Dallimi i katrorëve

Le të nxjerrim formulën për diferencën e katrorëve $ a ^ 2-b ^ 2 $.

Për ta bërë këtë, mbani mend rregullin e mëposhtëm:

Nëse i shtojmë ndonjë monom shprehjes dhe e zbresim të njëjtin monom, atëherë marrim identitetin e saktë.

Shtoni në shprehjen tonë dhe zbritni prej saj monomin $ ab $:

Gjithsej, marrim:

Kjo do të thotë, ndryshimi midis katrorëve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre me shumën e tyre.

Shembulli 1

Përfaqësoni si produkt $ (4x) ^ 2-v ^ 2 $

\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]

\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ majtas (2x-y \ djathtas) (2x + y) \]

Shuma e kubeve

Ne nxjerrim formulën për shumën e kubeve $ a ^ 3 + b ^ 3 $.

Merrni parasysh faktorët e zakonshëm:

Le të nxjerrim $ \ majtas (a + b \ djathtas) $ jashtë kllapave:

Gjithsej, marrim:

Kjo do të thotë, shuma e kubeve të dy monomëve është e barabartë me produktin e shumës së tyre me katrorin jo të plotë të diferencës së tyre.

Shembulli 2

Përfaqësoni si produkt $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $

Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:

\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]

Duke përdorur formulën për diferencën e katrorëve, marrim:

\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ majtas (2x + y \ djathtas) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]

Dallimi i kubeve

Le të nxjerrim formulën për diferencën e kubeve $ a ^ 3-b ^ 3 $.

Për këtë, ne do të përdorim të njëjtin rregull si më sipër.

Shtoni në shprehjen tonë dhe zbritni prej saj monomët $ a ^ 2b \ dhe \ (ab) ^ 2 $:

Merrni parasysh faktorët e zakonshëm:

Le të nxjerrim $ \ majtas (a-b \ djathtas) $ jashtë kllapave:

Gjithsej, marrim:

Kjo do të thotë, ndryshimi midis kubeve të dy monomëve është i barabartë me produktin e ndryshimit të tyre me katrorin jo të plotë të shumës së tyre.

Shembulli 3

Përfaqësoni si produkt $ (8x) ^ 3-v ^ 3 $

Kjo shprehje mund të rishkruhet si më poshtë:

\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]

Duke përdorur formulën për diferencën e katrorëve, marrim:

\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ majtas (2x-y \ djathtas) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]

Një shembull i problemave duke përdorur formulat për ndryshimin e katrorëve dhe shumën dhe ndryshimin e kubeve

Shembulli 4

Faktorizoj.

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Zgjidhja:

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]

Duke zbatuar formulën për diferencën e katrorëve, marrim:

\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ majtas (a + 5-3 \ djathtas) \ majtas (a + 5 + 3 \ djathtas) = ​​\ majtas (a + 2 \ djathtas) (a +8) \]

Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:

Le të zbatojmë formulën e kubeve kuma:

c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $

Le ta shkruajmë këtë shprehje në formën:

\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ majtas (\ frac (1) (3) \ djathtas)) ^ 3-x ^ 3 \]

Le të zbatojmë formulën e kubeve kuma:

\ [(\ majtas (\ frac (1) (3) \ djathtas)) ^ 3-x ^ 3 = \ majtas (\ frac (1) (3) -x \ djathtas) \ majtas (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ djathtas) \]

Formulat ose rregullat e shumëzimit të shkurtuar përdoren në aritmetikë, ose më mirë në algjebër, për një proces më të shpejtë të llogaritjes së shprehjeve të mëdha algjebrike. Vetë formulat rrjedhin nga rregullat ekzistuese në algjebër për shumëzimin e disa polinomeve.

Përdorimi i këtyre formulave ofron një zgjidhje mjaft të shpejtë për probleme të ndryshme matematikore, dhe gjithashtu ndihmon në thjeshtimin e shprehjeve. Rregullat e transformimeve algjebrike ju lejojnë të kryeni disa manipulime me shprehje, pas të cilave mund të merrni shprehjen në anën e majtë të barazisë në anën e djathtë, ose të transformoni anën e djathtë të barazisë (për të marrë shprehjen në anën e majtë pas shenjës së barazimit).

Është e përshtatshme të njihni formulat e përdorura për shumëzim të reduktuar me memorie, pasi ato përdoren shpesh në zgjidhjen e problemeve dhe ekuacioneve. Më poshtë janë formulat kryesore të përfshira në këtë listë dhe emri i tyre.

Shuma në katror

Për të llogaritur katrorin e shumës, duhet të gjeni shumën që përbëhet nga katrori i termit të parë, dyfishi i produktit të termit të parë nga i dyti dhe katrori i të dytit. Si shprehje, ky rregull shkruhet si më poshtë: (a + c) ² = a² + 2ac + c².

Diferenca në katror

Për të llogaritur katrorin e diferencës, duhet të llogaritni shumën që përbëhet nga katrori i numrit të parë, dyfishi i produktit të numrit të parë nga i dyti (i marrë me shenjën e kundërt) dhe katrori i numrit të dytë. Si shprehje, ky rregull duket si më poshtë: (a - c) ² = a² - 2ac + c².

Dallimi i katrorëve

Formula për ndryshimin midis dy numrave në katror është e barabartë me produktin e shumës së këtyre numrave nga diferenca e tyre. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket si më poshtë: a² - c² = (a + c) · (a - c).

Kubi i shumës

Për të llogaritur kubin e shumës së dy termave, është e nevojshme të llogaritet shuma e përbërë nga kubi i termit të parë, produkti i trefishtë i katrorit të termit të parë dhe i dyti, produkti i trefishtë i termit të parë dhe të dytë. në katror, ​​si dhe kubi i termit të dytë. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket si më poshtë: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Shuma e kubeve

Sipas formulës, ai barazohet me produktin e shumës së këtyre termave me katrorin e tyre jo të plotë të diferencës. Në formën e një shprehjeje, ky rregull duket si më poshtë: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).

Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i figurës, i cili formohet duke shtuar dy kube. Dihen vetëm përmasat e anëve të tyre.

Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë të lehta.

Nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të rëndë, atëherë në këtë rast është më e lehtë të zbatohet formula "Shuma e kubeve", e cila do të thjeshtojë shumë llogaritjet.

Kubi i ndryshimit

Shprehja për diferencën kub është si më poshtë: si shuma e fuqisë së tretë të termit të parë, trefishoni produktin negativ të katrorit të termit të parë me të dytin, trefishoni produktin e termit të parë me katrorin e të dytës , dhe kubin negativ të termit të dytë. Në formën e një shprehjeje matematikore, kubi i diferencës duket kështu: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Dallimi i kubeve

Formula për ndryshimin e kubeve ndryshon nga shuma e kubeve vetëm në një shenjë. Kështu, diferenca midis kubeve është një formulë e barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre numrave me katrorin e tyre jo të plotë të shumës. Në formë, ndryshimi i kubeve duket si më poshtë: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Shembull.Është e nevojshme të llogaritet vëllimi i figurës që do të mbetet pas zbritjes së figurës vëllimore të verdhë nga vëllimi i kubit blu, i cili gjithashtu është një kub. Dihet vetëm madhësia e anës së kubit të vogël dhe të madh.

Nëse vlerat anësore janë të vogla, atëherë llogaritjet janë mjaft të drejtpërdrejta. Dhe nëse gjatësitë e anëve shprehen në numra të konsiderueshëm, atëherë ia vlen të përdorni një formulë të titulluar "Kubet e Diferencës" (ose "Kubi i Diferencës"), e cila do të thjeshtojë shumë llogaritjet.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit.

Studimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit: katrori i shumës dhe katrori i ndryshimit të dy shprehjeve; dallimi i katrorëve të dy shprehjeve; kubi i shumës dhe kubi i ndryshimit të dy shprehjeve; shuma dhe ndryshimi i kubeve të dy shprehjeve.

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Për të thjeshtuar shprehjet, për të faktorizuar polinomet dhe për të sjellë polinomet në një formë standarde, përdoren formulat e shkurtuara të shumëzimit. Formulat e shkurtuara të shumëzimit duhet të njihen përmendësh.

Le të a, b R. Pastaj:

1. Katrori i shumës së dy shprehjeve është katrori i shprehjes së parë plus dyfishi i prodhimit të shprehjes së parë me të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Dallimi në katror i dy shprehjeve është katrori i shprehjes së parë minus dyfishin e prodhimit të shprehjes së parë me të dytën plus katrorin e shprehjes së dytë.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Dallimi i katrorëve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit midis këtyre shprehjeve dhe shumës së tyre.

a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)

4. Kubi i shumës i dy shprehjeve është i barabartë me kubin e shprehjes së parë plus trefishin e katrorit të shprehjes së parë me të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës plus kubin e shprehjes së dytë.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Kubi i ndryshimit dy shprehje janë të barabarta me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e katrorit të shprehjes së parë dhe të dytën plus trefishin e produktit të shprehjes së parë dhe katrorin e të dytës minus kubin e shprehjes së dytë.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Shuma e kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e shumës së shprehjeve të parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të diferencës së këtyre shprehjeve.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Dallimi i kubeve dy shprehje është e barabartë me produktin e ndryshimit të shprehjes së parë dhe të dytë me katrorin jo të plotë të shumës së këtyre shprehjeve.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Zbatimi i formulave të shkurtuara të shumëzimit gjatë zgjidhjes së shembujve.

Shembulli 1.

Llogaritni

a) Duke përdorur formulën për katrorin e shumës së dy shprehjeve, kemi

(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) Duke përdorur formulën për katrorin e diferencës midis dy shprehjeve, marrim

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Shembulli 2.

Llogaritni

Duke përdorur formulën për ndryshimin midis katrorëve të dy shprehjeve, marrim

Shembulli 3.

Thjeshtoni shprehjen

(x - y) 2 + (x + y) 2

Ne përdorim formulat për katrorin e shumës dhe katrorin e ndryshimit të dy shprehjeve

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Formulat e shkurtuara të shumëzimit në një tabelë:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formulat e shkurtuara të shumëzimit (ACF) përdoren për fuqizimin dhe shumëzimin e numrave dhe shprehjeve. Shpesh këto formula ju lejojnë të kryeni llogaritjet më kompakte dhe më shpejt.

Në këtë artikull, ne do të rendisim formulat bazë për shumëzimin e shkurtuar, do t'i grupojmë ato në një tabelë, do të shqyrtojmë shembuj të përdorimit të këtyre formulave dhe gjithashtu do të ndalemi në parimet e provave të formulave të shumëzimit të shkurtuar.

Për herë të parë, tema e FSU është trajtuar në kuadër të lëndës “Algjebër” për klasën e 7-të. Më poshtë janë 7 formula themelore.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit

1. formula për katrorin e shumës: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula për katrorin e diferencës: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula e kubit të shumës: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula e kubit të diferencës: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. ndryshimi i formulës së katrorëve: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula për shumën e kubeve: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula për diferencën e kubeve: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Shkronjat a, b, c në këto shprehje mund të jenë çdo numër, ndryshore ose shprehje. Për lehtësinë e përdorimit, është më mirë të mësoni përmendësh shtatë formulat bazë. Le t'i përmbledhim në një tabelë dhe t'i japim më poshtë, duke i rrethuar me një kornizë.

Katër formulat e para ju lejojnë të llogaritni, përkatësisht, katrorin ose kubin e shumës ose diferencës së dy shprehjeve.

Formula e pestë njehson ndryshimin e katrorëve të shprehjeve me prodhimin e shumës së tyre dhe diferencës.

Formula e gjashtë dhe e shtatë janë, respektivisht, shumëzimi i shumës dhe ndryshimit të shprehjeve me një katror jo të plotë të diferencës dhe një katror jo të plotë të shumës.

Formula e shkurtuar e shumëzimit nganjëherë quhet edhe identitete të shkurtuara të shumëzimit. Kjo nuk është për t'u habitur, pasi çdo barazi është një identitet.

Gjatë zgjidhjes së shembujve praktikë, shpesh përdoren formula të shkurtuara të shumëzimit me anët e majta dhe të djathta të riorganizuara. Kjo është veçanërisht e dobishme kur ka një faktorizim të polinomit.

Formula shtesë të shkurtuara të shumëzimit

Ne nuk do të kufizohemi në kursin e klasës së 7-të në algjebër dhe do të shtojmë disa formula të tjera në tabelën tonë të FSU.

Së pari, merrni parasysh formulën binomiale të Njutonit.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Këtu C n k janë koeficientët binomialë që janë në rreshtin n në trekëndëshin paskal. Koeficientët binomial llogariten me formulën:

C n k = n! k! (N - k)! = n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Siç mund ta shihni, FSE për katrorin dhe kubin e diferencës dhe shumës është një rast i veçantë i formulës binomiale të Njutonit për n = 2 dhe n = 3, respektivisht.

Por, çka nëse ka më shumë se dy mandate në shumën që do të rritet në fuqi? Formula për katrorin e shumës së tre, katër ose më shumë termave do të jetë e dobishme.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Një formulë tjetër që mund të jetë e dobishme është formula për ndryshimin midis fuqive n-të të dy termave.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Kjo formulë zakonisht ndahet në dy formula - respektivisht për shkallë çift dhe tek.

Për treguesit çift 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Për eksponentët tek 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Formulat për ndryshimin e katrorëve dhe diferencën e kubeve, siç e keni marrë me mend, janë raste të veçanta të kësaj formule për n = 2 dhe n = 3, përkatësisht. Për dallimin e kubeve, b zëvendësohet gjithashtu me - b.

Si të lexoni formulat e shkurtuara të shumëzimit?

Do të japim formulimet e duhura për secilën formulë, por fillimisht do të kuptojmë parimin e leximit të formulave. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me shembull. Le të marrim formulën e parë për katrorin e shumës së dy numrave.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Thonë: katrori i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorit të shprehjes së parë, produktin e dyfishuar të shprehjeve dhe katrorin e shprehjes së dytë.

Të gjitha formulat e tjera lexohen në të njëjtën mënyrë. Për katrorin e diferencës a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 shkruajmë:

katrori i ndryshimit ndërmjet dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorëve të këtyre shprehjeve minus dyfishin e prodhimit të shprehjeve të parë dhe të dytë.

Lexoni formulën a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kubi i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e kubeve të këtyre shprehjeve, trefishi i katrorit të shprehjes së parë nga e dyta dhe trefishi i katrorit të shprehjes së dytë nga shprehja e parë.

Ne vazhdojmë të lexojmë formulën për ndryshimin midis kubeve a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kubi i diferencës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus trefishin e katrorit të shprehjes së parë dhe të dytës, plus trefishin e katrorit të shprehjes së dytë dhe të shprehjes së parë, minus kubin të shprehjes së dytë.

Formula e pestë a 2 - b 2 = a - b a + b (diferenca e katrorëve) është si më poshtë: ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit dhe shumën e dy shprehjeve.

Shprehjet si a 2 + a b + b 2 dhe a 2 - a b + b 2 për lehtësi quhen, përkatësisht, katrori jo i plotë i shumës dhe katrori jo i plotë i diferencës.

Duke pasur parasysh këtë, formulat për shumën dhe ndryshimin e kubeve do të lexohen si më poshtë:

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me produktin e shumës së këtyre shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës së tyre.

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e diferencës midis këtyre shprehjeve dhe katrorit jo të plotë të shumës së tyre.

Dëshmi e FSO

Është mjaft e lehtë të provosh FSO. Në bazë të vetive të shumëzimit, ne shumëzojmë pjesët e formulave në kllapa.

Për shembull, merrni parasysh formulën për katrorin e diferencës.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Për të ngritur një shprehje në fuqinë e dytë, duhet ta shumëzoni këtë shprehje në vetvete.

a - b 2 = a - b a - b.

Le të zgjerojmë kllapat:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Formula është e vërtetuar. Pjesa tjetër e FSO-ve vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembuj të aplikimit të FSU

Qëllimi i përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit është të shumëzojë shpejt dhe në mënyrë koncize dhe të shprehë shprehjet. Megjithatë, ky nuk është i gjithë fushëveprimi i FSO-së. Ato përdoren gjerësisht në shkurtimin e shprehjeve, reduktimin e thyesave, faktorizimin e polinomeve. Ketu jane disa shembuj.

Shembulli 1. FSO

Thjeshtoni shprehjen 9 y - (1 + 3 y) 2.

Zbatojmë formulën për shumën e katrorëve dhe marrim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Shembulli 2. FSO

Zvogëloni thyesën 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vini re se shprehja në numërues është ndryshimi midis kubeve, dhe emëruesi është ndryshimi në katrorë.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Ne shkurtojmë dhe marrim:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Gjithashtu FSO-të ndihmojnë në llogaritjen e vlerave të shprehjeve. Gjëja kryesore është të jeni në gjendje të vini re se ku të aplikoni formulën. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Le të vendosim në katror numrin 79. Në vend të llogaritjeve të rënda, ne shkruajmë:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Duket se një llogaritje komplekse u krye me shpejtësi vetëm me përdorimin e formulave të shkurtuara të shumëzimit dhe tabelës së shumëzimit.

Një pikë tjetër e rëndësishme është zgjedhja e katrorit të binomit. Shprehja 4 x 2 + 4 x - 3 mund të konvertohet në 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. Transformime të tilla përdoren gjerësisht në integrim.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi zgjidhni atë dhe shtypni Ctrl + Enter