Хүчин чадлын функцүүдийн шинж чанарууд ба тэдгээрийн графикууд

Тэгтэй тэнцүү экспоненттай чадлын функц, p = 0

y = x p чадлын функцийн илтгэгч тэгтэй тэнцүү p = 0 бол чадлын функц нь бүх x ≠ 0-д тодорхойлогддог бөгөөд нэгтэй тэнцүү тогтмол байна.
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Байгалийн сондгой илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 1, 3, 5, ...

Байгалийн сондгой илтгэгч n = 1, 3, 5, ... гэсэн чадлын функцийг y = x p = x n гэж үзье. Энэ илтгэгчийг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k + 1, энд k = 0, 1, 2 , 3, .. – бүхэлдээ сөрөг биш. Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор харуулав.

n = 1, 3, 5, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд байгалийн сондгой илтгэгчтэй у = x n чадлын функцийн график.

Тодорхойлолтын хүрээ: –∞< x < ∞

Олон утгууд: –∞< y < ∞

Хэт их: үгүй

Гүдгэр:

-∞ дээр< x < 0 выпукла вверх

0-д< x < ∞ выпукла вниз

Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0

Хувийн үнэт зүйлс:

x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2м+1 = –1 үед

x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна

Байгалийн тэгш илтгэгчтэй чадлын функц, p = n = 2, 4, 6, ...

Байгалийн тэгш илтгэгч n = 2, 4, 6, ... байх y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Энэ илтгэгчийг мөн дараах хэлбэрээр бичиж болно: n = 2k, энд k = 1, 2, 3, . .. – байгалийн . Ийм функцүүдийн шинж чанар, графикийг доор өгөв.

n = 2, 4, 6, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын хувьд натурал тэгш илтгэгчтэй у = x n чадлын функцийн график.

Тодорхойлолтын хүрээ: –∞< x < ∞

Олон утга: 0 ≤ y< ∞

Монотон:

x дээр< 0 монотонно убывает

x > 0-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ

Хэт их: хамгийн бага, x = 0, y = 0

Гүдгэр: гүдгэр доош

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0
Хувийн үнэт зүйлс:

x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2м = 1 үед

x = 0 үед y(0) = 0 n = 0 байна

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна

Сөрөг бүхэл тоон үзүүлэлттэй чадлын функц, p = n = -1, -2, -3, ...

n = -1, -2, -3, ... сөрөг бүхэл илтгэгчтэй y = x p = x n чадлын функцийг авч үзье. Хэрэв бид n = –k гэж тохируулбал k = 1, 2, 3, ... байна. натурал тоо бол үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

n = -1, -2, -3, ... илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын сөрөг бүхэл тоо бүхий y = x n чадлын функцийн график.

Сондгой илтгэгч, n = -1, -3, -5, ...

Сондгой сөрөг илтгэгч n = -1, -3, -5, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.

Тодорхойлолтын хүрээ: x ≠ 0

Олон утгууд: y ≠ 0

Паритет: сондгой, y(–x) = – y(x)

Хэт их: үгүй

Гүдгэр:

x дээр< 0: выпукла вверх

x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Тэмдэглэгээ: x дээр< 0, y < 0

x > 0, y > 0-ийн хувьд

Хувийн үнэт зүйлс:

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна

Тэгш илтгэгч, n = -2, -4, -6, ...

Тэгш сөрөг илтгэгч n = -2, -4, -6, ... y = x n функцийн шинж чанаруудыг доор харуулав.

Тодорхойлолтын хүрээ: x ≠ 0

Олон утга: y > 0

Паритет: тэгш, y(–x) = y(x)

Монотон:

x дээр< 0: монотонно возрастает

x > 0-ийн хувьд: монотон буурна

Хэт их: үгүй

Гүдгэр: гүдгэр доош

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: үгүй

Тэмдэг: y > 0

Хувийн үнэт зүйлс:

үед x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна

Рационал (бутархай) илтгэгчтэй чадлын функц

Рационал (бутархай) илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийг авч үзье, энд n нь бүхэл тоо, m > 1 нь натурал тоо юм. Түүнчлэн n, m-д нийтлэг хуваагч байдаггүй.

Бутархай үзүүлэлтийн хуваагч нь сондгой байна

Бутархай илтгэгчийн хуваагч сондгой байг: m = 3, 5, 7, ... . Энэ тохиолдолд аргументийн эерэг ба сөрөг утгуудын хувьд x p чадлын функцийг тодорхойлно. р илтгэгч тодорхой хязгаарт байх үед ийм чадлын функцүүдийн шинж чанарыг авч үзье.

p-утга нь сөрөг, p< 0

Рационал илтгэгч (сондгой хуваарьтай m = 3, 5, 7, ...) тэгээс бага байг: .

Эрчим хүчний функцүүдийн графикууд m = 3, 5, 7, ... нь сондгой байдаг илтгэгчийн янз бүрийн утгуудын оновчтой сөрөг илтгэгчтэй.

Сондгой тоологч, n = -1, -3, -5, ...

y = x p чадлын функцийн шинж чанарыг рационал сөрөг илтгэгчтэй танилцуулж байна. Энд n = -1, -3, -5, ... сондгой сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... сондгой натурал бүхэл тоо.

Тодорхойлолтын хүрээ: x ≠ 0

Олон утгууд: y ≠ 0

Паритет: сондгой, y(–x) = – y(x)

Монотоник байдал: монотон буурч байна

Хэт их: үгүй

Гүдгэр:

x дээр< 0: выпукла вверх

x > 0-ийн хувьд: гүдгэр доош

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: үгүй

x дээр< 0, y < 0

x > 0, y > 0-ийн хувьд

Хувийн үнэт зүйлс:

үед x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1 n = 1 байна

Тэгш тоологч, n = -2, -4, -6, ...

Рационал сөрөг илтгэгчтэй у = x p чадлын функцийн шинж чанарууд, энд n = -2, -4, -6, ... тэгш сөрөг бүхэл тоо, m = 3, 5, 7 ... сондгой натурал бүхэл тоо. .

Тодорхойлолтын хүрээ: x ≠ 0

Олон утга: y > 0

Паритет: тэгш, y(–x) = y(x)

Монотон:

x дээр< 0: монотонно возрастает

x > 0-ийн хувьд: монотон буурна

Хэт их: үгүй

Гүдгэр: гүдгэр доош

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: үгүй

Тэмдэг: y > 0

p-утга эерэг, нэгээс бага, 0< p < 1

Эрчим хүчний функцийн график рационал илтгэгчтэй (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Сондгой тоологч, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Тодорхойлолтын хүрээ: –∞< x < +∞

Олон утгууд: –∞< y < +∞

Паритет: сондгой, y(–x) = – y(x)

Монотоник байдал: монотон нэмэгдэж байна

Хэт их: үгүй

Гүдгэр:

x дээр< 0: выпукла вниз

x > 0-ийн хувьд: дээшээ гүдгэр

Гулзайлтын цэгүүд: x = 0, y = 0

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0

x дээр< 0, y < 0

x > 0, y > 0-ийн хувьд

Хувийн үнэт зүйлс:

үед x = –1, y(–1) = –1

x = 0, y(0) = 0 үед

x = 1-ийн хувьд y(1) = 1

Тэгш тоологч, n = 2, 4, 6, ...

0 дотор рационал илтгэгчтэй y = x p чадлын функцийн шинж чанаруудыг үзүүлэв< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Тодорхойлолтын хүрээ: –∞< x < +∞

Олон утга: 0 ≤ y< +∞

Паритет: тэгш, y(–x) = y(x)

Монотон:

x дээр< 0: монотонно убывает

x > 0-ийн хувьд: монотон нэмэгдэнэ

Хэт туйл: хамгийн бага нь x = 0, y = 0

Гүдгэр байдал: x ≠ 0-д дээшээ гүдгэр

Гулзайлтын цэгүүд: үгүй

Координатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд: x = 0, y = 0

Тэмдэг: x ≠ 0, y > 0-ийн хувьд

Хүчин чадлын функцийг y=x n хэлбэрийн функц гэж нэрлэдэг (у нь n-ийн зэрэглэлд х тэнцүү гэж уншина), энд n нь өгөгдсөн зарим тоо юм. Хүчин чадлын функцүүдийн онцгой тохиолдлууд нь y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x болон бусад олон төрлийн функцууд юм. Тэд тус бүрийн талаар илүү дэлгэрэнгүй хэлье.

Шугаман функц y=x 1 (y=x)

График нь Үхрийн тэнхлэгийн эерэг чиглэлд 45 градусын өнцгөөр (0;0) цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам юм.

Графикийг доор үзүүлэв.

Шугаман функцийн үндсэн шинж чанарууд:

• Функц нэмэгдэж байгаа бөгөөд бүхэл тооны мөрөнд тодорхойлогддог.
• Үүнд хамгийн их эсвэл хамгийн бага утга байхгүй.

Квадрат функц y=x 2

Квадрат функцийн график нь парабол юм.

Квадрат функцийн үндсэн шинж чанарууд:

• 1. x =0 үед у=0, x0 үед у>0
• 2. Квадрат функц нь орой дээрээ хамгийн бага утгадаа хүрнэ. Ymin x=0 үед; Мөн функц нь хамгийн их утгагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.
• 3. Функц нь (-∞;0] интервал дээр буурч, интервал дээр нэмэгддэг)