Rumus atau aturan perkalian singkat digunakan dalam aritmatika, atau lebih tepatnya dalam aljabar, untuk proses penghitungan ekspresi aljabar besar yang lebih cepat. Rumusnya sendiri diturunkan dari aturan yang ada dalam aljabar untuk mengalikan beberapa polinomial.

Penggunaan rumus ini memberikan solusi yang cukup cepat untuk berbagai masalah matematika, dan juga membantu menyederhanakan ekspresi. Aturan transformasi aljabar memungkinkan Anda untuk melakukan beberapa manipulasi dengan ekspresi, setelah itu Anda bisa mendapatkan ekspresi di sisi kiri persamaan di sisi kanan, atau mengubah sisi kanan persamaan (untuk mendapatkan ekspresi di sisi kiri setelah tanda sama dengan).

Lebih mudah mengetahui rumus yang digunakan untuk perkalian tereduksi dengan memori, karena rumus tersebut sering digunakan dalam memecahkan masalah dan persamaan. Di bawah ini adalah rumus utama yang termasuk dalam daftar ini dan namanya.

Jumlah kuadrat

Untuk menghitung kuadrat dari penjumlahan, Anda harus mencari jumlah kuadrat suku pertama, dua kali hasil kali suku pertama dengan suku kedua, dan kuadrat suku kedua. Sebagai ungkapan, aturan ini ditulis sebagai berikut: (a + c) ² \u003d a² + 2ac + c².

Selisih dikuadratkan

Untuk menghitung kuadrat selisih, perlu menghitung jumlah yang terdiri dari kuadrat dari angka pertama, dua kali hasil kali dari angka pertama dengan yang kedua (diambil dengan tanda yang berlawanan) dan kuadrat dari angka kedua. Sebagai ungkapan, aturan ini terlihat seperti ini: (a - c) ² \u003d a² - 2ac + c².

Selisih kotak

Rumus selisih dua bilangan kuadrat sama dengan hasil perkalian bilangan-bilangan ini dengan selisihnya. Sebagai ekspresi, aturan ini terlihat sebagai berikut: a² - c² \u003d (a + c) · (a - c).

Jumlahkan kubus

Untuk menghitung pangkat tiga dari jumlah dua suku, Anda perlu menghitung jumlah yang terdiri dari pangkat tiga suku pertama, hasil kali tiga dari kuadrat suku pertama dan kedua, hasil kali tiga suku pertama dan suku kedua, dan kubus suku kedua. Sebagai pernyataan, aturan ini terlihat seperti ini: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Jumlah kubus

Menurut rumusnya, ini disamakan dengan hasil kali dari jumlah suku-suku ini dengan kuadrat selisihnya yang tidak lengkap. Dalam bentuk ekspresi, aturan ini terlihat sebagai berikut: a³ + c³ \u003d (a + c) · (a² - ac + c²).

Contoh. Anda perlu menghitung volume gambar, yang dibentuk dengan menambahkan dua kubus. Hanya ukuran sisinya yang diketahui.

Jika nilai sampingnya kecil, maka perhitungannya mudah.

Jika panjang sisinya dinyatakan dalam angka yang tidak praktis, maka dalam kasus ini akan lebih mudah untuk menggunakan rumus "Jumlah Kubus", yang akan sangat menyederhanakan perhitungan.

Kubus selisih

Pernyataan untuk selisih kubik adalah sebagai berikut: sebagai hasil penjumlahan pangkat tiga dari suku pertama, tiga kali lipat hasil negatif kuadrat suku pertama dengan suku kedua, tiga kali lipat hasil kali pertama dengan kuadrat suku kedua, dan kubik negatif suku kedua. Dalam bentuk ekspresi matematika, pangkat tiga selisih terlihat sebagai berikut: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Selisih kubus

Rumus selisih kubus berbeda dari jumlah kubus hanya dalam satu tanda. Jadi, selisih pangkat tiga adalah rumus yang sama dengan hasil kali selisih bilangan-bilangan ini dengan kuadrat tidak lengkapnya. Dalam bentuknya, selisih kubus adalah sebagai berikut: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Contoh. Anda harus menghitung volume bangun yang akan tersisa setelah mengurangkan angka volumetrik kuning dari volume kubus biru, yang juga merupakan kubus. Hanya ukuran sisi kubus kecil dan besar yang diketahui.

Jika nilai sampingnya kecil, perhitungannya cukup mudah. Dan jika panjang sisinya dinyatakan dalam angka yang signifikan, maka ada baiknya menggunakan rumus yang berjudul "Kubus Selisih" (atau "Kubus Selisih"), yang akan sangat menyederhanakan perhitungan.

Dalam pelajaran sebelumnya, kita melihat dua cara untuk memfaktorkan polinomial menjadi faktor: tanda kurung dan pengelompokan.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat cara lain untuk memfaktorkan polinomial menggunakan rumus perkalian yang disingkat.

Kami merekomendasikan untuk meresepkan setiap formula setidaknya 12 kali. Untuk menghafal lebih baik, tuliskan semua rumus perkalian singkat untuk Anda sendiri pada lembar contekan kecil.

Mari kita ingat seperti apa rumus selisih kubus.

Rumus perbedaan antara kubus tidak terlalu mudah untuk dihafal, jadi sebaiknya gunakan cara khusus untuk menghafalnya.

Penting untuk dipahami bahwa rumus apa pun untuk perkalian singkat bisa digunakan sisi belakang.

Mari kita lihat contohnya. Selisih antara kubus perlu difaktorkan.

Perhatikan bahwa "27a 3" adalah "(3a) 3", yang berarti bahwa untuk rumus selisih kubus, alih-alih "a" kami menggunakan "3a".

Kami menggunakan rumus untuk selisih kubus. Di tempat "a 3" kita memiliki "27a 3", dan di tempat "b 3", seperti dalam rumus, ada "b 3".

Menerapkan perbedaan kubus ke arah yang berlawanan

Mari kita lihat contoh lainnya. Anda ingin mengonversi hasil kali polinomial menjadi selisih pangkat tiga menggunakan rumus perkalian singkat.

Perhatikan bahwa hasil kali polinomial "(x - 1) (x 2 + x + 1)" menyerupai sisi kanan rumus untuk selisih pangkat tiga "", hanya saja "a" adalah "x", dan bukannya "b" adalah "1" ...

Kami menggunakan untuk "(x - 1) (x 2 + x + 1)" rumus untuk selisih kubus ke arah yang berlawanan.

Mari kita lihat contoh yang lebih rumit. Ini diperlukan untuk menyederhanakan produk dari polinomial.

Jika kita membandingkan "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" dengan sisi kanan rumus selisih pangkat tiga
« a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Maka Anda dapat memahami bahwa di tempat" a "dari braket pertama adalah" y 2, dan di tempat "b" adalah "1".

Selisih kotak

Kami mendapatkan rumus untuk selisih kuadrat $ a ^ 2-b ^ 2 $.

Untuk melakukan ini, ingat aturan berikut:

Jika kita menambahkan monomial apa pun ke ekspresi dan mengurangi monomial yang sama, maka kita mendapatkan identitas yang benar.

Mari tambahkan ke ekspresi kita dan kurangi dari itu monomial $ ab $:

Total, kami mendapatkan:

Artinya, selisih antara kuadrat dua monomial sama dengan hasil kali selisihnya dengan penjumlahannya.

Contoh 1

Mewakili sebagai produk $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $

\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]

\\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ kiri (2x-y \\ kanan) (2x + y) \\]

Jumlah kubus

Kami menurunkan rumus untuk jumlah kubus $ a ^ 3 + b ^ 3 $.

Faktorkan faktor-faktor umum:

Mari kita keluarkan $ \\ left (a + b \\ right) $ di luar tanda kurung:

Total, kami mendapatkan:

Artinya, jumlah kubus dari dua monomial sama dengan hasil kali mereka dengan kuadrat selisihnya yang tidak lengkap.

Contoh 2

Mewakili sebagai produk $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $

Ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]

Menggunakan rumus untuk selisih kuadrat, kita mendapatkan:

\\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ kiri (2x + y \\ kanan) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]

Selisih kubus

Mari kita turunkan selisih rumus dari kubus $ a ^ 3-b ^ 3 $.

Untuk ini, kami akan menggunakan aturan yang sama seperti di atas.

Tambahkan ke ekspresi kita dan kurangi dari itu monomial $ a ^ 2b \\ dan \\ (ab) ^ 2 $:

Faktorkan faktor-faktor umum:

Mari kita keluarkan $ \\ left (a-b \\ right) $ di luar tanda kurung:

Total, kami mendapatkan:

Artinya, selisih antara kubus dua monomial sama dengan hasil kali selisihnya dengan kuadrat tidak lengkap dari jumlahnya.

Contoh 3

Mewakili sebagai produk $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $

Ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]

Menggunakan rumus untuk selisih kuadrat, kita mendapatkan:

\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ kiri (2x-y \\ kanan) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]

Contoh soal menggunakan rumus selisih kuadrat dan jumlah dan selisih kubus

Contoh 4

Faktorkan.

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Keputusan:

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $

\\ [(((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]

Menerapkan rumus selisih kuadrat, kita dapatkan:

\\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ kiri (a + 5-3 \\ kanan) \\ kiri (a + 5 + 3 \\ kanan) \u003d \\ kiri (a + 2 \\ kanan) (a +8) \\]

Mari tulis ekspresi ini dalam bentuk:

Mari terapkan rumus kubus kuma:

c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Mari tulis ekspresi ini dalam bentuk:

\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ kiri (\\ frac (1) (3) \\ kanan)) ^ 3-x ^ 3 \\]

Mari terapkan rumus kubus kuma:

\\ [(\\ kiri (\\ frac (1) (3) \\ kanan)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ kiri (\\ frac (1) (3) -x \\ kanan) \\ kiri (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ kanan) \\]