خصائص وظائف السلطة والرسوم البيانية الخاصة بها

دالة قوة أسها يساوي الصفر، p = 0

إذا كان أس دالة القدرة y = x p يساوي صفر، p = 0، فسيتم تعريف دالة القدرة لجميع x ≠ 0 وهي ثابتة تساوي واحدًا:
ص = س ع = س 0 = 1، س ≠ 0.

دالة القدرة ذات الأس الفردي الطبيعي، p = n = 1، 3، 5، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n ذات أس فردي طبيعي n = 1, 3, 5, .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على الصورة: n = 2k + 1، حيث k = 0, 1, 2 ، 3،... - الكل ليس سلبيا. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....

المجال: -∞< x < ∞

قيم متعددة: –∞< y < ∞

المتطرفة: لا

محدب:

في -∞< x < 0 выпукла вверх

عند 0< x < ∞ выпукла вниз

نقاط انعطاف: س = 0، ص = 0

القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

عند x = 0، y(0) = 0 n = 0

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القدرة ذات الأس الطبيعي الزوجي، p = n = 2، 4، 6، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n ذات أس زوجي طبيعي n = 2, 4, 6, .... يمكن أيضًا كتابة هذا الأس على الصورة: n = 2k، حيث k = 1, 2, 3, . .. - طبيعي . وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....

المجال: -∞< x < ∞

قيم متعددة: 0 ≥ ص< ∞

روتيني:

في العاشر< 0 монотонно убывает

لـ x > 0 يزيد بشكل رتيب

النهايات: الحد الأدنى، x = 0، y = 0

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0
القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

عند x = 0، y(0) = 0 n = 0

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب، p = n = -1، -2، -3، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n مع عدد صحيح سالب n = -1, -2, -3, .... إذا وضعنا n = –k، حيث k = 1, 2, 3, ... هو عدد طبيعي، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع عدد صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1, -2, -3, ....

الأس الفردي، n = -1، -3، -5، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص ≠ 0

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вверх

لـ x > 0: محدب للأسفل

نقاط انعطاف: لا

التوقيع: في العاشر< 0, y < 0

لـ x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

الأس الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي n = -2، -4، -6، ....

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص > 0

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно возрастает

لـ x > 0: يتناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

التوقيع: ص > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1، y(–1) = (–1) n = 1

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

دالة القوة ذات الأس العقلاني (الكسري).

خذ بعين الاعتبار دالة القوة y = x p مع الأس النسبي (الكسري)، حيث n عدد صحيح، وm > 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك، n، m لا يوجد بها قواسم مشتركة.

مقام المؤشر الكسري غريب

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: m = 3, 5, 7, ... . في هذه الحالة، يتم تعريف دالة الطاقة x p لكل من القيم الإيجابية والسلبية للوسيطة. دعونا نفكر في خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

القيمة p سالبة، p< 0

دع الأس العقلاني (مع المقام الفردي m = 3، 5، 7، ...) يكون أقل من الصفر: .

الرسوم البيانية لوظائف السلطة مع أس سلبي عقلاني لقيم الأس المختلفة، حيث m = 3، 5، 7، ... أمر فردي.

البسط الفردي، ن = -1، -3، -5، ...

نقدم خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي العقلاني، حيث n = -1، -3، -5، ... هو عدد صحيح سلبي فردي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح سالب عدد صحيح طبيعي غريب.

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص ≠ 0

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

الرتابة: التناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вверх

لـ x > 0: محدب للأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

في العاشر< 0, y < 0

لـ x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

البسط الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -2، -4، -6، ... هو عدد صحيح سلبي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح طبيعي فردي .

نطاق التعريف: x ≠ 0

قيم متعددة: ص > 0

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно возрастает

لـ x > 0: يتناقص بشكل رتيب

المتطرفة: لا

محدب: محدب إلى الأسفل

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: لا

التوقيع: ص > 0

القيمة p موجبة، أقل من واحد، 0< p < 1

الرسم البياني لوظيفة الطاقة مع الأس العقلاني (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

البسط الفردي، ن = 1، 3، 5، ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

المجال: -∞< x < +∞

قيم متعددة: –∞< y < +∞

التكافؤ: فردي، y(–x) = – y(x)

الرتابة: الزيادة الرتيبة

المتطرفة: لا

محدب:

في العاشر< 0: выпукла вниз

لـ x > 0: محدب للأعلى

نقاط انعطاف: س = 0، ص = 0

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0

في العاشر< 0, y < 0

لـ x > 0، y > 0

القيم الخاصة:

عند x = –1، y(–1) = –1

عند س = 0، ص(0) = 0

ل س = 1، ص(1) = 1

البسط الزوجي، ن = 2، 4، 6، ...

يتم عرض خصائص دالة الطاقة y = x p مع الأس العقلاني ضمن 0< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

المجال: -∞< x < +∞

قيم متعددة: 0 ≥ ص< +∞

التكافؤ: حتى، ذ(–س) = ذ(س)

روتيني:

في العاشر< 0: монотонно убывает

لـ x > 0: يزيد بشكل رتيب

النهايات: الحد الأدنى عند x = 0، y = 0

التحدب: محدب لأعلى عند x ≠ 0

نقاط انعطاف: لا

نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات: x = 0، y = 0

الإشارة: لـ x ≠ 0، y > 0

تسمى دالة القوة دالة بالشكل y=x n (اقرأ كما تساوي y x للأس n)، حيث n هو رقم معين. الحالات الخاصة لوظائف الطاقة هي دوال من الشكل y=x، y=x 2، y=x 3، y=1/x وغيرها الكثير. دعنا نخبرك المزيد عن كل واحد منهم.

دالة خطية ص=س 1 (ص=س)

الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر بالنقطة (0;0) بزاوية 45 درجة إلى الاتجاه الموجب لمحور الثور.

ويرد الرسم البياني أدناه.

الخصائص الأساسية للدالة الخطية:

• الدالة متزايدة ومحددة على خط الأعداد بأكمله.
• ليس لها قيم قصوى أو دنيا.

الدالة التربيعية y=x 2

الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ.

الخصائص الأساسية للدالة التربيعية:

• 1. عند x =0، وy=0، وy>0 عند x0
• 2. تصل الدالة التربيعية إلى أدنى قيمة لها عند رأسها. يمين عند x=0; تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الدالة ليس لها قيمة قصوى.
• 3. تتناقص الدالة على الفاصل الزمني (-∞;0] وتزيد على الفاصل الزمني)