사용 설명서

작업 1
한쪽 다리가 한쪽 다리가 다른 다리보다 1cm 길고 삼각형이 28cm 인 경우 삼각형의 모든면의 길이를 찾으십시오.

해결책.
기본 영역 수식 S \u003d (a * b) / 2 \u003d 28을 적어 두십시오. b \u003d a + 1 인 것으로 알려져 있습니다. 28 \u003d (a * (a + 1)) / 2.
대괄호를 펼치면 알 수없는 a ^ 2 + a-56 \u003d 0 인 2 차 방정식을 얻습니다.
판별 식 D \u003d 1 + 224 \u003d 225를 세는 이것을 찾으십시오. 방정식에는 두 가지 해가 있습니다 : a_1 \u003d (-1 + √225) / 2 \u003d (-1 + 15) / 2 \u003d 7 및 a_2 \u003d (-1-√ 225) / 2 \u003d (-1-15) / 2 \u003d -8.
두 번째는 세그먼트의 길이가 음수 값이 될 수 없으므로 a \u003d 7 (cm)이므로 의미가 없습니다.
두 번째 다리의 길이를 구합니다 b \u003d a + 1 \u003d 8 (cm).
세 번째면의 길이는 그대로 유지됩니다. 직각 삼각형에 대한 피타고라스 정리에 의해 c ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 \u003d 49 + 64, c \u003d √ (49 + 64) \u003d √113 ≈ 10.6 (cm).

작업 2
직각 삼각형의 면적이 14cm이고 각도 ACB가 30 ° 인 것으로 알려진 경우 직각 삼각형의 모든면의 길이를 찾으십시오.

해결책.
기본 공식 S \u003d (a * b) / 2 \u003d 14를 기록하십시오.
이제 직각 삼각형의 특성에 따라 빗변 및 삼각 함수의 곱을 통해 다리의 길이를 표현하십시오.
a \u003d c * cos (ACB) \u003d c * cos (30 °) \u003d c * (√3 / 2) ≈ 0.87 * s.
b \u003d c * sin (ACB) \u003d c * sin (30 °) \u003d c * (1/2) \u003d 0.5 * c.

얻어진 값을 면적 공식으로 대입합니다 :
14 \u003d (0.87 * 0.5 * c ^ 2) / 2, 어디서 :
28 ≈ 0.435 * c ^ 2 → c \u003d √64.4 ≈ 8 (cm).
빗변의 길이를 찾았습니다. 이제 다른 두 변의 길이를 찾으십시오.
a \u003d 0.87 * c \u003d 0.87 * 8 ≈ 7 (cm), b \u003d 0.5 * c \u003d 0.5 * 8 \u003d 4 (cm).

관련 동영상

우선, 우리는 표기법에 동의합니다. 한 변을 직각 삼각형의 변이라고하며, 직각에 인접합니다 (즉, 다른 변과 90도 각도를 유지). 다리의 길이는 a와 b로 표시됩니다. 다리 반대쪽의 직각 삼각형의 예각 값을 각각 A와 B라고합니다. Hypotenuse는 직각과 반대 인 직각 삼각형의 변입니다 (즉, 직각과 반대이며 삼각형의 다른면과 예각을 형성합니다). 빗변의 길이는 p로 표시됩니다. 원하는 영역은 S로 표시됩니다.

사용 설명서

레그 (a) 중 하나만 주었지만이 레그 (A)와 반대되는 각도도 알려진 경우 공식 S \u003d (a ^ 2) / (2 * tg (A))를 사용하십시오. "^ 2"기호는 제곱을 나타냅니다.

레그 (a) 중 하나만 주었지만이 레그에 인접한 각도 (B)도 알려진 경우 S \u003d (a ^ 2) * tg (B) / 2 d 공식을 사용하십시오.

관련 동영상

출처 :

• "대학 지원자들을위한 수학 매뉴얼", ed. G.N. 야코 블레 바, 1982.

직각 삼각형의 측면과 각도 사이의 관계는 삼각법이라는 수학 섹션에서 고려됩니다. 직각 삼각형의 변을 찾으려면 삼각 함수의 정의 인 피타고라스 정리를 이해하면 충분하며 삼각 함수의 값 (예 : 계산기 또는 Bradis 테이블)을 찾을 수있는 수단이 있습니다. 직각 삼각형의 측면을 찾는 주요 사례를 아래에서 고려합니다.

당신은 필요합니다

• 계산기, Bradis 테이블.

사용 설명서

예를 들어 A와 같은 예각, 하나의 다리, 예를 들어 a가 주어지면 빗변과 다른 다리는 b \u003d a * tg (A), c \u003d a * sin (A)의 관계에서 계산됩니다.

유용한 조언

계산에 필요한 각도의 사인 또는 코사인 값을 모르는 경우 Bradis 테이블을 사용할 수 있으며 많은 각도에 대해 삼각 함수 값을 제공합니다. 또한 대부분의 최신 계산기는 각도의 사인과 코사인을 계산할 수 있습니다.

출처 :

• 2019 년 직각 삼각형의 변을 계산하는 방법

팁 4 : 직각 삼각형의 밑면을 찾는 방법

직각 삼각형과 같은 그림에서는 서로에 대한 명확한 종횡비가 있어야합니다. 그중 두 가지를 알고 있으면 항상 세 번째를 찾을 수 있습니다. 아래 지침에서이를 수행하는 방법을 배우게됩니다.

당신은 필요합니다

• -계산기.

사용 설명서

두 다리를 제곱하고 a2 + b2를 함께 접습니다. 얻어진 결과는 빗변 ( 이유) 제곱 c2. 다음으로 후자에서 뿌리를 추출하면 빗변이 발견됩니다. 이 방법은 사용하기 간단하고 편리합니다. 당사자를 찾는 과정에서 가장 중요한 것은 삼각형   따라서 가장 일반적인 실수를 피하기 위해 예비 결과에서 근을 추출하는 것을 잊지 마십시오. 공식은 세계에서 가장 유명한 피타고라스의 정리 덕분에 파생되며 모든 출처에서 a2 + b2 \u003d c2 형식입니다.

다리 a 중 하나를 반대 각도 sin α의 사인으로 나눕니다. 당사자와 죄가 그 상태로 알려진 경우 빗변을 찾는이 옵션이 허용됩니다. 이 경우 공식은 매우 간단한 형태입니다 : c \u003d a / sin α. 모든 계산에주의하십시오.

a에 2를 곱합니다. 저혈압이 계산되었습니다. 이것은 아마도 우리를위한 편을 찾는 가장 기본적인 방법 일 것입니다. 그러나 불행히도이 방법은 한 경우에만 사용됩니다. 각도의 반대쪽에 30도 측정되는 경우. 하나가 있으면 항상 빗변의 정확히 절반이 될 것입니다. 따라서 두 배로 늘리면됩니다.

다리 a를 인접한 각도 cos α의 코사인으로 나눕니다. 이 방법은 다리 중 하나와 다리의 코사인 중 하나를 알고있는 경우에만 적합합니다. 이 방법은 다리가 사용되었지만 이미 코사인 대신 반대 각도의 사인 인 앞에서 이미 제시했음을 상기시킵니다. 이 경우에만 약간 다른 모양이 변경됩니다 : c \u003d a / cos α. 그게 다야

팁 5 : 직각 삼각형의 변이 알려진 경우 각도를 찾는 방법

트레 광장모서리 중 하나가 직선 (90 °와 같음)을 직사각형이라고합니다. 가장 긴 변은 항상 직각과 마주 보며 빗변이라고하며 다른 두 변은 당사자들   다리라고. 이 세 변의 길이를 알면 모든 각도의 값을 찾으십시오. 광장실제로 각도 중 하나만 계산하면되므로 어렵지 않습니다. 이를 수행하는 몇 가지 방법이 있습니다.

사용 설명서

직사각형 트레이를 통해 삼각 함수를 결정하기 위해 (α, β, γ) 값을 결정하는 데 사용합니다. 예를 들어 빗변의 길이에 대한 반대쪽 다리의 길이의 비율과 같은 예각의 사인에 대해. 따라서 다리의 길이 (A와 B)와 빗변 (C)의 경우, 예를 들어, 우리는 길이를 나누어 다리 A와 반대쪽에있는 각도 α의 사인을 찾을 수 있습니다 당사자들   그리고 길이 당사자들   C (hypotenuse) : 죄 (α) \u003d A / C. 이 각도의 사인 값을 학습하면 사인의 역함수-아크 사인을 사용하여 값을도 단위로 찾을 수 있습니다. 즉, α \u003d 아크 신 (sin (α)) \u003d 아크 신 (A / C). 같은 방법으로 예각의 값을 찾을 수 있습니다. 광장e, 그러나 이것은 필요하지 않습니다. 모든 각도의 합이 광장a는 180 °이며 tre입니다. 광장각도 중 하나가 90 °이면 세 번째 각도의 값은 90 °와 찾은 각도의 값의 차이로 계산할 수 있습니다. β \u003d 180 ° -90 ° -α \u003d 90 ° -α.

사인을 결정하는 대신 예각의 길이에 대한 원하는 각도에 인접한 다리의 길이의 비율로 공식화되는 예각의 코사인 정의를 사용할 수 있습니다. cos (α) \u003d B / C. 그리고 여기에서 역삼 각 함수 (arccosine)를 사용하여 각도를도 단위로 찾으십시오. α \u003d arccos (cos (α)) \u003d arccos (B / C). 그 후, 이전 단계에서와 같이 누락 각도의 값을 찾아야합니다 : β \u003d 90 ° -α.

동일한 접선을 사용할 수 있습니다-다리의 원하는 다리의 반대쪽 길이 길이와 인접한 다리 길이의 비율로 표시됩니다 : tg (α) \u003d A / B. 각도 각도는 역삼 각 함수-: α \u003d arctan (tan (α)) \u003d arctan (A / B)을 통해 다시 결정됩니다. 결 측각의 크기에 대한 공식은 변경되지 않은 상태로 유지됩니다 : β \u003d 90 ° -α.

관련 동영상

팁 6 : 직각 삼각형의 변의 길이를 찾는 방법

삼각형은 직각으로 간주되며 선의 모서리 중 하나입니다. 파티 삼각형직각 반대편을 빗변이라고하고 다른 두 당사자들   -다리. 직사각형의 변의 길이를 찾으려면 삼각형여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.

사용 설명서

1. 두 다리의 값은 알려져 있습니다

이 경우 직각 삼각형의 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S \u003d 0.5ab

2. 한쪽 다리와 빗변으로 알려져 있음

이러한 조건에서 피타고라스 정리와 위의 공식을 사용하는 것이 가장 논리적입니다.
S \u003d 0.5 ∙ sqrt (c ^ 2-a ^ 2) ∙ a,
여기서 sqrt는 제곱근이고 c ^ 2-a ^ 2는 빗변의 제곱과 다리의 차이를 나타내는 근사 적 표현입니다.

3. 삼각형의 모든 변의 값이 제공됩니다.

이러한 작업에는 헤론 공식을 사용할 수 있습니다.
S \u003d (p-a) (p-b),
여기서 p는 반 둘레 계이며 다음 식으로 알 수 있습니다. p \u003d 0.5 ∙ (a + b + c)

4. 알려진 한쪽 다리와 모서리

여기서 삼각 함수로 전환 할 가치가 있습니다. 예를 들어, tg (1) \u003d 1 / ctg (1) \u003d b / a입니다. 즉,이 비율로 인해 알려지지 않은 구간의 값을 결정할 수 있습니다. 다음으로 작업이 첫 번째 단락으로 축소됩니다.

5. 알려진 빗변과 각도

이 경우 사인과 코사인의 삼각 함수도 사용됩니다 : cos (2) \u003d 1 / sin (2) \u003d b / c. 그런 다음 문제의 해결책은 기사의 두 번째 단락으로 축소됩니다.

관련 동영상

팁 11 : 직각 삼각형의 변은 무엇입니까?

저혈압과 다리

빗변과 카테 티의 관계

c2 \u003d a2 + b2. 여기서 c는 빗변이고, a와 b는 다리입니다. 즉, 빗변은 다리의 제곱의 합의 제곱근과 같습니다. 다리 중 하나를 찾으려면 빗변 사각형에서 다른 다리의 사각형을 빼고 결과 차이에서 제곱근을 추출하는 것으로 충분합니다.

인접하고 반대쪽 다리

따라서 각도와 측면 중 하나를 알면 이러한 공식을 사용하여 다른 측면을 계산할 수 있습니다. 삼각 관계가 연결되고 양쪽 다리가 연결됩니다. 대향 대변의 비율을 접선이라고하고 대변 대변을 코탄젠트라고합니다. 이러한 관계는 공식 tgA \u003d a / b 또는 ctgA \u003d b / a로 표현할 수 있습니다.

기본 형상에서 오른쪽 삼각형은 점에 연결된 세 개의 세그먼트로 구성된 그림으로, 그 중 두 개는 각도가 날카 롭고 하나는 직선 (90 °)입니다. 직각 삼각형   많은 중요한 특성을 특징으로하며, 대부분 삼각법의 기초 (예 : 측면과 각도의 비율)를 형성합니다. 학교에서 우리는 모두 계산하는 방법을 알고 있습니다 직각 삼각형의 면적우리는 일상 생활에서이 기하학적 인 모습을 아주 자주 만나기도합니다. 그것은 기술에서 꽤 널리 사용되므로 엔지니어, 디자이너 및 건축가가 종종 해결하는 작업입니다.

건축가는 정면을 완성하고 가지고있는 페디먼트가있는 건물을 설계 할 때이 값을 결정해야합니다. 삼각형 모양   처마 장식과 측면에-지붕 경사. 슬로프 사이의 각도는 종종 직선이며, 이러한 경우 페디먼트는 직사각형 삼각형 모양입니다. 배치에 필요한 건축 자재의 양을 정확히 알아야하는 간단한 이유 때문에 면적을 결정해야합니다. 박공은 저층 건물 (국가 주택, 별장, 여름 별장)의 필수 요소입니다.

직각 삼각형의 넓이 찾기

a   -카테 티

b   -카테 티

S   -직각 삼각형의 면적

형태 직각 삼각형   현대적인 가구가 만들어지는 많은 세부 사항이 있습니다. 아시다시피, 건물 영역을 가장 합리적으로 사용하려면 환경의 모든 요소를 \u200b\u200b최적의 방식으로 배치해야합니다. 삼각형 테이블을 사용하여 모서리와 같은 영역을 사용할 수 있습니다. 대각선은 벽에 인접한 다리가있는 직사각형 삼각형입니다. 이러한 요소를 설계하고 계산할 때 가구 설계자는 다음에 따라 공식을 사용합니다. 직각 삼각형의 면적을 찾는 것 측면의 길이에 따라 수행됩니다. 또한 종종 벽에 직접 장착 된 테이블 디자인을 개발해야하며 여기에는지지 요소가 포함되어 있습니다. 직각 삼각형.

외장 빌더는 종종 전문 활동에서 길이가 같거나 다른 다리가있는 직사각형 삼각형 형태의 세라믹 타일을 사용해야합니다. 또한 필요한 수량을 찾으려면 이러한 요소의 면적을 결정해야합니다.

형태 직각 삼각형   또한 사각형처럼 중요하고 필요한 측정 도구가 있습니다. 그것의 도움으로 직각의 구성과 제어가 수행되며 기하학 수업의 일반 학생에서부터 초 현대 기술 디자이너에 이르기까지 매우 광범위하고 많은 사람들이 사용합니다.

삼각형-한 각도가 90 ° 인 평평한 기하학적 도형. 또한, 기하학에서 종종 그러한 그림의 면적을 계산해야합니다. 이를 수행하는 방법에 대해 자세히 설명하겠습니다.

  직각 삼각형의 면적을 결정하는 가장 간단한 공식

a와 b는 직각에서 나오는 삼각형의면입니다.

즉, 면적은 직각에서 나가는 두 변의 곱의 절반과 같습니다. 물론 일반 삼각형의 면적을 계산하는 데 사용되는 헤론 공식이 있지만 크기를 결정하려면 세 변의 길이를 알아야합니다. 따라서 빗변을 계산해야하며 이것은 너무 많은 시간입니다.

  헤론 공식을 통해 직각 삼각형의 면적을 구합니다

이것은 잘 알려진 초기 공식이지만,이를 위해서는 피타고라스 정리를 사용하여 두 다리의 빗변을 계산해야합니다.

이 공식에서 : a, b, c는 삼각형의 변이고 p는 반 둘레입니다.

  빗변과 각도로 직각 삼각형의 넓이를 구합니다

작업에서 알려진 다리가 없으면 가장 간단한 방법을 사용할 수 없습니다. 값을 결정하려면 다리 길이를 계산해야합니다. 이것은 단순히 인접한 각의 빗변과 코사인에 의해 수행됩니다.

b \u003d c × cos (α)

피타고라스 정리에 따르면 다리 중 하나의 길이를 알게되면 직각에서 나오는 두 번째면을 계산할 수 있습니다.

b 2 \u003d c 2 -a 2

이 공식에서 c와 a는 각각 빗변과 카테 투스입니다. 이제 첫 번째 공식을 사용하여 면적을 계산할 수 있습니다. 같은 방식으로, 다리 중 하나는 두 번째 각도와 각도를 가짐으로써 계산 될 수 있습니다. 이 경우 원하는 측면 중 하나는 각도의 접선이있는 다리의 곱과 같습니다. 면적을 계산하는 다른 방법이 있지만 기본 정리와 규칙을 알고 있으면 원하는 값을 쉽게 찾을 수 있습니다.

삼각형의 양쪽이없고 중앙값과 모서리 중 하나만있는 경우 변의 길이를 계산할 수 있습니다. 이렇게하려면 중간 속성을 사용하여 직각 삼각형을 두 개로 나눕니다. 따라서 예각에서 벗어나면 빗변으로 작용할 수 있습니다. 피타고라스 정리를 사용하여 직각에서 나오는 삼각형의 변의 길이를 결정하십시오.

보시다시피, 기본 공식과 피타고라스 정리를 알면 모서리 중 하나와 측면 중 하나의 길이 만 갖는 직각 삼각형의 면적을 계산할 수 있습니다.

삼각형의 유형에 따라 영역을 찾기위한 여러 옵션이 한 번에 구별됩니다. 예를 들어 직각 삼각형의 면적을 계산하기 위해 수식 S \u003d a * b / 2가 사용되며, 여기서 a와 b는 다리입니다. 이등변 삼각형의 면적을 알아야하는 경우에는 밑변과 높이의 곱을 2로 나눠야합니다. 즉, S \u003d b * h / 2입니다. 여기서 b는 삼각형의 밑면이고 h는 높이입니다.

또한 이등변 직각 삼각형의 면적을 계산해야 할 수도 있습니다. 여기서 다음 공식이 구출됩니다. S \u003d a * a / 2, 여기서 다리“a”와“a”는 반드시 동일한 값을 가져야합니다.

또한 우리는 종종 정삼각형의 면적을 계산해야합니다. 공식은 S \u003d a * h / 2입니다. 여기서 a는 삼각형의 측면이고 h는 높이입니다. 또는이 공식에 따르면 : S \u003d √3 / 4 * a ^ 2, 여기서 a는 변입니다.

직각 삼각형의 면적을 찾는 방법

직각 삼각형의 면적을 찾아야하지만 동시에 두 다리의 크기가 문제 설명에 지정되어 있지 않습니까? 그러면이 공식 (S \u003d a * b / 2)을 직접 사용할 수 없습니다.

몇 가지 가능한 해결책을 고려하십시오.

• 한쪽 다리의 길이를 모르지만 빗변과 두 번째 다리의 치수가 주어지면 위대한 피타고라스로 돌아가 그의 정리 (a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2)로 알 수없는 다리의 길이를 계산 한 다음 삼각형의 면적을 계산하는 데 사용하십시오.
• 한쪽 다리의 길이와 반대쪽 각도의 각도가 주어진 경우 : 우리는 공식-a \u003d b * ctg (C)를 사용하여 두 번째 다리의 길이를 찾습니다.
• 주어진 : 하나의 다리의 길이와 그에 인접한 각도의 경사도 : 두 번째 다리의 길이를 찾으려면 공식-a \u003d b * tg (C)를 사용합니다.
• 그리고 마지막으로, 빗변의 각도와 길이가 주어집니다 : 우리는 그러한 공식을 사용하여 두 다리의 길이를 계산합니다-b \u003d c * sin (C) 및 a \u003d c * cos (C).

이등변 삼각형의 면적을 찾는 방법

이등변 삼각형의 면적은 공식 S \u003d b * h / 2로 매우 쉽고 빠르게 찾을 수 있지만 지표 중 하나가 없으면 작업이 훨씬 복잡합니다. 결국, 추가 조치를 수행해야합니다.

작업에 가능한 옵션 :

• 주어진 : 측면 중 하나의 길이와베이스의 길이. 피타고라스의 정리를 통해 높이, 즉 두 번째 다리의 길이를 찾습니다. 단의 길이는 2 개로 나뉘어져 있으며 다리이고 원래 알려진 측면은 빗변입니다.
• 주어진 :베이스와 측면과베이스 사이의 각도. 공식 h \u003d c * ctg (B) / 2에 따라 높이를 계산합니다 ( "c"면을 두 개로 나누는 것을 잊지 마십시오).
• 주어진 : 높이와 각도, 밑면과 측면에 의해 형성되었습니다 : 우리는 공식 c \u003d h * tg (B) * 2를 적용하여 높이를 찾고 결과에 2를 곱합니다. 다음으로 면적을 계산합니다.
• 알려진 : 측면의 길이와 측면과 높이 사이에 형성된 각도. 해결책 : 우리는 공식-c \u003d a * sin (C) * 2 및 h \u003d a * cos (C)를 사용하여 밑면과 높이를 찾은 다음 면적을 고려합니다.

이등변 직각 삼각형의 영역을 찾는 방법

모든 데이터가 알려진 경우 표준 수식 S \u003d a * a / 2를 사용하여 이등변 직각 삼각형의 면적을 계산하고 문제에 일부 매개 변수를 지정하지 않으면 추가 조치가 수행됩니다.

예를 들어, 우리는 양쪽의 길이를 알지 못하지만 (이등변 직각 삼각형에서 동일하다는 것을 기억하지만) 빗변의 길이가 주어집니다. 피타고라스 정리를 적용하여 동일한 변 "a"와 "a"를 찾습니다. 피타고라스 식 : a ^ 2 + b ^ 2 \u003d c ^ 2. 이등변 직각 삼각형의 경우 2a ^ 2 \u003d c ^ 2로 변환됩니다. 다리 "a"를 찾으려면 빗변의 길이를 2의 근으로 나눠야합니다. 해결책의 결과는 이등변 직각 삼각형의 두 다리의 길이가됩니다. 다음으로 우리는 지역을 찾습니다.

정삼각형의 면적을 찾는 방법

공식 S \u003d √3 / 4 * a ^ 2를 사용하면 정삼각형의 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다. 삼각형의 외접원의 반경이 알려진 경우 면적은 S \u003d 3√3 / 4 * R ^ 2 공식으로 찾을 수 있습니다. 여기서 R은 원의 반경입니다.