Дериватив, түүнийг тооцоолох аргын талаархи мэдлэггүйгээр математикийн физикийн бодлого, жишээг шийдвэрлэх нь туйлын боломжгүй юм. Дериватив нь математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Бид өнөөдрийн нийтлэлийг энэ үндсэн сэдэвт зориулахаар шийдсэн. Дериватив гэж юу вэ, түүний физик, геометрийн утга нь юу вэ, функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Эдгээр бүх асуултыг нэг дор нэгтгэж болно: деривативыг хэрхэн ойлгох вэ?

Деривативын геометрийн болон физикийн утга

Функц байх болтугай f(x) , тодорхой интервалаар өгөгдсөн (а, б) . Энэ интервалд x ба x0 цэгүүд хамаарна. x өөрчлөгдөхөд функц нь өөрөө өөрчлөгддөг. Аргументийн өөрчлөлт - түүний утгуудын ялгаа x-x0 . Энэ ялгааг дараах байдлаар бичнэ дельта х ба аргументын өсөлт гэж нэрлэдэг. Функцийн өөрчлөлт эсвэл өсөлт нь хоёр цэг дээрх функцийн утгуудын зөрүү юм. Дериватив тодорхойлолт:

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь өгөгдсөн цэг дэх функцын өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар нь тэг байх хандлагатай байдаг.

Үгүй бол дараах байдлаар бичиж болно.

Ийм хязгаар олох нь ямар учиртай юм бэ? Гэхдээ аль нь:

цэг дээрх функцийн дериватив нь OX тэнхлэг хоорондын өнцгийн тангенс ба тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчтэй тэнцүү байна.

Деривативын физик утга: замын цаг хугацааны дериватив нь шулуун шугамын хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.

Сургуулийн наснаас эхлэн хурд бол хувийн зам гэдгийг бүгд мэддэг. x=f(t) ба цаг хугацаа т . Тодорхой хугацааны дундаж хурд:

Нэг удаад хөдөлгөөний хурдыг олж мэдэх t0 Та хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй:

Нэгдүгээр дүрэм: тогтмолыг гарга

Тогтмолыг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно. Түүнээс гадна үүнийг хийх ёстой. Математикийн жишээг шийдвэрлэхдээ дүрмээр бол - Хэрэв та илэрхийллийг хялбарчилж чадвал хялбарчлахаа мартуузай .

Жишээ. Деривативыг тооцоолъё:

Хоёрдугаар дүрэм: функцүүдийн нийлбэрийн дериватив

Хоёр функцийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Функцийн ялгааны деривативын хувьд ч мөн адил.

Бид энэ теоремын баталгааг өгөхгүй, харин практик жишээг авч үзэх болно.

Функцийн деривативыг ол:

Гуравдугаар дүрэм: функцүүдийн үржвэрийн дериватив

Хоёр дифференциалагдах функцийн үржвэрийн деривативыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Жишээ нь: функцийн деривативыг ол:

Шийдэл:

Энд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативын тооцооны талаар хэлэх нь чухал юм. Комплекс функцийн дериватив нь бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн деривативын завсрын аргументтай харьцуулахад энэ функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

Дээрх жишээнд бид дараах илэрхийлэлтэй тулгарлаа.

Энэ тохиолдолд завсрын аргумент нь тав дахь зэрэглэлд 8x байна. Ийм илэрхийллийн деривативыг тооцоолохын тулд эхлээд завсрын аргументтай холбоотой гадаад функцийн деривативыг авч үзээд дараа нь бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн деривативаар үржүүлнэ.

Дөрөвдүгээр дүрэм: Хоёр функцийн хуваалтын дериватив

Хоёр функцийн категорийн деривативыг тодорхойлох томъёо:

Бид даммигийн деривативын талаар эхнээс нь ярихыг хичээсэн. Энэ сэдэв нь сонсогдож байгаа шиг тийм ч хялбар биш тул анхааруулах хэрэгтэй: жишээнүүдэд алдаанууд ихэвчлэн байдаг тул деривативыг тооцоолохдоо болгоомжтой байгаарай.

Энэ болон бусад сэдвээр асуух зүйл байвал оюутны үйлчилгээтэй холбогдож болно. Богино хугацаанд бид танд хамгийн хэцүү хяналтыг шийдэж, өмнө нь деривативын тооцоолол хийж байгаагүй байсан ч даалгавруудыг шийдвэрлэхэд тань туслах болно.

Мөн нийлмэл функцийн деривативын тухай теорем, томъёолол нь дараах байдалтай байна.

1) $u=\varphi (x)$ функц нь ямар нэг цэгт $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ деривативтэй байг, $x_0$, 2) $y=f(u)$ функцтэй байг. харгалзах цэг дээр $u_0=\varphi (x_0)$ дериватив $y_(u)"=f"(u)$ байна. Дараа нь дурдсан цэг дэх $y=f\left(\varphi (x) \right)$ нийлмэл функц нь мөн $f(u)$ ба $\varphi ( функцуудын деривативын үржвэртэй тэнцүү деривативтай болно. x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \баруун)\cdot \varphi"(x_0) $$

эсвэл богино тэмдэглэгээгээр: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

Энэ хэсгийн жишээнүүдэд бүх функцууд нь $y=f(x)$ хэлбэртэй байна (өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн нэг хувьсагчийн функцүүдийг авч үзэх болно $x$). Үүний дагуу бүх жишээн дээр $y"$ деривативыг $x$ хувьсагчийн хувьд авсан. Дериватив нь $x$ хувьсагчтай холбоотой гэдгийг онцлон тэмдэглэхийн тулд ихэвчлэн $-ын оронд $y"_x$ гэж бичдэг. y"$.

Жишээ №1, №2, №3 нь нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг олох нарийвчилсан процессыг өгдөг. Жишээ №4 нь деривативын хүснэгтийг илүү бүрэн дүүрэн ойлгоход зориулагдсан бөгөөд үүнтэй танилцах нь зүйтэй юм.

1-3-р жишээн дэх материалыг судалсны дараа 5, 6, 7-р жишээнүүдийг бие даан шийдвэрлэхийг зөвлөж байна. №5, №6, 7-р жишээнүүд нь богино хэмжээний шийдлийг агуулдаг бөгөөд ингэснээр уншигч өөрийн үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгах боломжтой болно.

Жишээ №1

$y=e^(\cos x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"$ нийлмэл функцийн уламжлалыг олох хэрэгтэй. $y=e^(\cos x)$ тул $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ байна. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ деривативыг ол. Деривативын хүснэгтээс №6 томьёог ашиглана. 6-р томьёог ашиглахын тулд та манай тохиолдолд $u=\cos x$ гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Цаашдын шийдэл нь 6-р томьёонд $u$ биш $\cos x$ илэрхийлэлийг орлуулах явдал юм.

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Одоо бид $(\cos x)"$ илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Дахин бид үүсмэлийн хүснэгтэд хандаж, үүнээс 10-р томьёог сонгож, $u=x$-г 10-р томьёогоор орлуулбал бидэнд байгаа болно. : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Одоо бид тэгш байдлыг (1.1) үргэлжлүүлж, олсон үр дүнгээр нэмж оруулав:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

$x"=1$ тул бид тэгш байдлыг үргэлжлүүлнэ (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Тэгэхлээр (1.3) тэгшитгэлээс бид дараах байдалтай байна: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Мэдээжийн хэрэг, тайлбар болон завсрын тэгшитгэлийг алгасаж, тэгш байдлын нэгэн адил деривативыг нэг мөрөнд бичдэг. ( 1.3) Ингээд нийлмэл функцийн дериватив олдсон тул хариултыг бичихэд л үлдлээ.

Хариулах: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Жишээ №2

$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Бид $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ деривативыг тооцоолох хэрэгтэй. Эхлэхийн тулд тогтмолыг (жишээ нь 9-ийн тоог) деривативын тэмдгээс хасаж болно гэдгийг анхаарна уу.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Одоо $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ илэрхийлэл рүү шилжье. Деривативын хүснэгтээс хүссэн томьёо сонгоход хялбар болгохын тулд би илэрхийллийг танилцуулъя. Энэ хэлбэрээр асуултанд: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Одоо 2-р томъёог ашиглах шаардлагатай байгаа нь тодорхой байна, i.e. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Энэ томьёонд $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ болон $\alpha=12$-г орлуулна:

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (2.1) нөхөхөд бид дараах байдалтай байна.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

Ийм нөхцөлд шийдвэр гаргагч эхний алхамд томьёоны оронд $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ томьёог сонгоход алдаа гардаг. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Гол нь эхлээд гадаад функцийн деривативыг олох ёстой. $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ илэрхийллийн гаднах функцийг ойлгохын тулд $\arctg^(12)(4\cdot 5^) илэрхийллийн утгыг тоолж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. $x$-ийн зарим утгын хувьд x)$. Эхлээд та $5^x$-ийн утгыг тооцоод, дараа нь үр дүнг 4-р үржүүлж $4\cdot 5^x$ гарна. Одоо бид энэ үр дүнгээс арктангенсыг авч, $\arctg(4\cdot 5^x)$-г авна. Дараа нь бид гарсан тоог арван хоёр дахь зэрэглэлд хүргэж, $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ авна. Сүүлийн үйлдэл, өөрөөр хэлбэл. 12-ын хүчийг нэмэгдүүлэх, - мөн гадаад функц байх болно. Эндээс тэгшитгэлээр хийгдсэн деривативыг олж эхлэх хэрэгтэй (2.2).

Одоо бид $(\arctg(4\cdot \ln x))"$-г олох хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийн 19-р томьёог ашиглаж, түүнд $u=4\cdot \ln x$ орлуулна:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$-г харгалзан үр дүнгийн илэрхийлэлийг бага зэрэг хялбарчилж үзье.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Тэгш байдал (2.2) одоо дараах болно:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \tag (2.3) $$

$(4\cdot \ln x)"$ олох л үлдлээ. Бид деривативын тэмдгээс тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл 4) авна: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x) )"$. $(\ln x)"$-г олохын тулд бид 8-р томьёог ашиглан $u=x$ гэж орлуулна: $(\ln x)"=\frac(1)(x) \cdot x"$. $x"=1$ тул $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Хүлээн авсан үр дүнг (2.3) томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \баруун)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \баруун)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ доллар

Сүүлчийн тэгшитгэлд бичсэн шиг нийлмэл функцийн дериватив нь ихэвчлэн нэг мөрөнд байдгийг сануулъя. Тиймээс стандарт тооцоо, туршилт хийхдээ уусмалыг ижил нарийвчлалтайгаар будах шаардлагагүй болно.

Хариулах: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Жишээ №3

$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ функцийн $y"$-г ол.

Эхлээд радикал (үндэс) -ийг хүч болгон илэрхийлж $y$ функцийг бага зэрэг өөрчилье: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Одоо деривативыг хайж эхэлцгээе. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ тул:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\баруун)" \tag (3.1) $$

Бид деривативын хүснэгтийн 2-р томьёог ашиглан $u=\sin(5\cdot 9^x)$ болон $\alpha=\frac(3)(7)$-г орлуулна.

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Бид олж авсан үр дүнг ашиглан тэгш байдлыг (3.1) үргэлжлүүлнэ.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Одоо бид $(\sin(5\cdot 9^x))"$-г олох хэрэгтэй. Үүний тулд бид деривативын хүснэгтээс 9-р томьёог ашиглан $u=5\cdot 9^x$-г орлуулна.

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Хүлээн авсан үр дүнд тэгш байдлыг (3.2) нөхөхөд бид дараахь зүйлийг олж авна.

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)" \tag (3.3) $$

$(5\cdot 9^x)"$-г олоход л үлдлээ. Эхлээд бид деривативын тэмдгээс тогтмолыг ($5$ тоо) авна, өөрөөр хэлбэл $(5\cdot 9^x)"=5\ cdot (9^x) "$. $(9^x)"$ деривативыг олохын тулд бид деривативын хүснэгтийн 5-р томьёог ашиглан $a=9$, $u=x$-г орлуулна: $ (9^x)"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ тул $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Одоо бид тэгш байдлыг (3.3) үргэлжлүүлж болно:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун)^(\frac(3)(7))\баруун)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\баруун) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Та $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$-г $\ frac(1) гэж бичснээр хүчнээс радикалууд (жишээ нь үндэс) рүү буцаж болно. )(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^) x)))$. Дараа нь деривативыг дараах хэлбэрээр бичнэ.

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))). $$

Хариулах: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Жишээ №4

Деривативын хүснэгтийн 3, 4-р томьёо нь энэ хүснэгтийн 2-р томьёоны онцгой тохиолдол болохыг харуул.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёонд $u^\alpha$ функцийн деривативыг бичнэ. №2 томьёонд $\alpha=-1$-г орлуулснаар бид дараахыг олж авна.

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ба $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ тул тэгш байдлыг (4.1) дараах байдлаар дахин бичиж болно: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Энэ бол деривативын хүснэгтийн 3-р томьёо юм.

Деривативын хүснэгтийн 2-р томьёог дахин авч үзье. Үүнд $\alpha=\frac(1)(2)$ орлуулна:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\баруун)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Учир нь $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ба $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тэгш байдлыг (4.2) дараах байдлаар дахин бичиж болно.

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Үүссэн $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ нь деривативын хүснэгтийн 4-р томьёо юм. Таны харж байгаагаар деривативын хүснэгтийн №3 ба 4-р томьёог $\alpha$-ийн харгалзах утгыг орлуулах замаар 2-р томьёог гаргаж авсан болно.

нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив.
Экспоненциал функцийн дериватив

Бид ялгах техникээ үргэлжлүүлэн сайжруулсаар байна. Энэ хичээлээр бид хамрагдсан материалыг нэгтгэж, илүү төвөгтэй деривативуудыг авч үзэхээс гадна дериватив, ялангуяа логарифмын дериватив олох шинэ заль мэх, заль мэхтэй танилцах болно.

Бэлтгэл багатай уншигчид нийтлэлээс лавлана уу Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээЭнэ нь танд ур чадвараа бараг эхнээс нь нэмэгдүүлэх боломжийг олгоно. Дараа нь та хуудсыг сайтар судлах хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ойлгож, шийдвэрлэх бүгдминий өгсөн жишээнүүд. Энэ хичээл нь логикийн хувьд гурав дахь дараалсан хичээл бөгөөд үүнийг эзэмшсэний дараа та нэлээд төвөгтэй функцуудыг өөртөө итгэлтэйгээр ялгах болно. “Өөр хаана байна вэ? Тийм ээ, хангалттай! ” Бүх жишээ, шийдлүүдийг бодит туршилтаас авсан бөгөөд практикт ихэвчлэн олдог.

Дахин давтахаас эхэлцгээе. Хичээл дээр Нарийн төвөгтэй функцийн деривативБид нарийвчилсан тайлбар бүхий хэд хэдэн жишээг авч үзсэн. Дифференциал тооцоолол болон математикийн шинжилгээний бусад хэсгүүдийг судлах явцад та маш олон удаа ялгах шаардлагатай бөгөөд жишээнүүдийг нарийвчлан зурах нь тийм ч тохиромжтой биш (мөн үргэлж шаардлагагүй). Тиймээс бид деривативыг аман олох дасгал хийх болно. Үүнд хамгийн тохиромжтой "нэр дэвшигчид" нь хамгийн энгийн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативууд юм, жишээлбэл:

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу :

Ирээдүйд матантай холбоотой бусад сэдвүүдийг судлахдаа ийм нарийвчилсан бүртгэл ихэвчлэн шаардлагагүй байдаг тул оюутан автомат жолоодлого дээр ижил төстэй деривативуудыг олох боломжтой гэж үздэг. Шөнийн 3 цагт утас дуугарч, "Хоёр х-ийн шүргэгчийн дериватив нь юу вэ?" гэж тааламжтай дуу хоолой асуув гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа бараг агшин зуур эелдэг хариулах хэрэгтэй: .

Эхний жишээ нь нэн даруй бие даасан шийдэлд зориулагдсан болно.

Жишээ 1

Дараах деривативуудыг амаар, нэг алхамаар олоорой, жишээлбэл: . Даалгавраа дуусгахын тулд та зөвхөн ашиглах хэрэгтэй энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт(хэрэв тэр санахгүй байгаа бол). Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би хичээлээ дахин уншихыг зөвлөж байна Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Хичээлийн төгсгөлд хариултууд

Нарийн төвөгтэй деривативууд

Урьдчилсан их бууны бэлтгэл хийсний дараа 3-4-5 функцийн хавсралт бүхий жишээнүүд нь аймшигтай биш байх болно. Магадгүй дараах хоёр жишээ зарим хүмүүст төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй, гэхдээ хэрэв тэдгээрийг ойлговол (хэн нэгэн зовдог) дифференциал тооцооллын бусад бараг бүх зүйл хүүхдийн тоглоом шиг санагдах болно.

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол

Өмнө дурьдсанчлан, нийлмэл функцийн деривативыг олохдоо юуны түрүүнд шаардлагатай байдаг зөвХӨРӨНГӨ ОРУУЛАЛТЫГ ОЙЛГОХ. Эргэлзээтэй байгаа тохиолдолд би танд ашигтай заль мэхийг сануулж байна: бид туршилтын "x" утгыг авч, (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог дээр) энэ утгыг "аймшигтай илэрхийлэл" болгон орлуулахыг оролддог.

1) Эхлээд бид илэрхийллийг тооцоолох хэрэгтэй, тиймээс нийлбэр нь хамгийн гүн үүрлэх болно.

2) Дараа нь та логарифмыг тооцоолох хэрэгтэй:

4) Дараа нь косинусыг куб болгоно:

5) Тав дахь алхамд ялгаа нь:

6) Эцэст нь хэлэхэд хамгийн гадна талын функц нь квадрат язгуур юм:

Цогцолбор функцийг ялгах томьёо хамгийн гадна талын функцээс хамгийн дотоод хүртэл урвуу дарааллаар хэрэгжинэ. Бид шийднэ:

Алдаа байхгүй бололтой...

(1) Бид квадрат язгуурын деривативыг авдаг.

(2) Бид дүрмийг ашиглан ялгааны деривативыг авдаг

(3) Гурав дахины дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна. Хоёрдахь гишүүнд бид зэрэглэлийн деривативыг (шоо) авна.

(4) Бид косинусын деривативыг авдаг.

(5) Бид логарифмын деривативыг авдаг.

(6) Эцэст нь бид хамгийн гүн үүрлэлтийн деривативыг авдаг.

Энэ нь хэтэрхий хэцүү мэт санагдаж болох ч энэ нь хамгийн харгис жишээ биш юм. Жишээлбэл, Кузнецовын цуглуулгыг авбал дүн шинжилгээ хийсэн деривативын бүх сэтгэл татам, энгийн байдлыг үнэлэх болно. Оюутан нийлмэл функцийн деривативыг хэрхэн олохыг ойлгож байна уу, эсвэл ойлгохгүй байна уу гэдгийг шалгахын тулд шалгалтын үеэр ижил төстэй зүйл өгөх дуртай болохыг би анзаарсан.

Дараах жишээ нь бие даасан шийдэл юм.

Жишээ 3

Функцийн деривативыг ол

Зөвлөгөө: Эхлээд бид шугаман байдлын дүрэм ба бүтээгдэхүүний ялгах дүрмийг хэрэгжүүлнэ

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Илүү авсаархан, илүү үзэсгэлэнтэй зүйл рүү шилжих цаг болжээ.
Хоёр биш, гурван функцийн үржвэрийг жишээн дээр өгсөн тохиолдол цөөнгүй байдаг. Гурван хүчин зүйлийн үржвэрийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Жишээ 4

Функцийн деривативыг ол

Эхлээд бид харж байна, гэхдээ гурван функцийн үржвэрийг хоёр функцийн бүтээгдэхүүн болгон хувиргах боломжтой юу? Жишээлбэл, хэрэв бид үржвэрт хоёр олон гишүүнтэй байсан бол хаалтыг нээж болно. Гэхдээ энэ жишээнд бүх функцууд өөр өөр байна: зэрэг, экспонент, логарифм.

Ийм тохиолдолд зайлшгүй шаардлагатай дарааланбүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ хоёр удаа

Энэ заль мэх нь "y"-ийн хувьд бид хоёр функцийн үржвэрийг тэмдэглэдэг: , "ve" -ийн хувьд - логарифм:. Яагаад үүнийг хийж болох вэ? Тийм үү - энэ нь хоёр хүчин зүйлийн үр дүн биш бөгөөд дүрэм ажиллахгүй байна уу?! Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй:

Одоо энэ дүрмийг хоёр дахь удаагаа хэрэглэх л үлдлээ хаалтанд:

Та одоо ч гэсэн гажуудуулж, хаалтнаас ямар нэг зүйлийг гаргаж авах боломжтой, гэхдээ энэ тохиолдолд хариултыг энэ хэлбэрээр үлдээх нь дээр - үүнийг шалгах нь илүү хялбар байх болно.

Дээрх жишээг хоёр дахь аргаар шийдэж болно.

Хоёр шийдэл нь туйлын тэнцүү юм.

Жишээ 5

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол бие даасан шийдлийн жишээ бөгөөд дээж дээр үүнийг эхний аргаар шийддэг.

Бутархайтай ижил төстэй жишээг авч үзье.

Жишээ 6

Функцийн деривативыг ол

Энд та хэд хэдэн аргаар явж болно:

Эсвэл иймэрхүү:

Гэхдээ юуны өмнө бид хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглавал шийдлийг илүү нягт бичиж болно. , бүхэл тоологчийг авч үзвэл:

Зарчмын хувьд жишээ нь шийдэгдсэн бөгөөд хэрэв энэ хэлбэрээр үлдээвэл энэ нь алдаа болохгүй. Гэхдээ хэрэв танд цаг байгаа бол ноорог шалгахыг зөвлөж байна, гэхдээ хариултыг хялбарчлах боломжтой юу? Бид тоологчийн илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу авчирдаг ба гурван давхрын фракцаас сал:

Нэмэлт хялбаршуулах сул тал нь үүсмэл хувилбарыг олохдоо бус харин сургуулийн улиг болсон хувиргалт хийх үед алдаа гаргах эрсдэлтэй байдаг. Нөгөөтэйгүүр, багш нар даалгавраас татгалзаж, деривативыг "сэтгэлд оруулахыг" хүсдэг.

Өөрөө хийх шийдлийн энгийн жишээ:

Жишээ 7

Функцийн деривативыг ол

Бид дериватив олох арга техникийг үргэлжлүүлэн эзэмшсээр байгаа бөгөөд одоо ялгахын тулд "аймшигтай" логарифм санал болгосон ердийн тохиолдлыг авч үзэх болно.

Жишээ 8

Функцийн деривативыг ол

Энд та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан урт замыг туулж чадна.

Гэхдээ хамгийн эхний алхам нь таныг тэр даруй цөхрөлд автуулдаг - та бутархай зэрэглэлийн тааламжгүй деривативыг, дараа нь бутархайгаас авах хэрэгтэй.

Тэгэхээр өмнө"Хөөрхөн" логарифмын деривативыг хэрхэн яаж авах вэ, үүнийг сургуулийн сайн мэддэг шинж чанаруудыг ашиглан хялбаршуулсан болно.

! Хэрэв танд дасгалын дэвтэр байгаа бол эдгээр томьёог яг тэнд хуулж аваарай. Хэрэв танд тэмдэглэлийн дэвтэр байхгүй бол тэдгээрийг цаасан дээр зур, учир нь бусад хичээлийн жишээнүүд эдгээр томьёог тойрон эргэлдэх болно.

Шийдлийг өөрөө дараах байдлаар томъёолж болно.

Функцийг өөрчилье:

Бид деривативыг олдог:

Функцийн урьдчилсан өөрчлөлт нь өөрөө шийдлийг ихээхэн хялбаршуулсан. Тиймээс ижил төстэй логарифмыг ялгахын тулд санал болгож байгаа бол үүнийг "задлах" нь үргэлж тохиромжтой байдаг.

Одоо бие даасан шийдлийн хэд хэдэн энгийн жишээ:

Жишээ 9

Функцийн деривативыг ол

Жишээ 10

Функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүх өөрчлөлт, хариултууд.

логарифмын дериватив

Хэрэв логарифмын дериватив нь ийм сайхан хөгжим юм бол зарим тохиолдолд логарифмыг зохиомлоор зохион байгуулах боломжтой юу гэсэн асуулт гарч ирнэ. Чадах! Тэгээд бүр шаардлагатай.

Жишээ 11

Функцийн деривативыг ол

Үүнтэй төстэй жишээг бид саяхан авч үзсэн. Юу хийх вэ? Хэмжилтийг ялгах дүрмийг дараалан хэрэглэж болно, дараа нь бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашиглаж болно. Энэ аргын сул тал бол та огтхон ч харьцахыг хүсэхгүй байгаа гурван давхар том хэсгийг авах явдал юм.

Гэхдээ онол, практикт логарифмын дериватив гэх гайхалтай зүйл байдаг. Логарифмуудыг хоёр талд нь "өлгөх" замаар зохиомлоор зохион байгуулж болно.

Анхаарна уу : учир нь функц сөрөг утгыг авч болох тул ерөнхийдөө модулиудыг ашиглах хэрэгтэй: , ялгахын үр дүнд алга болдог. Гэсэн хэдий ч, одоогийн загвар нь бас хүлээн зөвшөөрөгдөх боломжтой, хаана анхдагчаар цогцолборүнэт зүйлс. Гэхдээ хэрэв бүх зүйл хатуу байгаа бол энэ хоёр тохиолдолд хоёуланд нь захиалга өгөх шаардлагатай.

Одоо та аль болох баруун талын логарифмыг "эвдэх" хэрэгтэй (нүдний өмнө томьёо уу?). Би энэ үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлах болно:

Ялгахаас эхэлцгээе.
Бид хоёр хэсгийг цус харвалтаар төгсгөдөг.

Баруун талын дериватив нь маш энгийн, би энэ талаар тайлбар хийхгүй, учир нь та энэ текстийг уншиж байгаа бол үүнийг өөртөө итгэлтэйгээр даван туулах чадвартай байх ёстой.

Зүүн тал нь яах вэ?

Зүүн талд нь бид байна нарийн төвөгтэй функц. "Яагаад логарифмын доор нэг "y" үсэг байна вэ?" Гэсэн асуултыг би урьдчилан харж байна.

Үнэн хэрэгтээ энэ "нэг y үсэг" - ӨӨРӨӨ ЧИГЛЭЛ БАЙНА(хэрэв энэ нь тийм ч тодорхой биш бол далд заасан функцийн дериватив гэсэн өгүүллийг үзнэ үү). Тиймээс логарифм нь гадаад функц, "y" нь дотоод функц юм. Мөн бид нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашигладаг :

Зүүн талд нь ид шидтэй мэт бид деривативтай. Цаашилбал, пропорциональ дүрмийн дагуу бид "y" -ийг зүүн талын хуваагчаас баруун талын дээд талд шиддэг.

Одоо бид ялгахдаа ямар төрлийн "тоглоом"-функцын талаар ярилцсанаа санаж байна уу? Нөхцөл байдлыг харцгаая:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 12

Функцийн деривативыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд ийм төрлийн жишээний загвар дизайн.

Логарифмын деривативын тусламжтайгаар №4-7 жишээнүүдийн аль нэгийг нь шийдэх боломжтой байсан, өөр нэг зүйл бол тэнд байгаа функцууд нь илүү энгийн, магадгүй логарифмын деривативыг ашиглах нь тийм ч үндэслэлгүй юм.

Экспоненциал функцийн дериватив

Бид энэ функцийг хараахан авч үзээгүй байна. Экспоненциал функц нь байгаа функц юм зэрэг ба суурь нь "x"-ээс хамаарна. Ямар ч сурах бичиг эсвэл лекц дээр танд өгөх сонгодог жишээ:

Экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

Саяхан авч үзсэн техникийг ашиглах шаардлагатай - логарифмын дериватив. Бид хоёр талдаа логарифмуудыг өлгөдөг.

Дүрмээр бол градусыг баруун талын логарифмын доороос авна.

Үүний үр дүнд баруун талд бид хоёр функцийн бүтээгдэхүүн гарч ирэх бөгөөд үүнийг стандарт томъёоны дагуу ялгах болно. .

Бид деривативыг олдог, үүний тулд бид хоёр хэсгийг цус харвалт дор хавсаргана.

Дараагийн алхамууд хялбар байна:

Эцэст нь:

Хэрэв зарим өөрчлөлт нь бүрэн тодорхой бус байвал Жишээ №11-ийн тайлбарыг анхааралтай уншина уу.

Практик даалгаврын хувьд экспоненциал функц нь авч үзсэн лекцийн жишээнээс илүү төвөгтэй байх болно.

Жишээ 13

Функцийн деривативыг ол

Бид логарифмын деривативыг ашигладаг.

Баруун талд нь тогтмол ба хоёр хүчин зүйлийн үржвэр байдаг - "х" ба "х-ийн логарифмын логарифм" (өөр нэг логарифм логарифмын доор байрладаг). Тогтмолыг ялгахдаа, бидний санаж байгаагаар, саад болохгүйн тулд деривативын тэмдгээс нэн даруй хасах нь дээр; мөн мэдээжийн хэрэг, мэддэг дүрмийг хэрэгжүүл :