Elemente de analiză matematică în examenul de stat unificat Malinovskaya Galina Mikhailovna [email protected] Material de referință Tabel de derivate ale funcțiilor de bază.  Reguli de diferențiere (derivată a unei sume, produs, coeficient a două funcții).  Derivată a unei funcţii complexe.  Sensul geometric al derivatului.  Sensul fizic al derivatului.  Material de referință Puncte extreme (maximum sau minim) ale unei funcții specificate grafic.  Găsirea celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții continuă pe un interval dat.  Antiderivată de funcție. formula Newton-Leibniz. Găsirea ariei unui trapez curbat.  Aplicații fizice  1.1 Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurat de la începutul mișcării. Găsiți viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t= 3s.  1.2 Un punct material se deplasează 1 3 rectiliniu conform legii 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurat de la începutul lui miscarea. În ce moment (în secunde) viteza sa a fost egală cu 2 m/s? Rezolvare: Căutăm derivata lui x(t) (funcția căii în raport cu timpul).  În problema 1.1, înlocuiți valoarea lui t cu t și calculați viteza (Răspuns: 59).  În problema 1.2, echivalăm derivata găsită cu un număr dat și rezolvăm ecuația în raport cu variabila t. (Răspuns: 7).  Aplicații geometrice 2.1 Linia 𝑦 = 7𝑥 − 5 este paralelă cu tangenta la graficul 2 a funcției 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Aflați abscisa punctului tangent. 2.2 Linia dreaptă 𝑦 = 3𝑥 + 1 este tangentă la al 2-lea grafic al funcției 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. Gaseste un. 2.3 Linia dreaptă 𝑦 = −5𝑥 + 8 este tangentă la al 2-lea grafic al funcției 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. Aflați b, având în vedere că abscisa punctului de tangență este mai mare decât 0. 2.4 Linia 𝑦 = 3𝑥 + 4 este tangentă la graficul 2 al funcției 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Găsiți c. Rezolvare: În problema 2.1, căutăm derivata funcției și o echivalăm cu panta dreptei (Răspuns: 0,5).  În problemele 2.2-2.4 compunem un sistem de două ecuaţii. Într-una echivalăm funcțiile, în cealaltă echivalăm derivatele lor. Într-un sistem cu două necunoscute (variabila x și parametru), căutăm un parametru. (Răspunsuri: 2,2) a=0,125; 2,3) b=-33; 2,4) c=7).   2.5 În figura este prezentat graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisă 𝑥0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul 𝑥0.  2.6 În figura este prezentat graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa 𝑥0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul 𝑥0.  2.7 Figura prezintă graficul funcţiei y=f(x). Linia dreaptă care trece prin origine atinge graficul acestei funcții în punctul cu abscisa 10. Aflați valoarea derivatei funcției în punctul x=10. 𝑥0 = 0 Rezolvare:     Valoarea derivatei unei funcţii într-un punct este tangenta unghiului de înclinare a tangentei la graficul funcţiei trasate în acest punct. „Completăm” triunghiul dreptunghic și căutăm tangenta unghiului corespunzător, pe care o considerăm pozitivă dacă tangenta formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei Ox (tangenta „crește”) și negativă dacă unghiul este obtuz (tangenta scade). În problema 2.7, trebuie să desenați o tangentă prin punctul specificat și origine. Răspunsuri: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2,7) -0,6. Citirea unui grafic al unei funcții sau a unui grafic al unei derivate a unei funcții  3.1 În figura este prezentat un grafic al funcției y=f(x), definită pe intervalul (6;8). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției este pozitivă.  3.2 Figura prezintă un grafic al funcţiei y=f(x), definită pe intervalul (-5;5). Determinați numărul de puncte întregi la care derivata funcției f(x) este negativă. Rezolvare: Semnul derivatei este legat de comportamentul functiei.  Dacă derivata este pozitivă, atunci selectăm acea parte a graficului funcției în care funcția crește. Dacă derivata este negativă, atunci când funcția scade. Selectăm intervalul corespunzător acestei părți pe axa Ox.  În conformitate cu întrebarea problemei, fie recalculăm numărul de numere întregi incluse într-un interval dat, fie găsim suma acestora.  Răspunsuri: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 În figura este prezentat un grafic al funcţiei y=f(x), definită pe intervalul (-2;12). Aflați suma punctelor extreme ale funcției f(x). În primul rând, ne uităm la ceea ce este în figură: un grafic al unei funcții sau un grafic al unei derivate.  Dacă acesta este un grafic al derivatei, atunci ne interesează doar semnele derivatei și abscisa punctelor de intersecție cu axa Ox.  Pentru claritate, puteți face o imagine mai familiară cu semnele derivatei pe intervalele rezultate și comportamentul funcției.  Răspundeți la întrebarea din problemă conform imaginii. (Răspuns: 3.3) 44).   3.4 În figura este prezentat un grafic al lui ′ y=𝑓 (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-7;14).Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x ) aparținând segmentului [-6;9]  3.5 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-11;11). numărul de puncte extreme ale funcției f(x) aparținând segmentului [-10;10] Rezolvare: Căutăm punctele de intersecție ale graficului derivat cu axa Ox, evidențiind acea parte a axei care este indicată în problemă .  Determinăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervalele rezultate (dacă graficul derivatei este sub axă, atunci „-”, dacă este deasupra, atunci „+”).  Punctele maxime vor fi cele la care semnul s-a schimbat de la „+” la „-”, punctele minime - de la „-” la „+”. Ambele sunt puncte extreme.  Răspunsuri: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-8;3). În ce punct al segmentului [-3;2] ia cea mai mare valoare funcția f(x).  3.7 În figura este prezentat un grafic al lui ′ y=𝑓 (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-8;4). În ce punct al segmentului [-7;-3] funcția f(x) ia cea mai mică valoare. Rezolvare:    Dacă derivata își schimbă semnul pe segmentul luat în considerare, atunci soluția se bazează pe teorema: dacă o funcție continuă pe un segment are un singur punct extremum pe ea și acesta este un punct maxim (minim), atunci cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției de pe acest segment este atinsă în acest moment. Dacă o funcție continuă pe un segment este monotonă, atunci ea își atinge valorile minime și maxime pe un anumit segment la capetele sale. Răspunsuri: 3,6) -3; 3,7) -7.  3.8 Figura prezintă un grafic al funcţiei y=f(x), definită pe intervalul (-5;5). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta y=6.  3.9 Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și opt puncte de pe axa absciselor: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . În câte dintre aceste puncte este derivata lui f(x) pozitivă?  4.2 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-5;7). Aflați intervalele de scădere ale funcției f(x). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.  4.5 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-4;8). Aflați punctul extrem al funcției f(x), aparținând segmentului [-2;6].  4.6 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x), definită pe intervalul (-10;2). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y=-2x-11. Rezolvare: 4.6 Deoarece figura prezintă un grafic al derivatei, iar tangenta este paralelă cu această dreaptă, derivata funcției în acest punct este egală cu -2. Căutăm puncte pe graficul derivat cu o ordonată egală cu -2 și numărăm numărul lor. Obținem 5.  Răspunsuri: 3.8) 4; 3,9) 5; 4,2) 18; 4,5) 4; 4.6) 5.   4.8 În figura este prezentat un grafic al lui y=𝑓 ′ (𝑥) - derivata funcției f(x). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul y=f(x) este paralelă sau coincide cu axa absciselor. Rezolvare: Dacă o dreaptă este paralelă cu axa Ox, atunci panta ei este zero.  Panta tangentei este zero, ceea ce înseamnă că derivata este zero.  Căutăm abscisa punctului de intersecție a graficului derivatului cu axa Ox.  Obținem -3.   4.9 În figura este prezentat un grafic al funcției y=𝑓 ′ (x) derivată a funcției f(x) și opt puncte de pe axa absciselor: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . În câte dintre aceste puncte crește derivata funcției f(x)? Semnificaţia geometrică a integralei definite  5.1 În figura se prezintă graficul unei funcţii y=f(x) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind figura, calculați F(8)-F(2), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x). Rezolvare:     Aria unui trapez curbat se calculează printr-o integrală definită. Integrala definită este calculată folosind formula Newton-Leibniz ca un increment al antiderivatei. În problema 5.1, calculăm aria trapezului folosind binecunoscuta formulă a cursului de geometrie (aceasta va fi incrementul antiderivatei). În problemele 5.2 și 5.3 antiderivatul a fost deja dat. Este necesar să se calculeze valorile sale la capetele segmentului și să se calculeze diferența.  5.2 Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x). Funcția 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − este una dintre cele 8 antiderivate ale funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite. Rezolvare:     Aria unui trapez curbat se calculează printr-o integrală definită. Integrala definită este calculată folosind formula Newton-Leibniz ca un increment al antiderivatei. În problema 5.1, calculăm aria trapezului folosind binecunoscuta formulă a cursului de geometrie (aceasta va fi incrementul antiderivatei). În problema 5.2 antiderivatul este deja dat. Este necesar să se calculeze valorile sale la capetele segmentului și să se calculeze diferența. Mult succes la examenul de stat unificat la matematică 

Lecție generală pe tema: „Folosirea derivatei și a graficului său pentru a citi proprietățile funcțiilor” Obiectivele lecției: Dezvoltarea abilităților specifice în lucrul cu graficul unei funcții derivate pentru utilizarea lor la promovarea Examenului de stat unificat; Dezvoltați capacitatea de a citi proprietățile unei funcții din graficul derivatei sale Pregătiți pentru test

Actualizarea cunoștințelor de bază 3. Relația dintre valorile derivatei, panta tangentei, unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei OX Derivata funcției în punctul de tangență este egală cu panta a tangentei trasate la graficul funcției în acest punct, adică tangentei unghiului de înclinare a tangentei la direcția pozitivă a abscisei axei. Dacă derivata este pozitivă, atunci coeficientul unghiular este pozitiv, atunci unghiul de înclinare al tangentei la axa OX este acut. Dacă derivata este negativă, atunci coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al tangentei la axa OX este obtuz. Dacă derivata este zero, atunci panta este zero, atunci tangenta este paralelă cu axa OX

0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f(x) 7 Actualizarea cunoștințelor de bază Semne suficiente de monotonitate a unei funcții. Dacă f (x) > 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval. Dacă f (x) title="Actualizarea cunoștințelor de bază Sunt suficiente semne de monotonitate ale funcției. Dacă f (x) > 0 în fiecare punct al intervalului (a, b), atunci funcția f (x) crește m pe acest interval.Dacă f(x)

Actualizarea cunoștințelor de referință Punctele interne ale domeniului de definire a unei funcții la care derivata este egală cu zero sau nu există se numesc puncte critice ale acestei funcții. Numai în aceste puncte funcția poate avea un extremum (minim sau maxim, Fig. 5a, b). În punctele x 1, x 2 (Fig. 5a) și x 3 (Fig. 5b) derivata este 0; în punctele x 1, x 2 (Fig. 5b) derivata nu există. Dar toate sunt puncte extreme. 5. Aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor critice și a punctelor extreme

Actualizarea cunoștințelor de bază O condiție necesară pentru un extremum. Dacă x 0 este punctul extrem al funcției f(x) și derivata lui f există în acest punct, atunci f(x 0)=0. Această teoremă este o condiție necesară pentru un extremum. Dacă derivata unei funcții într-un anumit punct este egală cu 0, aceasta nu înseamnă că funcția are un extremum în acel punct. De exemplu, derivata funcției f (x) = x 3 este egală cu 0 la x = 0, dar această funcție nu are un extrem în acest punct. Pe de altă parte, funcția y = | x | are un minim la x = 0, dar derivata nu există în acest punct. Condiții suficiente pentru un extremum. Dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din plus în minus, atunci x 0 este punctul maxim. Dacă derivata, la trecerea prin punctul x 0, își schimbă semnul din minus în plus, atunci x 0 este punctul minim. 6. Condiții necesare și suficiente pentru un extremum

Actualizarea cunoștințelor de referință Valorile minime și maxime ale funcției continue f(x) pot fi realizate atât la punctele interne ale segmentului [a; c], iar la capetele sale. Dacă aceste valori sunt atinse în punctele interne ale segmentului, atunci aceste puncte sunt puncte extreme. Prin urmare, este necesar să găsiți valorile funcției la punctele extreme din segmentul [a; c], la capetele segmentului și comparați-le. 7. Folosirea derivatei pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

1. Dezvoltarea cunoștințelor, deprinderilor și abilităților pe tema Folosind următoarele date date în tabel, caracterizați comportamentul funcției. Cheat sheet pentru lucrări practice x(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Caracteristicile comportamentului funcției 1.ODZ: x aparține intervalului de la -3 la +; 2.Crește la intervale (-3;0) și (8;+); 3.Scade pe intervale (0;8); 4.Х=0 – punct maxim; 5.Х=4 – punct de inflexiune; 6.Х=8 – punct minim; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

5. Dezvoltarea cunoștințelor, deprinderilor și abilităților pe tema Funcția y = f(x) este definită și continuă pe intervalul [–6; 6]. Formulează 10 întrebări pentru a determina proprietățile unei funcții din graficul derivatei y = f"(x). Sarcina ta nu este doar să dai răspunsul corect, ci să-l argumentezi (demonstrezi) cu pricepere, folosind definițiile, proprietățile adecvate. , și reguli.

Lista de întrebări (corectată) 1) numărul de intervale ale funcției crescătoare y = f(x); 2) lungimea intervalului funcției descrescătoare y = f(x); 3) numărul de puncte extreme ale funcției y = f(x); 4) punctul maxim al funcției y = f(x); 5) punctul critic (staționar) al funcției y = f(x), care nu este un punct extremum; 6) abscisa punctului grafic la care funcţia y = f(x) ia cea mai mare valoare pe segment; 7) abscisa punctului grafic la care funcţia y = f(x) ia cea mai mică valoare pe segmentul [–2; 2]; 8) numărul de puncte din graficul funcției y = f(x), la care tangenta este perpendiculară pe axa OU; 9) numărul de puncte de pe graficul funcției y = f(x), la care tangenta formează un unghi de 60° cu direcția pozitivă a axei OX; 10) abscisa punctului grafic al funcției y = f(x), în care panta este Răspuns: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Testare (B8 de la Unified State Exam) 1. Sarcinile de testare sunt prezentate pe diapozitive. 2. Introduceți răspunsurile dvs. în tabel. 3.După finalizarea testului, schimbați foile de răspuns și verificați munca vecinului folosind rezultatele finale; a evalua. 4. Luăm în considerare și discutăm împreună sarcinile cu probleme.

Se trasează o tangentă la graficul funcției y =f(x) în punctul său cu abscisa x 0 =2. Determinați panta tangentei dacă figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-5;5). Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției la care tangentele sunt paralele cu axa x. 1

Funcția este definită pe intervalul (-5;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Indicați numărul de puncte la care tangentele sunt înclinate la un unghi de 135° față de direcția pozitivă a axei x. Funcția este definită pe intervalul (-6;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Indicați numărul de puncte ale căror tangente sunt înclinate la un unghi de 45° față de direcția pozitivă a axei x.

Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-6;6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Indicați numărul de intervale ale funcției crescătoare y = f(x) pe segmentul [-6;6]. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-5;5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Indicați numărul de puncte maxime ale funcției y = f(x) pe segmentul [-5;5].

Funcția y = f(x) este definită pe interval. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Indicați numărul de puncte minime ale funcției y =f(x) pe segment. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-6;6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Indicați numărul de intervale ale funcției descrescătoare y=f(x) pe segmentul [-6;6]. ab

Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-6;6]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Aflați intervalele de creștere ale funcției y = f(x) pe segmentul [-6;6]. În răspunsul dvs., indicați cea mai scurtă dintre lungimile acestor intervale. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-5;5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Aflați intervalele de scădere ale funcției y = f(x) pe segmentul [-5;5]. În răspunsul dvs., indicați cea mai mare dintre lungimile acestor intervale.

Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-5;4]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Determinați cea mai mică dintre acele valori ale lui X la care funcția are un maxim. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul [-5;5]. Graficul derivatei sale este prezentat în figură. Determinați cea mai mică dintre acele valori ale lui X la care funcția are un minim.

Funcția y = f(x) este definită pe intervalul (-6,6).Figura arată derivata acestei funcții. Găsiți punctul minim al funcției. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul (-6,7).Figura arată derivata acestei funcții. Găsiți punctul maxim al funcției.

,

Rezolvarea sarcinii 19 Folosind graficul derivatei funcției y = f(x), găsiți valoarea funcției în punctul x = 5 dacă f(6) = 8 Pentru x 3 f (x) =k=3, deci pe acest interval tangenta este data de formula y =3x+b. Valoarea funcției în punctul de contact coincide cu valoarea tangentei. După condiția f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Răspuns: 5

Rezumatul lecției Am examinat relația dintre monotonitatea unei funcții și semnul derivatei sale și condiții suficiente pentru existența unui extremum. Am examinat diverse sarcini de citire a graficului unei funcții derivate, care se găsesc în textele examenului de stat unificat. Toate sarcinile pe care le-am luat în considerare sunt bune, deoarece nu necesită mult timp pentru a le îndeplini. În timpul examenului de stat unificat, acest lucru este foarte important: notează rapid și corect răspunsul.

Temă pentru acasă: o sarcină care implică citirea aceluiași grafic, dar într-un caz este graficul unei funcții, iar în celălalt este graficul derivatei acesteia. Funcția y = f(x) este definită și continuă pe intervalul [–6; 5]. În figura se prezintă: a) graficul funcţiei y = f(x); b) graficul derivatei y = f"(x). Din grafic, determinați: 1) punctul minim al funcției y = f(x); 2) numărul de intervale ale funcției descrescătoare y = f(x) ; 3) abscisa punctului din graficul funcției y = f (x), în care ia cea mai mare valoare pe segment; 4) numărul de puncte de pe graficul funcției y = f(x) , la care tangenta este paralelă cu axa OX (sau coincide cu aceasta).

Literatură 1. Manual Algebră și început de analiză, clasa a 11-a. CM. Nikolsky, M.K. Potapov şi alţii.Moscova. Examenul de stat unificat „Iluminismul” Matematică. Sarcini de testare tipice. 3. Ghid de pregătire intensivă pentru examenul de matematică. Absolvență, admitere, examen de stat unificat la +5. M. Resurse de internet „VAKO”.

Lecție generală pe tema:

„Folosirea derivatei și a graficului acesteia pentru a citi proprietățile unei funcții”

Tip de lecție: o lecție generală folosind TIC sub formă de prezentare.

Obiectivele lecției:

Educational:

Să promoveze înțelegerea de către elevi a utilizării derivatelor în sarcini practice;

Învățați elevii să folosească în mod clar proprietățile funcțiilor și derivatelor.

Educational:

Dezvoltați capacitatea de a analiza o întrebare de sarcină și de a trage concluzii;

Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele existente în sarcini practice.

Educational:

Cultivarea interesului pentru subiect;

Necesitatea acestor abilități teoretice și practice pentru a continua studiul.

Obiectivele lecției:

Dezvoltați abilități specifice în lucrul cu graficul unei funcții derivate pentru utilizarea acestora la promovarea Examenului de stat unificat;

Pregătiți-vă pentru test.

Planul lecției.

1. Actualizarea cunoștințelor de referință (BK).

2. Dezvoltarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema.

3. Testare (B8 de la examenul de stat unificat).

4. Verificare reciprocă, acordând note „vecinului”.

5. Rezumarea lecțiilor lecției.

Aparatură: clasă computer, tablă, marker, teste (2 opțiuni).

În timpul orelor.

Moment org.

Profesor . Salut, te rog stai jos.

În timpul studierii temei „Studiul funcțiilor folosind derivate”, au fost dezvoltate abilitățile de a găsi punctele critice ale unei funcții, derivata, de a determina proprietățile funcției cu ajutorul acesteia și de a construi graficul acesteia. Astăzi vom analiza acest subiect dintr-un unghi diferit: cum să determinăm proprietățile funcției în sine prin graficul derivatei unei funcții. Sarcina noastră: să învățăm să navigăm în varietatea de sarcini legate de graficele funcțiilor și derivatele acestora.

În pregătirea pentru examenul de stat unificat la matematică, KIM-urilor li se oferă probleme privind utilizarea graficului derivat pentru a studia funcțiile. Prin urmare, în această lecție trebuie să ne sistematizăm cunoștințele pe această temă și să învățăm să găsim rapid răspunsuri la întrebările sarcinilor B8.

Slide nr. 1.

Subiect: „Folosirea derivatei și a graficului acesteia pentru a citi proprietățile funcțiilor”

Obiectivele lecției:

Dezvoltarea cunoștințelor de aplicare a derivatei, a semnificației sale geometrice și a graficului derivatei pentru a determina proprietățile funcțiilor.

Dezvoltarea eficienței în efectuarea testelor Unified State Exam.

Dezvoltarea unor calități de personalitate precum atenția, capacitatea de a lucra cu text, capacitatea de a lucra cu grafice derivate

2.Actualizarea cunoștințelor de bază (BK). Diapozitivele nr. 4 până la nr. 10.

Întrebările de revizuire vor apărea acum pe ecran. Sarcina ta: da un răspuns clar și concis la fiecare punct. Corectitudinea răspunsului dumneavoastră poate fi verificată pe ecran.

( O întrebare apare mai întâi pe ecran, după ce elevii răspund, răspunsul corect apare pentru verificare.)

Lista de întrebări pentru AOD.

Definiţia derivative.

Sensul geometric al derivatului.

Relația dintre valorile derivatei, panta tangentei, unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei OX.

Folosirea derivatei pentru a găsi intervale de monotonitate ale unei funcții.

Aplicarea derivatei pentru determinarea punctelor critice, punctelor extreme

6 Condiții necesare și suficiente pentru un extremum

7 . Utilizarea derivatei pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții

(Elevii răspund la fiecare item, însoțindu-și răspunsurile cu note și desene pe tablă. În cazul răspunsurilor eronate și incomplete, colegii le corectează și le completează. După ce elevii răspund, pe ecran apare răspunsul corect. Astfel, elevii pot determina imediat corectitudinea răspunsului lor.)

3. Dezvoltarea cunoștințelor, abilităților și abilităților pe tema. Slide-urile nr. 11 până la nr. 15.

Studenților li se oferă sarcini din KIM-urile Examenului de stat unificat la matematică din anii precedenți, de pe site-uri de Internet despre utilizarea derivatei și a graficului acestuia pentru a studia proprietățile funcțiilor. Sarcinile apar secvenţial. Elevii întocmesc soluții la tablă sau prin raționament oral. Soluția corectă apare apoi pe diapozitiv și este verificată cu soluția elevilor. Dacă există o eroare în soluție, aceasta este analizată de întreaga clasă.

Slide nr. 16 și nr. 17.

În continuare, la clasă, este recomandabil să luați în considerare o sarcină cheie: folosind graficul dat al derivatei, elevii trebuie să vină cu (desigur, cu ajutorul profesorului) diverse întrebări legate de proprietățile funcției în sine. Desigur, aceste probleme sunt discutate, corectate dacă este necesar, rezumate, înregistrate într-un caiet, după care începe etapa de rezolvare a acestor sarcini. Aici este necesar să ne asigurăm că elevii nu numai că dau răspunsul corect, dar sunt capabili să-l argumenteze (demonstreze), folosind definițiile, proprietățile și regulile adecvate.

Testare (B8 de la examenul de stat unificat). Slide-urile nr. 18 până la nr. 29. Slide-ul nr. 30 – cheile testului.

Profesor : Așadar, v-am rezumat cunoștințele pe această temă: am repetat proprietățile de bază ale derivatei, am rezolvat probleme legate de graficul derivatei, am analizat aspecte complexe și problematice ale utilizării derivatei și graficul derivatei pentru a studia proprietățile funcții.

Acum vom testa în 2 opțiuni. Sarcinile vor apărea pe ecran în ambele versiuni în același timp. Studiezi întrebarea, găsești răspunsul și îl notezi pe foaia de răspuns. După finalizarea testului, faceți schimb de formulare și verificați munca vecinului dvs. folosind răspunsuri gata făcute. Dați o evaluare(până la 10 puncte – „2”, de la 11 la 15 puncte – „3”, de la 16 la 19 puncte – „4”, mai mult de 19 puncte – „5”.).

Rezumând lecția

Am examinat relația dintre monotonitatea unei funcții și semnul derivatei sale și condiții suficiente pentru existența unui extremum. Am examinat diverse sarcini de citire a graficului unei funcții derivate, care se găsesc în textele examenului de stat unificat. Toate sarcinile pe care le-am luat în considerare sunt bune, deoarece nu necesită mult timp pentru a le îndeplini.

În timpul examenului de stat unificat, acest lucru este foarte important: notează rapid și corect răspunsul.

Predați formularele de răspuns. Nota pentru lecție vă este deja cunoscută și va fi inclusă în jurnal.

Cred că clasa s-a pregătit pentru test.

Temele vor fi creative . Slide numărul 33 .

Slide 12

Simetria față de dreapta y=x

Graficele acestor funcții cresc la > 1 și scad la 0

Slide 13

Una dintre figuri prezintă un grafic al funcției y=2-x. Vă rugăm să indicați acest desen. Graficul unei funcţii exponenţiale Graficul unei funcţii exponenţiale trece prin punctul (0, 1) Deoarece baza gradului este mai mică decât 1, această funcţie trebuie să fie descrescătoare.

Slide 14

Una dintre figuri prezintă un grafic al funcției y=log5 (x-4). Indicați numărul acestui program. Graficul funcției logaritmice y=log5x trece prin punctul (1;0), atunci dacă x -4 = 1, atunci = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – punctul de intersecție al graficului cu axa OX Dacă x -4 = 5, atunci y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Graficul funcției logaritmice 9 5 1

Slide 15

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-6;7). Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Toate tangentele paralele cu dreapta y = 5-2x (sau care coincid cu aceasta) sunt trasate pe graficul funcției. Indicați numărul de puncte de pe graficul funcției la care sunt trasate aceste tangente. K = tga = f'(xo) Prin condiția k = -2. Prin urmare f'(xo) = -2 Tragem o dreaptă y = -2. Intersectează graficul în două puncte, ceea ce înseamnă tangente la funcție sunt trase în două puncte. Aflarea numărului de tangente la graficul unei funcții din graficul derivatei acesteia

Slide 16

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y=f(x) la care tangentele la grafic sunt paralele cu axa x sau coincid cu aceasta. Coeficientul unghiular al liniilor paralele cu abscisa sau care coincid cu aceasta este zero. Prin urmare K=tg a = f `(xo)=0 Axa OX intersectează acest grafic în patru puncte. Aflarea numărului de tangente la o funcție din graficul derivatei acesteia

Slide 17

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-6;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y=f(x) la care tangentele la grafic sunt înclinate la un unghi de 135 față de direcția pozitivă a axei x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Prin urmare f`(xo)=-1 Desenați o dreaptă y=-1. Intersectează graficul în trei puncte , ceea ce înseamnă tangente la funcția efectuată în trei puncte. Aflarea numărului de tangente la o funcție din graficul derivatei acesteia

Slide 18

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-2;6]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cel mai mic coeficient unghiular k=tg a=f'(xo) Derivata funcției ia cea mai mică valoare y=-3 în punctul x=2. Prin urmare, tangenta la grafic are cea mai mica panta in punctul x=2 Aflarea pantei tangentei din graficul derivatei functiei -3 2

Slide 19

Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Indicați abscisa la care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mare pantă. k=tg a=f’(xo) Derivata functiei ia cea mai mare valoare y=3 in punctul x=-5. Prin urmare, tangenta la grafic are cea mai mare panta in punctul x = -5 Aflarea pantei tangentei din graficul derivatei functiei 3 -5

Slide 20

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la aceasta în punctul cu abscisa xo. Aflați valoarea derivatei f `(x) în punctul xo f ’(xo) =tg a Deoarece în figură a este un unghi obtuz, atunci tan a

Slide 21

Aflarea minimului (maximului) unei funcții din graficul derivatei sale

În punctul x=4, derivata își schimbă semnul din minus în plus. Aceasta înseamnă că x = 4 este punctul minim al funcției y = f (x) 4 În punctele x = 1, derivata își schimbă semnul din plus. minusMeanx=1 este punctul maxim al funcției y=f(x))

Slide 22

Muncă independentă

Fig.11) Aflați domeniul de definire al funcției. 2) Rezolvați inegalitatea f(x) ≥ 0 3) Determinați intervalele de scădere a funcției. Fig. 2 – graficul funcției derivate y=f(x) 4) Aflați punctele minime ale funcției. 5) Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cel mai mare coeficient de unghi. Fig.11) Găsiți intervalul de valori al funcției. 2) Rezolvați inegalitatea f(x)≤ 0 3) Determinați intervalele de creștere ale funcției. Fig. 2 – graficul funcției derivate y=f(x) 4) Aflați punctele maxime ale funcției. 5) Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mică pantă. 1 Opțiune 2 Opțiune

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

Educațional: pentru a consolida abilitățile elevilor în lucrul cu grafice de funcții în pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Dezvoltare: pentru a dezvolta interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice, capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.

Educațional: cultivați atenția, acuratețea, lărgiți orizonturile elevilor.

Echipamente și materiale: calculator, ecran, proiector, prezentare „Lectură grafice. Examen de stat unificat"

În timpul orelor

1. Sondaj frontal.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Cum se numește graficul unei funcții, domeniul de definiție și domeniul de valori ale unei funcții? Determinați domeniul de definiție și intervalul de valori ale funcțiilor.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Care funcție se numește proprietăți par, impare ale graficelor acestor funcții?

2. Rezolvarea exercițiilor

1) <Презентация. Слайд 7>.

Funcția periodică. Definiție.

Rezolvați problema: dat un grafic al unei funcții periodice, x aparține intervalului [-2;1]. Calculați f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Rezolvarea inegalităților folosind grafice de funcții.

a) Rezolvați inegalitatea f(x) 0 dacă figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) dată pe intervalul [-7;6]. Opțiuni de răspuns: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x), specificată pe segmentul [-4;7] Indicați toate valorile lui X pentru care inegalitatea f(x) -1 este valabilă.

1. [-0,5;3], 2) [-0,5;3] U, 3) [-4;0,5] U+, 4) [-4;0,5]

c) Figura prezintă grafice ale funcțiilor y=f(x) și y=g(x), specificate pe intervalul [-3;6]. Enumerați toate valorile lui X pentru care inegalitatea f(x) g(x) este valabilă

1. [-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U+, 4) [-3;-1]U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Funcții de creștere și scădere

Una dintre figuri prezintă un grafic al unei funcții în creștere pe segmentul , iar cealaltă - descrescătoare pe segmentul [-2;0]. Vă rugăm să indicați aceste desene.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Funcții exponențiale și logaritmice

a) Numiți condiția pentru funcțiile crescătoare și descrescătoare exponențiale și logaritmice. Prin ce punct trec graficele funcțiilor exponențiale și logaritmice, ce proprietăți au graficele acestor funcții?

b) Una dintre imagini prezintă un grafic al funcției y=2 -x.Indicați această imagine .

Graficul funcției exponențiale trece prin punctul (0, 1) Deoarece baza gradului este mai mică decât 1, această funcție trebuie să fie descrescătoare. (Numarul 3)

c) Una dintre figuri prezintă un grafic al funcției y=log 5 (x-4). Indicați numărul acestui program.

Graficul funcției logaritmice y=log 5 x trece prin punctul (1;0) , atunci, dacă x -4 = 1, atunci y = 0, x = 1 + 4, x=5. (5;0) – punctul de intersecție a graficului cu axa OX. Dacă x -4 = 5 , atunci y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Aflarea numărului de tangente la graficul unei funcții din graficul derivatei acesteia

a) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul (-6;7). Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Toate tangentele paralele cu dreapta y=5-2x (sau care coincid cu aceasta) sunt trasate pe graficul funcției. Indicați numărul de puncte de pe graficul funcției la care sunt trasate aceste tangente.

K = tga = f’(x o). Prin condiția k=-2. Prin urmare, f’(x o) =-2. Desenăm o linie dreaptă y=-2. Intersectează graficul în două puncte, ceea ce înseamnă că tangentele la funcție sunt desenate în două puncte.

b) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y=f(x) la care tangentele la grafic sunt paralele cu axa x sau coincid cu aceasta.

Coeficientul unghiular al liniilor drepte paralele cu axa absciselor sau care coincid cu aceasta este zero. Prin urmare, K=tg a = f `(x o)=0. Axa OX intersectează acest grafic în patru puncte.

c) Funcția y=f(x) definit pe intervalul (-6;6). Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y=f(x) la care tangentele la grafic sunt înclinate la un unghi de 135° față de direcția pozitivă a axei x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Aflarea pantei unei tangente din graficul derivatei unei funcții

a) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-2;6]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mică pantă.

k=tga=f’(x o). Derivata functiei ia cea mai mica valoare y=-3 in punctul x=2. Prin urmare, tangenta la grafic are cea mai mică pantă în punctul x=2

b) Funcția y=f(x) este definită pe intervalul [-7;3]. Figura prezintă un grafic al derivatei acestei funcții. Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mare coeficient unghiular.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Aflarea valorii derivatei din graficul unei funcții

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și tangentei la aceasta în punctul cu abscisa x o. Aflați valoarea derivatei f `(x)în punctul x o

f’(x o) =tga. Deoarece în figura a este un unghi obtuz, atunci tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Aflarea minimului (maximului) unei funcții din graficul derivatei sale

În punctul x=4 derivata își schimbă semnul din minus în plus. Aceasta înseamnă că x=4 este punctul minim al funcției y=f(x)

În punctul x=1 derivata își schimbă semnul din plus în minus . Aceasta înseamnă că x=1 este un punct maxim functionsy=f(x))

3. Munca independentă

<Презентация. Слайд 22>.

1 Opțiune

1) Aflați domeniul de definire al funcției.

2) Rezolvați inegalitatea f(x) 0

3) Determinați intervalele de scădere a funcției.

4) Aflați punctele minime ale funcției.

5) Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mare pantă.

Opțiunea 2

1) Găsiți intervalul de valori ale funcției.

2) Rezolvați inegalitatea f(x) 0

3) Determinați intervalele de creștere ale funcției.

Graficul derivatei funcției y=f(x)

4) Aflați punctele maxime ale funcției.

5) Indicați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) are cea mai mică pantă.

4. Rezumând lecția