गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा पर संभाव्यता सिद्धांत को संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा पर सरल कार्यों के रूप में और संबंधित प्रमेयों के अनुप्रयोग पर काफी जटिल कार्यों के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

इस भाग में, हम उन समस्याओं पर विचार करेंगे जिनके लिए संभाव्यता की परिभाषा का उपयोग करना पर्याप्त है। कभी-कभी यहां हम विपरीत घटना की संभावना की गणना के लिए एक सूत्र का भी उपयोग करेंगे। यद्यपि आप यहां इस सूत्र के बिना भी काम कर सकते हैं, फिर भी निम्नलिखित समस्याओं को हल करते समय आपको इसकी आवश्यकता होगी।

सैद्धांतिक भाग

रैंडम एक ऐसी घटना है जो किसी अवलोकन या परीक्षण के दौरान घटित हो भी सकती है और नहीं भी (पहले से भविष्यवाणी करना असंभव)।

परीक्षा आयोजित करते समय (सिक्का या पासा फेंकना, परीक्षा कार्ड बनाना, आदि) समान रूप से संभावित परिणाम होने दें। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालते समय सभी परिणामों की संख्या 2 होती है, क्योंकि चित या पट के अलावा कोई अन्य परिणाम नहीं हो सकता है। एक पासा फेंकते समय, 6 परिणाम संभव हैं, क्योंकि 1 से 6 तक की कोई भी संख्या पासे के शीर्ष पर प्रदर्शित होना समान रूप से संभव है। मान लीजिए कि कुछ घटना ए को परिणामों द्वारा अनुकूल बनाया गया है।

घटना ए की संभावना इस घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और समान रूप से संभावित परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है (यह संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा है)। हम लिखते हैं

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि घटना A में पासा फेंकते समय विषम संख्या में अंक प्राप्त होते हैं। कुल 6 संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6 घन के शीर्ष पृष्ठ पर प्रदर्शित होते हैं। इस मामले में, 1, 3, 5 प्रदर्शित होने वाले परिणाम घटना ए के लिए अनुकूल हैं। इस प्रकार, .

ध्यान दें कि दोहरी असमानता हमेशा संतुष्ट होती है, इसलिए किसी भी घटना ए की संभावना अंतराल पर होती है, अर्थात . यदि आपके उत्तर की संभावना एक से अधिक है, तो इसका मतलब है कि आपने कहीं गलती की है और समाधान की दोबारा जांच करने की आवश्यकता है।

घटनाएँ A और B कहलाती हैं विलोमयदि कोई परिणाम उनमें से किसी एक के लिए अनुकूल है तो एक-दूसरे के साथ।

उदाहरण के लिए, पासा फेंकते समय, घटना "एक विषम संख्या फेंकी जाती है" घटना "एक सम संख्या फेंकी जाती है" के विपरीत होती है।

घटना A के विपरीत घटना निर्दिष्ट है। विपरीत घटनाओं की परिभाषा से यह निम्नानुसार है
, मतलब,
.

किसी सेट से ऑब्जेक्ट चुनने में समस्याएँ

कार्य 1।विश्व चैम्पियनशिप में 24 टीमें भाग ले रही हैं। लॉट का उपयोग करके, उन्हें छह-छह टीमों के चार समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता है। बॉक्स में समूह संख्या मिश्रित कार्ड हैं:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

टीम के कप्तान एक-एक कार्ड निकालते हैं। क्या संभावना है कि रूसी टीम तीसरे समूह में होगी?

परिणामों की कुल संख्या कार्डों की संख्या के बराबर है - उनमें से 24 हैं। 6 अनुकूल परिणाम हैं (चूंकि संख्या 3 छह कार्डों पर लिखा है)। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है .

उत्तर: 0.25.

कार्य 2.एक कलश में 14 लाल, 9 पीली और 7 हरी गेंदें हैं। कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह गेंद पीली होगी?

परिणामों की कुल संख्या गेंदों की संख्या के बराबर है: 14 + 9 + 7 = 30। इस घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या 9 है। आवश्यक संभावना बराबर है .

कार्य 3.फ़ोन कीपैड पर 0 से 9 तक 10 संख्याएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि यादृच्छिक रूप से दबाई गई संख्या सम होगी और 5 से बड़ी होगी?

यहां परिणाम एक निश्चित कुंजी दबा रहा है, इसलिए कुल 10 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। निर्दिष्ट घटना को उन परिणामों द्वारा इष्ट किया जाता है जिनका अर्थ है कुंजी 6 या 8 दबाना। ऐसे दो परिणाम हैं। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.2.

समस्या 4. इसकी क्या प्रायिकता है कि 4 से 23 तक की यादृच्छिक रूप से चुनी गई प्राकृतिक संख्या तीन से विभाज्य है?

4 से 23 तक के खंड में 23 - 4 + 1 = 20 प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 20 संभावित परिणाम हैं। इस खंड पर, निम्नलिखित संख्याएँ तीन के गुणज हैं: 6, 9, 12, 15, 18, 21। कुल मिलाकर ऐसी 6 संख्याएँ हैं, इसलिए विचाराधीन घटना 6 परिणामों द्वारा समर्थित है। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है .

उत्तर: 0.3.

कार्य 5.परीक्षा में पेश किए गए 20 टिकटों में से, छात्र केवल 17 का उत्तर दे सकता है। इसकी क्या संभावना है कि छात्र यादृच्छिक रूप से चुने गए टिकट का उत्तर नहीं दे पाएगा?

पहली विधि.

चूँकि एक छात्र 17 टिकटों का उत्तर दे सकता है, वह 3 टिकटों का उत्तर नहीं दे सकता। इनमें से एक टिकट मिलने की संभावना परिभाषा के अनुसार के बराबर है।

दूसरी विधि.

आइए हम इस घटना को ए से निरूपित करें "छात्र टिकट का उत्तर दे सकता है।" तब । विपरीत घटना की प्रायिकता =1 – 0.85 = 0.15 है।

उत्तर: 0.15.

समस्या 6. लयबद्ध जिमनास्टिक चैंपियनशिप में 20 एथलीट भाग ले रहे हैं: 6 रूस से, 5 जर्मनी से, बाकी फ्रांस से। जिमनास्टों के प्रदर्शन का क्रम लॉटरी द्वारा निर्धारित होता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सातवें स्थान पर प्रतिस्पर्धा करने वाला एथलीट फ्रांस से है।

कुल मिलाकर 20 एथलीट हैं, सभी के पास सातवें स्थान पर प्रतिस्पर्धा करने का समान मौका है। इसलिए, 20 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। फ़्रांस से 20 - 6 - 5 = 9 एथलीट हैं, इसलिए निर्दिष्ट घटना के लिए 9 अनुकूल परिणाम हैं। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.45.

कार्य 7.वैज्ञानिक सम्मेलन 5 दिनों तक आयोजित किया जाता है। कुल 50 रिपोर्टों की योजना बनाई गई है - पहले तीन दिनों में प्रत्येक में 12 रिपोर्टें होती हैं, बाकी को चौथे और पांचवें दिनों के बीच समान रूप से वितरित किया जाता है। रिपोर्टों का क्रम लॉटरी निकालकर निर्धारित किया जाता है। क्या संभावना है कि प्रोफेसर एन की रिपोर्ट सम्मेलन के आखिरी दिन के लिए निर्धारित की जाएगी?

सबसे पहले, आइए जानें कि अंतिम दिन के लिए कितनी रिपोर्ट निर्धारित हैं। पहले तीन दिनों के लिए प्रस्तुतियाँ निर्धारित हैं। अभी भी 50 - 36 = 14 रिपोर्ट शेष हैं, जो शेष दो दिनों के बीच समान रूप से वितरित की जाती हैं, इसलिए अंतिम दिन पर रिपोर्ट निर्धारित हैं।

हम परिणाम को प्रोफेसर एन की रिपोर्ट की क्रम संख्या के रूप में मानेंगे। ऐसे 50 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। ऐसे 7 परिणाम हैं जो निर्दिष्ट घटना के पक्ष में हैं (रिपोर्ट की सूची में अंतिम 7 नंबर)। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.14.

समस्या 8. विमान में आपातकालीन निकास के बगल में 10 सीटें और केबिन को अलग करने वाले विभाजन के पीछे 15 सीटें हैं। बाकी सीटें लंबे यात्रियों के लिए असुविधाजनक हैं। यात्री के. लंबा है. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चेक-इन के समय, यदि एक सीट यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है, तो यात्री K को एक आरामदायक सीट मिलेगी, यदि विमान में 200 सीटें हैं।

इस कार्य में परिणाम स्थान का चुनाव है। कुल 200 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। घटना "चुनी गई जगह सुविधाजनक है" को 15 + 10 = 25 परिणामों द्वारा पसंद किया जाता है। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.125.

समस्या 9. प्लांट में इकट्ठे किए गए 1000 कॉफी ग्राइंडर में से 7 ख़राब थे। एक विशेषज्ञ इन 1000 में से यादृच्छिक रूप से चुने गए एक कॉफी ग्राइंडर का परीक्षण करता है। इस संभावना का पता लगाएं कि परीक्षण किया जा रहा कॉफी ग्राइंडर दोषपूर्ण होगा।

यादृच्छिक रूप से कॉफी ग्राइंडर चुनते समय, 1000 परिणाम संभव हैं; घटना ए के लिए "चयनित कॉफी ग्राइंडर दोषपूर्ण है," 7 परिणाम अनुकूल हैं। संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार.

उत्तर: 0.007.

समस्या 10.संयंत्र रेफ्रिजरेटर का उत्पादन करता है। औसतन, प्रत्येक 100 उच्च-गुणवत्ता वाले रेफ्रिजरेटर के लिए, छिपे हुए दोष वाले 15 रेफ्रिजरेटर होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीदा गया रेफ्रिजरेटर उच्च गुणवत्ता का होगा। परिणाम को सौवें तक पूर्णांकित करें।

यह कार्य पिछले वाले के समान ही है. हालाँकि, सूत्रीकरण "100 उच्च-गुणवत्ता वाले रेफ्रिजरेटर के लिए, 15 दोषपूर्ण हैं" हमें इंगित करता है कि 100 गुणवत्ता वाले टुकड़ों में 15 दोषपूर्ण टुकड़े शामिल नहीं हैं. इसलिए, परिणामों की कुल संख्या 100 + 15 = 115 (रेफ्रिजरेटर की कुल संख्या के बराबर) है, 100 अनुकूल परिणाम हैं। आवश्यक संभावना के बराबर है। किसी भिन्न के अनुमानित मान की गणना करने के लिए कोण विभाजन का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। हमें 0.869 मिलता है... जो 0.87 है।

उत्तर: 0.87.

समस्या 11. टेनिस चैंपियनशिप के पहले दौर की शुरुआत से पहले, प्रतिभागियों को बहुत सारे का उपयोग करके यादृच्छिक रूप से खेलने वाले जोड़े में विभाजित किया जाता है। चैंपियनशिप में कुल मिलाकर 16 टेनिस खिलाड़ी भाग ले रहे हैं, जिनमें मैक्सिम ज़ैतसेव सहित रूस के 7 प्रतिभागी शामिल हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले दौर में मैक्सिम जैतसेव रूस के किसी टेनिस खिलाड़ी के साथ खेलेंगे।

पिछले कार्य की तरह, आपको स्थिति को ध्यान से पढ़ने और समझने की आवश्यकता है कि परिणाम क्या है और अनुकूल परिणाम क्या है (उदाहरण के लिए, संभाव्यता सूत्र के विचारहीन अनुप्रयोग से गलत उत्तर मिलता है)।

यहां परिणाम मैक्सिम जैतसेव का प्रतिद्वंद्वी है। चूँकि कुल 16 टेनिस खिलाड़ी हैं, और मैक्सिम स्वयं के विरुद्ध नहीं खेल सकता है, इसलिए 16 - 1 = 15 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। एक अनुकूल परिणाम रूस का प्रतिद्वंद्वी है। ऐसे 7 - 1 = 6 अनुकूल परिणाम हैं (हम खुद मैक्सिम को रूसियों की संख्या से बाहर करते हैं)। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है।

उत्तर: 0.4.

समस्या 12.फ़ुटबॉल अनुभाग में 33 लोग भाग लेते हैं, उनमें दो भाई - एंटोन और दिमित्री भी शामिल हैं। अनुभाग में भाग लेने वालों को यादृच्छिक रूप से 11 लोगों की तीन टीमों में विभाजित किया गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एंटोन और दिमित्री एक ही टीम में होंगे।

हम एंटोन और दिमित्री से शुरुआत करते हुए खिलाड़ियों को क्रमिक रूप से खाली सीटों पर रखकर टीमें बनाएंगे। सबसे पहले, आइए एंटोन को मुक्त 33 में से यादृच्छिक रूप से चयनित स्थान पर रखें। अब हम दिमित्री को मुक्त स्थान पर रखते हैं (हम उसके लिए स्थान की पसंद को परिणाम मानेंगे)। कुल मिलाकर 32 खाली स्थान हैं (एंटोन ने पहले ही एक ले लिया है), इसलिए कुल मिलाकर 32 संभावित परिणाम हैं। एंटोन की एक ही टीम में 10 खाली स्थान बचे हैं, इसलिए "एंटोन और दिमित्री एक ही टीम में" इवेंट 10 परिणामों के पक्ष में है। इस घटना की प्रायिकता है .

उत्तर: 0.3125.

समस्या 13. बारह घंटे के डायल वाली एक यांत्रिक घड़ी किसी बिंदु पर खराब हो गई और चलना बंद हो गई। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि घंटे की सुई रुकी हुई है, 11 बजे तक पहुंच रही है, लेकिन 2 बजे तक नहीं पहुंच रही है।

परंपरागत रूप से, डायल को 12 सेक्टरों में विभाजित किया जा सकता है, जो आसन्न संख्याओं के निशान (12 और 1, 1 और 2, 2 और 3, ..., 11 और 12 के बीच) के बीच स्थित होते हैं। हम संकेतित क्षेत्रों में से एक में घड़ी की सुई के रुकने के परिणाम पर विचार करेंगे। कुल 12 समान रूप से संभावित परिणाम हैं। इस घटना को तीन परिणामों (सेक्टर 11 और 12, 12 और 1, 1 और 2 के बीच) का समर्थन प्राप्त है। अभीष्ट प्रायिकता बराबर है .

उत्तर: 0.25.

संक्षेप

संभाव्यता सिद्धांत में सरल समस्याओं को हल करने पर सामग्री का अध्ययन करने के बाद, मैं स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों को पूरा करने की सलाह देता हूं, जिसे हम प्रकाशित करते हैं हमारा टेलीग्राम चैनल. आप अपना दर्ज करके यह भी जांच सकते हैं कि वे सही ढंग से पूरे हुए हैं या नहीं दिए गए प्रपत्र में उत्तर।

लेख को सोशल नेटवर्क पर साझा करने के लिए धन्यवाद।

स्रोत “एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी। गणित। संभाव्यता सिद्धांत।" एफ.एफ. द्वारा संपादित लिसेंको, एस.यू. कुलबुखोवा

तुला शहर के शैक्षणिक संस्थान में गणित के शिक्षकों के लिए "अनुभागों से गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों को हल करना: कॉम्बिनेटरिक्स, संभाव्यता सिद्धांत" विषय पर एक कार्यशाला की योजना बनाएं। शिक्षण पद्धति"

समय व्यतीत करना: 12 00 ; 15 00

जगह: एमबीओयू "लिसेयुम नंबर 1", कार्यालय। नंबर 8

मैं। संभाव्यता समस्याओं का समाधान

1. संभाव्यता के शास्त्रीय निर्धारण से जुड़ी समस्याओं का समाधान

हम, शिक्षक के रूप में, पहले से ही जानते हैं कि संभाव्यता सिद्धांत में एकीकृत राज्य परीक्षा में मुख्य प्रकार की समस्याएं संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा पर आधारित हैं। आइये याद करें किसी घटना की प्रायिकता किसे कहते हैं?

घटना की संभावनाकिसी घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या का अनुपात है।

गणित शिक्षकों के हमारे वैज्ञानिक और कार्यप्रणाली संघ ने संभाव्यता समस्याओं को हल करने के लिए एक सामान्य योजना विकसित की है। मैं इसे आपके ध्यान में प्रस्तुत करना चाहूंगा। वैसे, हमने अपना कार्य अनुभव साझा किया, और समस्या समाधान की संयुक्त चर्चा के लिए हमने आपके ध्यान में जो सामग्री दी, उसमें हमने यह आरेख दिया। हालाँकि, मैं इसे आवाज़ देना चाहता हूँ।

हमारी राय में, यह योजना हर चीज़ को तार्किक रूप से टुकड़ों में जल्दी से क्रमबद्ध करने में मदद करती है, और उसके बाद शिक्षक और छात्रों दोनों के लिए समस्या को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है।

इसलिए, मैं निम्नलिखित कार्य का विस्तार से विश्लेषण करना चाहता हूं।

मैं आप लोगों के साथ मिलकर कार्यप्रणाली समझाने के लिए बात करना चाहता था कि बच्चों तक ऐसा समाधान कैसे पहुंचाया जाए, जिससे बच्चे इस विशिष्ट समस्या को समझ सकें, और बाद में वे स्वयं इन समस्याओं को समझ सकें।

इस समस्या में यादृच्छिक प्रयोग क्या है? अब हमें इस प्रयोग में एक प्राथमिक घटना को अलग करने की जरूरत है। यह प्राथमिक घटना क्या है? आइए उन्हें सूचीबद्ध करें।

कार्य के बारे में प्रश्न?

प्रिय साथियों, आपने भी स्पष्ट रूप से पासों के साथ संभाव्यता समस्याओं पर विचार किया होगा। मुझे लगता है कि हमें इसका विश्लेषण करने की जरूरत है, क्योंकि इसकी अपनी बारीकियां हैं। आइए इस समस्या का विश्लेषण उस योजना के अनुसार करें जो हमने आपको प्रस्तावित की थी। चूँकि घन के प्रत्येक तरफ 1 से 6 तक एक संख्या है, तो प्रारंभिक घटनाएँ संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं। हमने पाया कि प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या 6 है। आइए निर्धारित करें कौन सी प्राथमिक घटनाएँ घटना का पक्ष लेती हैं. केवल दो घटनाएँ इस घटना के पक्ष में हैं - 5 और 6 (क्योंकि यह इस शर्त का पालन करता है कि 5 और 6 अंक बाहर होने चाहिए)।

स्पष्ट करें कि सभी प्रारंभिक घटनाएँ समान रूप से संभव हैं। कार्य के बारे में क्या प्रश्न होंगे?

आप कैसे जानते हैं कि एक सिक्का सममित है? आइए इसे सीधे समझें, कभी-कभी कुछ वाक्यांश गलतफहमी पैदा करते हैं। आइए इस समस्या को वैचारिक रूप से समझें। आइए आपके साथ उस प्रयोग को समझें जिसमें बताया गया है कि प्रारंभिक परिणाम क्या हो सकते हैं। क्या आप सभी को पता है कि चित कहाँ है और पट कहाँ है? संभावित ड्रॉपआउट विकल्प क्या हैं? क्या अन्य घटनाएँ भी हैं? आयोजनों की कुल संख्या क्या है? समस्या के अनुसार यह ज्ञात होता है कि सिर ठीक एक बार ऊपर आये। इसका मतलब यह है कि यह घटनाइन चार ओआर और आरओ से प्रारंभिक घटनाएं अनुकूल हैं; यह दो बार नहीं हो सकता है। हम उस सूत्र का उपयोग करते हैं जो किसी घटना की संभावना की गणना करता है। एक अनुस्मारक के रूप में, भाग बी में उत्तर या तो पूर्ण संख्या या दशमलव होना चाहिए।

हम इसे इंटरैक्टिव बोर्ड पर दिखाते हैं। हमने समस्या पढ़ी. इस प्रयोग में प्राथमिक परिणाम क्या है? स्पष्ट करें कि जोड़ी क्रमबद्ध है - अर्थात, संख्या पहले पासे पर और दूसरे पासे पर गिरी। किसी भी समस्या में ऐसे क्षण आते हैं जब आपको तर्कसंगत तरीकों, रूपों को चुनने और समाधान को तालिकाओं, आरेखों आदि के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है। इस समस्या में ऐसी तालिका का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। मैं आपको एक तैयार समाधान दे रहा हूं, लेकिन समाधान के दौरान यह पता चलता है कि इस समस्या में तालिका के रूप में समाधान का उपयोग करना तर्कसंगत है। हम बताते हैं कि तालिका का क्या अर्थ है। आप समझ सकते हैं कि कॉलम 1, 2, 3, 4, 5, 6 क्यों कहते हैं।

आइए एक वर्ग बनाएं. रेखाएँ पहले थ्रो के परिणामों से मेल खाती हैं - उनमें से छह हैं, क्योंकि पासे की छह भुजाएँ हैं। तो कॉलम भी हैं. प्रत्येक सेल में हम खींचे गए बिंदुओं का योग लिखते हैं। हम पूरी तालिका दिखाते हैं. आइए उन कोशिकाओं को रंग दें जहां योग आठ के बराबर है (क्योंकि यह स्थिति में आवश्यक है)।

मेरा मानना ​​है कि अगली समस्या, पिछली समस्याओं का विश्लेषण करने के बाद, बच्चों को स्वयं हल करने के लिए दी जा सकती है।

निम्नलिखित समस्याओं में सभी प्रारंभिक परिणामों को लिखने की आवश्यकता नहीं है। उनकी संख्या गिनना ही काफी है।

(कोई समाधान नहीं) मैंने लोगों को यह समस्या स्वयं हल करने के लिए दी। समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. परिभाषित करें कि एक यादृच्छिक प्रयोग में क्या शामिल है और एक यादृच्छिक घटना क्या है।

2. प्रारंभिक घटनाओं की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

3. समस्या कथन में निर्दिष्ट घटना के अनुकूल घटनाओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

4. सूत्र का उपयोग करके किसी घटना की संभावना ज्ञात करें.

छात्रों से एक प्रश्न पूछा जा सकता है: यदि 1000 बैटरियां बिक्री पर जाती हैं, और उनमें से 6 ख़राब हैं, तो चयनित बैटरी का निर्धारण कैसे किया जाता है? यह हमारे कार्य में क्या है? आगे मैं यह पता लगाने का प्रश्न पूछता हूं कि यहां संख्या के रूप में क्या उपयोग किया जा रहा हैऔर मेरा सुझाव है कि आप इसे ढूंढेंसंख्या. आगे मैं पूछता हूं, यहां क्या कार्यक्रम है? आयोजन में कितने संचायक योगदान करते हैं? आगे, सूत्र का उपयोग करके, हम इस संभावना की गणना करते हैं।

यहां लोगों को दूसरा समाधान पेश किया जा सकता है। आइए चर्चा करें कि यह तरीका क्या हो सकता है?

1. अब हम किस घटना पर विचार कर सकते हैं?

2. किसी घटना की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

लोगों को इन फॉर्मूलों के बारे में बताने की जरूरत है. वे इस प्रकार हैं

आठवीं समस्या बच्चों को स्वयं दी जा सकती है, क्योंकि यह छठी समस्या के समान है। यह उन्हें स्वतंत्र कार्य के रूप में, या बोर्ड के कार्ड पर पेश किया जा सकता है।

वर्तमान में हो रहे ओलंपियाड के संबंध में इस समस्या का समाधान किया जा सकता है। इस तथ्य के बावजूद कि कार्यों में विभिन्न घटनाएँ शामिल हैं, कार्य विशिष्ट हैं।

2. संभावनाओं की गणना के लिए सबसे सरल नियम और सूत्र (विपरीत घटनाएं, घटनाओं का योग, घटनाओं का उत्पाद)

यह एकीकृत राज्य परीक्षा संग्रह से एक कार्य है। हम समाधान को बोर्ड पर प्रदर्शित करते हैं। इस समस्या को समझने के लिए हमें छात्रों से क्या प्रश्न पूछना चाहिए?

1. वहां कितनी मशीनें थीं? यदि दो मशीनें हैं, तो पहले से ही दो घटनाएँ हैं। मैं बच्चों से एक प्रश्न पूछता हूं - आयोजन कैसा होगा?? दूसरा आयोजन क्या होगा?

2. किसी घटना की प्रायिकता है. हमें इसकी गणना करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह शर्त में दिया गया है। समस्या की स्थितियों के अनुसार, "दोनों मशीनों में कॉफी खत्म हो जाएगी" की संभावना 0.12 है। वहाँ इवेंट A था, वहाँ इवेंट B था। और एक नया इवेंट दिखाई देता है? मैं बच्चों से एक प्रश्न पूछता हूं - कौन सा? यह वह घटना है जब दोनों मशीनों में कॉफ़ी ख़त्म हो जाती है। इस मामले में, संभाव्यता सिद्धांत में, यह एक नई घटना है, जिसे दो घटनाओं ए और बी का प्रतिच्छेदन कहा जाता है और इस तरह नामित किया जाता है।

आइए संभाव्यता जोड़ सूत्र का उपयोग करें। सूत्र इस प्रकार है

हम इसे आपको संदर्भ सामग्री में देते हैं और लोगों को यह सूत्र दिया जा सकता है। यह आपको घटनाओं के योग की प्रायिकता ज्ञात करने की अनुमति देता है। हमसे विपरीत घटना की प्रायिकता पूछी गई, जिसकी प्रायिकता सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है।

समस्या 13 घटनाओं के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करती है, जिसकी संभावना ज्ञात करने का सूत्र परिशिष्ट में दिया गया है।

3. संभावित विकल्पों में से एक पेड़ के उपयोग से जुड़ी समस्याएं

समस्या की स्थितियों के आधार पर, एक आरेख बनाना और संकेतित संभावनाओं को खोजना आसान है।

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने में छात्रों की सहायता के लिए आपने किस सैद्धांतिक सामग्री का उपयोग किया? क्या आपने ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए किसी संभावित पेड़ या अन्य तरीकों का उपयोग किया है? क्या आपने ग्राफ़ की अवधारणा दी है? पाँचवीं या छठी कक्षा में बच्चों को ऐसी समस्याएँ होती हैं जिनके विश्लेषण से ग्राफ़ की अवधारणा मिलती है।

मैं आपसे पूछना चाहता हूं कि क्या आपने और आपके छात्रों ने संभाव्यता समस्याओं को हल करते समय संभावित विकल्पों के पेड़ का उपयोग करने पर विचार किया है? तथ्य यह है कि एकीकृत राज्य परीक्षा में न केवल ऐसे कार्य हैं, बल्कि काफी जटिल समस्याएं भी सामने आई हैं जिन्हें अब हम हल करेंगे।

आइए आपके साथ ऐसी समस्याओं को हल करने की पद्धति पर चर्चा करें - यदि यह मेरी पद्धति से मेल खाती है, जैसा कि मैं लोगों को समझाता हूं, तो मेरे लिए आपके साथ काम करना आसान होगा, यदि नहीं, तो मैं इस समस्या से निपटने में आपकी मदद करूंगा।

आइए घटनाओं पर चर्चा करें। समस्या 17 में किन घटनाओं को अलग किया जा सकता है?

किसी समतल पर वृक्ष का निर्माण करते समय एक बिंदु निर्दिष्ट किया जाता है, जिसे वृक्ष की जड़ कहते हैं। आगे हम घटनाओं पर विचार करना शुरू करते हैंऔर। हम एक खंड का निर्माण करेंगे (संभावना सिद्धांत में इसे शाखा कहा जाता है)। शर्त के अनुसार, यह कहा जाता है कि पहली फैक्ट्री इस ब्रांड के 30% मोबाइल फोन का उत्पादन करती है (कौन सा? जो वे उत्पादित करते हैं), जिसका अर्थ है कि फिलहाल मैं छात्रों से पूछ रहा हूं कि पहली फैक्ट्री की संभावना क्या है इस ब्रांड के फोन का उत्पादन, वे जो उत्पादन करते हैं? चूँकि यह घटना पहली फैक्ट्री में एक फ़ोन के रिलीज़ होने की है, इस घटना की संभावना 30% या 0.3 है। शेष फोन दूसरे कारखाने में उत्पादित किए गए थे - हम दूसरे खंड का निर्माण कर रहे हैं, और इस घटना की संभावना 0.7 है।

छात्रों से सवाल पूछा जाता है: पहली फैक्ट्री में किस प्रकार का फोन तैयार किया जा सकता था? दोष सहित या दोष रहित। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहली फ़ैक्टरी द्वारा निर्मित फ़ोन में कोई खराबी है? शर्त कहती है कि यह 0.01 के बराबर है। प्रश्न: इसकी क्या प्रायिकता है कि पहली फ़ैक्टरी द्वारा निर्मित फ़ोन में कोई खराबी न हो? चूंकि यह घटना दी गई घटना के विपरीत है, इसलिए इसकी संभावना बराबर है।

आपको फ़ोन ख़राब होने की प्रायिकता ज्ञात करनी होगी. यह पहली फ़ैक्टरी से हो सकता है, या शायद दूसरी फ़ैक्टरी से। फिर हम संभावनाओं को जोड़ने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं और पाते हैं कि पूरी संभावना उन संभावनाओं का योग है कि खराबी वाला फोन पहली फैक्ट्री से है, और खराबी वाला फोन दूसरी फैक्ट्री से है। हम इस संभावना का पता लगाएंगे कि फोन में कोई खराबी है और इसे संभाव्यता सूत्र के उत्पाद का उपयोग करके पहली फैक्ट्री में उत्पादित किया गया था, जो परिशिष्ट में दिया गया है।

4. संभाव्यता पर एकीकृत राज्य परीक्षा बैंक की सबसे कठिन समस्याओं में से एक

आइए, उदाहरण के लिए, FIPI टास्क बैंक से नंबर 320199 को देखें। यह B6 में सबसे कठिन कार्यों में से एक है।

विशेष "भाषाविज्ञान" के लिए संस्थान में प्रवेश के लिए, आवेदक जेड को तीन विषयों - गणित, रूसी भाषा और एक विदेशी भाषा में से प्रत्येक में एकीकृत राज्य परीक्षा में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे। विशेषता "वाणिज्य" में नामांकन के लिए, आपको तीन विषयों - गणित, रूसी भाषा और सामाजिक अध्ययन में से प्रत्येक में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे।

आवेदक Z को गणित में कम से कम 70 अंक प्राप्त होने की संभावना 0.6, रूसी में - 0.8, विदेशी भाषा में - 0.7 और सामाजिक अध्ययन में - 0.5 है।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि Z. उल्लिखित दो विशिष्टताओं में से कम से कम एक में दाखिला लेने में सक्षम होगा।

ध्यान दें कि समस्या यह नहीं पूछती है कि क्या Z नाम का आवेदक एक साथ भाषाविज्ञान और वाणिज्य दोनों का अध्ययन करेगा और दो डिप्लोमा प्राप्त करेगा। यहां हमें इस संभावना को खोजने की आवश्यकता है कि Z. इन दो विशिष्टताओं में से कम से कम एक में दाखिला लेने में सक्षम होगा - अर्थात, वह आवश्यक संख्या में अंक प्राप्त करेगा।

दो विशिष्टताओं में से कम से कम एक में प्रवेश के लिए, Z. को गणित में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे। और रूसी में. और यह भी - सामाजिक अध्ययन या विदेशी।

उसके गणित में 70 अंक प्राप्त करने की प्रायिकता 0.6 है।

गणित और रूसी में अंक प्राप्त करने की संभावना बराबर है।

आइए विदेशी और सामाजिक अध्ययन से निपटें। हमारे लिए उपयुक्त विकल्प तब हैं जब आवेदक ने सामाजिक अध्ययन, विदेशी अध्ययन या दोनों में अंक अर्जित किए हों। यह विकल्प उपयुक्त नहीं है जब उसने किसी भी भाषा या "समाज" में कोई अंक प्राप्त नहीं किया हो। इसका मतलब यह है कि सामाजिक अध्ययन या विदेशी भाषा में कम से कम 70 अंकों के साथ उत्तीर्ण होने की संभावना बराबर है। परिणामस्वरूप, गणित, रूसी और सामाजिक अध्ययन या विदेशी में उत्तीर्ण होने की संभावना बराबर है

यह उत्तर है.

द्वितीय . संयुक्त समस्याओं का समाधान

1. संयोजनों और भाज्यों की संख्या

आइए संक्षेप में सैद्धांतिक सामग्री पर नजर डालें।

अभिव्यक्तिएन ! "एन-फैक्टोरियल" के रूप में पढ़ें और 1 से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल को दर्शाता हैएन सहित:एन ! = 1 · 2 · 3 · ... ·एन .

इसके अलावा, गणित में, परिभाषा के अनुसार, वे मानते हैं कि 0! = 1. ऐसी अभिव्यक्ति दुर्लभ है, लेकिन संभाव्यता सिद्धांत की समस्याओं में अभी भी होती है।

परिभाषा

मान लीजिए कि ऐसी वस्तुएं हैं (पेंसिल, कैंडी, जो कुछ भी) जिनमें से आप बिल्कुल अलग वस्तुओं का चयन करना चाहते हैं। फिर ऐसे विकल्प के लिए विकल्पों की संख्या पूछी जाती हैसंयोजनों की संख्या तत्वों से. यह संख्या एक विशेष सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट और गणना की जाती है।

पद का नाम

यह सूत्र हमें क्या देता है? वास्तव में, इसके बिना लगभग किसी भी गंभीर समस्या का समाधान नहीं किया जा सकता है।

बेहतर समझ के लिए, आइए कुछ सरल संयोजनात्मक समस्याओं पर नजर डालें:

काम

बारटेंडर के पास 6 प्रकार की ग्रीन टी है। एक चाय समारोह आयोजित करने के लिए, आपको ठीक 3 अलग-अलग प्रकार की हरी चाय परोसनी होगी। बारटेंडर किसी ऑर्डर को कितने तरीकों से भर सकता है?

समाधान

यहां सब कुछ सरल है: वहां हैएन = चुनने के लिए 6 किस्मेंक = 3 किस्में. संयोजनों की संख्या सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है:

उत्तर

सूत्र में प्रतिस्थापित करें. हम सभी समस्याओं का समाधान नहीं कर सकते, लेकिन हमने विशिष्ट समस्याएं लिखी हैं और उन्हें आपके ध्यान में प्रस्तुत किया गया है।

काम

20 छात्रों के समूह में, आपको सम्मेलन में बोलने के लिए 2 प्रतिनिधियों को चुनना होगा। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

समाधान

फिर, हमारे पास बस इतना ही हैएन = 20 छात्र, लेकिन आपको चुनना होगाक = 2 छात्र. संयोजनों की संख्या ज्ञात करें:

कृपया ध्यान दें: विभिन्न फैक्टोरियल में शामिल कारकों को लाल रंग में चिह्नित किया गया है। इन गुणकों को दर्द रहित तरीके से कम किया जा सकता है और इस प्रकार गणनाओं की कुल मात्रा में काफी कमी आ सकती है।

उत्तर

190

काम

विभिन्न दोषों वाले 17 सर्वर गोदाम में पहुंचाए गए, जिनकी लागत सामान्य सर्वर से 2 गुना कम थी। निदेशक ने स्कूल के लिए 14 ऐसे सर्वर खरीदे, और 200,000 रूबल की बचत की गई धनराशि का उपयोग अन्य उपकरण खरीदने के लिए किया। निदेशक कितने तरीकों से दोषपूर्ण सर्वर का चयन कर सकता है?

समाधान

समस्या में बहुत सारा अतिरिक्त डेटा है जो भ्रमित करने वाला हो सकता है। सबसे महत्वपूर्ण तथ्य: केवल हैंएन = 17 सर्वर, और निदेशक को चाहिएक = 14 सर्वर. हम संयोजनों की संख्या गिनते हैं:

जिन गुणकों को कम किया जा रहा है उन्हें फिर से लाल रंग में दर्शाया गया है। कुल मिलाकर, 680 संयोजन थे। सामान्य तौर पर, निर्देशक के पास चुनने के लिए बहुत कुछ होता है।

उत्तर

680

यह कार्य पेचीदा है क्योंकि इस कार्य में अतिरिक्त डेटा है। वे कई छात्रों को सही निर्णय लेने से भटका देते हैं। कुल 17 सर्वर थे, और निदेशक को 14 चुनना था। सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 680 संयोजन मिलते हैं।

2. गुणन का नियम

परिभाषा

गुणन का नियम कॉम्बिनेटरिक्स में: स्वतंत्र सेटों में संयोजनों (तरीके, संयोजन) की संख्या गुणा की जाती है।

दूसरे शब्दों में, वहाँ रहने दोए एक क्रिया करने के तरीके औरबी अन्य क्रिया करने के तरीके. मार्ग यह भी है कि ये क्रियाएँ स्वतंत्र हैं, अर्थात्। किसी भी तरह से एक दूसरे से संबंधित नहीं हैं. फिर आप सूत्र का उपयोग करके पहली और दूसरी क्रिया करने के तरीकों की संख्या पा सकते हैं:सी = ए · बी .

काम

पेट्या के पास 1 रूबल के 4 सिक्के और 10 रूबल के 2 सिक्के हैं। पेट्या ने बिना देखे, 11 रूबल के लिए एक पेन खरीदने के लिए अपनी जेब से 1 रूबल का अंकित मूल्य वाला 1 सिक्का और 10 रूबल के अंकित मूल्य का एक और सिक्का निकाला। वह इन सिक्कों को कितने तरीकों से चुन सकता है?

समाधान

तो, सबसे पहले पेट्या को मिलता हैक = 1 सिक्का सेएन = 1 रूबल के अंकित मूल्य वाले 4 उपलब्ध सिक्के। ऐसा करने के तरीकों की संख्या हैसी 4 1 = ... = 4.

फिर पेट्या फिर से उसकी जेब में हाथ डालती है और निकाल लेती हैक = 1 सिक्का सेएन = 10 रूबल के अंकित मूल्य वाले 2 उपलब्ध सिक्के। यहाँ संयोजनों की संख्या बराबर हैसी 2 1 = ... = 2.

चूँकि ये क्रियाएँ स्वतंत्र हैं, विकल्पों की कुल संख्या बराबर हैसी = 4 · 2 = 8.

उत्तर

काम

एक टोकरी में 8 सफेद गेंदें और 12 काली गेंदें हैं। इस टोकरी से आप कितने तरीकों से 2 सफेद गेंदें और 2 काली गेंदें प्राप्त कर सकते हैं?

समाधान

कार्ट में कुलएन = चुनने के लिए 8 सफेद गेंदेंक = 2 गेंदें. यह किया जा सकता हैसी 8 2 = ... = 28 अलग-अलग तरीके।

इसके अलावा, कार्ट में शामिल हैएन = 12 काली गेंदें, जिनमें से आपको फिर से चयन करना होगाक = 2 गेंदें. ऐसा करने के तरीकों की संख्या हैसी 12 2 = ... = 66.

चूँकि सफ़ेद गेंद का चयन और काली गेंद का चयन स्वतंत्र घटनाएँ हैं, संयोजनों की कुल संख्या की गणना गुणन नियम के अनुसार की जाती है:सी = 28 · 66 = 1848. जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुत सारे विकल्प हो सकते हैं।

उत्तर

1848

गुणन का नियम दर्शाता है कि एक जटिल क्रिया को कितने तरीकों से किया जा सकता है जिसमें दो या दो से अधिक सरल क्रियाएं शामिल हों - बशर्ते कि वे सभी स्वतंत्र हों।

3. जोड़ का नियम

यदि गुणन का नियम "पृथक" घटनाओं के साथ संचालित होता है जो एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं, तो जोड़ के नियम में विपरीत सत्य है। यह परस्पर अनन्य घटनाओं से संबंधित है जो एक ही समय में कभी नहीं घटित होती हैं।

उदाहरण के लिए, "पेट्या ने अपनी जेब से 1 सिक्का निकाला" और "पेट्या ने अपनी जेब से एक भी सिक्का नहीं निकाला" परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं, क्योंकि बिना कोई सिक्का निकाले एक सिक्का निकालना असंभव है।

इसी तरह, घटनाएँ "रैंडम बॉल सफ़ेद है" और "रैंडम बॉल ब्लैक है" भी परस्पर अनन्य हैं।

परिभाषा

जोड़ का नियम कॉम्बिनेटरिक्स में: यदि दो परस्पर अनन्य क्रियाएं की जा सकती हैंए औरबी तदनुसार तरीके, फिर इन घटनाओं को जोड़ा जा सकता है। यह एक नया ईवेंट बनाएगा जिसे आप निष्पादित कर सकते हैंएक्स = ए + बी तौर तरीकों।

दूसरे शब्दों में, परस्पर अनन्य क्रियाओं (घटनाओं, विकल्पों) को जोड़ते समय, उनके संयोजनों की संख्या बढ़ जाती है।

हम कह सकते हैं कि जोड़ का नियम कॉम्बिनेटरिक्स में एक तार्किक "OR" है, जब हम किसी परस्पर अनन्य विकल्प से संतुष्ट होते हैं। इसके विपरीत, गुणन का नियम एक तार्किक "AND" है, जिसमें हम पहली और दूसरी दोनों क्रियाओं के एक साथ निष्पादन में रुचि रखते हैं।

काम

एक टोकरी में 9 काली गेंदें और 7 लाल गेंदें हैं। लड़का एक ही रंग की 2 गेंदें निकालता है। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकता है?

समाधान

यदि गेंदें एक ही रंग की हैं, तो कुछ विकल्प हैं: वे दोनों या तो काले या लाल हैं। जाहिर है, ये विकल्प परस्पर अनन्य हैं।

पहले मामले में, लड़के को चुनना होगाक = 2 काली गेंदेंएन = 9 उपलब्ध. ऐसा करने के तरीकों की संख्या हैसी 9 2 = ... = 36.

इसी तरह, दूसरे मामले में हम चुनते हैंक = 2 लाल गेंदेंएन = 7 संभव. तरीकों की संख्या बराबर हैसी 7 2 = ... = 21.

अभी तरीकों की कुल संख्या ज्ञात करना बाकी है। चूँकि काली और लाल गेंदों वाले विकल्प परस्पर अनन्य हैं, योग के नियम के अनुसार हमारे पास है:एक्स = 36 + 21 = 57.

उत्तर57

काम

स्टॉल 15 गुलाब और 18 ट्यूलिप बेचता है। 9वीं कक्षा का एक छात्र अपने सहपाठी के लिए 3 फूल खरीदना चाहता है, और सभी फूल समान होने चाहिए। वह ऐसा गुलदस्ता कितने तरीकों से बना सकता है?

समाधान

शर्त के अनुसार सभी फूल एक जैसे होने चाहिए। इसका मतलब है कि हम या तो 3 गुलाब या 3 ट्यूलिप खरीदेंगे। फिर भी,क = 3.

गुलाब के मामले में आपको चुनना होगाएन = 15 विकल्प, तो संयोजनों की संख्या हैसी 15 3 = ... = 455. ट्यूलिप के लिएएन = 18, और संयोजनों की संख्या हैसी 18 3 = ... = 816.

चूँकि गुलाब और ट्यूलिप परस्पर अनन्य विकल्प हैं, हम जोड़ के नियम के अनुसार काम करते हैं। हमें विकल्पों की कुल संख्या मिलती हैएक्स = 455 + 816 = 1271. यह उत्तर है.

उत्तर

1271

अतिरिक्त शर्तें और प्रतिबंध

बहुत बार, समस्या के पाठ में अतिरिक्त शर्तें होती हैं जो हमारी रुचि के संयोजनों पर महत्वपूर्ण प्रतिबंध लगाती हैं। दो वाक्यों की तुलना करें:

अलग-अलग रंगों में 5 पेन का एक सेट है। किसी चित्र की रूपरेखा बनाने के लिए आप कितने तरीकों से 3 पेन चुन सकते हैं?

अलग-अलग रंगों में 5 पेन का एक सेट है। किसी चित्र की रूपरेखा बनाने के लिए आप कितने तरीकों से 3 पेन चुन सकते हैं, यदि उनमें से एक लाल होना चाहिए?

पहले मामले में, हमें अपनी पसंद का कोई भी रंग लेने का अधिकार है - कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं हैं। दूसरे मामले में, सब कुछ अधिक जटिल है, क्योंकि हमें एक लाल पेन चुनने की आवश्यकता है (यह माना जाता है कि यह मूल सेट में है)।

जाहिर है, कोई भी प्रतिबंध विकल्पों की अंतिम संख्या को तेजी से कम कर देता है। खैर, आप इस मामले में संयोजनों की संख्या कैसे पा सकते हैं? बस यह नियम याद रखें:

का एक सेट हो जायेएन जिन तत्वों में से चयन करना हैक तत्व. संख्या पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते समयएन औरक उसी मात्रा में कमी.

दूसरे शब्दों में, यदि आपको 5 में से 3 पेन चुनने हैं, और उनमें से एक लाल होना चाहिए, तो आपको इनमें से चुनना होगाएन = 5 − 1 = 4 तत्व प्रत्येकक = 3 − 1 = 2 तत्व. तो इसके बजायसी 5 3 गिना जाना चाहिएसी 4 2 .

अब आइए देखें कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके यह नियम कैसे काम करता है:

काम

2 उत्कृष्ट छात्रों सहित 20 छात्रों के समूह में, आपको सम्मेलन में भाग लेने के लिए 4 लोगों का चयन करना होगा। यदि उत्कृष्ट छात्रों को सम्मेलन में आना ही हो तो इन चारों को कितने तरीकों से चुना जा सकता है?

समाधान

तो वहाँ का एक समूह हैएन = 20 छात्र. लेकिन आपको बस चुनने की जरूरत हैक = उनमें से 4. यदि कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं होते, तो विकल्पों की संख्या संयोजनों की संख्या के बराबर होतीसी 20 4 .

हालाँकि, हमें एक अतिरिक्त शर्त दी गई: इन चार में से 2 उत्कृष्ट छात्र होने चाहिए। इसलिए, उपरोक्त नियम के अनुसार, हम संख्याएँ कम करते हैंएन औरक द्वारा 2. हमारे पास है:

उत्तर

153

काम

पेट्या की जेब में 8 सिक्के हैं, जिनमें से 6 रूबल के सिक्के हैं और 2 10 रूबल के सिक्के हैं। पेट्या कुछ तीन सिक्के दूसरी जेब में स्थानांतरित करती है। यदि यह ज्ञात हो कि दोनों 10 रूबल के सिक्के दूसरी जेब में थे, तो पेट्या कितने तरीकों से ऐसा कर सकती है?

समाधान

इसलिय वहाँ हैएन = 8 सिक्के. पेट्या शिफ्टक = 3 सिक्के, जिनमें से 2 दस-रूबल के सिक्के हैं। यह पता चला है कि स्थानांतरित किए जाने वाले 3 सिक्कों में से 2 पहले ही तय हो चुके हैं, इसलिए संख्याएँएन औरक 2 से कम किया जाना चाहिए। हमारे पास है:

उत्तर

तृतीय . कॉम्बिनेटरिक्स और संभाव्यता सिद्धांत के सूत्रों का उपयोग करके संयुक्त समस्याओं को हल करना

काम

पेट्या की जेब में 4 रूबल के सिक्के और 2 रूबल के सिक्के थे। पेट्या ने बिना देखे कुछ तीन सिक्के दूसरी जेब में रख दिए। दो रूबल के दोनों सिक्के एक ही जेब में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान

मान लीजिए कि दोनों दो रूबल के सिक्के वास्तव में एक ही जेब में समाप्त हो गए, तो 2 विकल्प संभव हैं: या तो पेट्या ने उन्हें बिल्कुल भी स्थानांतरित नहीं किया, या उसने दोनों को एक ही बार में स्थानांतरित कर दिया।

पहले मामले में, जब दो रूबल के सिक्कों को स्थानांतरित नहीं किया गया था, तो आपको 3 रूबल के सिक्कों को स्थानांतरित करना होगा। चूँकि कुल मिलाकर ऐसे 4 सिक्के हैं, ऐसा करने के तरीकों की संख्या 4 बटा 3 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 4 3 .

दूसरे मामले में, जब दो रूबल के दोनों सिक्के स्थानांतरित कर दिए गए हैं, तो एक और रूबल का सिक्का स्थानांतरित करना होगा। इसे 4 मौजूदा लोगों में से चुना जाना चाहिए, और ऐसा करने के तरीकों की संख्या 4 बटा 1 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 4 1 .

आइए अब सिक्कों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या ज्ञात करें। चूँकि कुल 4 + 2 = 6 सिक्के हैं, और आपको उनमें से केवल 3 को चुनना है, विकल्पों की कुल संख्या 6 बटा 3 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 6 3 .

संभाव्यता ज्ञात करना बाकी है:

उत्तर

0,4

इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर दिखाएं. इस तथ्य पर ध्यान दें कि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, पेट्या ने बिना देखे एक जेब में तीन सिक्के डाल दिए। इस प्रश्न का उत्तर देते हुए, हम मान सकते हैं कि दो दो रूबल के सिक्के वास्तव में एक जेब में रहे। संभाव्यताएँ जोड़ने का सूत्र देखें। सूत्र पुनः दिखाएँ.

काम

पेट्या की जेब में 5 रूबल के 2 सिक्के और 10 रूबल के 4 सिक्के थे। पेट्या ने बिना देखे कुछ 3 सिक्के दूसरी जेब में रख दिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पाँच रूबल के सिक्के अब अलग-अलग जेबों में हैं।

समाधान

पांच रूबल के सिक्कों को अलग-अलग जेबों में रखने के लिए, आपको उनमें से केवल एक को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के तरीकों की संख्या 2 बटा 1 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 2 1 .

चूंकि पेट्या ने कुल 3 सिक्के स्थानांतरित किए, इसलिए उसे 10 रूबल के 2 और सिक्के स्थानांतरित करने होंगे। पेट्या के पास ऐसे 4 सिक्के हैं, इसलिए तरीकों की संख्या 4 बटा 2 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 4 2 .

यह पता लगाना बाकी है कि उपलब्ध 6 में से 3 सिक्कों को स्थानांतरित करने के लिए कितने विकल्प हैं। यह मात्रा, पिछली समस्या की तरह, 6 बटा 3 के संयोजनों की संख्या के बराबर है:सी 6 3 .

हम संभावना पाते हैं:

अंतिम चरण में, हमने दो-रूबल के सिक्कों को चुनने के तरीकों की संख्या और दस-रूबल के सिक्कों को चुनने के तरीकों की संख्या को गुणा किया, क्योंकि ये घटनाएँ स्वतंत्र हैं।

उत्तर

0,6

तो, सिक्के की समस्याओं का अपना संभाव्यता सूत्र होता है। यह इतना सरल और महत्वपूर्ण है कि इसे एक प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है।

प्रमेय

सिक्का उछाला जाएएन एक बार। तब संभावना यह है कि चित सटीक रूप से उतरेंगेक समय, सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

कहाँसी एन क - के संयोजन की संख्याएन तत्वों द्वाराक , जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

इस प्रकार, सिक्के की समस्या को हल करने के लिए, आपको दो संख्याओं की आवश्यकता होगी: उछाल की संख्या और चित्त की संख्या। अधिकतर, ये संख्याएँ सीधे समस्या के पाठ में दी जाती हैं। इसके अलावा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप वास्तव में क्या गिनते हैं: पूंछ या सिर। उत्तर वही होगा.

पहली नज़र में, प्रमेय बहुत बोझिल लगता है। लेकिन एक बार जब आप थोड़ा अभ्यास कर लेंगे, तो आप ऊपर वर्णित मानक एल्गोरिदम पर वापस नहीं लौटना चाहेंगे।

सिक्के को चार बार उछाला जाता है। ठीक तीन बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

समाधान

समस्या के अनुसार कुल थ्रो थेएन = 4. उकाबों की आवश्यक संख्या:क = 3. स्थानापन्नएन औरक सूत्र में:

आप उतनी ही आसानी से सिरों की संख्या गिन सकते हैं:क = 4 − 3 = 1. उत्तर वही होगा.

उत्तर

0,25

कार्य [कार्यपुस्तिका "गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा 2012। समस्याएँ बी6"]

सिक्के को तीन बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आपको कभी चित नहीं मिलेंगे।

समाधान

संख्याओं को फिर से लिखनाएन औरक . चूँकि सिक्का 3 बार उछाला गया है,एन = 3. और चूँकि सिर नहीं होने चाहिए,क = 0. यह संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के लिए बना हुआ हैएन औरक सूत्र में:

मैं आपको याद दिला दूं कि 0! परिभाषा के अनुसार = 1. इसीलिएसी 3 0 = 1.

उत्तर

0,125

समस्या [गणित 2012 में एकीकृत राज्य परीक्षा का परीक्षण। इरकुत्स्क]

एक यादृच्छिक प्रयोग में, एक सममित सिक्के को 4 बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चित, पट की तुलना में अधिक बार दिखाई देगा।

समाधान

पूँछ से अधिक सिर होने के लिए, उन्हें या तो 3 बार आना चाहिए (तब 1 पूँछ होगी) या 4 बार (तब कोई पूँछ ही नहीं होगी)। आइए इनमें से प्रत्येक घटना की प्रायिकता ज्ञात करें।

होने देनापी 1 - संभावना है कि सिर 3 बार दिखाई देंगे। तबएन = 4, क = 3. हमारे पास है:

अब आइए खोजेंपी 2 - संभावना है कि सिर सभी 4 बार दिखाई देंगे। इस मामले मेंएन = 4, क = 4. हमारे पास है:

उत्तर पाने के लिए, केवल संभावनाओं को जोड़ना बाकी हैपी 1 औरपी 2 . याद रखें: आप केवल परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए संभावनाएं जोड़ सकते हैं। हमारे पास है:

पी = पी 1 + पी 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

उत्तर

0,3125

एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के लिए लोगों के साथ तैयारी करते समय आपका समय बचाने के लिए, हमने कई और समस्याओं के समाधान प्रस्तुत किए हैं जिन्हें आप चुन सकते हैं और लोगों के साथ हल कर सकते हैं।

राज्य परीक्षा संस्थान, विभिन्न वर्षों की एकीकृत राज्य परीक्षा, पाठ्यपुस्तकें और वेबसाइटों से सामग्री।

चतुर्थ. संदर्भ सामग्री

संभाव्यता की क्लासिक परिभाषा

यादृच्छिक घटना - कोई भी घटना जो किसी अनुभव के परिणामस्वरूप घटित हो भी सकती है और नहीं भी।

घटना की संभावना आरअनुकूल परिणामों की संख्या के अनुपात के बराबर कसंभावित परिणामों की संख्या तक एन, अर्थात।

p=\frac(k)(n)

संभाव्यता सिद्धांत के जोड़ और गुणन के लिए सूत्र

घटना \बार(ए) बुलाया घटना A के विपरीत, यदि घटना A घटित नहीं हुई।

संभावनाओं का योग विपरीत घटनाओं का मान एक के बराबर है, अर्थात

P(\bar(A)) + P(A) =1

• किसी घटना की प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती.
• यदि किसी घटना की प्रायिकता 0 है तो वह घटित नहीं होगी।
• यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 है, तो वह घटित होगी।

संभाव्यता जोड़ प्रमेय:

"दो असंगत घटनाओं के योग की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।"

पी(ए+बी) = पी(ए) + पी(बी)

संभावना मात्रादो संयुक्त कार्यक्रमइन घटनाओं की संयुक्त घटना को ध्यान में रखे बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर:

पी(ए+बी) = पी(ए) + पी(बी) - पी(एबी)

संभाव्यता गुणन प्रमेय

"दो घटनाओं के घटित होने की संभावना उनमें से एक की संभावनाओं और दूसरे की सशर्त संभावना के उत्पाद के बराबर होती है, जिसकी गणना इस शर्त के तहत की जाती है कि पहली घटना घटी है।"

पी(एबी)=पी(ए)*पी(बी)

आयोजन कहा जाता है असंगत, यदि उनमें से एक की उपस्थिति दूसरों की उपस्थिति को बाहर कर देती है। अर्थात् कोई न कोई विशिष्ट घटना ही घटित हो सकती है।

आयोजन कहा जाता है संयुक्त, यदि उनमें से एक की घटना दूसरे की घटना को बाहर नहीं करती है।

दो यादृच्छिक घटनाएँ ए और बी को बुलाया जाता है स्वतंत्र, यदि उनमें से एक के घटित होने से दूसरे के घटित होने की संभावना नहीं बदलती है। अन्यथा, घटनाएँ A और B आश्रित कहलाती हैं।

एक सिरेमिक टाइल फैक्ट्री में उत्पादित 5% टाइलों में खराबी है। उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान, केवल 40% दोषपूर्ण टाइलें ही पाई जाती हैं। बाकी टाइल्स बिक्री के लिए भेज दी गई हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खरीद पर यादृच्छिक रूप से चुनी गई टाइल में कोई दोष नहीं होगा। अपने उत्तर को निकटतम सौवें तक पूर्णांकित करें।

समाधान

उत्पाद गुणवत्ता नियंत्रण के दौरान, 40% दोषपूर्ण टाइलों की पहचान की जाती है, जो उत्पादित टाइलों का 5% है, और वे बेचे नहीं जाते हैं। इसका मतलब यह है कि उत्पादित टाइलों का 0.4 · 5% = 2% बिक्री पर नहीं जाता है। उत्पादित शेष टाइलें - 100% - 2% = 98% - बिक्री पर जाती हैं।

100% - 95% उत्पादित टाइलें दोषों से मुक्त हैं। खरीदी गई टाइल में कोई खराबी न होने की प्रायिकता 95%: 98% है = \frac(95)(98)\लगभग 0.97

उत्तर

स्थिति

बैटरी के चार्ज न होने की प्रायिकता 0.15 है। एक स्टोर में एक ग्राहक एक यादृच्छिक पैकेज खरीदता है जिसमें इनमें से दो बैटरियां होती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस पैकेज की दोनों बैटरियाँ चार्ज हो जाएँगी।

समाधान

बैटरी के चार्ज होने की प्रायिकता 1-0.15 = 0.85 है। आइए "दोनों बैटरियां चार्ज हैं" घटना की प्रायिकता ज्ञात करें। आइए हम "पहली बैटरी चार्ज हुई" और "दूसरी बैटरी चार्ज हुई" घटनाओं को ए और बी से निरूपित करें। हमें P(A) = P(B) = 0.85 मिला। घटना "दोनों बैटरियां चार्ज हैं" घटना ए \ कैप बी का प्रतिच्छेदन है, इसकी संभावना बराबर है पी(ए\कैप बी) = P(A)\cdot P(B) = 0.85\cdot 0.85 = 0,7225.

उत्तर

स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ.एफ.लिसेंको, एस.यू.कुलबुखोवा।

स्थिति

एक वर्ष के भीतर वारंटी के तहत एक नई वॉशिंग मशीन की मरम्मत होने की संभावना 0.065 है। एक निश्चित शहर में, वर्ष के दौरान 1,200 वाशिंग मशीनें बेची गईं, जिनमें से 72 को वारंटी कार्यशाला को सौंप दिया गया। निर्धारित करें कि "वारंटी मरम्मत" घटना के घटित होने की सापेक्ष आवृत्ति इस शहर में इसकी संभावना से कितनी भिन्न है?

समाधान

घटना की आवृत्ति "वॉशिंग मशीन की मरम्मत एक वर्ष के भीतर वारंटी के तहत की जाएगी" के बराबर है \frac(72)(1200) = 0.06.यह प्रायिकता से 0.065-0.06=0.005 भिन्न है।

उत्तर

स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ.एफ.लिसेंको, एस.यू.कुलबुखोवा।

स्थिति

पेन के ख़राब होने की प्रायिकता 0.05 है। एक स्टोर में एक ग्राहक एक यादृच्छिक पैकेज खरीदता है जिसमें दो पेन होते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस पैकेज में दोनों पेन अच्छे होंगे।

समाधान

हैंडल के काम करने की प्रायिकता 1-0.05 = 0.95 है। आइए "दोनों हैंडल काम कर रहे हैं" घटना की प्रायिकता ज्ञात करें। आइए हम "पहला हैंडल काम कर रहा है" और "दूसरा हैंडल काम कर रहा है" घटनाओं को ए और बी से निरूपित करें। हमें P(A) = P(B) = 0.95 मिला। घटना "दोनों हैंडल काम कर रहे हैं" घटना ए\कैप बी का प्रतिच्छेदन है, इसकी संभावना बराबर है पी(ए\कैप बी) = P(A)\cdot P(B) = 0.95\cdot 0.95 = 0,9025.

उत्तर

स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ.एफ.लिसेंको, एस.यू.कुलबुखोवा।

स्थिति

चित्र एक भूलभुलैया दिखाता है. भृंग "प्रवेश" बिंदु पर भूलभुलैया में रेंगता है। भृंग घूम नहीं सकता और विपरीत दिशा में रेंग नहीं सकता, इसलिए प्रत्येक कांटे पर वह उन रास्तों में से एक चुनता है जिस पर वह अभी तक नहीं गया है। यदि आगे के पथ का चुनाव यादृच्छिक है तो भृंग D से बाहर निकलने की किस प्रायिकता से आ रहा है?

समाधान

आइए चौराहों पर उस दिशा में तीर लगाएं जहां बीटल घूम सके (आंकड़ा देखें)।

प्रत्येक चौराहे पर हम दो संभावित दिशाओं में से एक दिशा चुनेंगे और मान लेंगे कि जब यह चौराहे पर पहुंचेगा तो भृंग हमारे द्वारा चुनी गई दिशा में चलेगा।

बीटल को निकास डी तक पहुंचने के लिए, यह आवश्यक है कि प्रत्येक चौराहे पर ठोस लाल रेखा द्वारा इंगित दिशा चुनी जाए। कुल मिलाकर, दिशा का चुनाव 4 बार किया जाता है, हर बार पिछली पसंद की परवाह किए बिना। हर बार ठोस लाल तीर चुने जाने की प्रायिकता है \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

उत्तर

स्रोत: “गणित. एकीकृत राज्य परीक्षा 2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर।" ईडी। एफ.एफ.लिसेंको, एस.यू.कुलबुखोवा।

स्थिति

अनुभाग में 16 एथलीट हैं, उनमें से दो दोस्त - ओला और माशा हैं। एथलीटों को यादृच्छिक रूप से 4 समान समूहों में बांटा गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ओला और माशा एक ही समूह में होंगे।