] .
للتوضيح، دعونا نرسم رسمًا بيانيًا للدالة ونحدد الجزء المحدب باللون الأزرق والجزء المقعر باللون الأحمر.
إجابة:الرسم البياني للدالة المعطاة سيكون له تقعر في المقطع [ 2 ; + ∞) والتحدب على المقطع (- ∞; 2 ] .
ولكن ماذا تفعل إذا كان مجال تعريف المشتق الثاني لا يتطابق مع مجال تعريف الدالة؟ هنا ستكون الملاحظة المذكورة أعلاه مفيدة لنا: سنقوم أيضًا بتضمين تلك النقاط التي لا يوجد فيها المشتق الثاني المحدود في القطع التقعرية والمحدبة.
مثال 2
حالة:بالنظر إلى الدالة y = 8 x x - 1 . حدد الفترات التي سيكون فيها الرسم البياني مقعرًا وفي أي الفترات سيكون محدبًا.
حل
أولا، دعونا معرفة مجال تعريف الوظيفة.
س ≥ 0 س - 1 ≠ 0 ⇔ س ≥ 0 س ≠ 1 ⇔ س ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ؛ + ∞)
الآن نحسب المشتق الثاني:
y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( س - 1) 2 + س 2 (س - 1) س س - 1 4 = = 2 3 س 2 + 6 س - 1 س 3 2 · (س - 1) 3
مجال تعريف المشتق الثاني هو المجموعة x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . نرى أن x التي تساوي الصفر تنتمي إلى مجال الدالة الأصلية، ولكن ليس إلى مجال المشتقة الثانية. ويجب أن تدخل هذه النقطة في شريحة التقعر أو التحدب.
بعد ذلك، نحتاج إلى حل المتباينات f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0 في مجال تعريف الدالة المعطاة. نستخدم الطريقة الفاصلة لهذا: مع x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 أو x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 البسط 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 يصبح 0، والمقام هو 0 عندما تكون x صفر أو واحد.
لنرسم النقاط الناتجة على الرسم البياني ونحدد إشارة التعبير على جميع الفواصل الزمنية التي سيتم تضمينها في مجال تعريف الدالة الأصلية. تتم الإشارة إلى هذه المنطقة بالتظليل على الرسم البياني. إذا كانت القيمة موجبة، فإننا نضع علامة على الفاصل الزمني بعلامة زائد، وإذا كانت سالبة، بعلامة ناقص.
لذلك،
و "" (س) ≥ 0 س ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ س ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , و f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)
نقوم بتضمين النقطة المحددة مسبقًا x = 0 ونحصل على الإجابة المطلوبة. سيكون الرسم البياني للدالة الأصلية محدبًا للأسفل عند 0؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) وللأعلى - لـ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
لنرسم رسمًا بيانيًا، مع تحديد الجزء المحدب باللون الأزرق والجزء المقعر باللون الأحمر. يتم تمييز الخط المقارب العمودي بخط منقط أسود.
إجابة:سيكون الرسم البياني للدالة الأصلية محدبًا للأسفل عند 0؛ - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) وللأعلى - لـ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .
شروط انعطاف الرسم البياني للدالة
لنبدأ بصياغة الشرط الضروري لانعطاف الرسم البياني لوظيفة معينة.
التعريف 5
لنفترض أن لدينا دالة y = f (x)، والتي يحتوي الرسم البياني لها على نقطة انعطاف. عند x = x 0 يكون لها مشتق ثانٍ مستمر، وبالتالي فإن المساواة f "" (x 0) = 0 ستظل قائمة.
في ضوء هذا الشرط، يجب أن نبحث عن نقاط انعطاف بين تلك التي يتحول عندها المشتق الثاني إلى 0. وهذا الشرط لن يكون كافيا: ليست كل هذه النقاط مناسبة لنا.
لاحظ أيضًا أنه وفقًا للتعريف العام، سنحتاج إلى خط مماس، رأسيًا أو غير رأسي. من الناحية العملية، هذا يعني أنه للعثور على نقاط انعطاف، يجب أن تأخذ تلك النقاط التي يتحول عندها المشتق الثاني لدالة معينة إلى 0. لذلك، للعثور على الإحداثيات الإحداثية لنقاط الانعطاف، نحتاج إلى أخذ كل x 0 من مجال تعريف الدالة، حيث lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 و "(س) = ∞. في أغلب الأحيان، هذه هي النقاط التي يصبح عندها مقام المشتقة الأولى 0.
الشرط الكافي الأول لوجود نقطة انعطاف في الرسم البياني للدالة
لقد وجدنا جميع قيم x 0 التي يمكن اعتبارها حروف انعطاف. بعد ذلك، نحتاج إلى تطبيق شرط التصريف الكافي الأول.
التعريف 6
لنفترض أن لدينا دالة y = f (x) متصلة عند النقطة M (x 0 ; f (x 0)). علاوة على ذلك، فإن لها مماسًا عند هذه النقطة، والدالة نفسها لها مشتق ثانٍ بالقرب من هذه النقطة × 0. في هذه الحالة، إذا حصل المشتق الثاني على الجانبين الأيسر والأيمن على إشارات معاكسة، فيمكن اعتبار هذه النقطة نقطة انعطاف.
ونرى أن هذا الشرط لا يشترط وجود مشتق ثان بالضرورة عند هذه النقطة؛ فوجوده في محيط النقطة × 0 يكفي.
من الملائم تقديم كل ما سبق في شكل سلسلة من الإجراءات.
- تحتاج أولاً إلى العثور على جميع الإحداثيات x 0 لنقاط الانعطاف المحتملة، حيث f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (س) = ∞ .
- دعونا نتعرف على النقاط التي سيغير فيها المشتق الإشارة. هذه القيم هي حدود نقاط الانعطاف، والنقاط M (x 0 ; f (x 0)) المقابلة لها هي نقاط الانعطاف نفسها.
من أجل الوضوح، سنقوم بتحليل مشكلتين.
مثال 3
حالة:بالنظر إلى الدالة y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. حدد المكان الذي سيحتوي فيه الرسم البياني لهذه الدالة على نقاط انعطاف ونقاط تحدب.
حل
يتم تعريف الوظيفة المحددة على مجموعة كاملة من الأرقام الحقيقية. نحسب المشتقة الأولى:
y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 س + 2
الآن دعونا نجد مجال تعريف المشتقة الأولى. وهي أيضًا مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. هذا يعني أن المساواة lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ لا يمكن تحقيقها لأي قيم x 0 .
نحسب المشتق الثاني:
y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6
y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 × 1 = 1 - 25 2 = - 2، × 2 = 1 + 25 2 = 3
لقد وجدنا الإحداثي الإحداثي لنقطتي انعطاف محتملتين - 2 و 3. كل ما علينا فعله هو التحقق من النقطة التي تغير فيها المشتقة إشارتها. لنرسم خط أعداد ونرسم عليه هذه النقاط، وبعد ذلك سنضع علامات المشتقة الثانية على الفترات الناتجة.
توضح الأقواس اتجاه تحدب الرسم البياني في كل فترة.
تشير تغييرات المشتقة الثانية إلى العكس (من زائد إلى ناقص) عند النقطة ذات الإحداثي السيني 3، ويمر عبرها من اليسار إلى اليمين، ويفعل ذلك أيضًا (من الناقص إلى الزائد) عند النقطة ذات الإحداثي السيني 3. هذا يعني أنه يمكننا أن نستنتج أن x = - 2 و x = 3 هي حروف نقطية لنقاط انعطاف الرسم البياني للدالة. سوف تتوافق مع نقاط الرسم البياني - 2؛ - 4 3 و 3؛ - 15 8 .
دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على صورة محور الأعداد والعلامات الناتجة على الفواصل من أجل استخلاص استنتاجات حول أماكن التقعر والتحدب. اتضح أن التحدب سيكون موجودا في الجزء - 2؛ 3، والتقعر على القطع (- ∞; - 2 ] و [ 3; + ∞).
تم توضيح حل المشكلة بوضوح على الرسم البياني: اللون الأزرق يشير إلى التحدب، واللون الأحمر يشير إلى التقعر، واللون الأسود يشير إلى نقاط انعطاف.
إجابة:سيتم وضع التحدب على الجزء - 2؛ 3، والتقعر على القطع (- ∞; - 2 ] و [ 3; + ∞).
مثال 4
حالة:احسب الإحداثيات لجميع نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .
حل
مجال تعريف دالة معينة هو مجموعة الأعداد الحقيقية. نحسب المشتق:
y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (س - 3) 2 5
على عكس الدالة، لن يتم تعريف مشتقتها الأولى بقيمة x تساوي 3، ولكن:
lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (س) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞
وهذا يعني أن المماس الرأسي للرسم البياني سوف يمر عبر هذه النقطة. ولذلك، 3 يمكن أن يكون الإحداثي المحوري لنقطة انعطاف.
نحسب المشتق الثاني. نجد أيضًا مجال تعريفه والنقاط التي يتحول عندها إلى 0:
y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 26 ≈ 0.4675
لدينا الآن نقطتا انعطاف محتملتان أخريان. لنرسمها جميعًا على خط الأعداد ونحدد الفواصل الزمنية الناتجة بالعلامات:
ستتغير العلامة عند المرور بكل نقطة محددة، مما يعني أنها جميعها نقاط انعطاف.
إجابة:لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة، مع تحديد التقعرات باللون الأحمر، والتحدبات باللون الأزرق، ونقاط الانعطاف باللون الأسود:
وبمعرفة الشرط الكافي الأول للانعطاف، يمكننا تحديد النقاط الضرورية التي لا يكون عندها وجود المشتقة الثانية ضروريًا. وبناء على ذلك يمكن اعتبار الشرط الأول هو الأكثر عالمية ومناسبا للحل أنواع مختلفةمهام.
لاحظ أن هناك شرطين آخرين للانعطاف، لكن لا يمكن تطبيقهما إلا عندما يكون هناك مشتق محدود عند النقطة المحددة.
إذا كان لدينا f "" (x 0) = 0 و f """ (x 0) ≠ 0، فإن x 0 ستكون نقطة انعطاف الرسم البياني y = f (x).
مثال 5
حالة:الدالة y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 معطاة. تحديد ما إذا كان الرسم البياني للدالة سيكون له نقطة انعطاف عند النقطة 3؛ 4 5 .
حل
أول شيء يجب فعله هو التأكد من أن هذه النقطة ستنتمي بشكل عام إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة.
ص (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5
يتم تعريف الوظيفة المحددة لجميع الوسيطات التي تمثل أرقامًا حقيقية. لنحسب المشتقتين الأولى والثانية:
y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 س - 3 10 = 1 10 (س - 3)
لقد وجدنا أن المشتقة الثانية ستصل إلى 0 إذا كانت x تساوي 0. وهذا يعني أنه سيتم استيفاء شرط الانعطاف اللازم لهذه النقطة. الآن نستخدم الشرط الثاني: ابحث عن المشتقة الثالثة واكتشف ما إذا كانت ستتحول إلى 0 عند 3:
ص " " " = 1 10 (س - 3) " = 1 10
لن يختفي المشتق الثالث لأي قيمة x. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن هذه النقطة ستكون نقطة انقلاب التمثيل البياني للدالة.
إجابة:دعونا نعرض الحل في الرسم التوضيحي:
لنفترض أن f "(x 0) = 0، f "" (x 0) = 0، ...، f (n) (x 0) = 0 و f (n + 1) (x 0) ≠ 0 في هذه الحالة، حتى بالنسبة لـ n، نحصل على أن x 0 هي نقطة انعطاف الرسم البياني y = f (x).
مثال 6
حالة:بالنظر إلى الدالة y = (x - 3) 5 + 1. احسب نقاط انعطاف الرسم البياني الخاص بها.
حل
يتم تعريف هذه الوظيفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. نحسب المشتقة: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . وبما أنه سيتم تعريفه أيضًا لجميع القيم الحقيقية للوسيطة، فسيكون المماس غير الرأسي موجودًا عند أي نقطة في الرسم البياني الخاص به.
الآن دعونا نحسب القيم التي سيتحول بها المشتق الثاني إلى 0:
y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3
لقد وجدنا أنه عند x = 3 قد يكون للرسم البياني للدالة نقطة انعطاف. لنستخدم الشرط الثالث لتأكيد ذلك:
y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (س - 3) ، ص (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 ص (5) = 120 · (س - 3) " = 120، ص (5) (3) ) = 120 ≠ 0
لدينا n = 4 بالشرط الكافي الثالث. هذا رقم زوجي، مما يعني أن x = 3 ستكون نقطة الانعطاف ونقطة الرسم البياني للدالة (3؛ 1) تتوافق معها.
إجابة:فيما يلي رسم بياني لهذه الوظيفة مع تحديد التحدبات والتجاويف ونقطة الانعطاف:
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
عند دراسة دالة وإنشاء الرسم البياني لها، نحدد في مرحلة ما نقاط الانقلاب وفترات التحدب. تتيح هذه البيانات، بالإضافة إلى فترات الزيادة والنقصان، تمثيل الرسم البياني للوظيفة قيد الدراسة بشكل تخطيطي.
يفترض العرض التقديمي الإضافي أنه يمكنك تنفيذ ما يصل إلى بعض الطلبات والأنواع المختلفة.
لنبدأ بدراسة المادة مع التعريفات اللازمةوالمفاهيم. بعد ذلك، سنوضح العلاقة بين قيمة المشتقة الثانية للدالة على فترة معينة واتجاه تحدبها. بعد ذلك، سننتقل إلى الشروط التي تسمح لنا بتحديد نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة. سنقدم في جميع أنحاء النص أمثلة نموذجية مع حلول مفصلة.
التنقل في الصفحة.
التحدب، تقعر الدالة، نقطة الانقلاب.
تعريف.
محدب للأسفلعلى الفاصل الزمني X إذا كان الرسم البياني الخاص به لا يقل عن مماسه عند أي نقطة من الفاصل الزمني X.
تعريف.
تسمى الدالة المراد تمييزها محدب لأعلىعلى الفاصل الزمني X إذا كان الرسم البياني الخاص به ليس أعلى من المماس له عند أي نقطة في الفاصل الزمني X.
غالبًا ما تسمى دالة محدبة تصاعدية محدب، ومحدب للأسفل – مقعر.
انظر إلى الرسم الذي يوضح هذه التعريفات.
تعريف.
النقطة تسمى نقطة انعطاف الرسم البياني للوظيفة y=f(x) إذا كان هناك عند نقطة معينة مماس للرسم البياني للدالة (يمكن أن يكون موازيًا لمحور Oy) ويوجد جوار للنقطة التي تقع ضمنها على يسار ويمين النقطة M الرسم البياني للوظيفة له اتجاهات مختلفة للتحدب.
بمعنى آخر، تسمى النقطة M نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة إذا كان هناك ظل عند هذه النقطة ويغير الرسم البياني للدالة اتجاه التحدب، ويمر عبره.
وإذا لزم الأمر، راجع القسم للتذكير بشروط وجود مماس غير رأسي ورأسي.
يوضح الشكل أدناه بعض الأمثلة على نقاط الانعطاف (المميزة بنقاط حمراء). لاحظ أن بعض الدوال قد لا تحتوي على نقاط انعطاف، بينما قد تحتوي وظائف أخرى على نقطة انعطاف واحدة أو عدة أو عدد لا نهائي من النقاط.
إيجاد فترات التحدب للدالة.
دعونا نقوم بصياغة نظرية تسمح لنا بتحديد فترات التحدب للدالة.
نظرية.
إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق ثانٍ محدود في الفترة X وإذا كانت المتراجحة قائمة 
()، فإن الرسم البياني للدالة له تحدب موجه للأسفل (للأعلى) بواسطة X.
تسمح لك هذه النظرية بإيجاد فترات التقعر والتحدب للدالة؛ ما عليك سوى حل المتباينات، وعلى التوالي، في مجال تعريف الدالة الأصلية.
تجدر الإشارة إلى أن النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة y=f(x) وعدم وجود المشتق الثاني سيتم تضمينها في فترات التقعر والتحدب.
دعونا نفهم هذا مع مثال.
مثال.
معرفة الفواصل الزمنية التي الرسم البياني للوظيفة 
لديه التحدب الموجه للأعلى والتحدب الموجه للأسفل.
حل.
مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
دعونا نجد المشتق الثاني.
يتطابق مجال تعريف المشتق الثاني مع مجال تعريف الدالة الأصلية، لذلك، لمعرفة فترات التقعر والتحدب، يكفي حلها وفقًا لذلك.
ولذلك، تكون الدالة محدبة لأسفل على الفترة ومحدبة لأعلى على الفترة.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء الرسم البياني للدالة في الفاصل الزمني المحدب باللون الأزرق، وفي فترة التقعر - باللون الأحمر.
الآن دعونا نفكر في مثال عندما لا يتطابق مجال تعريف المشتق الثاني مع مجال تعريف الدالة. في هذه الحالة، كما لاحظنا سابقًا، يجب تضمين نقاط مجال التعريف التي لا يوجد فيها مشتق ثانٍ محدود في فترات التحدب و (أو) التقعر.
مثال.
أوجد فترات التحدب والتقعر في الرسم البياني للدالة.
حل.
لنبدأ بمجال الدالة:
لنجد المشتقة الثانية:
مجال تعريف المشتق الثاني هو المجموعة 
. كما ترون، x=0 ينتمي إلى مجال الدالة الأصلية، لكنه لا ينتمي إلى مجال المشتق الثاني. لا تنس هذه النقطة، وسوف تحتاج إلى إدراجها في فترة التحدب و (أو) التقعر.
الآن نحل المتباينات في مجال تعريف الدالة الأصلية. دعونا نطبق. بسط التعبير 
يذهب إلى الصفر في 
أو 
المقام – عند x = 0 أو x = 1. نرسم هذه النقاط بشكل تخطيطي على خط الأعداد ونكتشف إشارة التعبير على كل فترة من الفترات المضمنة في مجال تعريف الدالة الأصلية (يتم عرضها كمنطقة مظللة على خط الأعداد السفلي). بالنسبة للقيمة الموجبة نضع علامة زائد، وللقيمة السالبة نضع علامة الطرح.
هكذا،
و
لذلك، بإضافة النقطة x=0، نحصل على الإجابة.
في 
الرسم البياني للدالة له تحدب موجه نحو الأسفل، مع 
- التحدب الموجه للأعلى.
الرسم التوضيحي.
تم توضيح جزء الرسم البياني للدالة على فترة التحدب باللون الأزرق، وعلى فترات التقعر - باللون الأحمر، والخط المنقط الأسود هو الخط المقارب العمودي.
الشروط الضرورية والكافية للانعطاف.
شرط ضروري للانعطاف.
دعونا صياغة شرط ضروري للانعطافالرسومات الوظيفية.
افترض أن الرسم البياني للدالة y=f(x) له انعطاف عند نقطة وله مشتق ثانٍ مستمر، فإن المساواة تظل قائمة.
ويترتب على هذا الشرط أنه ينبغي البحث عن حدود نقاط الانعطاف بين تلك النقاط التي يختفي عندها المشتق الثاني للدالة. ولكن هذا الشرط غير كاف، أي ليست كل القيم التي يكون فيها المشتق الثاني يساوي الصفر هي حروف من نقاط انعطاف.
وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن تعريف نقطة الانقلاب يتطلب وجود خط مماس، أو خط عمودي. ماذا يعني هذا؟ وهذا يعني ما يلي: يمكن أن تكون حدود نقاط الانعطاف كل شيء بدءًا من مجال تعريف الوظيفة التي 
و 
. هذه هي عادةً النقاط التي يختفي عندها مقام المشتقة الأولى.
الشرط الأول الكافي للانعطاف.
بعد كل ما يمكن العثور عليه من نقاط انعطاف، يجب عليك استخدامه الشرط الأول الكافي للانعطافالرسومات الوظيفية.
دع الدالة y=f(x) تكون متصلة عند النقطة، ولها مماس (ربما عموديًا)، ودع هذه الدالة لها مشتق ثانٍ في بعض المناطق المجاورة للنقطة. بعد ذلك، إذا كان للمشتق الثاني علامات مختلفة داخل هذا الحي على يسار ويمين، فهو نقطة انعطاف في الرسم البياني للدالة.
وكما ترى فإن الشرط الكافي الأول لا يشترط وجود المشتقة الثانية عند النقطة نفسها، بل يتطلب وجودها في جوار النقطة.
الآن دعونا نلخص جميع المعلومات في شكل خوارزمية.
خوارزمية لإيجاد نقاط انعطاف للدالة.
نجد جميع حروف نقاط الانعطاف المحتملة للرسم البياني للوظيفة (أو و ) واكتشف من خلال المرور من خلاله توقيع التغييرات المشتقة الثانية. ستكون هذه القيم بمثابة نقطة انعطاف لنقاط الانعطاف، وستكون النقاط المقابلة هي نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة.
دعونا نلقي نظرة على مثالين لإيجاد نقاط انعطاف للتوضيح.
مثال.
أوجد نقاط الانعطاف وفترات التحدب وتقعر الرسم البياني للدالة.
حل.
مجال الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية.
لنجد المشتقة الأولى:
مجال تعريف المشتقة الأولى هو أيضًا مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها، وبالتالي يساويها و لا يتم الوفاء لأي .
لنجد المشتقة الثانية:
دعونا نتعرف على قيم الوسيطة x التي يذهب بها المشتق الثاني إلى الصفر:
وبالتالي، فإن حدود نقاط الانقلاب المحتملة هي x=-2 وx=3.
الآن يبقى التحقق، باستخدام علامة انعطاف كافية، عند أي من هذه النقاط يشير المشتق الثاني إلى التغييرات. للقيام بذلك، قم برسم النقطتين x=-2 وx=3 على محور الرقم، كما في طريقة الفاصل المعمم، نضع إشارة المشتقة الثانية على كل فترة. تحت كل فاصل زمني، يظهر اتجاه التحدب في الرسم البياني للوظيفة بشكل تخطيطي باستخدام الأقواس.
المشتق الثاني يغير إشارة من موجب إلى ناقص، ويمر بالنقطة x=-2 من اليسار إلى اليمين، ويغير إشارة من ناقص إلى موجب، ويمر عبر x=3. ولذلك، فإن كلاً من x=-2 وx=3 عبارة عن حروف نقطية لنقاط انعطاف الرسم البياني للدالة. أنها تتوافق مع نقاط الرسم البياني و .
بإلقاء نظرة أخرى على خط الأعداد وإشارات المشتقة الثانية على فتراته، يمكننا استخلاص استنتاجات حول فترات التحدب والتقعر. الرسم البياني للدالة يكون محدبًا على الفترة ومقعرًا على الفترات و.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء الرسم البياني للدالة على الفاصل الزمني المحدب باللون الأزرق، وعلى فاصل التقعر - باللون الأحمر، وتظهر نقاط الانعطاف كنقاط سوداء.
مثال.
أوجد الإحداثيات لجميع نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة 
.
حل.
مجال تعريف هذه الدالة هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية.
دعونا نجد المشتقة.
المشتقة الأولى، على عكس الدالة الأصلية، غير محددة عند x=3. لكن 
و 
. لذلك، عند النقطة التي يوجد بها الإحداثي السيني x=3 يوجد مماس رأسي للرسم البياني للدالة الأصلية. وبالتالي، يمكن أن تكون x=3 هي نقطة انعطاف نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة.
ونجد المشتقة الثانية ومجال تعريفها والنقاط التي تختفي عندها:
لقد حصلنا على اثنين من الإحداثيات المحتملة لنقاط انعطاف. نحدد النقاط الثلاث على خط الأعداد ونحدد إشارة المشتقة الثانية في كل فترة من الفترات الناتجة.
تتغير المشتقة الثانية عند المرور بكل نقطة من النقاط، وبالتالي فهي جميعها حروف من نقاط انعطاف.
الرسم التوضيحي.
تظهر أجزاء من الرسم البياني للدالة على فترات محدبة باللون الأزرق، وعلى فترات التقعر - باللون الأحمر، تظهر نقاط الانعطاف كنقاط سوداء.
الشرط الأول الكافي لانعطاف الرسم البياني للدالة يسمح لنا بتحديد نقاط الانعطاف ولا يتطلب وجود مشتق ثانٍ عندها. ولذلك يمكن اعتبار الشرط الكافي الأول عالميًا والأكثر استخدامًا.
سنقوم الآن بصياغة شرطين إضافيين كافيين للانقلاب، لكنهما قابلان للتطبيق فقط إذا كان هناك مشتق محدود عند نقطة الانقلاب يصل إلى ترتيب معين.
الشرط الثاني الكافي للانعطاف.
إذا كانت a ، فإن نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة y=f(x) x=3 تختلف عن الصفر.
من الواضح أن قيمة المشتقة الثالثة ليست صفرًا لأي x، بما في ذلك x=3. لذلك، وفقًا للشرط الثاني الكافي لانعطاف الرسم البياني للدالة، فإن النقطة هي نقطة انعطاف.
الرسم التوضيحي.
الشرط الثالث الكافي للانعطاف.
دع ، إذا كان n رقمًا زوجيًا، فهو حدود نقطة انعطاف الرسم البياني للدالة y=f(x).
مثال.
أوجد نقاط انعطاف الرسم البياني للوظيفة 
.
حل.
يتم تعريف الدالة على مجموعة كاملة من الأعداد الحقيقية.
لنجد مشتقتها: 
. من الواضح أنه تم تعريفه أيضًا لجميع x الحقيقي، وبالتالي، في أي نقطة على الرسم البياني الخاص به يوجد ظل غير رأسي.
دعونا نحدد قيم x التي يصبح عندها المشتق الثاني صفراً.
وهكذا، عند النقطة مع الإحداثي السيني x=3 قد يكون هناك انعطاف في الرسم البياني للدالة. للتأكد من أن x = 3 هي بالفعل نقطة الانعطاف، نستخدم الشرط الثالث الكافي.
وفقًا للشرط الثالث الكافي لانقلاب الرسم البياني للدالة، لدينا n=4 (المشتق الخامس يذهب إلى الصفر) - وبالتالي فإن x=3 هي نقطة الانعطاف ونقطة الرسم البياني للدالة الدالة (3؛1) تقابلها.
الرسم التوضيحي.
يظهر جزء الرسم البياني للدالة على الفاصل الزمني المحدب باللون الأزرق، وعلى فاصل التقعر - باللون الأحمر، تظهر نقطة الانعطاف بنقطة سوداء.
لتحديد تحدب (تقعر) دالة خلال فترة معينة، يمكنك استخدام النظريات التالية.
النظرية 1.لتكن الدالة محددة ومستمرة على الفترة ولها مشتقة منتهية. لكي تكون الدالة محدبة (مقعرة) في ، من الضروري والكافي أن تتناقص (تزيد) مشتقتها في هذه الفترة.
النظرية 2.دع الدالة محددة ومستمرة مع مشتقها ولها مشتق ثانٍ مستمر بالداخل. من أجل التحدب (التقعر) للدالة فهو ضروري وكافي للداخل
دعونا نثبت النظرية 2 لحالة الدالة المحدبة.
ضروري. دعونا نأخذ نقطة تعسفية. دعونا نوسع الدالة حول نقطة في متسلسلة تايلور
معادلة المماس للمنحنى عند نقطة لها حدود:
ثم فائض المنحنى على المماس له عند النقطة يساوي
وبالتالي فإن الباقي يساوي مقدار زيادة المنحنى على المماس له عند النقطة . بسبب الاستمرارية، إذا 
، إذن أيضًا من أجل الانتماء إلى حي صغير بما فيه الكفاية للنقطة، وبالتالي، من الواضح، لأي قيمة مختلفة عن، الانتماء إلى الحي المشار إليه.
هذا يعني أن الرسم البياني للدالة يقع فوق المماس ويكون المنحنى محدبًا عند نقطة عشوائية.
قدرة. دع المنحنى يكون محدبًا على الفاصل الزمني. دعونا نأخذ نقطة تعسفية.
كما هو الحال في الخطوة السابقة، نقوم بتوسيع الدالة حول نقطة في متسلسلة تايلور
إن فائض المنحنى على المماس عند نقطة لها حدود محددة بالتعبير يساوي
وبما أن الفائض موجب لمنطقة صغيرة بما فيه الكفاية من النقطة، فإن المشتقة الثانية تكون موجبة أيضًا. ونحن نسعى جاهدين، نجد أن لنقطة تعسفية .
مثال.فحص وظيفة التحدب (التقعر).
مشتق منه 
يزيد على خط الأعداد بأكمله، مما يعني، حسب النظرية 1، أن الدالة مقعرة على .
مشتقته الثانية 
لذلك، وفقًا للنظرية 2، تكون الدالة مقعرة.
3.4.2.2 نقاط الانعطاف
تعريف. نقطة الأنحرافالرسم البياني للدالة المستمرة هو النقطة التي تفصل بين الفترات التي تكون فيها الدالة محدبة ومقعرة.
ويترتب على هذا التعريف أن نقاط الانعطاف هي النقاط القصوى للمشتق الأول. وهذا يعني العبارات التالية للشروط الضرورية والكافية للانعطاف.
نظرية (شرط ضروري للانعطاف). لكي تكون النقطة نقطة انعطاف لدالة قابلة للاشتقاق مرتين، من الضروري أن يكون مشتقها الثاني عند هذه النقطة يساوي صفر ( 
) أو لم تكن موجودة.
نظرية (شرط كاف للانعطاف).إذا تغير المشتق الثاني لدالة قابلة للتفاضل مرتين عند المرور بنقطة معينة، فهناك نقطة انعطاف.
لاحظ أنه عند النقطة نفسها قد لا يكون المشتق الثاني موجودًا.
تم توضيح التفسير الهندسي لنقاط الانعطاف في الشكل. 3.9
في جوار نقطة ما، تكون الدالة محدبة ورسمها البياني يقع أسفل المماس المرسوم عند هذه النقطة. في جوار نقطة ما، تكون الدالة مقعرة ويقع رسمها البياني فوق المماس المرسوم عند هذه النقطة. عند نقطة الانقلاب، يقسم الظل الرسم البياني للدالة إلى مناطق محدبة ومقعرة.
3.4.2.3 فحص وظيفة التحدب ووجود نقاط انعطاف
1. أوجد المشتقة الثانية.
2. أوجد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني غير موجود.
أرز. 3.9.3. التحقق من إشارة المشتقة الثانية على يسار ويمين النقاط الموجودة واستخلاص استنتاج حول فترات التحدب أو التقعر ووجود نقاط الانقلاب.
مثال. فحص وظيفة التحدب ووجود نقاط انعطاف.
2. المشتقة الثانية تساوي صفر عند .
3. علامة تغيرات المشتقة الثانية عند ، مما يعني أن النقطة هي نقطة انقلاب.
على الفترة، تكون الدالة محدبة على هذه الفترة.
على الفترة، مما يعني أن الدالة مقعرة في هذه الفترة.
3.4.2.4 مخطط عام لدراسة الدوال ورسم الرسم البياني
عند دراسة دالة ورسم الرسم البياني لها، يوصى باستخدام المخطط التالي:
- أوجد مجال تعريف الدالة.
- التحقيق في وظيفة التكافؤ - الغرابة. أذكر أن الرسم البياني دالة زوجيةيكون متماثلًا حول المحور الإحداثي، ويكون الرسم البياني للدالة الفردية متماثلًا حول نقطة الأصل.
- ابحث عن الخطوط المقاربة العمودية.
- التحقق من سلوك الدالة عند اللانهاية، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية أو المائلة.
- أوجد الحدود القصوى وفترات رتابة الدالة.
- أوجد فترات تحدب الدالة ونقاط الانقلاب.
- أوجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
يتم إجراء دراسة الوظيفة في وقت واحد مع بناء الرسم البياني الخاص بها.
مثال. استكشاف الوظيفة 
ورسمها.
1. مجال الدالة هو .
2. الوظيفة قيد الدراسة متساوية 
وبالتالي فإن الرسم البياني له متماثل حول الإحداثي.
3. يذهب مقام الدالة إلى الصفر عند ، وبالتالي فإن الرسم البياني للدالة له خطوط مقاربة رأسية و .
النقاط هي نقاط انقطاع من النوع الثاني، حيث أن الحدود الموجودة على اليسار واليمين عند هذه النقاط تميل إلى .
4. سلوك الدالة عند اللانهاية.
ولذلك، فإن الرسم البياني للدالة له خط تقارب أفقي.
5. فترات القصوى والرتابة. العثور على المشتقة الأولى
عندما تنخفض الدالة في هذه الفترات.
وبالتالي، في هذه الفواصل الزمنية، تزيد الدالة.
عند ، وبالتالي فإن النقطة هي نقطة حرجة.
العثور على المشتقة الثانية
وبما أن النقطة هي النقطة الدنيا للدالة.
6. فترات التحدب ونقاط الانقلاب.
وظيفة في 
مما يعني أن الدالة مقعرة في هذه الفترة.
دالة ل، مما يعني أن الدالة محدبة في هذه الفترات.
لا تختفي الوظيفة في أي مكان، مما يعني عدم وجود نقاط انعطاف.
7. نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات.
المعادلة لها حل، وهو يعني نقطة تقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور الإحداثي (0، 1).
المعادلة ليس لها حل، مما يعني عدم وجود نقاط تقاطع مع المحور السيني.
مع الأخذ بعين الاعتبار الأبحاث التي تم إجراؤها، فمن الممكن رسم الوظيفة
رسم بياني تخطيطي للدالة 
يظهر في الشكل. 3.10.
أرز. 3.10. 3.4.2.5 الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة
تعريف. الخط المقاربيسمى الرسم البياني للدالة بالخط المستقيم الذي يمتلك خاصية أن المسافة من النقطة () إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى 0 عندما تتحرك نقطة الرسم البياني إلى أجل غير مسمى من الأصل.
)
)
