டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான அடிப்படை சூத்திரத்திலிருந்து

எங்கே எஸ்எந்த முகத்தின் பகுதி, மற்றும் எச்- அதன் மூலம் குறைக்கப்பட்ட உயரம், டெட்ராஹெட்ரானின் பல்வேறு கூறுகள் மூலம் அளவை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களின் முழு வரிசையைப் பெறலாம். டெட்ராஹெட்ரானுக்கான இந்த சூத்திரங்களை முன்வைப்போம் ஏ பி சி டி.

(2) ,

எங்கே ∠ ( கி.பி,ஏபிசி) - விளிம்பிற்கு இடையே உள்ள கோணம் கி.பிமற்றும் முகத்தின் விமானம் ஏபிசி;

(3) ,

எங்கே ∠ ( ஏபிசி,ஏபிடி) - முகங்களுக்கு இடையிலான கோணம் ஏபிசிமற்றும் ஏபிடி;

எங்கே | ஏபி,குறுவட்டு| - எதிர் விலா எலும்புகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஏபிமற்றும் குறுவட்டு, ∠ (ஏபி,குறுவட்டு) என்பது இந்த விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

சூத்திரங்கள் (2)–(4) நேர் கோடுகள் மற்றும் விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்படலாம்; சூத்திரம் (4) குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், இதன் மூலம் நீங்கள் கடக்கும் கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் காணலாம் ஏபிமற்றும் குறுவட்டு.

சூத்திரங்கள் (2) மற்றும் (3) சூத்திரத்திற்கு ஒத்தவை எஸ் = (1/2)abபாவம் சிமுக்கோணத்தின் பகுதிக்கு. சூத்திரம் எஸ் = யாழ்ஒத்த சூத்திரம்

எங்கே ஆர்டெட்ராஹெட்ரானின் பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம், Σ என்பது அதன் மொத்த மேற்பரப்பு (அனைத்து முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை). டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை ஆரத்துடன் இணைக்கும் அழகான சூத்திரமும் உள்ளது ஆர்அதன் விவரிக்கப்பட்ட கோளம் ( க்ரெலெட் சூத்திரம்):

Δ என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகும், அதன் பக்கங்களும் எதிரெதிர் விளிம்புகளின் தயாரிப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும் ( ஏபி× குறுவட்டு, ஏ.சி.× BD,கி.பி× கி.மு.) சூத்திரம் (2) மற்றும் ட்ரைஹெட்ரல் கோணங்களுக்கான கொசைன் தேற்றம் (கோள முக்கோணவியல் பார்க்க), முக்கோணங்களுக்கான ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் போன்ற ஒரு சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம்.

ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் ABC மற்றும் ஒரு புள்ளி D இந்த முக்கோணத்தின் விமானத்தில் இல்லை. பிரிவுகளைப் பயன்படுத்தி இந்த புள்ளியை ABC முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளுடன் இணைப்போம். இதன் விளைவாக, ADC, CDB, ABD முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம். ABC, ADC, CDB மற்றும் ABD ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களால் சூழப்பட்ட மேற்பரப்பு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் DABC என அழைக்கப்படுகிறது.
டெட்ராஹெட்ரானை உருவாக்கும் முக்கோணங்கள் அதன் முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
இந்த முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் அவற்றின் முனைகள் ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் முனைகளாகும்

டெட்ராஹெட்ரான் உள்ளது 4 முகங்கள், 6 விலா எலும்புகள்மற்றும் 4 சிகரங்கள்.
பொதுவான உச்சியில் இல்லாத இரண்டு விளிம்புகள் எதிர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
பெரும்பாலும், வசதிக்காக, டெட்ராஹெட்ரானின் முகங்களில் ஒன்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படையில், மற்றும் மீதமுள்ள மூன்று முகங்கள் பக்க முகங்கள்.

எனவே, ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்பது நான்கு முக்கோணங்களின் முகங்களைக் கொண்ட எளிய பாலிஹெட்ரான் ஆகும்.

ஆனால் எந்தவொரு தன்னிச்சையான முக்கோண பிரமிடும் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்பதும் உண்மை. பின்னர் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுவதும் உண்மை ஒரு பிரமிடு அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு முக்கோணம்.

டெட்ராஹெட்ரானின் உயரம்எதிர் முகத்தில் மற்றும் அதற்கு செங்குத்தாக அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியுடன் உச்சியை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
டெட்ராஹெட்ரானின் இடைநிலைஎதிர் முகத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியுடன் ஒரு உச்சியை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் பைமீடியன்டெட்ராஹெட்ரானின் வெட்டும் விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு முக்கோண அடிப்படை கொண்ட ஒரு பிரமிடு என்பதால், எந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவையும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிட முடியும்.

• எஸ்- எந்த முகத்தின் பகுதியும்,
• எச்- இந்த முகத்திற்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் - ஒரு சிறப்பு வகை டெட்ராஹெட்ரான்

அனைத்து முகங்களும் சமபக்கமாக இருக்கும் டெட்ராஹெட்ரான் முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சரி.
வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் பண்புகள்:

• அனைத்து விளிம்புகளும் சமம்.
• வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து விமான கோணங்களும் 60° ஆகும்
• அதன் ஒவ்வொரு முனைகளும் மூன்று வழக்கமான முக்கோணங்களின் உச்சியில் இருப்பதால், ஒவ்வொரு உச்சியிலும் உள்ள விமானக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.
• வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் எந்த உச்சியும் எதிர் முகத்தின் ஆர்த்தோசென்டரில் (முக்கோணத்தின் உயரங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில்) திட்டமிடப்படுகிறது.

a க்கு சமமான விளிம்புகள் கொண்ட வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ABCD ஐ நமக்கு வழங்குவோம். DH என்பது அதன் உயரம்.
கூடுதல் கட்டுமானங்களை உருவாக்குவோம் BM - முக்கோணத்தின் உயரம் ABC மற்றும் DM - முக்கோணத்தின் உயரம் ACD.
BM இன் உயரம் BM க்கு சமம் மற்றும் சமமானது
BDM என்ற முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள், அங்கு டெட்ராஹெட்ரானின் உயரமான DH இந்த முக்கோணத்தின் உயரமும் ஆகும்.
பக்க MB க்கு கைவிடப்பட்ட முக்கோணத்தின் உயரத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம்

, எங்கே
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
இந்த மதிப்புகளை உயர சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். நாம் பெறுகிறோம்


1/2a ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். நாம் பெறுகிறோம்

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்

சிறிய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்


எந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவையும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்
,
எங்கே ,

இந்த மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

எனவே, வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் தொகுதி சூத்திரம்

எங்கே அ- டெட்ராஹெட்ரான் விளிம்பு

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் தெரிந்தால் அதன் அளவைக் கணக்கிடுதல்

டெட்ராஹெட்ரானின் முனைகளின் ஆயத்தொகுப்புகளை நமக்கு வழங்குவோம்

உச்சியில் இருந்து நாம் திசையன்களை வரைகிறோம், , .
இந்த திசையன்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய, இறுதி ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து தொடர்புடைய தொடக்க ஒருங்கிணைப்பைக் கழிக்கவும். நாம் பெறுகிறோம்

ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில், விளிம்புகளில் உள்ள அனைத்து இருமுனை கோணங்களும், செங்குத்துகளில் உள்ள அனைத்து முக்கோணங்களும் சமமாக இருக்கும்.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் 4 முகங்கள், 4 செங்குத்துகள் மற்றும் 6 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எங்கே:
எஸ் - வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு பகுதி
V - தொகுதி
h - உயரம் அடித்தளத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது
r - டெட்ராஹெட்ரானில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்
ஆர் - சுற்றளவு
a - விளிம்பு நீளம்

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள்

தீர்வு.
முக்கோண பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருப்பதால், அது வழக்கமானது. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பரப்பளவு S = a 2 √3 ஆகும்.
பிறகு
எஸ் = 3√3

பதில்: 3√3

பணி.
வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் 4 செ.மீ.க்கு சமமாக இருக்கும்

தீர்வு.
ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் பிரமிட்டின் உயரம் அடிப்பகுதியின் மையத்திற்கு திட்டமிடப்பட்டிருப்பதால், அது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் மையமாகவும் உள்ளது.

AO = R = √3 / 3 a
AO = 4√3 / 3

இதனால் OM பிரமிட்டின் உயரத்தை இதிலிருந்து காணலாம் வலது முக்கோணம்ஏஓஎம்

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
ஓம் = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

V = 1/3 Sh என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பிரமிட்டின் அளவைக் காண்கிறோம்
இந்த வழக்கில், S = √3/4 a 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அடித்தளத்தின் பகுதியைக் காண்கிறோம்.

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

பதில்: 16√2 / 3 செ.மீ

டெட்ராஹெட்ரான் வரையறை

டெட்ராஹெட்ரான்- எளிமையான பாலிஹெட்ரல் உடல், முகங்கள் மற்றும் அடிப்பகுதி முக்கோணங்கள்.

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்

ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் நான்கு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, அவை ஒவ்வொன்றும் மூன்று பக்கங்களால் உருவாகின்றன. டெட்ராஹெட்ரான் நான்கு முனைகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் மூன்று விளிம்புகள் வெளிவருகின்றன.

இந்த உடல் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றின் வகைப்பாடு கீழே உள்ளது.

1. ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரான்- அதன் அனைத்து முகங்களும் ஒரே மாதிரியான முக்கோணங்கள்;
2. ஆர்த்தோசென்ட்ரிக் டெட்ராஹெட்ரான்- ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் எதிர் முகத்திற்கு வரையப்பட்ட அனைத்து உயரங்களும் நீளம் சமமாக இருக்கும்;
3. செவ்வக டெட்ராஹெட்ரான்- ஒரு உச்சியில் இருந்து வெளிப்படும் விளிம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் 90 டிகிரி கோணத்தை உருவாக்குகின்றன;
4. சட்டகம்;
5. விகிதாசாரமானது;
6. இன்சென்ட்ரிக்.

டெட்ராஹெட்ரான் தொகுதி சூத்திரங்கள்

கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவை பல வழிகளில் காணலாம். அவற்றை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு மூலம்

ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் ஆயத்தொலைவுகளுடன் மூன்று திசையன்களில் கட்டப்பட்டிருந்தால்:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)அ= (அ எக்ஸ்​ , அ ஒய்​ , அ z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)பி= (பி எக்ஸ்​ , பி ஒய்​ , பி z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c எக்ஸ்​ , c ஒய்​ , c z​ ) ,

இந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு இந்த திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு ஆகும், அதாவது பின்வரும் தீர்மானிப்பான்:

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\y c_ )வி=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ அ எக்ஸ்​ பி எக்ஸ்​ c எக்ஸ்​ ​ அ ஒய்​ பி ஒய்​ c ஒய்​ ​ அ z​ பி z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

எண்கோணத்தின் நான்கு முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்படுகின்றன. A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9), பி (8, 7, 3) பி(8,7,3) பி(8, 7, 3), சி (1, 2, 3) சி (1,2,3) சி(1, 2, 3), டி(7, 12, 1) டி(7,12,1) டி(7, 1 2, 1). அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

A(1, 4, 9) A(1,4,9) A(1, 4, 9)
பி (8, 7, 3) பி(8,7,3) பி(8, 7, 3)
சி (1, 2, 3) சி (1,2,3) சி(1, 2, 3)
டி(7, 12, 1) டி(7,12,1) டி(7, 1 2, 1)

இந்த உடல் கட்டப்பட்டிருக்கும் திசையன்களின் ஆயங்களைத் தீர்மானிப்பது முதல் படி.
இதைச் செய்ய, இரண்டு புள்ளிகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களைக் கழிப்பதன் மூலம் ஒவ்வொரு திசையன் ஒருங்கிணைப்பையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் A B → \overrightarrow(AB) ஏ பி, அதாவது புள்ளியில் இருந்து இயக்கப்படும் ஒரு திசையன் ஒரு ஏ ஏஅந்த இடம் வரை பி பி பி, இவை புள்ளிகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடுகள் பி பி பிமற்றும் ஒரு ஏ ஏ:

A B → = (8 - 1 , 7 - 4 , 3 - 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)ஏ பி= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 - 1 , 2 − 4 , 3 - 9) = (0 , − 2 , - 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)ஏ சி= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 - 1 , 12 - 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)ஒரு டி= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

இப்போது இந்த வெக்டார்களின் கலப்புப் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம், அதை ஏற்கும் போது, ​​மூன்றாம் வரிசையை தீர்மானிப்போம் A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)ஏ பி= அ, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)ஏ சி= பி, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ஒரு டி= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅) + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 6 + x =3 a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ அ எக்ஸ்​ பி எக்ஸ்​ cஎக்ஸ்​ ​ அஒய்​ பிஒய்​ cஒய்​ ​ அz​ பிz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

அதாவது, டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு இதற்கு சமம்:

$வி=61\cdot |$

பதில்

$44.8\text{செ.மீ3 .}$

அதன் பக்கவாட்டில் உள்ள ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரம்

இந்த சூத்திரம் ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரானின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும், அதாவது அனைத்து முகங்களும் ஒரே மாதிரியான வழக்கமான முக்கோணங்களாக இருக்கும் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான்.

$வி=12\sqrt{2\cdot {அ}^3}$

ஒரு அஅ- டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பின் நீளம்.

டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை அதன் பக்கத்திற்கு சமமாகத் தீர்மானிக்கவும் $11\text{செ.மீ.}$

தீர்வு

$அ=11$

மாற்றுவோம் ஒரு அஅடெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தில்:

$வி=12\sqrt{2\cdot {அ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{செ.மீ3}}}}}$

பதில்

$156.8\text{செ.மீ3 .}$