Tagad mēs apskatīsim logaritmus saturošu izteiksmju konvertēšanu no vispārīga perspektīvas. Šeit apskatīsim ne tikai izteiksmju pārveidošanu, izmantojot logaritmu īpašības, bet arī aplūkosim izteiksmju transformāciju ar vispārējiem logaritmiem, kas satur ne tikai logaritmus, bet arī pakāpes, daļskaitļus, saknes utt. Kā parasti, mēs nodrošināsim visu materiālu ar tipiskiem piemēriem ar detalizētiem risinājumu aprakstiem.

Lapas navigācija.

Izteiksmes ar logaritmiem un logaritmiskās izteiksmes

Darīt lietas ar daļskaitļiem

Iepriekšējā rindkopā mēs apskatījām pamata transformācijas, kas tiek veiktas ar atsevišķām daļām, kas satur logaritmus. Šīs transformācijas, protams, var veikt ar katru atsevišķu daļu, kas ir daļa no sarežģītākas izteiksmes, piemēram, attēlo līdzīgu daļu summu, starpību, reizinājumu un koeficientu. Bet papildus darbam ar atsevišķām daļdaļām, šāda veida izteiksmju konvertēšana bieži ietver atbilstošu darbību veikšanu ar daļdaļām. Tālāk mēs aplūkosim noteikumus, saskaņā ar kuriem šīs darbības tiek veiktas.

Kopš 5.-6.klasēm mums ir zināmi noteikumi, pēc kuriem tie tiek veikti. Rakstā vispārīgs skatījums uz darbībām ar daļskaitļiem mēs esam paplašinājuši šos noteikumus ar parastās frakcijas vispārīgajā daļā A/B, kur A un B ir dažas skaitliskas, burtiskas izteiksmes vai izteiksmes ar mainīgajiem, un B nav identiski vienāds ar nulli. Ir skaidrs, ka daļskaitļi ar logaritmiem ir vispārīgo daļskaitļu īpašie gadījumi. Un šajā sakarā ir skaidrs, ka darbības ar daļām, kuru apzīmējumos ir logaritmi, tiek veiktas saskaņā ar tiem pašiem noteikumiem. Proti:

• Lai pievienotu vai atņemtu divas daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, ir attiecīgi jāsaskaita vai jāatņem skaitītāji, bet saucējs jāatstāj tāds pats.
• Lai pievienotu vai atņemtu divas daļas ar dažādiem saucējiem, tās jāsamazina līdz kopsaucējs un veiciet atbilstošās darbības saskaņā ar iepriekšējo noteikumu.
• Lai reizinātu divas daļdaļas, jums ir jāuzraksta daļa, kuras skaitītājs ir sākotnējo daļu skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums.
• Lai daļskaitli sadalītu daļdaļā, dalāmā daļa jāreizina ar daļskaitli, kas ir apgriezta dalītājam, tas ir, ar daļskaitli, kurā ir apmainīti skaitītājs un saucējs.

Šeit ir daži piemēri, kā veikt darbības ar daļskaitļiem, kas satur logaritmus.

Piemērs.

Veikt darbības ar daļām, kas satur logaritmus: a) , b) , V) , G) .

Risinājums.

a) Saskaitāmo daļu saucēji acīmredzami ir vienādi. Tāpēc saskaņā ar noteikumu par daļskaitļu pievienošanu ar vienādiem saucējiem mēs pievienojam skaitītājus un atstājam saucēju to pašu: .

b) Šeit saucēji ir atšķirīgi. Tāpēc vispirms jums ir nepieciešams pārvērst daļskaitļus vienā un tajā pašā saucējā. Mūsu gadījumā saucēji jau ir uzrādīti reizinājumu veidā, un atliek tikai ņemt pirmās daļdaļas saucēju un pievienot tam trūkstošos faktorus no otrās daļskaitļa saucēja. Tādā veidā mēs iegūstam formas kopsaucēju . Šajā gadījumā atņemtās daļdaļas tiek apvienotas līdz kopsaucējam, izmantojot papildu faktorus attiecīgi logaritma un izteiksmes veidā x 2 ·(x+1). Pēc tam atliek tikai atņemt daļas ar vienādiem saucējiem, kas nav grūti.

Tātad risinājums ir:

c) Ir zināms, ka daļskaitļu reizināšanas rezultāts ir daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums, tāpēc

Ir viegli saprast, ka varat samazinot daļu ar divi un decimāllogaritmu, kā rezultātā mums ir .

d) Mēs pārejam no dalīšanas uz reizināšanu, aizstājot dalītāja daļu ar tās apgriezto daļu. Tātad

Iegūtās frakcijas skaitītāju var attēlot kā , no kura skaidri redzams skaitītāja un saucēja kopīgais faktors - faktors x, par to var samazināt daļskaitli:

Atbilde:

a) , b) , V) , G) .

Jāatceras, ka darbības ar daļskaitļiem tiek veiktas, ņemot vērā darbību veikšanas secību: vispirms reizināšana un dalīšana, tad saskaitīšana un atņemšana, un, ja ir iekavas, tad vispirms tiek veiktas iekavās esošās darbības.

Piemērs.

Dariet lietas ar daļskaitļiem .

Risinājums.

Pirmkārt, mēs pievienojam iekavās esošās daļskaitļus, pēc tam reizinām:

Atbilde:

Šajā brīdī atliek skaļi pateikt trīs diezgan acīmredzamus, bet tajā pašā laikā svarīgus punktus:

Izteiksmju konvertēšana, izmantojot logaritmu īpašības

Visbiežāk izteiksmju pārveidošana ar logaritmiem ietver identitāšu izmantošanu, kas izsaka logaritma definīciju un. Piemēram, pievēršoties galvenajai logaritmiskajai identitātei a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , izteiksmi x−5 log 5 7 varam attēlot kā x−7 un formulu pārejai uz a jauna logaritmiskā bāze , kur a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1 ļauj pāriet no izteiksmes uz starpību 1−lnx.

Sakņu, spēku, trigonometrisko identitāšu u.c. īpašību pielietojums.

Izteiksmēs ar logaritmiem, papildus pašiem logaritmiem, gandrīz vienmēr ir ietvertas pakāpes, saknes, trigonometriskās funkcijas utt. Skaidrs, ka šādu izteiksmju pārveidošanai kopā ar logaritmu īpašībām var būt nepieciešamas pakāpju, sakņu u.c. īpašības. Atsevišķi apskatījām katra rekvizītu bloka pielietojumu izteiksmju pārveidošanai saites uz attiecīgiem rakstiem var atrast vietnes www.site izteiksmes un to transformācija; Šeit mēs parādīsim risinājumu dažiem piemēriem par īpašību izmantošanu kopā ar logaritmiem.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi .

Risinājums.

Pirmkārt, pārveidosim izteiksmes ar saknēm. Sākotnējās izteiksmes mainīgā x ODZ (kas mūsu gadījumā ir pozitīvu reālo skaitļu kopa), mēs varam pāriet no saknēm uz pakāpēm ar daļskaitļa eksponentiem un pēc tam izmantot pakāpju reizināšanas īpašību ar tām pašām bāzēm: . Tādējādi

Tagad mēs attēlojam skaitītāju kā (ko pakāpes īpašība uz grādu ļauj izdarīt, ja nepieciešams, skatiet izteiksmju transformāciju, izmantojot grādu īpašības, kā arī skaitļa attēlojumu, kas ļauj aizstāt grāda kvadrātu summu sinuss un kosinuss vienā un tajā pašā argumentā ar vienu Tādā veidā mēs iegūstam vienu zem logaritma zīmes.

Pierakstīsim veiktās transformācijas:

Nulle kubā ir nulle, tāpēc pāriesim pie izteiksmes .

Daļa, kuras skaitītājs ir nulle un saucējs atšķiras no nulles (mūsu gadījumā tā tas tiešām ir, jo ir viegli pamatot, ka izteiksmes vērtība zem naturālā logaritma zīmes atšķiras no viena) ir vienāda ar nulle. Tādējādi

Turpmākās transformācijas tiek veiktas, pamatojoties uz negatīva skaitļa nepāra saknes definīciju: .

Tā kā 2 15 ir pozitīvs skaitlis, mēs varam izmantot sakņu īpašības, kas noved pie gala rezultāta: .

Atbilde:

galvenās īpašības.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identisks pamatojums

Log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.

3.

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu skaidrojumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Logaritma formulas. Logaritmu piemēri risinājumi.

Mēs uzrādījām tur esošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - mēs saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Logaritms no b bāzes a apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast jaudu x (), pie kuras vienādība ir izpildīta

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata tiek atrisinātas gandrīz visas problēmas un piemēri, kas saistīti ar logaritmiem. Pārējās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulu (3.4), jūs saskaraties diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tādi, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divas.
Logaritmu līdz desmit bāzei parasti sauc par decimālo logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).

No ieraksta noprotams, ka pamatlietas ierakstā nav rakstītas. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ar ln(x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir vienāds ar 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Nikolajeviča Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs logaritms divu bāzei tiek apzīmēts ar

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Integrālo jeb antiatvasināto logaritmu nosaka sakarība

Ar doto materiālu jums pietiek, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai palīdzētu jums saprast materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programmas un universitātēm.

Logaritmu piemēri

Logaritma izteiksmes

1. piemērs.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Izmantojot īpašības 3.5, mēs aprēķinām

2.
Pēc logaritmu starpības īpašības mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam

Šķietami sarežģīta izteiksme tiek vienkāršota, lai izveidotu, izmantojot vairākus noteikumus

Logaritma vērtību atrašana

Piemērs 2. Atrodiet x ja

Risinājums. Aprēķiniem mēs attiecinām uz pēdējā termiņa 5 un 13 īpašībām

Mēs to ierakstām un sērojam

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Risinājums: ņemsim mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur tā vārdu summu

Tas ir tikai sākums mūsu iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas - iegūtās zināšanas jums drīz būs nepieciešamas, lai atrisinātu logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, paplašināsim jūsu zināšanas uz citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi. , t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu skaidrojumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur esošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - mēs saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs iestatām c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: .

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b palielina tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: rezultāts ir tāds pats skaitlis a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms jebkurai šīs bāzes bāzei a ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja argumentā ir viens, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Pārvēršot izteiksmes ar logaritmiem, uzskaitītās vienādības tiek izmantotas gan no labās puses uz kreiso, gan no kreisās uz labo.

Ir vērts atzīmēt, ka nav nepieciešams iegaumēt īpašību sekas: veicot transformācijas, jūs varat iztikt ar logaritmu pamatīpašībām un citiem faktiem (piemēram, to, ka b≥0), no kuriem seko attiecīgās sekas. " Blakusefekts«Šī pieeja izpaužas tikai tajā, ka risinājums būs nedaudz ilgāks. Piemēram, lai iztiktu bez sekām, kuras izsaka ar formulu , un, sākot tikai no logaritmu pamatīpašībām, jums būs jāveic šādas formas transformāciju ķēde: .

To pašu var teikt par pēdējo īpašību no iepriekš minētā saraksta, uz kuru atbild formula , jo tas izriet arī no logaritmu pamatīpašībām. Galvenais, kas jāsaprot, ir tas, ka vienmēr ir iespējams pozitīva skaitļa pakāpei ar logaritmu eksponentā samainīt pakāpju bāzi un skaitli zem logaritma zīmes. Taisnības labad jāatzīmē, ka piemēri, kas liecina par šāda veida transformāciju ieviešanu, praksē ir reti sastopami. Tālāk tekstā sniegsim dažus piemērus.

Skaitlisko izteiksmju konvertēšana ar logaritmiem

Mēs esam atcerējušies logaritmu īpašības, tagad ir pienācis laiks iemācīties tos pielietot praksē izteiksmju pārveidošanai. Ir dabiski sākt ar skaitlisko izteiksmju konvertēšanu, nevis izteiksmēm ar mainīgajiem, jo ​​tās ir ērtāk un vieglāk apgūt pamatus. Tieši to mēs darīsim, un mēs sāksim ar ļoti vienkāršus piemērus, lai uzzinātu, kā izvēlēties vēlamo logaritma īpašību, bet piemērus pamazām sarežģīsim līdz brīdim, kad gala rezultāta iegūšanai būs jāpiemēro vairākas īpašības pēc kārtas.

Vēlamās logaritmu īpašības izvēle

Logaritmiem ir daudz īpašību, un skaidrs, ka no tiem jāprot izvēlēties atbilstošo, kas konkrētajā gadījumā novedīs pie vajadzīgā rezultāta. Parasti to nav grūti izdarīt, salīdzinot konvertētā logaritma vai izteiksmes veidu ar logaritmu īpašības izsakot formulu kreisās un labās daļas veidiem. Ja kādas formulas kreisā vai labā puse sakrīt ar doto logaritmu vai izteiksmi, tad, visticamāk, tieši šī īpašība ir jāizmanto transformācijas laikā. Sekojošie piemēri to skaidri parāda.

Sāksim ar izteiksmju pārveidošanas piemēriem, izmantojot logaritma definīciju, kas atbilst formulai a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Piemērs.

Aprēķiniet, ja iespējams: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Risinājums.

Piemērā zem burta a) skaidri redzama struktūra a log a b, kur a=5, b=4. Šie skaitļi atbilst nosacījumiem a>0, a≠1, b>0, tāpēc var droši izmantot vienādību a log a b =b. Mums ir 5 log 5 4=4 .

b) Šeit a=10, b=1+2·π ir izpildīti nosacījumi a>0, a≠1, b>0. Šajā gadījumā notiek vienādība 10 log(1+2·π) =1+2·π.

c) Un šajā piemērā ir runa par formas a log a b pakāpi, kur un b=ln15. Tātad .

Neskatoties uz piederību vienam un tam pašam tipam a log a b (šeit a=2, b=−7), izteiksmi zem burta g) nevar pārvērst, izmantojot formulu a log a b =b. Iemesls ir tāds, ka tas ir bezjēdzīgs, jo tajā zem logaritma zīmes ir negatīvs skaitlis. Turklāt skaitlis b=−7 neizpilda nosacījumu b>0, kas neļauj izmantot formulu a log a b =b, jo tas prasa nosacījumu a>0, a≠1, b> izpildi. 0. Tātad, mēs nevaram runāt par 2 log 2 (−7) vērtības aprēķināšanu. Šajā gadījumā, ierakstot 2 log 2 (−7) =−7, būtu kļūda.

Tāpat piemērā zem e) nav iespējams sniegt formas risinājumu , jo sākotnējai izteiksmei nav jēgas.

Atbilde:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) izteicieniem nav jēgas.

Bieži vien noderīga transformācija ir attēlot pozitīvu skaitli kā kāda pozitīva skaitļa, kas nav vienots, pakāpju ar logaritmu eksponentā. Tas ir balstīts uz to pašu logaritma definīciju a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, bet formula tiek piemērota no labās puses uz kreiso, tas ir, formā b=a log a b . Piemēram, 3=e ln3 vai 5=5 log 5 5 .

Pāriesim pie logaritmu īpašību izmantošanas izteiksmju pārveidošanai.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Risinājums.

Piemēros zem burtiem a), b) un c) ir dotas izteiksmes log −2 1, log 1 1, log 0 1, kurām nav jēgas, jo logaritma bāzē nedrīkst būt negatīvs skaitlis, nulle vai viens, jo mēs esam definējuši logaritmu tikai bāzei, kas ir pozitīva un atšķiras no vienotības. Tāpēc piemēros a) - c) nevar būt ne runas par izteiciena jēgas atrašanu.

Visos citos uzdevumos, acīmredzot, logaritmu bāzēs ir attiecīgi pozitīvi un bezvienības skaitļi 7, e, 10, 3,75 un 5·π 7, un zem logaritmu zīmēm visur ir vienības. Un mēs zinām vienotības logaritma īpašību: log a 1=0 jebkuram a>0, a≠1. Tādējādi izteiksmju b) – e) vērtības ir vienādas ar nulli.

Atbilde:

a), b), c) izteiksmēm nav jēgas, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Piemērs.

Aprēķināt: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Risinājums.

Skaidrs, ka jāizmanto bāzes logaritma īpašība, kas atbilst formulai log a a=1 pie a>0, a≠1. Patiešām, uzdevumos zem visiem burtiem skaitlis zem logaritma zīmes sakrīt ar tā bāzi. Tādējādi es uzreiz gribu teikt, ka katras dotās izteiksmes vērtība ir 1. Tomēr nevajadzētu steigties ar secinājumiem: uzdevumos zem burtiem a) - d) izteiksmju vērtības patiešām ir vienādas ar vienu, un uzdevumos e) un f) oriģinālajām izteiksmēm nav jēgas, tāpēc nevar teikt, ka šo izteiksmju vērtības ir vienādas ar 1.

Atbilde:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) izteicieniem nav jēgas.

Piemērs.

Atrodiet vērtību: a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Risinājums.

Acīmredzot zem logaritmu zīmēm ir dažas bāzes pilnvaras. Pamatojoties uz to, mēs saprotam, ka šeit mums būs nepieciešama bāzes pakāpes īpašība: log a a p =p, kur a>0, a≠1 un p ir jebkura reāls skaitlis. Ņemot to vērā, mums ir šādi rezultāti: a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Vai piemēram var uzrakstīt līdzīgu vienādību zem burta d) formā log −10 (−10) 6 =6? Nē, jūs nevarat, jo izteiksmei log −10 (−10) 6 nav jēgas.

Atbilde:

a) log 3 3 11 = 11, b) , V) , d) izteiksmei nav jēgas.

Piemērs.

Parādiet izteiksmi kā logaritmu summu vai starpību, izmantojot to pašu bāzi: a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Risinājums.

a) Zem logaritma zīmes atrodas reizinājums, un mēs zinām reizinājuma logaritma īpašību log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Mūsu gadījumā skaitlis logaritma bāzē un skaitļi produktā ir pozitīvi, tas ir, tie atbilst izvēlētās īpašības nosacījumiem, tāpēc mēs varam to droši lietot: .

b) Šeit mēs izmantojam koeficienta logaritma īpašību, kur a>0, a≠1, x>0, y>0. Mūsu gadījumā logaritma bāze ir pozitīvs skaitlis e, skaitītājs un saucējs π ir pozitīvi, kas nozīmē, ka tie atbilst īpašuma nosacījumiem, tāpēc mums ir tiesības izmantot izvēlēto formulu: .

c) Pirmkārt, ņemiet vērā, ka izteiksmei log((−5)·(−12)) ir jēga. Bet tajā pašā laikā mums nav tiesību piemērot formulu reizinājuma logaritmam log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, jo skaitļi ir −5 un −12 – negatīvi un neizpilda nosacījumus x>0, y>0. Tas ir, jūs nevarat veikt šādu pārveidošanu: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Tātad, kas mums jādara? Šādos gadījumos sākotnējai izteiksmei ir nepieciešama iepriekšēja transformācija, lai izvairītos no negatīviem skaitļiem. Par līdzīgiem gadījumiem, kad tiek pārveidotas izteiksmes ar negatīviem skaitļiem zem logaritma zīmes, mēs detalizēti runāsim vienā no rakstiem, bet pagaidām mēs sniegsim risinājumu šim piemēram, kas ir skaidrs jau iepriekš un bez paskaidrojumiem: log((-5)·(-12))=log(5·12)=log5+lg12.

Atbilde:

A) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Risinājums.

Šeit mums palīdzēs visas tās pašas reizinājuma logaritma un koeficienta logaritma īpašības, kuras izmantojām iepriekšējos piemēros, tikai tagad mēs tās pielietosim no labās uz kreiso pusi. Tas ir, mēs pārveidojam logaritmu summu par reizinājuma logaritmu, bet logaritmu starpību - par koeficienta logaritmu. Mums ir
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

Atbilde:

A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Piemērs.

Atbrīvojieties no pakāpes zem logaritma zīmes: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Risinājums.

Ir viegli saprast, ka mums ir darīšana ar formas log a b p izteiksmēm. Attiecīgajai logaritma īpašībai ir forma log a b p =p·log a b, kur a>0, a≠1, b>0, p - jebkurš reāls skaitlis. Tas ir, ja ir izpildīti nosacījumi a>0, a≠1, b>0, no jaudas log a b p logaritma varam pāriet uz reizinājumu p·log a b. Veiksim šo transformāciju ar dotajām izteiksmēm.

a) Šajā gadījumā a=0,7, b=5 un p=11. Tātad log 0,7 5 11 = 11 · log 0,7 5.

b) Šeit ir izpildīti nosacījumi a>0, a≠1, b>0. Tāpēc

c) Izteiksmei log 3 (−5) 6 ir tāda pati struktūra log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Bet priekš b nosacījums b>0 nav izpildīts, tāpēc nav iespējams izmantot formulu log a b p =p·log a b . Nu ko, jūs nevarat tikt galā ar uzdevumu? Tas ir iespējams, taču ir nepieciešama iepriekšēja izteiksmes transformācija, ko mēs sīkāk apspriedīsim tālāk sadaļā zem virsraksta. Risinājums būs šāds: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

Atbilde:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Diezgan bieži, veicot pārveidojumus, pakāpju logaritma formula jāpiemēro no labās uz kreiso formā p·log a b=log a b p (a, b un p ir jāievēro vienādi nosacījumi). Piemēram, 3·ln5=ln5 3 un log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Piemērs.

a) Aprēķināt log 2 5 vērtību, ja zināms, ka log2≈0,3010 un log5≈0,6990. b) Izsakiet daļu kā logaritmu līdz 3. bāzei.

Risinājums.

a) Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi ļauj mums uzrādīt šo logaritmu kā decimālo logaritmu attiecību, kuru vērtības mums ir zināmas: . Atliek tikai veikt aprēķinus, kas mums ir .

b) Šeit pietiek izmantot formulu pārejai uz jaunu bāzi un lietot to no labās puses uz kreiso, tas ir, formā . Mēs saņemam .

Atbilde:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Šajā posmā esam diezgan rūpīgi izpētījuši vienkāršāko izteiksmju transformāciju, izmantojot logaritmu pamatīpašības un logaritma definīciju. Šajos piemēros mums bija jāpiemēro viens īpašums un nekas vairāk. Tagad ar tīru sirdsapziņu var pāriet pie piemēriem, kuru pārveidošanai nepieciešams izmantot vairākas logaritmu īpašības un citas papildu transformācijas. Mēs tos aplūkosim nākamajā rindkopā. Bet pirms tam īsi apskatīsim piemērus seku pielietošanai no logaritmu pamatīpašībām.

Piemērs.

a) Atbrīvojieties no saknes zem logaritma zīmes. b) Pārvērtiet daļskaitli uz 5. bāzes logaritmu. c) Atbrīvojieties no spējām zem logaritma zīmes un tās pamatā. d) Aprēķināt izteiksmes vērtību . e) Aizstājiet izteiksmi ar pakāpju ar 3. bāzi.

Risinājums.

a) Ja atgādinām secību no pakāpes logaritma īpašības , tad uzreiz varat sniegt atbildi: .

b) Šeit mēs izmantojam formulu no labās uz kreiso, mums ir .

c) Šajā gadījumā formula noved pie rezultāta . Mēs saņemam .

d) Un šeit pietiek ar to, ka tiek piemērots rezultāts, kuram atbilst formula . Tātad .

e) logaritma īpašība ļauj mums sasniegt vēlamo rezultātu: .

Atbilde:

A) . b) . V) . G) . d) .

Vairāku īpašību secīga piemērošana

Reālie uzdevumi izteiksmju pārveidošanai, izmantojot logaritmu īpašības, parasti ir sarežģītāki nekā tie, kas tika aplūkoti iepriekšējā punktā. Tajos parasti rezultāts netiek iegūts vienā solī, bet risinājums jau sastāv no vienas īpašības secīgas piemērošanas pēc otras kopā ar papildu identiskām pārveidojumiem, piemēram, atverot iekavas, ienesot līdzīgus terminus, samazinot daļskaitļus utt. . Tāpēc pievērsīsimies šādiem piemēriem. Šeit nav nekā sarežģīta, galvenais ir rīkoties uzmanīgi un konsekventi, ievērojot darbību secību.

Piemērs.

Aprēķiniet izteiksmes vērtību (log 3 15-log 3 5) 7 log 7 5.

Risinājums.

Atšķirību starp iekavās norādītajiem logaritmiem atbilstoši koeficienta logaritma īpašībai var aizstāt ar logaritmu log 3 (15:5) un pēc tam aprēķināt tā vērtību log 3 (15:5)=log 3 3=1. Un izteiksmes 7 log 7 5 vērtība pēc logaritma definīcijas ir vienāda ar 5. Aizstājot šos rezultātus sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Šeit ir risinājums bez paskaidrojumiem:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Atbilde:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Piemērs.

Kāda ir skaitliskās izteiksmes log 3 log 2 2 3 −1 vērtība?

Risinājums.

Vispirms mēs pārveidojam logaritmu zem logaritma zīmes, izmantojot jaudas logaritma formulu: log 2 2 3 =3. Tādējādi log 3 log 2 2 3 = log 3 3 un pēc tam log 3 3 = 1. Tātad log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Atbilde:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums.

Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi ļauj logaritmu attiecību pret vienu bāzi attēlot kā log 3 5. Šajā gadījumā sākotnējā izteiksme būs formā . Pēc logaritma definīcijas 3 log 3 5 =5, tas ir , un iegūtās izteiksmes vērtība, pamatojoties uz to pašu logaritma definīciju, ir vienāda ar divi.

Šeit ir īsa risinājuma versija, kas parasti tiek sniegta: .

Atbilde:

.

Lai vienmērīgi pārietu uz informāciju nākamajā rindkopā, apskatīsim izteicienus 5 2+log 5 3 un log0.01. To struktūra neatbilst nevienai no logaritmu īpašībām. Tātad, kas notiek, tos nevar pārvērst, izmantojot logaritmu īpašības? Tas ir iespējams, ja veicat iepriekšējas transformācijas, kas sagatavo šīs izteiksmes logaritmu īpašību pielietošanai. Tātad 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, un log0.01=log10 −2 =−2. Tālāk mēs detalizēti aplūkosim, kā tiek veikta šāda izteiksmes sagatavošana.

Izteiksmju sagatavošana logaritmu īpašību izmantošanai

Logaritmi pārveidojamajā izteiksmē ļoti bieži apzīmējuma struktūrā atšķiras no logaritmu īpašībām atbilstošās formulas kreisās un labās daļas. Bet ne retāk šo izteiksmju pārveidošana ietver logaritmu īpašību izmantošanu: to lietošanai ir nepieciešama tikai iepriekšēja sagatavošana. Un šī sagatavošana sastāv no noteiktu identisku pārveidojumu veikšanas, kas nodrošina logaritmu formu, kas ir ērta īpašību pielietošanai.

Taisnības labad jāatzīmē, ka gandrīz jebkura izteiksmju transformācija var darboties kā sākotnējās transformācijas, sākot no līdzīgu terminu banālas samazināšanas līdz trigonometrisko formulu lietošanai. Tas ir saprotams, jo konvertējamās izteiksmes var saturēt jebkurus matemātiskos objektus: iekavas, moduļus, daļskaitļus, saknes, pakāpes utt. Tādējādi ir jābūt gatavam veikt jebkuru nepieciešamo transformāciju, lai turpmāk varētu izmantot logaritmu īpašības.

Uzreiz teiksim, ka šobrīd mēs neizvirzām sev uzdevumu klasificēt un analizēt visas iespējamās sākotnējās transformācijas, kas ļautu pēc tam pielietot logaritmu īpašības vai logaritma definīciju. Šeit mēs pievērsīsimies tikai četriem no tiem, kas ir tipiskākie un visbiežāk sastopamie praksē.

Un tagad par katru no tiem sīkāk, pēc kura mūsu tēmas ietvaros atliek tikai saprast izteiksmju transformāciju ar mainīgajiem zem logaritmu zīmēm.

Pakāpju identifikācija zem logaritma zīmes un tā bāzē

Sāksim uzreiz ar piemēru. Ļaujiet mums izveidot logaritmu. Acīmredzot šajā formā tā struktūra neveicina logaritmu īpašību izmantošanu. Vai ir iespējams kaut kā pārveidot šo izteiksmi, lai to vienkāršotu, un vēl labāk aprēķināt tā vērtību? Lai atbildētu uz šo jautājumu, aplūkosim skaitļus 81 un 1/9 mūsu piemēra kontekstā. Šeit ir viegli pamanīt, ka šos skaitļus var attēlot kā pakāpju 3, patiešām, 81 = 3 4 un 1/9 = 3 −2. Šajā gadījumā formā tiek parādīts sākotnējais logaritms un kļūst iespējams piemērot formulu . Tātad, .

Analizētā piemēra analīze rada šādu domu: ja iespējams, varat mēģināt izolēt pakāpi zem logaritma zīmes un tās bāzē, lai pielietotu pakāpes logaritma īpašību vai tā sekas. Atliek tikai izdomāt, kā atšķirt šīs pakāpes. Sniegsim dažus ieteikumus šajā jautājumā.

Dažreiz ir pilnīgi skaidrs, ka skaitlis zem logaritma zīmes un/vai tā pamatnē apzīmē kādu veselu skaitļu jaudu, kā tas ir iepriekš apskatītajā piemērā. Gandrīz pastāvīgi mums ir jāsaskaras ar labi pazīstamiem divu pakāpēm: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512 = 2 9, 1024 = 2 10. To pašu var teikt par triju pakāpēm: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Vispār jau tas nesāpēs, ja tev būs acu priekšā. naturālu skaitļu pakāpju tabula duča robežās. Tāpat nav grūti strādāt ar veselu skaitļu pakāpēm desmit, simts, tūkstotis utt.

Piemērs.

Aprēķiniet vērtību vai vienkāršojiet izteiksmi: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Risinājums.

a) Acīmredzot, 216=6 3, tātad log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Naturālo skaitļu pakāpju tabula ļauj attēlot skaitļus 343 un 1/243 attiecīgi kā pakāpes 7 3 un 3 −4. Tāpēc ir iespējama šāda dotā logaritma transformācija:

c) Tā kā 0,000001=10–6 un 0,001=10–3, tad log 0,000001 0,001 = log 10 -6 10 -3 = (-3)/(-6) = 1/2.

Atbilde:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

Vairāk sarežģīti gadījumi lai atšķirtu skaitļu pilnvaras, ir jāizmanto .

Piemērs.

Pārvērtiet izteiksmi uz vairāk vienkāršs skats log 3 648 log 2 3 .

Risinājums.

Apskatīsim, kāda ir 648 faktorizācija:

Tas ir, 648 = 2 3 · 3 4. Tādējādi log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Tagad mēs pārvēršam reizinājuma logaritmu logaritmu summā, pēc kura mēs izmantojam jaudas logaritma īpašības:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3= (log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

Pateicoties formulai atbilstošās jaudas logaritma īpašību sekas , reizinājums log32·log23 ir reizinājums, un, kā zināms, tas ir vienāds ar vienu. Ņemot to vērā, mēs iegūstam 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Atbilde:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Diezgan bieži izteiksmes ar logaritma zīmi un tā pamatnē apzīmē dažu skaitļu sakņu un/vai pakāpju reizinājumus vai attiecības, piemēram, , . Šādas izpausmes var izteikt kā pilnvaras. Lai to izdarītu, tiek veikta pāreja no saknēm uz pilnvarām, un tiek izmantoti. Šīs transformācijas ļauj izolēt pakāpes zem logaritma zīmes un tās bāzē, un pēc tam pielietot logaritmu īpašības.

Piemērs.

Aprēķināt: a) , b) .

Risinājums.

a) Izteiksme logaritma bāzē ir pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājums ar atbilstošo pakāpju īpašību, kas mums ir 5 2 · 5 −0,5 · 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Tagad pārveidosim daļu zem logaritma zīmes: mēs pāriesim no saknes uz jaudu, pēc tam izmantosim spēku attiecības īpašību ar vienādām bāzēm: .

Atliek iegūtos rezultātus aizstāt ar sākotnējo izteiksmi, izmantot formulu un pabeidziet transformāciju:

b) Tā kā 729 = 3 6 un 1/9 = 3 −2, sākotnējo izteiksmi var pārrakstīt kā .

Tālāk mēs izmantojam pakāpju saknes īpašību, pārejam no saknes uz pakāpju un izmantojam pakāpju attiecības īpašību, lai logaritma bāzi pārvērstu pakāpē: .

Ņemot vērā pēdējo rezultātu, mums ir .

Atbilde:

A) , b) .

Ir skaidrs, ka vispārīgā gadījumā, lai iegūtu pilnvaras zem logaritma zīmes un tā bāzē, var būt nepieciešamas dažādas dažādu izteiksmju transformācijas. Sniegsim pāris piemērus.

Piemērs.

Ko nozīmē izteiciens: a) , b) .

Risinājums.

Tālāk mēs atzīmējam, ka dotajai izteiksmei ir forma log A B p , kur A=2, B=x+1 un p=4. Šāda veida skaitliskās izteiksmes mēs pārveidojām atbilstoši jaudas log a b p =p·log a b logaritma īpašībai, tāpēc ar doto izteiksmi vēlos darīt to pašu, un pāriet no log 2 (x+1) 4 uz 4·log 2 (x+1) . Tagad aprēķināsim sākotnējās izteiksmes un pēc transformācijas iegūtās izteiksmes vērtību, piemēram, kad x=−2. Mums ir log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , un 4 log 2 (-2+1) = 4 log 2 (-1)- bezjēdzīgs izteiciens. Tas rada loģisku jautājumu: "Ko mēs izdarījām nepareizi?"

Un iemesls ir šāds: mēs veicām transformāciju log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , pamatojoties uz formulu log a b p =p·log a b , bet mums ir tiesības izmantot šo formulu tikai tad, ja nosacījumi a >0, a≠1, b>0, p - jebkurš reāls skaitlis. Tas ir, mūsu veiktā transformācija notiek, ja x+1>0, kas ir tāds pats kā x>−1 (A un p nosacījumi ir izpildīti). Taču mūsu gadījumā mainīgā x ODZ sākotnējai izteiksmei sastāv ne tikai no intervāla x>−1, bet arī no intervāla x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Nepieciešamība ņemt vērā DL

Turpināsim analizēt izvēlētās izteiksmes transformāciju log 2 (x+1) 4, un tagad redzēsim, kas notiek ar ODZ, pārejot uz izteiksmi 4 · log 2 (x+1) . Iepriekšējā rindkopā mēs atradām sākotnējās izteiksmes ODZ — šī ir kopa (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Tagad atradīsim mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonu izteiksmei 4·log 2 (x+1). To nosaka nosacījums x+1>0, kas atbilst kopai (−1, +∞). Ir skaidrs, ka, pārejot no log 2 (x+1) 4 uz 4·log 2 (x+1), pieļaujamo vērtību diapazons sašaurinās. Un mēs vienojāmies izvairīties no transformācijām, kas noved pie DL sašaurināšanās, jo tas var radīt dažādas negatīvas sekas.

Šeit ir vērts atzīmēt, ka ir lietderīgi kontrolēt OA katrā transformācijas posmā un novērst tā sašaurināšanos. Un, ja pēkšņi kādā transformācijas posmā notika DL sašaurināšanās, tad ir vērts ļoti rūpīgi paskatīties, vai šī transformācija ir pieļaujama un vai mums bija tiesības to veikt.

Taisnības labad jāsaka, ka praksē parasti ir jāstrādā ar izteiksmēm, kurās mainīgo lielumu mainīgā vērtība ir tāda, lai, veicot transformācijas, bez ierobežojumiem varētu izmantot logaritmu īpašības mums jau zināmā formā, gan no kreisās uz labo un no labās uz kreiso. Jūs ātri pierodat pie tā un sākat veikt pārvērtības mehāniski, nedomājot par to, vai tās bija iespējams veikt. Un šādos brīžos, kā laime, izslīd sarežģītāki piemēri, kuros logaritmu īpašību neuzmanīga piemērošana noved pie kļūdām. Tāpēc jums vienmēr jābūt modram un jāpārliecinās, ka ODZ nesamazinās.

Nenāktu par ļaunu atsevišķi izcelt galvenās transformācijas, kuru pamatā ir logaritmu īpašības, kas jāveic ļoti uzmanīgi, kas var novest pie OD sašaurināšanās un rezultātā kļūdām:

Dažas izteiksmju transformācijas, kuru pamatā ir logaritmu īpašības, var izraisīt arī pretējo - ODZ paplašināšanos. Piemēram, pāreja no 4·log 2 (x+1) uz log 2 (x+1) 4 paplašina ODZ no kopas (−1, +∞) uz (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Šādas pārvērtības notiek, ja paliekam ODZ ietvaros oriģinālajai izteiksmei. Tātad tikko minētā transformācija 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 notiek mainīgā x ODZ sākotnējai izteiksmei 4·log 2 (x+1), tas ir, x+1> 0, kas ir tāds pats kā (−1, +∞).

Tagad, kad esam apsprieduši nianses, kurām jāpievērš uzmanība, pārveidojot izteiksmes ar mainīgajiem, izmantojot logaritmu īpašības, atliek izdomāt, kā pareizi veikt šīs transformācijas.

X+2>0. Vai tas darbojas mūsu gadījumā? Lai atbildētu uz šo jautājumu, apskatīsim mainīgā x ODZ. To nosaka nevienlīdzību sistēma , kas ir līdzvērtīgs nosacījumam x+2>0 (ja nepieciešams, skatiet rakstu nevienlīdzību sistēmu risināšana). Tādējādi varam droši pielietot jaudas logaritma īpašību.

Mums ir
3 log(x+2) 7 −log(x+2) −5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)–log(x+2)–5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21-1-20)·log(x+2)=0 .

Varat rīkoties citādi, jo ODZ ļauj to izdarīt, piemēram, šādi:

Atbilde:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Bet ko darīt, ja ODZ nav izpildīti nosacījumi, kas pavada logaritmu īpašības? Mēs to sapratīsim ar piemēriem.

Ļaujiet mums vienkāršot izteiksmi log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Šīs izteiksmes transformācija atšķirībā no izteiksmes no iepriekšējā piemēra neļauj brīvi izmantot jaudas logaritma īpašību. Kāpēc? Mainīgā x ODZ šajā gadījumā ir divu intervālu x>−2 un x savienība<−2 . При x>−2 mēs varam viegli pielietot pakāpju logaritma īpašību un rīkoties, kā norādīts iepriekš minētajā piemērā: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Bet ODZ satur vēl vienu intervālu x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 un tālāk pakāpes k lg|x+2| īpašību dēļ 4 −lg|x+2| 2. Iegūto izteiksmi var pārveidot, izmantojot pakāpju logaritma īpašību, jo |x+2|>0 jebkurai mainīgā vērtībai. Mums ir log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Tagad jūs varat atbrīvot sevi no moduļa, jo tas ir paveicis savu darbu. Tā kā mēs veicam transformāciju pie x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Apskatīsim vēl vienu piemēru, lai darbs ar moduļiem kļūtu pazīstams. Iedomāsimies pēc izteiciena dodieties uz lineāro binomiālu x−1, x−2 un x−3 logaritmu summu un starpību. Vispirms atrodam ODZ:

Intervālā (3, +∞) izteiksmju x−1, x−2 un x−3 vērtības ir pozitīvas, tāpēc varam viegli pielietot summas un starpības logaritma īpašības:

Un intervālā (1, 2) izteiksmes x-1 vērtības ir pozitīvas, un izteiksmes x-2 un x-3 vērtības ir negatīvas. Tāpēc aplūkotajā intervālā mēs attēlojam x−2 un x−3, izmantojot moduli kā −|x−2| un −|x−3| attiecīgi. Kurā

Tagad varam pielietot reizinājuma logaritma un koeficienta īpašības, jo aplūkotajā intervālā (1, 2) izteiksmju vērtības x−1 , |x−2| un |x−3| - pozitīvs.

Mums ir

Iegūtos rezultātus var apvienot:

Kopumā līdzīga argumentācija ļauj, pamatojoties uz reizinājuma, attiecības un pakāpes logaritma formulām, iegūt trīs praktiski noderīgus rezultātus, kurus ir diezgan ērti izmantot:

• Divu patvaļīgu izteiksmju X un Y reizinājuma logaritmu formā log a (X·Y) var aizstāt ar logaritmu summu log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Konkrētas formas log a (X:Y) logaritmu var aizstāt ar logaritmu starpību log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X un Y ir patvaļīgas izteiksmes.
• No kādas izteiksmes B logaritma līdz formas log a B p pāra pakāpei p varam pāriet uz izteiksmi p·log a |B| , kur a>0, a≠1, p ir pāra skaitlis un B ir patvaļīga izteiksme.

Līdzīgi rezultāti ir doti, piemēram, M. I. Skanavi rediģētajās instrukcijās eksponenciālo un logaritmisko vienādojumu risināšanai matemātikas uzdevumu krājumā tiem, kas iestājas augstskolās.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi .

Risinājums.

Būtu labi pielietot jaudas, summas un starpības logaritma īpašības. Bet vai mēs to varam izdarīt šeit? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāzina DZ.

Definēsim to:

Ir pilnīgi skaidrs, ka izteiksmes x+4, x−2 un (x+4) 13 mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonā var iegūt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Tāpēc mums būs jādarbojas, izmantojot moduļus.

Moduļa rekvizīti ļauj to pārrakstīt kā , so

Tāpat nekas neliedz izmantot pakāpju logaritma īpašību un pēc tam ienest līdzīgus terminus:

Cita transformāciju secība noved pie tāda paša rezultāta:

un tā kā ODZ izteiksmei x−2 var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības, tad, ņemot pāra eksponentu 14

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var saskaitīt, atņemt un visādi pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc galvenās īpašības.

Šie noteikumi noteikti ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienas dienas laikā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: log a x un žurnālu a y. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. žurnāls a x+ baļķis a y=log a (x · y);
2. žurnāls a x− žurnāls a y=log a (x : y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir vienāda ar koeficienta logaritmu. Lūdzu, ņemiet vērā: šeit galvenais ir identisks pamatojums. Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību “Kas ir logaritms”). Apskatiet piemērus un skatiet:

Baļķis 6 4 + baļķis 6 9.

Tā kā logaritmiem ir vienādas bāzes, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.

Atkal bāzes ir tās pašas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no “sliktiem” logaritmiem, kas netiek aprēķināti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, vienotajā valsts eksāmenā testiem līdzīgi izteicieni tiek piedāvāti visā nopietnībā (dažkārt praktiski bez izmaiņām).

Eksponenta izvilkšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāze vai arguments ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Un vēl: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo, bet arī otrādi, t.i. Jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

[Paraksts attēlam]

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura bāze un arguments ir precīzās pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs prasa zināmu skaidrojumu. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām tur esošā logaritma bāzi un argumentu pakāpju veidā un izņēmām eksponentus - mēs saņēmām “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļskaitli - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četriniekus var pārsūtīt uz skaitītāju, kas arī tika darīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma žurnālu a x. Tad jebkuram skaitlim c tāds, ka c> 0 un c≠ 1, vienādība ir patiesa:

[Paraksts attēlam]

Jo īpaši, ja mēs ieliekam c = x, mēs iegūstam:

[Paraksts attēlam]

No otrās formulas izriet, ka logaritma bāzi un argumentu var samainīt, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. saucējā parādās logaritms.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. Novērtēt, cik tie ir ērti, var tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir problēmas, kuras nevar atrisināt vispār, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzas pilnvaras. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Tagad "apgriezīsim" otro logaritmu:

Tā kā, pārkārtojot faktorus, reizinājums nemainās, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un tad tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no indikatoriem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā mums palīdzēs šādas formulas:

Pirmajā gadījumā numurs n kļūst par argumentā esošās pakāpes rādītāju. Numurs n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. Tā to sauc: pamata logaritmiskā identitāte.

Patiesībā, kas notiks, ja numurs b paaugstināt līdz tādam jaudai, ka skaitlis bšim jaudam dod skaitli a? Tieši tā: jūs saņemat to pašu numuru a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu – daudzi cilvēki tajā iestrēgst.

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, arī logaritmiskā pamata identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiciena nozīmi:

[Paraksts attēlam]

Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - vienkārši paņēma kvadrātu no logaritma bāzes un argumenta. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar vienu un to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezin, tad šis bija īsts uzdevums no vienotā valsts eksāmena :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Nobeigumā došu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām – drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi parādās problēmās un pārsteidzoši rada problēmas pat “progresīviem” studentiem.

1. žurnāls a a= 1 ir logaritmiska vienība. Atcerieties vienreiz par visām reizēm: logaritms uz jebkuru bāzi a no šīs pašas bāzes ir vienāds ar vienu.
2. žurnāls a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments satur vienu, logaritms ir vienāds ar nulli! Jo a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Logaritma pieņemamo vērtību diapazons (APV).

Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons).

Mēs atceramies, ka, piemēram, kvadrātsakni nevar ņemt no negatīviem skaitļiem; vai ja mums ir daļskaitlis, tad saucējs nevar būt vienāds ar nulli. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:

Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, bet bāze vēl nevar būt vienāda.

Kāpēc ir tā, ka?

Sāksim ar vienkāršu lietu: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis neeksistē, jo neatkarīgi no tā, uz kādu jaudu mēs paaugstinātu, tas vienmēr izrādās. Turklāt tas neeksistē nevienam. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - vienāds ar jebkuru grādu). Tāpēc objekts neinteresē, un tas tika vienkārši izmests no matemātikas.

Mums ir līdzīga problēma šajā gadījumā: jebkuram pozitīvam spēkam tas ir, bet to vispār nevar pacelt par negatīvu spēku, jo tas radīs dalīšanu ar nulli (to atgādināšu).

Kad mēs saskaramies ar problēmu, kas saistīta ar paaugstināšanu līdz daļējai pakāpei (kas tiek attēlota kā sakne: . Piemēram, (tas ir), bet tā neeksistē.

Tāpēc negatīvus iemeslus ir vieglāk izmest, nekā ar tiem ķerties.

Nu, tā kā mūsu bāze a var būt tikai pozitīva, tad neatkarīgi no tā, uz kādu spēku mēs to pacelsim, mēs vienmēr saņemsim stingri pozitīvu skaitli. Tātad argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tas neeksistē, jo tas nekādā mērā nebūs negatīvs skaitlis (vai pat nulle, tāpēc tas arī neeksistē).

Problēmās ar logaritmiem pirmā lieta, kas jums jādara, ir pierakstīt ODZ. Ļaujiet man sniegt jums piemēru:

Atrisināsim vienādojumu.

Atcerēsimies definīciju: logaritms ir jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Un saskaņā ar nosacījumu šī pakāpe ir vienāda ar: .

Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu: . Atrisināsim, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli paņemt, tie ir cipari un.

Bet, ja uzreiz ņemat un atbildē ierakstāt abus šos skaitļus, par uzdevumu var iegūt 0 punktu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiks, ja mēs šīs saknes aizstājam sākotnējā vienādojumā?

Tas ir acīmredzami nepareizi, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir “trešā puse”.

Lai izvairītos no šādām nepatīkamām kļūmēm, ODZ ir jāpieraksta pat pirms vienādojuma risināšanas:

Tad, saņēmuši saknes un, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.

1. piemērs(mēģiniet to atrisināt pats) :

Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko no tām.

Risinājums:

Vispirms uzrakstīsim ODZ:

Tagad atcerēsimies, kas ir logaritms: līdz kādai jaudai jums jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Uz otro. Tas ir:

Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir sveša, tas ir, tā vispār nav šī vienādojuma sakne. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne: .

Atbilde: .

Pamatlogaritmiskā identitāte

Atcerēsimies logaritma definīciju vispārīgā formā:

Aizstāsim logaritmu ar otro vienādību:

Šo vienlīdzību sauc logaritmiskā identitāte. Lai gan pēc būtības tā ir vienlīdzība - tikai rakstīts savādāk logaritma definīcija:

Tas ir spēks, kas jums jāpalielina, lai iegūtu.

Piemēram:

Atrisiniet šādus piemērus:

2. piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums:

Atcerēsimies noteikumu no sadaļas:, tas ir, paaugstinot pakāpju pakāpē, eksponenti tiek reizināti. Pielietosim to:

3. piemērs.

Pierādiet to.

Risinājums:

Logaritmu īpašības

Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāatgriež tā ierastajā formā, un tikai tad būs iespējams aprēķināt vērtību. To ir visvieglāk izdarīt, ja zināt logaritmu īpašības. Tātad, apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo ​​jebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zini, no kurienes tas nāk.

Visas šīs īpašības ir jāatceras bez tām, lielāko daļu problēmu ar logaritmiem nevar atrisināt.

Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.

1. īpašums:

Pierādījums:

Lai tad ir.

Mums ir: u.c.

2. īpašība: logaritmu summa

Logaritmu summa ar vienādām bāzēm ir vienāda ar reizinājuma logaritmu: .

Pierādījums:

Lai tad ir. Lai tad ir.

Piemērs: Atrodiet izteiciena nozīmi: .

Risinājums:.

Tikko apgūtā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis atšķirību, tāpēc šos logaritmus nevar apvienot uzreiz. Bet jūs varat rīkoties pretēji - “sadalīt” pirmo logaritmu divās daļās: Un šeit ir apsolītais vienkāršojums:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: ar ko tas līdzinās?

Tagad tas ir skaidrs.

Tagad vienkāršo pats:

Uzdevumi:

Atbildes:

3. īpašums: logaritmu atšķirība:

Pierādījums:

Viss ir tieši tāpat kā 2. punktā:

Lai tad ir.

Lai tad ir. Mums ir:

Piemērs no iepriekšējās rindkopas tagad kļūst vēl vienkāršāks:

Sarežģītāks piemērs: . Vai jūs pats varat izdomāt, kā to atrisināt?

Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par logaritmiem kvadrātā. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam — to nevar uzreiz vienkāršot.

Tāpēc atpūtīsimies no formulām par logaritmiem un padomāsim, kādas formulas visbiežāk lietojam matemātikā? Kopš 7. klases!

Šis -. Vajag pierast, ka tās ir visur! Tās rodas eksponenciālās, trigonometriskās un iracionālās problēmās. Tāpēc tie ir jāatceras.

Ja uzmanīgi aplūkojat pirmos divus terminus, kļūst skaidrs, ka šis kvadrātu atšķirība:

Atbilde, lai pārbaudītu:

Vienkāršojiet to pats.

Piemēri

Atbildes.

4. īpašums: eksponenta izņemšana no logaritma argumenta:

Pierādījums: Un šeit mēs arī izmantojam logaritma definīciju: pieņemsim, tad. Mums ir: u.c.

Šo noteikumu var saprast šādi:

Tas nozīmē, ka argumenta pakāpe tiek pārvietota uz priekšu par logaritmu kā koeficientu.

Piemērs: Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums: .

Izlemiet paši:

Piemēri:

Atbildes:

5. īpašums: eksponenta ņemšana no logaritma pamata:

Pierādījums: Lai tad ir.

Mums ir: u.c.
Atcerieties: no pamatojums grāds ir izteikts kā pretējs numuru, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!

6. īpašums: eksponenta noņemšana no logaritma bāzes un argumenta:

Vai arī, ja grādi ir vienādi: .

7. īpašums: pāreja uz jaunu bāzi:

Pierādījums: Lai tad ir.

Mums ir: u.c.

8. īpašums: samainiet logaritma bāzi un argumentu:

Pierādījums:Šis ir īpašs 7. formulas gadījums: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam: utt.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

4. piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Mēs izmantojam logaritmu īpašību Nr. 2 - logaritmu summa ar vienādu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu:

5. piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums:

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 3 un Nr. 4 īpašību:

6. piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums:

Izmantosim rekvizītu Nr. 7 — pāriet uz 2. bāzi:

7. piemērs.

Atrodiet izteiciena nozīmi.

Risinājums:

Kā jums patīk raksts?

Ja lasāt šīs rindas, tad esat izlasījis visu rakstu.

Un tas ir forši!

Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?

Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?

Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.

Un jā, veiksmi eksāmenos.

Par vienoto valsts eksāmenu un vienoto valsts eksāmenu un dzīvē kopumā