Teorija vjerovatnoće na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike može se predstaviti kako u obliku jednostavnih zadataka o klasičnoj definiciji vjerovatnoće, tako iu obliku prilično složenih na primjeni odgovarajućih teorema.

U ovom dijelu ćemo razmotriti probleme za koje je dovoljno koristiti definiciju vjerovatnoće. Ponekad ćemo ovdje također koristiti formulu za izračunavanje vjerovatnoće suprotnog događaja. Iako ovdje možete bez ove formule, ona će vam i dalje trebati kada rješavate sljedeće probleme.

Teorijski dio

Slučajni je događaj koji se može, ali i ne mora dogoditi (nemoguće je unaprijed predvidjeti) tokom posmatranja ili testa.

Neka budu podjednako mogući ishodi pri izvođenju testa (bacanje novčića ili kocke, izvlačenje ispitne kartice itd.). Na primjer, kada se baca novčić, broj svih ishoda je 2, jer ne može biti nikakvih drugih ishoda osim grla ili repa. Prilikom bacanja kockice moguće je 6 ishoda, jer je na gornjoj strani kockice jednako moguće da se pojavi bilo koji broj od 1 do 6. Neka ishodi favorizuju i neki događaj A.

Vjerovatnoća događaja A je omjer broja ishoda povoljnih za ovaj događaj i ukupnog broja jednako mogućih ishoda (ovo je klasična definicija vjerovatnoće). Mi pišemo

Na primjer, neka se događaj A sastoji od dobijanja neparnog broja bodova prilikom bacanja kocke. Postoji ukupno 6 mogućih ishoda: 1, 2, 3, 4, 5, 6 koji se pojavljuju na gornjoj strani kocke. U ovom slučaju, ishodi sa 1, 3, 5 su povoljni za događaj A. Dakle, .

Imajte na umu da je dvostruka nejednakost uvijek zadovoljena, stoga vjerovatnoća bilo kojeg događaja A leži na intervalu, tj. . Ako vaš odgovor ima vjerovatnoću veću od jedan, to znači da ste negdje pogriješili i rješenje treba još jednom provjeriti.

Događaji A i B se nazivaju suprotno jedno drugom ako je bilo koji ishod povoljan za tačno jednog od njih.

Na primjer, kada se baca kockica, događaj "neparan broj je bačen" suprotan je događaju "paran broj je bačen".

Događaj suprotan događaju A je označen. Iz definicije suprotnih događaja slijedi
, znači,
.

Problemi sa odabirom objekata iz skupa

Zadatak 1. Na Svjetskom prvenstvu učestvuju 24 reprezentacije. Koristeći ždrijeb, potrebno ih je podijeliti u četiri grupe od po šest timova. U kutiji su pomiješane kartice sa brojevima grupa:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u trećoj grupi?

Ukupan broj ishoda jednak je broju karata - ima ih 24. Povoljnih ishoda je 6 (pošto je broj 3 napisan na šest kartica). Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,25.

Zadatak 2. U urni se nalazi 14 crvenih, 9 žutih i 7 zelenih loptica. Jedna lopta se nasumično izvlači iz urne. Kolika je vjerovatnoća da će ova lopta biti žuta?

Ukupan broj ishoda jednak je broju loptica: 14 + 9 + 7 = 30. Broj ishoda povoljnih za ovaj događaj je 9. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Zadatak 3. Na tastaturi telefona ima 10 brojeva, od 0 do 9. Kolika je vjerovatnoća da će nasumično pritisnut broj biti paran i veći od 5?

Ishod ovdje je pritiskanje određene tipke, tako da je ukupno 10 jednako mogućih ishoda. Navedeni događaj favoriziraju ishodi koji znače pritiskanje tipke 6 ili 8. Postoje dva takva ishoda. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0.2.

Problem 4. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani prirodni broj od 4 do 23 djeljiv sa tri?

Na segmentu od 4 do 23 nalazi se 23 – 4 + 1 = 20 prirodnih brojeva, što znači da ima ukupno 20 mogućih ishoda. Na ovom segmentu, brojevi su višekratnici od tri: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Ukupno ima 6 takvih brojeva, tako da je predmetni događaj favorizovan sa 6 ishoda. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0.3.

Zadatak 5. Od 20 ponuđenih listića na ispitu, student može odgovoriti na samo 17. Kolika je vjerovatnoća da student neće moći odgovoriti na slučajno odabranu kartu?

1. metoda.

Pošto učenik može odgovoriti na 17 listića, ne može odgovoriti na 3 listića. Vjerovatnoća dobivanja jedne od ovih ulaznica je po definiciji jednaka .

2. metoda.

Označimo sa A događaj „učenik može odgovoriti na kartu“. Onda . Vjerovatnoća suprotnog događaja je =1 – 0,85 = 0,15.

Odgovor: 0,15.

Problem 6. Na prvenstvu u ritmičkoj gimnastici učestvuje 20 atletičarki: 6 iz Rusije, 5 iz Njemačke, ostale iz Francuske. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Nađite vjerovatnoću da je sportista koji se takmiči sedmi iz Francuske.

Ukupno ima 20 sportista, svi imaju jednake šanse da se takmiče kao sedmi. Dakle, postoji 20 jednako vjerovatnih ishoda. Iz Francuske ima 20 – 6 – 5 = 9 sportista, tako da postoji 9 povoljnih ishoda za navedeni događaj. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,45.

Zadatak 7. Naučni skup se održava u trajanju od 5 dana. Planirano je ukupno 50 prijava - prva tri dana imaju po 12 prijava, ostali se ravnomjerno raspoređuju između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora N. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

Prvo, hajde da pronađemo koliko je izvještaja zakazano za zadnji dan. Prezentacije su predviđene za prva tri dana. Ostalo je još 50 – 36 = 14 izvještaja, koji su ravnomjerno raspoređeni u preostala dva dana, tako da su izvještaji zakazani zadnji dan.

Ishodom ćemo smatrati serijski broj izvještaja profesora N. Takvih jednako mogućih ishoda ima 50. Postoji 7 ishoda koji favorizuju navedeni događaj (poslednjih 7 brojeva u listi izvještaja). Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,14.

Problem 8. U avionu se nalazi 10 sedišta pored izlaza u slučaju nužde i 15 sedišta iza pregrada koje razdvajaju kabine. Preostala sedišta su nezgodna za visoke putnike. Putnik K. je visok. Nađite vjerovatnoću da će prilikom prijave, ako je sjedište odabrano nasumično, putnik K dobiti udobno sjedište ako u avionu ima 200 sjedišta.

Ishod ovog zadatka je izbor lokacije. Postoji ukupno 200 jednako mogućih ishoda. Događaj „odabrano mesto je pogodno“ favorizuje 15 + 10 = 25 ishoda. Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,125.

Problem 9. Od 1000 mlinova za kafu sklopljenih u fabrici, 7 je bilo neispravno. Stručnjak testira jedan mlin za kafu koji je nasumično odabran od ovih 1000. Pronađite vjerovatnoću da će mlin za kafu koji se testira biti neispravan.

Pri nasumičnom odabiru mlinca za kafu moguće je 1000 ishoda; za događaj A „odabrani mlin za kafu je neispravan“, 7 ishoda je povoljno. Po definiciji vjerovatnoće.

Odgovor: 0,007.

Problem 10. Fabrika proizvodi frižidere. U prosjeku, na svakih 100 visokokvalitetnih frižidera dolazi 15 frižidera sa skrivenim nedostacima. Pronađite vjerovatnoću da će kupljeni frižider biti visokog kvaliteta. Zaokružite rezultat na stotinke.

Ovaj zadatak je sličan prethodnom. Međutim, formulacija „na 100 visokokvalitetnih frižidera dolazi 15 sa greškama“ nam ukazuje da 15 neispravnih komada nije uključeno u 100 kvalitetnih. Dakle, ukupan broj ishoda je 100 + 15 = 115 (jednako ukupnom broju frižidera), povoljnih ishoda ima 100. Tražena verovatnoća je jednaka . Da biste izračunali približnu vrijednost razlomka, prikladno je koristiti podjelu ugla. Dobijamo 0,869... što je 0,87.

Odgovor: 0,87.

Problem 11. Prije početka prve runde teniskog prvenstva, učesnici se nasumično dijele u parove koji igraju žrijebom. Na prvenstvu učestvuje ukupno 16 tenisera, uključujući 7 učesnika iz Rusije, uključujući i Maksima Zajceva. Pronađite vjerovatnoću da će u prvom kolu Maxim Zaitsev igrati sa bilo kojim teniserom iz Rusije.

Kao iu prethodnom zadatku, potrebno je pažljivo pročitati uslov i shvatiti šta je ishod, a šta povoljan ishod (na primjer, nepromišljena primjena formule vjerovatnoće dovodi do pogrešnog odgovora).

Ovdje je ishod protivnik Maxima Zaitseva. Pošto je tenisera ukupno 16, a Maksim ne može da igra protiv sebe, postoji 16 – 1 = 15 podjednako verovatnih ishoda. Povoljan ishod je protivnik iz Rusije. Takvih povoljnih ishoda ima 7 – 1 = 6 (isključujemo samog Maksima iz broja Rusa). Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0.4.

Problem 12. Fudbalsku sekciju pohađa 33 osobe, među kojima su i dva brata - Anton i Dmitrij. Oni koji pohađaju sekciju su nasumično podijeljeni u tri tima od po 11 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Anton i Dmitry biti u istom timu.

Formiraćemo timove, redom postavljajući igrače na prazna mesta, počevši od Antona i Dmitrija. Prvo, postavimo Antona na slučajno odabrano mjesto od 33 slobodnih. Sada stavljamo Dmitrija na slobodno mjesto (smatrat ćemo izbor mjesta za njega kao ishod). Ukupno ima 32 slobodna mjesta (Anton je već zauzeo jedno), tako da ima ukupno 32 moguća ishoda. Ostalo je 10 praznih mjesta u istom timu kao i Anton, tako da događaju “Anton i Dmitrij u istom timu” favorizuje 10 ishoda. Vjerovatnoća ovog događaja je .

Odgovor: 0,3125.

Problem 13. Mehanički sat sa dvanaestočasovnim brojčanikom se u jednom trenutku pokvario i prestao da radi. Nađite vjerovatnoću da je kazaljka za sat zamrznuta, dostižući 11 sati, ali ne i 2 sata.

Uobičajeno, brojčanik se može podijeliti na 12 sektora, smještenih između oznaka susjednih brojeva (između 12 i 1, 1 i 2, 2 i 3, ..., 11 i 12). Ishodom ćemo smatrati zaustavljanje kazaljke sata u jednom od naznačenih sektora. Postoji ukupno 12 jednako mogućih ishoda. Ovaj događaj favorizuju tri ishoda (sektori između 11 i 12, 12 i 1, 1 i 2). Tražena vjerovatnoća je jednaka .

Odgovor: 0,25.

Sažmite

Nakon proučavanja gradiva o rješavanju jednostavnih zadataka u teoriji vjerojatnosti, preporučujem ispunjavanje zadataka za samostalno rješavanje koje objavljujemo na naš Telegram kanal. Također možete provjeriti da li su ispravno popunjeni unosom vašeg odgovore u predviđenom obliku.

Hvala vam što ste podijelili članak na društvenim mrežama.

Izvor “Priprema za Jedinstveni državni ispit. Matematika. Teorija vjerovatnoće.” Uredio F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Planirajte radionicu za nastavnike matematike u obrazovnoj ustanovi grada Tule na temu „Rešavanje Jedinstvenog državnog ispitnog zadatka iz matematike iz sekcija: kombinatorika, teorija verovatnoće. Metodika nastave"

Trošenje vremena: 12 00 ; 15 00

Lokacija: MBOU "Licej br. 1", kancelarija. br. 8

I. Rješavanje problema vjerovatnoće

1. Rješavanje problema koji uključuje klasično određivanje vjerovatnoće

Mi, kao nastavnici, već znamo da se glavni tipovi zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu iz teorije vjerovatnoće zasnivaju na klasičnoj definiciji vjerovatnoće. Prisjetimo se šta se zove vjerovatnoća događaja?

Vjerovatnoća događaja je omjer broja ishoda koji su povoljni za dati događaj i ukupnog broja ishoda.

Naše naučno metodičko udruženje nastavnika matematike razvilo je opštu šemu za rešavanje problema verovatnoće. Želio bih to predstaviti vašoj pažnji. Inače, podijelili smo svoje radno iskustvo, au materijalima koje smo dali vašoj pažnji za zajedničku diskusiju o rješavanju problema dali smo ovaj dijagram. Međutim, želim to da izrazim.

Po našem mišljenju, ova šema pomaže da se sve brzo logički razvrsta u komade, a nakon toga se problem može mnogo lakše riješiti i za nastavnika i za učenike.

Dakle, želim detaljno analizirati sljedeći zadatak.

Hteo sam da razgovaramo sa vama zajedno da objasnimo metodologiju, kako da momcima prenesem takvo rešenje, tokom kojeg bi deca razumela ovaj tipičan problem, a kasnije i sama razumela te probleme.

Šta je slučajni eksperiment u ovom problemu? Sada moramo izolirati elementarni događaj u ovom eksperimentu. Šta je ovo elementarni događaj? Hajde da ih navedemo.

Pitanja o zadatku?

Drage kolege, i vi ste očigledno razmišljali o problemima verovatnoće sa kockicama. Mislim da to treba da analiziramo, jer ima svoje nijanse. Hajde da analiziramo ovaj problem prema šemi koju smo vam predložili. Pošto se na svakoj strani kocke nalazi broj od 1 do 6, onda su elementarni događaji brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otkrili smo da je ukupan broj elementarnih događaja 6. Odredimo koji elementarni događaji favorizuju događaj. Samo dva događaja idu u prilog ovom događaju - 5 i 6 (pošto iz uslova proizilazi da treba da ispadnu 5 i 6 bodova).

Objasnite da su svi elementarni događaji podjednako mogući. Koja pitanja će biti u vezi sa zadatkom?

Kako znate da je novčić simetričan? Da raščistimo, ponekad određene fraze izazivaju nesporazume. Hajde da konceptualno shvatimo ovaj problem. Hajde da shvatimo s vama u eksperimentu koji je opisan koji bi elementarni ishodi mogli biti. Da li svi imate pojma gde su glave, a gde repovi? Koje su moguće opcije odustajanja? Postoje li drugi događaji? Koliki je ukupan broj događaja? Prema problemu, poznato je da su se glave pojavile tačno jednom. To znači da ovaj događajelementarni događaji iz ova četiri OR i RO su povoljni; to se ne može dogoditi dvaput. Koristimo formulu koja izračunava vjerovatnoću događaja. Podsjećamo, odgovori u dijelu B moraju biti ili cijeli broj ili decimalni.

Prikazujemo to na interaktivnoj tabli. Pročitali smo problem. Koji je osnovni ishod ovog eksperimenta? Pojasnite da je par naručen - to jest, broj je pao na prvu kocku i na drugu kockicu. U svakom problemu postoje trenuci kada je potrebno odabrati racionalne metode, forme i predstaviti rješenje u obliku tabela, dijagrama itd. U ovom problemu zgodno je koristiti takvu tablicu. Dajem vam gotovo rješenje, ali tokom rješavanja ispada da je u ovom zadatku racionalno koristiti rješenje u obliku tabele. Objašnjavamo šta tabela znači. Možete razumjeti zašto kolone kažu 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Nacrtajmo kvadrat. Linije odgovaraju rezultatima prvog bacanja - ima ih šest, jer kocka ima šest strana. Kao i kolone. U svaku ćeliju upisujemo zbir izvučenih tačaka. Prikazujemo popunjenu tabelu. Obojimo ćelije u kojima je zbir jednak osam (kao što je to potrebno u uslovu).

Vjerujem da se sljedeći problem, nakon analize prethodnih, može dati djeci da sama riješe.

U sljedećim zadacima nije potrebno zapisivati ​​sve elementarne ishode. Dovoljno je samo prebrojati njihov broj.

(Nema rješenja) Dao sam ovaj problem momcima da sami riješe. Algoritam za rješavanje problema

1. Definirajte od čega se sastoji slučajni eksperiment, a šta je slučajni događaj.

2. Pronađite ukupan broj elementarnih događaja.

3. Pronađite broj događaja koji pogoduju događaju navedenom u iskazu problema.

4. Nađite vjerovatnoću događaja koristeći formulu.

Učenicima se može postaviti pitanje: ako je u prodaji 1000 baterija, a među njima je 6 neispravnih, onda se odabrana baterija određuje kako? Šta je to u našem zadatku? Zatim postavljam pitanje pronalaženja šta se ovdje koristi kao broji predlažem da ga nađetebroj. Zatim pitam, koji je događaj ovdje? Koliko akumulatora doprinosi događaju? Zatim, koristeći formulu, izračunavamo ovu vjerovatnoću.

Ovdje se momcima može ponuditi drugo rješenje. Hajde da razgovaramo o tome šta bi ova metoda mogla biti?

1. Koji događaj sada možemo razmotriti?

2. Kako pronaći vjerovatnoću datog događaja?

Momcima treba reći o ovim formulama. Oni su sljedeći

Osmi zadatak se djeci može ponuditi samostalno, jer je sličan šestom zadatku. Može im se ponuditi kao samostalni rad, ili na kartici na tabli.

Ovaj problem se može riješiti u odnosu na Olimpijadu koja se trenutno održava. Uprkos činjenici da su u zadacima uključeni različiti događaji, zadaci su tipični.

2. Najjednostavnija pravila i formule za izračunavanje vjerovatnoća (suprotni događaji, zbir događaja, proizvod događaja)

Ovo je zadatak iz zbirke Jedinstvenog državnog ispita. Rešenje prikazujemo na tabli. Koja pitanja treba da postavimo učenicima da bi razumjeli ovaj problem?

1. Koliko je bilo mašina? Ako postoje dvije mašine, onda već postoje dva događaja. Postavljam djeci pitanje - kakav će biti događaj?? Šta će biti drugi događaj?

2. je vjerovatnoća događaja. Ne moramo ga izračunati, pošto je dat u uslovu. Prema uslovima zadatka, vjerovatnoća da će “kafa nestati u obje mašine” je 0,12. Bio je događaj A, bio je događaj B. I pojavljuje se novi događaj? Postavljam djeci pitanje - koje? Ovo je događaj kada obje mašine ostanu bez kafe. U ovom slučaju, u teoriji vjerovatnoće, radi se o novom događaju, koji se naziva presjek dva događaja A i B i tako se označava.

Koristimo formulu sabiranja vjerovatnoće. Formula je sljedeća

Dajemo vam je u referentnom materijalu i momcima se može dati ova formula. Omogućava vam da pronađete vjerovatnoću zbira događaja. Pitali smo se o vjerovatnoći suprotnog događaja, čija se vjerovatnoća nalazi pomoću formule.

Zadatak 13 koristi koncept proizvoda događaja čija je formula za pronalaženje vjerovatnoće data u dodatku.

3. Problemi koji uključuju korištenje stabla mogućih opcija

Na osnovu uslova zadatka, lako je nacrtati dijagram i pronaći naznačene vjerovatnoće.

Koji teorijski materijal ste koristili da pomognete učenicima u rješavanju problema ove vrste? Jeste li koristili moguće stablo ili druge metode za rješavanje takvih problema? Da li ste dali koncept grafova? U petom ili šestom razredu djeca imaju takve probleme, čija analiza daje pojam grafikona.

Želio bih da vas pitam, jeste li vi i vaši učenici razmišljali o korištenju stabla mogućih opcija prilikom rješavanja problema vjerovatnoće? Činjenica je da Jedinstveni državni ispit ne samo da ima takve zadatke, već su se pojavili prilično složeni problemi koje ćemo sada rješavati.

Hajde da razgovaramo s vama o metodologiji za rješavanje takvih problema - ako se poklapa s mojom metodologijom, kako sam objasnio momcima, onda će mi biti lakše raditi s vama, ako ne, onda ću vam pomoći da se nosite s ovim problemom.

Hajde da razgovaramo o događajima. Koji se događaji u zadatku 17 mogu izolovati?

Kada se konstruiše drvo na ravni, označava se tačka koja se naziva koren drveta. Zatim počinjemo da razmatramo događajeI. Konstruisaćemo segment (u teoriji verovatnoće on se zove grana). Po uslovu se kaže da prva fabrika proizvodi 30% mobilnih telefona ove marke (koje? Onog koji proizvode), što znači da trenutno pitam studente kolika je verovatnoća prve fabrike proizvode telefone ove marke, one koje proizvode? Budući da je događaj puštanje telefona u prvu tvornicu, vjerovatnoća ovog događaja je 30% ili 0,3. Preostali telefoni su proizvedeni u drugoj fabrici - gradimo drugi segment, a verovatnoća ovog događaja je 0,7.

Učenicima se postavlja pitanje: koji tip telefona bi mogla proizvesti prva fabrika? Sa ili bez kvara. Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici ima kvar? Uslov kaže da je jednak 0,01. Pitanje: Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici nema kvar? Pošto je ovaj događaj suprotan datom, njegova vjerovatnoća je jednaka.

Morate pronaći vjerovatnoću da je telefon neispravan. Može biti iz prve fabrike, a možda i iz druge. Zatim koristimo formulu za sabiranje vjerovatnoća i nalazimo da je cijela vjerovatnoća zbir vjerovatnoća da je telefon sa defektom iz prve fabrike, a da je telefon sa defektom iz druge fabrike. Pronaći ćemo vjerovatnoću da telefon ima kvar i da je proizveden u prvoj fabrici koristeći formulu proizvoda vjerovatnoća koja je data u dodatku.

4. Jedan od najtežih problema iz banke Jedinstvenog državnog ispita o vjerovatnoći

Pogledajmo, na primjer, broj 320199 iz FIPI Task Bank. Ovo je jedan od najtežih zadataka u B6.

Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora postići najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5.

Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. studirati i lingvistiku i trgovinu odjednom i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. uspjeti da upiše barem jedan od ova dva smjera – odnosno da će osvojiti potreban broj bodova.

Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. I takođe - društvene ili strane.

Vjerovatnoća da on postigne 70 bodova iz matematike je 0,6.

Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je jednaka.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Opcije koje nam odgovaraju su kada kandidat ima bodove na društvenim studijama, stranim studijama ili oboje. Opcija nije prikladna kada nije postigao nijedan poen ni na jeziku ni na "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih studija ili stranog jezika sa najmanje 70 bodova jednaka. Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskog i društvenih studija ili stranih je jednaka

Ovo je odgovor.

II . Rješavanje kombinatornih zadataka

1. Broj kombinacija i faktorijela

Pogledajmo ukratko teorijski materijal.

Izrazn ! čita se kao "en-faktorski" i označava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 don uključujući:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Osim toga, u matematici, po definiciji, vjeruju da je 0! = 1. Takav izraz je rijedak, ali se još uvijek javlja u problemima u teoriji vjerovatnoće.

Definicija

Neka postoje predmeti (olovke, bomboni, bilo šta) od kojih želite da odaberete potpuno različite predmete. Zatim se poziva broj opcija za takav izborbroj kombinacija od elemenata po. Ovaj broj se određuje i izračunava pomoću posebne formule.

Oznaka

Šta nam ova formula daje? Zapravo, gotovo nijedan ozbiljan problem ne može se riješiti bez toga.

Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko jednostavnih kombinatornih problema:

Zadatak

Barmen ima 6 vrsta zelenog čaja. Za održavanje čajne ceremonije potrebno je poslužiti tačno 3 različite vrste zelenog čaja. Na koliko načina barmen može ispuniti narudžbu?

Rješenje

Ovdje je sve jednostavno: postojin = 6 sorti koje možete izabratik = 3 sorte. Broj kombinacija može se pronaći pomoću formule:

Odgovori

Zamijenite u formulu. Ne možemo riješiti sve probleme, ali smo zapisali tipične probleme i oni su predstavljeni vašoj pažnji.

Zadatak

U grupi od 20 studenata potrebno je odabrati 2 predstavnika koji će govoriti na konferenciji. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje

Opet, to je sve što imamon = 20 učenika, ali morate biratik = 2 učenika. Pronađite broj kombinacija:

Napomena: faktori uključeni u različite faktorijele označeni su crvenom bojom. Ovi množitelji se mogu bezbolno smanjiti i na taj način značajno smanjiti ukupnu količinu proračuna.

Odgovori

190

Zadatak

U skladište je isporučeno 17 servera sa raznim kvarovima, koji koštaju 2 puta manje od normalnih servera. Direktor je za školu kupio 14 takvih servera, a ušteđeni novac u iznosu od 200.000 rubalja iskoristio za kupovinu druge opreme. Na koliko načina direktor može odabrati neispravne servere?

Rješenje

Problem sadrži dosta dodatnih podataka koji mogu biti zbunjujući. Najvažnije činjenice: postoje samon = 17 servera, a direktor trebak = 14 servera. Brojimo broj kombinacija:

Množitelji koji se smanjuju ponovo su označeni crvenom bojom. Ukupno je bilo 680 kombinacija. Generalno, režiser ima šta da bira.

Odgovori

680

Ovaj zadatak je težak jer ima dodatnih podataka u ovom zadatku. Oni odvode mnoge studente od donošenja prave odluke. Ukupno je bilo 17 servera, a direktor je trebao izabrati 14. Zamjenom u formulu dobijamo 680 kombinacija.

2. Zakon množenja

Definicija

Zakon množenja u kombinatorici: množi se broj kombinacija (načina, kombinacija) u nezavisnim skupovima.

Drugim riječima, neka budeA načina da se izvrši jedna radnja iB načina da izvršite drugu radnju. Put je i da su ove radnje samostalne, tj. nisu međusobno povezani ni na koji način. Zatim možete pronaći broj načina za izvođenje prve i druge radnje pomoću formule:C = A · B .

Zadatak

Petya ima 4 novčića od 1 rublje i 2 kovanice od 10 rubalja. Petja je, ne gledajući, uzeo iz džepa 1 novčić nominalne vrijednosti 1 rublja i još 1 novčić nominalne vrijednosti 10 rubalja da bi kupio olovku za 11 rubalja. Na koliko načina može izabrati ove novčiće?

Rješenje

Dakle, prvo Petya dobijek = 1 novčić odn = 4 dostupna novčića nominalne vrijednosti 1 rublja. Broj načina da se to uradi jeC 4 1 = ... = 4.

Onda Petja ponovo posegne u džep i izvadik = 1 novčić odn = 2 dostupna novčića nominalne vrijednosti 10 rubalja. Ovdje je broj kombinacija jednakC 2 1 = ... = 2.

Pošto su ove akcije nezavisne, ukupan broj opcija je jednakC = 4 · 2 = 8.

Odgovori

Zadatak

U košu se nalazi 8 bijelih i 12 crnih lopti. Na koliko načina možete dobiti 2 bijele i 2 crne lopte iz ovog koša?

Rješenje

Ukupno u korpin = 8 bijelih loptica koje možete izabratik = 2 lopte. To se može uraditiC 8 2 = ... = 28 različitih načina.

Osim toga, kolica sadržen = 12 crnih loptica, od kojih morate ponovo izabratik = 2 lopte. Broj načina da se to uradi jeC 12 2 = ... = 66.

Budući da su izbor bijele i crne lopte nezavisni događaji, ukupan broj kombinacija izračunava se prema zakonu množenja:C = 28 · 66 = 1848. Kao što vidite, može biti dosta opcija.

Odgovori

1848

Zakon množenja pokazuje na koliko načina se može izvesti složena radnja koja se sastoji od dvije ili više jednostavnih - pod uslovom da su svi nezavisni.

3. Zakon sabiranja

Ako zakon množenja operiše sa „izolovanim“ događajima koji ne zavise jedan od drugog, onda je u zakonu sabiranja tačno suprotno. Bavi se međusobno isključivim događajima koji se nikada ne dešavaju u isto vrijeme.

Na primjer, “Petya je izvadio 1 novčić iz džepa” i “Petya nije izvadio niti jedan novčić iz džepa” su događaji koji se međusobno isključuju, jer je nemoguće izvaditi jedan novčić bez vađenja nijednog.

Isto tako, događaji „Slučajna lopta je bela“ i „Slučajna lopta je crna“ se takođe međusobno isključuju.

Definicija

Zakon sabiranja u kombinatorici: ako se mogu izvršiti dvije međusobno isključive radnjeA IB metode u skladu s tim, onda se ovi događaji mogu kombinirati. Ovo će kreirati novi događaj koji možete izvršitiX = A + B načine.

Drugim riječima, kada se kombiniraju međusobno isključive radnje (događaji, opcije), zbraja se broj njihovih kombinacija.

Možemo reći da je zakon sabiranja logično „ILI“ u kombinatorici, kada smo zadovoljni nekom od opcija koje se međusobno isključuju. Suprotno tome, zakon množenja je logično „I“, u kojem nas zanima istovremeno izvršenje i prve i druge akcije.

Zadatak

U košu se nalazi 9 crnih i 7 crvenih lopti. Dječak vadi 2 loptice iste boje. Na koliko načina to može učiniti?

Rješenje

Ako su kuglice iste boje, postoji nekoliko opcija: obje su crne ili crvene. Očigledno, ove opcije se međusobno isključuju.

U prvom slučaju, dječak mora izabratik = 2 crne lopte odn = 9 dostupnih. Broj načina da se to uradi jeC 9 2 = ... = 36.

Slično, u drugom slučaju biramok = 2 crvene lopte odn = 7 moguće. Broj načina je jednakC 7 2 = ... = 21.

Ostaje pronaći ukupan broj načina. Kako se opcije sa crnim i crvenim kuglicama međusobno isključuju, prema zakonu sabiranja imamo:X = 36 + 21 = 57.

Odgovori57

Zadatak

Na štandu se prodaje 15 ruža i 18 tulipana. Učenik 9. razreda želi da kupi 3 cvijeta za svog druga iz razreda, a svi cvjetovi moraju biti isti. Na koliko načina može napraviti takav buket?

Rješenje

U skladu sa uslovom, svi cvetovi moraju biti isti. To znači da ćemo kupiti ili 3 ruže ili 3 tulipana. u svakom slučaju,k = 3.

U slučaju ruža morat ćete birati izmeđun = 15 opcija, tako da je broj kombinacijaC 15 3 = ... = 455. Za tulipanen = 18, a broj kombinacija jeC 18 3 = ... = 816.

Budući da su ruže i tulipani međusobno isključive opcije, radimo po zakonu sabiranja. Dobijamo ukupan broj opcijaX = 455 + 816 = 1271. Ovo je odgovor.

Odgovori

1271

Dodatni uslovi i ograničenja

Vrlo često tekst problema sadrži dodatne uslove koji nameću značajna ograničenja kombinacijama koje nas zanimaju. Uporedite dvije rečenice:

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina možete odabrati 3 olovke da ocrtate crtež?

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina možete odabrati 3 olovke za crtanje crteža ako jedna od njih mora biti crvena?

U prvom slučaju imamo pravo uzeti bilo koju boju koja nam se sviđa - nema dodatnih ograničenja. U drugom slučaju, sve je složenije, jer se od nas traži da odaberete crvenu olovku (pretpostavlja se da je u originalnom setu).

Očigledno, bilo kakva ograničenja naglo smanjuju konačni broj opcija. Pa, kako možete pronaći broj kombinacija u ovom slučaju? Samo zapamtite ovo pravilo:

Neka postoji skupn elementi od kojih možete biratik elementi. Prilikom uvođenja dodatnih ograničenja na brojn Ik smanjiti za isti iznos.

Drugim riječima, ako od 5 olovaka trebate odabrati 3, a jedna od njih treba biti crvena, tada ćete morati birati izmeđun = 5 − 1 = 4 elementa svakik = 3 − 1 = 2 elementa. Dakle, umjestoC 5 3 mora se računatiC 4 2 .

Sada da vidimo kako ovo pravilo funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak

U grupi od 20 studenata, uključujući 2 odlična studenta, morate odabrati 4 osobe za učešće na konferenciji. Na koliko načina se ova četvorica mogu odabrati ako odlični studenti moraju doći na konferenciju?

Rješenje

Dakle, postoji grupan = 20 učenika. Ali samo treba da izaberetek = njih 4. Da nema dodatnih ograničenja, tada bi broj opcija bio jednak broju kombinacijaC 20 4 .

Međutim, dat nam je dodatni uslov: 2 odlična učenika moraju biti među ova četiri. Dakle, prema gore navedenom pravilu, smanjujemo brojeven Ik do 2. Imamo:

Odgovori

153

Zadatak

Petya u džepu ima 8 novčića, od kojih su 6 kovanica rublja i 2 kovanice od 10 rubalja. Petya prebaci tri novčića u drugi džep. Na koliko načina Petya to može učiniti ako se zna da su oba novčića od 10 rubalja završila u drugom džepu?

Rješenje

Tako da postojin = 8 novčića. Petya se smenjujek = 3 novčića, od kojih su 2 kovanice od deset rubalja. Ispostavilo se da su od 3 novčića koji će biti prebačeni, 2 već fiksirana, tako da su brojevin Ik moramo smanjiti za 2. Imamo:

Odgovori

III . Rješavanje kombiniranih zadataka korištenjem formula kombinatorike i teorije vjerojatnosti

Zadatak

Petja je u džepu imao kovanice od 4 rublje i 2 rublje. Petja je, ne gledajući, prebacila tri novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se oba novčića od dvije rublje nalaze u istom džepu.

Rješenje

Pretpostavimo da su oba novčića od dvije rublje zapravo završila u istom džepu, tada su moguće 2 opcije: ili ih Petya uopće nije prenio, ili je prebacio oba odjednom.

U prvom slučaju, kada kovanice od dvije rublje nisu pomaknute, morat ćete prebaciti kovanice od 3 rublje. Budući da ima ukupno 4 takva novčića, broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija 4 sa 3:C 4 3 .

U drugom slučaju, kada su oba novčića od dvije rublje prebačena, morat će se prenijeti još jedan novčić rublje. Mora se odabrati između 4 postojeća, a broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija 4 sa 1:C 4 1 .

Sada pronađimo ukupan broj načina za preuređivanje novčića. Budući da ima ukupno 4 + 2 = 6 novčića, a trebate odabrati samo 3 od njih, ukupan broj opcija jednak je broju kombinacija 6 sa 3:C 6 3 .

Ostaje da se pronađe vjerovatnoća:

Odgovori

0,4

Prikaži na interaktivnoj tabli. Obratite pažnju na činjenicu da je, prema uslovima problema, Petya, ne gledajući, stavila tri novčića u jedan džep. Odgovarajući na ovo pitanje, možemo pretpostaviti da su dva novčića od dvije rublje zapravo ostala u jednom džepu. Pogledajte formulu za dodavanje vjerovatnoća. Pokažite formulu ponovo.

Zadatak

Petya je u džepu imao 2 novčića od 5 rubalja i 4 novčića od 10 rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Rješenje

Da biste držali novčiće od pet rubalja u različitim džepovima, morate pomaknuti samo jedan od njih. Broj načina da to učinite jednak je broju kombinacija 2 prema 1:C 2 1 .

Budući da je Petya prebacio ukupno 3 novčića, morat će prebaciti još 2 novčića od po 10 rubalja. Petya ima 4 takva novčića, tako da je broj načina jednak broju kombinacija 4 sa 2:C 4 2 .

Ostaje pronaći koliko opcija ima za prijenos 3 novčića od 6 dostupnih. Ova količina, kao iu prethodnom zadatku, jednaka je broju kombinacija 6 sa 3:C 6 3 .

Pronalazimo vjerovatnoću:

U posljednjem koraku pomnožili smo broj načina za odabir kovanica od dvije rublje i broj načina za odabir kovanica od deset rubalja, jer su ti događaji nezavisni.

Odgovori

0,6

Dakle, problemi s novčićima imaju svoju formulu vjerovatnoće. Toliko je jednostavan i važan da se može formulisati kao teorema.

Teorema

Neka se novčić bacin jednom. Tada je vjerovatnoća da će glave tačno sletjetik puta, može se pronaći pomoću formule:

GdjeC n k - broj kombinacijan elementi pok , koji se izračunava po formuli:

Dakle, da biste riješili problem novčića, potrebna su vam dva broja: broj bacanja i broj glava. Najčešće su ovi brojevi dati direktno u tekstu problema. Štaviše, nije važno šta tačno brojite: repove ili glave. Odgovor će biti isti.

Na prvi pogled, teorema izgleda previše glomazna. Ali kada malo vježbate, više se nećete željeti vraćati na standardni algoritam opisan gore.

Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno tri puta.

Rješenje

Prema problemu, ukupno bacanja su bilan = 4. Potreban broj orlova:k = 3. Zamjenan Ik u formulu:

Jednako lako možete izbrojati broj glava:k = 4 − 3 = 1. Odgovor će biti isti.

Odgovori

0,25

Zadatak [Radna sveska „Jedinstveni državni ispit 2012. iz matematike. Problemi B6"]

Novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da nikada nećete dobiti glave.

Rješenje

Ponovo ispisujem brojeven Ik . Pošto se novčić baci 3 puta,n = 3. A pošto ne bi trebalo biti glava,k = 0. Ostaje zamijeniti brojeven Ik u formulu:

Dozvolite mi da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Zbog togaC 3 0 = 1.

Odgovori

0,125

Zadatak [Probni jedinstveni državni ispit iz matematike 2012. Irkutsk]

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 4 puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti više puta nego repovi.

Rješenje

Da bi bilo više glava nego repova, moraju se pojaviti ili 3 puta (onda će biti 1 rep) ili 4 puta (tada neće biti repova uopšte). Nađimo vjerovatnoću svakog od ovih događaja.

Nekastr 1 - vjerovatnoća da će se glave pojaviti 3 puta. Ondan = 4, k = 3. Imamo:

Sad hajde da nađemostr 2 - vjerovatnoća da će se glave pojaviti sva 4 puta. U ovom slučajun = 4, k = 4. Imamo:

Da biste dobili odgovor, ostaje samo da se zbroje vjerovatnoćestr 1 Istr 2 . Zapamtite: možete dodati vjerovatnoće samo za događaje koji se međusobno isključuju. Imamo:

str = str 1 + str 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odgovori

0,3125

Kako biste uštedjeli vaše vrijeme na pripremama sa momcima za Jedinstveni državni ispit i državni ispit, predstavili smo rješenja za još mnogo problema koje možete izabrati i riješiti sa momcima.

Materijali Zavoda za državno ispitivanje, Jedinstveni državni ispit raznih godina, udžbenici i web stranice.

IV. Referentni materijal

Klasična definicija vjerovatnoće

Slučajni događaj – svaki događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva.

Vjerovatnoća događaja R jednak omjeru broja povoljnih ishoda k na broj mogućih ishoda n, tj.

p=\frac(k)(n)

Formule za sabiranje i množenje teorije vjerovatnoće

Događaj \bar(A) pozvao suprotno od događaja A, ako se događaj A nije dogodio.

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan, tj.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Vjerovatnoća događaja ne može biti veća od 1.
• Ako je vjerovatnoća događaja 0, onda se neće dogoditi.
• Ako je vjerovatnoća događaja 1, onda će se dogoditi.

Teorema o dodavanju vjerovatnoće:

“Vjerovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Vjerovatnoća iznosi dva zajednička događaja jednak zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez uzimanja u obzir njihovog zajedničkog nastupa:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema množenja vjerovatnoće

“Vjerovatnoća da će se dva događaja desiti jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih i uslovne vjerovatnoće drugog, izračunate pod uslovom da se prvi dogodio.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Događaji su pozvani nekompatibilno, ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. To jest, može se dogoditi samo jedan ili drugi određeni događaj.

Događaji su pozvani joint, ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Dva slučajna događaja A i B se zovu nezavisni, ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Inače, događaji A i B se nazivaju zavisni.

U fabrici keramičkih pločica 5% proizvedenih pločica ima nedostatak. Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda otkrije se samo 40% neispravnih pločica. Preostale pločice se šalju na prodaju. Pronađite vjerovatnoću da pločica odabrana nasumično prilikom kupovine neće imati nedostataka. Zaokružite odgovor na najbližu stotu.

Rješenje

Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda identifikuje se 40% neispravnih pločica, što čini 5% proizvedenih pločica i one se ne prodaju. To znači da 0,4 · 5% = 2% proizvedenih pločica ne ide u prodaju. Ostatak proizvedenih pločica - 100% - 2% = 98% - ide u prodaju.

100% - 95% proizvedenih pločica je bez grešaka. Verovatnoća da kupljena pločica nema defekt je 95%: 98% = \frac(95)(98)\približno 0,97

Odgovori

Stanje

Vjerovatnoća da baterija nije napunjena je 0,15. Kupac u radnji kupuje nasumični paket koji sadrži dvije od ovih baterija. Pronađite vjerovatnoću da će obje baterije u ovom paketu biti napunjene.

Rješenje

Vjerovatnoća da je baterija napunjena je 1-0,15 = 0,85. Nađimo vjerovatnoću događaja "obje baterije su napunjene". Označimo sa A i B događaje “prva baterija je napunjena” i “druga baterija je napunjena”. Dobili smo P(A) = P(B) = 0,85. Događaj "obe baterije su napunjene" je presek događaja A \cap B, njegova verovatnoća je jednaka P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Vjerovatnoća da će nova mašina za pranje rublja biti popravljena pod garancijom u roku od godinu dana je 0,065. U jednom gradu je tokom godine prodato 1.200 veš mašina, od kojih su 72 predate u servis za garanciju. Odredite koliko se razlikuje relativna učestalost pojavljivanja događaja „garantne popravke“ od njegove vjerovatnoće u ovom gradu?

Rješenje

Učestalost događaja „mašina za veš će biti popravljena pod garancijom u roku od godinu dana“ jednaka je \frac(72)(1200) = 0,06. Razlikuje se od vjerovatnoće za 0,065-0,06=0,005.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Vjerovatnoća da je olovka neispravna je 0,05. Kupac u radnji kupuje nasumični paket koji sadrži dvije olovke. Pronađite vjerovatnoću da će obje olovke u ovom paketu biti dobre.

Rješenje

Vjerovatnoća da ručka radi je 1-0,05 = 0,95. Pronađimo vjerovatnoću događaja "obe ručke rade." Označimo sa A i B događaje “prva ručka radi” i “druga ručka radi”. Dobili smo P(A) = P(B) = 0,95. Događaj „obe ručke rade“ je presek događaja A\cap B, njegova verovatnoća je jednaka P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

Slika prikazuje lavirint. Buba se uvlači u lavirint na tački “Ulaz”. Buba se ne može okretati i puzati u suprotnom smjeru, pa na svakom račvanju bira jednu od staza kojom još nije bila. Sa kojom vjerovatnoćom buba dolazi na izlaz D ako je izbor daljeg puta nasumičan?

Rješenje

Postavimo strelice na raskrsnice u smjerovima u kojima se buba može kretati (vidi sliku).

Na svakoj raskrsnici izabraćemo jedan od dva moguća pravac i pretpostaviti da će se buba kada dođe do raskrsnice kretati u pravcu koji smo mi odabrali.

Da bi buba stigla do izlaza D, potrebno je da se na svakoj raskrsnici odabere smjer označen punom crvenom linijom. Ukupno, izbor pravca se vrši 4 puta, svaki put bez obzira na prethodni izbor. Vjerovatnoća da je puna crvena strelica odabrana svaki put je \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Odgovori

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

U sekciji je 16 sportista, među njima i dve prijateljice - Olja i Maša. Sportisti su nasumično raspoređeni u 4 jednake grupe. Pronađite vjerovatnoću da će Olya i Masha završiti u istoj grupi.