يمكن تقديم نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات في شكل مشاكل بسيطة حول التعريف الكلاسيكي للاحتمال، وفي شكل مشاكل معقدة للغاية في تطبيق النظريات المقابلة.

في هذا الجزء، سننظر في المسائل التي يكفي فيها استخدام تعريف الاحتمال. في بعض الأحيان، سنستخدم هنا أيضًا صيغة لحساب احتمالية الحدث المعاكس. على الرغم من أنه يمكنك الاستغناء عن هذه الصيغة هنا، إلا أنك ستظل بحاجة إليها عند حل المشكلات التالية.

الجزء النظري

العشوائي هو حدث قد يحدث أو لا يحدث (من المستحيل التنبؤ به مسبقًا) أثناء المراقبة أو الاختبار.

يجب أن تكون هناك نتائج محتملة متساوية عند إجراء الاختبار (رمي عملة معدنية أو حجر نرد، أو رسم بطاقة امتحان، وما إلى ذلك). على سبيل المثال، عند رمي عملة معدنية، يكون عدد النتائج كلها 2، حيث لا يمكن أن يكون هناك أي نتائج أخرى غير الصورة أو الكتابة. عند رمي حجر النرد، من الممكن أن تكون هناك 6 نتائج، حيث أن أي رقم من 1 إلى 6 من الممكن أن يظهر على الوجه العلوي للنرد. ولندع أيضًا بعض الأحداث "أ" تكون مفضلة من خلال النتائج.

احتمال الحدث أ هو نسبة عدد النتائج المفضلة لهذا الحدث إلى العدد الإجمالي للنتائج المحتملة على قدم المساواة (هذا هو التعريف الكلاسيكي للاحتمال). نحن نكتب

على سبيل المثال، لنفترض أن الحدث A يتكون من الحصول على عدد فردي من النقاط عند رمي حجر النرد. هناك إجمالي 6 نتائج محتملة: 1، 2، 3، 4، 5، 6 تظهر على الوجه العلوي للمكعب، في هذه الحالة، النتائج التي تظهر 1، 3، 5 تكون مناسبة للحدث أ. .

لاحظ أن المتباينة المزدوجة تتحقق دائمًا، وبالتالي فإن احتمال أي حدث A يقع على الفترة، أي . إذا كانت إجابتك تحتوي على احتمال أكبر من واحد، فهذا يعني أنك ارتكبت خطأً ما في مكان ما وأن الحل يحتاج إلى التحقق مرة أخرى.

يتم استدعاء الأحداث A و B عكسبعضهما البعض إذا كانت أي نتيجة في صالح أحدهما بالضبط.

على سبيل المثال، عند رمي حجر النرد، فإن حدث "رمي رقم فردي" هو عكس الحدث "رمي رقم زوجي".

تم تحديد الحدث المقابل للحدث A. ويترتب على تعريف الأحداث المعاكسة
، وسائل،
.

مشاكل في اختيار الكائنات من مجموعة

مهمة 1.هناك 24 فريقًا يشارك في بطولة العالم. باستخدام القرعة، يجب تقسيمهم إلى أربع مجموعات تضم كل منها ستة فرق. توجد بطاقات بها أرقام جماعية مختلطة في الصندوق:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

يقوم قادة الفريق برسم بطاقة واحدة لكل منهم. ما هو احتمال تواجد المنتخب الروسي في المجموعة الثالثة؟

العدد الإجمالي للنتائج يساوي عدد البطاقات - هناك 24. هناك 6 نتائج إيجابية (نظرًا لأن الرقم 3 مكتوب على ست بطاقات). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.25.

المهمة 2.هناك 14 كرة حمراء و9 صفراء و7 كرات خضراء في الجرة. يتم سحب كرة واحدة بشكل عشوائي من الجرة. ما هو احتمال أن تكون هذه الكرة صفراء؟

إجمالي عدد النتائج يساوي عدد الكرات: 14 + 9 + 7 = 30. عدد النتائج المفضلة لهذا الحدث هو 9. الاحتمال المطلوب يساوي .

المهمة 3.يوجد 10 أرقام على لوحة مفاتيح الهاتف، من 0 إلى 9. ما احتمال أن يكون الرقم الذي يتم الضغط عليه عشوائيًا زوجيًا وأكبر من 5؟

النتيجة هنا هي الضغط على مفتاح معين، إذن هناك إجمالي 10 نتائج محتملة متساوية. يتم تفضيل الحدث المحدد من خلال النتائج التي تعني الضغط على المفتاح 6 أو 8. وهناك نتيجتان من هذا القبيل. الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.2.

المشكلة 4. ما احتمال أن يكون عدد طبيعي تم اختياره عشوائيًا من 4 إلى 23 يقبل القسمة على ثلاثة؟

في القطعة من 4 إلى 23 يوجد 23 - 4 + 1 = 20 عدد طبيعي، مما يعني أن هناك إجمالي 20 نتيجة محتملة. في هذا الجزء، الأرقام التالية هي مضاعفات الثلاثة: 6، 9، 12، 15، 18، 21. هناك 6 أرقام من هذا القبيل في المجموع، وبالتالي فإن الحدث المعني مفضل بـ 6 نتائج. الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.3.

المهمة 5.من بين الـ 20 تذكرة المقدمة في الامتحان، يستطيع الطالب الإجابة على 17 فقط. ما احتمال ألا يتمكن الطالب من الإجابة على التذكرة التي تم اختيارها عشوائيًا؟

الطريقة الأولى.

بما أن الطالب يمكنه الإجابة على 17 تذكرة، فلا يمكنه الإجابة على 3 تذاكر. احتمال الحصول على إحدى هذه التذاكر يساوي بحكم التعريف .

الطريقة الثانية.

دعونا نشير بالحرف A إلى الحدث "يمكن للطالب الإجابة على التذكرة". ثم . احتمال الحدث المعاكس = 1 - 0.85 = 0.15.

الجواب: 0.15.

المشكلة 6. ويشارك في بطولة الجمباز الإيقاعي 20 لاعبا: 6 من روسيا، و5 من ألمانيا، والباقي من فرنسا. يتم تحديد الترتيب الذي يؤدي به لاعبو الجمباز بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون الرياضي المنافس في المركز السابع من فرنسا.

هناك 20 رياضيًا في المجمل، كل منهم لديه فرصة متساوية للمنافسة في المركز السابع. وبالتالي، هناك 20 نتيجة محتملة متساوية. هناك 20 – 6 – 5 = 9 رياضيين من فرنسا، وبالتالي هناك 9 نتائج إيجابية للحدث المحدد. الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.45.

المهمة 7.ويعقد المؤتمر العلمي على مدى 5 أيام. تم التخطيط لعدد 50 تقريرًا - الأيام الثلاثة الأولى تحتوي على 12 تقريرًا لكل منها، ويتم توزيع الباقي بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير عن طريق القرعة. ما هو احتمال أن يتم تحديد موعد لتقرير البروفيسور ن. في اليوم الأخير من المؤتمر؟

أولاً، دعنا نتعرف على عدد التقارير التي تمت جدولتها لليوم الأخير. يتم جدولة العروض التقديمية خلال الأيام الثلاثة الأولى. لا يزال هناك 50 – 36 = 14 تقريرًا متبقيًا، يتم توزيعها بالتساوي بين اليومين المتبقيين، لذلك هناك تقارير مجدولة في اليوم الأخير.

سنعتبر النتيجة هي الرقم التسلسلي لتقرير البروفيسور ن. هناك 50 نتيجة محتملة متساوية، هناك 7 نتائج تفضل الحدث المحدد (آخر 7 أرقام في قائمة التقارير). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.14.

المشكلة 8. ويوجد على متن الطائرة 10 مقاعد بجوار مخارج الطوارئ و15 مقعداً خلف الحواجز الفاصلة بين المقصورات. المقاعد المتبقية غير مريحة للركاب طويل القامة. الراكب ك. طويل القامة. أوجد احتمال أنه عند تسجيل الوصول، إذا تم اختيار مقعد بشكل عشوائي، سيحصل الراكب K على مقعد مريح إذا كان هناك 200 مقعد على متن الطائرة.

النتيجة في هذه المهمة هي اختيار الموقع. هناك إجمالي 200 نتيجة محتملة متساوية. يتم تفضيل حدث "المكان المختار مناسب" بـ 15 + 10 = 25 نتيجة. الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.125.

المشكلة 9. من بين 1000 مطحنة قهوة تم تجميعها في المصنع، كانت 7 منها معيبة. يقوم أحد الخبراء باختبار مطحنة قهوة واحدة تم اختيارها عشوائيًا من بين هذه المطاحن الـ 1000. أوجد احتمال أن تكون مطحنة القهوة التي يتم اختبارها معيبة.

عند اختيار مطحنة القهوة بشكل عشوائي، من الممكن الحصول على 1000 نتيجة؛ بالنسبة للحدث أ "مطحنة القهوة المختارة معيبة"، تكون 7 نتائج مفضلة. حسب تعريف الاحتمال.

الجواب: 0.007.

المشكلة 10.ينتج المصنع ثلاجات. في المتوسط، لكل 100 ثلاجة عالية الجودة، هناك 15 ثلاجة بها عيوب مخفية. أوجد احتمال أن تكون الثلاجة المشتراة ذات جودة عالية. تقريب النتيجة إلى المئات.

هذه المهمة مشابهة للمهمة السابقة. ومع ذلك، فإن الصيغة "لكل 100 ثلاجة عالية الجودة، هناك 15 ثلاجة بها عيوب" تشير لنا إلى أن لا يتم تضمين 15 قطعة معيبة في 100 قطعة ذات جودة. وبالتالي فإن إجمالي عدد النتائج هو 100 + 15 = 115 (يساوي إجمالي عدد الثلاجات)، وهناك 100 نتيجة إيجابية، والاحتمال المطلوب يساوي . لحساب القيمة التقريبية للكسر، من المناسب استخدام تقسيم الزاوية. نحصل على 0.869... وهو 0.87.

الجواب: 0.87.

المشكلة 11. قبل بدء الجولة الأولى من بطولة التنس، يتم تقسيم المشاركين بشكل عشوائي إلى أزواج باستخدام القرعة. ويشارك في البطولة 16 لاعب تنس، من بينهم 7 مشاركين من روسيا، من بينهم مكسيم زايتسيف. أوجد احتمال أن يلعب مكسيم زايتسيف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس من روسيا.

كما هو الحال في المهمة السابقة، تحتاج إلى قراءة الشرط بعناية وفهم ما هي النتيجة وما هي النتيجة الإيجابية (على سبيل المثال، يؤدي التطبيق غير المدروس لصيغة الاحتمال إلى إجابة غير صحيحة).

هنا النتيجة هي خصم مكسيم زايتسيف. نظرًا لوجود 16 لاعب تنس إجمالاً، ولا يستطيع مكسيم اللعب ضد نفسه، فهناك 16 - 1 = 15 نتيجة محتملة متساوية. النتيجة الإيجابية هي خصم من روسيا. هناك 7 - 1 = 6 مثل هذه النتائج الإيجابية (نستبعد مكسيم نفسه من عدد الروس). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.4.

المشكلة 12.يحضر قسم كرة القدم 33 شخصًا، من بينهم شقيقان - أنطون وديمتري. يتم تقسيم الحاضرين في القسم بشكل عشوائي إلى ثلاثة فرق يتكون كل منها من 11 شخصًا. أوجد احتمال أن يكون أنطون وديمتري في نفس الفريق.

سنشكل فرقًا، ونضع اللاعبين بالتتابع في مقاعد فارغة، بدءًا من أنطون وديمتري. أولاً، لنضع أنطون في مكان تم اختياره عشوائيًا من المكان الـ 33 الحر. الآن نضع ديمتري في المكان الحر (سنعتبر اختيار المكان له هو النتيجة). هناك 32 مكانًا مجانيًا في المجمل (لقد حصل أنطون على مكان واحد بالفعل)، لذلك هناك 32 نتيجة محتملة في المجمل. هناك 10 أماكن فارغة متبقية في نفس الفريق مع أنطون، وبالتالي فإن حدث "أنطون وديمتري في نفس الفريق" مفضل بـ 10 نتائج. احتمال هذا الحدث هو .

الجواب: 0.3125.

المشكلة 13. تعطلت ساعة ميكانيكية ذات قرص مدته اثني عشر ساعة في مرحلة ما وتوقفت عن العمل. أوجد احتمال أن يتجمد عقرب الساعات ويصل إلى الساعة ١١ ولكن لا يصل إلى الساعة ٢.

تقليديًا، يمكن تقسيم القرص إلى 12 قطاعًا، تقع بين علامات الأرقام المجاورة (بين 12 و1، 1 و2، 2 و3، ...، 11 و12). سنعتبر النتيجة هي توقف عقرب الساعة في أحد القطاعات المشار إليها. هناك إجمالي 12 نتيجة محتملة متساوية. يتم تفضيل هذا الحدث من خلال ثلاث نتائج (القطاعات بين 11 و12، 12 و1، 1 و2). الاحتمال المطلوب يساوي .

الجواب: 0.25.

لخص

بعد دراسة المادة الخاصة بحل المسائل البسيطة في نظرية الاحتمالات، أوصي بإكمال مهام الحل المستقل التي ننشرها قناتنا على التلغرام. يمكنك أيضًا التحقق مما إذا كانت مكتملة بشكل صحيح عن طريق إدخال ملفك الإجابات في النموذج المقدم.

شكرا لك على مشاركة المقال على الشبكات الاجتماعية.

المصدر "التحضير لامتحان الدولة الموحدة. "الرياضيات. نظرية الاحتمالات. " حرره ف.ف. ليسينكو، S.Yu. كولابوخوفا

خطة لورشة عمل لمعلمي الرياضيات في المؤسسة التعليمية لمدينة تولا حول موضوع "حل مهام امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات من الأقسام: التوافقيات ونظرية الاحتمالات". منهجية التدريس"

تمضية الوقت: 12 00 ; 15 00

موقع: MBOU "Lyceum رقم 1"، مكتب. رقم 8

أنا. حل المسائل الاحتمالية

1. حل المشكلات التي تتضمن التحديد الكلاسيكي للاحتمالات

نحن، كمعلمين، نعلم بالفعل أن الأنواع الرئيسية من المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في نظرية الاحتمالات تعتمد على التعريف الكلاسيكي للاحتمالات. دعونا نتذكر ما يسمى احتمال وقوع حدث؟

احتمالية وقوع الحدثهي نسبة عدد النتائج المؤاتية لحدث معين إلى العدد الإجمالي للنتائج.

لقد طورت جمعيتنا العلمية والمنهجية لمعلمي الرياضيات مخططًا عامًا لحل المشكلات الاحتمالية. أود أن أقدمه لاهتمامكم. بالمناسبة، شاركنا تجربة عملنا، وفي المواد التي قدمناها لاهتمامكم للمناقشة المشتركة لحل المشكلات، قدمنا ​​هذا المخطط. ومع ذلك، أريد أن أعرب عن ذلك.

في رأينا، يساعد هذا المخطط على فرز كل شيء بشكل منطقي إلى أجزاء بسرعة، وبعد ذلك يمكن حل المشكلة بشكل أسهل بكثير لكل من المعلم والطلاب.

لذلك، أريد تحليل المهمة التالية بالتفصيل.

أردت أن أتحدث إليكم معًا لشرح المنهجية، وكيفية نقل مثل هذا الحل إلى الرجال، حيث سيفهم الأطفال هذه المشكلة النموذجية، وبعد ذلك سيفهمون هذه المشكلات بأنفسهم.

ما هي التجربة العشوائية في هذه المشكلة؟ الآن نحن بحاجة إلى عزل حدث أولي في هذه التجربة. ما هو هذا الحدث الابتدائي؟ دعونا قائمة لهم.

أسئلة حول المهمة؟

زملائي الأعزاء، من الواضح أنكم أيضًا قد فكرتم في المسائل الاحتمالية المتعلقة بالنرد. أعتقد أننا بحاجة إلى تحليلها، لأنها تحتوي على فروق دقيقة خاصة بها. دعنا نحلل هذه المشكلة وفقًا للمخطط الذي اقترحناه عليك. بما أن هناك رقمًا على كل جانب من جوانب المكعب من 1 إلى 6، فإن الأحداث الأولية هي الأرقام 1، 2، 3، 4، 5، 6. وجدنا أن إجمالي عدد الأحداث الأولية هو 6. دعونا نحدد أي الأحداث الأولية تفضل الحدث. هناك حدثان فقط يفضلان هذا الحدث - 5 و 6 (حيث أنه يتبع شرط سقوط 5 و 6 نقاط).

اشرح أن جميع الأحداث الأولية ممكنة على قدم المساواة. ما هي الأسئلة التي ستكون هناك حول المهمة؟

كيف تعرف أن العملة متماثلة؟ دعونا نوضح هذا، أحيانًا تسبب بعض العبارات سوء الفهم. دعونا نفهم هذه المشكلة من الناحية المفاهيمية. دعنا نتعرف معك في التجربة الموضحة على النتائج الأولية التي يمكن أن تكون عليها. هل لديكم أي فكرة عن مكان الرؤوس وأين الذيل؟ ما هي خيارات التسرب الممكنة؟ هل هناك أحداث أخرى؟ ما هو العدد الإجمالي للأحداث؟ وبحسب المشكلة فمن المعروف أن الرؤوس ظهرت مرة واحدة بالضبط. وهذا يعني أن هذا الحدثالأحداث الأولية من هذه العمليات الأربعة ومكاتب RO مواتية؛ وهذا لا يمكن أن يحدث مرتين. نحن نستخدم الصيغة التي تحسب احتمالية وقوع حدث ما. للتذكير، يجب أن تكون الإجابات في الجزء ب إما عددًا صحيحًا أو عددًا عشريًا.

نعرضها على السبورة التفاعلية. نقرأ المشكلة. ما هي النتيجة الأولية في هذه التجربة؟ وضح أن الزوج مرتب - أي أن الرقم وقع على القالب الأول وعلى القالب الثاني. في أي مشكلة، هناك لحظات تحتاج فيها إلى اختيار الأساليب والنماذج العقلانية وتقديم الحل في شكل جداول ورسوم بيانية وما إلى ذلك. في هذه المشكلة، من الملائم استخدام مثل هذا الجدول. أقدم لك حلاً جاهزًا، لكن خلال الحل اتضح أنه من المنطقي في هذه المشكلة استخدام الحل على شكل جدول. نفسر ما يعنيه الجدول. يمكنك أن تفهم لماذا تقول الأعمدة 1، 2، 3، 4، 5، 6.

لنرسم مربعًا. تتوافق الخطوط مع نتائج الرمية الأولى - هناك ستة منها، لأن النرد له ستة جوانب. وكذلك الأعمدة. في كل خلية نكتب مجموع النقاط المرسومة. نعرض الجدول المكتمل. لنقم بتلوين الخلايا التي يساوي مجموعها ثمانية (حيث أن هذا مطلوب في الشرط).

أعتقد أن المشكلة التالية، بعد تحليل المشكلات السابقة، يمكن أن تُعطى للأطفال لحلها بأنفسهم.

في المسائل التالية ليست هناك حاجة لكتابة جميع النتائج الأولية. يكفي أن نحسب عددهم ببساطة.

(لا يوجد حل) أعطيت هذه المشكلة للرجال ليحلوها بأنفسهم. خوارزمية لحل المشكلة

1. حدد مما تتكون التجربة العشوائية وما هو الحدث العشوائي.

2. أوجد العدد الإجمالي للأحداث الابتدائية.

3. ابحث عن عدد الأحداث المناسبة للحدث المحدد في بيان المشكلة.

4. أوجد احتمال وقوع حدث باستخدام الصيغة.

يمكن طرح سؤال على الطلاب: إذا تم طرح 1000 بطارية للبيع، ومن بينها 6 بطاريات معيبة، فكيف يتم تحديد البطارية المحددة؟ ما هو في مهمتنا؟ بعد ذلك أطرح سؤال العثور على ما يتم استخدامه كرقم هناوأقترح عليك العثور عليهرقم. بعد ذلك أسأل، ما هو الحدث هنا؟ كم عدد المجمعات المساهمة في هذا الحدث؟ بعد ذلك، باستخدام الصيغة، نحسب هذا الاحتمال.

هنا يمكن أن يُعرض على الرجال الحل الثاني. دعونا نناقش ما يمكن أن تكون هذه الطريقة؟

1. ما هو الحدث الذي يمكننا أن نفكر فيه الآن؟

2. كيفية العثور على احتمالية حدث معين؟

يجب إخبار الرجال عن هذه الصيغ. وهم على النحو التالي

ويمكن طرح المسألة الثامنة على الأطفال بمفردهم، فهي مشابهة للمسألة السادسة. ويمكن تقديمه لهم كعمل مستقل، أو على بطاقة على السبورة.

يمكن حل هذه المشكلة فيما يتعلق بالأولمبياد الذي يقام حاليًا. على الرغم من حقيقة أن المهام تنطوي على أحداث مختلفة، إلا أن المهام نموذجية.

2. أبسط القواعد والصيغ لحساب الاحتمالات (الأحداث المعاكسة، مجموع الأحداث، منتج الأحداث)

هذه مهمة من مجموعة امتحانات الدولة الموحدة. نعرض الحل على السبورة. ما هي الأسئلة التي يجب أن نطرحها على الطلاب لفهم هذه المشكلة؟

1. كم عدد الآلات الموجودة؟ إذا كان هناك جهازان، فهذا يعني أن هناك حدثين بالفعل. أطرح سؤالاً على الأطفال - كيف سيكون الحدث؟؟ ماذا سيكون الحدث الثاني؟

2. هو احتمال وقوع حدث. ولا نحتاج إلى حسابها، لأنها مذكورة في الشرط. وفقًا لشروط المشكلة، فإن احتمال "نفاذ القهوة في كلا الجهازين" هو 0.12. كان هناك الحدث أ، وكان هناك الحدث ب. وظهر حدث جديد؟ أطرح سؤالاً على الأطفال - أيهما؟ هذا هو الحدث عندما تنفد القهوة من كلا الجهازين. في هذه الحالة، في نظرية الاحتمالات، هذا حدث جديد، وهو ما يسمى تقاطع الحدثين A وB ويتم تعيينه بهذه الطريقة.

دعونا نستخدم صيغة الجمع الاحتمالية. الصيغة هي كما يلي

نقدمها لك في المادة المرجعية ويمكن إعطاء هذه الصيغة للرجال. انها تسمح لك للعثور على احتمال مجموع الأحداث. لقد سئلنا عن احتمال الحدث المعاكس، والذي يمكن إيجاد احتماله باستخدام الصيغة.

تستخدم المشكلة 13 مفهوم منتج الأحداث، وترد صيغة إيجاد احتمالها في الملحق.

3. المشاكل التي تنطوي على استخدام شجرة الخيارات الممكنة

بناءً على شروط المشكلة، من السهل رسم مخطط والعثور على الاحتمالات المشار إليها.

ما هي المواد النظرية التي استخدمتها لمساعدة الطلاب على حل مشاكل من هذا النوع؟ هل استخدمت شجرة محتملة أو طرقًا أخرى لحل مثل هذه المشكلات؟ هل أعطيت مفهوم الرسوم البيانية؟ في الصف الخامس أو السادس، يواجه الأطفال مثل هذه المشاكل، والتي يعطي تحليلها مفهوم الرسوم البيانية.

أود أن أسألك، هل فكرت أنت وطلابك في استخدام شجرة من الخيارات الممكنة عند حل المسائل الاحتمالية؟ والحقيقة هي أن مثل هذه المهام لا تقتصر على امتحان الدولة الموحدة فحسب، بل ظهرت مشاكل معقدة للغاية وسنحلها الآن.

دعونا نناقش معك منهجية حل مثل هذه المشكلات - إذا كانت تتوافق مع منهجيتي، كما أشرح للرجال، فسيكون من الأسهل بالنسبة لي العمل معك، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسوف أساعدك في التعامل مع هذه المشكلة.

دعونا نناقش الأحداث. ما الأحداث في المشكلة 17 التي يمكن عزلها؟

عند بناء شجرة على مستوى، يتم تحديد نقطة تسمى جذر الشجرة. بعد ذلك نبدأ في النظر في الأحداثو. سنقوم ببناء قطعة (في نظرية الاحتمالات يطلق عليها فرع). وفقا للشرط، يقال أن المصنع الأول ينتج 30٪ من الهواتف المحمولة من هذه العلامة التجارية (أي واحدة؟ تلك التي ينتجونها)، مما يعني أنني في هذه اللحظة أسأل الطلاب، ما هو احتمال المصنع الأول إنتاج الهواتف من هذه العلامة التجارية، تلك التي تنتجها؟ وبما أن الحدث هو إطلاق هاتف في المصنع الأول، فإن احتمالية هذا الحدث هي 30% أو 0.3. الهواتف المتبقية تم إنتاجها في المصنع الثاني - نحن نبني الجزء الثاني، واحتمال هذا الحدث هو 0.7.

يتم طرح السؤال على الطلاب: ما نوع الهاتف الذي يمكن أن ينتجه المصنع الأول؟ مع أو بدون عيب. ما هو احتمال أن يكون هناك عيب في هاتف من إنتاج المصنع الأول؟ الشرط يقول أنه يساوي 0.01. سؤال: ما هو احتمال أن لا يكون الهاتف الذي ينتجه المصنع الأول به عيب؟ وبما أن هذا الحدث معاكس للحدث المعطى، فإن احتماله متساوي.

عليك أن تجد احتمال أن يكون الهاتف معيبًا. يمكن أن يكون من المصنع الأول، وربما من الثاني. ثم نستخدم صيغة جمع الاحتمالات ونجد أن الاحتمال الكامل هو مجموع احتمالات أن الهاتف الذي به عيب من المصنع الأول، وأن الهاتف الذي به عيب من المصنع الثاني. سنجد احتمالية أن يكون الهاتف به عيب وتم إنتاجه في المصنع الأول باستخدام صيغة حاصل الضرب للاحتمالات الواردة في الملحق.

4. واحدة من أصعب المشاكل من بنك امتحان الدولة الموحدة على الاحتمالية

لننظر، على سبيل المثال، إلى الرقم 320199 من بنك مهام FIPI. هذه واحدة من أصعب المهام في B6.

للدخول إلى معهد تخصص "اللغويات"، يجب على المتقدم Z. تسجيل 70 نقطة على الأقل في امتحان الدولة الموحدة في كل موضوع من المواضيع الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية ولغة أجنبية. للتسجيل في تخصص "التجارة"، تحتاج إلى تسجيل 70 نقطة على الأقل في كل موضوع من المواضيع الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية والدراسات الاجتماعية.

احتمال حصول المتقدم Z. على 70 نقطة على الأقل في الرياضيات هو 0.6، باللغة الروسية - 0.8، باللغة الأجنبية - 0.7 وفي الدراسات الاجتماعية - 0.5.

أوجد احتمال أن يتمكن Z. من التسجيل في واحد على الأقل من التخصصين المذكورين.

لاحظ أن المشكلة لا تسأل عما إذا كان المتقدم المسمى Z. سيدرس اللغويات والتجارة في وقت واحد ويحصل على شهادتين. نحتاج هنا إلى إيجاد احتمال أن يتمكن Z. من التسجيل في واحد على الأقل من هذين التخصصين - أي أنه سوف يسجل العدد المطلوب من النقاط.

من أجل دخول واحد على الأقل من التخصصين، يجب أن يسجل Z. 70 نقطة على الأقل في الرياضيات. وباللغة الروسية. وأيضا - الدراسات الاجتماعية أو الأجنبية.

احتمال حصوله على 70 نقطة في الرياضيات هو 0.6.

احتمالية تسجيل النقاط في الرياضيات والروسية متساوية.

دعونا نتعامل مع الدراسات الأجنبية والاجتماعية. الخيارات التي تناسبنا هي عندما يكون المتقدم قد حصل على نقاط في الدراسات الاجتماعية أو الدراسات الأجنبية أو كليهما. الخيار غير مناسب عندما لا يسجل أي نقاط في أي من اللغة أو "المجتمع". وهذا يعني أن احتمال النجاح في الدراسات الاجتماعية أو اللغة الأجنبية بما لا يقل عن 70 نقطة متساوي. ونتيجة لذلك، فإن احتمال اجتياز الرياضيات والدراسات الروسية والاجتماعية أو الأجنبية متساوي

هذا هو الجواب.

ثانيا . حل المشاكل التوافقية

1. عدد التركيبات والمضروبات

دعونا نلقي نظرة سريعة على المادة النظرية.

تعبيرن ! تُقرأ على أنها "en-factorial" وتشير إلى منتج جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلىن شامل:ن ! = 1 · 2 · 3 · ... ·ن .

بالإضافة إلى ذلك، في الرياضيات، حسب التعريف، يعتقدون أن 0! = 1. مثل هذا التعبير نادر، لكنه لا يزال يحدث في مشاكل في نظرية الاحتمالات.

تعريف

دع هناك كائنات (أقلام رصاص، حلوى، أيًا كان) تريد تحديد كائنات مختلفة تمامًا منها. ثم يتم استدعاء عدد الخيارات لمثل هذا الاختيارعدد المجموعات من العناصر بواسطة. يتم تحديد هذا الرقم وحسابه باستخدام صيغة خاصة.

تعيين

ماذا تعطينا هذه الصيغة؟ في الواقع، لا يمكن حل أي مشكلة خطيرة تقريبًا بدونها.

للحصول على فهم أفضل، دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل التوافقية البسيطة:

مهمة

النادل لديه 6 أنواع من الشاي الأخضر. لإجراء حفل الشاي، تحتاج إلى تقديم 3 أنواع مختلفة من الشاي الأخضر بالضبط. بكم طريقة يستطيع النادل تلبية الطلب؟

حل

كل شيء بسيط هنا: يوجدن = 6 أصناف للاختيار من بينهاك = 3 أصناف. يمكن العثور على عدد المجموعات باستخدام الصيغة:

إجابة

استبدال في الصيغة. لا يمكننا حل جميع المشاكل، ولكننا قمنا بتدوين المشاكل النموذجية وعرضها على انتباهكم.

مهمة

في مجموعة مكونة من 20 طالبًا، يتعين عليك اختيار ممثلين اثنين للتحدث في المؤتمر. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل

مرة أخرى، هذا كل ما لدينان = 20 طالبًا، لكن عليك الاختيارك = 2 طلاب. أوجد عدد المجموعات:

يرجى ملاحظة: العوامل المضمنة في العوامل المختلفة موضحة باللون الأحمر. يمكن تقليل هذه المضاعفات دون ألم وبالتالي تقليل المبلغ الإجمالي للحسابات بشكل كبير.

إجابة

190

مهمة

تم تسليم 17 خادمًا به عيوب مختلفة إلى المستودع، بتكلفة أقل مرتين من الخوادم العادية. اشترى المدير 14 خادمًا من هذا القبيل للمدرسة، واستخدم الأموال المدخرة بمبلغ 200000 روبل لشراء معدات أخرى. بكم طريقة يمكن للمدير اختيار الخوادم المعيبة؟

حل

تحتوي المشكلة على الكثير من البيانات الإضافية التي يمكن أن تكون مربكة. أهم الحقائق: لا يوجد سوىن = 17 خادمًا، ويحتاج المخرجك = 14 خوادم. نحن نحسب عدد المجموعات:

تتم الإشارة مرة أخرى إلى المضاعفات التي يتم تخفيضها باللون الأحمر. في المجموع، كان هناك 680 مجموعة. بشكل عام، لدى المخرج الكثير للاختيار من بينها.

إجابة

680

هذه المهمة صعبة نظرًا لوجود بيانات إضافية في هذه المهمة. إنهم يقودون العديد من الطلاب إلى الضلال من اتخاذ القرار الصحيح. كان هناك 17 خادمًا إجمالاً، وكان على المدير اختيار 14 خادمًا. وبالاستبدال في الصيغة، نحصل على 680 مجموعة.

2. قانون الضرب

تعريف

قانون الضرب في التوافقيات: يتم ضرب عدد المجموعات (الطرق والمجموعات) في المجموعات المستقلة.

وبعبارة أخرى، فليكن هناكأ طرق لأداء إجراء واحد وب طرق لأداء إجراء آخر. والمسار أيضًا هو أن هذه الأفعال مستقلة، أي. لا ترتبط ببعضها البعض بأي شكل من الأشكال. ثم يمكنك العثور على عدد الطرق لتنفيذ الإجراءين الأول والثاني باستخدام الصيغة:ج = أ · ب .

مهمة

لدى بيتيا 4 عملات معدنية بقيمة 1 روبل وعملتين بقيمة 10 روبل. أخذ بيتيا، دون أن ينظر، من جيبه عملة معدنية واحدة بقيمة اسمية قدرها 1 روبل وعملة واحدة أخرى بقيمة اسمية قدرها 10 روبل لشراء قلم مقابل 11 روبل. بكم طريقة يمكنه اختيار هذه العملات؟

حل

لذلك، يحصل بيتيا أولاك = 1 عملة منن = 4 عملات معدنية متاحة بقيمة اسمية 1 روبل. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 4 1 = ... = 4.

ثم يصل بيتيا إلى جيبه مرة أخرى ويخرجهك = 1 عملة منن = 2 عملات معدنية متاحة بقيمة اسمية 10 روبل. هنا عدد المجموعات يساويج 2 1 = ... = 2.

وبما أن هذه الإجراءات مستقلة، فإن العدد الإجمالي للخيارات يساويج = 4 · 2 = 8.

إجابة

مهمة

هناك 8 كرات بيضاء و12 كرة سوداء في السلة. بكم طريقة يمكنك الحصول على كرتين بيضاء وكرتين سوداء من هذه السلة؟

حل

المجموع في السلةن = 8 كرات بيضاء للاختيار من بينهاك = 2 كرات. يمكن إنجازهج 8 2 = ... = 28 طريقة مختلفة.

بالإضافة إلى ذلك، تحتوي العربة علىن = 12 كرة سوداء عليك الاختيار منها مرة أخرىك = 2 كرات. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 12 2 = ... = 66.

بما أن اختيار كرة بيضاء واختيار كرة سوداء هما حدثان مستقلان، يتم حساب إجمالي عدد المجموعات وفقًا لقانون الضرب:ج = 28 · 66 = 1848. كما ترون، يمكن أن يكون هناك الكثير من الخيارات.

إجابة

1848

يوضح قانون الضرب عدد الطرق التي يمكن من خلالها تنفيذ إجراء معقد يتكون من عملين بسيطين أو أكثر - بشرط أن تكون جميعها مستقلة.

3. قانون الإضافة

إذا كان قانون الضرب يعمل بأحداث "معزولة" لا تعتمد على بعضها البعض، ففي قانون الجمع العكس هو الصحيح. إنه يتعامل مع أحداث متنافية لا تحدث أبدًا في نفس الوقت.

على سبيل المثال، "أخرج بيتيا عملة معدنية واحدة من جيبه" و"لم يخرج بيتيا عملة معدنية واحدة من جيبه" هما حدثان متنافيان، لأنه من المستحيل إخراج عملة واحدة دون إخراج أي منها.

وبالمثل، فإن الحدثين "الكرة العشوائية بيضاء" و"الكرة العشوائية سوداء" متنافيتان أيضًا.

تعريف

قانون الإضافة في التوافقيات: إذا كان من الممكن تنفيذ إجراءين متنافيينأ وب الأساليب وفقا لذلك، ثم يمكن الجمع بين هذه الأحداث. سيؤدي هذا إلى إنشاء حدث جديد يمكنك تنفيذهX = أ + ب طرق.

بمعنى آخر، عند الجمع بين الإجراءات الحصرية (الأحداث، الخيارات)، يزداد عدد مجموعاتها.

يمكننا القول أن قانون الجمع هو "OR" منطقي في التوافقيات، عندما نكون راضين عن أي من الخيارات المتنافية. على العكس من ذلك، قانون الضرب هو "و" منطقي، حيث نهتم بالتنفيذ المتزامن لكل من الإجراءين الأول والثاني.

مهمة

هناك 9 كرات سوداء و7 كرات حمراء في السلة. يأخذ الصبي كرتين من نفس اللون. بكم طريقة يستطيع أن يفعل هذا؟

حل

إذا كانت الكرات بنفس اللون، فهناك خيارات قليلة: فهي إما سوداء أو حمراء. ومن الواضح أن هذه الخيارات متنافية.

في الحالة الأولى، على الصبي أن يختارك = 2 كرات سوداء منن = 9 متاح. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 9 2 = ... = 36.

وبالمثل، في الحالة الثانية نختارك = 2 كرات حمراء منن = 7 ممكن. عدد الطرق متساويج 7 2 = ... = 21.

يبقى العثور على العدد الإجمالي للطرق. بما أن الخيارات ذات الكرات السوداء والحمراء متنافية، فوفقًا لقانون الجمع لدينا:X = 36 + 21 = 57.

إجابة57

مهمة

ويبيع الكشك 15 وردة و18 زهرة خزامى. يريد طالب في الصف التاسع شراء 3 زهور لزميله، ويجب أن تكون جميع الزهور متماثلة. بكم طريقة يمكنه صنع مثل هذه الباقة؟

حل

وفقًا للشرط، يجب أن تكون جميع الزهور متماثلة. هذا يعني أننا سنشتري إما 3 وردات أو 3 زهور توليب. على أي حال،ك = 3.

في حالة الورود سيكون عليك الاختيار من بينهان = 15 خيارًا، وبالتالي يكون عدد المجموعاتج 15 3 = ... = 455. للزنبقن = 18، وعدد المجموعات هوج 18 3 = ... = 816.

وبما أن الورود والتيوليب خياران متنافيان، فإننا نعمل وفق قانون الجمع. نحصل على العدد الإجمالي للخياراتX = 455 + 816 = 1271. هذا هو الجواب.

إجابة

1271

الشروط والقيود الإضافية

في كثير من الأحيان، يحتوي نص المشكلة على شروط إضافية تفرض قيودًا كبيرة على المجموعات التي تهمنا. قارن بين جملتين:

يوجد مجموعة من 5 أقلام بألوان مختلفة. بكم طريقة يمكنك اختيار 3 أقلام لرسم رسمة ما؟

يوجد مجموعة من 5 أقلام بألوان مختلفة. بكم طريقة يمكنك اختيار 3 أقلام لتحديد الرسم إذا كان أحدها يجب أن يكون باللون الأحمر؟

في الحالة الأولى، لدينا الحق في أخذ أي لون نريده - لا توجد قيود إضافية. في الحالة الثانية، كل شيء أكثر تعقيدا، حيث يتعين علينا اختيار قلم أحمر (من المفترض أنه في المجموعة الأصلية).

من الواضح أن أي قيود تقلل بشكل حاد من العدد النهائي للخيارات. حسنًا، كيف يمكنك العثور على عدد المجموعات في هذه الحالة؟ فقط تذكر هذه القاعدة:

يجب أن تكون هناك مجموعة منن العناصر التي تختار منهاك عناصر. عند إدخال قيود إضافية على العددن وك الانخفاض بنفس المقدار.

بمعنى آخر، إذا كنت بحاجة إلى اختيار 3 من بين 5 أقلام، ويجب أن يكون أحدهم باللون الأحمر، فسيتعين عليك الاختيار من بينهان = 5 − 1 = 4 عناصر لكل منهماك = 3 − 1 = 2 عنصر. لذلك بدلا منج 5 3 يجب أن تحسبج 4 2 .

الآن دعونا نرى كيف تعمل هذه القاعدة باستخدام أمثلة محددة:

مهمة

في مجموعة مكونة من 20 طالبًا، منهم 2 طالبين متفوقين، يجب عليك اختيار 4 أشخاص للمشاركة في المؤتمر. بكم طريقة يمكن اختيار هؤلاء الأربعة إذا كان على الطلاب المتفوقين حضور المؤتمر؟

حل

لذلك هناك مجموعة منن = 20 طالبا. ولكن عليك فقط أن تختارك = 4 منهم. إذا لم تكن هناك قيود إضافية، فإن عدد الخيارات سيكون مساويا لعدد المجموعاتج 20 4 .

ومع ذلك، فقد تم إعطاؤنا شرطًا إضافيًا: يجب أن يكون هناك طالبان متفوقان من بين هؤلاء الأربعة. لذلك، وفقا للقاعدة المذكورة أعلاه، نقوم بتقليل الأرقامن وك بواسطة 2. لدينا:

إجابة

153

مهمة

لدى بيتيا 8 عملات معدنية في جيبه، منها 6 عملات روبل و2 عملات معدنية من 10 روبل. تقوم بيتيا بنقل ثلاث عملات معدنية إلى جيب آخر. بكم طريقة يمكن لبيتيا القيام بذلك إذا كان من المعروف أن كلا من عملات الروبل العشرة انتهى بها الأمر في الجيب الآخر؟

حل

حتى لا يكون هناكن = 8 عملات معدنية. تحولات بيتياك = 3 عملات معدنية، 2 منها عبارة عن عملات معدنية بقيمة عشرة روبل. اتضح أنه من بين 3 عملات معدنية سيتم نقلها، تم بالفعل إصلاح 2، وبالتالي فإن الأرقامن وك يجب تخفيضها بمقدار 2. لدينا:

إجابة

ثالثا . حل المسائل المركبة باستخدام صيغ التوافقيات ونظرية الاحتمالات

مهمة

كان لدى بيتيا 4 عملات روبل وعملتين روبل في جيبه. قام بيتيا، دون أن ينظر، بنقل ثلاث عملات معدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال وجود العملات المعدنية ذات الروبلين في نفس الجيب.

حل

لنفترض أن كلاً من العملات المعدنية ذات الروبلين قد انتهى بها الأمر بالفعل في نفس الجيب، فهناك خياران ممكنان: إما أن بيتيا لم ينقلهما على الإطلاق، أو أنه قام بنقلهما في وقت واحد.

في الحالة الأولى، عندما لا يتم تحويل العملات المعدنية ذات الروبلين، سيتعين عليك تحويل 3 عملات معدنية الروبل. نظرًا لوجود 4 عملات معدنية في المجمل، فإن عدد طرق القيام بذلك يساوي عدد مجموعات 4 × 3:ج 4 3 .

في الحالة الثانية، عندما يتم تحويل كل من العملات المعدنية ذات الروبلين، سيتعين تحويل عملة روبل أخرى. ويجب اختيارها من بين 4 موجودة، وعدد طرق القيام بذلك يساوي عدد مجموعات 4 في 1:ج 4 1 .

الآن دعونا نجد العدد الإجمالي للطرق لإعادة ترتيب العملات المعدنية. نظرًا لوجود 4 + 2 = 6 عملات معدنية إجمالاً، وتحتاج فقط إلى اختيار 3 منها، فإن إجمالي عدد الخيارات يساوي عدد المجموعات المكونة من 6 × 3:ج 6 3 .

يبقى أن نجد الاحتمال:

إجابة

0,4

عرض على السبورة التفاعلية. انتبه إلى حقيقة أنه وفقًا لشروط المشكلة، قامت بيتيا، دون النظر، بوضع ثلاث عملات معدنية في جيب واحد. في الإجابة على هذا السؤال، يمكننا أن نفترض أن عملتين من العملات المعدنية بقيمة 2 روبل ظلتا بالفعل في جيب واحد. الرجوع إلى الصيغة لإضافة الاحتمالات. أظهر الصيغة مرة أخرى.

مهمة

كان لدى بيتيا عملتان معدنيتان بقيمة 5 روبل و 4 عملات معدنية بقيمة 10 روبل في جيبه. قام بيتيا، دون النظر، بنقل حوالي 3 عملات معدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال وجود العملات المعدنية بقيمة خمسة روبل الآن في جيوب مختلفة.

حل

للاحتفاظ بعملات معدنية بقيمة خمسة روبل في جيوب مختلفة، عليك نقل واحدة فقط منها. عدد الطرق للقيام بذلك يساوي عدد مجموعات 2 في 1:ج 2 1 .

نظرًا لأن بيتيا قام بتحويل 3 عملات معدنية في المجموع، فسيتعين عليه تحويل عملتين إضافيتين بقيمة 10 روبل لكل منهما. لدى بيتيا 4 عملات معدنية من هذا القبيل، وبالتالي فإن عدد الطرق يساوي عدد مجموعات 4 × 2:ج 4 2 .

يبقى معرفة عدد الخيارات المتاحة لتحويل 3 عملات معدنية من أصل 6 متاحة. وهذه الكمية كما في المسألة السابقة تساوي عدد مجموعات 6 في 3:ج 6 3 .

نجد الاحتمال:

في الخطوة الأخيرة، قمنا بضرب عدد طرق اختيار العملات المعدنية ذات الروبلين وعدد طرق اختيار العملات المعدنية ذات العشرة روبل، نظرًا لأن هذه الأحداث مستقلة.

إجابة

0,6

لذلك، مشاكل العملة لها صيغة الاحتمالية الخاصة بها. إنها بسيطة جدًا ومهمّة بحيث يمكن صياغتها على شكل نظرية.

نظرية

دع العملة ترمىن مرة واحدة. ثم احتمال أن تهبط الرؤوس بالضبطك مرات، ويمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

أينج ن ك - عدد مجموعاتن العناصر بواسطةك ، والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة:

وبالتالي، لحل مسألة العملة، تحتاج إلى رقمين: عدد الرميات وعدد الصور. في أغلب الأحيان، يتم تقديم هذه الأرقام مباشرة في نص المشكلة. علاوة على ذلك، لا يهم ما تحسبه بالضبط: ذيول أو رؤوس. الجواب سيكون هو نفسه.

للوهلة الأولى، تبدو النظرية مرهقة للغاية. ولكن بمجرد ممارسة القليل، لن ترغب في العودة إلى الخوارزمية القياسية الموضحة أعلاه.

تم رمي العملة أربع مرات. أوجد احتمال ظهور الصورة ثلاث مرات بالضبط.

حل

وفقا للمشكلة، كان إجمالي الرمياتن = 4. العدد المطلوب من النسور:ك = 3. بديلن وك في الصيغة:

يمكنك بسهولة حساب عدد الرؤوس:ك = 4 − 3 = 1. الجواب سيكون نفسه.

إجابة

0,25

المهمة [مصنف "امتحان الدولة الموحدة 2012 في الرياضيات. مشاكل ب6"]

يتم رمي العملة ثلاث مرات. أوجد احتمال عدم حصولك على الرؤوس أبدًا.

حل

كتابة الأرقام مرة أخرىن وك . وبما أنه تم رمي العملة 3 مراتن = 3. وبما أنه لا ينبغي أن يكون هناك رؤوس،ك = 0. يبقى استبدال الأرقامن وك في الصيغة:

اسمحوا لي أن أذكركم أن 0! = 1 حسب التعريف. لهذاج 3 0 = 1.

إجابة

0,125

مشكلة [امتحان الدولة الموحد التجريبي في الرياضيات 2012. إيركوتسك]

في تجربة عشوائية، ألقيت قطعة نقود متناظرة 4 مرات. أوجد احتمال ظهور الرؤوس أكثر من ظهور الذيول.

حل

لكي يكون عدد الرؤوس أكثر من الذيول، يجب أن تظهر إما 3 مرات (سيكون هناك ذيل واحد) أو 4 مرات (ثم لن يكون هناك ذيول على الإطلاق). دعونا نجد احتمال كل من هذه الأحداث.

يتركص 1 - احتمال ظهور الرؤوس 3 مرات. ثمن = 4, ك = 3. لدينا:

الآن دعونا نجدص 2 - احتمال ظهور الرؤوس في كل 4 مرات. في هذه الحالةن = 4, ك = 4. لدينا:

للحصول على الجواب، كل ما تبقى هو جمع الاحتمالاتص 1 وص 2 . تذكر: يمكنك فقط إضافة الاحتمالات للأحداث المتنافية. لدينا:

ص = ص 1 + ص 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

إجابة

0,3125

من أجل توفير وقتك عند التحضير مع اللاعبين لامتحان الدولة الموحدة والامتحان الحكومي، قدمنا ​​حلولاً للعديد من المشكلات الأخرى التي يمكنك اختيارها وحلها مع اللاعبين.

مواد من معهد امتحانات الدولة، امتحان الدولة الموحد لمختلف السنوات والكتب المدرسية والمواقع الإلكترونية.

رابعا. المواد المرجعية

التعريف الكلاسيكي للاحتمال

حدث عشوائي – أي حدث قد يحدث أو لا يحدث نتيجة لبعض التجارب.

احتمالية وقوع الحدث ريساوي نسبة عدد النتائج الإيجابية كإلى عدد النتائج المحتملة ن، أي.

ع =\فارك (ك) (ن)

صيغ الجمع والضرب في نظرية الاحتمالات

الحدث \الشريط(أ) مُسَمًّى مقابل الحدث أ، إذا لم يقع الحدث A.

مجموع الاحتمالات من الأحداث المعاكسة يساوي واحدا، أي.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• لا يمكن أن يكون احتمال وقوع حدث أكبر من 1.
• إذا كان احتمال وقوع الحدث هو 0، فإنه لن يحدث.
• إذا كان احتمال وقوع حدث هو 1، فإنه سوف يحدث.

نظرية إضافة الاحتمال:

"إن احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين."

ف(أ+ب) = ف(أ) + ف(ب)

احتمالا كمياتحدثين مشتركينيساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث دون الأخذ في الاعتبار حدوثها المشترك:

ف(أ+ب) = ف(أ) + ف(ب) - ف(AB)

نظرية الضرب الاحتمالية

"إن احتمال وقوع حدثين يساوي حاصل ضرب احتمالات أحدهما والاحتمال المشروط للآخر، محسوبًا بشرط وقوع الأول."

ف(AB)=ف(أ)*ف(ب)

الأحداث وتسمى غير متوافق, إذا كان ظهور أحدهم ينفي ظهور الآخرين. وهذا يعني أنه يمكن أن يحدث حدث محدد أو آخر.

الأحداث وتسمى مشترك, إذا كان وقوع أحدهما لا يمنع وقوع الآخر.

حدثان عشوائيان يتم استدعاء A و B مستقل, إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر. وبخلاف ذلك، يُطلق على الحدثين A وB اسم تابع.

في مصنع بلاط السيراميك، 5% من البلاط المنتج به عيب. أثناء مراقبة جودة المنتج، تم اكتشاف 40% فقط من البلاط المعيب. يتم إرسال البلاط المتبقي للبيع. أوجد احتمال ألا يكون للبلاط الذي تم اختياره عشوائيًا عند الشراء أي عيوب. جولة إجابتك إلى أقرب مائة.

حل

أثناء مراقبة جودة المنتج، يتم تحديد 40% من البلاط المعيب، وهو ما يمثل 5% من البلاط المنتج، ولا يتم طرحه للبيع. وهذا يعني أن 0.4 · 5% = 2% من البلاط المنتج لا يتم طرحه للبيع. بقية البلاط المنتج - 100% - 2% = 98% - معروض للبيع.

100% - 95% من البلاط المنتج خالي من العيوب. احتمال عدم وجود عيب في البلاط الذي تم شراؤه هو 95%: 98% = \frac(95)(98)\حوالي 0.97

إجابة

حالة

احتمال عدم شحن البطارية هو 0.15. يشتري أحد العملاء في أحد المتاجر حزمة عشوائية تحتوي على اثنتين من هذه البطاريات. أوجد احتمالية شحن البطاريتين الموجودتين في هذه العبوة.

حل

احتمال شحن البطارية هو 1-0.15 = 0.85. دعونا نوجد احتمال وقوع الحدث "كلا البطاريتين مشحونتين". دعونا نشير بالرمزين A وB إلى الحدثين "تم شحن البطارية الأولى" و"تم شحن البطارية الثانية". لقد حصلنا على P(A) = P(B) = 0.85. الحدث "تم شحن البطاريتين" هو تقاطع الحدثين A \cap B، واحتماله يساوي ف(أ\كاب ب) = ف(أ)\cdot ف(ب) = 0.85\كدوت 0.85 = 0,7225.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

احتمال إصلاح الغسالة الجديدة بموجب الضمان خلال عام هو 0.065. وفي مدينة معينة، تم بيع 1200 غسالة خلال العام، وتم تسليم 72 منها إلى ورشة الضمان. حدد مدى اختلاف التكرار النسبي لحدوث حدث "الإصلاح بموجب الضمان" عن احتمال حدوثه في هذه المدينة؟

حل

تكرار الحدث "سيتم إصلاح الغسالة تحت الضمان خلال عام" يساوي \frac(72)(1200) = 0.06.ويختلف عن الاحتمال بمقدار 0.065-0.06=0.005.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

احتمال أن يكون القلم معيبًا هو 0.05. يشتري أحد العملاء في أحد المتاجر عبوة عشوائية تحتوي على قلمين. أوجد احتمال أن يكون كلا القلمين الموجودين في هذه العبوة جيدًا.

حل

احتمال أن يعمل المقبض هو 1-0.05 = 0.95. دعونا نوجد احتمال وقوع الحدث "كلا المقبضين يعملان". دعونا نشير بالرمزين A وB إلى الحدثين "المقبض الأول يعمل" و"المقبض الثاني يعمل". لقد حصلنا على P(A) = P(B) = 0.95. الحدث "كلا المقبضين يعملان" هو تقاطع الحدثين A\cap B، واحتماله يساوي ف(أ\كاب ب) = ف(أ)\cdot ف(ب) = 0.95\كدوت 0.95 = 0,9025.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

تظهر الصورة متاهة. تزحف الخنفساء داخل المتاهة عند نقطة "المدخل". لا تستطيع الخنفساء أن تستدير وتزحف في الاتجاه المعاكس، لذا عند كل مفترق تختار أحد المسارات التي لم تسلكه بعد. ما احتمال خروج الخنفساء من D إذا كان اختيار المسار الإضافي عشوائيًا؟

حل

دعونا نضع الأسهم عند التقاطعات في الاتجاهات التي يمكن أن تتحرك فيها الخنفساء (انظر الشكل).

عند كل تقاطع سنختار اتجاهًا واحدًا من بين اتجاهين محتملين ونفترض أنه عندما تصل إلى التقاطع ستتحرك الخنفساء في الاتجاه الذي اخترناه.

لكي تصل الخنفساء إلى المخرج D، من الضروري عند كل تقاطع أن يتم اختيار الاتجاه المشار إليه بالخط الأحمر الثابت. في المجموع، يتم اختيار الاتجاه 4 مرات، في كل مرة بغض النظر عن الاختيار السابق. احتمال تحديد السهم الأحمر الثابت في كل مرة هو \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.Kulabukhova.

حالة

يضم القسم 16 رياضيًا، من بينهم صديقان - عليا وماشا. يتم توزيع الرياضيين بشكل عشوائي على 4 مجموعات متساوية. أوجد احتمال أن ينتهي الأمر بأوليا وماشا في نفس المجموعة.