Vietnes sadaļas
Redaktora izvēle:
- Matemātika man patīk Eiklīda algoritms lielākajam kopējam dalījumam
- Ķīmiskās reakcijas organiskajā ķīmijā
- Arachnida klase: ārējā struktūra Zirnekļa iekšējā struktūra
- Hakslija, Džuliana nozīme Koljēra vārdnīcā Fragments, kas raksturo Haksliju, Džulianu
- Vispārīgie embrioloģijas jēdzieni
- Kas bija Yihetuan sacelšanās?
- Portreti uz pilsoņu kara fona
- Tuhačevskis Mihails Nikolajevičs - PSRS maršala biogrāfija
- Pirmais krusta karš (1096–1099)
- Autonoma bezpeļņas izglītības organizācija "Visaptverošais vispārējās izglītības centrs bērniem ar attīstības traucējumiem "Saules aplis""
Reklāma
| Eiklīda algoritms – lielākā kopīgā dalītāja atrašana. Matemātika man patīk Eiklīda algoritms lielākajam kopējam dalījumam |
|
Šis raksts ir par atrast lielāko kopīgo dalītāju (GCD) divi vai vairāki cipari. Vispirms apskatīsim Eiklida algoritmu; tas ļauj atrast divu skaitļu gcd. Pēc tam mēs koncentrēsimies uz metodi, kas ļauj mums aprēķināt skaitļu gcd kā to kopējo primāro faktoru reizinājumu. Tālāk mēs aplūkosim trīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanu, kā arī sniegsim piemērus negatīvu skaitļu gcd aprēķināšanai. Lapas navigācija. Eiklīda algoritms GCD atrašanaiŅemiet vērā, ka, ja mēs būtu pievērsušies pirmskaitļu tabulai jau pašā sākumā, mēs būtu uzzinājuši, ka skaitļi 661 un 113 ir pirmskaitļi, no kuriem uzreiz varētu teikt, ka to lielākais kopīgais dalītājs ir 1. Atbilde: GCD(661, 113)=1 . GCD atrašana, iedalot skaitļus primārajos faktorosApsvērsim citu veidu, kā atrast GCD. Lielāko kopīgo dalītāju var atrast, skaitļus ierēķinot primārajos faktoros. Formulēsim noteikumu: Divu pozitīvu veselu skaitļu a un b gcd ir vienāds ar visu kopējo primāro faktoru reizinājumu, kas atrodams skaitļu a un b galvenajās faktorizācijās. Sniegsim piemēru, lai izskaidrotu GCD atrašanas noteikumu. Uzzināsim skaitļu 220 un 600 sadalīšanos pirmfaktoros, tiem ir forma 220=2·2·5·11 un 600=2·2·2·3·5·5. Kopējie galvenie faktori, kas iesaistīti skaitļu 220 un 600 faktorinācijā, ir 2, 2 un 5. Tāpēc GCD(220, 600)=2·2·5=20. Tādējādi, ja skaitļus a un b ierēķināsim pirmfaktoros un atrodam visu to kopīgo faktoru reizinājumu, tad tiks atrasts lielākais skaitļu a un b kopīgo dalītājs. Apskatīsim piemēru GCD atrašanai saskaņā ar norādīto noteikumu. Piemērs. Atrodiet skaitļu 72 un 96 lielāko kopīgo dalītāju. Risinājums. Ieskaitīsim skaitļus 72 un 96 galvenajos faktoros: Tas ir, 72=2·2·2·3·3 un 96=2·2·2·2·2·3. Parastie primārie faktori ir 2, 2, 2 un 3. Tādējādi GCD(72, 96)=2·2·2·3=24. Atbilde: GCD(72, 96)=24 . Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka iepriekš minētā GCD atrašanas noteikuma derīgums izriet no lielākā kopīgā dalītāja īpašības, kas nosaka, ka GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), kur m ir jebkurš pozitīvs vesels skaitlis. Trīs vai vairāku skaitļu gcd atrašanaTrīs vai vairāku skaitļu lielākā kopīgā dalītāja atrašanu var reducēt uz divu skaitļu secīgu gcd atrašanu. Mēs to pieminējām, pētot GCD īpašības. Tur mēs formulējām un pierādījām teorēmu: vairāku skaitļu lielākais kopīgais dalītājs a 1, a 2, ..., a k ir vienāds ar skaitli d k, ko atrod, secīgi aprēķinot GCD(a 1, a 2)=d 2 , GCD(d 2, a 3) = d 3, GCD(d 3, a 4) = d 4,..., GCD(d k-1, a k) = d k. Apskatīsim, kā izskatās vairāku skaitļu gcd atrašanas process, aplūkojot piemēra risinājumu. Piemērs. Atrodiet četru skaitļu 78, 294, 570 un 36 lielāko kopējo koeficientu. Risinājums. Šajā piemērā a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36. Pirmkārt, izmantojot Eiklīda algoritmu, mēs nosakām pirmo divu skaitļu 78 un 294 lielāko kopīgo dalītāju d 2. Dalot iegūstam vienādības 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 un 18=6·3. Tādējādi d 2 = GCD(78, 294) = 6. Tagad aprēķināsim d 3 = GCD(d 2, a 3) = GCD(6, 570). Atkal pielietosim Eiklīda algoritmu: 570=6·95, tātad d 3 = GCD(6, 570)=6. Atliek aprēķināt d 4 = GCD(d 3, a 4) = GCD(6, 36). Tā kā 36 dalās ar 6, tad d 4 = GCD(6, 36) = 6. Tādējādi četru doto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir d 4 =6, tas ir, gcd(78, 294, 570, 36)=6. Atbilde: GCD(78, 294, 570, 36)=6 . Skaitļu faktorēšana primārajos faktoros ļauj arī aprēķināt trīs vai vairāku skaitļu gcd. Šajā gadījumā lielākais kopējais dalītājs tiek atrasts kā visu doto skaitļu kopējo pirmkoeficientu reizinājums. Piemērs. Aprēķiniet skaitļu gcd no iepriekšējā piemēra, izmantojot to primārās faktorizācijas. Risinājums. Sarēķināsim skaitļus 78, 294, 570 un 36 pirmfaktoros, iegūstam 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 · 3 · 3. Visu šo četru skaitļu kopējie pirmfaktori ir skaitļi 2 un 3. Tāpēc GCD(78; 294; 570; 36) = 2 · 3 = 6. Aplis parādīja, kā kolonnā var iegūt kvadrātsaknes. Jūs varat aprēķināt sakni ar patvaļīgu precizitāti, atrast jebkuru ciparu skaitu tās decimāldaļās, pat ja tas izrādās neracionāls. Algoritmu atcerējās, bet jautājumi palika. Nebija skaidrs, no kurienes šī metode radusies un kāpēc tā deva pareizo rezultātu. Grāmatās tā nebija, vai varbūt es vienkārši meklēju nepareizās grāmatās. Galu galā, tāpat kā liela daļa no tā, ko šodien zinu un varu, es to izdomāju pats. Es šeit dalos ar savām zināšanām. Starp citu, es joprojām nezinu, kur ir dots algoritma pamatojums))) Vispirms es jums pastāstīšu, kā sistēma darbojas, izmantojot piemēru, un pēc tam paskaidroju, kāpēc tā faktiski darbojas. Ņemsim skaitli (skaitlis tika ņemts "no zila gaisa", tas tikai ienāca prātā). 1. Mēs sadalām tā skaitļus pa pāriem: tie, kas atrodas pa kreisi no komata, ir sagrupēti pa diviem no labās uz kreiso pusi, un tie, kas atrodas pa labi, ir grupēti divi no kreisās uz labo pusi. Mēs saņemam. 2. Mēs izņemam kvadrātsakni no pirmās skaitļu grupas kreisajā pusē - mūsu gadījumā tas ir (ir skaidrs, ka precīzu sakni var neizvilkt, mēs ņemam skaitli, kura kvadrāts ir pēc iespējas tuvāks mūsu skaitlim, ko veido pirmā skaitļu grupa, bet nepārsniedz to). Mūsu gadījumā tas būs skaitlis. Mēs pierakstām atbildi - tas ir nozīmīgākais saknes cipars. 3. Skaitli, kas jau ir atbildē - šo - mēs kvadrātā un atņemam to no pirmās skaitļu grupas kreisajā pusē - no skaitļa. Mūsu gadījumā tas paliek. 4. Mēs piešķiram šādu divu skaitļu grupu pa labi: . Atbildē jau esošo skaitli reizinām ar , un iegūstam . 5. Tagad uzmanīgi vērojiet. Mums ir jāpiešķir viens cipars numuram labajā pusē un jāreizina ar, tas ir, ar to pašu piešķirto ciparu. Rezultātam jābūt pēc iespējas tuvākam šim skaitlim, bet atkal ne lielākam par šo skaitli. Mūsu gadījumā tas būs skaitlis, mēs to rakstām atbildē blakus, labajā pusē. Šis ir nākamais cipars mūsu kvadrātsaknes decimāldaļā. 6. No reizinājuma atņemšanas iegūstam . 7. Tālāk atkārtojam pazīstamās darbības: pa labi piešķiram šādu ciparu grupu, iegūtajam skaitlim reizinim ar , > piešķiram vienu ciparu pa labi tā, ka, reizinot ar to, iegūstam skaitli, kas ir mazāks par , bet tuvākais uz to - tas ir nākamais cipars decimālsaknes apzīmējumā. Aprēķini tiks rakstīti šādi:
Un tagad solītais skaidrojums. Algoritms ir balstīts uz formulu Komentāri: 51
Kopš seniem laikiem darbs ar skaitļiem ir sadalīts divās dažādās jomās: viena tieši attiecās uz skaitļu īpašībām, otra bija saistīta ar skaitīšanas paņēmieniem. Ar "aritmētiku" daudzās valstīs parasti tiek domāta šī pēdējā joma, kas neapšaubāmi ir vecākā matemātikas nozare. Acīmredzot senajiem kalkulatoriem vislielākās grūtības sagādāja darbs ar daļskaitļiem. To var redzēt no Ahmesa papirusa (saukta arī par Rhind papirusu), seno ēģiptiešu matemātikas darbu, kas datēts aptuveni 1650. gadā pirms mūsu ēras. Visām papirusā minētajām frakcijām, izņemot 2/3, ir skaitītāji, kas vienādi ar 1. Grūtības rīkoties ar daļdaļām ir manāmas arī, pētot seno babiloniešu ķīļraksta plāksnes. Gan senie ēģiptieši, gan babilonieši, acīmredzot, veica aprēķinus, izmantojot kādu abakusu. Ciparu zinātne ir ievērojami attīstījusies seno grieķu vidū, sākot ar Pitagoru, aptuveni 530. gadu pirms mūsu ēras. Runājot par pašu aprēķinu tehnoloģiju, grieķi šajā jomā darīja daudz mazāk. Vēlākie romieši, gluži pretēji, praktiski nedeva nekādu ieguldījumu skaitļu zinātnē, bet, pamatojoties uz strauji attīstošās ražošanas un tirdzniecības vajadzībām, viņi uzlaboja abakusu kā skaitīšanas ierīci. Ļoti maz ir zināms par Indijas aritmētikas izcelsmi. Mums ir nonākuši tikai daži vēlāki darbi par skaitļu darbību teoriju un praksi, kas tapuši pēc tam, kad Indijas pozicionālā sistēma tika uzlabota, iekļaujot tajā nulli. Kad tieši tas notika, mēs precīzi nezinām, taču tieši tad tika likti pamati mūsu visizplatītākajiem aritmētiskajiem algoritmiem. Indijas skaitļu sistēmu un pirmos aritmētiskos algoritmus aizņēmās arābi. Senāko arābu valodas aritmētikas mācību grāmatu uzrakstīja al-Khwarizmi ap 825. gadu. Tajā plaši izmantoti un skaidroti indiešu cipari. Šī mācību grāmata vēlāk tika tulkota latīņu valodā, un tai bija ievērojama ietekme uz Rietumeiropu. Vārda al-Khwarizmi izkropļota versija ir nonākusi līdz mums vārdā "algorisms", kas, ja to tālāk sajauc ar grieķu vārdu aritmi kļuva par terminu "algoritms". Rietumeiropā indoarābu aritmētika kļuva pazīstama galvenokārt pateicoties L. Fibonači darbam Abaku grāmata (Liber abaci, 1202). Abacistu metode piedāvāja vienkāršojumus, kas līdzīgi mūsu pozicionālās sistēmas lietošanai, vismaz saskaitīšanai un reizināšanai. Abacistus aizstāja algoritmi, kas izmantoja nulli un arābu dalīšanas un kvadrātsaknes ekstrakcijas metodi. Viena no pirmajām aritmētikas mācību grāmatām, kuras autors mums nav zināms, tika izdota Trevīzo (Itālija) 1478. gadā. Tajā tika aplūkoti aprēķini, veicot tirdzniecības darījumus. Šī mācību grāmata kļuva par daudzu aritmētikas mācību grāmatu priekšteci, kas parādījās vēlāk. Līdz 17. gadsimta sākumam. Eiropā tika izdoti vairāk nekā trīs simti šādu mācību grāmatu. Šajā laikā ir būtiski uzlaboti aritmētiskie algoritmi. 16.–17.gs. Parādījās aritmētisko darbību simboli, piemēram, =, +, -, ґ, ё un . Aritmētisko aprēķinu mehanizācija.Sabiedrībai attīstoties, radās nepieciešamība pēc ātrākiem un precīzākiem aprēķiniem. Šī vajadzība radīja četrus ievērojamus izgudrojumus: indoarābu cipari, decimālskaitļi, logaritmi un modernas skaitļošanas mašīnas. Faktiski vienkāršākās skaitļošanas ierīces pastāvēja pirms mūsdienu aritmētikas parādīšanās, jo senatnē ar abakusu tika veiktas elementāras aritmētiskās darbības (Krievijā šim nolūkam izmantoja abakusus). Par vienkāršāko mūsdienu skaitļošanas ierīci var uzskatīt slaidu kārtulu, kas sastāv no divām viens pa otru slīdošām logaritmiskām skalām, kas ļauj reizināt un dalīt, summējot un atņemot skalu segmentus. B. Paskāls (1642) tiek uzskatīts par pirmās mehāniskās pievienošanas mašīnas izgudrotāju. Vēlāk tajā pašā gadsimtā G. Leibnics (1671) Vācijā un S. Morelands (1673) Anglijā izgudroja mašīnas reizināšanas veikšanai. Šīs mašīnas kļuva par 20. gadsimta galddatoru skaitļošanas ierīču (aritmometru) priekštecēm, kas ļāva ātri un precīzi veikt saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas darbības. 1812. gadā angļu matemātiķis C. Babage sāka veidot matemātisko tabulu aprēķināšanas mašīnas dizainu. Lai gan darbs pie projekta turpinājās daudzus gadus, tas palika nepabeigts. Tomēr Beidža projekts kalpoja par stimulu modernu elektronisko datoru radīšanai, kuru pirmie paraugi parādījās ap 1944. gadu. Šo mašīnu ātrums bija pārsteidzošs: ar to palīdzību dažu minūšu vai stundu laikā bija iespējams atrisināt problēmas, kas iepriekš prasīja. daudzu gadu nepārtraukti aprēķini, pat izmantojot pievienošanas iekārtas.
Pozitīvi veseli skaitļi.Ļaujiet A Un B ir divas ierobežotas kopas, kurām nav kopīgu elementu, un pieņemsim A satur n elementi un B satur m elementi. Tad daudzi S, kas sastāv no visiem komplektu elementiem A Un B, kopā ņemta, ir ierobežota kopa, kas satur, piemēram, s elementi. Piemēram, ja A sastāv no elementiem ( a, b, c), ķekars IN- no elementiem ( x, y), tad komplekts S=A+B un sastāv no elementiem ( a, b, c, x, y). Numurs s sauca summa cipariem n Un m, un mēs to rakstām šādi: s = n + m. Šajā ierakstā skaitļi n Un m tiek saukti noteikumiem, summas atrašanas operācija – papildinājums. Darbības simbols "+" tiek lasīts kā "pluss". ķekars P, kas sastāv no visiem sakārtotiem pāriem, kuros no kopas ir izvēlēts pirmais elements A, un otrais ir no komplekta B, ir ierobežota kopa, kas satur, piemēram, lpp elementi. Piemēram, ja, tāpat kā iepriekš, A = {a, b, c}, B = {x, y), Tas P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Numurs lpp sauca strādāt cipariem a Un b, un mēs to rakstām šādi: p = aґb vai p = a × b. Skaitļi a Un b darbā viņi tiek saukti reizinātāji, preces atrašanas darbība – reizināšana. Darbības simbols ґ tiek lasīts kā “reizināts ar”. Var parādīt, ka no šīm definīcijām izriet šādi veselu skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatlikumi: - komutatīvās saskaitīšanas likums: a + b = b + a; - asociatīvās pievienošanas likums: a + (b + c) = (a + b) + c; - komutatīvās reizināšanas likums: aґb = bґa; – reizināšanas asociativitātes likums: aґ(bґc) = (aґb)ґc; - sadales likums: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc). Ja a Un b– divi pozitīvi veseli skaitļi un, ja ir pozitīvs vesels skaitlis c, tāds, ka a = b + c, tad mēs tā sakām a vairāk b(tas ir rakstīts šādi: a>b), vai ko b mazāk a(tas ir rakstīts šādi: b). Jebkuriem diviem skaitļiem a Un b viena no trim attiecībām ir spēkā: vai nu a = b, vai a>b, vai a. Pirmie divi pamatlikumi saka, ka divu vai vairāku terminu summa nav atkarīga no tā, kā tie ir grupēti vai kādā secībā tie ir sakārtoti. Tāpat no trešā un ceturtā likuma izriet, ka divu vai vairāku faktoru reizinājums nav atkarīgs no tā, kā faktori ir sagrupēti vai kāda ir to secība. Šie fakti ir pazīstami kā saskaitīšanas un reizināšanas "vispārinātie komutativitātes un asociativitātes likumi". No tiem izriet, ka rakstot vairāku terminu summu vai vairāku faktoru reizinājumu, terminu un faktoru secībai nav nozīmes un iekavas var izlaist. Jo īpaši atkārtotā summa a + a + ... + a no n termini ir vienādi ar nґa. Atkārtots darbs aґaґ ... ґa no n Mēs vienojāmies apzīmēt faktorus a n; numuru a sauca pamats un numuru n – atkārtota produkta indikators, pats atkārtotais darbs - n-tā jauda cipariem a. Šīs definīcijas ļauj mums noteikt šādus eksponentu pamatlikumus: Vēl viena svarīga definīciju sekas: aґ1 = a jebkuram veselam skaitlim a, un 1 ir vienīgais veselais skaitlis, kam ir šis īpašums. Tiek izsaukts numurs 1 vienība. Veselu skaitļu dalītāji.Ja a, b, c– veseli skaitļi un aґb = c, Tas a Un b ir skaitļa dalītāji c. Jo aґ1 = a jebkuram veselam skaitlim a, mēs secinām, ka 1 ir jebkura vesela skaitļa dalītājs un jebkurš vesels skaitlis ir pats sevis dalītājs. Jebkurš vesela skaitļa dalītājs a, atšķiras no 1 vai a, ieguva nosaukumu pareizais dalītājs cipariem a. Tiek izsaukts jebkurš vesels skaitlis, kas nav 1 un kam nav savu dalītāju pirmskaitlis. (Pirmskaitļa piemērs ir skaitlis 7.) Tiek izsaukts vesels skaitlis, kuram ir savi dalītāji salikts numurs. (Piemēram, skaitlis 6 ir salikts, jo 2 dala 6.) No iepriekš minētā izriet, ka visu veselo skaitļu kopa ir sadalīta trīs klasēs: viena, pirmskaitļi un saliktie skaitļi. Skaitļu teorijā ir ļoti svarīga teorēma, kurā teikts, ka "jebkuru veselu skaitli var attēlot kā pirmskaitļu reizinājumu, un līdz faktoru secībai šāds attēlojums ir unikāls." Šī teorēma ir pazīstama kā "aritmētikas fundamentālā teorēma". Tas parāda, ka pirmskaitļi kalpo kā “veidošanas bloki”, no kuriem, izmantojot reizināšanu, var izveidot visus veselus skaitļus, izņemot vienu. Ja ir dota noteikta veselu skaitļu kopa, tad lielāko veselo skaitli, kas ir katra šajā kopā iekļautā skaitļa dalītājs, sauc lielākais kopīgais dalītājs dotā skaitļu kopa; tiek izsaukts mazākais veselais skaitlis, kura dalītājs ir katrs skaitlis no dotās kopas mazākais kopīgs daudzkārtnis dotā skaitļu kopa. Tādējādi skaitļu 12, 18 un 30 lielākais kopīgais dalītājs ir 6. Šo pašu skaitļu mazākais kopīgais reizinātājs ir 180. Ja divu veselu skaitļu lielākais kopīgais dalītājs a Un b ir vienāds ar 1, tad skaitļi a Un b tiek saukti savstarpēji galvenais. Piemēram, skaitļi 8 un 9 ir salīdzinoši pirmskaitļi, lai gan neviens no tiem nav pirmskaitļi. Pozitīvi racionālie skaitļi.Kā mēs redzējām, veseli skaitļi ir abstrakcijas, kas rodas ierobežotu objektu kopu skaitīšanas procesā. Tomēr ikdienas vajadzībām ar veseliem skaitļiem nepietiek. Piemēram, mērot galda virsmas garumu, pieņemtā mērvienība var būt pārāk liela un neietilpst veselu reižu skaitu izmērītajā garumā. Lai tiktu galā ar šādu grūtību, ar ts palīdzību. daļēja(t.i., burtiski “salauzti”) skaitļi, tiek ieviesta mazāka garuma vienība. Ja d– kāds vesels skaitlis, tad daļskaitļa vienība 1/ d nosaka īpašums dґ1/d= 1, un ja n tad ir vesels skaitlis nґ1/d mēs to vienkārši rakstām kā n/d. Šos jaunos skaitļus sauc par "parastajām" vai "vienkāršajām" daļām. Vesels skaitlis n sauca skaitītājs daļskaitļi un skaitļi d – saucējs. Saucējs parāda, cik vienādās daļās vienība tika sadalīta, un skaitītājs parāda, cik šādas daļas tika ņemtas. Ja n d, daļu sauc par pareizu; ja n = d vai n>d, tad tas ir nepareizi. Veselus skaitļus uzskata par daļām ar saucēju 1; piemēram, 2 = 2/1. Kopš frakcijas n/d var interpretēt kā dalīšanas rezultātu n vienības uz d vienādās daļās un ņemot vienu no šīm daļām, daļskaitli var uzskatīt par divu veselu skaitļu "koeficientu" vai "attiecību". n Un d, un saprotiet daļskaitļa līniju kā dalījuma zīmi. Tāpēc parasti tiek sauktas daļskaitļi (ieskaitot veselus skaitļus kā īpašu daļu gadījumu). racionāls skaitļi (no latīņu attiecības - attiecība). Divas frakcijas n/d Un ( kґn)/(kґd), Kur k– vesels skaitlis, var uzskatīt par vienādu; piemēram, 4/6 = 2/3. (Šeit n = 2, d= 3 un k= 2.) To sauc par “daļskaitļa pamatīpašību”: nevienas daļdaļas vērtība nemainīsies, ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina (vai dala) ar to pašu skaitli. No tā izriet, ka jebkuru daļskaitli var uzrakstīt kā divu relatīvi pirmskaitļu attiecību. No iepriekš piedāvātās daļas interpretācijas arī izriet, ka kā divu daļskaitļu summa n/d Un m/d ja ir tāds pats saucējs, jums jāņem daļskaitlis ( n + m)/d. Saskaitot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, tie vispirms ir jāpārvērš, izmantojot daļskaitļa pamatīpašību, līdzvērtīgās daļās ar tādu pašu (kopsaucēju). Piemēram, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) un n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), no kurienes Varētu darīt savādāk un vispirms atrast, teiksim, mazāko kopīgo daudzkārtni m, saucēji d 1 un d 2. Tad ir veseli skaitļi k 1 un k 2 , tāda, ka m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 un mēs iegūstam: Ar šo metodi numurs m parasti sauc mazākais kopsaucējs divas frakcijas. Šie divi rezultāti ir līdzvērtīgi daļskaitļu vienādības definīcijai. Divu frakciju reizinājums n 1 /d 1 un n 2 /d 2 tiek pieņemts vienāds ar daļskaitli ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2). Iepriekš minētie astoņi pamatlikumi veseliem skaitļiem ir spēkā arī tad, ja saskaņā a, b, c saprast patvaļīgus pozitīvus racionālos skaitļus. Arī tad, ja doti divi pozitīvi racionālie skaitļi n 1 /d 1 un n 2 /d 2, tad mēs to sakām n 1 /d 1 > n 2 /d 2 tad un tikai tad n 1 H d 2 > n 2 H d 1 . Pozitīvi reālie skaitļi.Skaitļu izmantošana līniju segmentu garuma mērīšanai liecina, ka jebkuriem diviem dotajiem līnijas segmentiem AB Un CD ir jābūt kādam segmentam UV, iespējams, ļoti mazs, ko varētu atlikt veselu skaitu reižu katrā no segmentiem AB Un CD. Ja tāda kopēja garuma vienība UV pastāv, tad segmenti AB Un CD tiek saukti par samērīgiem. Jau senos laikos pitagorieši zināja par nesalīdzināmu taisnu segmentu esamību. Klasisks piemērs ir kvadrāta mala un tā diagonāle. Ja par garuma vienību ņemam kvadrāta malu, tad nav tāda racionāla skaitļa, kas varētu būt šī kvadrāta diagonāles mērs. To var pārliecināties, strīdoties ar pretrunām. Patiešām, pieņemsim, ka racionālais skaitlis n/d ir diagonāles mērs. Bet tad segments 1/ d varētu atlikt n vienreiz pa diagonāli un d reizes laukuma malā, neskatoties uz to, ka diagonāle un laukuma mala ir nesamērīgas. Līdz ar to, neatkarīgi no garuma mērvienības izvēles, ne visiem līniju posmiem ir garumi, kas izsakāmi ar racionāliem skaitļiem. Lai visus līniju posmus varētu mērīt ar kādu garuma vienību, skaitļu sistēma ir jāpaplašina, iekļaujot skaitļus, kas atspoguļo to līniju posmu garuma mērīšanas rezultātus, kas nav samērīgi ar izvēlēto garuma vienību. Šos jaunos skaitļus sauc par pozitīviem neracionāli cipariem. Pēdējie kopā ar pozitīviem racionālajiem skaitļiem veido plašāku skaitļu kopu, kuras elementus sauc par pozitīviem derīgs cipariem. Ja VAI– horizontāla puslīnija, kas izplūst no punkta O, U– punkts uz VAI, atšķiras no izcelsmes O, Un OU tiek izvēlēts kā vienības segments, tad katrs punkts P uz puslīnijas VAI var saistīt ar vienu pozitīvu reālo skaitli lpp, kas izsaka segmenta garumu OP. Tādā veidā mēs izveidojam vienlīdzīgu atbilstību starp pozitīviem reāliem skaitļiem un punktiem, kas nav O, uz puslīnijas VAI. Ja lpp Un q– divi pozitīvi reāli skaitļi, kas atbilst punktiem P Un J ieslēgts VAI, tad rakstām p>q,p = q vai p atkarībā no punkta atrašanās vietas P pa labi no punkta J ieslēgts VAI, sakrīt ar J vai atrodas pa kreisi no J. Pozitīvu iracionālo skaitļu ieviešana būtiski paplašināja aritmētikas pielietojamības jomu. Piemēram, ja a– jebkurš pozitīvs reālais skaitlis un n ir jebkurš vesels skaitlis, tad ir tikai viens pozitīvs reālais skaitlis b, tāds, ka bn=a. Šis numurs b sauc par sakni n th pakāpe a un ir rakstīts kā, kur simbols kontūrā atgādina latīņu burtu r, ar ko sākas latīņu vārds radix(sakne) un tiek saukts radikāls. To var parādīt Šīs attiecības ir pazīstamas kā radikāļu pamatīpašības. No praktiskā viedokļa ir ļoti svarīgi, lai jebkurš pozitīvs iracionāls skaitlis tiktu tuvināts tik precīzi, cik vēlams ar pozitīvu racionālu skaitli. Tas nozīmē, ka, ja r ir pozitīvs iracionāls skaitlis un e ir patvaļīgi mazs pozitīvs racionālais skaitlis, tad varam atrast pozitīvus racionālos skaitļus a Un b, tāds, ka a un b. Piemēram, skaitlis ir neracionāls. Ja izvēlaties e= 0,01, tad ; ja izvēlaties e= 0,001, tad . Indoarābu skaitļu sistēma.Aritmētikas algoritmi vai aprēķinu shēmas ir atkarīgas no izmantotās skaitļu sistēmas. Pilnīgi acīmredzami, piemēram, romiešu skaitļu sistēmai izgudrotās aprēķinu metodes var atšķirties no algoritmiem, kas izgudroti pašreizējai indoarābu sistēmai. Turklāt dažas skaitļu sistēmas var būt pilnīgi nepiemērotas aritmētisko algoritmu konstruēšanai. Vēsturiskie dati liecina, ka pirms indoarābu skaitļu pierakstīšanas sistēmas ieviešanas vispār nebija algoritmu, kas ļāva pietiekami vienkārši saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, izmantojot “zīmuli un papīru”. Ilgajos indoarābu sistēmas pastāvēšanas gados tika izstrādātas daudzas tai īpaši pielāgotas algoritmiskas procedūras, tāpēc mūsu mūsdienu algoritmi ir veselas attīstības un uzlabošanas laikmeta produkts. Hindu-arābu skaitļu sistēmā katrs ieraksts, kas apzīmē skaitli, ir desmit pamata simbolu kopa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ko sauc par cipariem. Piemēram, hinduistu-arābu apzīmējums skaitļam četri simti divdesmit trīs izpaužas kā ciparu secība 423. Cipara nozīmi hindu-arābu valodā skaitļa apzīmējumā nosaka tā vieta vai pozīcija, ciparu secībā, kas veido šo apzīmējumu. Mūsu sniegtajā piemērā skaitlis 4 nozīmē četrus simtus, skaitlis 2 nozīmē divus desmitus un skaitlis 3 nozīmē trīs vienības. Skaitlim 0 (nulle), ko izmanto, lai aizpildītu tukšas pozīcijas, ir ļoti svarīga loma; piemēram, ieraksts 403 nozīmē skaitli četri simti trīs, t.i. desmitiem trūkst. Ja a, b, c, d, e nozīmē atsevišķus skaitļus, tad indoarābu sistēmā abcde nozīmē vesela skaitļa saīsinājumu Tā kā katrs vesels skaitlis veido unikālu attēlojumu Kur n ir vesels skaitlis un a 0 , a 1 ,..., a n- skaitļi, secinām, ka dotajā skaitļu sistēmā katrs vesels skaitlis var tikt attēlots unikālā veidā. Hindu-arābu skaitļu sistēma ļauj īsi uzrakstīt ne tikai veselus skaitļus, bet arī jebkurus pozitīvus reālos skaitļus. Ieviesīsim apzīmējumu 10 - n par 1/10 n, Kur n– patvaļīgs pozitīvs vesels skaitlis. Tad, kā var parādīt, jebkuru pozitīvu reālo skaitli var attēlot formā un unikāli Šo ierakstu var saspiest, ierakstot to kā skaitļu virkni kur ir zīme, ko sauc par decimālzīmi, starp a 0 un b 1 norāda, kur sākas 10 negatīvās pakāpes (dažās valstīs šim nolūkam tiek izmantots punkts). Šo pozitīva reālā skaitļa rakstīšanas metodi sauc par decimālo izvērsumu, un daļskaitli, kas tiek parādīta tās decimālskaitļa izplešanās formā, ir decimālzīme. Var parādīt, ka pozitīvam racionālam skaitlim decimāldaļas izvērsums aiz komata vai nu pārtrūkst (piemēram, 7/4 = 1,75), vai atkārtojas (piemēram, 6577/1980 = 3,32171717...). Ja skaitlis ir iracionāls, tad tā decimāldaļas izvērsums nepārkāpj un neatkārtojas. Ja iracionāla skaitļa decimālā izvēršana tiek pārtraukta kādā decimāldaļā, mēs iegūstam tā racionālo tuvinājumu. Jo tālāk pa labi no komata atrodas zīme, pie kuras mēs pārtraucam decimālo izvērsumu, jo labāka ir racionālā tuvināšana (jo mazāka kļūda). Hindu-arābu sistēmā skaitlis tiek rakstīts, izmantojot desmit pamatciparus, kuru nozīme ir atkarīga no to vietas jeb stāvokļa skaitļa apzīmējumā (cipara vērtība ir vienāda ar cipara un dažu ciparu reizinājumu jauda 10). Tāpēc šādu sistēmu sauc par decimālo pozicionālo sistēmu. Pozicionālās skaitļu sistēmas ir ļoti ērtas aritmētisko algoritmu konstruēšanai, un tāpēc indoarābu skaitļu sistēma ir tik plaši izplatīta mūsdienu pasaulē, lai gan dažādās valstīs atsevišķu skaitļu apzīmēšanai var izmantot dažādus simbolus. Ciparu nosaukumi.Ciparu nosaukumi indoarābu sistēmā atbilst noteiktiem noteikumiem. Visizplatītākais skaitļu nosaukšanas veids ir tāds, ka skaitlis vispirms tiek sadalīts trīs ciparu grupās no labās uz kreiso pusi. Šīs grupas sauc par "periodiem". Pirmo periodu sauc par "vienību" periodu, otro - par "tūkstošu" periodu, trešo - par "miljonu" periodu utt., kā parādīts šajā piemērā: Katrs punkts tiek nolasīts tā, it kā tas būtu trīsciparu skaitlis. Piemēram, periods 962 tiek lasīts kā "deviņi simti sešdesmit divi". Lai nolasītu skaitli, kas sastāv no vairākiem punktiem, tiek nolasīta katra perioda ciparu grupa, sākot ar galējo kreiso un pēc tam secībā no kreisās puses uz labo; Katrai grupai seko perioda nosaukums. Piemēram, iepriekš minētais skaitlis skan "septiņdesmit trīs triljoni astoņi simti četrdesmit divi miljardi deviņi simti sešdesmit divi miljoni pieci simti trīsdesmit divi tūkstoši septiņi simti deviņdesmit astoņi". Ņemiet vērā, ka, lasot un rakstot veselus skaitļus, savienojums “un” parasti netiek lietots. Vienības kategorijas nosaukums ir izlaists. Triljoniem seko kvadriljoni, kvintiljoni, sekstiljoni, septiljoni, oktiljoni, nonaljoni un deciljoni. Katram periodam ir 1000 reižu lielāka vērtība nekā iepriekšējam. Hindu-arābu sistēmā ir ierasts ievērot šādu procedūru, lai nolasītu ciparus pa labi no komata. Šeit tiek sauktas pozīcijas (secībā no kreisās uz labo): “desmitdaļas”, “simtdaļas”, “tūkstošdaļas”, “desmittūkstošdaļas” utt. Pareiza decimāldaļa tiek lasīta tā, it kā cipari aiz komata veido veselu skaitli, kam seko pēdējā cipara pozīcijas nosaukums pa labi. Piemēram, 0,752 tiek lasīts kā "septiņi simti piecdesmit divas tūkstošdaļas". Jauktu decimāldaļu nolasa, apvienojot veselu skaitļu nosaukšanas kārtulu ar pareizu decimāldaļu nosaukšanas noteikumu. Piemēram, 632.752 skan "seši simti trīsdesmit divi komata septiņi simti piecdesmit divas tūkstošdaļas". Ievērojiet vārdu "veselas skaitļi" pirms komata. Pēdējos gados decimālskaitļi arvien biežāk tiek lasīti vienkāršāk, piemēram, 3,782 kā "trīs komaņi septiņi simti astoņdesmit divi". Papildinājums.Tagad esam gatavi analizēt aritmētiskos algoritmus, kas tiek mācīti pamatskolā. Šie algoritmi nodarbojas ar operācijām ar pozitīviem reāliem skaitļiem, kas rakstīti kā decimāldaļas paplašinājumi. Mēs pieņemam, ka elementāras saskaitīšanas un reizināšanas tabulas ir apgūtas no galvas. Apsveriet saskaitīšanas problēmu: aprēķiniet 279,8 + 5,632 + 27,54: Pirmkārt, mēs summējam tos pašus skaitļa 10 pakāpumus. Skaitlis 19Х10 –1 tiek sadalīts saskaņā ar sadalījuma likumu 9Х10 –1 un 10Х10 –1 = 1. Mēs pārvietojam vienību pa kreisi un pievienojam to 21, kas dod 22. Savukārt skaitli 22 sadalām 2 un 20 = 2H10. Mēs pārvietojam skaitli 2H10 pa kreisi un pievienojam to 9H10, kas dod 11H10. Visbeidzot, mēs sadalām 11H10 1H10 un 10H10 = 1H10 2, pārvietojam 1H10 2 pa kreisi un pievienojam 2H10 2, kas dod 3H10 2. Galīgā summa izrādās 312 972. Skaidrs, ka veiktos aprēķinus var izklāstīt kodolīgākā formā, vienlaikus izmantojot to kā piemēru saskaitīšanas algoritmam, ko māca skolā. Lai to izdarītu, mēs ierakstām visus trīs skaitļus vienu zem otra, lai decimāldaļas atrastos vienā un tajā pašā vertikālē: Sākot no labās puses, mēs atklājam, ka koeficientu summa pie 10 –3 ir vienāda ar 2, ko mēs ierakstām attiecīgajā kolonnā zem rindas. Koeficientu summa pie 10 –2 ir vienāda ar 7, ko arī ieraksta attiecīgajā kolonnā zem rindas. Koeficientu summa 10 –1 ir 19. Zem rindas ierakstām skaitli 9 un 1 pārejam uz iepriekšējo kolonnu, kur ir vieni. Ņemot vērā šo vienību, koeficienta summa šajā kolonnā izrādās vienāda ar 22. Zem rindas ierakstām vienu divi, bet otru pārvietojam uz iepriekšējo kolonnu, kur ir desmiti. Ņemot vērā pārsūtītos divus, koeficientu summa šajā ailē ir vienāda ar 11. Zem rindas ierakstām vienu vienību, bet otru pārnesam uz iepriekšējo kolonnu, kur ir simti. Koeficientu summa šajā kolonnā izrādās vienāda ar 3, ko mēs rakstām zem līnijas. Nepieciešamā summa ir 312 972. Atņemšana.Atņemšana ir saskaitīšanas apgrieztā vērtība. Ja trīs pozitīvi reālie skaitļi a, b, c savstarpēji savienoti tā, lai a+b=c, tad rakstām a = c – b, kur simbols “-” tiek lasīts kā “mīnuss”. Skaitļa atrašana a pēc zināmiem skaitļiem b Un c sauc par "atņemšanu". Numurs c sauc minuend, numurs b– “atņemams” un skaitlis a- "atšķirība". Tā kā mums ir darīšana ar pozitīviem reāliem skaitļiem, nosacījumam ir jābūt izpildītam c > b. Apskatīsim atņemšanas piemēru: aprēķiniet 453,87 – 82,94. Pirmkārt, aizņemoties vienību no kreisās puses, ja nepieciešams, mēs pārveidojam minuend izplešanos tā, lai tās koeficients jebkurai pakāpei 10 būtu lielāks nekā apakšdaļas koeficients tai pašai jaudai. No 4H10 2 aizņemamies 1H10 2 = 10H10, pēdējo skaitli pievienojot nākamajam izvērsuma termiņam, kas dod 15H10; līdzīgi aizņemamies 1Х10 0 vai 10Ч10 –1, un šo skaitli pievienojam paplašināšanas priekšpēdējam termiņam. Pēc tam mēs iegūstam iespēju atņemt koeficientus tām pašām skaitļa 10 pakāpēm un viegli atrast starpību 370,93. Atņemšanas operāciju ierakstu var attēlot saspiestākā formā, un jūs varat iegūt skolā apgūta atņemšanas algoritma piemēru. Mēs rakstām apakšrindu zem minuend tā, lai to decimāldaļas atrastos vienā vertikālē. Sākot no labās puses, mēs atklājam, ka koeficientu starpība pie 10 –2 ir vienāda ar 3, un mēs ierakstām šo skaitli tajā pašā kolonnā zem rindas. Tā kā nākamajā kolonnā pa kreisi mēs nevaram atņemt 9 no 8, mēs mainām trīs minūtes vienību pozīcijā uz divi un skaitli 8 desmito pozīcijā traktējam kā 18. Atņemot 9 no 18, mēs iegūstam 9 utt. ., t.i. Reizināšana.Vispirms aplūkosim t.s “Īsā” reizināšana ir pozitīva reālā skaitļa reizināšana ar vienu no viencipara skaitļiem 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, piemēram, 32.67ґ4. Izmantojot sadalījuma likumu, kā arī reizināšanas asociativitātes un komutativitātes likumus, mēs iegūstam iespēju sadalīt faktorus daļās un sakārtot tos ērtākā veidā. Piemēram, Šos aprēķinus var uzrakstīt kompaktāk šādi: Saspiešanas procesu var turpināt. Mēs rakstām koeficientu 4 zem reizinātāja 32,67, kā norādīts: Tā kā 4ґ7 = 28, mēs rakstām skaitli 8 zem rindas un novietojam 2 virs reizinātāja skaitļa 6. Tālāk 4ґ6 = 24, kas, ņemot vērā to, kas tiek pārsūtīts no labās puses kolonnas, dod 26. Zem rindas rakstām skaitli 6, bet virs reizinātāja skaitļa 2 rakstām 2. Tad iegūstam 4ґ2 = 8, kas savienojumā ar pārnestajiem diviem dod 10. Zem rindas parakstām skaitli 0, bet reizinātāja skaitļa 3 virs. Visbeidzot, 4ґ3 = 12, kas, ņemot vērā nodoto vienību, dod 13; Zem rindas ir rakstīts skaitlis 13. Ieliekot komatu aiz komata, mēs saņemam atbildi: reizinājums ir vienāds ar 130,68. "Garais" reizināšana ir vienkārši "īsa" reizināšana, kas tiek atkārtota atkal un atkal. Apsveriet, piemēram, reizināt skaitli 32,67 ar skaitli 72,4. Novietosim reizinātāju zem reizinātāja, kā norādīts: Veicot īsu reizināšanu no labās uz kreiso pusi, mēs iegūstam pirmo koeficientu 13,068, otro no 65,34 un trešo no 2286,9. Saskaņā ar sadalījuma likumu reizinājums, kas jāatrod, ir šo daļskaitļu summa jeb 2365.308. Rakstiskajā pierakstā daļējos produktos decimālpunkts tiek izlaists, taču tiem jābūt pareizi sakārtotiem “soļos”, lai pēc tam tos summētu, lai iegūtu pilno preci. Skaitļu aiz komata skaits reizinājuma ir vienāds ar decimālzīmju skaitu reizinātājā un reizinātājā. Divīzija.Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā darbība; tāpat kā reizināšana aizstāj atkārtotu saskaitīšanu, dalīšana aizstāj atkārtotu atņemšanu. Apsveriet, piemēram, jautājumu: cik reizes 3 ir ietverts 14? Atkārtojot darbību, atņemot 3 no 14, mēs atklājam, ka 3 četras reizes “ieiet” 14, un skaitlis 2 “paliek”, t.i. Tiek izsaukts numurs 14 dalāms, numurs 3 – sadalītājs, numurs 4 - Privāts un numurs 2 - atgādinājums. Iegūtās attiecības var izteikt vārdos šādi: dividende = (dalītāja ґ koeficients) + atlikums, 0 Ј atlikums Lai atrastu koeficientu un atlikumu 1400 dalītam ar 3, atkārtoti atņemot 3, būtu nepieciešams daudz laika un pūļu. Procedūru varētu ievērojami paātrināt, ja no 1400 vispirms atņemtu 300, tad no atlikuma 30 un visbeidzot 3. Atņemot 300 četras reizes, mēs iegūtu atlikumu 200; sešas reizes atņemot 30 no 200, atlikums būtu 20; visbeidzot, sešas reizes atņemot 3 no 20, mēs iegūstam atlikumu 2. Tāpēc Koeficients un atlikums, kas jāatrod, ir attiecīgi 466 un 2. Aprēķinus var sakārtot un pēc tam secīgi saspiest šādi: Iepriekš minētais pamatojums attiecas uz gadījumiem, kad dividende un dalītājs ir pozitīvi reāli skaitļi, kas izteikti decimālajā sistēmā. Ilustrēsim to ar 817.65е23.7 piemēru. Pirmkārt, dalītājs ir jāpārvērš par veselu skaitli, izmantojot decimālpunkta nobīdi. Šajā gadījumā dividendes decimālzīme tiek nobīdīta par tādu pašu zīmju skaitu aiz komata. Dalītājs un dividende ir sakārtoti, kā parādīts zemāk: Noteiksim, cik reizes dalītājs ir ietverts trīsciparu skaitlis 817, kas ir pirmā dividendes daļa, kuru dalām ar dalītāju. Tā kā tiek lēsts, ka tas ir ietverts trīs reizes, mēs reizinām 237 ar 3 un no 817 atņemam reizinājumu no 711. 106 starpība ir mazāka par dalītāju. Tas nozīmē, ka skaitlis 237 izmēģinājuma dividendē parādās ne vairāk kā trīs reizes. Skaitlis 3, kas rakstīts zem skaitļa 2 dalītāja zem horizontālās līnijas, ir koeficienta pirmais cipars, kas jāatrod. Pēc tam, kad mēs virzāmies uz leju ar nākamo dividendes ciparu, mēs iegūstam nākamo izmēģinājuma dividendi 1066, un mums ir jānosaka, cik reizes dalītājs 237 iekļaujas skaitļā 1066; Teiksim 4 reizes. Mēs reizinām dalītāju ar 4 un iegūstam reizinājumu 948, ko atņemam no 1066; starpība izrādās 118, kas nozīmē, ka koeficienta nākamais cipars ir 4. Pēc tam mēs atņemam nākamo dividendes ciparu un atkārtojam visu iepriekš aprakstīto procedūru. Šoreiz izrādās, ka izmēģinājuma dividende 1185 precīzi (bez atlikuma) dalās ar 237 (dalījuma atlikums beidzot izrādās 0). Atdalot ar decimālzīmi koeficientā tādu pašu ciparu skaitu, cik tie ir atdalīti dividendē (atcerieties, ka mēs iepriekš pārvietojām decimālzīmi), mēs saņemam atbildi: koeficients ir vienāds ar 34,5. Frakcijas.Aprēķini ar daļskaitļiem ietver saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, kā arī sarežģītu daļu vienkāršošanu. Daļskaitļu pievienošana ar vienādu saucēju tiek veikta, pievienojot skaitītājus, piemēram, 1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16. Ja daļām ir dažādi saucēji, tad tie vispirms ir jāsamazina līdz kopsaucējam, t.i. konvertēt daļskaitļos ar vienādiem saucējiem. Lai to izdarītu, atrodam mazāko kopsaucēju (katra dotā saucēja mazāko daudzkārtni). Piemēram, pievienojot 2/3, 1/6 un 3/5, mazākais kopsaucējs ir 30: Apkopojot, mēs iegūstam 20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30. Daļskaitļu atņemšana tiek veikta tāpat kā to pievienošana. Ja saucēji ir vienādi, tad atņemšana nonāk līdz skaitītāju atņemšanai: 10/13 – 2/13 = 8/13; Ja daļām ir dažādi saucēji, vispirms tās jāsavieno ar kopsaucēju: 7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8. Reizinot daļskaitļus, to skaitītājus un saucējus reizina atsevišķi. Piemēram, 5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27. Lai dalītu vienu daļskaitli ar citu, jums jāreizina pirmā daļa (dalīta) ar otrās daļas apgriezto daļu (dalītājs) (lai iegūtu atgriezenisko daļu, ir jāapmaina sākotnējās daļas skaitītājs un saucējs), t.i. ( n 1 /d 1)е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Piemēram, 3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7. Jaukts skaitlis ir vesela skaitļa un daļskaitļa summa (vai starpība), piemēram, 4 + 2/3 vai 10 - 1/8. Tā kā veselu skaitli var uzskatīt par daļskaitli ar saucēju 1, jaukts skaitlis nav nekas vairāk kā divu daļu summa (vai starpība). Piemēram, 4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3. Sarežģīta daļdaļa ir tāda, kuras skaitītājs, saucējs vai skaitītājs un saucējs satur daļu. Šo daļu var pārvērst par vienkāršu: Kvadrātsakne.Ja n r, tāds, ka r 2 = n. Numurs r sauca kvadrātsakne no n un ir apzīmēts. Skolā māca izvilkt kvadrātsaknes divos veidos. Pirmā metode ir populārāka, jo tā ir vienkāršāka un vieglāk pielietojama; aprēķini, izmantojot šo metodi, ir viegli realizējami darbvirsmas kalkulatorā un tiek vispārināti kuba sakņu un augstāko sakņu gadījumā. Metode ir balstīta uz to, ka, ja r 1 – tuvojoties saknei, tad r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – precīzāks saknes tuvinājums. Ilustrēsim procedūru, aprēķinot kvadrātsakni kādam skaitļam no 1 līdz 100, teiksim skaitlim 40. Tā kā 6 2 = 36 un 7 2 = 49, mēs secinām, ka 6 ir vislabākā tuvinājums veseliem skaitļiem. Precīzāku tuvinājumu iegūst no 6 šādi. Dalot 40 ar 6, iegūst 6,6 (noapaļots līdz pirmajai zīmei aiz komata) pat desmitdaļu skaitļi). Lai iegūtu otru tuvinājumu, mēs aprēķinām vidējo divu skaitļu 6 un 6,6 un iegūstam 6,3. Atkārtojot procedūru, mēs iegūstam vēl labāku tuvinājumu. Dalot 40 ar 6,3, mēs atrodam skaitli 6,350, un trešā tuvināšana izrādās (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325. Vēl viens atkārtojums dod 40е6.325 = 6.3241106, un ceturtais tuvinājums izrādās (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. Procesu var turpināt tik ilgi, cik vēlaties. Kopumā katrā nākamajā tuvinājumā var būt divreiz vairāk ciparu nekā iepriekšējā. Tātad mūsu piemērā, tā kā pirmais tuvinājums, vesels skaitlis 6, satur tikai vienu ciparu, mēs varam saglabāt divus ciparus otrajā tuvinājumā, četrus trešajā un astoņus ceturtajā. Ja numurs n nav no 1 līdz 100, tad vispirms ir jādala (vai jāreizina) n uz kādu jaudu 100, teiksim, līdz k-th, lai produkts būtu diapazonā no 1 līdz 100. Tad produkta kvadrātsakne būs diapazonā no 1 līdz 10, un pēc tā izvilkšanas mēs reizinim (vai dalām) iegūto skaitli ar 10 k, atrodiet vajadzīgo kvadrātsakni. Piemēram, ja n= 400 000, tad mēs vispirms sadalīt 400 000 ar 100 2, un mēs iegūstam skaitli 40, kas atrodas diapazonā no 1 līdz 100. Kā parādīts iepriekš, tas ir aptuveni vienāds ar 6,3245553. Pavairošanašis skaitlis ir 10 2, mēs iegūstam 632,45553 kā aptuvenu vērtību, un skaitlis 0,63245553 kalpo kā aptuvenā vērtība. Otrā no iepriekš minētajām procedūrām ir balstīta uz algebrisko identitāti ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Katrā solī jau iegūto kvadrātsaknes daļu ņem kā a, un daļa, kas vēl jānosaka, ir paredzēta b. Kuba sakne.Lai iegūtu pozitīva reālā skaitļa kubsakni, ir algoritmi, kas ir līdzīgi kvadrātsaknes iegūšanai. Piemēram, lai atrastu skaitļa kuba sakni n, vispirms mēs aproksimējam sakni ar kādu skaitli r 1 . Tad mēs veidojam precīzāku tuvinājumu r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), kas savukārt ļauj iegūt vēl precīzāku tuvinājumu r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) utt. Procedūra, lai izveidotu arvien precīzākus saknes tuvinājumus, var turpināties bezgalīgi. Apsveriet, piemēram, skaitļa no 1 līdz 1000 kuba saknes aprēķināšanu, teiksim skaitli 200. Tā kā 5 3 = 125 un 6 3 = 216, mēs secinām, ka 6 ir tuvākais veselais skaitlis 200 kuba saknei. Tāpēc mēs izvēlamies r 1 = 6 un secīgi aprēķiniet r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Katrā tuvinājumā, sākot no trešās, ir atļauts saglabāt tādu zīmju skaitu, kas ir par vienu mazāku par divreiz mazāku rakstzīmju skaitu iepriekšējā tuvinājumā. Ja skaitlis, no kura vēlaties iegūt kuba sakni, nav no 1 līdz 1000, tad vispirms tas ir jādala (vai jāreizina) ar, piemēram, k th, skaitļa 1000 jaudu un tādējādi ienesiet to vēlamajā skaitļu diapazonā. Jauniegūtā skaitļa kuba sakne atrodas diapazonā no 1 līdz 10. Pēc tā aprēķināšanas tas jāreizina (vai jādala) ar 10 k lai iegūtu sākotnējā skaitļa kuba sakni. Otrs, sarežģītāks, pozitīva reālā skaitļa kuba saknes atrašanas algoritms ir balstīts uz algebriskās identitātes izmantošanu ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Pašlaik kuba sakņu, kā arī augstāko spēku sakņu iegūšanas algoritmi vidusskolā netiek mācīti, jo tos ir vieglāk atrast, izmantojot logaritmus vai algebriskās metodes. Eiklida algoritms.Šis algoritms tika prezentēts Sākums Eiklīds (ap 300. g. p.m.ē.). To izmanto, lai aprēķinātu divu veselu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju. Pozitīvu skaitļu gadījumā tas ir formulēts kā procedūras noteikums: “Sadaliet lielāko no diviem dotajiem skaitļiem ar mazāko. Pēc tam sadaliet dalītāju ar atlikumu un turpiniet šādā veidā, līdz pēdējais dalītājs ir vienmērīgi sadalīts ar pēdējo atlikumu. Pēdējais dalītājs būs lielākais divu doto skaitļu kopīgais dalītājs. Kā skaitlisku piemēru ņemiet vērā divus veselus skaitļus 3132 un 7200. Šajā gadījumā algoritms sastāv no šādām darbībām: Lielākais kopīgais dalītājs ir tāds pats kā pēdējais dalītājs – skaitlis 36. Izskaidrojums ir vienkāršs. Mūsu piemērā no pēdējās rindas redzams, ka skaitlis 36 dala skaitli 288. No priekšpēdējās rindas izriet, ka skaitlis 36 dala 324. Tātad, virzoties uz augšu no rindas uz rindu, mēs esam pārliecināti, ka skaitlis 36 dala 936. , 3132 un 7200 Mēs tagad apgalvojam, ka skaitlis 36 ir kopīgs skaitļu 3132 un 7200 dalītājs. g ir lielākais skaitļu 3132 un 7200 kopīgais dalītājs. Kopš g dala 3132 un 7200, no pirmās rindas izriet, ka g dala 936. No otrās rindas secinām, ka g dala 324. Tātad, ejot no rindas uz rindu, mēs esam pārliecināti, ka g dala 288 un 36. Un tā kā 36 ir skaitļu 3132 un 7200 kopīgs dalītājs un ir dalīts ar to lielāko kopīgo dalītāju, mēs secinām, ka 36 ir lielākais kopējais dalītājs. Pārbaude.Aritmētiskie aprēķini prasa pastāvīgu uzmanību, un tāpēc tie ir pakļauti kļūdām. Tāpēc ir ļoti svarīgi pārbaudīt aprēķinu rezultātus. 1. Ciparu kolonnas pievienošanu var pārbaudīt, pievienojot skaitļus kolonnā vispirms no augšas uz leju un pēc tam no apakšas uz augšu. Šīs pārbaudes metodes pamatojums ir vispārinātais komutativitātes un saskaitīšanas asociativitātes likums. 2. Atņemšanu pārbauda, saskaitot starpību ar apakšrindu - jāiegūst minuend. Šīs pārbaudes metodes pamatojums ir atņemšanas darbības definīcija. 3. Reizināšanu var pārbaudīt, pārkārtojot reizinātāju un reizinātāju. Šīs pārbaudes metodes pamatojums ir komutatīvās reizināšanas likums. Reizināšanu var pārbaudīt, sadalot koeficientu (vai reizinātāju) divos veidos, veicot divas atsevišķas reizināšanas darbības un saskaitot iegūtos reizinājumus – jums vajadzētu iegūt sākotnējo reizinājumu. 4. Lai pārbaudītu dalījumu, jums ir jāreizina koeficients ar dalītāju un jāpievieno reizinājumam atlikums. Jums vajadzētu saņemt dividendes. Šīs pārbaudes metodes pamatojums ir sadalīšanas darbības definīcija. 5. Kvadrātsaknes (vai kubiksaknes) izvilkšanas pareizības pārbaude sastāv no iegūtā skaitļa paaugstināšanas ar kvadrātveida (vai kuba) palīdzību – jāiegūst sākotnējais skaitlis. Īpaši vienkāršs un ļoti uzticams veids, kā pārbaudīt veselu skaitļu saskaitīšanu vai reizināšanu, ir paņēmiens, kas atspoguļo pāreju uz tā saukto. "salīdzinājumi modulo 9". Sauksim par “pārsniegumu” skaitļa ierakstīšanai izmantoto ciparu summas atlikumu, dalītu ar 9. Tad attiecībā uz “pārsniegumiem” var formulēt divas teorēmas: “veselo skaitļu summas pārsniegums ir vienāds ar vārdu pārsniegumu summas pārsniegumu” un “divu veselu skaitļu reizinājuma pārsniegums ir vienāds ar to pārmērību produkts.” Tālāk ir sniegti pārbaužu piemēri, pamatojoties uz šo teorēmu: Pārejot uz salīdzinājumiem modulo 9 metodi var izmantot arī, pārbaudot citus aritmētiskos algoritmus. Protams, šāda pārbaude nav nekļūdīga, jo, strādājot ar “pārmērībām”, var rasties arī kļūdas, taču šāda situācija ir maz ticama. Interese.Procenti ir daļa, kuras saucējs ir 100; Procentus var uzrakstīt trīs veidos: kā daļu, kā decimāldaļu vai izmantojot īpašo procentuālo apzīmējumu %. Piemēram, 7 procentus var uzrakstīt kā 7/100, kā 0,07 vai kā 7%. Visbiežāk sastopamās procentuālās problēmas piemērs ir šāds: “Atrodiet 17% no 82”. Lai atrisinātu šo problēmu, jums jāaprēķina reizinājums 0,17ґ82 = 13,94. Šāda veida produktos 0,17 sauc par likmi, 82 ir bāze un 13,94 ir daļa, kas izteikta procentos. Trīs minētie lielumi ir savstarpēji saistīti ar attiecību Likmes ґ bāze = procentuālā daļa. Ja ir zināmi kādi divi lielumi, no šīs attiecības var noteikt trešo. Attiecīgi mēs iegūstam trīs veidu problēmas, “izmantojot procentus”. 1. piemērs. Šajā skolā uzņemto skolēnu skaits pieauga no 351 līdz 396. Par cik procentiem šis skaitlis palielinājās? Pieaugums bija 396 – 351 = 45 cilvēki. Rakstot daļu 45/351 procentos, iegūstam 45/351 = 0,128 = 12,8%. 2. piemērs. Reklāma veikalā izpārdošanas laikā saka “25% atlaide visām precēm”. Kāda ir pārdošanas cena precei, kas parasti tiek pārdota par 3,60 USD? Cenas samazinājums par 25% par USD 3,60 nozīmē samazinājumu par 0,25–3,60 = 0,90 USD; tāpēc preces cena izpārdošanas laikā būs $3.60 – $0.90 = $2.70. 3. piemērs. Nauda, kas noguldīta bankā ar 5% gadā, atnesa peļņu 40 USD gadā. Kāda summa tika iemaksāta bankā? Tā kā 5% no summas ir 40$, t.i. 5/100 ґ summa = 40 USD vai 1/100 ґ summa = 8 dolāri, kopējā summa ir 800 USD. Aptuveno skaitļu aritmētika.Daudzi aprēķinos izmantotie skaitļi izriet vai nu no mērījumiem vai aplēsēm, un tāpēc tos var uzskatīt tikai par tuvinājumiem. Ir acīmredzams, ka ar aptuveniem skaitļiem veikto aprēķinu rezultāts var būt tikai aptuvens skaitlis. Piemēram, pieņemsim, ka skaitītāja virsmas mērījumi sniedza šādus rezultātus (noapaļojot līdz tuvākajai metra desmitdaļai): platums 1,2 m, garums 3,1 m; varētu teikt, ka letes laukums ir 1,2ё3,1 = 3,72 m2. Tomēr patiesībā informācija nebūt nav tik droša. Tā kā vērtība 1,2 m norāda tikai to, ka platuma mērījums ir no 1,15 līdz 1,25 m, un 3,1 norāda, ka garuma mērījums ir no 3,05 līdz 3,15 m, par skaitītāja laukumu varam teikt tikai to, ka tam vajadzētu būt lielākam par 1,15ґ3,05 = 3,5075, bet mazāks par 1,25ґ3,15 = 3,9375. Tāpēc vienīgā saprātīgā atbilde uz jautājumu par letes laukumu ir teikt, ka tā ir aptuveni 3,7 m 2 . Tālāk apskatīsim 3,73 m, 52,1 m un 0,282 m aptuveno mērījumu rezultātu saskaitīšanas problēmu. Vienkāršā summa ir 56,112 m. Bet, tāpat kā iepriekšējā uzdevumā, viss, ko var droši teikt, ir patiesā summa ir jābūt lielākam par 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m un mazākam par 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Tādējādi vienīgā saprātīgā atbilde uz jautājumu ir teikt, ka summa ir aptuveni vienāda ar 56 m. Divi iepriekš minētie piemēri ilustrē dažus noteikumus, kas ir noderīgi, strādājot ar aptuveniem skaitļiem. Ir dažādi veidi, kā noapaļot skaitļus. Viens no tiem ir atmest skaitļa apakšējos ciparus. Turklāt, ja pirmais izmetamais cipars ir lielāks par pieciem, tad pēdējais atlikušais cipars jāpalielina par vienu, ja tas ir mazāks, tad atlikušās daļas pēdējais cipars paliek nemainīgs. Ja pirmais izmestais cipars ir tieši pieci, tad pēdējais saglabājamais cipars tiek palielināts par vienu, ja tas ir nepāra, un paliek nemainīgs, ja tas ir pāra. Piemēram, noapaļojot līdz tuvākajai simtdaļai, skaitlis 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 un 7,325 kļūst par 3,14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 un 7.32. Vēl viena noapaļošanas metode ir saistīta ar nozīmīgo skaitļu jēdzienu un tiek izmantota, rakstot skaitli ar mašīnu. Aptuvenā skaitļa zīmīgie cipari ir cipari tā decimāldaļās secībā no kreisās puses uz labo, sākot ar pirmo ciparu, kas nav nulle, un beidzot ar ciparu, kas ir kļūdai atbilstošā decimālzīmes vietā. Piemēram, aptuvenā skaitļa 12,1 zīmīgie cipari ir skaitļi 1, 2, 1; aptuvenais skaitlis 0,072 – skaitļi 7, 2; aptuvenais skaitlis 82000, kas rakstīts ar precizitāti līdz tuvākajam simtam, ir 8, 2, 0. Tagad mēs formulēsim divus noteikumus darbam ar iepriekš minētajiem aptuveniem skaitļiem. Saskaitot un atņemot aptuvenos skaitļus, katrs skaitlis jānoapaļo līdz ciparam, kas seko vismazāk precīzā skaitļa pēdējam ciparam, un iegūtā summa un starpība jānoapaļo līdz tādam pašam ciparu skaitam kā vismazāk precīzais skaitlis. Reizinot un dalot aptuvenos skaitļus, katrs skaitlis jānoapaļo līdz zīmei, kas seko vismazāk nozīmīgā skaitļa pēdējam nozīmīgajam ciparam, un reizinājums un koeficients jānoapaļo ar tādu pašu precizitāti, kāda ir zināmam vismazāk precīzajam skaitlim. Atgriežoties pie iepriekš apskatītajām problēmām, mēs iegūstam: 1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2 3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m, kur zīme "nozīmē "aptuveni vienāds". Dažās aritmētikas mācību grāmatās ir sniegti algoritmi darbam ar aptuveniem skaitļiem, kas ļauj izvairīties no nevajadzīgām zīmēm, veicot aprēķinus. Turklāt viņi izmanto t.s. ierakstot aptuvenus skaitļus, t.i. jebkurš skaitlis tiek attēlots formā (skaitlis diapazonā no 1 līdz 10) ґ (10 jauda), kur pirmais faktors satur tikai skaitļa zīmīgos ciparus. Piemēram, 82 000 km, noapaļoti līdz tuvākajam simts km, tiktu rakstīti kā 8,20ґ10 4 km, bet 0,00702 cm tiktu rakstīti kā 7,02ґ10–3 cm. Skaitļi matemātiskajās tabulās, trigonometriskajās vai logaritmiskajās tabulās ir aptuveni, rakstīti ar noteiktu zīmju skaitu. Strādājot ar šādām tabulām, jums jāievēro aprēķinu noteikumi ar aptuveniem skaitļiem. Logaritmi.Līdz 17. gadsimta sākumam. Lietišķās skaitļošanas uzdevumu sarežģītība ir tik ļoti pieaugusi, ka nebija iespējams ar tām tikt galā “manuāli” pārāk daudz darba un laika dēļ. Par laimi, laikus izgudroja J. Napier 17. gadsimta sākumā. logaritmi ļāva tikt galā ar radušos problēmu. Tā kā logaritmu teorija un pielietojumi ir detalizēti aprakstīti īpašā rakstā LOGARITMS, mēs aprobežosimies tikai ar pašu nepieciešamāko informāciju. Var parādīt, ka, ja n ir pozitīvs reālais skaitlis, tad ir unikāls pozitīvs reālais skaitlis x, tā, ka 10 x = n. Numurs x sauc (parastais vai decimālais) logaritms cipariem n; parasti tas ir rakstīts šādi: x=log n. Tādējādi logaritms ir eksponents, un no darbību likumiem ar eksponentiem izriet, ka Tieši šīs logaritmu īpašības izskaidro to plašo izmantošanu aritmētikā. Pirmā un otrā īpašība ļauj reducēt jebkuru reizināšanas un dalīšanas uzdevumu līdz vienkāršākai saskaitīšanas un atņemšanas problēmai. Trešā un ceturtā īpašība ļauj samazināt eksponenci un sakņu ekstrakciju līdz daudz vienkāršākām darbībām: reizināšanai un dalīšanai. Lai atvieglotu logaritmu lietošanu, ir apkopotas to tabulas. Lai sastādītu decimālo logaritmu tabulu, pietiek iekļaut tikai skaitļu logaritmus no 1 līdz 10. Piemēram, tā kā 247.6 = 10 2 ґ2.476, mums ir: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476, un tā kā 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, tad log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Ņemiet vērā, ka skaitļa no 1 līdz 10 decimālais logaritms ir no 0 līdz 1, un to var uzrakstīt kā decimāldaļu. No tā izriet, ka jebkura skaitļa decimālais logaritms ir vesela skaitļa, ko sauc par logaritma raksturlielumu, un decimālās daļas, ko sauc par logaritma mantisu, summa. Jebkura skaitļa logaritma raksturlielumu var atrast “prātā”; Mantisa jāatrod, izmantojot logaritmu tabulas. Piemēram, no tabulām mēs atklājam, ka log2.476 = 0.39375, tātad log247.63 = 2.39375. Ja logaritma raksturlielums ir negatīvs (kad skaitlis ir mazāks par vienu), tad ir ērti to attēlot kā divu pozitīvu veselu skaitļu starpību, piemēram, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. nākamie piemēri izskaidro šo tehniku. Literatūra: Matemātikas vēsture no seniem laikiem līdz 19. gadsimta sākumam., sēj. 1.–3. M., 1970.–1972. Izmērs: px Sāciet rādīt no lapas: Atšifrējums1 2. LEKCIJA LIELĀKĀ KOPĒJĀ DALĪTĀJA APRĒĶINS Eiklida algoritms Strādājot ar lieliem saliktajiem skaitļiem, to sadalīšanās pirmfaktoros parasti nav zināma. Taču daudzām skaitļu teorijā pielietotajām problēmām skaitļa faktorizācijas atrašana ir svarīga, bieži sastopama praktiska problēma. Skaitļu teorijā ir salīdzinoši ātrs veids, kā aprēķināt divu skaitļu gcd, ko sauc par Eiklīda algoritmu. Algoritms 1. Eiklīda algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, Eiklīda algoritms apstājas, un tā radītais skaitlis d ir lielākais skaitļu a un b kopīgais dalītājs. Pierādījums . Ar teorēmu par dalīšanu ar atlikumu jebkuram i 1 iegūstam r i 1 = q i r i + r i+1, kur 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0, ierobežots zemāk. Šāda secība nevar būt bezgalīga, tāpēc Eiklīda algoritms apstājas. Binārais Eiklīda algoritms Binārais Eiklīda algoritms GCD aprēķināšanai izrādās ātrāks, kad to īsteno 2 algoritmi datorā, jo tas izmanto skaitļu a un b bināro attēlojumu. Eiklīda binārais algoritms ir balstīts uz šādām lielākā kopējā dalītāja īpašībām (pieņemam, ka 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, tad gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) ja a = b, tad gcd(a, b) = a. Algoritms 2. Binārais Eiklīda algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. Tad eksistē veseli skaitļi x un y, ka d = ax + by. Citiem vārdiem sakot, divu skaitļu gcd var attēlot 3 kā šo skaitļu lineāra kombinācija ar veseliem skaitļiem. Algoritms 3. Paplašinātā Eiklīda algoritma shēma. 1. Definējiet = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Lai skaitlis q ir daļa no skaitļa a, kas dalīts ar skaitli b, un skaitlis r ir šo skaitļu dalījuma atlikums (t.i., a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = t q; // = x i labajā pusē = x i+1 labajā pusē; //t = y i-1 ; = t q; 5. Atgriezties uz soli Nosakiet x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Paplašinātā Eiklīda algoritma variants Ievade. Veseli skaitļi a, b;< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у, 4, kas aprēķināts pēc algoritma, parāda sekojošā teorēma. 4. teorēma. Katrā algoritma 3 iterācijā vienādība ax i + ar i = r i ir izpildīta, ja i 0. Pierādījums. Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi. Ja i = 0 un i = 1, vajadzīgā vienādība notiek, pateicoties 3. algoritma 1. solim. Pieņemsim, ka tā ir patiesa i 1 un i. Tad 3. solī iegūstam x i+1 = x i 1 x i un y i+1 = y i 1 y i. Tāpēc аx i+1 + ar i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + ar i 1 (ax i + ar i) = r i 1 r i = r i+1 . Piemērs. Ja a = 1769, b = 551. Izmantojot paplašināto Eiklīda algoritmu, atrodiet veselus skaitļus x un y, lai d = ax + by, kur d ir skaitļu a un b gcd. Aprēķinu secības I posms. 1. Nosakiet = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = koeficients q = a/b = 1769/551 = 3, un atlikums r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; šādas starpvērtības 5 parametri: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Tā kā dalījuma r atlikums ir 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības II posms. 1. Parametru vērtības: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = koeficients q = a/b = 551/116 = 4, un atlikums r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; šādas parametru starpvērtības: a = 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Tā kā dalījuma r atlikums ir 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības III posms . 1. Parametru vērtības: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = koeficients q = a/b = 116/87 = 1, un atlikums r = 29. 6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; šādas starpparametru vērtības: a = 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Tā kā dalījuma r atlikums ir 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības IV posms. 1. Parametru vērtības: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = koeficients q = a/b = 87/29 = 3, un atlikums r = 0. a = 87; b = 29; t = = 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; šādas starpparametru vērtības: a = 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Tā kā dalījuma atlikums ir r = 0, mēs veicam 6. darbību. 7 6. Mēs aprēķinām GCD, izmantojot formulu d = αx + βy, kur x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α = 1769, β = 551. Aizvietojot parametru vērtības, mēs iegūstam d = αx + βy = = = 29 Paplašināto Eiklīda algoritmu var realizēt arī binārā formā. Algoritms 4. Paplašinātais binārais Eiklīda algoritms. Ieeja. Veseli skaitļi a, b;< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у. Vienādojumu risināšana veselos skaitļos Lineārie vienādojumi. Brutālā spēka metode Piemērs. Truši un fazāni sēž būrī. Viņiem kopā ir 8 kājas. Uzziniet, cik no abiem ir būrī. Uzskaitiet visus risinājumus. Risinājums. 7. nodarbība Skaitli d sauc par skaitļu a un b lielāko kopīgo dalītāju (GCD), ja (1) d a un d b, un arī (2) visiem x no x a un x b seko x d. Šajā gadījumā mēs rakstām d = (a, b). Lemma 1. Jebkuriem skaitļiem Priekšmets. Elementārās skaitļu teorijas pamati un pielietojumi - Teorētiskais materiāls. Moduļu atlikumu kopums, salīdzinājumu īpašības. Lai naturālais skaitlis būtu lielāks. Ar Z apzīmē visu klašu kopu Yugra Fizikas un matemātikas licejs VP Čuvakovs SKAITĻU TEORIJAS PAMATI Lekciju konspekts (0)(mod) (0)(mod) Naturālie skaitļi N, - naturālu skaitļu kopa, ko izmanto skaitīšanai vai uzskaitīšanai 2. nodaļa Veseli skaitļi, racionālie un reālie skaitļi 2.. Veseli skaitļi Skaitļus 2, 3,... sauc par naturāliem skaitļiem. Visu naturālo skaitļu kopu apzīmē ar N, t.i. N = (,2,3,...). Skaitļi..., 3, 2,0,2,3,... Turpinātās daļskaitļi Galīgās turpinātās daļas Definīcija Formas a 0 + a + a + + a m izteiksme, kur a 0 Z a a m N a m N/() tiek saukta par turpināto daļskaitli un m ir turpinātās daļas garums a 0 a a m. sauc par turpinātās daļas koeficientiem 1. LEKCIJA DAŽI SKAITĻU TEORIJAS ELEMENTI Rokasgrāmatā nav izklāstīta skaitļu teorija, bet sniegti minimālie rīki no šīs teorijas, kas nākotnē būs nepieciešami, lai pētītu izmantotās kriptogrāfijas sistēmas. Gorbačovs NAV Viena mainīgā polinomi Pakāpju vienādojumu atrisināšana Polinoma jēdziens Aritmētiskās darbības ar polinomiem th pakāpes polinoma (polinoma) definīcija attiecībā pret mainīgo vērtību Veselu skaitļu dalāmība Skaitlis a tiek dalīts ar skaitli b (vai b dala a), ja ir tāds skaitlis c, ka a = bc Šajā gadījumā skaitli c sauc par koeficientu a dalīts ar b Apzīmējumi: a - a dalās dala ar b vai ba b 12. LEKCIJA OTRĀS KĀRTAS MODUĻA UN KVADRĀtisko REZULTĀTU SALĪDZINĀJUMI Otrās pakāpes moduļa p salīdzināšanas vispārīgajai formai ir forma (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Salīdzinājuma risinājuma atrašana (1) Norādījumi, risinājumi, atbildes VESELS VIENĀDĀJUMI. Vienādojums ar vienu nezināmo.. Risinājums. Ieslēgsim to vienādojumā. Iegūstam vienādību (4a b 4) (a b 8) 0. Vienādība A B 0, kur A un B ir veseli skaitļi, ir izpildīta, Algebriskie polinomi. 1 n pakāpes algebriskie polinomi laukā K Definīcija 1.1 Polinoms ar n pakāpi n N (0) mainīgajā z skaitļa laukā K ir formas izteiksme: fz = a n z n Lekcija Kvadrātiskie atlikumi un neatliekumi Lektors: NU Zolotykh Ierakstīja: E Zamaraeva?? 00. septembris Saturs Kvadrātiskās atliekas un neatliekvielas Leģendas simbols Leģendas simbola īpašības Kvadrātiskās savstarpības likums GOU internātskola ""Intelektuālais"" Pētnieciskais darbs matemātikā par tēmu: "Par attēlojamību naturāliem skaitļiem lineāras kombinācijas veidā ar veselu skaitļu koeficientiem" Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrālis Tēma: Racionālo daļskaitļu integrācija Lektore E.G.Pahomova 0 g 5. Racionālo daļu integrēšana DEFINĪCIJA. Tiek saukta racionāla daļa 4 Skaitļu teorija 4 Veseli skaitļi 7 Definīcija Pieņemt, b Z Tad sadaliet b, ja ir tāds vesels skaitlis, ka b (apzīmē ar b) 73 Teorēma (dalīšana ar atlikumu) Ja, b Z un b, tad ir veseli skaitļi Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrālis Tēma: Racionālo daļskaitļu integrācija Lektore Rožkova S.V. 0 g 5. Racionālo daļu integrēšana DEFINĪCIJA. Tiek saukta racionāla daļa 009-00 skola gadā. 6, 9 klases Matemātika. Skaitļu teorijas elementi. 4. Lielākā kopīgā dalītāja un mazākā kopīgā reizinātāja aprēķins Saglabāsim apzīmējumu no sadaļas. Naturālam skaitlim n ierakstiet n LIETOTĀJĀ ALGEBRA. I daļa: ierobežotie lauki (Galois lauki). I 1 / 67 I daļa Ierobežotie lauki (Galois lauki). LIETOJU ALGEBRU. I daļa: ierobežotie lauki (Galois lauki). I 2 / 67 Atlikumu lauki modulo prime 5 Vienādojumu risināšana veselos skaitļos Pat tādu vienkāršu vienādojumu risināšanai kā lineārs vienādojums ar vienu nezināmo ir savas īpatnības, ja vienādojuma koeficienti ir veseli skaitļi, un tas ir nepieciešams Laboratorijas darbs 8 Lielākā kopīgā dalītāja aprēķins diviem skaitļiem, izmantojot Eiklīda algoritmu Darba mērķis ir izveidot programmu, izmantojot Eiklīda algoritmu, kas nosaka lielāko skaitļiem a un b Kriptogrāfijas matemātiskie pamati XIX starpnovadu olimpiāde skolēniem matemātikā un kriptogrāfijā Uzdevumi 11. klasei 1. uzdevuma risinājums Vispirms ņemiet vērā, ja N = pq, kur p un q ir pirmskaitļi, tad naturālo skaitļu skaits ir mazāks par Polinomi un to saknes 2018 Guščina Jeļena Nikolajevna Definīcija: n n N pakāpes polinoms ir jebkura formas izteiksme: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., kur a & , a &+, a, a. R,a& Lekcija 4. AES STANDARTS. RIJNDEELA ALGORITMS. AES (Advnced Encrypton Stndrd) standarts ir jauns vienas atslēgas šifrēšanas standarts, kas aizstāj DES standartu. Rjndel algoritms (Rhein Dal) Polinomi un to saknes Definīcija: n (n N) pakāpes polinoms ir jebkura izteiksme šādā formā: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, kur a n, a n 1, a 1, a 0 R, a n vecākais koeficients, a 1 Eiklida algoritms un tā sarežģītība Definīcija 1. Kopējais skaitļu a un b dalītājs ir tāds skaitlis c, ka c a un c b. 2. definīcija. Skaitļu a un b lielākais kopīgais dalītājs ir to kopīgais dalītājs, 14. LEKCIJA Kvadrātsakņu modulo salikto aprēķins No iepriekš minētās teorijas izriet, ka, ja =, kur un ir pirmskaitļi, grupa Z ir izomorfa telpai Z Z. Tā kā izomorfisms saglabā īpašības 3. LEKCIJA KVĀRTSAKNES APRĒĶINĀŠANAS MODULIS Vienkārša moduļa gadījums Aplūkosim salīdzinājumu x a mod p, (), kur skaitlis p ir pirmskaitļa un vesels skaitlis a nedalās ar p Aprēķinot šī vienādojuma atrisinājumu x ir Kolokvija programma diskrētajā matemātikā (galvenā plūsma) Kolokvija sākumā jūs saņemsiet biļeti, kurā būs trīs jautājumi: jautājums par definīciju zināšanām, problēma, jautājums par pierādījumu zināšanām. Šora algoritms Yu. Lifshits. 005. gada 1. decembris Lekcijas izklāsts 1. Sagatavošana (a) Faktoringa skaitļi (b) Kvantu skaitļošana (c) Klasiskās skaitļošanas emulācija. Simona algoritms (a) Kvantu paralēlisms No matemātikas vēstures Pirmā pietiekami apjomīgā grāmata, kurā aritmētika tika pasniegta neatkarīgi no ģeometrijas, bija Nikomaheja Ievads aritmētikā (Oc. AD) Aritmētikas vēsturē tās loma ir salīdzināma ar lomu. Īss ievads elementārās skaitļu teorijas pirmsākumos Deniss Kirijenko Vasaras datorskola, 2009. gada 1. janvāris Veselo skaitļu dalīšana Doti divi veseli skaitļi a un b, b 0. Dalīšanas veselais skaitļu koeficients 1.–9. tēma: polinomi. Polinomu gredzena uzbūve. Dalāmības teorija. Atvasinājums A. Ya. Ovsyannikov Urālas federālās universitātes Matemātikas un datorzinātņu institūta Algebras un diskrētās nodaļas Algebriskie vienādojumi kur Definīcija. Vienādojumu formā 0, P () 0, dažus reālus skaitļus sauc par algebriskiem. 0 0 Šajā gadījumā mainīgo lielumu sauc par nezināmu, bet skaitļus 0 - par koeficientiem 6. lekcija Skaitļu teorijas elementi 1. uzdevums. Turpināt skaitļu sēriju 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Integer Aritmētikas lietojumi veseli skaitļi: Z = (, - 2, -1, 0, Polinomi Polinoms ar vienu mainīgo x ar pakāpi n ir formas izteiksme, kur jebkuri skaitļi tiek saukti par polinoma koeficientiem un tiek saukti par polinoma If vadošo koeficientu mainīgā vietā. 1 2 Saturs. 1. Ievads. 4-6 1.1. Abstract...4 1.2. 4. uzdevums 1.3. Darba mērķis 5 1.4. Hipotēze..5 1.5. Pētījuma priekšmets... 5 1.6. Pētījuma objekts. 5 1.7. Jaunums... 5-6 1.8. Pētījuma metodes...6 8.3., 8.4.2. klase, Matemātika (mācību grāmata Makaričevs) 2018.-2019.mācību gads Moduļa tēma “Veseli skaitļi. Skaitļu dalāmība. Grāds ar vesela skaitļa rādītāju” Pārbaudē tiek pārbaudīta teorētiskā un praktiskā daļa. TĒMA Zināt Lekcija RACIONĀLO DAĻU INTEGRĀCIJA Racionālās daļas Vienkāršu racionālu daļskaitļu integrēšana Racionālo daļskaitļu sadalīšana vienkāršās daļskaitļos Racionālo daļskaitļu integrācija Racionālā daļa Www.cryptolymp.ru XIX starpreģionu olimpiāde skolēniem matemātikā un kriptogrāfijā (11. klase) 1. uzdevuma risinājums Pirmkārt, ņemiet vērā: ja N pq, kur p un q ir pirmskaitļi, tad naturālo skaitļu skaits, Nodaļa Veseli skaitļi Dalāmības teorija Veseli skaitļi ir skaitļi -3, -, -, 0, 3, tie naturālie skaitļi, 3, 4, kā arī nulles un negatīvie skaitļi -, -, -3, -4. Visu veselo skaitļu kopa ir apzīmēts ar Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Urālas Valsts ekonomikas universitāte Ju.B. Meļņikova polinomi Elektroniskās mācību grāmatas sadaļa lekcijai Ed. 4., rev. un papildu e-pasts: [aizsargāts ar e-pastu], (trigonometriskās sērijas trigonometriskās sistēmas piemēri - intervāla [ -l; l ] izvēršana patvaļīga perioda funkcijām - nepilnīga rindas izvēršana sinusu un kosinusu pāra un nepāra turpinājumā) Teorētiskā datorzinātne II Lekcija 5. Veselo skaitļu algoritmi: paplašinātais Eiklīda algoritms, moduļu inversā, moduļu eksponenciācija. Publiskās atslēgas kriptogrāfija, RSA protokols. Varbūtības 5. Bose-Chaudhuri-Hocquenghem kodi Ciklisko kodu korekcijas īpašības var noteikt, pamatojoties uz divām teorēmām. 1. teorēma. Jebkuram m un t ir ciklisks kods, kura garums ir n = 2 m 1, ar daudzkārtību MODULĀRĀ ARITMĒTIKA Dažās lietojumprogrammās ir ērti veikt aritmētiskās darbības ar veseliem skaitļiem, kas norādīti tā sauktajā modulārajā pierakstā.Šajā attēlojumā tiek pieņemts, ka vesels skaitlis MATEMĀTIKAS IZMANTOŠANA 00 Korjanovs A.G. Uzdevumi no Brjanskas Lūdzu, sūtiet komentārus un ieteikumus uz: [aizsargāts ar e-pastu] VIENĀDĀJUMI UN NEvienlīdzības VESELS SKAITĻOS (no izglītības problēmām līdz olimpiādes uzdevumiem) Lineārs 2.22. Izņem kopējo koeficientu (n ir naturāls skaitlis): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Katrs numurs tika piešķirts 15. LEKCIJA PRIEKŠSKAITĻI Naturālu skaitli p, kas ir lielāks par vienu, sauc par pirmskaitli, ja tas dalās tikai ar 1 un pats sevi. Teorēma (Eiklids). Pirmskaitļu kopa ir bezgalīga. Apzīmēsim ar π(x) 3. tēma. Algebriskās un analītiskās skaitļu teorijas elementi Teorētiskais materiāls 1. Turpinājums frakcijas. Pēdējā turpinātā daļa ir izteiksme a +, (1), kur a ir vesels skaitlis, a, i > 0, naturāli skaitļi, Http://vk.ucoz.et/ Darbības ar polinomiem k a k Polinoms (polinoms) ar pakāpi k ir a formas funkcija, kur mainīgais, a ir skaitliskie koeficienti (=,.k) un. Var uzskatīt jebkuru skaitli, kas nav nulle V. G. Beļinska vārdā nosauktā Penzas Valsts pedagoģiskā universitāte M. V. Gļebova V. F. Timerbulatova PRAKTISKĀS NODARBĪBAS POLINOMĪLU ALGEBRĀ Mācību un metodiskā rokasgrāmata Penza Izdevējs VESELS SKAITTU DALĪŠANA AR ATLIKUMU Lai m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis Ja m > n un m nedalās ar n, tad m var dalīt ar n ar atlikumu. Definīcija 3 Jebkuram veselam skaitlim m un jebkuram Avdošins S.M., Saveļjeva A.A. Algoritms lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšanai atlikumu gredzenos Izstrādāts efektīvs algoritms lineāro vienādojumu sistēmu atrisināšanai atlikumu gredzenos, kas ir līdzvērtīgs sarežģītības ziņā. LIETOTĀJĀ ALGEBRA. I daļa: Galois lauki I 1 / 88 I daļa Galois lauki (Galois lauki) I LIETOTĀJĀ ALGEBRĀ. I daļa: galīgie lauki (Galois lauki) I 2 / 88 Atlikumu lauki modulo a pirmskaitļa 5 Algebriskās struktūras 6 Definīcija Binārā darbība kopai S ir kartēšana no S S uz S Tas ir, tas ir noteikums, kas katram sakārtotam elementu pārim no S piešķir noteiktu /E Skaitļu teorijas elementi un. rochev 2018. gada 28. augusts Satura rādītājs Satura rādītājs i 1 Veseli skaitļi 1 1.1 Ievada uzdevumi................................ ... ..... 1 1.2 Lielākais kopīgais dalītājs................................... Nodaļa Veseli skaitļi, racionālie un reālie skaitļi. Sadaliet ar atlikumu. Sadaliet katru no skaitļiem ±23, ±4 ar atlikušo daļu ar katru no skaitļiem ±5. 2. Atrodi visus skaitļa 42 pozitīvos faktorus. 3. Šobrīd ir pulksten 3. Diferenciālvienādojumi lekcija 4 Vienādojumi kopējos diferenciāļos. Integrējošais faktors Lektore Anna Igorevna Šerstņeva 9. Vienādojumi kopējās diferenciālēs Vienādojumu d + d = 14 sauc par vienādojumu Priekšmets. Elementārās skaitļu teorijas pamati un pielietojumi. Primitīvās saknes, indeksi. Teorētiskais materiāls Lai a, m ir naturālie pirmskaitļi, un m, tad saskaņā ar Eilera teorēmu a m) Matemātikas un datorzinātņu katedra Augstākās matemātikas elementi Izglītības un metodiskais komplekss vidējās profesionālās izglītības audzēkņiem, kuri mācās, izmantojot distances tehnoloģijas Modulis Limitu teorija Sastādīja: Asociētais profesors 2.nodaļa. Skaitliski teorētiskās metodes kriptogrāfijā Patstāvīgais darbs Pētīt kriptogrāfijā plaši izmantotos algoritmus. Skaitļu teorijas elementi: paplašinātais Eiklīda algoritms; Tematiskais plāns sastādīts, pamatojoties uz 206.-207.mācību gada programmas materiālu pēc mācību grāmatas “Algebra 8”, izd. A.G.Mordkovičs, ņemot vērā ieteicamo obligāto minimālo izglītības saturu Tēma Lekcija 2. Binomiālo koeficientu īpašības. Summu aprēķins un funkciju ģenerēšanas metode (galīgais gadījums). Polinoma koeficienti. Binoma un polinoma koeficientu aprēķini. Summa aprēķini Eiklida algoritmsLielākais kopīgais dalītājsApsveriet šādu problēmu: jums ir jāraksta programma, lai noteiktu divu naturālu skaitļu lielāko kopīgo dalītāju (GCD). Atcerēsimies matemātiku. Divu naturālu skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais dabiskais skaitlis, ar kuru tie dalās vienmērīgi. Piemēram, skaitļiem 12 un 18 ir kopīgi faktori: 2, 3, 6. Vislielākais kopīgais faktors ir skaitlis 6. Tas ir rakstīts šādi: GCD(12, 18) = 6. Apzīmēsim sākotnējos datus kā M u N. Problēmas formulējums ir šāds: Šajā gadījumā papildu matemātiska formalizācija nav nepieciešama. Pats problēmas formulējums ir formāli matemātisks. Nav formulas, kā aprēķināt GCD(M, N) no M un N vērtībām. Taču diezgan sen, ilgi pirms datoru parādīšanās, bija zināma algoritmiskā metode šīs problēmas risināšanai. To sauc Eiklīda algoritms . Eiklīda algoritma idejaŠī algoritma ideja ir balstīta uz īpašību, ka, ja M>N, tad GCD(M, N) = GCD(M - N, N). Citiem vārdiem sakot, divu naturālu skaitļu gcd ir vienāds ar to pozitīvās starpības gcd (to starpības modulis) un mazāko skaitli. Šo īpašumu ir viegli pierādīt. K ir M u N (M> N) kopējais dalītājs. Tas nozīmē, ka M = mK, N = nK, kur m, n ir naturāli skaitļi un m > n. Tad M - N = K(m - n), kas nozīmē, ka K ir skaitļa M - N dalītājs. Tas nozīmē, ka visi skaitļu M un N kopīgie dalītāji ir to starpības M - N dalītāji, ieskaitot lielāko. kopīgs dalītājs. Otra acīmredzamā īpašība: GCD(M, M) = M. "Manuālai" skaitīšanai Eiklīda algoritms izskatās šādi: 1) ja skaitļi ir vienādi, tad par atbildi ņem jebkuru no tiem, pretējā gadījumā turpini izpildīt algoritmu; 2) aizstāt lielāko skaitli ar starpību starp lielāku un mazāku skaitļu; 3) atgriezieties pie 1. darbības. Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot piemēru M=32, N=24: Algoritma struktūra ir while-cilpa ar ligzdotu atzarojumu. Ciklu atkārto, līdz M un N vērtības ir vienādas viena ar otru. Sazarojumā lielākā no divām vērtībām tiek aizstāta ar to atšķirību. Tagad apskatiet sākotnējo vērtību M = 32, N = 24 algoritma izsekošanas tabulu.
Galu galā rezultāts bija pareizs. Programma AY un Pascal valodāAlgoritmu rakstīsim AY un programmu Paskālā. Jautājumi un uzdevumi 1. Palaidiet datorā programmu Evklid. Pārbaudiet to ar vērtībām M = 32, N = 24; M = 696, N = 234. 2. Uzrakstiet programmu, lai atrastu trīs skaitļu lielāko kopīgo dalītāju, izmantojot šādu formulu: GCD(A, B, C) = GCD(GCD(A, B), C). 3. Uzrakstiet programmu, lai atrastu divu skaitļu mazāko kopējo daudzkārtni (LCM), izmantojot formulu: A × B = GCD(A, B) × GCD(A, B). |
| Lasīt: |
|---|
Populārs:
Jauns
- Ķīmiskās reakcijas organiskajā ķīmijā
- Arachnida klase: ārējā struktūra Zirnekļa iekšējā struktūra
- Hakslija, Džuliana nozīme Koljēra vārdnīcā Fragments, kas raksturo Haksliju, Džulianu
- Vispārīgie embrioloģijas jēdzieni
- Kas bija Yihetuan sacelšanās?
- Portreti uz pilsoņu kara fona
- Tuhačevskis Mihails Nikolajevičs - PSRS maršala biogrāfija
- Pirmais krusta karš (1096–1099)
- Autonoma bezpeļņas izglītības organizācija "Visaptverošais vispārējās izglītības centrs bērniem ar attīstības traucējumiem "Saules aplis""
- Pūkainas pankūkas ar pienu un sodu
