होने देना एक्स – परिवर्तनशील मात्रा. इसका मतलब यह है कि मूल्य एक्सअपना अर्थ बदल देता है. यही बात इसे मौलिक रूप से किसी से अलग बनाती है स्थिर मान ए, जो इसके अपरिवर्तित मूल्य को नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, एक खंभे की ऊंचाई एक स्थिर मान है, लेकिन एक जीवित बढ़ते पेड़ की ऊंचाई एक परिवर्तनीय मान है।

परिवर्तनीय मान एक्सदिया गया माना जाता है, संख्यात्मक अनुक्रम दिया गया है

इसके अर्थ. यानि वो मूल्य एक्स 1 ; एक्स 2 ;एक्स 3 ;..., जिसे वह लगातार, एक के बाद एक, अपने परिवर्तन की प्रक्रिया में स्वीकार करता है। हम यह मान लेंगे कि परिमाण के हिसाब से यह परिवर्तन की प्रक्रिया है एक्सइसके मान किसी भी स्तर (चर) पर नहीं रुकते एक्सयह कभी नहीं जमता, यह "हमेशा जीवित रहता है")। इसका मतलब यह है कि अनुक्रम (1) में अनंत संख्या में मान हैं, जिन्हें (1) में एक दीर्घवृत्त द्वारा चिह्नित किया गया है।

किसी चर के मानों को प्राकृतिक तर्क के किसी फ़ंक्शन के मानों के समूह के रूप में माना जा सकता है एक्स एन =एफ(एन). सदस्य एक्स एनअनुक्रम का सामान्य सदस्य कहा जाता है। एक अनुक्रम दिया हुआ माना जाता है यदि उसके किसी सदस्य की ज्ञात संख्या द्वारा गणना करने की कोई विधि दी गई हो।

उदाहरण 1: यदि अनुक्रम का उभयनिष्ठ पद है तो उसके प्रथम दस पद लिखिए।

समाधान:मान दिए गए भिन्न के मान की गणना करना एन 1,2,3,…10 के बराबर, हमें मिलता है:

सामान्य तौर पर, एक सामान्य पद वाला अनुक्रम इस प्रकार लिखा जाएगा:

स्वाभाविक रूप से, परिमाण में परिवर्तन की प्रकृति के संबंध में रुचि पैदा होती है एक्सउनके अर्थ। यानी सवाल उठता है: क्या ये मूल्य अव्यवस्थित रूप से, अराजक रूप से या किसी तरह उद्देश्यपूर्ण तरीके से बदलते हैं?

निस्संदेह, मुख्य रुचि दूसरा विकल्प है। अर्थात्, मान दें एक्स एनचर एक्सजैसे-जैसे उनकी संख्या बढ़ती जाती है एनअनिश्चित काल तक आ रहे हैं ( कोशिश करना) कुछ विशिष्ट संख्या के लिए ए. इसका मतलब है कि मूल्यों के बीच का अंतर (दूरी)। एक्स एनचर एक्सऔर संख्या एअनुबंध, जैसे-जैसे यह बढ़ता है, प्रवृत्त होता है एन(at ) से शून्य। "चाहता है" शब्द को एक तीर से प्रतिस्थापित करते हुए, उपरोक्त को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

पर<=>दो पर)

यदि (2) कायम है, तो हम ऐसा कहते हैं वेरिएबल x संख्या a की ओर प्रवृत्त होता है. यह नंबर एबुलाया चर x की सीमा. और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

पढ़ता है: सीमा x एक है(x की प्रवृत्ति a की ओर होती है).

आकांक्षा चर एक्सआपकी सीमा तक एसंख्या अक्ष पर स्पष्ट रूप से चित्रित किया जा सकता है। इस चाहत का सटीक गणितीय अर्थ एक्सको एक्या यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सकारात्मक संख्या कितनी छोटी है, और इसलिए कोई फर्क नहीं पड़ता कि अंतराल कितना छोटा है न ही संख्या को संख्या रेखा पर घेरें ए, इस अंतराल में (संख्या के तथाकथित -पड़ोस में ए) एक निश्चित संख्या से शुरू होकर हिट होगा एन, सभी मूल्य एक्स एनचर एक्स. विशेष रूप से, चित्र में. संख्या के चित्रित पड़ोस में 1 एसारे मान मिल गए एक्स एनचर एक्स, संख्या से प्रारंभ करते हुए .

परिभाषा:संख्या एअनुक्रम की सीमा (चर की सीमा) कहलाती है एक्सया फ़ंक्शन की सीमा एफ(एन)), यदि पूर्व निर्धारित धनात्मक संख्या जो भी हो, ऐसी प्राकृतिक संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव होता है एन, जो संख्याओं के साथ अनुक्रम के सभी सदस्यों के लिए है n>एनअसमानता संतुष्ट होगी.

यह असमानता निम्नलिखित दो असमानताओं के बराबर है: . संख्या एनचुने हुए पर निर्भर करता है। यदि आप संख्या को कम करते हैं, तो संगत संख्या एनवृद्धि होगी।

एक अनुक्रम के लिए (या एक चर के लिए एक्स) किसी सीमा का होना आवश्यक नहीं है, लेकिन यदि यह सीमा है तो केवल यही है। एक सीमा वाले अनुक्रम को कहा जाता है संमिलित. वह अनुक्रम कहलाता है जिसकी कोई सीमा नहीं होती विभिन्न.

परिवर्तनीय मान एक्स,विभिन्न तरीकों से अपनी सीमा तक प्रयास कर सकते हैं:

1. अपनी सीमा से नीचे रहना,

2. अपनी सीमा से ऊपर रहना,

3. अपनी सीमा के आसपास उतार-चढ़ाव,

4. अपनी सीमा के बराबर मान लेना।

संख्या का चुनाव मनमाना है, लेकिन एक बार इसे चुन लेने के बाद इसमें कोई और बदलाव नहीं किया जाना चाहिए।

चर एक्सइसकी सीमा के रूप में शून्य होना (अर्थात् शून्य की ओर प्रवृत्त होना) कहलाता है बहुत छोता. एक परिवर्तनीय एक्स, निरपेक्ष मूल्य में बिना किसी सीमा के बढ़ना कहलाता है असीम रूप से बड़ा(इसका मापांक अनंत की ओर प्रवृत्त होता है)।

तो, यदि, तो एक्सएक अतिसूक्ष्म परिवर्तनशील मात्रा है, और यदि, तो एक्स- एक असीम रूप से बड़ी परिवर्तनीय मात्रा। विशेष रूप से, यदि या , तो एक्स- एक असीम रूप से बड़ी परिवर्तनीय मात्रा।

तो अगर . और इसके विपरीत यदि , वह । यहां से हमें वेरिएबल के बीच निम्नलिखित महत्वपूर्ण संबंध मिलते हैं एक्सऔर इसकी सीमा ए:

यह पहले ही कहा जा चुका है कि प्रत्येक चर नहीं एक्सएक सीमा है. कई चरों की कोई सीमा नहीं होती. इसका अस्तित्व है या नहीं यह इस चर के मानों के अनुक्रम (1) पर निर्भर करता है।

उदाहरण 2 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, वह है।

उदाहरण 3 . होने देना

एक्स-अतिसूक्ष्म.

उदाहरण 4 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, वह है। तो परिवर्तनशील एक्स– असीम रूप से बड़ा.

उदाहरण 5 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, परिवर्तनशील एक्सकिसी भी चीज़ के लिए प्रयास नहीं करता. अर्थात इसकी कोई सीमा नहीं है (अस्तित्व में नहीं है)।

उदाहरण 6 . होने देना

यहाँ चर की सीमा के साथ स्थिति है एक्सपिछले चार उदाहरणों की तरह स्पष्ट नहीं है। इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, आइए मूल्यों को बदलें एक्स एनचर एक्स:

जाहिर है, पर. मतलब,

पर ।

और इसका मतलब यह है कि, वह है।

उदाहरण 7 . होने देना

यहाँ अनुक्रम ( एक्स एन) परिवर्तनशील मान एक्सहर के साथ एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है क्यू. इसलिए, चर की सीमा एक्सअनंत ज्यामितीय प्रगति की सीमा है।

ए) यदि , तो , जाहिर है , पर . और इसका मतलब यह है कि ()।

ख) यदि , तो . अर्थात्, इस मामले में परिवर्तनशील मान एक्सपरिवर्तन न करें - वे सदैव 1 के बराबर होते हैं। तब इसकी सीमा भी 1 () के बराबर होती है।

ग) यदि , तो . इस मामले में, यह स्पष्ट रूप से अस्तित्व में नहीं है।

घ) यदि, तो एक अनंत रूप से बढ़ने वाला धनात्मक संख्या क्रम है। मतलब ()।

ई) यदि, तो संकेतन का परिचय देते हुए, जहां, हम प्राप्त करते हैं: - एक वैकल्पिक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें शब्दों का निरपेक्ष मूल्य में असीमित वृद्धि होती है:

जिसका अर्थ है परिवर्तनशील एक्सअसीम रूप से बड़ा. लेकिन इसके सदस्यों के संकेतों के विकल्प के कारण, यह न तो +∞ और न ही -∞ की ओर झुकता है (इसकी कोई सीमा नहीं है)।

उदाहरण 8. सिद्ध करें कि एक सामान्य पद वाले अनुक्रम की सीमा 2 के बराबर होती है।

सबूत:आइए हम एक मनमाने ढंग से सकारात्मक संख्या चुनें और दिखाएं कि ऐसी संख्या का चयन करना संभव है एन, जो संख्या के सभी मानों के लिए है एन, इस संख्या से अधिक एन, असमानता संतुष्ट होगी, जिसमें हमें लेना होगा ए=2, , अर्थात। असमानता संतुष्ट होगी .

इस असमानता से, कोष्ठकों को एक सामान्य हर में घटाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं। इस प्रकार: । पीछे एनआइए अंतराल से संबंधित सबसे छोटा पूर्णांक लें। इस प्रकार, हम मनमाने ढंग से दिए गए सकारात्मक से, ऐसे प्राकृतिक को निर्धारित करने में सक्षम थे एनवह असमानता सभी नंबरों के लिए प्रदर्शन किया गया n>एन. इससे सिद्ध होता है कि 2 एक सामान्य पद वाले अनुक्रम की सीमा है।

विशेष रुचि मोनोटोनिक और सीमित अनुक्रम हैं।

परिभाषा: नीरस रूप से बढ़ रहा है,अगर सबके सामने एनइसका प्रत्येक सदस्य पिछले वाले से बड़ा है, अर्थात्। यदि, और यदि इसका प्रत्येक पद पिछले एक से कम है, तो नीरस रूप से घट रहा है। .

उदाहरण 9.प्राकृत संख्याओं का अनुक्रम 1,2,3,…., एन,… - नीरस रूप से बढ़ रहा है।

उदाहरण 10. संख्याओं का अनुक्रम, प्राकृतिक संख्याओं का व्युत्क्रम, - नीरस रूप से घट रहा है।

परिभाषा:अनुक्रम कहा जाता है सीमित,यदि इसके सभी पद एक परिमित अंतराल में हैं (-एम,+एम)और एम>0, अर्थात। यदि, किसी भी संख्या के लिए एन.

उदाहरण 11. परिणाम को (xn), कहाँ एक्स एनवहाँ है एनसंख्या का दशमलव स्थान सीमित है, क्योंकि .

उदाहरण 12. अनुक्रम सीमित है क्योंकि.

चरों के मूल गुण और उनकी सीमाएँ

1) यदि (परिवर्तनीय एक्सअपरिवर्तनीय और स्थिर के बराबर ए), तो यह मान लेना स्वाभाविक है कि और . अर्थात्, किसी स्थिरांक की सीमा स्वयं के बराबर होती है:

2) यदि , और एऔर बीतो फिर, परिमित हैं . वह है

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, उच्च व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षिक संस्थान "राष्ट्रीय अनुसंधान टॉम्स्क पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय" एल.आई. समोचेर्नोवा उच्च गणित भाग II टॉम्स्क पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय के संपादकीय और प्रकाशन परिषद द्वारा पाठ्यपुस्तक के रूप में अनुशंसित दूसरा संस्करण, टॉम्स्क पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय का संशोधित प्रकाशन गृह 2005 यूडीसी 514.12 सी17 समोचेर्नोवा एल.आई. C17 उच्च गणित. भाग II: पाठ्यपुस्तक / एल.आई. समो-चेर्नोवा; टॉम्स्क पॉलिटेक्निक विश्वविद्यालय। - दूसरा संस्करण, रेव। - टॉम्स्क: टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2005। - 164 पी। पाठ्यपुस्तक में उच्च गणित के तीन खंड शामिल हैं: 1) गणितीय विश्लेषण का परिचय (एक अनुक्रम और एक फ़ंक्शन की सीमा, अतिसूक्ष्म और असीम रूप से बड़ी मात्राएं, अतिसूक्ष्म की तुलना, किसी फ़ंक्शन की निरंतरता, असंततता बिंदु); 2) एक चर के फ़ंक्शन का विभेदक कैलकुलस (फ़ंक्शन का व्युत्पन्न और अंतर, फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए डिफरेंशियल कैलकुलस का अनुप्रयोग); 3) अभिन्न कलन (अनिश्चित अभिन्न, निश्चित अभिन्न, निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अनुप्रयोग)। मैनुअल एप्लाइड गणित विभाग में तैयार किया गया था और यह 080400 "मानव संसाधन प्रबंधन", 080200 "प्रबंधन", 080100 "अर्थशास्त्र", 100700 "ट्रेडिंग" क्षेत्रों में अध्ययन करने वाले विदेशी शिक्षा के छात्रों के लिए है। यूडीसी 514.12 समीक्षक भौतिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, टीएसयू के बीजगणित विभाग के एसोसिएट प्रोफेसर एस.वाई.ए. ग्रिंशपोन तकनीकी विज्ञान के उम्मीदवार, TUSUR के नियंत्रण प्रणाली संकाय के एसोसिएट प्रोफेसर ए.आई. कोचेगुरोव © टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी, 2005 © समोचेर्नोवा एल.आई., 2005 © डिज़ाइन। टॉम्स्क पॉलिटेक्निक यूनिवर्सिटी पब्लिशिंग हाउस, 2005 2 1. गणितीय विश्लेषण का परिचय 1.1. एक संख्यात्मक अनुक्रम और इसकी सीमा परिभाषा 1. यदि, किसी कानून के अनुसार, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n एक अच्छी तरह से परिभाषित संख्या xn से जुड़ी है, तो हम कहते हैं कि एक संख्यात्मक अनुक्रम (xn) दिया गया है: x1,x2, x3,। ..,xn,... (1.1) दूसरे शब्दों में, एक संख्या अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है: xn = f(n)। किसी अनुक्रम को बनाने वाली संख्याएँ उसके पद कहलाती हैं, और xn अनुक्रम का उभयनिष्ठ या nवाँ पद है। संख्या अनुक्रम का उदाहरण: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... इस अनुक्रम के लिए x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n का एक सामान्य सदस्य है सम संख्याओं का क्रम. n उदाहरण 1. अनुक्रम का सामान्य पद xn = जानकर, इसके प्रथम पाँच पद n+2 लिखिए। समाधान। n का मान 1, 2, 3, 4, 5 देने पर हमें 1 2 3 4 5 x1 = मिलता है; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n सामान्य तौर पर, एक सामान्य पद xn = वाला अनुक्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 ध्यान दें कि चूंकि xn =f(n) एक फ़ंक्शन है, यानी, आम तौर पर बोलना, एक परिवर्तनीय मात्रा है, तो सुविधा के लिए हम अक्सर फ़ंक्शन xn को एक परिवर्तनीय मात्रा, या बस एक चर xn कहेंगे। परिबद्ध और असंबद्ध अनुक्रम परिभाषा 2. एक अनुक्रम (xn) को ऊपर (नीचे से) परिबद्ध कहा जाता है यदि कोई वास्तविक संख्या M (संख्या m) है जैसे कि अनुक्रम (xn) का प्रत्येक तत्व xn असमानता xn ≤ M को संतुष्ट करता है xn ≥ एम). इस मामले में, संख्या M (संख्या m) को अनुक्रम (xn) की ऊपरी सीमा (निचली सीमा) कहा जाता है, और असमानता xn ≤ M (xn ≥ m) को अनुक्रम के ऊपर से बंधे होने की स्थिति कहा जाता है। (नीचे की ओर से)। 3 परिभाषा 3. एक अनुक्रम को दोनों तरफ से घिरा हुआ कहा जाता है, या बस घिरा हुआ कहा जाता है, अगर यह ऊपर और नीचे दोनों तरफ घिरा हुआ है, यानी, यदि संख्याएं एम और एम हैं जैसे कि इस अनुक्रम का कोई भी तत्व xn असमानताओं को संतुष्ट करता है: एम ≤ xn ≤ एम. यदि एक अनुक्रम (xn) परिबद्ध है और M और m इसकी ऊपरी और निचली सीमाएँ हैं, तो इस अनुक्रम के सभी तत्व असमानता xn ≤ A, (1.2) को संतुष्ट करते हैं जहाँ A दो संख्याओं में अधिकतम है |M| और |एम|. इसके विपरीत, यदि अनुक्रम (xn) के सभी तत्व असमानता (1.2) को संतुष्ट करते हैं, तो असमानताएँ - A ≤ xn ≤ A भी कायम रहती हैं और, इसलिए, अनुक्रम (xn) परिबद्ध होता है। इस प्रकार, असमानता (1.2) किसी अनुक्रम की सीमा की स्थिति का दूसरा रूप है। आइए हम असीमित अनुक्रम की अवधारणा को स्पष्ट करें। एक अनुक्रम (xn) को अनबाउंड कहा जाता है यदि किसी सकारात्मक संख्या A के लिए इस अनुक्रम का एक तत्व xn है जो असमानता xn > A को संतुष्ट करता है। 2n उदाहरण: 1. एक सामान्य पद xn = (− 1)n syn 3n n +1 वाला अनुक्रम परिबद्ध है, क्योंकि सभी n के लिए असमानता 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ पाप 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), तो अनुक्रम (xn) को बढ़ना (घटना) कहा जाता है। बढ़ते और घटते क्रम को सख्ती से मोनोटोनिक भी कहा जाता है। उदाहरण 2. विषम संख्याओं का क्रम 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ..., जहां xn = 2n - 1, एकरस रूप से बढ़ रहा है। 4 दरअसल, xn +1 - xn = - (2n - 1) = 2, इसलिए xn +1 - xn > 0, यानी सभी n के लिए xn +1 > xn। एक अनुक्रम की सीमा आइए हम गणितीय विश्लेषण की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक को परिभाषित करें - एक अनुक्रम की सीमा, या, जो समान है, अनुक्रम x1,x2,...,xn, के माध्यम से चलने वाले एक चर xn की सीमा। ...परिभाषा 5. एक स्थिर संख्या a को सीमा अनुक्रम x1,x2 ,...,xn ,... या चर xn की सीमा कहा जाता है, यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी सकारात्मक संख्या ε के लिए कोई प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट कर सकता है एन ऐसा है कि अनुक्रम के सभी सदस्यों के लिए संख्या n>N के साथ आप - असमानता xn - a पूरी हो जाती है< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >एन असमानता (1.3) संतुष्ट होगी, जिसमें हमें ए =1 लेना होगा; n xn = , अर्थात असमानता n +1 n 1−< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. नतीजतन, N को (1/ε - 1) में निहित सबसे बड़ा पूर्णांक माना जा सकता है, यानी E(1/ε - 1)। तब सभी n >N के लिए असमानता (1.4) संतुष्ट हो जाएगी। यदि यह पता चलता है कि E(1/ε – 1) ≤ 0, तो N को 1 के बराबर लिया जा सकता है। चूँकि ε को मनमाने ढंग से लिया गया था, इससे साबित होता है कि 1 एक सामान्य पद xn = n /( के साथ अनुक्रम की सीमा है एन + 1) . विशेष रूप से, यदि ε = 0.01, तो एन = ई (1 / 0.01 - 1) = ई (100 - 1) = 99; यदि ε=1/2, तो N=E (1 / 0.5 − 1)=1, आदि। ε के विभिन्न मूल्यों के लिए इस तरह से चुना गया N सबसे छोटा संभव होगा। संख्या अनुक्रम की सीमा की ज्यामितीय व्याख्या संख्या अनुक्रम (1.1) को एक रेखा पर बिंदुओं का अनुक्रम माना जा सकता है। उसी तरह, हम एक सीमा के बारे में एक रेखा पर एक बिंदु के रूप में बात कर सकते हैं। चूंकि असमानता xn − a< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N दिए गए पड़ोस में आएगा। आइए संख्याओं a, a – ε, a + ε और चर xn के मानों को संख्या अक्ष पर बिंदुओं के रूप में निरूपित करें (चित्र 1)। शर्त n > N के तहत असमानता (1.3) की पूर्ति का ज्यामितीय अर्थ यह है कि बिंदु x N +1 से शुरू होने वाले सभी बिंदु xn, अर्थात उस बिंदु से जिसका सूचकांक कुछ प्राकृतिक संख्या N से अधिक है, निश्चित रूप से ε- में स्थित होंगे। पड़ोस बिंदु ए. इस पड़ोस के बाहर, भले ही बिंदु xn हों, उनकी केवल एक सीमित संख्या होगी। चावल। 1 एक मोनोटोन अनुक्रम प्रमेय के अभिसरण के लिए परीक्षण 1. नीचे (ऊपर से) से घिरे प्रत्येक गैर-बढ़ते (गैर-घटते) अनुक्रम (xn) या चर xn की एक सीमा होती है। 6 1.2. अपरिमित रूप से छोटी और अपरिमित रूप से बड़ी मात्राएँ परिभाषा 1. एक चर xn को इनफिनिटसिमल कहा जाता है यदि इसकी सीमा शून्य के बराबर हो। सीमा की परिभाषा के बाद, हम कह सकते हैं कि xn अतिसूक्ष्म होगा यदि किसी मनमाने ढंग से छोटे ε > 0 के लिए N इस प्रकार हो कि सभी n > N के लिए असमानता xn हो< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. एक अतिसूक्ष्म के उदाहरण चर हैं 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n q के लिए< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. असमानता से xn = =< ε полу- n n чаем n >1/ε. यदि हम N = E(1/ε) लेते हैं, तो n > N के लिए हमारे पास xn होगा< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 हम एक प्राकृतिक संख्या N को इस प्रकार निर्दिष्ट कर सकते हैं कि सभी संख्याओं n > N के लिए असमानता xn > M कायम रहे। दूसरे शब्दों में, एक चर xn को असीम रूप से बड़ा कहा जाता है, यदि, एक निश्चित संख्या से शुरू होकर, यह बाद की सभी संख्याओं के लिए बन जाता है और बना रहता है किसी भी पूर्व निर्धारित धनात्मक संख्या M से निरपेक्ष मान में अधिक हैं। कहा जाता है कि एक असीम रूप से बड़े चर xn की प्रवृत्ति अनंत तक होती है या इसकी अनंत सीमा होती है, और वे लिखते हैं: xn → ∞ या lim xn = ∞। n →∞ n →∞ 7 एक नई अवधारणा - "अनंत सीमा" के परिचय के संबंध में - हम पहले से परिभाषित अर्थ में एक सीमा को एक सीमित सीमा कहने पर सहमत हैं। उदाहरण 2. मात्रा xn = (− 1)n ⋅ n, क्रमिक मान -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n लेते हुए, K असीम रूप से बड़ी है। दरअसल, xn = (− 1)n n = n . यहाँ से यह स्पष्ट है कि, संख्या M जो भी हो, सभी n के लिए, कुछ से शुरू करके, xn = n > M होगा, अर्थात, lim xn = ∞। n →∞ परिभाषा 3. एक परिवर्तनीय मात्रा xn को एक सकारात्मक अनंत बड़ी मात्रा कहा जाता है यदि किसी संख्या M के लिए कोई प्राकृतिक संख्या N निर्दिष्ट कर सकता है जैसे कि सभी संख्याओं n > N के लिए असमानता xn > M कायम रहती है। इस मामले में, चर कहा जाता है कि मात्रा xn प्लस अनंत की ओर जाती है और प्रतीकात्मक रूप से इसे इस तरह लिखें: xn → +∞ या lim xn = +∞। n→∞ n →∞ परिभाषा 4. एक चर xn को एक ऋणात्मक असीम बड़ी मात्रा कहा जाता है यदि किसी संख्या M के लिए कोई एक प्राकृतिक संख्या N निर्दिष्ट कर सकता है जैसे कि सभी n > N के लिए असमानता xn कायम रहती है<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) निर्देशांक के मूल में केंद्र के साथ, बिंदु xn, एक अनंत बड़ी मात्रा के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है, पर्याप्त बड़ी संख्या n के साथ संकेतित खंड के बाहर होगा और n में और वृद्धि के साथ इसके बाहर रहेगा ( अंक 2)। इसके अलावा, यदि xn एक सकारात्मक (नकारात्मक) असीम रूप से बड़ी मात्रा है, तो इसके मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने वाला बिंदु मूल के दाईं (बाएं) तरफ निर्दिष्ट खंड के बाहर पर्याप्त बड़ी संख्या n के लिए होगा। चावल। 2 8 टिप्पणियाँ 2. 1. प्रतीक ∞, + ∞, − ∞ संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि केवल अंकन को सरल बनाने और इस तथ्य को संक्षेप में व्यक्त करने के लिए पेश किए गए हैं कि एक चर अनंत रूप से बड़ा है, सकारात्मक अनंत रूप से बड़ा है और नकारात्मक अनंत रूप से बड़ा है। यह दृढ़ता से याद रखना चाहिए कि इन प्रतीकों पर कोई अंकगणितीय ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है! 2. आप किसी स्थिरांक बहुत बड़ी संख्या को अपरिमित रूप से बड़े मान के साथ नहीं मिला सकते। अपरिमित रूप से बड़ी और अपरिमित मात्राओं के बीच संबंध प्रमेय 1. मान लीजिए xn ≠0 (किसी भी n के लिए)। यदि xn अपरिमित रूप से बड़ा है, तो yn = 1 / xn अपरिमित रूप से छोटा है; यदि xn अपरिमित रूप से छोटा है, तो yn = 1 / xn अपरिमित रूप से बड़ा है। 1.3. परिवर्तनीय मात्राओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ। चरों (अनुक्रमों) की सीमाओं पर बुनियादी प्रमेय आइए हम चरों पर अंकगणितीय संक्रियाओं की अवधारणा का परिचय दें। आइए क्रमशः निम्नलिखित मान लेते हुए दो चर मात्राएँ xn और yn लें: x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... दो दिए गए चर xn और yn के योग को एक चर के रूप में समझा जाता है, जिसका प्रत्येक मान चर xn और yn के संगत (समान संख्याओं के साथ) मानों के योग के बराबर होता है, यानी एक चर लेने वाला चर मानों का क्रम x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K इस वेरिएबल को हम xn + yn से निरूपित करेंगे। किसी भी संख्या में चरों का योग, उनका उत्पाद, साथ ही दो चरों का अंतर और उनका भागफल समान रूप से निर्धारित किया जाता है। इस प्रकार, नए चर उत्पन्न होते हैं: xn + y n, xn - y n, xn ⋅ y n और x n / y n। (बाद वाले मामले में, यह माना जाता है कि, कम से कम किसी संख्या से, yn ≠0, और भागफल xn / yn को केवल ऐसी संख्याओं के लिए माना जाता है)। इसी प्रकार, ये परिभाषाएँ अनुक्रम के संदर्भ में तैयार की गई हैं। चरों की सीमाओं पर 9 प्रमेय प्रमेय 1. चर xn की केवल एक ही सीमा हो सकती है। उन चरों के बीच एक संबंध है जिनकी एक सीमा होती है और अनंत मात्राएँ होती हैं। प्रमेय 2. एक परिवर्तनशील मात्रा जिसकी एक सीमा होती है उसे उसकी सीमा और कुछ अतिसूक्ष्म मात्रा के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रमेय 3 (प्रमेय 2 के विपरीत)। यदि चर xn को दो पदों xn = a + α n के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, (1.5) जहां a एक निश्चित संख्या है और α n एक अनंत लघु है, तो a चर xn की सीमा है। प्रमेय 4. यदि एक चर xn की एक परिमित सीमा है, तो यह परिबद्ध है। परिणाम। एक अतिसूक्ष्म चर सीमित है। लेम्मा 1. किसी भी (लेकिन सीमित) अनंत मात्राओं की संख्या का बीजगणितीय योग भी एक अनंत छोटी मात्रा है। लेम्मा 2. एक परिबद्ध चर xn और एक अतिसूक्ष्म α n का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म मात्रा है। परिणाम 1. अतिसूक्ष्म मात्राओं की किसी भी परिमित संख्या का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म मात्रा को दर्शाता है। उपफल 2. एक स्थिर मात्रा और एक अतिसूक्ष्म मात्रा का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म मात्रा है। उपफल 3. सीमा की ओर प्रवृत्त एक परिवर्तनशील मात्रा और एक अतिसूक्ष्म मात्रा का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म मात्रा है। लेम्मास 1 और 2 का उपयोग करके, हम सीमाओं के बारे में निम्नलिखित प्रमेयों को सिद्ध कर सकते हैं। प्रमेय 5. यदि चर xn और yn की परिमित सीमाएँ हैं, तो उनके योग, अंतर, उत्पाद की भी परिमित सीमाएँ हैं, और: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) लिम (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn। n→∞ n→∞ n→∞ टिप्पणी 1. यह प्रमेय किसी भी निश्चित संख्या में पदों और कारकों के लिए सत्य है। परिणाम। स्थिर कारक को सीमा के चिह्न से परे ले जाया जा सकता है, अर्थात lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ जहां c कुछ स्थिरांक है। प्रमेय 6. यदि चर xn और yn की परिमित सीमाएँ हैं और yn ≠0, lim yn ≠ 0 है, तो इन चरों के भागफल की भी एक सीमा है, और n →∞ 10

संख्या क्रम.

चर एक संख्या अनुक्रम के माध्यम से चल रहा है

यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए एनएक वास्तविक नंबर सौंपा गया एक्स एन, अर्थात।

1, 2, 3, 4, …, एन, …

एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , एक्स 4 , …, एक्स एन , …

फिर वे कहते हैं कि एक सामान्य पद के साथ एक संख्या अनुक्रम दिया गया है एक्स एन. आगे हम कहेंगे कि वेरिएबल दिया गया है एक्स, एक सामान्य पद के साथ एक संख्या अनुक्रम के माध्यम से चल रहा है एक्स एन. इस मामले में, हम इस चर को निरूपित करेंगे एक्स एन. परिवर्तनशील मान एक्स एनसंख्या अक्ष पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, चर दिए गए:

: या ;

: 1, 4, 6, …, 2एन ..

संख्या एबुलाया चर x n की सीमा , यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या ε > 0 के लिए ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या है एन एक्स एन, किसका नंबर एनअधिक संख्या एन, असमानता को संतुष्ट करें।

इस तथ्य को प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार लिखा गया है:

ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि बिंदु चर के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं एक्स एन, गाढ़ा होना, एक बिंदु के आसपास जमा होना ए.

ध्यान दें कि यदि किसी चर की कोई सीमा है, तो वह एकमात्र सीमा है। किसी स्थिरांक की सीमा स्वयं स्थिरांक होती है, अर्थात , अगर सी = स्थिरांक. एक चर की कोई सीमा नहीं हो सकती है।

उदाहरण के लिए, परिवर्तनशील एक्स एन =(-1) एनइसकी कोई सीमा नहीं है, अर्थात ऐसी कोई एक संख्या नहीं है जिसके चारों ओर किसी चर के मान एकत्रित होते हों। ज्यामितीय रूप से यह स्पष्ट है .

प्रतिबंधित चर

चर एक्स एनबुलाया सीमित , यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद है एम> 0, जो | एक्स एन| < एमसभी नंबरों के लिए एन।

एक वैरिएबल दिया गया है. एक संख्या के रूप में एमउदाहरण के लिए, आप 3 ले सकते हैं। जाहिर है, सभी संख्याओं के लिए एन. इसलिए, एक सीमित चर है.

चर एक्स एन = 2एनअसीमित है, क्योंकि जैसे-जैसे संख्या बढ़ती है एनइसका मान बढ़ जाता है और ऐसी संख्या ज्ञात करना असंभव है एम> 0 से |2 एन| < एमसभी नंबरों के लिए एन.

प्रमेय. यदि किसी चर की एक सीमित सीमा है, तो वह सीमित है.

व्युत्क्रम प्रमेय सत्य नहीं है।

अनन्तिम मात्राएँ

चर एक्स एनबुलाया बहुत छोता , यदि इसकी सीमा 0 है.

उदाहरण के लिए, वे मात्राएँ जो अपरिमित हैं:

क्योंकि ;

क्योंकि

मात्रा अनंत नहीं है, यह एक सीमित मात्रा है।

अतिसूक्ष्म संख्याओं की एक सीमित संख्या का योग (अंतर) एक अतिसूक्ष्म मात्रा होती है।

एक अत्यावश्यक मात्रा का एक स्थिर मात्रा या एक अतिसूक्ष्म या एक सीमित सीमा वाली मात्रा का गुणनफल एक अतिसूक्ष्म मात्रा होती है।

असीम रूप से बड़ी मात्रा में

चर एक्स एनबुलाया असीम रूप से बड़ा , यदि किसी मनमाने ढंग से बड़ी संख्या के लिए ए>0, ऐसी एक प्राकृतिक संख्या है एन, कि वेरिएबल के सभी मान एक्स एन, किसका नंबर n>एन, असमानता को संतुष्ट करें।

इस मामले में वे लिखते हैं या.

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चर असीम रूप से बड़े हैं:

एक्स एन = एन 2 : 1,4,9,16,…; एक्स एन = -5एन: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n ×n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

यह देखा जा सकता है कि इन चरों के मूल्यों का परिमाण बिना किसी सीमा के बढ़ता है।

, , .

किसी अपरिमित रूप से बड़े द्वारा अपरिमित रूप से बड़े या किसी सीमा वाली मात्रा का गुणनफल अपरिमित रूप से बड़ी मात्रा होती है।

एक चिन्ह की अपरिमित रूप से बड़ी संख्याओं का योग अपरिमित रूप से बड़ा होता है।

अपरिमित रूप से बड़े का व्युत्क्रम है बहुत छोता.

एक अतिसूक्ष्म का व्युत्क्रम एक अपरिमित रूप से बड़ा होता है।

टिप्पणी।

अगर , ए- संख्या, फिर वे ऐसा कहते हैं एक्स एनयह है परिमितसीमा.

यदि , तो वे ऐसा कहते हैं एक्स एनयह है अनंतसीमा.

चरों पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

यदि चर एक्स एनऔर Y nपरिमित सीमाएँ हैं, तो उनके योग, अंतर, उत्पाद और भागफल की भी परिमित सीमाएँ हैं, और यदि और तब

(4.3)

टिप्पणी: , सी = स्थिरांक.

अचर गुणनखंड को सीमा चिन्ह से परे ले जाया जा सकता है।

समारोह

मान लीजिए दो वेरिएबल दिए गए हैं एक्सऔर य.

चर यबुलाया समारोह परिवर्तनशील से एक्स, यदि प्रत्येक मान एक्सएक निश्चित सेट से, एक निश्चित कानून के अनुसार, एक निश्चित मूल्य मेल खाता है य.

जिसमें एक्सबुलाया स्वतंत्र चरया तर्क , y - आश्रित चरया समारोह . संकेतक: वाई = एफ(एक्स)या y=y(x).

सीमा उच्च गणित की सबसे मौलिक अवधारणाओं में से एक है। इस अध्याय में हम दो मुख्य प्रकार की सीमाओं को देखेंगे: 1) एक चर की सीमा; 2) फ़ंक्शन की सीमा.

होने देना एक्स – परिवर्तनीय मान. इसका मतलब यह है कि मूल्य एक्सअपना अर्थ बदल देता है. यही बात इसे मौलिक रूप से किसी से अलग बनाती है नियत मान ए, जो इसके अपरिवर्तित मूल्य को नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, एक खंभे की ऊंचाई एक स्थिर मान है, लेकिन एक जीवित बढ़ते पेड़ की ऊंचाई एक परिवर्तनीय मान है।

परिवर्तनीय मान एक्सयदि अनुक्रम दिया गया है तो दिया हुआ माना जाता है

इसके अर्थ. यानि वो मूल्य एक्स 1; एक्स 2; एक्स 3;..., जिसे वह लगातार, एक के बाद एक, अपने परिवर्तन की प्रक्रिया में स्वीकार करता है। हम यह मान लेंगे कि परिमाण के हिसाब से यह परिवर्तन की प्रक्रिया है एक्सइसके मान किसी भी स्तर (चर) पर नहीं रुकते एक्सयह कभी नहीं जमता, यह "हमेशा जीवित रहता है")। इसका मतलब यह है कि अनुक्रम (1.1) में अनंत संख्या में मान हैं, जो एक दीर्घवृत्त द्वारा (1.1) में चिह्नित है।

स्वाभाविक रूप से, परिमाण में परिवर्तन की प्रकृति के संबंध में रुचि पैदा होती है एक्सउनके अर्थ। यानी सवाल उठता है: क्या ये मूल्य अव्यवस्थित रूप से, अराजक रूप से या किसी तरह उद्देश्यपूर्ण तरीके से बदलते हैं?

निस्संदेह, मुख्य रुचि दूसरा विकल्प है। अर्थात्, मान दें Xn चर एक्सजैसे-जैसे उनकी संख्या बढ़ती जाती है एनअनिश्चित काल तक आ रहे हैं ( कोशिश करना) कुछ विशिष्ट संख्या के लिए ए. इसका मतलब है कि मूल्यों के बीच का अंतर (दूरी)। Xn चर एक्सऔर संख्या एअनुबंध, जैसे-जैसे यह बढ़ता है, प्रवृत्त होता है एन(at ) से शून्य। "चाहता है" शब्द को एक तीर से प्रतिस्थापित करते हुए, उपरोक्त को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

पर<=>(1.2) पर

यदि (1.2) कायम है, तो हम ऐसा कहते हैं चर x संख्या a की ओर प्रवृत्त होता है. यह नंबर एबुलाया चर की सीमाएक्स. और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

<=> (1.3)

पढ़ता है: आप LIMITएक्सके बराबर होती हैए (एक्सके लिए प्रयास करता हैए).

आकांक्षा चर एक्सआपकी सीमा तक ए किसी संख्या अक्ष पर स्पष्ट रूप से चित्रित किया जा सकता है। इस चाहत का सटीक गणितीय अर्थ एक्सको एक्या यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई सकारात्मक संख्या कितनी छोटी है, और इसलिए कोई फर्क नहीं पड़ता कि अंतराल कितना छोटा है न ही संख्या को संख्या रेखा पर घेरें ए, इस अंतराल में (संख्या के तथाकथित -पड़ोस में ए) एक निश्चित संख्या से शुरू होकर हिट होगा एन, सभी मूल्य Xn चर एक्स. विशेष रूप से, चित्र में. संख्या के चित्रित पड़ोस में 3.1 एसारे मान मिल गए Xn चर एक्स, संख्या से प्रारंभ करते हुए .

चर एक्सइसकी सीमा के रूप में शून्य होना (अर्थात् शून्य की ओर प्रवृत्त होना) कहलाता है बहुत छोता. एक परिवर्तनीय एक्स, निरपेक्ष मूल्य में बिना किसी सीमा के बढ़ना कहलाता है असीम रूप से विशाल(इसका मापांक अनंत की ओर प्रवृत्त होता है)।

तो, यदि, तो एक्सएक अतिसूक्ष्म परिवर्तनशील मात्रा है, और यदि, तो एक्स- एक असीम रूप से बड़ी परिवर्तनीय मात्रा। विशेष रूप से, यदि या , तो एक्स- एक असीम रूप से बड़ी परिवर्तनीय मात्रा।

तो अगर . और इसके विपरीत यदि , वह । यहां से हमें वेरिएबल के बीच निम्नलिखित महत्वपूर्ण संबंध मिलते हैं एक्सऔर इसकी सीमा ए:

ध्यान दें कि हर चर नहीं एक्सएक सीमा है. कई चरों की कोई सीमा नहीं होती. इसका अस्तित्व है या नहीं यह इस बात पर निर्भर करता है कि इस चर के मानों का क्रम (1.1) क्या है।

उदाहरण 1 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, वह है।

उदाहरण 2 . होने देना

एक्स-अतिसूक्ष्म.

उदाहरण 3 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, वह है। तो परिवर्तनशील एक्स– असीम रूप से बड़ा.

उदाहरण 4 . होने देना

यहाँ, जाहिर है, परिवर्तनशील एक्सकिसी भी चीज़ के लिए प्रयास नहीं करता. अर्थात इसकी कोई सीमा नहीं है (अस्तित्व में नहीं है)।

उदाहरण 5 . होने देना

यहाँ चर की सीमा के साथ स्थिति है एक्सपिछले चार उदाहरणों की तरह स्पष्ट नहीं है। इस स्थिति को स्पष्ट करने के लिए, आइए मूल्यों को बदलें Xnचर एक्स:

जाहिर है, पर. मतलब,

पर ।

और इसका मतलब यह है कि, वह है।

उदाहरण 6 . होने देना

यहाँ अनुक्रम ( Xn) परिवर्तनशील मान एक्सहर के साथ एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है क्यू. इसलिए, चर की सीमा एक्सअनंत ज्यामितीय प्रगति की सीमा है।

ए) यदि , तो , जाहिर है , पर . और इसका मतलब यह है कि ()।