Teoria e probabilitetit në provimin e unifikuar të shtetit në matematikë mund të paraqitet si në formën e problemeve të thjeshta në përkufizimin klasik të probabilitetit, ashtu edhe në formën e atyre mjaft komplekse për zbatimin e teoremave përkatëse.

Në këtë pjesë do të shqyrtojmë problemet për të cilat mjafton të përdoret përkufizimi i probabilitetit. Ndonjëherë këtu do të përdorim edhe një formulë për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes së kundërt. Edhe pse mund të bëni pa këtë formulë këtu, do t'ju duhet ende kur zgjidhni problemet e mëposhtme.

Pjesa teorike

E rastësishme është një ngjarje që mund të ndodhë ose jo (e pamundur të parashikohet paraprakisht) gjatë një vëzhgimi ose testi.

Le të ketë rezultate po aq të mundshme gjatë kryerjes së një testi (hedhja e një monedhe ose zari, tërheqja e një karte provimi, etj.). Për shembull, kur hidhet një monedhë, numri i të gjitha rezultateve është 2, pasi nuk mund të ketë rezultate të tjera përveç kokave ose bishtave. Gjatë hedhjes së një bilete, 6 rezultate janë të mundshme, pasi çdo numër nga 1 deri në 6 është po aq i mundshëm që të shfaqet në pjesën e sipërme të kopesë. Le të favorizohet edhe ndonjë ngjarje A nga rezultatet.

Probabiliteti i ngjarjes A është raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të rezultateve po aq të mundshme (ky është përkufizimi klasik i probabilitetit). Ne shkruajmë

Për shembull, le që ngjarja A të konsistojë në marrjen e një numri tek pikësh kur hedh një kërma. Janë gjithsej 6 rezultate të mundshme: 1, 2, 3, 4, 5, 6 që shfaqen në pjesën e sipërme të kubit. Në këtë rast, rezultatet me paraqitjen 1, 3, 5 janë të favorshme për ngjarjen A. Kështu, .

Vini re se pabarazia e dyfishtë është gjithmonë e kënaqur, prandaj probabiliteti i çdo ngjarje A qëndron në intervalin, d.m.th. . Nëse përgjigja juaj ka një probabilitet më të madh se një, do të thotë se keni bërë një gabim diku dhe zgjidhja duhet të kontrollohet dy herë.

Ngjarjet A dhe B quhen e kundërt njëri-tjetrin nëse ndonjë rezultat është i favorshëm pikërisht për njërën prej tyre.

Për shembull, kur hidhet një kësulë, ngjarja "rrotullohet një numër tek" është e kundërta e ngjarjes "rrotullohet një numër çift".

Ngjarja e kundërt me ngjarjen A është caktuar. Nga përkufizimi i ngjarjeve të kundërta rrjedh
, Do të thotë,
.

Probleme me zgjedhjen e objekteve nga një grup

Detyra 1. Në Kampionatin Botëror marrin pjesë 24 skuadra. Duke përdorur short, ata duhet të ndahen në katër grupe me nga gjashtë ekipe secila. Ka karta me numra grupi të përziera në kuti:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapitenët e ekipit nxjerrin nga një kartë secili. Sa është probabiliteti që skuadra ruse të jetë në grupin e tretë?

Numri total i rezultateve është i barabartë me numrin e letrave - janë 24. Janë 6 rezultate të favorshme (pasi numri 3 është shkruar në gjashtë letra). Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.25.

Detyra 2. Në një urnë ka 14 topa të kuq, 9 të verdhë dhe 7 jeshil. Një top nxirret rastësisht nga urna. Sa është probabiliteti që ky top të jetë i verdhë?

Numri i përgjithshëm i rezultateve është i barabartë me numrin e topave: 14 + 9 + 7 = 30. Numri i rezultateve të favorshme për këtë ngjarje është 9. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Detyra 3. Ka 10 numra në tastierën e telefonit, nga 0 në 9. Sa është probabiliteti që një numër i shtypur rastësisht të jetë çift dhe më i madh se 5?

Rezultati këtu është shtypja e një tasti të caktuar, kështu që ka gjithsej 10 rezultate po aq të mundshme. Ngjarja e specifikuar favorizohet nga rezultate që nënkuptojnë shtypjen e tastit 6 ose 8. Janë dy rezultate të tilla. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.2.

Problemi 4. Sa është probabiliteti që një numër natyror i zgjedhur rastësisht nga 4 në 23 të pjesëtohet me tre?

Në segmentin nga 4 në 23 ka 23 – 4 + 1 = 20 numra natyrorë, që do të thotë se janë gjithsej 20 rezultate të mundshme. Në këtë segment, numrat e mëposhtëm janë shumëfish të tre: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Janë gjithsej 6 numra të tillë, kështu që ngjarja në fjalë favorizohet nga 6 rezultate. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.3.

Detyra 5. Nga 20 biletat e ofruara në provim, studenti mund të përgjigjet vetëm në 17. Sa është probabiliteti që studenti të mos mund t'i përgjigjet biletës së zgjedhur rastësisht?

Metoda 1.

Meqenëse një student mund t'i përgjigjet 17 biletave, ai nuk mund t'i përgjigjet 3 biletave. Probabiliteti për të marrë një nga këto bileta është përkufizim i barabartë me .

Metoda e 2-të.

Le të shënojmë me A ngjarjen "nxënësi mund t'i përgjigjet biletës". Pastaj . Probabiliteti i ngjarjes së kundërt është =1 – 0,85 = 0,15.

Përgjigje: 0.15.

Problemi 6. Në kampionatin e gjimnastikës ritmike marrin pjesë 20 sportistë: 6 nga Rusia, 5 nga Gjermania, pjesa tjetër nga Franca. Radha në të cilën performojnë gjimnastët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që konkurron i shtati është nga Franca.

Gjithsej janë 20 sportistë, të gjithë kanë shanse të barabarta për të garuar në vendin e shtatë. Prandaj, ka 20 rezultate po aq të mundshme. Janë 20 – 6 – 5 = 9 atletë nga Franca, pra ka 9 rezultate të favorshme për ngjarjen e specifikuar. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.45.

Detyra 7. Konferenca shkencore mbahet për 5 ditë. Janë planifikuar gjithsej 50 raporte - tre ditët e para kanë nga 12 raporte secila, pjesa tjetër shpërndahet në mënyrë të barabartë ndërmjet ditës së katërt dhe të pestë. Rendi i raporteve përcaktohet me short. Sa është probabiliteti që raporti i profesor N. të planifikohet për ditën e fundit të konferencës?

Së pari, le të gjejmë sa raporte janë planifikuar për ditën e fundit. Prezantimet janë planifikuar për tre ditët e para. Kanë mbetur edhe 50 – 36 = 14 raporte, të cilat shpërndahen në mënyrë të barabartë ndërmjet dy ditëve të mbetura, pra ka raporte të planifikuara në ditën e fundit.

Ne do ta konsiderojmë rezultatin si numrin serial të raportit të profesorit N.. Janë 50 rezultate të tilla po aq të mundshme. Janë 7 rezultate që favorizojnë ngjarjen e specifikuar (7 numrat e fundit në listën e raporteve). Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.14.

Problemi 8. Ka 10 vende në bordin e avionit pranë daljeve të emergjencës dhe 15 vende pas ndarjeve që ndajnë kabinat. Vendet e mbetura janë të papërshtatshme për pasagjerët e gjatë. Pasagjeri K. është i gjatë. Gjeni probabilitetin që në check-in, nëse një vend zgjidhet rastësisht, pasagjeri K do të marrë një vend të rehatshëm nëse ka 200 vende në aeroplan.

Rezultati në këtë detyrë është zgjedhja e vendndodhjes. Janë gjithsej 200 rezultate po aq të mundshme. Ngjarja “vendi i zgjedhur është i përshtatshëm” favorizohet nga 15 + 10 = 25 rezultate. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.125.

Problemi 9. Nga 1000 mulli kafeje të montuara në fabrikë, 7 ishin me defekt. Një ekspert teston një mulli kafeje të zgjedhur rastësisht nga këto 1000. Gjeni probabilitetin që mulli kafeje që po testohet të jetë me defekt.

Kur zgjidhni një mulli kafeje në mënyrë të rastësishme, 1000 rezultate janë të mundshme; për ngjarjen A "Mulliri i zgjedhur i kafesë është me defekt", 7 rezultate janë të favorshme. Sipas përkufizimit të probabilitetit.

Përgjigje: 0.007.

Problemi 10. Fabrika prodhon frigoriferë. Mesatarisht, për çdo 100 frigoriferë të cilësisë së lartë, ka 15 frigoriferë me defekte të fshehura. Gjeni probabilitetin që frigoriferi i blerë të jetë i cilësisë së lartë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtat.

Kjo detyrë është e ngjashme me atë të mëparshme. Megjithatë, formulimi “për 100 frigoriferë të cilësisë së lartë janë 15 me defekte” na tregon se 15 copë me defekt nuk përfshihen në 100 ato cilësore. Prandaj, numri total i rezultateve është 100 + 15 = 115 (i barabartë me numrin total të frigoriferëve), ka 100 rezultate të favorshme. Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me . Për të llogaritur vlerën e përafërt të një fraksioni, është e përshtatshme të përdoret ndarja e këndit. Marrim 0,869... që është 0,87.

Përgjigje: 0.87.

Problemi 11. Para fillimit të raundit të parë të kampionatit të tenisit, pjesëmarrësit ndahen në mënyrë të rastësishme në çifte duke luajtur me short. Gjithsej në kampionat marrin pjesë 16 tenistë, mes të cilëve 7 pjesëmarrës nga Rusia, mes tyre edhe Maxim Zaitsev. Gjeni probabilitetin që në raundin e parë Maxim Zaitsev të luajë me ndonjë tenist nga Rusia.

Ashtu si në detyrën e mëparshme, duhet të lexoni me kujdes kushtin dhe të kuptoni se cili është një rezultat dhe cili është një rezultat i favorshëm (për shembull, zbatimi i pamenduar i formulës së probabilitetit çon në një përgjigje të pasaktë).

Këtu rezultati është kundërshtari i Maxim Zaitsev. Meqenëse janë 16 tenistë gjithsej, dhe Maxim nuk mund të luajë kundër vetes, ka 16 – 1 = 15 rezultate po aq të mundshme. Një rezultat i favorshëm është një kundërshtar nga Rusia. Ka 7 – 1 = 6 rezultate të tilla të favorshme (ne përjashtojmë vetë Maksimin nga numri i rusëve). Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.4.

Problemi 12. Në seksionin e futbollit marrin pjesë 33 persona, mes tyre dy vëllezër - Anton dhe Dmitry. Ata që marrin pjesë në seksion ndahen rastësisht në tre ekipe me nga 11 persona secila. Gjeni probabilitetin që Anton dhe Dmitry të jenë në të njëjtin ekip.

Ne do të formojmë ekipe, duke vendosur në mënyrë sekuenciale lojtarët në vendet bosh, duke filluar me Anton dhe Dmitry. Së pari, le ta vendosim Antonin në një vend të zgjedhur rastësisht nga 33 i lirë. Tani e vendosim Dmitrin në vendin e lirë (do të konsiderojmë zgjedhjen e një vendi për të si rezultat). Gjithsej janë 32 vende të lira (Anton ka zënë tashmë një), kështu që janë 32 rezultate të mundshme në total. Kanë mbetur 10 vende bosh në të njëjtin ekip me Anton, kështu që ngjarja "Anton dhe Dmitry në të njëjtin ekip" favorizohet nga 10 rezultate. Probabiliteti i kësaj ngjarje është .

Përgjigje: 0.3125.

Problemi 13. Një orë mekanike me një numërues dymbëdhjetë orësh u prish në një moment dhe pushoi së funksionuari. Gjeni probabilitetin që akrepi i orës të jetë i ngrirë, duke arritur në orën 11, por duke mos arritur në orën 2.

Në mënyrë konvencionale, numri mund të ndahet në 12 sektorë, të vendosur midis shenjave të numrave ngjitur (midis 12 dhe 1, 1 dhe 2, 2 dhe 3, ..., 11 dhe 12). Ne do ta konsiderojmë rezultatin si ndalimin e akrepave të orës në një nga sektorët e treguar. Janë gjithsej 12 rezultate po aq të mundshme. Kjo ngjarje favorizohet nga tre rezultate (sektorët midis 11 dhe 12, 12 dhe 1, 1 dhe 2). Probabiliteti i kërkuar është i barabartë me .

Përgjigje: 0.25.

Përmblidhni

Pas studimit të materialit për zgjidhjen e problemeve të thjeshta në teorinë e probabilitetit, unë rekomandoj të plotësoni detyrat për zgjidhje të pavarur, të cilat i botojmë në kanali ynë në Telegram. Ju gjithashtu mund të kontrolloni nëse ato janë plotësuar saktë duke futur tuajin përgjigjet në formularin e dhënë.

Faleminderit për ndarjen e artikullit në rrjetet sociale.

Burimi “Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit. Matematika, Teoria e Probabilitetit.” Redaktuar nga F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Plani për një punëtori për mësuesit e matematikës në institucionin arsimor të qytetit të Tulës me temën "Zgjidhja e detyrave të provimit të unifikuar të shtetit në matematikë nga seksionet: kombinatorika, teoria e probabilitetit. Metodologjia e Mësimdhënies"

Shpenzimi i kohës: 12 00 ; 15 00

Vendndodhja: MBOU "Liceu nr. 1", zyra. nr 8

I. Zgjidhja e problemeve të probabilitetit

1. Zgjidhja e problemeve që përfshijnë përcaktimin klasik të probabilitetit

Ne si mësues e dimë tashmë se llojet kryesore të problemeve në Provimin e Unifikuar të Shtetit në teorinë e probabilitetit bazohen në përkufizimin klasik të probabilitetit. Le të kujtojmë se çfarë quhet probabiliteti i një ngjarjeje?

Probabiliteti i ngjarjesështë raporti i numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve.

Shoqata jonë shkencore dhe metodologjike e mësuesve të matematikës ka zhvilluar një skemë të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve të probabilitetit. Unë do të doja ta paraqes atë në vëmendjen tuaj. Meqë ra fjala, ne ndamë përvojën tonë të punës dhe në materialet që i kushtuam vëmendjen tuaj për diskutim të përbashkët të zgjidhjes së problemeve, dhamë këtë diagram. Megjithatë, unë dua ta shpreh atë.

Sipas mendimit tonë, kjo skemë ndihmon për të renditur shpejt logjikisht gjithçka në copa, dhe pas kësaj problemi mund të zgjidhet shumë më lehtë si për mësuesin ashtu edhe për studentët.

Pra, dua të analizoj në detaje detyrën e mëposhtme.

Doja të flisja me ju së bashku për të shpjeguar metodologjinë, si t'u përcillni djemve një zgjidhje të tillë, gjatë së cilës fëmijët do ta kuptonin këtë problem tipik dhe më pas do t'i kuptonin vetë këto probleme.

Çfarë është një eksperiment i rastësishëm në këtë problem? Tani duhet të izolojmë një ngjarje elementare në këtë eksperiment. Cila është kjo ngjarje elementare? Le t'i rendisim ato.

Pyetje rreth detyrës?

Të nderuar kolegë, edhe ju padyshim që keni marrë parasysh problemet e probabilitetit me zare. Mendoj se duhet ta analizojmë, sepse ka nuancat e veta. Le ta analizojmë këtë problem sipas skemës që ju propozuam. Meqenëse në secilën anë të kubit ka një numër nga 1 në 6, atëherë ngjarjet elementare janë numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ne zbuluam se numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare është 6. Le të përcaktojmë cilat ngjarje elementare favorizojnë ngjarjen. Vetëm dy ngjarje e favorizojnë këtë ngjarje - 5 dhe 6 (pasi rrjedh nga kushti që 5 dhe 6 pikë duhet të bien jashtë).

Shpjegoni se të gjitha ngjarjet elementare janë njëlloj të mundshme. Çfarë pyetjesh do të ketë në lidhje me detyrën?

Si e dini se një monedhë është simetrike? Le ta kuptojmë këtë, ndonjëherë disa fraza shkaktojnë keqkuptime. Le ta kuptojmë këtë problem konceptualisht. Le të kuptojmë me ju në eksperimentin që përshkruhet se cilat mund të jenë rezultatet elementare. A keni të gjithë ndonjë ide se ku janë kokat dhe ku janë bishtat? Cilat janë opsionet e mundshme të braktisjes? A ka ngjarje të tjera? Sa është numri i përgjithshëm i ngjarjeve? Sipas problemit, dihet që kokat kanë dalë pikërisht një herë. Kjo do të thotë se kjo ngjarjengjarjet elementare nga këto katër OR dhe RO janë të favorshme; kjo nuk mund të ndodhë dy herë. Ne përdorim formulën që llogarit probabilitetin e një ngjarjeje. Si kujtesë, përgjigjet në Pjesën B duhet të jenë ose një numër i plotë ose një dhjetor.

E shfaqim në tabelën interaktive. Ne e lexojmë problemin. Cili është rezultati elementar në këtë përvojë? Sqaroni se çifti është i porositur - domethënë, numri ra në të parën dhe në të dytën. Në çdo problem ka momente kur duhet të zgjidhni metoda racionale, formularë dhe ta paraqisni zgjidhjen në formën e tabelave, diagrameve etj. Në këtë problem është i përshtatshëm për të përdorur një tabelë të tillë. Po ju jap një zgjidhje të gatshme, por gjatë zgjidhjes rezulton se në këtë problem është racionale të përdoret një zgjidhje në formën e tabelës. Ne shpjegojmë se çfarë do të thotë tabela. Ju mund të kuptoni pse kolonat thonë 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Le të vizatojmë një katror. Linjat korrespondojnë me rezultatet e hedhjes së parë - janë gjashtë prej tyre, sepse kadaja ka gjashtë anë. Kështu janë edhe kolonat. Në çdo qelizë shkruajmë shumën e pikave të tërhequra. Ne tregojmë tabelën e plotësuar. Le të ngjyrosim qelizat ku shuma është e barabartë me tetë (siç kërkohet në kusht).

Besoj se problemi i radhës, pasi të analizojmë të mëparshmet, mund t'u jepet fëmijëve për ta zgjidhur vetë.

Në problemet e mëposhtme nuk ka nevojë të shënohen të gjitha rezultatet elementare. Mjafton thjesht të numërosh numrin e tyre.

(Nuk ka zgjidhje) Unë ua dhashë këtë problem djemve për ta zgjidhur vetë. Algoritmi për zgjidhjen e problemit

1. Përcaktoni nga çfarë përbëhet një eksperiment i rastësishëm dhe çfarë është një ngjarje e rastësishme.

2. Gjeni numrin e përgjithshëm të ngjarjeve elementare.

3. Gjeni numrin e ngjarjeve të favorshme për ngjarjen e specifikuar në deklaratën e problemit.

4. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje duke përdorur formulën.

Studentëve mund t'u bëhet një pyetje: nëse 1000 bateri dalin në shitje, dhe ndër to 6 janë të gabuara, atëherë si përcaktohet bateria e zgjedhur? Çfarë është në detyrën tonë? Më pas shtroj pyetjen për të gjetur atë që përdoret si numër këtudhe ju sugjeroj ta gjeninumri. Më pas pyes, cila është ngjarja këtu? Sa akumulatorë kontribuojnë në ngjarje? Më pas, duke përdorur formulën, ne llogarisim këtë probabilitet.

Këtu djemve mund t'u ofrohet një zgjidhje e dytë. Le të diskutojmë se çfarë mund të jetë kjo metodë?

1. Çfarë ngjarje mund të shqyrtojmë tani?

2. Si të gjendet probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar?

Djemtë duhet të tregohen për këto formula. Ato janë si më poshtë

Problemi i tetë mund t'u ofrohet fëmijëve vetë, pasi është i ngjashëm me problemin e gjashtë. Mund t'u ofrohet atyre si punë e pavarur, ose në një kartë në bord.

Ky problem mund të zgjidhet në lidhje me Olimpiadën që po zhvillohet aktualisht. Përkundër faktit se në detyra përfshihen ngjarje të ndryshme, detyrat janë tipike.

2. Rregullat dhe formulat më të thjeshta për llogaritjen e probabiliteteve (ngjarje të kundërta, shuma e ngjarjeve, prodhimi i ngjarjeve)

Kjo është një detyrë nga koleksioni i Provimit të Unifikuar të Shtetit. E shfaqim zgjidhjen në tabelë. Çfarë pyetjesh duhet t'u bëjmë studentëve për të kuptuar këtë problem?

1. Sa makina kishte? Nëse ka dy makina, atëherë ka tashmë dy ngjarje. U bëj një pyetje fëmijëve - si do të jetë ngjarja?? Cila do të jetë ngjarja e dytë?

2. është probabiliteti i një ngjarjeje. Nuk kemi nevojë ta llogarisim, pasi është dhënë në kusht. Sipas kushteve të problemit, probabiliteti që “kafeja të mbarojë në të dy makinat” është 0,12. Kishte ngjarje A, kishte ngjarje B. Dhe shfaqet një ngjarje e re? Unë u bëj fëmijëve një pyetje - cila? Kjo është ngjarja kur të dy makinave u mbaron kafeja. Në këtë rast, në teorinë e probabilitetit, kjo është një ngjarje e re, e cila quhet kryqëzimi i dy ngjarjeve A dhe B dhe është caktuar në këtë mënyrë.

Le të përdorim formulën e shtimit të probabilitetit. Formula është si më poshtë

Ne jua japim atë në materialin referues dhe djemve mund t'u jepet kjo formulë. Kjo ju lejon të gjeni probabilitetin e një shume ngjarjesh. Na pyetën probabilitetin e ngjarjes së kundërt, probabiliteti i së cilës gjendet duke përdorur formulën.

Problemi 13 përdor konceptin e produktit të ngjarjeve, formula për gjetjen e probabilitetit të së cilës është dhënë në shtojcë.

3. Problemet që përfshijnë përdorimin e një peme të opsioneve të mundshme

Bazuar në kushtet e problemit, është e lehtë të hartoni një diagram dhe të gjeni probabilitetet e treguara.

Çfarë materiali teorik keni përdorur për të ndihmuar studentët të zgjidhin probleme të këtij lloji? A keni përdorur ndonjë pemë të mundshme ose metoda të tjera për të zgjidhur probleme të tilla? E keni dhënë konceptin e grafikëve? Në klasën e pestë apo të gjashtë fëmijët kanë probleme të tilla, analiza e të cilave jep konceptin e grafikëve.

Do të doja t'ju pyesja, a keni menduar ju dhe studentët tuaj të përdorni një pemë të opsioneve të mundshme kur zgjidhni problemet e probabilitetit? Fakti është se jo vetëm që Provimi i Unifikuar i Shtetit ka detyra të tilla, por janë shfaqur probleme mjaft komplekse që tani do t'i zgjidhim.

Le të diskutojmë me ju metodologjinë për zgjidhjen e problemeve të tilla - nëse përkon me metodologjinë time, siç u shpjegoj djemve, atëherë do të jetë më e lehtë për mua të punoj me ju, nëse jo, atëherë do t'ju ndihmoj të merreni me këtë problem.

Le të diskutojmë ngjarjet. Cilat ngjarje në problemin 17 mund të izolohen?

Kur ndërtoni një pemë në një aeroplan, caktohet një pikë, e cila quhet rrënja e pemës. Më pas fillojmë të shqyrtojmë ngjarjetDhe. Do të ndërtojmë një segment (në teorinë e probabilitetit quhet degë). Sipas kushtit thuhet qe fabrika e pare prodhon 30% te celulareve te kesaj marke (cilin? Ate qe prodhojne), qe do te thote se ne momentin qe po pyes studentet sa eshte probabiliteti i fabrikes se pare. prodhojnë telefona të kësaj marke, ata që prodhojnë? Meqenëse ngjarja është lëshimi i një telefoni në fabrikën e parë, probabiliteti i kësaj ngjarje është 30% ose 0.3. Telefonat e mbetur u prodhuan në fabrikën e dytë - ne po ndërtojmë segmentin e dytë, dhe probabiliteti i kësaj ngjarje është 0.7.

U drejtohet nxënësve pyetja: çfarë lloj telefoni mund të prodhohej nga fabrika e parë? Me apo pa defekt. Sa është probabiliteti që një telefon i prodhuar nga fabrika e parë të ketë një defekt? Kushti thotë se është i barabartë me 0.01. Pyetje: Sa është probabiliteti që telefoni i prodhuar nga fabrika e parë të mos ketë defekt? Meqenëse kjo ngjarje është e kundërt me atë të dhënë, probabiliteti i saj është i barabartë.

Duhet të gjesh probabilitetin që telefoni të jetë me defekt. Mund të jetë nga fabrika e parë, ose ndoshta nga e dyta. Pastaj përdorim formulën për mbledhjen e probabiliteteve dhe gjejmë se i gjithë probabiliteti është shuma e probabiliteteve që telefoni me defekt të jetë nga fabrika e parë dhe se telefoni me defekt është nga fabrika e dytë. Do të gjejmë probabilitetin që telefoni të ketë një defekt dhe të jetë prodhuar në fabrikën e parë duke përdorur formulën e produktit të probabiliteteve, e cila është dhënë në shtojcë.

4. Një nga problemet më të vështira nga banka e Unifikuar e Provimit të Shtetit mbi probabilitetin

Le të shohim, për shembull, nr. 320199 nga Banka e Detyrave FIPI. Kjo është një nga detyrat më të vështira në B6.

Për të hyrë në institutin për specialitetin "Gjuhësi", aplikanti Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe një gjuhë të huaj. Për t'u regjistruar në specialitetin "Tregti", duhet të shënoni të paktën 70 pikë në secilën nga tre lëndët - matematikë, gjuhë ruse dhe studime sociale.

Probabiliteti që aplikanti Z. të marrë të paktën 70 pikë në matematikë është 0,6, në rusisht - 0,8, në një gjuhë të huaj - 0,7 dhe në studime sociale - 0,5.

Gjeni probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të regjistrohet në të paktën një nga dy specialitetet e përmendura.

Vini re se problemi nuk shtron pyetjen nëse një aplikant me emrin Z. do të studiojë njëkohësisht edhe gjuhësi edhe tregti dhe do të marrë dy diploma. Këtu duhet të gjejmë probabilitetin që Z. do të jetë në gjendje të regjistrohet në të paktën një nga këto dy specialitete - domethënë, ai do të marrë numrin e kërkuar të pikëve.

Për të hyrë në të paktën një nga dy specialitetet, Z. duhet të marrë të paktën 70 pikë në matematikë. Dhe në rusisht. Dhe gjithashtu - studime sociale ose të huaja.

Probabiliteti që ai të marrë 70 pikë në matematikë është 0.6.

Probabiliteti për të fituar pikë në matematikë dhe rusisht është i barabartë.

Të merremi me studime të huaja dhe sociale. Opsionet që na përshtaten janë kur aplikanti ka marrë pikë në studimet sociale, studimet e huaja ose të dyja. Opsioni nuk është i përshtatshëm kur ai nuk shënoi asnjë pikë as në gjuhë, as në "shoqëri". Kjo do të thotë se probabiliteti për të kaluar studimet sociale ose gjuhë të huaj me të paktën 70 pikë është i barabartë. Si rezultat, probabiliteti për të kaluar në matematikë, studime ruse dhe sociale ose të huaja është i barabartë

Kjo është përgjigja.

II . Zgjidhja e problemeve të kombinuara

1. Numri i kombinimeve dhe faktorialeve

Le të shohim shkurtimisht materialin teorik.

Shprehjen ! lexohet si "en-faktorial" dhe tregon prodhimin e të gjithë numrave natyrorë nga 1 nën përfshirëse:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Përveç kësaj, në matematikë, sipas përkufizimit, ata besojnë se 0! = 1. Një shprehje e tillë është e rrallë, por përsëri shfaqet në problemet në teorinë e probabilitetit.

Përkufizimi

Le të ketë objekte (lapsa, karamele, çfarëdo) nga të cilat dëshironi të zgjidhni saktësisht objekte të ndryshme. Atëherë thirret numri i opsioneve për një zgjedhje të tillënumri i kombinimeve nga elementet nga. Ky numër përcaktohet dhe llogaritet duke përdorur një formulë të veçantë.

Emërtimi

Çfarë na jep kjo formulë? Në fakt, pothuajse asnjë problem serioz nuk mund të zgjidhet pa të.

Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa probleme të thjeshta kombinuese:

Detyrë

Banakieri ka 6 lloje çaji jeshil. Për të zhvilluar një ceremoni çaji, duhet të servirni saktësisht 3 lloje të ndryshme çaji jeshil. Në sa mënyra banakieri mund të plotësojë një porosi?

Zgjidhje

Gjithçka është e thjeshtë këtu: kan = 6 varietete për të zgjedhurk = 3 varietete. Numri i kombinimeve mund të gjendet duke përdorur formulën:

Përgjigju

Zëvendësoni në formulë. Ne nuk mund t'i zgjidhim të gjitha problemet, por ne kemi shkruar problemet tipike dhe ato janë paraqitur në vëmendjen tuaj.

Detyrë

Në një grup prej 20 studentësh, ju duhet të zgjidhni 2 përfaqësues për të folur në konferencë. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje

Përsëri, kjo është gjithçka që kemin = 20 studentë, por ju duhet të zgjidhnik = 2 studentë. Gjeni numrin e kombinimeve:

Ju lutemi vini re: faktorët e përfshirë në faktorë të ndryshëm janë shënuar me të kuqe. Këta shumëzues mund të reduktohen pa dhimbje dhe në këtë mënyrë të zvogëlojnë ndjeshëm sasinë e përgjithshme të llogaritjeve.

Përgjigju

190

Detyrë

Në magazinë janë dorëzuar 17 serverë me defekte të ndryshme, të cilët kushtojnë 2 herë më pak se serverët normalë. Drejtori bleu 14 serverë të tillë për shkollën dhe paratë e kursyera në shumën prej 200,000 rubla i përdori për të blerë pajisje të tjera. Në sa mënyra drejtori mund të zgjedhë serverë me defekt?

Zgjidhje

Problemi përmban mjaft të dhëna shtesë që mund të jenë konfuze. Faktet më të rëndësishme: ka vetëmn = 17 serverë, dhe drejtori ka nevojëk = 14 serverë. Ne numërojmë numrin e kombinimeve:

Shumëzuesit që po zvogëlohen tregohen përsëri me të kuqe. Në total, kishte 680 kombinime. Në përgjithësi, drejtori ka shumë për të zgjedhur.

Përgjigju

680

Kjo detyrë është e ndërlikuar sepse ka të dhëna shtesë në këtë detyrë. Ato i bëjnë shumë studentë të devijojnë nga marrja e vendimit të duhur. Kishte gjithsej 17 serverë dhe drejtori duhej të zgjidhte 14. Duke zëvendësuar në formulë, marrim 680 kombinime.

2. Ligji i shumëzimit

Përkufizimi

Ligji i shumëzimit në kombinatorikë: shumëzohet numri i kombinimeve (mënyrave, kombinimeve) në grupe të pavarura.

Me fjalë të tjera, le të ketëA mënyrat për të kryer një veprim dheB mënyra për të kryer një veprim tjetër. Rruga është gjithashtu se këto veprime janë të pavarura, d.m.th. nuk kanë asnjë lidhje me njëra-tjetrën. Pastaj mund të gjeni numrin e mënyrave për të kryer veprimet e para dhe të dyta duke përdorur formulën:C = A · B .

Detyrë

Petya ka 4 monedha 1 rubla dhe 2 monedha 10 rubla. Petya, pa parë, mori nga xhepi 1 monedhë me vlerë nominale 1 rubla dhe 1 monedhë tjetër me vlerë nominale 10 rubla për të blerë një stilolaps për 11 rubla. Në sa mënyra mund t'i zgjedhë ai këto monedha?

Zgjidhje

Pra, së pari Petya merrk = 1 monedhë ngan = 4 monedha të disponueshme me vlerë nominale 1 rubla. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 4 1 = ... = 4.

Pastaj Petya fut përsëri në xhep dhe e nxjerr jashtëk = 1 monedhë ngan = 2 monedha të disponueshme me vlerë nominale 10 rubla. Këtu numri i kombinimeve është i barabartë meC 2 1 = ... = 2.

Meqenëse këto veprime janë të pavarura, numri i përgjithshëm i opsioneve është i barabartë meC = 4 · 2 = 8.

Përgjigju

Detyrë

Ka 8 topa të bardhë dhe 12 topa të zinj në një kosh. Në sa mënyra mund të merrni 2 topa të bardhë dhe 2 topa të zinj nga kjo kosh?

Zgjidhje

Gjithsej në karrocën = 8 topa të bardhë për të zgjedhurk = 2 topa. Mund të bëhetC 8 2 = ... = 28 mënyra të ndryshme.

Përveç kësaj, karroca përmbann = 12 topa të zinj, nga të cilët duhet të zgjidhni përsërik = 2 topa. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 12 2 = ... = 66.

Meqenëse zgjedhja e një topi të bardhë dhe zgjedhja e një topi të zi janë ngjarje të pavarura, numri i përgjithshëm i kombinimeve llogaritet sipas ligjit të shumëzimit:C = 28 · 66 = 1848. Siç mund ta shihni, mund të ketë mjaft opsione.

Përgjigju

1848

Ligji i shumëzimit tregon se sa mënyra mund të kryhet një veprim kompleks që përbëhet nga dy ose më shumë të thjeshta - me kusht që të jenë të gjithë të pavarur.

3. Ligji i shtimit

Nëse ligji i shumëzimit funksionon me ngjarje "të izoluara" që nuk varen nga njëra-tjetra, atëherë në ligjin e mbledhjes është e kundërta. Ai merret me ngjarje reciproke ekskluzive që nuk ndodhin kurrë në të njëjtën kohë.

Për shembull, "Petya mori 1 monedhë nga xhepi i tij" dhe "Petya nuk nxori asnjë monedhë nga xhepi i tij" janë ngjarje reciproke ekskluzive, pasi është e pamundur të nxirret një monedhë pa nxjerrë asnjë.

Po kështu, ngjarjet "Topi i rastësishëm është i bardhë" dhe "Topi i rastësishëm është i zi" janë gjithashtu reciprokisht ekskluzive.

Përkufizimi

Ligji i shtimit në kombinatorikë: nëse mund të kryhen dy veprime që përjashtojnë njëra-tjetrënA DheB metodat në përputhje me rrethanat, atëherë këto ngjarje mund të kombinohen. Kjo do të krijojë një ngjarje të re që mund ta ekzekutoniX = A + B mënyrat.

Me fjalë të tjera, kur kombinohen veprime reciproke ekskluzive (ngjarje, opsione), numri i kombinimeve të tyre shtohet.

Mund të themi se ligji i mbledhjes është një "OR" logjik në kombinatorikë, kur jemi të kënaqur me ndonjë nga opsionet ekskluzive reciproke. Në të kundërt, ligji i shumëzimit është një "DHE" logjike, në të cilën ne jemi të interesuar në ekzekutimin e njëkohshëm të veprimeve të para dhe të dyta.

Detyrë

Ka 9 topa të zinj dhe 7 topa të kuq në një kosh. Djali nxjerr 2 topa të së njëjtës ngjyrë. Në sa mënyra mund ta bëjë këtë?

Zgjidhje

Nëse topat janë me të njëjtën ngjyrë, atëherë ka pak opsione: ato janë ose të zeza ose të kuqe. Natyrisht, këto opsione janë reciprokisht ekskluzive.

Në rastin e parë, djali duhet të zgjedhëk = 2 topa të zinj ngan = 9 në dispozicion. Numri i mënyrave për ta bërë këtë ështëC 9 2 = ... = 36.

Në mënyrë të ngjashme, në rastin e dytë ne zgjedhimk = 2 topa të kuq ngan = 7 e mundur. Numri i mënyrave është i barabartëC 7 2 = ... = 21.

Mbetet për të gjetur numrin total të mënyrave. Meqenëse opsionet me topa të zinj dhe të kuq janë reciprokisht ekskluzive, sipas ligjit të shtimit kemi:X = 36 + 21 = 57.

Përgjigju57

Detyrë

Tezga shet 15 trëndafila dhe 18 tulipanë. Një nxënës i klasës së 9-të dëshiron të blejë 3 lule për shokun e tij të klasës dhe të gjitha lulet duhet të jenë të njëjta. Në sa mënyra mund të bëjë një buqetë të tillë?

Zgjidhje

Sipas kushtit, të gjitha lulet duhet të jenë të njëjta. Kjo do të thotë që ne do të blejmë ose 3 trëndafila ose 3 tulipanë. Gjithsesi,k = 3.

Në rastin e trëndafilave do t'ju duhet të zgjidhnin = 15 opsione, pra numri i kombinimeve ështëC 15 3 = ... = 455. Për tulipanëtn = 18, dhe numri i kombinimeve ështëC 18 3 = ... = 816.

Meqenëse trëndafilat dhe tulipanët janë opsione ekskluzive reciproke, ne punojmë sipas ligjit të shtimit. Ne marrim numrin total të opsioneveX = 455 + 816 = 1271. Kjo është përgjigja.

Përgjigju

1271

Kushtet dhe kufizimet shtesë

Shumë shpesh, teksti i problemit përmban kushte shtesë që vendosin kufizime të rëndësishme në kombinimet me interes për ne. Krahasoni dy fjali:

Ka një set me 5 stilolapsa me ngjyra të ndryshme. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 stilolapsa për të përshkruar një vizatim?

Ka një set me 5 stilolapsa me ngjyra të ndryshme. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 stilolapsa për të përshkruar një vizatim nëse njëri prej tyre duhet të jetë i kuq?

Në rastin e parë, ne kemi të drejtë të marrim çdo ngjyrë që na pëlqen - nuk ka kufizime shtesë. Në rastin e dytë, gjithçka është më e ndërlikuar, pasi na kërkohet të zgjedhim një stilolaps të kuq (supozohet se është në grupin origjinal).

Natyrisht, çdo kufizim zvogëlon ndjeshëm numrin përfundimtar të opsioneve. Epo, si mund ta gjeni numrin e kombinimeve në këtë rast? Vetëm mbani mend këtë rregull:

Le të ketë një grup tën elementet nga të cilët mund të zgjidhnik elementet. Kur futni kufizime shtesë në numërn Dhek ulet me të njëjtën sasi.

Me fjalë të tjera, nëse nga 5 stilolapsa ju duhet të zgjidhni 3, dhe njëri prej tyre duhet të jetë i kuq, atëherë do të duhet të zgjidhni ngan = 5 − 1 = 4 elementë secilik = 3 − 1 = 2 elemente. Pra, në vend tëC 5 3 duhet të numërohenC 4 2 .

Tani le të shohim se si funksionon ky rregull duke përdorur shembuj specifikë:

Detyrë

Në një grup prej 20 studentësh, duke përfshirë 2 studentë të shkëlqyer, ju duhet të zgjidhni 4 persona për të marrë pjesë në konferencë. Në sa mënyra mund të zgjidhen këta katër nëse studentët e shkëlqyer duhet të shkojnë në konferencë?

Zgjidhje

Pra, ekziston një grup in = 20 studentë. Por ju vetëm duhet të zgjidhnik = 4 prej tyre. Nëse nuk do të kishte kufizime shtesë, atëherë numri i opsioneve do të ishte i barabartë me numrin e kombinimeveC 20 4 .

Megjithatë, na u dha një kusht shtesë: 2 studentë ekselentë duhet të jenë në mesin e këtyre katërve. Pra, sipas rregullit të mësipërm, i zvogëlojmë numratn Dhek nga 2. Kemi:

Përgjigju

153

Detyrë

Petya ka 8 monedha në xhep, nga të cilat 6 janë monedha rubla dhe 2 janë monedha 10 rubla. Petya transferon rreth tre monedha në një xhep tjetër. Në sa mënyra Petya mund ta bëjë këtë nëse dihet që të dy monedhat prej 10 rubla përfunduan në xhepin tjetër?

Zgjidhje

Pra kan = 8 monedha. Petya ndërronk = 3 monedha, 2 prej të cilave janë monedha dhjetë rubla. Rezulton se nga 3 monedha që do të transferohen, 2 tashmë janë rregulluar, kështu që numratn Dhek duhet të reduktohet me 2. Kemi:

Përgjigju

III . Zgjidhja e problemeve të kombinuara duke përdorur formulat e kombinatorikës dhe teorisë së probabilitetit

Detyrë

Petya kishte në xhepin e tij 4 monedha rubla dhe 2 monedha rubla. Petya, pa parë, transferoi rreth tre monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që të dy monedhat me dy rubla të jenë në të njëjtin xhep.

Zgjidhje

Supozoni se të dy monedhat me dy rubla përfunduan në të njëjtin xhep, atëherë 2 opsione janë të mundshme: ose Petya nuk i transferoi fare, ose ai i transferoi të dyja menjëherë.

Në rastin e parë, kur monedhat me dy rubla nuk u zhvendosën, do të duhet të zhvendosni monedha 3 rubla. Meqenëse ka 4 monedha të tilla në total, numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 3:C 4 3 .

Në rastin e dytë, kur të dy monedhat me dy rubla janë transferuar, do të duhet të transferohet një monedhë tjetër rubla. Duhet të zgjidhet nga 4 ekzistuese, dhe numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 1:C 4 1 .

Tani le të gjejmë numrin total të mënyrave për të riorganizuar monedhat. Meqenëse ka gjithsej 4 + 2 = 6 monedha, dhe ju duhet të zgjidhni vetëm 3 prej tyre, numri i përgjithshëm i opsioneve është i barabartë me numrin e kombinimeve 6 me 3:C 6 3 .

Mbetet për të gjetur probabilitetin:

Përgjigju

0,4

Shfaq në tabelën e bardhë interaktive. Kushtojini vëmendje faktit që, sipas kushteve të problemit, Petya, pa parë, vendosi tre monedha në një xhep. Duke iu përgjigjur kësaj pyetjeje, mund të supozojmë se dy monedha me dy rubla në të vërtetë mbetën në një xhep. Referojuni formulës për shtimin e probabiliteteve. Trego përsëri formulën.

Detyrë

Petya kishte në xhep 2 monedha 5 rubla dhe 4 monedha 10 rubla. Petya, pa parë, transferoi rreth 3 monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që monedhat prej pesë rubla janë tani në xhepa të ndryshëm.

Zgjidhje

Për të mbajtur monedha prej pesë rubla në xhepa të ndryshëm, duhet të lëvizni vetëm njërën prej tyre. Numri i mënyrave për ta bërë këtë është i barabartë me numrin e kombinimeve 2 me 1:C 2 1 .

Meqenëse Petya zhvendosi 3 monedha në total, ai do të duhet të zhvendosë edhe 2 monedha të tjera me nga 10 rubla secila. Petya ka 4 monedha të tilla, kështu që numri i mënyrave është i barabartë me numrin e kombinimeve 4 me 2:C 4 2 .

Mbetet për të gjetur se sa opsione ka për të transferuar 3 monedha nga 6 në dispozicion. Kjo sasi, si në problemin e mëparshëm, është e barabartë me numrin e kombinimeve 6 me 3:C 6 3 .

Ne gjejmë probabilitetin:

Në hapin e fundit, ne shumëzuam numrin e mënyrave për të zgjedhur monedhat me dy rubla dhe numrin e mënyrave për të zgjedhur monedhat me dhjetë rubla, pasi këto ngjarje janë të pavarura.

Përgjigju

0,6

Pra, problemet e monedhave kanë formulën e tyre të probabilitetit. Është aq e thjeshtë dhe e rëndësishme sa mund të formulohet si një teoremë.

Teorema

Le të hidhet monedhan një herë. Atëherë probabiliteti që kokat do të ulen saktësishtk herë, mund të gjendet duke përdorur formulën:

KuC n k - numri i kombinimeve tën elementet ngak , e cila llogaritet me formulën:

Kështu, për të zgjidhur problemin e monedhës, ju nevojiten dy numra: numri i hedhjeve dhe numri i kokave. Më shpesh, këta numra jepen drejtpërdrejt në tekstin e problemit. Për më tepër, nuk ka rëndësi se çfarë saktësisht numëroni: bishtat apo kokat. Përgjigja do të jetë e njëjtë.

Në pamje të parë, teorema duket shumë e rëndë. Por sapo të praktikoni pak, nuk do të dëshironi më të ktheheni në algoritmin standard të përshkruar më sipër.

Monedha hidhet katër herë. Gjeni probabilitetin për të marrë kokat saktësisht tre herë.

Zgjidhje

Sipas problemit, gjuajtjet totale ishinn = 4. Numri i kërkuar i shqiponjave:k = 3. Zëvendësuesn Dhek në formulën:

Po aq lehtë mund të numëroni numrin e kokave:k = 4 − 3 = 1. Përgjigja do të jetë e njëjtë.

Përgjigju

0,25

Detyrë [Fletore pune “Provimi i Bashkuar i Shtetit 2012 në matematikë. Problemet B6"]

Monedha hidhet tre herë. Gjeni probabilitetin që nuk do të keni kurrë kokë.

Zgjidhje

Duke shkruar përsëri numratn Dhek . Meqenëse monedha është hedhur 3 herë,n = 3. Dhe meqenëse nuk duhet të ketë koka,k = 0. Mbetet për të zëvendësuar numratn Dhek në formulën:

Më lejoni t'ju kujtoj se 0! = 1 sipas përkufizimit. Kjo është arsyeja pseC 3 0 = 1.

Përgjigju

0,125

Problem [provim i unifikuar shtetëror në matematikë 2012. Irkutsk]

Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet 4 herë. Gjeni probabilitetin që kokat të shfaqen më shumë se bishtat.

Zgjidhje

Që të ketë më shumë koka se bishta, ato duhet të shfaqen ose 3 herë (pastaj do të ketë 1 bisht) ose 4 herë (atëherë nuk do të ketë fare bisht). Le të gjejmë probabilitetin e secilës prej këtyre ngjarjeve.

Lefq 1 - probabiliteti që kokat të shfaqen 3 herë. Pastajn = 4, k = 3. Kemi:

Tani le të gjejmëfq 2 - probabiliteti që kokat të shfaqen 4 herë. Në këtë rastn = 4, k = 4. Kemi:

Për të marrë përgjigjen, mbetet vetëm të mblidhen probabilitetetfq 1 Dhefq 2 . Mbani mend: ju mund të shtoni vetëm probabilitete për ngjarje ekskluzive reciproke. Ne kemi:

fq = fq 1 + fq 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Përgjigju

0,3125

Për të kursyer kohën tuaj kur përgatiteni me djemtë për Provimin e Bashkuar të Shtetit dhe Provimin e Shtetit, ne kemi paraqitur zgjidhje për shumë probleme të tjera që mund të zgjidhni dhe zgjidhni me djemtë.

Materiale nga Instituti Shtetëror i Provimeve, Provimi i Unifikuar Shtetëror i viteve të ndryshme, tekste dhe faqe interneti.

IV. Materiali referues

Përkufizimi klasik i probabilitetit

Ngjarje e rastësishme – çdo ngjarje që mund të ndodhë ose jo si rezultat i ndonjë përvoje.

Probabiliteti i ngjarjes R e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme k në numrin e rezultateve të mundshme n, d.m.th.

p=\frac(k)(n)

Formulat për mbledhjen dhe shumëzimin e teorisë së probabilitetit

Ngjarja \bar(A) thirrur përballë ngjarjes A, nëse ngjarja A nuk ka ndodhur.

Shuma e probabiliteteve e ngjarjeve të kundërta është e barabartë me një, d.m.th.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Probabiliteti i një ngjarjeje nuk mund të jetë më i madh se 1.
• Nëse probabiliteti i një ngjarjeje është 0, atëherë ajo nuk do të ndodhë.
• Nëse probabiliteti i një ngjarjeje është 1, atëherë ajo do të ndodhë.

Teorema e shtimit të probabilitetit:

"Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabiliteti shumat dy ngjarje të përbashkëta e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa marrë parasysh ndodhjen e tyre të përbashkët:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema e shumëzimit të probabilitetit

"Probabiliteti i ndodhjes së dy ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabiliteteve të njërës prej tyre dhe probabilitetit të kushtëzuar të tjetrës, e llogaritur me kushtin që të ndodhë e para."

P(AB)=P(A)*P(B)

Ngjarjet quhen të papajtueshme, nëse pamja e njërit prej tyre përjashton pamjen e të tjerëve. Kjo është, vetëm një ngjarje specifike ose një tjetër mund të ndodhë.

Ngjarjet quhen të përbashkët, nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e përjashton ndodhjen e tjetrës.

Dy ngjarje të rastësishme A dhe B quhen të pavarur, nëse ndodhja e njërës prej tyre nuk e ndryshon probabilitetin e ndodhjes së tjetrës. Përndryshe, ngjarjet A dhe B quhen të varura.

Në një fabrikë të pllakave qeramike, 5% e pllakave të prodhuara kanë një defekt. Gjatë kontrollit të cilësisë së produktit, zbulohen vetëm 40% e pllakave me defekt. Pllakat e mbetura dërgohen në shitje. Gjeni probabilitetin që një pllakë e zgjedhur rastësisht pas blerjes të mos ketë defekte. Rrumbullakosni përgjigjen tuaj në të qindtën më të afërt.

Zgjidhje

Gjatë kontrollit të cilësisë së produktit, identifikohen 40% e pllakave me defekt, të cilat përbëjnë 5% të pllakave të prodhuara dhe nuk dalin në shitje. Kjo do të thotë që 0,4 · 5% = 2% e pllakave të prodhuara nuk dalin në shitje. Pjesa tjetër e pllakave të prodhuara - 100% - 2% = 98% - dalin në shitje.

100% - 95% e pllakave të prodhuara janë pa defekte. Probabiliteti që pllaka e blerë të mos ketë një defekt është 95%: 98% = \frac(95)(98)\afërsisht 0,97

Përgjigju

gjendja

Probabiliteti që bateria të mos jetë e ngarkuar është 0.15. Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Zgjidhje

Probabiliteti që bateria të jetë e ngarkuar është 1-0,15 = 0,85. Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dy bateritë janë të ngarkuara". Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "bateria e parë është e ngarkuar" dhe "bateria e dytë është e ngarkuar". Morëm P(A) = P(B) = 0.85. Ngjarja "të dy bateritë janë të ngarkuara" është kryqëzimi i ngjarjeve A \capa B, probabiliteti i tij është i barabartë me P(A\kapakë B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Probabiliteti që një makinë larëse e re të riparohet me garanci brenda një viti është 0.065. Në një qytet të caktuar, gjatë vitit janë shitur 1200 lavatriçe, nga të cilat 72 janë dorëzuar në një punishte garancie. Përcaktoni se sa e ndryshme është frekuenca relative e ndodhjes së ngjarjes së "riparimit të garancisë" nga probabiliteti i saj në këtë qytet?

Zgjidhje

Frekuenca e ngjarjes "makina larëse do të riparohet me garanci brenda një viti" është e barabartë me \frac(72)(1200) = 0,06. Ai ndryshon nga probabiliteti me 0,065-0,06=0,005.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Probabiliteti që stilolapsi të jetë me defekt është 0.05. Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy stilolapsa. Gjeni probabilitetin që të dy stilolapsat në këtë paketë të jenë të mira.

Zgjidhje

Probabiliteti që doreza të funksionojë është 1-0.05 = 0.95. Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dyja dorezat po funksionojnë". Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "doreza e parë po funksionon" dhe "doreza e dytë po funksionon". Morëm P(A) = P(B) = 0,95. Ngjarja "të dy dorezat po funksionojnë" është kryqëzimi i ngjarjeve A\cap B, probabiliteti i saj është i barabartë me P(A\kapakë B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Fotografia tregon një labirint. Beetle zvarritet në labirint në pikën "Hyrja". Bumbulli nuk mund të kthehet dhe të zvarritet në drejtim të kundërt, kështu që në çdo degëz zgjedh një nga shtigjet në të cilat nuk ka qenë ende. Me çfarë probabiliteti do të dalë brumbulli nga D nëse zgjedhja e rrugës së mëtejshme është e rastësishme.

Zgjidhje

Le të vendosim shigjeta në kryqëzimet në drejtimet në të cilat mund të lëvizë brumbulli (shih figurën).

Në çdo kryqëzim do të zgjedhim një drejtim nga dy të mundshëm dhe supozojmë se kur të arrijë në kryqëzim, brumbulli do të lëvizë në drejtimin që kemi zgjedhur.

Në mënyrë që brumbulli të arrijë në daljen D, është e nevojshme që në çdo kryqëzim të zgjidhet drejtimi i treguar nga vija e kuqe e fortë. Në total, zgjedhja e drejtimit bëhet 4 herë, çdo herë pavarësisht nga zgjedhja e mëparshme. Probabiliteti që shigjeta e kuqe e fortë të zgjidhet çdo herë është \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

gjendja

Ka 16 atletë në seksion, mes tyre dy miq - Olya dhe Masha. Atletët ndahen në mënyrë të rastësishme në 4 grupe të barabarta. Gjeni probabilitetin që Olya dhe Masha të përfundojnë në të njëjtin grup.