Contoh pembuatan garis perpotongan dua bidang dengan menggunakan metode pemotongan bidang perantara disajikan pada Gambar 1.3.25. Pesawat S ditentukan oleh garis-garis yang berpotongan A Dan B, dan pesawat Q- garis sejajar Dengan Dan D.

Untuk menemukan garisnya aku persimpangan pesawat S Dan Q Mari kita menggambar dua bidang yang menonjol ke depan W(W 2) Dan W¢(W¢ 2), yang merupakan perantara. Pesawat W memotong bidang-bidang ini S Dan Q dalam garis lurus 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) Dan 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 ). Mari kita nyatakan titik potong garis-garis ini dengan KE(K 1, K 2). Dot KE Milik tiga pesawat secara bersamaan S, Q, W. Oleh karena itu, intinya KE S Dan Q. Pesawat W¢ memotong pesawat S Dan Q dalam garis lurus 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) Dan 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 ). Titik potong garis-garis tersebut adalah titik K¢. Dia seperti suatu periode KE termasuk dalam garis perpotongan bidang-bidang S Dan Q. Oleh karena itu, lurus aku, melewati titik-titik KE Dan K¢, ada garis lurus perpotongan bidang-bidang ini yang diinginkan S Dan Q.

Gambar 1.3.26 – Perpotongan dua bidang pada posisi umum

Gambar 1.3.26 menunjukkan contoh pembuatan garis perpotongan dua bidang dengan cara memotong garis lurus dengan sebuah bidang. Bidang ditentukan oleh segitiga ABC Dan EGF. Pesawat potong bantu S(S 2) Dan S¢(S 2) ditarik melalui sisi-sisinya MISALNYA. Dan Matahari segitiga. Pesawat S(S 2) memotong segitiga ABC dalam garis lurus 1-2 . Dot KE MISALNYA. Dan 1-2 . Pesawat S¢(S¢ 2) memotong segitiga EGF dalam garis lurus 3-4 . Dot K¢ adalah hasil perpotongan garis Matahari Dan 3-4 . Poin KE Dan K¢ batasi segmen garis perpotongan yang diinginkan yang terletak di dalam kedua segitiga.

Visibilitas relatif segitiga ditentukan pada pandangan frontal menggunakan titik-titik yang bersaing 2 Dan 4 , pada titik mana 4 sisi MISALNYA. mencakup intinya 2 sisi Matahari. Visibilitas pada bidang proyeksi horizontal ditentukan dengan menggunakan titik-titik yang bersaing 5 Dan 6 , pada titik mana 6 sisi MISALNYA. mencakup intinya 5 sisi AC.

Garis melengkung

Garis lengkung dapat dianggap sebagai jejak suatu titik yang bergerak. Titik tersebut dapat berupa titik tunggal atau titik yang termasuk dalam suatu garis atau permukaan yang bergerak dalam ruang.

Garis lengkung dapat dibentuk oleh perpotongan permukaan lengkung dengan bidang (dalam kasus umum), melalui perpotongan dua permukaan, setidaknya salah satunya adalah kurva.

Hukum pembentukan garis lengkung adalah himpunan kondisi yang menentukan garis tersebut. Suatu titik, garis, permukaan bergerak dalam ruang, tergantung pada kondisi yang berbeda. Sebuah bidang dapat memotong berbagai permukaan lengkung dalam berbagai arah. Berbagai macam permukaan dapat saling berpotongan pada posisi yang berbeda relatif satu sama lain. Oleh karena itu, pembentukan garis lengkung dapat tunduk pada kondisi yang jumlahnya tak terhingga dan garis lengkung yang jumlahnya tak terhingga dapat terbentuk. Selain itu, garis lengkung yang sama dapat dibentuk dengan cara yang berbeda-beda.

Misalnya, elips dapat dibentuk dengan pergerakan suatu titik pada suatu bidang, yang pada saat tertentu jumlah jarak dari titik tersebut ke dua titik tetap lainnya - fokus elips - adalah konstan dan sama dengan sumbu utama elips. Tetapi elips juga dapat dibentuk dengan perpotongan silinder sirkular dengan bidang yang letaknya sembarang terhadap sumbunya, atau dengan perpotongan sempurna permukaan dua silinder sirkular yang diameternya sama.

Semua garis lengkung menurut letak titik-titiknya dalam ruang dibagi menjadi dua jenis: kurva datar– kurva yang semua titiknya terletak pada bidang yang sama (misalnya lingkaran, elips, parabola, dll.) dan kurva spasial– kurva yang titik-titiknya tidak terletak pada bidang yang sama, misalnya heliks

Dengan menggunakan koordinat titik A, B, C, D, E, F (Tabel 2), buatlah proyeksi horizontal dan frontal segitiga ∆АBC dan ∆DEF, temukan garis perpotongannya dan tentukan visibilitas elemen-elemen segitiga.

2.2. Contoh tugas no.2

Tugas kedua menyajikan serangkaian tugas pada topik berikut:

1. Proyeksi ortogonal, diagram Monge, titik, garis lurus, bidang: dengan koordinat enam titik yang diketahui A, B, C, D, E, F buatlah proyeksi horizontal dan frontal dari 2 bidang yang diberikan oleh ABC dan ∆ DEF;

2. Bidang umum dan bidang khusus, perpotongan garis dan bidang, perpotongan bidang, titik-titik yang bersaing: membuat garis perpotongan bidang tertentu dan menentukan visibilitas elemen-elemennya.

Buatlah proyeksi horizontal dan frontal dari bidang tertentu ∆ ABC dan ∆ DEF(Gambar 2.1).

Untuk membuat garis perpotongan bidang tertentu yang diinginkan, Anda harus:

1. Pilih salah satu sisi segitiga dan buatlah titik potong sisi ini dengan bidang segitiga lainnya: sebuah titik dibuat pada Gambar 2.1 M perpotongan suatu garis lurus E.F. dengan bidang ∆ ABC; untuk ini secara langsung E.F. tertutup dalam bidang proyeksi horizontal bantu δ;

2. Buatlah proyeksi frontal 1 2 2 2 garis perpotongan bidang δ dengan bidang ∆ ABC;

3. Temukan proyeksi frontal M 2 titik pencarian M pada proyeksi frontal persimpangan 1 2 2 2 dengan proyeksi depan E 2 F 2 lurus E.F.;

4. Temukan proyeksi horizontal M 1 poin M menggunakan jalur komunikasi proyeksi;

5. Buatlah poin kedua dengan cara yang sama N, termasuk dalam garis perpotongan yang diinginkan dari bidang-bidang tertentu: lingkari sebuah garis lurus pada bidang yang menonjol ke depan β Matahari; temukan garis perpotongannya 34 bidang dengan bidang ∆ DEF; di persimpangan garis 34 dan lurus Matahari menemukan suatu titik N;

6. Dengan menggunakan titik-titik yang bersaing, untuk setiap bidang secara terpisah, tentukan bagian-bagian segitiga yang terlihat.

Gambar 2.1 – Konstruksi garis perpotongan dua bidang yang dibatasi oleh segitiga

Gambar 2.2 – Contoh tugas 2

Contoh video menyelesaikan tugas no.2

2.3. Opsi tugas 2

Tabel 2 – Nilai koordinat titik

Garis lurus perpotongan dua bidang ditentukan oleh dua titik yang masing-masing merupakan milik kedua bidang, atau satu titik milik dua bidang, dan diketahui arah garisnya. Dalam kedua kasus tersebut, tugasnya adalah menemukan titik yang sama pada kedua bidang.

Teknik umum untuk membuat garis perpotongan dua bidang adalah sebagai berikut. Sebuah bidang bantu diperkenalkan, garis perpotongan bidang bantu dengan dua bidang tertentu dibuat, dan titik persekutuan kedua bidang tersebut ditemukan pada perpotongan garis yang dibangun. Untuk mencari titik persekutuan kedua, konstruksi diulangi dengan menggunakan bidang bantu lainnya.

Gambar 5 menunjukkan representasi visual dari garis perpotongan K 1 K 2 dua pesawat R Dan Q.

Gambar 5

Untuk representasi visual konstruksi titik persekutuan pertama dari garis perpotongan bidang R Dan Q(Gambar 6) sebuah pesawat bantu telah diperkenalkan S. Dengan pesawat R itu berpotongan di sepanjang garis 1-2 , dengan pesawat Q- sepanjang garis 3-4 . Di persimpangan garis 1-2 Dan 3-4 titik persekutuan pertama ditentukan K 1 dua pesawat R Dan Q– titik pertama dari garis perpotongannya.

Demikian pula, bidang potong baru diperkenalkan dan titik kedua dari garis perpotongan dibuat.

Gambar 6

Kasus khusus dalam membuat garis perpotongan dua bidang ketika salah satunya diproyeksikan. Dalam hal ini, konstruksi garis perpotongan disederhanakan dengan fakta bahwa salah satu proyeksinya bertepatan dengan proyeksi bidang proyeksi ke bidang proyeksi yang tegak lurus.

Sebagai contoh, Gambar 7 menunjukkan konstruksi proyeksi m"n", mn garis persimpangan M N bidang proyeksi frontal R dengan bidang segitiga ABC.

Gambar 7

Pada proyeksi frontal di perpotongan proyeksi sebuah "b" Dan sebuah "c" dengan jejak P kamu temukan proyeksi frontal M" Dan N" dua titik persekutuan pada bidang tertentu. Proyeksi horizontal dibuat berdasarkan mereka M Dan N pada proyeksi horizontal ab Dan ac sisi-sisi segitiga. Melalui titik-titik M Dan N Kami menggambar proyeksi horizontal dari garis perpotongan bidang. Saat melihat sepanjang panah S dari proyeksi depan terlihat bagian segitiga berada di sebelah kiri garis potong M N(M N") berada di atas pesawat R, yaitu terlihat, sisanya berada di bawah pesawat R, yaitu tidak terlihat (bagian MBCN ditunjukkan dengan garis putus-putus).

Contoh lain pembuatan garis perpotongan dua pelat segitiga ABC Dan DEF, salah satunya ( DEF) ditentukan sebagai bidang yang menonjol secara horizontal, ditunjukkan pada Gambar 8.

Angka 8

Pada proyeksi horizontal di perpotongan proyeksi horizontal ab Dan SM Para Pihak DABC dengan proyeksi dfe dari segitiga kedua kita menemukan proyeksi horizontal M Dan N titik persimpangan mereka. Menurut mereka pada proyeksi frontal samping sebuah"b" Dan b"c" membangun proyeksi frontal M" Dan N" titik persimpangan M N. Pada proyeksi frontal kita memperhatikan visibilitas bagian-bagian segitiga, dipandu oleh hal-hal berikut: ketika melihat sepanjang panah S dari proyeksi horizontal terlihat jelas sisinya AC berada di depan bidang segitiga DEF.

Oleh karena itu, di samping AC dan bagian segitiga yang dibatasi olehnya ABC ke garis persimpangan M N terlihat (yaitu proyeksi depan segiempat terlihat a"c"n"m"). Bagian yang terlihat dari proyeksi frontal DDEF diarsir dalam gambar.

Konstruksi garis perpotongan bidang-bidang pada posisi umum. Gambar 9 menunjukkan konstruksi proyeksi m"n", mn garis perpotongan dua bidang, salah satunya ditentukan oleh proyeksi a"b", b"c", ab, sm dua garis berpotongan, yang lain - proyeksi d"e", f"g", de, fg dua garis sejajar.

Dua bidang horizontal, yang ditentukan oleh jejak, diambil sebagai bidang bantu Ru Dan Kamu.

Pesawat R memotong bidang tertentu yang pertama dalam suatu garis lurus 1-2 , yang kedua - dalam garis lurus 3-4 . Menurut proyeksi frontal 1", 2" Dan 3", 4" kami menemukan proyeksi horizontal menggunakan jalur komunikasi 1, 2 Dan 3, 4 pada proyeksi horizontal ab, bc, de, fg lurus Melalui mereka kita menggambar proyeksi garis horizontal 1-2 Dan 3-4 garis persimpangan. Tandai satu titik M– proyeksi horizontal dari suatu titik yang sama M tiga bidang - dua diberikan dan tambahan R. Dengan menggunakannya kami menentukan proyeksi frontal M" di jalur depan Ru pesawat bantu.

Gambar 9

Pesawat bantu T Dan R paralel. Garis perpotongannya dengan bidang tertentu juga sejajar. Oleh karena itu, proyeksi horizontal dari garis-garis perpotongan bidang tersebut T dengan bidang tertentu ditarik melalui proyeksi B sejajar dengan proyeksi 1-2 dan melalui proyeksi 5 sejajar dengan proyeksi 3-4 . Proyeksi horizontal ditemukan di persimpangannya N titik persekutuan kedua dari tiga bidang, yaitu. garis perpotongan dua bidang tertentu. Sepanjang itu di jalur depan kamu proyeksi frontal dibangun pada bidang bantu N". Melalui proyeksi yang dibangun M N" Dan M N Kami melakukan proyeksi frontal dan horizontal dari garis persimpangan yang diinginkan M N.

Salah satu masalah mendasar geometri deskriptif adalah masalah membangun garis perpotongan dua bidang pada posisi umum. Kasus penentuan bidang berbeda-beda, tetapi bagaimanapun juga, Anda akan menghadapi tugas di mana Anda perlu membuat garis perpotongan dua bidang yang ditentukan oleh segitiga (atau bentuk geometris datar lainnya). Saya mengusulkan untuk mempertimbangkan algoritma untuk memecahkan masalah seperti itu sekarang.

Jadi, diberikan dua bidang yang dibatasi oleh segitiga ABC dan DEF. Caranya adalah dengan mencari secara bergantian dua titik perpotongan dua sisi suatu segitiga dengan bidang segitiga lainnya. Dengan menghubungkan titik-titik tersebut kita memperoleh garis perpotongan dua bidang. Konstruksi titik potong garis lurus dengan bidang telah dibahas lebih detail pada pelajaran sebelumnya, izinkan saya mengingatkan Anda hanya tentang tindakan mekanis:

Mari kita lampirkan garis lurus AC pada bidang proyeksi depan dan memindahkan sepanjang jalur komunikasi ke proyeksi horizontal titik potong bidang ini dengan garis lurus DE dan DF - titik 1 dan 2

Pada proyeksi mendatar, kita hubungkan proyeksi titik 1 dan 2 dan mencari titik potong garis yang dihasilkan dengan proyeksi mendatar dari garis lurus yang kita masukkan pada bidang proyeksi ke depan, dalam hal ini dengan garis lurus AC. Kami mendapat poin M.

Mari kita lampirkan garis lurus BC pada bidang proyeksi depan dan memindahkan sepanjang jalur komunikasi ke proyeksi horizontal titik potong bidang ini dengan garis lurus EF dan DF - titik 3 dan 4

Mari kita hubungkan proyeksi horizontalnya dan dapatkan titik potong garis ini dengan garis lurus BC - titik N.

Dengan menghubungkan titik M dan N kita memperoleh garis perpotongan bidang-bidang yang dibatasi oleh segitiga. Faktanya, garis persimpangan sudah ditemukan. - Yang tersisa hanyalah menentukan visibilitas tepi-tepi segitiga. Hal ini dilakukan dengan menggunakan metode poin bersaing.

Dengan bantuan pengunjung situs yang paling penuh perhatian, kami dapat menemukan ketidakakuratan dalam menentukan visibilitas pesawat. Di bawah ini adalah gambar yang visibilitas garis-garis yang membatasi bidang-bidang pada bidang horizontal telah diperbaiki

17. Metode penggantian bidang proyeksi.

Mengubah posisi relatif objek yang diteliti dan bidang proyeksi dicapai dengan mengganti salah satu bidang P 1 atau P 2 pesawat baru P 4 (beras. 148 ). Bidang baru selalu dipilih tegak lurus terhadap bidang proyeksi yang tersisa.

Untuk mengatasi beberapa masalah, penggantian ganda bidang proyeksi mungkin diperlukan (Gbr. 149 ). Transisi berturut-turut dari satu sistem bidang proyeksi ke sistem bidang proyeksi lainnya harus dilakukan dengan mengikuti aturan berikut: jarak proyeksi titik baru ke sumbu baru harus sama dengan jarak proyeksi titik pengganti ke sumbu pengganti.

Masalah 1 : Tentukan ukuran alami segmen tersebut AB garis lurus ketentuan umum (Gbr. 148 ). Dari sifat proyeksi paralel diketahui bahwa suatu segmen diproyeksikan ke suatu bidang berukuran penuh jika sejajar dengan bidang tersebut.

Mari kita pilih bidang proyeksi baru P 4 , sejajar dengan segmen AB dan tegak lurus terhadap bidang P 1 . Dengan memperkenalkan pesawat baru, kita beralih dari sistem pesawat P 1 P 2 ke dalam sistem P 1 P 4 , dan dalam sistem bidang baru proyeksi segmen tersebut A 4 DI DALAM 4 akan menjadi nilai alami segmen tersebut AB .

Membangun titik potong garis lurus dengan bidang proyeksi turun ke pembuatan proyeksi kedua suatu titik pada diagram, karena satu proyeksi suatu titik selalu terletak pada jejak bidang proyeksi, karena segala sesuatu yang ada pada bidang proyeksi diproyeksikan ke salah satu jejak bidang tersebut. Pada Gambar. 224, A menunjukkan konstruksi titik potong suatu garis lurus E.F. dengan bidang segitiga yang menonjol ke depan ABC(tegak lurus terhadap bidang V) Ke pesawat V segi tiga ABC diproyeksikan ke dalam segmen tersebut sebuah "c" garis lurus dan titik Ke" juga akan terletak pada garis ini dan berada pada titik potong e"f Dengan sebuah "c". Proyeksi horizontal dibuat menggunakan garis sambungan proyeksi. Visibilitas garis lurus terhadap bidang segitiga ABC ditentukan oleh posisi relatif proyeksi segitiga ABC dan lurus E.F. di permukaan V. Melihat arah pada Gambar. 224, A ditunjukkan oleh panah. Bagian garis lurus tersebut, yang proyeksi depannya berada di atas proyeksi segitiga, akan terlihat. Di sebelah kiri titik Ke" proyeksi garis berada di atas proyeksi segitiga, sehingga pada bidang N daerah ini terlihat.

Pada Gambar. 224, B lurus E.F. memotong bidang horizontal R. Proyeksi depan Ke" poin KE- titik potong suatu garis E.F. dengan bidang P - akan berada pada titik potong proyeksi e" F"dengan jejak pesawat Pv, karena bidang horizontal adalah bidang yang menonjol ke depan. Proyeksi horizontal k poin KE ditemukan menggunakan jalur komunikasi proyeksi.

Membangun garis perpotongan dua bidang turun untuk menemukan dua titik yang sama pada kedua bidang ini. Untuk membuat garis potong saja sudah cukup, karena garis potong tersebut adalah garis lurus, dan garis lurus dibatasi oleh dua titik. Ketika sebuah bidang proyeksi memotong bidang umum, salah satu proyeksi garis perpotongan tersebut bertepatan dengan jejak bidang yang terletak pada bidang proyeksi yang tegak lurus dengan bidang proyeksi tersebut. Pada Gambar. 225, A proyeksi depan t"p" garis persimpangan M N cocok dengan jejaknya hal bidang proyeksi frontal R, dan pada Gambar. 225, B proyeksi horisontal kl bertepatan dengan jejak bidang yang menonjol secara horizontal R. Proyeksi lain dari garis perpotongan dibuat menggunakan garis penghubung proyeksi.

Membangun titik potong garis dengan bidang umum(Gbr. 226, A) dilakukan dengan menggunakan bidang proyeksi bantu R, yang ditarik melalui garis lurus tersebut E.F. Membangun garis persimpangan 12 pesawat bantu R. dengan bidang segitiga tertentu ABC, masuk ke pesawat R dua garis lurus: E.F.- diberi garis lurus dan 12 - dibangun garis potong yang berpotongan di suatu titik K.

Menemukan proyeksi suatu titik KE ditunjukkan pada Gambar. 226,b. Konstruksi dilakukan dalam urutan berikut.

Melalui langsung E.F. menggambar bidang proyeksi horizontal bantu R. Jejaknya Rn bertepatan dengan proyeksi horizontal ef lurus E.F.

Membangun proyeksi frontal 1׳2" garis persimpangan 12 pesawat R dengan bidang segitiga tertentu ABC menggunakan jalur komunikasi proyeksi, karena proyeksi horizontal garis perpotongan tersebut diketahui. Itu bertepatan dengan jejak horizontal R H pesawat R.

Tentukan proyeksi frontal Ke" titik yang diinginkan KE, yang terletak pada perpotongan proyeksi frontal garis ini dengan proyeksi 1"2" garis persimpangan. Proyeksi horizontal suatu titik dibuat menggunakan garis penghubung proyeksi.

Visibilitas garis lurus terhadap bidang segitiga ABC ditentukan dengan metode poin bersaing. Untuk menentukan visibilitas garis lurus pada bidang proyeksi frontal (Gbr. 226, B) bandingkan koordinatnya Y poin 3 Dan 4, yang proyeksi depannya bertepatan. Koordinat Y poin 3, berbaring pada garis lurus matahari, kurang koordinat Y poin 4, berbaring pada garis lurus E.F. Oleh karena itu, intinya 4 lebih dekat dengan pengamat (arah pandang ditunjukkan oleh panah) dan proyeksi garis lurus digambarkan pada bidang V bisa dilihat. Garis lurus lewat di depan segitiga. Di sebelah kiri titik KE' garis lurus ditutupi oleh bidang segitiga ABC. Visibilitas pada bidang proyeksi horizontal ditunjukkan dengan membandingkan koordinat Z titik-titik 1 Dan 5. Karena Z 1 > Z 5, titik 1 bisa dilihat. Oleh karena itu, di sebelah kanan titik tersebut 1 (ke titik KE) lurus E.F. tak terlihat.

Untuk membuat garis perpotongan dua bidang yang sama, digunakan bidang potong bantu. Hal ini ditunjukkan pada gambar. 227, sebuah. Satu bidang didefinisikan oleh sebuah segitiga ABC, yang lainnya - garis paralel E.F. Dan M N. Bidang yang ditentukan (Gbr. 227, A) berpotongan dengan bidang bantu ketiga. Untuk kemudahan konstruksi, bidang horizontal atau bidang depan diambil sebagai bidang bantu. Dalam hal ini, bidang bantu R adalah bidang horizontal. Ini memotong bidang tertentu dalam garis lurus 12 Dan 34, yang pada perpotongannya memberi titik KE, termasuk dalam ketiga bidang tersebut, dan oleh karena itu termasuk dalam dua bidang tertentu, yaitu terletak pada garis perpotongan bidang-bidang tersebut. Titik kedua ditemukan dengan menggunakan bidang bantu kedua Q. Menemukan dua poin KE Dan L tentukan garis potong dua bidang.

Pada Gambar. 227, B pesawat bantu R diberikan oleh jejak frontal. Proyeksi frontal dari garis perpotongan 1"2" Dan 3"4" pesawat R dengan bidang tertentu bertepatan dengan jejak frontal Rv pesawat R, sejak pesawat R tegak lurus terhadap bidang V, dan segala sesuatu yang ada di dalamnya (termasuk garis perpotongan) diproyeksikan ke jejak depannya Rv. Proyeksi horizontal garis-garis ini dibuat menggunakan garis sambungan proyeksi yang diambil dari proyeksi frontal titik 1", 2", 3", 4" sampai berpotongan dengan proyeksi horizontal garis-garis yang bersesuaian di titik 1, 2, 3, 4. Proyeksi horizontal yang dibangun dari garis perpotongan tersebut diperpanjang hingga berpotongan satu sama lain di suatu titik k, yang merupakan proyeksi horizontal suatu titik K, termasuk dalam garis perpotongan dua bidang. Proyeksi frontal dari titik ini ada pada jejak Rv.