Svojstva funkcija stepena i njihovi grafovi

Funkcija stepena sa eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije stepena y = x p jednak nuli, p = 0, tada je funkcija stepena definirana za sve x ≠ 0 i konstanta je jednaka jedan:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funkcija stepena sa prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, .... Ovaj eksponent se također može napisati u obliku: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2 , 3, . . . – cjelina nije negativna. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ....

Domena: –∞< x < ∞

Više vrijednosti: –∞< y < ∞

Ekstremi: ne

konveksno:

na –∞< x < 0 выпукла вверх

u 0< x < ∞ выпукла вниз

Pregibne tačke: x = 0, y = 0

Privatne vrijednosti:

pri x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

pri x = 0, y(0) = 0 n = 0

za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcija stepena sa prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, .... Ovaj eksponent se također može napisati u obliku: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, . .. - prirodno . Svojstva i grafikoni takvih funkcija su dati u nastavku.

Grafikon funkcije stepena y = x n sa prirodnim parnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....

Domena: –∞< x < ∞

Višestruke vrijednosti: 0 ≤ y< ∞

monoton:

na x< 0 монотонно убывает

za x > 0 monotono raste

Ekstremi: minimum, x = 0, y = 0

Konveksno: konveksno nadole

Pregibne tačke: br

Točke preseka sa koordinatnim osa: x = 0, y = 0
Privatne vrijednosti:

pri x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

pri x = 0, y(0) = 0 n = 0

za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcija stepena s negativnim cijelim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju stepena y = x p = x n sa negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, .... Ako postavimo n = –k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodni broj, onda se može predstaviti kao:

Grafikon funkcije stepena y = x n sa negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ....

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n sa neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....

Raspon definicije: x ≠ 0

Više vrijednosti: y ≠ 0

Paritet: neparan, y(–x) = – y(x)

Ekstremi: ne

konveksno:

na x< 0: выпукла вверх

za x > 0: konveksno nadole

Pregibne tačke: br

Znak: na x< 0, y < 0

za x > 0, y > 0

Privatne vrijednosti:

za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n sa parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....

Raspon definicije: x ≠ 0

Više vrijednosti: y > 0

Paritet: par, y(–x) = y(x)

monoton:

na x< 0: монотонно возрастает

za x > 0: monotono opada

Ekstremi: ne

Konveksno: konveksno nadole

Pregibne tačke: br

Točke sjecišta sa koordinatnim osa: br

Znak: y > 0

Privatne vrijednosti:

pri x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Funkcija stepena s racionalnim (razlomačnim) eksponentom

Razmotrimo funkciju stepena y = x p sa racionalnim (razlomkom) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štaviše, n, m nemaju zajedničke djelitelje.

Imenilac frakcionog indikatora je neparan

Neka je imenilac razlomnog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija stepena x p je definirana i za pozitivne i za negativne vrijednosti argumenta. Razmotrimo svojstva takvih funkcija stepena kada je eksponent p unutar određenih granica.

P-vrijednost je negativna, p< 0

Neka je racionalni eksponent (sa neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ...) manji od nule: .

Grafovi funkcija snage sa racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojilac, n = -1, -3, -5, ...

Svojstva funkcije stepena y = x p predstavljamo s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni cijeli broj.

Raspon definicije: x ≠ 0

Više vrijednosti: y ≠ 0

Paritet: neparan, y(–x) = – y(x)

Monotoničnost: monotono opadajuća

Ekstremi: ne

konveksno:

na x< 0: выпукла вверх

za x > 0: konveksno nadole

Pregibne tačke: br

Točke sjecišta sa koordinatnim osa: br

na x< 0, y < 0

za x > 0, y > 0

Privatne vrijednosti:

pri x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

za x = 1, y(1) = 1 n = 1

Parni brojilac, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije stepena y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni cijeli broj .

Raspon definicije: x ≠ 0

Više vrijednosti: y > 0

Paritet: par, y(–x) = y(x)

monoton:

na x< 0: монотонно возрастает

za x > 0: monotono opada

Ekstremi: ne

Konveksno: konveksno nadole

Pregibne tačke: br

Točke sjecišta sa koordinatnim osa: br

Znak: y > 0

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Grafikon funkcije snage sa racionalnim eksponentom (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojilac, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: –∞< x < +∞

Više vrijednosti: –∞< y < +∞

Paritet: neparan, y(–x) = – y(x)

Monotonost: monotono raste

Ekstremi: ne

konveksno:

na x< 0: выпукла вниз

za x > 0: konveksno prema gore

Pregibne tačke: x = 0, y = 0

Točke preseka sa koordinatnim osa: x = 0, y = 0

na x< 0, y < 0

za x > 0, y > 0

Privatne vrijednosti:

pri x = –1, y(–1) = –1

pri x = 0, y(0) = 0

za x = 1, y(1) = 1

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije stepena y = x p sa racionalnim eksponentom unutar 0< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: –∞< x < +∞

Višestruke vrijednosti: 0 ≤ y< +∞

Paritet: par, y(–x) = y(x)

monoton:

na x< 0: монотонно убывает

za x > 0: monotono raste

Ekstremi: minimum na x = 0, y = 0

Konveksnost: konveksna prema gore pri x ≠ 0

Pregibne tačke: br

Točke preseka sa koordinatnim osa: x = 0, y = 0

Znak: za x ≠ 0, y > 0

Funkcija stepena naziva se funkcija oblika y=x n (čita se kao y jednako x na stepen od n), gdje je n neki dati broj. Posebni slučajevi funkcija stepena su funkcije oblika y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x i mnoge druge. Recimo vam više o svakom od njih.

Linearna funkcija y=x 1 (y=x)

Grafikon je prava linija koja prolazi kroz tačku (0;0) pod uglom od 45 stepeni u odnosu na pozitivan smjer ose Ox.

Grafikon je prikazan u nastavku.

Osnovna svojstva linearne funkcije:

• Funkcija je rastuća i definirana je na cijeloj brojevnoj pravoj.
• Nema maksimalne ni minimalne vrijednosti.

Kvadratna funkcija y=x 2

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Osnovna svojstva kvadratne funkcije:

• 1. Kod x =0, y=0 i y>0 na x0
• 2. Kvadratna funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu. Ymin pri x=0; Također treba napomenuti da funkcija nema maksimalnu vrijednost.
• 3. Funkcija se smanjuje na intervalu (-∞;0] i povećava na intervalu)