Jaudas funkciju īpašības un to grafiki

Jaudas funkcija ar eksponentu, kas vienāds ar nulli, p = 0

Ja jaudas funkcijas eksponents y = x p ir vienāds ar nulli, p = 0, tad jaudas funkcija ir definēta visiem x ≠ 0 un ir konstante, kas vienāda ar vienu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Jaudas funkcija ar naturālu nepāra eksponentu, p = n = 1, 3, 5, ...

Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālu nepāra eksponentu n = 1, 3, 5, .... Šo eksponentu var uzrakstīt arī šādā formā: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2 , 3, .. – kopums nav negatīvs. Tālāk ir norādītas šādu funkciju īpašības un diagrammas.

Pakāpju funkcijas grafiks y = x n ar naturālu nepāra eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = 1, 3, 5, ....

Domēns: –∞< x < ∞

Vairākas vērtības: –∞< y < ∞

Galējības: nē

Izliekts:

pie –∞< x < 0 выпукла вверх

pie 0< x < ∞ выпукла вниз

Līkuma punkti: x = 0, y = 0

Privātās vērtības:

pie x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

pie x = 0, y(0) = 0 n = 0

ja x = 1, y(1) = 1 n = 1

Jaudas funkcija ar naturālu pāra eksponentu, p = n = 2, 4, 6, ...

Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar naturālu pāra eksponentu n = 2, 4, 6, .... Šo eksponentu var uzrakstīt arī formā: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, . .. – dabisks . Šādu funkciju īpašības un grafiki ir norādīti zemāk.

Pakāpju funkcijas grafiks y = x n ar dabisku vienmērīgu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = 2, 4, 6, ....

Domēns: –∞< x < ∞

Vairākas vērtības: 0 ≤ y< ∞

Monotons:

pie x< 0 монотонно убывает

ja x > 0 monotoni palielinās

Ekstrēmi: minimums, x = 0, y = 0

Izliekts: izliekts uz leju

Līkuma punkti: nē

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0
Privātās vērtības:

pie x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

pie x = 0, y(0) = 0 n = 0

ja x = 1, y(1) = 1 n = 1

Jaudas funkcija ar negatīvu veselu eksponentu, p = n = -1, -2, -3, ...

Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p = x n ar negatīvu veselu eksponentu n = -1, -2, -3, .... Ja mēs uzstādām n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... ir naturāls skaitlis, tad to var attēlot kā:

Jaudas funkcijas grafiks y = x n ar negatīvu veselu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām n = -1, -2, -3, ....

Nepāra eksponents, n = -1, -3, -5, ...

Tālāk ir norādītas funkcijas y = x n īpašības ar nepāra negatīvu eksponentu n = -1, -3, -5, ....

Definīcijas diapazons: x ≠ 0

Vairākas vērtības: y ≠ 0

Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)

Galējības: nē

Izliekts:

pie x< 0: выпукла вверх

ja x > 0: izliekta uz leju

Līkuma punkti: nē

Parakstīties: pie x< 0, y < 0

ja x > 0, y > 0

Privātās vērtības:

ja x = 1, y(1) = 1 n = 1

Pāra eksponents, n = -2, -4, -6, ...

Zemāk ir norādītas funkcijas y = x n īpašības ar pāra negatīvu eksponentu n = -2, -4, -6, ....

Definīcijas diapazons: x ≠ 0

Vairākas vērtības: y > 0

Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)

Monotons:

pie x< 0: монотонно возрастает

ja x > 0: monotoni samazinās

Galējības: nē

Izliekts: izliekts uz leju

Līkuma punkti: nē

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr

Zīme: y > 0

Privātās vērtības:

pie x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

ja x = 1, y(1) = 1 n = 1

Jaudas funkcija ar racionālu (frakcionētu) eksponentu

Aplūkosim pakāpju funkciju y = x p ar racionālu (daļskaitli) eksponentu, kur n ir vesels skaitlis, m > 1 ir naturāls skaitlis. Turklāt n, m nav kopīgu dalītāju.

Daļskaitļa rādītāja saucējs ir nepāra

Lai frakcionētā eksponenta saucējs ir nepāra: m = 3, 5, 7, ... . Šajā gadījumā jaudas funkcija x p ir definēta gan pozitīvajām, gan negatīvajām argumenta vērtībām. Apskatīsim šādu pakāpju funkciju īpašības, ja eksponents p ir noteiktās robežās.

P vērtība ir negatīva, p< 0

Lai racionālais eksponents (ar nepāra saucēju m = 3, 5, 7, ...) ir mazāks par nulli: .

Jaudas funkciju grafiki ar racionālu negatīvu eksponentu dažādām eksponenta vērtībām, kur m = 3, 5, 7, ... ir nepāra.

Nepāra skaitītājs, n = -1, -3, -5, ...

Mēs piedāvājam pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālu negatīvu eksponentu, kur n = -1, -3, -5, ... ir nepāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls vesels skaitlis.

Definīcijas diapazons: x ≠ 0

Vairākas vērtības: y ≠ 0

Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)

Monotoniskums: monotoni samazinās

Galējības: nē

Izliekts:

pie x< 0: выпукла вверх

ja x > 0: izliekta uz leju

Līkuma punkti: nē

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr

pie x< 0, y < 0

ja x > 0, y > 0

Privātās vērtības:

pie x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

ja x = 1, y(1) = 1 n = 1

Pāra skaitītājs, n = -2, -4, -6, ...

Pakāpju funkcijas y = x p īpašības ar racionālu negatīvu eksponentu, kur n = -2, -4, -6, ... ir pāra negatīvs vesels skaitlis, m = 3, 5, 7 ... ir nepāra naturāls skaitlis .

Definīcijas diapazons: x ≠ 0

Vairākas vērtības: y > 0

Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)

Monotons:

pie x< 0: монотонно возрастает

ja x > 0: monotoni samazinās

Galējības: nē

Izliekts: izliekts uz leju

Līkuma punkti: nē

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: Nr

Zīme: y > 0

P vērtība ir pozitīva, mazāka par vienu, 0< p < 1

Jaudas funkcijas grafiks ar racionālu eksponentu (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Nepāra skaitītājs, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domēns: –∞< x < +∞

Vairākas vērtības: –∞< y < +∞

Paritāte: nepāra, y(–x) = – y(x)

Monotoniskums: monotoni pieaug

Galējības: nē

Izliekts:

pie x< 0: выпукла вниз

ja x > 0: izliekta uz augšu

Līkuma punkti: x = 0, y = 0

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0

pie x< 0, y < 0

ja x > 0, y > 0

Privātās vērtības:

pie x = –1, y(–1) = –1

pie x = 0, y(0) = 0

ja x = 1, y(1) = 1

Pāra skaitītājs, n = 2, 4, 6, ...

Parādītas jaudas funkcijas y = x p īpašības ar racionālu eksponentu 0 robežās< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domēns: –∞< x < +∞

Vairākas vērtības: 0 ≤ y< +∞

Paritāte: pāra, y(–x) = y(x)

Monotons:

pie x< 0: монотонно убывает

ja x > 0: palielinās monotoni

Ekstrēmi: minimums pie x = 0, y = 0

Izliekums: izliekts uz augšu pie x ≠ 0

Līkuma punkti: nē

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: x = 0, y = 0

Pazīme: ja x ≠ 0, y > 0

Jaudas funkciju sauc par funkciju y=x n (lasīt kā y ir vienāds ar x ar n pakāpju), kur n ir kāds dots skaitlis. Īpaši jaudas funkciju gadījumi ir funkcijas, kuru forma ir y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x un daudzas citas. Pastāstīsim vairāk par katru no tiem.

Lineāra funkcija y=x 1 (y=x)

Grafiks ir taisna līnija, kas iet caur punktu (0;0) 45 grādu leņķī pret Ox ass pozitīvo virzienu.

Grafiks ir parādīts zemāk.

Lineārās funkcijas pamatīpašības:

• Funkcija palielinās un definēta visā skaitļu rindā.
• Tam nav maksimālās vai minimālās vērtības.

Kvadrātfunkcija y=x 2

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Kvadrātfunkcijas pamatīpašības:

• 1. Ja x =0, y=0 un y>0 pie x0
• 2. Kvadrātfunkcija sasniedz savu minimālo vērtību savā virsotnē. Ymin pie x=0; Jāņem vērā arī tas, ka funkcijai nav maksimālās vērtības.
• 3. Funkcija samazinās pēc intervāla (-∞;0] un palielinās pēc intervāla)