Elementi matematične analize na enotnem državnem izpitu Malinovskaya Galina Mikhailovna [e-pošta zaščitena] Referenčni material Tabela odvodov osnovnih funkcij.  Pravila diferenciranja (odvod vsote, produkt, količnik dveh funkcij).  Odvod kompleksne funkcije.  Geometrijski pomen odvoda.  Fizični pomen izpeljanke.  Referenčni material Ekstremne točke (največje ali najmanjše) funkcije, določene grafično.  Iskanje največje (najmanjše) vrednosti funkcije, zvezne na danem intervalu.  Antiizpeljava funkcije. Newton-Leibnizova formula. Iskanje območja ukrivljenega trapeza.  Fizične aplikacije  1.1 Materialna točka se giblje premočrtno po zakonu 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t je čas v sekundah, merjen od začetek gibanja. Poiščite njegovo hitrost (v metrih na sekundo) v času t = 3 s.  1.2 Materialna točka se giblje 1 3 premočrtno po zakonu 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , kjer je x oddaljenost od referenčne točke v metrih, t čas v sekundah, merjen od začetka gibanje. V katerem trenutku (v sekundah) je bila njegova hitrost enaka 2 m/s? Rešitev: Iščemo odvod x(t) (funkcija poti glede na čas).  V nalogi 1.1 njegovo vrednost nadomestite s t in izračunajte hitrost (odgovor: 59).  V nalogi 1.2 najdeni odvod izenačimo z danim številom in rešimo enačbo glede na spremenljivko t. (Odgovor: 7).  Geometrijske aplikacije 2.1 Premica 𝑦 = 7𝑥 − 5 je vzporedna s tangento na graf 2 funkcije 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Poiščite absciso tangentne točke. 2.2 Premica 𝑦 = 3𝑥 + 1 je tangenta na 2. graf funkcije 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. Najti. 2.3 Premica 𝑦 = −5𝑥 + 8 je tangenta na 2. graf funkcije 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. Poiščite b, glede na to, da je abscisa dotične točke večja od 0. 2.4 Premica 𝑦 = 3𝑥 + 4 se dotika grafa 2 funkcije 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Najdi c. Rešitev: V nalogi 2.1 iščemo odvod funkcije in ga enačimo z naklonom premice (odgovor: 0,5).  V nalogah 2.2-2.4 sestavimo sistem dveh enačb. Pri enem enačimo funkcije, pri drugem njihove odvode. V sistemu z dvema neznankama (spremenljivka x in parameter) iščemo parameter. (Odgovori: 2,2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso 𝑥0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki 𝑥0.  2.6 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso 𝑥0. Poiščite vrednost odvoda funkcije f(x) v točki 𝑥0.  2.7 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x). Premica, ki poteka skozi izhodišče, se dotika grafa te funkcije v točki z absciso 10. Poiščite vrednost odvoda funkcije v točki x=10. 𝑥0 = 0 Rešitev:     Vrednost odvoda funkcije v točki je tangens naklonskega kota tangente na graf funkcije, narisan v tej točki. Pravokotni trikotnik »dopolnimo« in poiščemo tangens pripadajočega kota, ki ga vzamemo za pozitivnega, če tangenta tvori s pozitivno smerjo osi Ox oster kot (tangenta se »narašča«) in negativnega, če je kot obtusen (tangenta se zmanjša). V nalogi 2.7 morate narisati tangento skozi navedeno točko in izhodišče. Odgovori: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2,7) -0,6. Branje grafa funkcije ali grafa odvoda funkcije  3.1 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (6;8). Določite število celih točk, v katerih je odvod funkcije pozitiven.  3.2 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-5;5). Določite število celih točk, pri katerih je odvod funkcije f(x) negativen. Rešitev: Predznak odvoda je povezan z obnašanjem funkcije.  Če je odvod pozitiven, potem izberemo tisti del grafa funkcije, kjer funkcija narašča. Če je odvod negativen, potem se funkcija zmanjša. Izberemo interval, ki ustreza temu delu na osi Ox.  V skladu z vprašanjem naloge bodisi preračunamo število celih števil, vključenih v dani interval, bodisi poiščemo njihovo vsoto.  Odgovori: 3,1) 4; 3.2) 8.   3.3 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2;12). Poiščite vsoto ekstremnih točk funkcije f(x). Najprej pogledamo, kaj je na sliki: graf funkcije ali graf odvoda.  Če je to graf odvoda, potem nas zanimajo le predznaki odvoda in abscise presečišč z osjo Ox.  Za jasnost lahko narišete bolj znano sliko z znaki odvoda nad nastalimi intervali in obnašanjem funkcije.  Odgovorite na vprašanje v nalogi glede na sliko. (Odgovor: 3,3) 44).   3.4 Slika prikazuje graf ′ y=𝑓 (𝑥) - odvod funkcije f(x), definiran na intervalu (-7;14]. Poiščite število največjih točk funkcije f(x) ), ki pripada segmentu [-6;9]  3.5 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x), definirane na intervalu (-11;11). Poiščite število ekstremnih točk funkcije f(x), ki pripadajo segmentu [-10;10] Rešitev: Poiščemo presečišča grafa odvoda z osjo Ox, pri čemer označimo tisti del osi, ki je naveden v nalogi .  Na vsakem od dobljenih intervalov določimo predznak odvoda (če je graf odvoda pod osjo, potem “-”, če zgoraj, pa “+”).  Največje število točk bodo tiste, pri katerih se je znak spremenil iz "+" v "-", najmanjše število točk - iz "-" v "+". Obe sta točki ekstrema.  Odgovori: 3,4) 1; 3.5) 5.   3.6 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x), definirane na intervalu (-8;3). Na kateri točki segmenta [-3;2] ima funkcija f(x) največjo vrednost.  3.7 Slika prikazuje graf ′ y=𝑓 (𝑥) - odvod funkcije f(x), definiran na intervalu (-8;4). Na kateri točki odseka [-7;-3] ima funkcija f(x) najmanjšo vrednost. Rešitev:    Če odvod spremeni predznak na obravnavanem segmentu, potem rešitev temelji na izreku: če ima funkcija, zvezna na segmentu, eno samo ekstremno točko na njem in je to največja (minimalna) točka, potem največja (najmanjša) vrednost funkcije na tem segmentu je dosežena na tej točki. Če je funkcija, zvezna na segmentu, monotona, potem doseže svojo najmanjšo in največjo vrednost na danem segmentu na njegovih koncih. Odgovori: 3,6) -3; 3,7) -7.  3.8 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-5;5). Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije vzporedna s premico y=6 ali sovpada z njo.  3.9 Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in osem točk na abscisni osi: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . Na koliko od teh točk je odvod f(x) pozitiven?  4.2 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x), definiran na intervalu (-5;7). Poiščite intervale padanja funkcije f(x). V odgovoru navedite vsoto celoštevilskih točk, vključenih v te intervale.  4.5 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x), definiran na intervalu (-4;8). Poiščite ekstremno točko funkcije f(x), ki pripada segmentu [-2;6].  4.6 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x), definiran na intervalu (-10;2). Poiščite število točk, v katerih je tangenta na graf funkcije f(x) vzporedna ali sovpada s premico y=-2x-11. Rešitev: 4.6 Ker slika prikazuje graf odvoda in je tangenta vzporedna s to premico, je odvod funkcije v tej točki enak -2. Na odvodnem grafu iščemo točke z ordinato enako -2 in preštejemo njihovo število. Dobimo 5.  Odgovori: 3,8) 4; 3,9) 5; 4.2) 18; 4,5) 4; 4.6) 5.   4.8 Slika prikazuje graf y=𝑓 ′ (𝑥) - odvod funkcije f(x). Poiščite absciso točke, v kateri je tangenta na graf y=f(x) vzporedna ali sovpada z osjo abscise. Rešitev: Če je premica vzporedna z osjo Ox, potem je njen naklon enak nič.  Naklon tangente je nič, kar pomeni, da je odvod enak nič.  Iščemo absciso presečišča odvodnega grafa z osjo Ox.  Dobimo -3.   4.9 Slika prikazuje graf funkcije y=𝑓 ′ (x) odvod funkcije f(x) in osem točk na abscisni osi: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . V koliko od teh točk narašča odvod funkcije f(x)? Geometrijski pomen določenega integrala  5.1 Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x) (dva žarka s skupnim izhodiščem). S pomočjo slike izračunajte F(8)-F(2), kjer je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x). Rešitev:     Ploščino ukrivljenega trapeza izračunamo preko določenega integrala. Definitivni integral se izračuna z uporabo Newton-Leibnizove formule kot prirastek protiodvoda. V nalogi 5.1 izračunamo ploščino trapeza z uporabo dobro znane formule tečaja geometrije (to bo prirastek protiizpeljave). V nalogah 5.2 in 5.3 je bila protiodpeljava že podana. Treba je izračunati njegove vrednosti na koncih segmenta in izračunati razliko.  5.2 Slika prikazuje graf neke funkcije y=f(x). Funkcija 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − je eden od 8 antiodvodov funkcije f(x). Poiščite območje zasenčene figure. Rešitev:     Ploščino ukrivljenega trapeza izračunamo preko določenega integrala. Definitivni integral se izračuna z uporabo Newton-Leibnizove formule kot prirastek protiodvoda. V nalogi 5.1 izračunamo ploščino trapeza z uporabo dobro znane formule tečaja geometrije (to bo prirastek protiizpeljave). V nalogi 5.2 je protiodvod že podan. Treba je izračunati njegove vrednosti na koncih segmenta in izračunati razliko. Vso srečo na Enotnem državnem izpitu iz matematike 

Splošna lekcija na temo: »Uporaba odvoda in njegovega grafa za branje lastnosti funkcij« Cilji lekcije: Razviti posebne spretnosti pri delu z grafom odvodne funkcije za njihovo uporabo pri opravljanju Enotnega državnega izpita; Razviti sposobnost branja lastnosti funkcije iz grafa njenega odvoda Pripravi se na test

Posodobitev osnovnega znanja 3. Povezava med vrednostmi odvoda, naklona tangente, kota med tangento in pozitivno smerjo osi OX Odvod funkcije v točki tangente je enak naklonu tangente, narisane na graf funkcije v tej točki, to je tangens kota naklona tangente na pozitivno smer abscisne osi. Če je odvod pozitiven, potem je kotni koeficient pozitiven, potem je kot naklona tangente na os OX oster. Če je odvod negativen, potem je kotni koeficient negativen, potem je kot naklona tangente na os OX top. Če je odvod enak nič, potem je naklon enak nič, potem je tangenta vzporedna z osjo OX

0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f (x) 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f(x) 7 Posodabljanje temeljnega znanja Zadostni znaki monotonosti funkcije. Če je f (x) > 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f (x) 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f (x) 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f (x) 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. Če je f (x) 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) poveča m na tem intervalu. If f (x) title="Updating background knowledge Dovolj znakov monotonosti funkcije. Če je f (x) > 0 na vsaki točki intervala (a, b), potem funkcija f (x) narašča m na tem intervalu. Če je f(x)

Posodabljanje referenčnega znanja Notranje točke področja definiranja funkcije, pri katerih je odvod enak nič ali ne obstaja, imenujemo kritične točke te funkcije. Le v teh točkah ima lahko funkcija ekstrem (minimum ali maksimum, sl. 5a, b). V točkah x 1, x 2 (slika 5a) in x 3 (slika 5b) je odvod 0; v točkah x 1, x 2 (slika 5b) odvod ne obstaja. Toda vse so skrajne točke. 5. Uporaba odvoda za določanje kritičnih točk in ekstremnih točk

Posodabljanje osnovnega znanja Nujen pogoj za ekstrem. Če je x 0 ekstremna točka funkcije f(x) in na tej točki obstaja odvod f, potem je f(x 0)=0. Ta izrek je nujen pogoj za ekstrem. Če je odvod funkcije na določeni točki enak 0, to še ne pomeni, da ima funkcija na tej točki ekstrem. Na primer, odvod funkcije f (x) = x 3 je pri x = 0 enak 0, vendar ta funkcija na tej točki nima ekstrema, po drugi strani pa funkcija y = | x | ima minimum pri x = 0, vendar odvod na tej točki ne obstaja. Zadostni pogoji za ekstrem. Če odvod pri prehodu skozi točko x 0 spremeni predznak iz plusa v minus, potem je x 0 največja točka. Če odvod pri prehodu skozi točko x 0 spremeni predznak iz minusa v plus, potem je x 0 najmanjša točka. 6. Nujni in zadostni pogoji za ekstrem

Posodobitev referenčnega znanja Najmanjšo in največjo vrednost zvezne funkcije f(x) lahko dosežemo tako na notranjih točkah segmenta [a; c] in na njegovih koncih. Če so te vrednosti dosežene na notranjih točkah segmenta, potem so te točke ekstremne točke. Zato je treba najti vrednosti funkcije na ekstremnih točkah iz segmenta [a; c], na koncih segmenta in ju primerjajte. 7. Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije

1. Razvoj znanja, spretnosti in spretnosti na temo S pomočjo naslednjih podatkov, podanih v tabeli, označite obnašanje funkcije. Šparalka za praktično delo x(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Značilnosti obnašanja funkcije 1.ODZ: x pripada intervalu od -3 do +; 2.Povečuje v intervalih (-3;0) in (8;+); 3.Zmanjšuje se v intervalih (0;8); 4.Х=0 – največja točka; 5.Х=4 – prevojna točka; 6.Х=8 – najmanjša točka; 7.f(0) =-3; f(0) = -5; f(0) = 8;

5. Razvijanje znanja, spretnosti in spretnosti pri temi Funkcija y = f(x) je definirana in zvezna na intervalu [–6; 6]. Oblikujte 10 vprašanj za določitev lastnosti funkcije iz grafa odvoda y = f"(x). Vaša naloga ni le podati pravilen odgovor, temveč ga spretno argumentirati (dokazati) z uporabo ustreznih definicij, lastnosti , in pravila.

Seznam vprašanj (popravljeno) 1) število intervalov naraščajoče funkcije y = f(x); 2) dolžina intervala padajoče funkcije y = f(x); 3) število ekstremnih točk funkcije y = f(x); 4) maksimalna točka funkcije y = f(x); 5) kritična (stacionarna) točka funkcije y = f(x), ki ni točka ekstrema; 6) abscisa točke grafa, v kateri ima funkcija y = f(x) največjo vrednost na segmentu; 7) abscisa točke grafa, v kateri funkcija y = f(x) zavzame najmanjšo vrednost na odseku [–2; 2]; 8) število točk v grafu funkcije y = f(x), v katerih je tangenta pravokotna na os OU; 9) število točk na grafu funkcije y = f(x), v katerih tvori tangenta s pozitivno smerjo osi OX kot 60°; 10) absciso točke grafa funkcije y = f(x), v kateri je naklon Odgovor: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Testiranje (B8 iz Enotnega državnega izpita) 1. Testne naloge so predstavljene na diapozitivih. 2. Odgovore vpiši v tabelo. 3. Po končanem testu izmenjajte liste z odgovori in preverite sosedovo delo s končnimi rezultati; oceniti. 4. Skupaj obravnavamo in razpravljamo o problemskih nalogah.

Na graf funkcije y =f(x) narišemo tangento v njegovi točki z absciso x 0 =2. Določite naklon tangente, če slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu (-5;5). Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Poiščite število točk na grafu funkcije, pri katerih so tangente vzporedne z osjo x. 1

Funkcija je definirana na intervalu (-5;6). Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Določite število točk, v katerih so tangente nagnjene pod kotom 135° na pozitivno smer osi x. Funkcija je definirana na intervalu (-6;6). Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Določite število točk, katerih tangente so nagnjene pod kotom 45° na pozitivno smer osi x.

Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-6;6]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Določite število intervalov naraščajoče funkcije y = f(x) na segmentu [-6;6]. Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-5;5]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Določite število največjih točk funkcije y = f(x) na odseku [-5;5].

Na intervalu je definirana funkcija y = f(x). Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Določi število minimalnih točk funkcije y =f(x) na odseku. Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-6;6]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Navedite število intervalov padajoče funkcije y=f(x) na odseku [-6;6]. ab

Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-6;6]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Poiščite intervale naraščanja funkcije y = f(x) na odseku [-6;6]. V odgovoru navedite najkrajšo izmed dolžin teh intervalov. Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-5;5]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Poiščite intervale padanja funkcije y = f(x) na odseku [-5;5]. V odgovoru navedite največjo izmed dolžin teh intervalov.

Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-5;4]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Določite najmanjšo od tistih vrednosti X, pri katerih ima funkcija maksimum. Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu [-5;5]. Graf njenega derivata je prikazan na sliki. Določite najmanjšo od tistih vrednosti X, pri katerih ima funkcija minimum.

Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu (-6,6).Slika prikazuje odvod te funkcije. Poiščite minimalno točko funkcije. Funkcija y = f(x) je definirana na intervalu (-6,7).Slika prikazuje odvod te funkcije. Poiščite največjo točko funkcije.

,

Rešitev naloge 19 S pomočjo grafa odvoda funkcije y = f(x) poišči vrednost funkcije v točki x = 5, če je f(6) = 8 Za x 3 f (x) =k=3, zato je na tem intervalu tangenta podana s formulo y =3x+b. Vrednost funkcije na stični točki sovpada z vrednostjo tangente. Po pogoju f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Odgovor: 5

Povzetek lekcije Preučili smo razmerje med monotonostjo funkcije in predznakom njenega odvoda ter zadostne pogoje za obstoj ekstrema. Preučili smo različne naloge za branje grafa odvodne funkcije, ki jih najdemo v besedilih enotnega državnega izpita. Vse naloge, ki smo jih obravnavali, so dobre, ker ne vzamejo veliko časa za njihovo dokončanje. Med enotnim državnim izpitom je to zelo pomembno: hitro in pravilno zapišite odgovor.

Domača naloga: naloga, ki vključuje branje istega grafa, le da je to v enem primeru graf funkcije, v drugem pa graf njenega odvoda. Funkcija y = f(x) je definirana in zvezna na intervalu [–6; 5]. Slika prikazuje: a) graf funkcije y = f(x); b) graf odvoda y = f"(x). Iz grafa določite: 1) točko minimuma funkcije y = f(x); 2) število intervalov padajoče funkcije y = f(x) ; 3) abscisa točke grafa funkcije y = f (x), v kateri zavzame največjo vrednost na segmentu; 4) število točk na grafu funkcije y = f (x) , pri kateri je tangenta vzporedna z osjo OX (ali sovpada z njo).

Literatura 1. Učbenik Algebra in začetek analize, 11. razred. CM. Nikolski, M.K. Potapov in drugi, Moskva. Enotni državni izpit iz matematike "Razsvetljenje". Tipične testne naloge. 3. Priročnik za intenzivno pripravo na izpit iz matematike. Diploma, sprejem, enotni državni izpit na +5. M. "VAKO" Internetni viri.

Splošna lekcija na temo:

"Uporaba izpeljanke in njenega grafa za branje lastnosti funkcije"

Vrsta lekcije: splošna lekcija z uporabo IKT v obliki predstavitve.

Cilji lekcije:

Izobraževalni:

Spodbujati razumevanje študentov o uporabi izpeljank pri praktičnih nalogah;

Učence naučite jasno uporabljati lastnosti funkcij in odvodov.

Izobraževalni:

Razviti sposobnost analize vprašanja naloge in sklepanja;

Razviti sposobnost uporabe obstoječega znanja v praktičnih nalogah.

Izobraževalni:

Gojenje zanimanja za predmet;

Potreba po teh teoretičnih in praktičnih znanjih za nadaljevanje študija.

Cilji lekcije:

Razviti posebne veščine pri delu z grafom izvedene funkcije za njihovo uporabo pri opravljanju Enotnega državnega izpita;

Pripravite se na test.

Učni načrt.

1. Posodabljanje referenčnega znanja (BK).

2. Razvoj znanja, spretnosti in spretnosti na temo.

3. Testiranje (B8 iz enotnega državnega izpita).

4. Medsebojno preverjanje, dajanje ocen »sosedu«.

5. Povzetek lekcije lekcije.

Oprema: računalniški razred, tabla, marker, testi (2 možnosti).

Med poukom.

Org trenutek.

učiteljica . Pozdravljeni, prosim, sedite.

Med študijem teme »Preučevanje funkcij z odvodom« so se razvile veščine iskanja kritičnih točk funkcije, odvoda, določanja lastnosti funkcije z njegovo pomočjo in gradnje njenega grafa. Danes bomo to temo pogledali z drugega zornega kota: kako določiti lastnosti same funkcije skozi graf odvoda funkcije. Naša naloga: naučiti se krmariti v različnih nalogah, povezanih z grafi funkcij in njihovimi derivati.

V pripravah na enotni državni izpit iz matematike KIM-i dobijo težave pri uporabi grafa izpeljave za preučevanje funkcij. Zato moramo v tej lekciji sistematizirati svoje znanje o tej temi in se naučiti hitro najti odgovore na vprašanja nalog B8.

Diapozitiv št. 1.

Zadeva: "Uporaba izpeljanke in njenega grafa za branje lastnosti funkcij"

Cilji lekcije:

Razvoj znanja o uporabi odvoda, njegovem geometrijskem pomenu in grafu odvoda za določanje lastnosti funkcij.

Razvoj učinkovitosti pri izvajanju testov enotnega državnega izpita.

Razvijanje osebnostnih lastnosti, kot so pozornost, sposobnost dela z besedilom, sposobnost dela z izpeljanimi grafi

2.Posodobitev temeljnega znanja (BK). Diapozitivi št. 4 do št. 10.

Vprašanja za pregled bodo zdaj prikazana na zaslonu. Vaša naloga: na vsako točko jasno in jedrnato odgovorite. Pravilnost vašega odgovora lahko preverite na zaslonu.

( Na zaslonu se najprej pojavi vprašanje, ko učenci odgovorijo, se prikaže pravilen odgovor za preverjanje.)

Seznam vprašanj za AOD.

Opredelitev derivata.

Geometrijski pomen izpeljanke.

Razmerje med vrednostmi odvoda, naklonom tangente, kotom med tangento in pozitivno smerjo osi OX.

Uporaba odvoda za iskanje intervalov monotonosti funkcije.

Uporaba odvoda za določanje kritičnih točk, ekstremnih točk

6 Nujni in zadostni pogoji za ekstrem

7 . Uporaba odvoda za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije

(Učenci odgovorijo na posamezno točko, svoje odgovore pospremijo z zapiski in risbami na tabli. V primeru napačnih in nepopolnih odgovorov jih sošolci popravijo in dopolnijo. Po odgovoru učencev se na ekranu izpiše pravilen odgovor. Tako lahko učenci takoj ugotovijo. pravilnost njihovega odgovora. )

3. Razvoj znanja, spretnosti in spretnosti na temo. Diapozitivi št. 11 do št. 15.

Študentom so na voljo naloge iz KIM enotnega državnega izpita iz matematike prejšnjih let, z internetnih strani o uporabi derivata in njegovega grafa za preučevanje lastnosti funkcij. Naloge se pojavljajo zaporedno. Rešitve učenci pripravijo na tablo ali z ustnim razmišljanjem. Pravilna rešitev se nato pojavi na prosojnici in se primerja z rešitvijo učencev. Če je v rešitvi napaka, jo analizira cel razred.

Diapozitiv št. 16 in št. 17.

V nadaljevanju je pri pouku priporočljivo razmisliti o ključni nalogi: s pomočjo podanega grafa odvoda si morajo učenci zastaviti (seveda s pomočjo učitelja) različna vprašanja, povezana z lastnostmi same funkcije. Seveda se o teh vprašanjih razpravlja, po potrebi popravi, povzame, zabeleži v zvezek, po katerem se začne faza reševanja teh nalog. Pri tem je treba zagotoviti, da učenci ne samo podajo pravilnega odgovora, temveč ga znajo argumentirati (dokazati) z uporabo ustreznih definicij, lastnosti in pravil.

Testiranje (B8 iz enotnega državnega izpita). Diapozitivi št. 18 do št. 29. Diapozitiv št. 30 – ključi do testa.

učiteljica : Tako smo povzeli vaše znanje o tej temi: ponovili smo osnovne lastnosti odvoda, reševali probleme, povezane z grafom odvoda, analizirali zapletene in problematične vidike uporabe odvoda in grafa odvoda za preučevanje lastnosti odvoda. funkcije.

Zdaj bomo preizkusili v dveh možnostih. Naloge se bodo prikazale na zaslonu v obeh različicah hkrati. Preučite vprašanje, poiščete odgovor in ga zapišete na svoj list za odgovore. Po opravljenem testu izmenjajte obrazce in preverite sosedovo delo z že pripravljenimi odgovori. Podajte oceno(do 10 točk - "2", od 11 do 15 točk - "3", od 16 do 19 točk - "4", več kot 19 točk - "5".)

Povzetek lekcije

Preučili smo razmerje med monotonostjo funkcije in predznakom njenega odvoda ter zadostne pogoje za obstoj ekstrema. Preučili smo različne naloge za branje grafa odvodne funkcije, ki jih najdemo v besedilih enotnega državnega izpita. Vse naloge, ki smo jih obravnavali, so dobre, ker ne vzamejo veliko časa za njihovo dokončanje.

Med enotnim državnim izpitom je to zelo pomembno: hitro in pravilno zapišite odgovor.

Oddajte obrazce za odgovore. Ocena pri učni uri vam je že znana in bo zapisana v dnevnik.

Mislim, da se je razred pripravil na test.

Domača naloga bo ustvarjalna . Diapozitiv številka 33 .

Diapozitiv 12

Simetrija glede na premico y=x

Grafi teh funkcij naraščajo pri > 1 in padajo pri 0

Diapozitiv 13

Ena od slik prikazuje graf funkcije y=2-x. Prosimo, označite to risbo. Graf eksponentne funkcije Graf eksponentne funkcije poteka skozi točko (0, 1.) Ker je osnova stopnje manjša od 1, mora biti ta funkcija padajoča.

Diapozitiv 14

Ena od slik prikazuje graf funkcije y=log5 (x-4). Navedite številko tega urnika. Graf logaritemske funkcije y=log5x poteka skozi točko (1;0), potem če je x -4 = 1, potem = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – točka presečišča grafa z osjo OX Če je x -4 = 5, potem je y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Graf logaritemske funkcije 9 5 1

Diapozitiv 15

Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu (-6;7). Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Vse tangente, ki so vzporedne s premico y = 5-2x (ali sovpadajo z njo), so narisane na graf funkcije. Označite število točk na grafu funkcije, pri katerih so narisane te tangente. K = tga = f'(xo) Po pogoju k = -2. Zato je f'(xo) = -2 Narišemo premico y = -2. Ta seka graf v dveh točkah, kar pomeni tangenti na funkcijo so narisane na dveh točkah. Iskanje števila tangent na graf funkcije iz grafa njenega odvoda

Diapozitiv 16

Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-7;3]. Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite število točk na grafu funkcije y=f(x), pri katerih so tangente na graf vzporedne z osjo x ali z njo sovpadajo. Kotni koeficient črt, ki so vzporedne z absciso ali sovpadajo z njo, je nič. Zato K=tg a = f `(xo)=0 Os OX seka ta graf v štirih točkah. Iskanje števila tangent na funkcijo iz grafa njenega odvoda

Diapozitiv 17

Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu (-6;6). Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite število točk na grafu funkcije y=f(x), pri katerih so tangente na graf nagnjene pod kotom 135 na pozitivno smer osi x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Torej f`(xo)=-1 Nariši premico y=-1. Seka graf v treh točkah , kar pomeni tangente na funkcijo, izvedeno v treh točkah. Iskanje števila tangent na funkcijo iz grafa njenega odvoda

Diapozitiv 18

Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-2;6]. Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) najmanjši kotni koeficient k=tg a=f'(xo) Odvod funkcije ima najmanjšo vrednost y=-3 v točki x=2. Zato ima tangenta na graf najmanjši naklon v točki x=2 Iskanje naklona tangente iz grafa odvoda funkcije -3 2

Diapozitiv 19

Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-7;3]. Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Določi absciso, na kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) največji naklon. k=tg a=f’(xo) Odvod funkcije dobi največjo vrednost y=3 v točki x=-5. Zato ima tangenta na graf največji naklon v točki x = -5 Iskanje naklona tangente iz grafa odvoda funkcije 3 -5

Diapozitiv 20

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso xo. Poiščite vrednost odvoda f `(x) v točki xo f ’(xo) =tg a Ker je na sliki a top kot, potem tan a

Diapozitiv 21

Iskanje minimuma (maksimuma) funkcije iz grafa njenega odvoda

V točki x=4 odvod spremeni predznak iz minusa v plus. To pomeni, da je x = 4 najmanjša točka funkcije y = f (x) 4 V točkah x = 1 odvod spremeni predznak iz plusa. minusMeanx=1 je največja točka funkcije y=f(x))

Diapozitiv 22

Samostojno delo

Slika 11) Poiščite domeno definicije funkcije. 2) Rešite neenačbo f(x) ≥ 0 3) Določite intervale padanja funkcije. Slika 2 – graf odvodne funkcije y=f(x) 4) Poiščite točke minimuma funkcije. 5) Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) največji kotni koeficient. Sl.11) Poiščite obseg vrednosti funkcije. 2) Rešite neenačbo f(x)≤ 0 3) Določite intervale naraščanja funkcije. Slika 2 – graf odvodne funkcije y=f(x) 4) Poiščite maksimalne točke funkcije. 5) Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) najmanjši naklon. 1 možnost 2 možnost

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Cilji lekcije:

Izobraževalni: Okrepiti spretnosti študentov pri delu z grafi funkcij pri pripravi na enotni državni izpit.

Razvojni: razviti kognitivni interes študentov za akademske discipline, sposobnost uporabe svojega znanja v praksi.

Izobraževalni: gojiti pozornost, natančnost, razširiti obzorja učencev.

Oprema in gradivo: računalnik, platno, projektor, predstavitev »Branje grafov. Enotni državni izpit"

Med poukom

1. Frontalna anketa.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Kaj se imenuje graf funkcije, domena definicije in obseg vrednosti funkcije? Določite domeno definicije in območje vrednosti funkcij.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Katera funkcija se imenuje soda, liha, lastnosti grafov teh funkcij?

2. Rešitev vaj

1) <Презентация. Слайд 7>.

Periodična funkcija. Opredelitev.

Rešite nalogo: Če imamo na grafu periodične funkcije, x pripada intervalu [-2;1]. Izračunajte f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Reševanje neenačb z uporabo funkcijskih grafov.

a) Rešite neenačbo f(x) 0, če slika prikazuje graf funkcije y=f(x), podane na intervalu [-7;6]. Možnosti odgovora: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Na sliki je graf funkcije y=f(x), podane na segmentu [-4;7] Označite vse vrednosti X, za katere velja neenakost f(x) -1.

1. [-0,5;3], 2) [-0,5;3] U, 3) [-4;0,5] U +, 4) [-4;0,5]

c) Na sliki sta grafa funkcij y=f(x) in y=g(x), določenih na intervalu [-3;6]. Naštej vse vrednosti X, za katere velja neenakost f(x) g(x).

1. [-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U+, 4) [-3;-1]U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Naraščajoče in padajoče funkcije

Ena od slik prikazuje graf funkcije, ki narašča na segmentu , druga pa pada na segmentu [-2;0]. Prosimo, označite te risbe.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Eksponentne in logaritemske funkcije

a) Poimenujte pogoj za naraščajoče in padajoče eksponentne in logaritemske funkcije. Skozi katero točko gredo grafi eksponentnih in logaritemskih funkcij, kakšne lastnosti imajo grafi teh funkcij?

b) Ena od slik prikazuje graf funkcije y=2 -x Označi to sliko .

Graf eksponentne funkcije poteka skozi točko (0, 1.) Ker je osnova stopnje manjša od 1, mora biti ta funkcija padajoča. (št. 3)

c) Ena od slik prikazuje graf funkcije y=log 5 (x-4). Navedite številko tega urnika.

Graf logaritemske funkcije y=log 5 x poteka skozi točko (1;0) , potem, če je x -4 = 1, potem je y = 0, x = 1 + 4, x=5. (5;0) – točka presečišča grafa z osjo OX. Če je x -4 = 5 , potem y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Iskanje števila tangent na graf funkcije iz grafa njenega odvoda

a) Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu (-6;7). Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Vse tangente, ki so vzporedne s premico y=5-2x (ali sovpadajo z njo), so narisane na graf funkcije. Označite število točk na grafu funkcije, pri katerih so narisane te tangente.

K = tga = f’(x o). Po pogoju k = -2. Zato je f'(x o) = -2. Narišemo premico y=-2. Graf seka v dveh točkah, kar pomeni, da sta tangenti na funkcijo narisani v dveh točkah.

b) Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-7;3]. Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite število točk na grafu funkcije y=f(x), pri katerih so tangente na graf vzporedne z osjo x ali z njo sovpadajo.

Kotni koeficient ravnih črt, ki so vzporedne z osjo abscise ali sovpadajo z njo, je nič. Zato je K=tg a = f `(x o)=0. Os OX seka ta graf v štirih točkah.

c) Funkcija y=f(x) definirana na intervalu (-6;6). Na sliki je prikazan graf njegovega derivata. Poiščite število točk na grafu funkcije y=f(x), pri katerih so tangente na graf nagnjene pod kotom 135° v pozitivno smer osi x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Iskanje naklona tangente iz grafa odvoda funkcije

a) Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-2;6]. Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Označimo absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) najmanjši naklon.

k=tga=f’(x o). Odvod funkcije zavzame najmanjšo vrednost y=-3 v točki x=2. Zato ima tangenta na graf najmanjši naklon v točki x=2

b) Funkcija y=f(x) je definirana na intervalu [-7;3]. Slika prikazuje graf odvoda te funkcije. Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) največji kotni koeficient.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Iskanje vrednosti odvoda iz grafa funkcije

Slika prikazuje graf funkcije y=f(x) in tangento nanjo v točki z absciso x o. Poiščite vrednost odvoda f `(x) v točki x o

f’(x o) =tga. Ker je na sliki a top kot, potem tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Iskanje minimuma (maksimuma) funkcije iz grafa njenega odvoda

V točki x=4 odvod spremeni predznak iz minusa v plus. To pomeni, da je x=4 najmanjša točka funkcije y=f(x)

V točki x=1 odvod spremeni predznak iz plusa v minus . To pomeni, da je x=1 točka maksimum funkcijey=f(x))

3. Samostojno delo

<Презентация. Слайд 22>.

1 možnost

1) Poiščite domeno definicije funkcije.

2) Rešite neenačbo f(x) 0

3) Določite intervale padanja funkcije.

4) Poiščite minimalne točke funkcije.

5) Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) največji naklon.

Možnost 2

1) Poiščite obseg vrednosti funkcije.

2) Rešite neenačbo f(x) 0

3) Določite intervale naraščanja funkcije.

Graf odvoda funkcije y=f(x)

4) Poiščite največje točke funkcije.

5) Označite absciso točke, v kateri ima tangenta na graf funkcije y=f(x) najmanjši naklon.

4. Povzetek lekcije