Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari

Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funksiyasi, p = 0

Agar y = x p quvvat funktsiyasining ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0, u holda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va birga teng doimiydir:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...

Tabiiy toq darajali n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2 , 3, .. - butun salbiy emas. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.

n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: –∞< x < ∞

Bir nechta qiymatlar: –∞< y < ∞

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

da –∞< x < 0 выпукла вверх

0 da< x < ∞ выпукла вниз

Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

x = 0 da, y(0) = 0 n = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...

Tabiiy juft darajali n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n darajali funktsiyani ko'rib chiqaylik. Bu ko'rsatkichni quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, . .. - tabiiy. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.

n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: –∞< x < ∞

Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞

Monoton:

x da< 0 монотонно убывает

x > 0 uchun monoton ravishda ortadi

Ekstremallar: minimal, x = 0, y = 0

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0
Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

x = 0 da, y(0) = 0 n = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = -1, -2, -3, ...

Manfiy butun ko‘rsatkichli n = -1, -2, -3, ... bo‘lgan y = x p = x n darajali funksiyani ko‘rib chiqaylik. Agar n = –k qo‘ysak, bu yerda k = 1, 2, 3, ... bo‘ladi. natural son bo'lsa, u quyidagicha ifodalanishi mumkin:

n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.

Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...

Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вверх

x > 0 uchun: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Belgisi: x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...

Quyida juft manfiy darajali n = -2, -4, -6, ... bo'lgan y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y > 0

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно возрастает

x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi

Ekstremal: yo'q

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

Belgisi: y > 0

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n = 1

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi

Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m umumiy bo'luvchilarga ega emas.

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning ijobiy va salbiy qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday kuch funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

p-qiymati salbiy, p< 0

Ratsional ko'rsatkich (toq maxraj m = 3, 5, 7, ... bilan) noldan kichik bo'lsin: .

Quvvat funksiyalarining grafiklari ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional salbiy ko'rsatkich bilan, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.

Toq son, n = -1, -3, -5, ...

Ratsional manfiy darajali y = x p daraja funksiyasining xossalarini keltiramiz, bunda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq tabiiy butun son.

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Monotonlik: monoton ravishda pasayadi

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вверх

x > 0 uchun: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = (–1) n = –1

x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1

Juft sanoqchi, n = -2, -4, -6, ...

Ratsional manfiy ko'rsatkichli y = x p daraja funksiyasining xossalari, bu erda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son. .

Aniqlash diapazoni: x ≠ 0

Bir nechta qiymatlar: y > 0

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно возрастает

x > 0 uchun: monoton ravishda kamayadi

Ekstremal: yo'q

Qavariq: qavariq pastga

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: yo'q

Belgisi: y > 0

p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1

Quvvat funksiyasi grafigi ratsional ko'rsatkich bilan (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Toq son, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: –∞< x < +∞

Bir nechta qiymatlar: –∞< y < +∞

Paritet: toq, y(–x) = – y(x)

Monotonlik: monoton ravishda ortib boradi

Ekstremal: yo'q

Qavariq:

x da< 0: выпукла вниз

x > 0 uchun: qavariq yuqoriga

Burilish nuqtalari: x = 0, y = 0

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0

x da< 0, y < 0

x > 0, y > 0 uchun

Shaxsiy qadriyatlar:

x = –1 da, y(–1) = –1

x = 0 da, y(0) = 0

x = 1 uchun, y(1) = 1

Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...

Ratsional ko‘rsatkichi 0 bo‘lgan y = x p quvvat funksiyasining xossalari keltirilgan< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: –∞< x < +∞

Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< +∞

Paritet: juft, y(–x) = y(x)

Monoton:

x da< 0: монотонно убывает

x > 0 uchun: monoton ravishda ortadi

Ekstremallar: x = 0, y = 0 da minimal

Qavariqlik: x ≠ 0 da yuqoriga qavariq

Burilish nuqtalari: yo'q

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x = 0, y = 0

Belgisi: x ≠ 0, y > 0 uchun

Quvvat funksiyasi y=x n ko'rinishdagi funksiya deb ataladi (y ni n ning kuchiga teng x ga teng deb o'qiladi), bu erda n qandaydir berilgan sondir. Quvvat funksiyalarining alohida holatlari y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x va boshqa koʻplab funksiyalardir. Keling, ularning har biri haqida batafsilroq aytib beraylik.

Chiziqli funksiya y=x 1 (y=x)

Grafik (0;0) nuqtadan Ox o'qining musbat yo'nalishiga 45 gradus burchak ostida o'tadigan to'g'ri chiziqdir.

Grafik quyida keltirilgan.

Chiziqli funktsiyaning asosiy xususiyatlari:

• Funktsiya ortib bormoqda va butun son qatorida aniqlanadi.
• Uning maksimal yoki minimal qiymatlari yo'q.

Kvadrat funksiya y=x 2

Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir.

Kvadrat funksiyaning asosiy xossalari:

• 1. x =0 da y=0, x0 da y>0
• 2. Kvadrat funksiya o‘zining eng kichik qiymatiga cho‘qqi nuqtasida erishadi. Ymin x=0 da; Shuni ham ta'kidlash kerakki, funktsiya maksimal qiymatga ega emas.
• 3. Funksiya (-∞;0] oraliqda kamayadi va intervalda ortadi)