டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான அடிப்படை சூத்திரத்திலிருந்து

எங்கே எஸ் எந்த முகத்தின் பகுதியும், மற்றும் எச் - உயரம் அதற்குக் குறைந்தது, டெட்ராஹெட்ரானின் பல்வேறு கூறுகளின் அடிப்படையில் அளவை வெளிப்படுத்தும் சூத்திரங்களின் முழுத் தொடரையும் நீங்கள் கழிக்கலாம். டெட்ராஹெட்ரானுக்கு இந்த சூத்திரங்களை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம் ஏ பி சி டி.

(2) ,

எங்கே ∠ ( கி.பி.,ஏபிசி) - விளிம்பிற்கு இடையிலான கோணம் கி.பி. மற்றும் முகம் விமானம் ஏபிசி;

(3) ,

எங்கே ∠ ( ஏபிசி,ஏபிடி) - முகங்களுக்கு இடையிலான கோணம் ஏபிசி மற்றும் ஏபிடி;

எங்கே | ஏபி,குறுவட்டு| - எதிர் விலா எலும்புகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஏபி மற்றும் குறுவட்டு, ∠ (ஏபி,குறுவட்டு) இந்த விளிம்புகளுக்கு இடையிலான கோணம்.

சூத்திரங்கள் (2) - (4) நேர் கோடுகள் மற்றும் விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணங்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறியப் பயன்படுத்தலாம்; சூத்திரம் (4) குறிப்பாக பயனுள்ளதாக இருக்கும், இதன் உதவியுடன் நேர் கோடுகளைக் கடப்பதற்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய முடியும் ஏபி மற்றும் குறுவட்டு.

சூத்திரங்கள் (2) மற்றும் (3) சூத்திரத்திற்கு ஒத்தவை எஸ் = (1/2)abபாவம் சி முக்கோணத்தின் பகுதிக்கு. ஃபார்முலா எஸ் = rp சூத்திரம் ஒத்திருக்கிறது

எங்கே r டெட்ராஹெட்ரானின் பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம், its அதன் மொத்த மேற்பரப்பு (அனைத்து முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை). டெட்ராஹெட்ரானின் அளவை ஆரம் உடன் இணைக்கும் அழகான சூத்திரமும் உள்ளது ஆர் அதன் விவரிக்கப்பட்ட கோளம் ( கிரெல்லின் சூத்திரம்):

எங்கே a என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, இதன் பக்கங்கள் எதிர் விளிம்புகளின் தயாரிப்புகளுக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமமாக இருக்கும் ( ஏபி× குறுவட்டு, ஏ.சி.× பி.டி.,கி.பி.× கி.மு.). சூத்திரம் (2) மற்றும் முக்கோண கோணங்களுக்கான கொசைன் தேற்றத்திலிருந்து (கோள முக்கோணவியல் பார்க்கவும்), முக்கோணங்களுக்கான ஹெரோனின் சூத்திரத்திற்கு ஒத்த ஒரு சூத்திரத்தை நாம் பெறலாம்.

இந்த முக்கோணத்தின் விமானத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம் ஏபிசி மற்றும் ஒரு புள்ளி டி ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள். இந்த புள்ளியை ஏபிசி முக்கோணத்தின் செங்குத்துகளுடன் பகுதிகளால் இணைப்போம். இதன் விளைவாக, ADC, CDB, ABD ஆகிய முக்கோணங்களைப் பெறுகிறோம். ஏபிசி, ஏடிசி, சிடிபி மற்றும் ஏபிடி ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களால் சூழப்பட்ட மேற்பரப்பு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது DABC என குறிக்கப்படுகிறது.
டெட்ராஹெட்ரானை உருவாக்கும் முக்கோணங்கள் அதன் முகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
இந்த முக்கோணங்களின் பக்கங்களும் டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றின் சிகரங்கள் ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் சிகரங்கள்

டெட்ராஹெட்ரான் உள்ளது 4 முகங்கள், 6 விலா எலும்புகள் மற்றும் 4 செங்குத்துகள்.
பொதுவான வெர்டெக்ஸ் இல்லாத இரண்டு விளிம்புகள் எதிர் விளிம்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
பெரும்பாலும் வசதிக்காக, டெட்ராஹெட்ரானின் முகங்களில் ஒன்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படையில், மற்றும் மீதமுள்ள மூன்று முகங்கள் பக்க முகங்கள்.

எனவே, ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் அதன் முகங்களாக நான்கு முக்கோணங்களைக் கொண்ட எளிய பாலிஹெட்ரான் ஆகும்.

ஆனால் எந்தவொரு தன்னிச்சையான முக்கோண பிரமிடு ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்பதும் உண்மை. பின்னர் ஒரு டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது என்பதும் உண்மை அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு முக்கோணத்துடன் ஒரு பிரமிடு.

டெட்ராஹெட்ரான் உயரம் எதிர் முகத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியுடன் ஒரு வெர்டெக்ஸை இணைக்கும் ஒரு பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
சராசரி டெட்ராஹெட்ரான் எதிர் முகத்தின் இடைநிலைகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியுடன் வெர்டெக்ஸை இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பிமீடியன் டெட்ராஹெட்ரான் டெட்ராஹெட்ரானின் குறுக்கு விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகளை இணைக்கும் பிரிவு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு முக்கோண அடித்தளத்துடன் கூடிய பிரமிடு என்பதால், எந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவையும் சூத்திரத்தால் கணக்கிட முடியும்

• எஸ் - எந்த முகத்தின் பரப்பளவு,
• எச் - இந்த முகத்திற்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை டெட்ராஹெட்ரான் ஆகும்

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் கொண்ட டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி.
வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் பண்புகள்:

• எல்லா முகங்களும் சமம்.
• வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து பிளானர் கோணங்களும் 60 are ஆகும்
• அதன் ஒவ்வொரு செங்குத்துகளும் மூன்று வழக்கமான முக்கோணங்களின் உச்சி என்பதால், ஒவ்வொரு உச்சியிலும் விமான கோணங்களின் தொகை 180 is
• ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் எந்த உச்சியும் எதிர் முகத்தின் ஆர்த்தோசென்டருக்கு (முக்கோண உயரங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிக்கு) திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

A க்கு சமமான விளிம்புகளைக் கொண்ட வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ஏபிசிடி நமக்கு வழங்கப்படும். டி.எச் என்பது அதன் உயரம்.
கூடுதல் கட்டுமானங்களை பி.எம் - முக்கோணத்தின் ஏபிசி மற்றும் டிஎம் - முக்கோண ஏசிடியின் உயரம்.
உயரம் பி.எம் பி.எம் மற்றும் சமம்
ஒரு முக்கோண BDM ஐக் கவனியுங்கள், அங்கு டெட்ராஹெட்ரானின் உயரமான DH இந்த முக்கோணத்தின் உயரமும் ஆகும்.
பக்க MB க்கு குறைக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் உயரத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்

எங்கே
பிஎம் \u003d, டிஎம் \u003d, பிடி \u003d அ,
p \u003d 1/2 (BM + BD + DM) \u003d
இந்த மதிப்புகளை உயர சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்


1/2 அ வெளியே எடுக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்

சதுரங்களின் சூத்திர வேறுபாட்டை நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம்

சிறிய மாற்றங்களுக்குப் பிறகு நமக்கு கிடைக்கும்


எந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவையும் சூத்திரத்தால் கணக்கிட முடியும்
,
எங்கே ,

இந்த மதிப்புகளை மாற்றியமைத்து, நமக்குக் கிடைக்கும்

எனவே, ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதி சூத்திரம்

எங்கே a டெட்ராஹெட்ரான் எட்ஜ்

டெட்ராஹெட்ரானின் அளவைக் கணக்கிடுவது அதன் செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் தெரிந்தால்

டெட்ராஹெட்ரானின் செங்குத்துகளின் ஆயங்களை நமக்கு வழங்குவோம்

திசையன்களை வரையவும், வெர்டெக்ஸிலிருந்து.
இந்த ஒவ்வொரு திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிக்க, தொடர்புடைய தொடக்க ஒருங்கிணைப்பை இறுதி ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து கழிக்கவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்

ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானுக்கு, விளிம்புகளில் உள்ள அனைத்து டைஹெட்ரல் கோணங்களும் மற்றும் செங்குத்துகளில் உள்ள அனைத்து முக்கோண கோணங்களும் சமம்

டெட்ராஹெட்ரான் 4 முகங்கள், 4 செங்குத்துகள் மற்றும் 6 விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானுக்கான அடிப்படை சூத்திரங்கள் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

எங்கே:
எஸ் - ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் மேற்பரப்பு பகுதி
வி - தொகுதி
h - அடித்தளத்திற்கு உயரம் குறைக்கப்பட்டது
r - டெட்ராஹெட்ரானில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம்
ஆர் - சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் ஆரம்
a - விலா நீளம்

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகள்

முடிவு.
ஒரு முக்கோண பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் சமமாக இருப்பதால், அது வழக்கமானதாகும். வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பரப்பளவு S \u003d a 2 √3.
பிறகு
எஸ் \u003d 3√3

பதில்: 3√3

ஒரு பணி.
வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அனைத்து விளிம்புகளும் 4 செ.மீ. பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்

முடிவு.
ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது, இது சுற்றறிக்கை வட்டத்தின் மையமாகவும் உள்ளது, பின்னர்

AO \u003d R \u003d √3 / 3 a
AO \u003d 4√3 / 3

எனவே பிரமிட் OM இன் உயரத்தை சரியான முக்கோண AOM இலிருந்து காணலாம்

AO 2 + OM 2 \u003d AM 2
OM 2 \u003d AM 2 - AO 2
OM 2 \u003d 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 \u003d 16 - 16/3
OM \u003d (32/3)
OM \u003d 4√2 / √3

பிரமிட்டின் அளவு V \u003d 1/3 Sh சூத்திரத்தால் காணப்படுகிறது
இந்த வழக்கில், அடித்தளத்தின் பரப்பளவு S \u003d √3 / 4 a 2 சூத்திரத்தால் காணப்படுகிறது

வி \u003d 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
வி \u003d 16√2 / 3

பதில்: 16√2 / 3 செ.மீ.

டெட்ராஹெட்ரானின் வரையறை

டெட்ராஹெட்ரான் - எளிமையான பாலிஹெட்ரல் உடல், அதன் முகங்களும் அடித்தளமும் முக்கோணங்கள்.

ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்

டெட்ராஹெட்ரான் நான்கு முகங்களைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் மூன்று பக்கங்களால் உருவாகின்றன. டெட்ராஹெட்ரான் நான்கு முனைகளைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் மூன்று விளிம்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

இந்த உடல் பல வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றின் வகைப்பாடு கீழே.

1. ஈக்வெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரான் - அவரது முகங்கள் அனைத்தும் ஒரே முக்கோணங்கள்;
2. ஆர்த்தோசென்ட்ரிக் டெட்ராஹெட்ரான் - ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் எதிர் முகத்திற்கு வரையப்பட்ட அனைத்து உயரங்களும் ஒரே நீளமாக இருக்கும்;
3. செவ்வக டெட்ராஹெட்ரான் - ஒரு உச்சியிலிருந்து வெளிப்படும் விளிம்புகள் ஒருவருக்கொருவர் 90 டிகிரி கோணத்தை உருவாக்குகின்றன;
4. கம்பி சட்டம்;
5. விகிதாசார;
6. செறிவு.

டெட்ராஹெட்ரான் தொகுதி சூத்திரங்கள்

கொடுக்கப்பட்ட உடலின் அளவை பல வழிகளில் காணலாம். அவற்றை இன்னும் விரிவாக ஆராய்வோம்.

திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு

டெட்ராஹெட்ரான் ஆயத்தொலைவுகளுடன் மூன்று திசையன்களில் கட்டப்பட்டால்:

A ⃗ \u003d (a x, a y, a z) \\ vec (a) \u003d (a_x, a_y, a_z)a= (a எக்ஸ்​ , a y​ , a z​ )
b \u003d (b x, b y, b z) \\ vec (b) \u003d (b_x, b_y, b_z)b= (b எக்ஸ்​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ \u003d (c x, c y, c z) \\ vec (c) \u003d (c_x, c_y, c_z)c= (c எக்ஸ்​ , c y​ , c z​ ) ,

இந்த டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு இந்த திசையன்களின் கலவையான தயாரிப்பு ஆகும், அதாவது இது போன்ற ஒரு தீர்மானிப்பான்:

V \u003d 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V \u003d \\ frac (1) (6) \\ cdot \\ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix )வி \u003d6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a எக்ஸ்​ b எக்ஸ்​ c எக்ஸ்​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

ஆக்டோஹெட்ரானின் நான்கு செங்குத்துகளின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்படுகின்றன. A (1, 4, 9) A (1,4,9) அ (1, 4, 9), பி (8, 7, 3) பி (8,7,3) பி (8, 7, 3), சி (1, 2, 3) சி (1,2,3) சி (1, 2, 3), டி (7, 12, 1) டி (7,12,1) டி (7, 1 2, 1)... அதன் அளவைக் கண்டறியவும்.

முடிவு

A (1, 4, 9) A (1,4,9) அ (1, 4, 9)
பி (8, 7, 3) பி (8,7,3) பி (8, 7, 3)
சி (1, 2, 3) சி (1,2,3) சி (1, 2, 3)
டி (7, 12, 1) டி (7,12,1) டி (7, 1 2, 1)

இந்த உடல் கட்டப்பட்ட திசையன்களின் ஆயங்களை தீர்மானிப்பதே முதல் படி.
இதைச் செய்ய, இரண்டு புள்ளிகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களை கழிப்பதன் மூலம் திசையனின் ஒவ்வொரு ஆயத்தையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையனின் ஆய அச்சுகள் ஒரு பி \\ \\ ஓவர்ரைட்ரோ (ஏபி) ஒரு பி, அதாவது, திசையிலிருந்து புள்ளியில் இருந்து இயக்கப்படுகிறது அ அ அந்த இடம் வரை பி பி பி, இவை புள்ளிகளின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் வேறுபாடுகள் பி பி பி மற்றும் அ அ:

AB → \u003d (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) \u003d (7, 3, - 6) \\ overrightarrow (AB) \u003d (8-1, 7-4, 3-9) \u003d (7, 3, -6)ஒரு பி= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → \u003d (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) \u003d (0, - 2, - 6) \\ overrightarrow (AC) \u003d (1-1, 2-4, 3-9) \u003d (0, - 2, -6)ஒரு சி= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → \u003d (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) \u003d (6, 8, - 8) \\ overrightarrow (AD) \u003d (7-1, 12-4, 1-9) \u003d (6, 8, -8)ஒரு டி= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

இப்போது இந்த திசையன்களின் கலப்பு உற்பத்தியைக் கண்டுபிடிப்போம், இதற்காக மூன்றாவது வரிசையை நிர்ணயிப்போம். A B → \u003d a ⃗ \\ overrightarrow (AB) \u003d \\ vec (a)ஒரு பி= a, A C \u003d b ⃗ \\ overrightarrow (AC) \u003d \\ vec (b)ஒரு சி= b, A D → \u003d c ⃗ \\ overrightarrow (AD) \u003d \\ vec (c)ஒரு டி= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ \u003d ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ \u003d 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - . a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix) \u003d \\ begin (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\\\ 0 & -2 & -6 \\\\ 6 & 8 & -8 \\\\ \\ end (vmatrix) \u003d 7 \\ cdot (-2) \\ cdot (-8) + 3 \\ cdot (-6) \\ cdot6 + (-6) \\ cdot0 \\ cdot8 - (-6) \\ cdot (-2) \\ cdot6 - 7 \\ cdot (-6) \\ cdot8 - 3 \\ cdot0 \\ cdot (-8) \u003d 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 \u003d 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a எக்ஸ்​ b எக்ஸ்​ cஎக்ஸ்​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

அதாவது, டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு:

$வி=61\cdot |$

பதில்

$44.8\text{செ.மீ.3 .}$

அதன் பக்கத்திலுள்ள ஒரு ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரானின் அளவிற்கான சூத்திரம்

இந்த சூத்திரம் ஒரு ஐசோஹெட்ரல் டெட்ராஹெட்ரானின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கு மட்டுமே செல்லுபடியாகும், அதாவது அனைத்து முகங்களும் ஒரே வழக்கமான முக்கோணங்களாக இருக்கும் டெட்ராஹெட்ரான்.

$வி=12\sqrt{2\cdot a^3}$

aa டெட்ராஹெட்ரானின் விளிம்பின் நீளம்.

டெட்ராஹெட்ரானின் பக்கத்தை சமமாகக் கொடுத்தால் அதன் அளவைத் தீர்மானிக்கவும் $11\text{செ.மீ..}$

முடிவு

$a=11$

மாற்று aa ஒரு டெட்ராஹெட்ரானின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தில்:

$வி=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{செ.மீ.3}}}}}$

பதில்

$156.8\text{செ.மீ.3 .}$