Теория вероятностей на ЕГЭ по математике может быть представлена как в виде простых задач на классическое определение вероятности, так и в виде достаточно сложных, на применение соответствующих теорем.

В этой части рассмотрим задачи, для решения которых достаточно применения определения вероятности. Иногда здесь мы будем применять также формулу для вычисления вероятности противоположного события. Хотя без этой формулы здесь можно обойтись, она все равно понадобится при решении следующих задач.

Теоретическая часть

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время наблюдения или испытания.

Пусть при проведении испытания (бросание монеты или кубика, вытягивание экзаменационного билета и т. д.) возможны равновозможных исходов. Например, при подбрасывании монеты число всех исходов равно 2, так как кроме выпадения «решки» или «орла» других исходов быть не может. При броске игрального кубика возможны 6 исходов, так как на верхней грани кубика равновозможно появление любого из чисел от 1 до 6. Пусть также некоторому событию А благоприятствуют исходов.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для этого события исходов к общему числу равновозможных исходов (это классическое определение вероятности). Пишем

Например, пусть событие А состоит в выпадении нечётного числа очков при бросании кубика. Всего возможны 6 исходов: выпадение на верхней грани кубика 1, 2, 3, 4, 5, 6. При этом благоприятными для события А являются исходы с выпадением 1, 3, 5. Таким образом, .

Заметим, что всегда выполняется двойное неравенство , поэтому вероятность любого события А лежит на отрезке , то есть . Если у вас в ответе вероятность получается больше единицы, значит, вы где-то ошиблись и решение нужно перепроверить.

События А и В называются противоположными друг другу, если любой исход благоприятен ровно для одного из них.

Например, при бросании кубика событие «выпало нечётное число» является противоположным событию «выпало чётное число».

Событие, противоположное событию А, обозначают. Из определения противоположных событий следует
, значит,
.

Задачи о выборе объектов из набора

Задача 1. В чемпионате мира участвуют 24 команды. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по шесть команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе?

Общее число исходов равно числу карточек – их 24. Благоприятных исходов 6 (так как номер 3 написан на шести карточках). Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Задача 2. В урне 14 красных, 9 жёлтых и 7 зелёных шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?

Общее число исходов равно числу шаров: 14 + 9 + 7 = 30. Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно 9. Искомая вероятность равна равна .

Задача 3. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной и больше 5?

Исходом здесь является нажатие определённой клавиши, поэтому всего имеется 10 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют исходы, означающие нажатие клавиши 6 или 8. Таких исходов два. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,2.

Задача 4 . Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 4 до 23 делится на три?

На отрезке от 4 до 23 имеется 23 – 4 + 1 = 20 натуральных чисел, значит, всего возможны 20 исходов. На этом отрезке кратны трём следующие числа: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Всего таких чисел 6, поэтому рассматриваемому событию благоприятствуют 6 исходов. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,3.

Задача 5. Из 20 билетов, предлагаемых на экзамене, школьник может ответить только на 17. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить на выбранный наугад билет?

1 -й способ.

Так как школьник может ответить на 17 билетов, то на 3 билета он ответить не может. Вероятность получить один из этих билетов по определению равна .

2-й способ.

Обозначим через А событие «школьник может ответить на билет». Тогда . Вероятность противоположного события равна =1 – 0,85 = 0,15.

Ответ: 0,15.

Задача 6 . В чемпионате по художественной гимнастике участвуют 20 спортсменок: 6 из России, 5 из Германии, остальные – из Франции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая седьмой, окажется из Франции.

Всего 20 спортсменок, у всех равные шансы выступать седьмой. Поэтому имеются 20 равновероятных исходов. Из Франции 20 – 6 – 5 = 9 спортсменок, поэтому имеются 9 благоприятных для указанного события исходов. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,45.

Задача 7. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 50 докладов – первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Н. окажется запланированным на последний день конференции?

Сначала найдём, сколько докладов запланировано на последний день. На первые три дня запланировано докладов. Остаются ещё 50 – 36 = 14 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано докладов.

Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора Н. Всего таких равновозможных исходов 50. Благоприятствуют указанному событию 7 исходов (последние 7 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,14.

Задача 8 . На борту самолёта 10 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажиров высокого роста. Пассажир К. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру К. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.

Исход в этой задаче – выбор места. Всего имеется 200 равновозможных исходов. Благоприятствуют событию «выбранное место удобное» 15 + 10 = 25 исходов. Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,125.

Задача 9 . Из 1000 собранных на заводе кофемолок 7 штук бракованных. Эксперт проверяет одну наугад выбранную кофемолку из этой 1000. Найдите вероятность того, что проверяемая кофемолка окажется бракованной.

При выборе кофемолки наугад возможны 1000 исходов, событию А «выбранная кофемолка бракованная» благоприятны 7 исходов. По определению вероятности .

Ответ: 0,007.

Задача 10. Завод производит холодильники. В среднем на 100 качественных холодильников приходится 15 холодильников со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленный холодильник окажется качественным. Результат округлите до сотых.

Эта задача похожа на предыдущую. Однако формулировка «на 100 качественных холодильников приходится 15 с дефектами» указывает нам, что дефектные 15 штук не входят в 100 качественных . Поэтому общее число исходов равно 100 + 15 =115 (равно общему числу холодильников), благоприятных исходов 100. Искомая вероятность равна . Для подсчёта приближённого значения дроби удобно воспользоваться делением уголком. Получаем 0,869…, что 0,87.

Ответ: 0,87.

Задача 11 . Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе Максим Зайцев. Найдите вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом из России.

Как и в предыдущей задаче, необходимо внимательно прочитать условие и понять, что является исходом, а что – благоприятным исходом (так, неосмысленное применение формулы вероятности приводит к неправильному ответу ).

Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16 – 1 = 15 равновероятных исходов. Благоприятный исход – соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 – 1 = 6 (из числа россиян исключаем самого Максима). Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,4.

Задача 12. Футбольную секцию посещают 33 человека, среди них два брата – Антон и Дмитрий. Посещающих секцию случайным образом делят на три команды по 11 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Антон и Дмитрий окажутся в одной команде.

Сформируем команды, последовательно помещая футболистов на свободные места, при этом начнем с Антона и Дмитрия. Сначала поместим Антона на случайно выбранное место из свободных 33. Теперь помещаем на свободное место Дмитрия (исходом будем считать выбор места для него). Всего имеется 32 свободных места (одно уже занял Антон), поэтому всего возможны 32 исхода. В одной команде с Антоном остается 10 свободных мест, поэтому событию «Антон и Дмитрий в одной команде» благоприятствуют 10 исходов. Вероятность этого события равна .

Ответ: 0,3125.

Задача 13 . Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 11, но не дойдя до отметки 2 часа.

Условно циферблат можно разделить на 12 секторов, располагающихся между отметками соседних чисел (между 12 и 1, 1 и 2, 2 и 3, …, 11 и 12). Исходом мы будем считать остановку часовой стрелки в одном из указанных секторов. Всего есть 12 равновозможных исходов. Указанному событию благоприятствуют три исхода (сектора между 11 и 12, 12 и 1, 1 и 2). Искомая вероятность равна .

Ответ: 0,25.

Подведем итог

После изучения материала по решению простых задач по теории вероятностей рекомендую выполнить задачи для самостоятельного решения, которые мы публикуем на нашем канале Telegram . Вы также можете проверить правильность их выполнения, внеся свои ответы в предлагаемую форму .

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник “Подготовка к ЕГЭ. Математика.Теория вероятностей”. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова

План проведения семинара-практикума для учителей математики ОУ города Тулы по теме «Решение заданий ЕГЭ по математике из разделов: комбинаторика, теория вероятностей. Методика обучения»

Время проведения : 12 00 ; 15 00

Место проведения : МБОУ «Лицей № 1», каб. № 8

I . Решение задач на вероятность

1. Решение задач на классическое определение вероятности

Мы, как учителя, уже знаем, что основные типы задач в ЕГЭ по теории вероятностей основаны на классическом определении вероятности. Вспомним, что называется вероятностью события?

Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу исходов.

В нашем научно-методическом объединении учителей математики выработана общая схема решения задач на вероятность. Вашему вниманию я ее хочу представить. Кстати, мы поделились своим опытом работы, и у вас в материалах, которые мы вашему вниманию дали для совместного обсуждения решения задач, мы эту схему дали. Тем не менее, я хочу ее озвучить.

На наш взгляд эта схема помогает быстрее логически разложить все по полочкам, и после этого задача поддается решению гораздо легче и для учителя, и для учащихся.

Так, я хочу разобрать подробно задачу следующего содержания.

Мне хотелось совместно с вами побеседовать, чтобы объяснить методику, как до ребят донести такое решение, в процессе которого ребята бы поняли эту типовую задачу, и в последствии они бы сами в этих задачах разбирались.

Что в данной задаче является случайным экспериментом? Теперь нам необходимо вычленить элементарное событие в этом эксперименте. Что является этим элементарным событием? Перечислим их.

Вопросы по задаче?

Уважаемые коллеги, вы тоже, очевидно, рассматривали задачи на вероятность с игральными кубиками. Думаю, нам надо разобрать ее, потому как есть свои нюансы. Давайте будем разбирать данную задачу согласно той схеме, которую мы вам предложили. Так как на каждой грани кубика есть число от 1 до 6, то элементарными события представляют собой числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Мы нашли, что общее число элементарных событий равно 6. Определим, какие элементарные события благоприятствуют событию . Благоприятствуют этому событию всего два события – 5 и 6 (так как из условия следует, что должно выпасть 5 и 6 очков).

Пояснить, что все элементарные события равновозможны. Какие будут вопросы по задаче?

Как вы понимаете, что монета симметрична? Давайте разберемся в этом, иногда определенные фразы вызывают недопонимание. Давайте в понятийном режиме разберемся в этой задаче. Давайте разберемся с вами в том эксперименте, который описан, какие могут быть элементарные исходы. Вы все представляете, где орел, где решка? Какие могут быть варианты выпадения? Есть другие события? Сколько общее число событий? По задаче известно, что орел выпал ровно один раз. Значит, данному событию благоприятствуют элементарные события из этих четырех ОР и РО, два раза уже такого быть не может. Используем формулу, по которой находится вероятность события. Напомним, что ответы в части В должны представлять собой либо целое число, либо десятичную дробь.

Показываем на интерактивной доске. Читаем задачу. Что является элементарным исходом в этом опыте? Уточнить, что пара упорядоченная – то есть число выпало на первом кубике, и на втором кубике. В любой задаче есть такие моменты, когда нужно выбирать рациональные методы, формы и представлять решение в виде таблиц, схем и т.д. В данной задаче удобно использовать такую таблицу. Я вам даю уже готовое решение, но в ходе решения выясняется, что в данной задаче рационально использовать решение в виде таблицы. Объясняем, что обозначает таблица. Вам понятно, почему в столбцах написано 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Начертим квадрат. Строки соответствуют результатам первого броска – их шесть, потому что у кубика шесть граней. Как и столбцы. В каждой клетке напишем сумму выпавших очков. Показываем заполненную таблицу. Закрасим клетки, где сумма равна восьми (так как это требуется в условии).

Я полагаю, что следующую задачу, после разбора предыдущих, можно дать ребятам решить самостоятельно.

В следующих задачах нет нужды выписывать все элементарные исходы. Достаточно просто подсчитать их количество.

(Без решения) Такую задачу я давал решить ребятам самостоятельно. Алгоритм решения задачи

1. Определяем, в чем состоит случайный эксперимент и что является случайным событием.

2. Находим общее число элементарных событий.

3. Находим число событий, благоприятствующих событию, указанному в условии задачи.

4. Находим вероятность события с использованием формулы .

Учащимся можно задать вопрос, если 1000 аккумуляторов поступило в продажу, а среди них 6 неисправных, то выбранный аккумулятор определяется как? Чем он является в нашей задаче? Дальше я задаю вопрос о нахождении, что здесь используется в качестве числа и предлагаю найти это число . Дальше спрашиваю, что является здесь событием? Сколько аккумуляторов благоприятствует выполнению события? Далее, используя формулу, вычисляем данную вероятность.

Здесь ребятам можно предложить второй способ решения. Давайте обсудим, какой может быть этот способ?

1. Какое событие можно рассмотреть теперь?

2. Как найти вероятность данного события?

Ребятам нужно сказать об этих формулах. Они следующие

Восьмую задачу можно предложить ребятам самостоятельно, так как она аналогично шестой задаче. Ее им можно предложить в качестве самостоятельной работы, или на карточке у доски.

Данную задачу можно решить применительно к олимпиаде, которая сейчас проходит. Несмотря на то, что в задачах участвуют разные события, однако же задачи являются типовыми.

2. Простейшие правила и формулы вычисления вероятностей (противоположные события, сумма событий, произведение событий)

Это задача из сборника ЕГЭ. Решение выводим на доску. Какие мы вопросы должны поставить перед учащимися, чтобы разобрать эту задачу.

1. Сколько было автоматов? Раз два автомата, то событий уже два. Задаю вопрос детям – каково будет событие ? Каково будет второе событие?

2. – это вероятность события. Нам ее вычислять не нужно, так как она дана в условии. По условию задачи вероятность того, что «кофе закончится в обоих автоматах», равна 0,12. Было событие А, было событие В. И появляется новое событие? Я детям задаю вопрос – какое? Это событие, когда в обоих автоматах заканчивается кофе. В данном случае, в теории вероятности это новое событие, которое называется пересечением двух событий А и В и обозначается это таким образом.

Воспользуемся формулой сложения вероятности. Формула следующая

Мы ее даем вам в справочном материале и ребятам можно давать эту формулу. Она позволяет находить вероятность суммы событий. У нас спрашивалась вероятность противоположного события, вероятность которого находится по формуле.

В задаче 13 используется понятие произведения событий, формула для нахождения вероятности которого приведена в приложении.

3. Задачи на применение дерева возможных вариантов

По условию задачи легко составить схему и найти указанные вероятности.

С помощью какого теоретического материала вы разбирали с учащимися решение задач такого рода? Использовали ли вы дерево возможных вариантов или использовали другие методы решения таких задач? Давали ли вы понятие графов? В пятом или шестом классе у ребят есть такие задачи, разбор которых дает понятие графов.

Я бы хотел вас спросить, рассматривали вы с учащимися использование дерева возможных вариантов при решении задач на вероятность? Дело в том, что мало того, что в ЕГЭ есть такие задачи, но появились задачи достаточно сложные, которые мы сейчас будем решать.

Давайте обсудим с вами методику решения таких задач – если она совпадет с моей методикой, как я объясняю ребятам, то мне будет легче с вами работать, если нет, то я помогу вам разобраться с этой задачей.

Давайте мы с вами обсудим события. Какие события в задаче 17 можно вычленить?

При построении дерева на плоскости обозначается точка, которая называется корнем дерева. Далее мы начинаем рассматривать события и. Мы построим отрезок (в теории вероятностей он называется ветвь). По условию сказано, что первая фабрика выпускает 30% мобильных телефонов этой марки (какой? Той, которую они выпускают), значит, в данный момент я учащихся спрашиваю, чему равна вероятность выпуска первой фабрикой телефонов этой марки, тех, которые они выпускают? Так как событие есть выпуск телефона на первой фабрике, то вероятность этого события есть 30% или 0,3. Остальные телефоны выпущены на второй фабрике – мы строим второй отрезок, и вероятность этого события равна 0,7.

Учащимся задается вопрос – какого типа может быть телефон, выпущенный первой фабрикой? С дефектом или без дефекта. Какого вероятность того, что телефон, выпущенный первой фабрикой, имеет дефект? По условию сказано, что она равна 0,01. Вопрос: какова вероятность того, что телефон, выпущенный первой фабрикой, не имеет дефекта? Так как это событие противоположно данному, то его вероятность равна.

Требуется найти вероятность того, что телефон с дефектом. Он может быть с первой фабрики, а может быть и со второй. Тогда воспользуемся формулой сложения вероятностей и получим, что вся вероятность это есть сумма вероятностей того, что телефон с дефектом с первой фабрики, и что телефон с дефектом со второй фабрики. Вероятность того, что телефон имеет дефект и выпущен на первой фабрике найдем по формуле произведения вероятностей, которая приведена в приложении.

4. Одна из самых сложных задач из банка ЕГЭ на вероятность

Разберем, например, № 320199 из Банка заданий ФИПИ. Это одна из самых сложных задач В6.

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент З. должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов - математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку - 0,8, по иностранному языку - 0,7 и по обществознанию - 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и лингвистике, и коммерции сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов.

Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 70 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.

Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.

Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна.

Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 70 баллов равна. В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна

Это ответ.

II . Решение комбинаторных задач

1. Число сочетаний и факториалы

Давайте кратко разберем теоретический материал.

Выражение n ! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n ! = 1 · 2 · 3 · ... · n .

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1. Такое выражение бывает редко, но все же встречается в задачах по теории вероятностей.

Определение

Пусть имеется объектов (карандашей, конфет, чего угодно), из которых требуется выбрать ровно различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из элементов по. Это число обозначается и считается по специальной формуле.

Обозначение

Что дает нам эта формула? На самом деле, без нее не решается практически ни одна серьезная задача.

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача

У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Решение

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Ответ

Подставляем в формулу. Мы все задачи решить не можем, но типовые задачи мы выписали, они представлены вашему вниманию.

Задача

В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:

Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.

Ответ

190

Задача

На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги в количестве 200 000 рублей направил на приобретение другого оборудования. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

Решение

В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17 серверов, а директору надо k = 14 серверов. Считаем число сочетаний:

Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.

Ответ

680

Эта задача капризная, так как в этой задаче есть лишние данные. Многих учащихся они сбивают с правильного решения. Всего серверов было 17, а директору необходимо выбрать 14. Подставляя в формулу, получаем 680 комбинаций.

2. Закон умножения

Определение

Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие и B способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле: C = A · B .

Задача

У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить ручку за 11 рублей. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

Решение

Итак, сначала Петя достает k = 1 монету из n = 4 имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно C 4 1 = ... = 4.

Затем Петя снова лезет в карман и достает k = 1 монету из n = 2 имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно C 2 1 = ... = 2.

Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно C = 4 · 2 = 8.

Ответ

Задача

В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Решение

Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C 8 2 = ... = 28 различными способами.

Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равно C 12 2 = ... = 66.

Поскольку выбор белого шара и выбор черного - события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: C = 28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.

Ответ

1848

Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых - при условии, что все они независимы.

3. Закон сложения

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.

Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» - это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Аналогично, события «Выбранный наугад шар - белый» и «Выбранный наугад шар - черный» также являются взаимоисключающими.

Определение

Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.

Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

Можно сказать, что закон сложения - это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения - это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Задача

В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Решение

Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты - взаимоисключающие.

В первом случае мальчику предстоит выбирать k = 2 черных шара из n = 9 имеющихся. Число способов сделать это равно C 9 2 = ... = 36.

Аналогично, во втором случае выбираем k = 2 красных шара из n = 7 возможных. Число способов равно C 7 2 = ... = 21.

Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами - взаимоисключающие, по закону сложения имеем: X = 36 + 21 = 57.

Ответ 57

Задача

В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?

Решение

По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k = 3.

В случае с розами придется выбирать из n = 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно C 15 3 = ... = 455. Для тюльпанов же n = 18, а число сочетаний - C 18 3 = ... = 816.

Поскольку розы и тюльпаны - это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов X = 455 + 816 = 1271. Это и есть ответ.

Ответ

1271

Дополнительные условия и ограничения

Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:

Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?

Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся - дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).

Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из n = 5 − 1 = 4 элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента. Таким образом, вместо C 5 3 надо считать C 4 2 .

Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:

Задача

В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?

Решение

Итак, есть группа из n = 20 студентов. Но выбрать надо лишь k = 4 из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний C 20 4 .

Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа n и k на 2. Имеем:

Ответ

153

Задача

У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Решение

Итак, есть n = 8 монет. Петя перекладывает k = 3 монеты, из которых 2 - десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа n и k надо уменьшить на 2. Имеем:

Ответ

III . Решение комбинированных задач на применение формул комбинаторики и теории вероятностей

Задача

В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Решение

Предположим, что обе двухрублевые монеты действительно оказались в одном кармане, тогда возможны 2 варианта: либо Петя их вообще не перекладывал, либо переложил сразу обе.

В первом случае, когда двухрублевые монеты не перекладывались, придется переложить 3 монеты по рублю. Поскольку всего таких монет 4, число способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 3: C 4 3 .

Во втором случае, когда обе двухрублевые монеты были переложены, придется переложить еще одну рублевую монету. Ее надо выбрать из 4 существующих, и число способов так поступить равно числу сочетаний из 4 по 1: C 4 1 .

Теперь найдем общее число способов переложить монеты. Поскольку всего монет 4 + 2 = 6, а выбрать надо лишь 3 из них, общее число вариантов равно числу сочетаний из 6 по 3: C 6 3 .

Осталось найти вероятность:

Ответ

0,4

Показать на интерактивной доске. Уделить внимание на то, что по условию задачи Петя, не глядя, переложил три монеты в один карман. Мы, отвечая на этот вопрос, можем предположить, что две двухрублевые монеты действительно остались в одном кармане. Сослаться на формулу сложения вероятностей. Показать еще раз формулу.

Задача

В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение

Чтобы пятирублевые монеты лежали в разных карманах, надо переложить только одну из них. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 2 по 1: C 2 1 .

Поскольку всего Петя переложил 3 монеты, придется переложить еще 2 монеты по 10 рублей. Таких монет у Пети 4, поэтому количество способов равно числу сочетаний из 4 по 2: C 4 2 .

Осталось найти, сколько всего есть вариантов переложить 3 монеты из 6 имеющихся. Это количество, как и в предыдущей задаче, равно числу сочетаний из 6 по 3: C 6 3 .

Находим вероятность:

В последнем шаге мы умножали число способов выбрать двухрублевые монеты и число способов выбрать десятирублевые, поскольку данные события независимы.

Ответ

0,6

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что ее можно оформить ее в виде теоремы.

Теорема

Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k - число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

Решение

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

С тем же успехом можно считать число решек: k = 4 − 3 = 1. Ответ будет таким же.

Ответ

0,25

Задача [Рабочая тетрадь «ЕГЭ 2012 по математике. Задачи B6»]

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Решение

Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.

Ответ

0,125

Задача [Пробный ЕГЭ по математике 2012. Иркутск]

В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Решение

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p 2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Ответ

0,3125

В целях экономии вашего времени при подготовке с ребятами к ЕГЭ и ГИА, мы представили решения еще многих задач, которые вы можете выбирать и решать с ребятами.

Материалы ГИА, ЕГЭ различных лет, учебники и сайты.

IV. Справочный материал

Классическое определение вероятности

Случайное событие – любое событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате какого-либо опыта.

Вероятность события р равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n , т.е.

p=\frac{k}{n}

Формулы сложения и умножения теории вероятности

Событие \bar{A} называется противоположным событию A, если не произошло событие A.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

P(\bar{A}) + P(A) =1

• Вероятность события не может быть больше 1.
• Если вероятность события равна 0, то оно не случится.
• Если вероятность события равна 1, то оно произойдет.

Теорема сложения вероятностей:

«Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.»

P(A+B) = P(A) + P(B)

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Теорема умножения вероятностей

«Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.»

P(AB)=P(A)*P(B)

События называются несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

События называются совместными , если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Два случайных события А и В называются независимыми , если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

На заводе керамической плитки 5% произведённых плиток имеют дефект. При контроле качества продукции обнаруживается лишь 40% дефектных плиток. Остальные плитки отправляются на продажу. Найдите вероятность того, что выбранная случайным образом при покупке плитка не будет иметь дефектов. Ответ округлите до сотых.

Решение

При контроле качества продукции выявляется 40% дефектных плиток, которые составляют 5% от произведённых плиток, и они не поступают в продажу. Значит, не поступает в продажу 0,4 · 5% = 2% от произведённых плиток. Остальная часть произведённых плиток — 100% − 2% = 98% поступает в продажу.

Не имеет дефектов 100% − 95% произведённых плиток. Вероятность того, что купленная плитка не имеет дефекта, равна 95% : 98% = \frac{95}{98}\approx 0,97

Ответ

Условие

Вероятность того, что аккумулятор не заряжен, равна 0,15. Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит два таких аккумулятора. Найдите вероятность того, что оба аккумулятора в этой упаковке окажутся заряжены.

Решение

Вероятность того, что аккумулятор заряжён, равна 1-0,15 = 0,85. Найдём вероятность события «оба аккумулятора заряжены». Обозначим через A и B события «первый аккумулятор заряжён» и «второй аккумулятор заряжён». Получили P(A) = P(B) = 0,85. Событие «оба аккумулятора заряжены» — это пересечение событий A \cap B, его вероятность равна P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Вероятность того, что новая стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065 . В некотором городе в течение года было продано 1200 стиральных машин, из которых 72 штуки было передано в гарантийную мастерскую. Определите, насколько отличается относительная частота наступления события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение

Частота события «стиральная машина в течение года поступит в гарантийный ремонт» равна \frac{72}{1200} = 0,06. От вероятности она отличается на 0,065-0,06=0,005.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Вероятность того, что ручка бракованная, равна 0,05 . Покупатель в магазине приобретает случайную упаковку, которая содержит две ручки. Найдите вероятность того, что обе ручки в этой упаковке окажутся исправными.

Решение

Вероятность того, что ручка исправная, равна 1-0,05 = 0,95. Найдём вероятность события «обе ручки исправны». Обозначим через A и B события «первая ручка исправна» и «вторая ручка исправна». Получили P(A) = P(B) = 0,95. Событие «обе ручки исправны» — это пересечение событий A\cap B, его вероятность равна P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён лабиринт. Жук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти в обратном направлении жук не может, поэтому на каждой развилке он выбирает один из путей, в котором еще не был. С какой вероятностью жук придет к выходу Д, если выбор дальнейшего пути является случайным.

Решение

Расставим на перекрёстках стрелки в направлениях, по которым может двигаться жук (см. рис.).

Выберем на каждом из перекрёстков одно направление из двух возможных и будем считать, что при попадании на перекрёсток жук будет двигаться по выбранному нами направлению.

Чтобы жук достиг выхода Д, нужно, чтобы на каждом перекрёстке было выбрано направление, обозначенное сплошной красной линией. Всего выбор направления делается 4 раза, каждый раз независимо от предыдущего выбора. Вероятность того, что каждый раз выбрана сплошная красная стрелка, равна \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

В секции 16 спортсменок, среди них две подруги — Оля и Маша. Спортсменок случайным образом распределяют по 4 равным группам. Найдите вероятность того, что Оля и Маша попадут в одну группу.