من الصيغة الأساسية لحجم رباعي الوجوه

أين س هي منطقة أي وجه ، و ح - الارتفاع الذي تم تخفيضه إليه ، يمكنك اشتقاق سلسلة كاملة من الصيغ التي تعبر عن الحجم من حيث العناصر المختلفة للرباعي السطوح. نقدم هذه الصيغ لرباعي الوجوه ا ب ت ث.

(2) ,

أين ∠ ( ميلادي,ABC) - الزاوية بين الحافة ميلادي ووجه الطائرة ABC;

(3) ,

أين ∠ ( ABC,ABD) - الزاوية بين الوجوه ABC و ABD;

أين | AB,قرص مضغوط| - المسافة بين الضلوع المتقابلة AB و قرص مضغوط, ∠ (AB,قرص مضغوط) هي الزاوية بين هذه الحواف.

يمكن استخدام الصيغ (2) - (4) لإيجاد قيم الزوايا بين الخطوط المستقيمة والمستويات ؛ الصيغة (4) مفيدة بشكل خاص ، حيث يمكنك من خلالها إيجاد المسافة بين عبور الخطوط المستقيمة AB و قرص مضغوط.

الصيغتان (2) و (3) تشبهان الصيغة س = (1/2)أبالخطيئة ج لمساحة المثلث. معادلة س = rp الصيغة متشابهة

أين ص هو نصف قطر الكرة المنقوشة لرباعي الوجوه ، هو سطحه الكامل (مجموع مناطق كل الوجوه). هناك أيضًا معادلة جميلة تربط حجم رباعي السطوح بنصف القطر ر المجال الموصوف ( صيغة Crelle):

حيث Δ هي مساحة المثلث ، تساوي أضلاعه عدديًا منتجات الحواف المتقابلة ( AB× قرص مضغوط, تكييف× BD,ميلادي× قبل الميلاد). من الصيغة (2) ونظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية الأضلاع (انظر حساب المثلثات الكروية) ، يمكننا اشتقاق صيغة مشابهة لصيغة هيرون للمثلثات.

ضع في اعتبارك مثلثًا عشوائيًا ABC ونقطة D غير موجودة في مستوى هذا المثلث. دعونا نربط هذه النقطة برؤوس المثلث ABC عن طريق القطع. نتيجة لذلك ، نحصل على مثلثات ADC و CDB و ABD. يُطلق على السطح الذي يحده المثلثات الأربعة ABC و ADC و CDB و ABD اسم رباعي السطوح ويشار إليه بـ DABC.
تسمى المثلثات التي تشكل رباعي الوجوه وجوهها.
تسمى جوانب هذه المثلثات حواف رباعي الوجوه. وقممها هي قمم رباعي الوجوه

رباعي الوجوه 4 وجوه, 6 ضلوع و 4 رؤوس.
تسمى الحافتان اللتان ليس لهما رأس مشترك بالحواف المعاكسة.
في كثير من الأحيان للراحة ، يتم استدعاء أحد وجوه رباعي الوجوه أساس، والأوجه الثلاثة المتبقية هي وجوه جانبية.

وهكذا ، فإن رباعي الوجوه هو أبسط متعدد الوجوه مع أربعة مثلثات كوجوه.

لكن من الصحيح أيضًا أن أي هرم ثلاثي عشوائي هو رباعي السطوح. ثم من الصحيح أيضًا أن يسمى رباعي الوجوه هرم مع مثلث في قاعدته.

ارتفاع رباعي الوجوه يسمى الجزء الذي يربط رأسًا بنقطة تقع على الوجه المقابل وعمودية عليها.
متوسط \u200b\u200bرباعي الوجوه يسمى الجزء الذي يربط الرأس بنقطة تقاطع وسطاء الوجه المعاكس.
ثنائي الأبعاد رباعي الوجوه يسمى الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للحواف المتقاطعة للرباعي السطوح.

نظرًا لأن رباعي السطوح هرم بقاعدة مثلثة ، يمكن حساب حجم أي رباعي السطوح بالصيغة

• س - منطقة أي وجه ،
• ح - ينخفض \u200b\u200bارتفاع هذا الوجه

رباعي الوجوه العادي هو نوع معين من رباعي الوجوه

يسمى رباعي السطوح مع جميع جوانب مثلث متساوي الأضلاع صيح.
خصائص رباعي السطوح العادي:

• كل الوجوه متساوية.
• جميع الزوايا المستوية لرباعي السطوح العادي هي 60 درجة
• نظرًا لأن كل رأس من رؤوسه هو رأس ثلاثة مثلثات منتظمة ، فإن مجموع زوايا المستوى عند كل رأس هو 180 درجة
• يتم إسقاط أي رأس من رباعي الوجوه المنتظم إلى المركز العمودي للوجه المقابل (إلى نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث).

دعونا نحصل على رباعي الوجوه ABCD منتظم مع حواف تساوي a. DH هو ارتفاعها.
لنصنع تركيبات إضافية BM - ارتفاع المثلث ABC و DM - ارتفاع المثلث ACD.
ارتفاع BM يساوي BM ويساوي
فكر في مثلث BDM ، حيث DH ، وهو ارتفاع رباعي الوجوه ، هو أيضًا ارتفاع هذا المثلث.
يمكن إيجاد ارتفاع المثلث الذي تم خفضه إلى الضلع MB باستخدام الصيغة

أين
BM \u003d ، DM \u003d ، BD \u003d أ ،
ع \u003d 1/2 (BM + BD + DM) \u003d
عوّض بهذه القيم في صيغة الارتفاع. نحن نحصل


اخرج 1/2 أ. نحن نحصل

نطبق فرق صيغة المربعات

بعد التحولات الصغيرة نحصل عليها


يمكن حساب حجم أي رباعي السطوح بالصيغة
,
أين ,

استبدال هذه القيم ، نحصل عليها

وبالتالي ، فإن صيغة الحجم لرباعي الوجوه العادية هي

أين أ - حافة رباعي السطوح

حساب حجم رباعي السطوح إذا كانت إحداثيات رؤوسه معروفة

دعونا نحدد إحداثيات رؤوس رباعي الوجوه

ارسم المتجهات ، من الرأس.
للعثور على إحداثيات كل من هذه المتجهات ، اطرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات النهاية. نحن نحصل

بالنسبة إلى رباعي السطوح العادي ، تكون جميع الزوايا ثنائية الأضلاع عند الحواف وجميع الزوايا ثلاثية السطوح عند الرؤوس متساوية

رباعي الوجوه له 4 وجوه و 4 رؤوس و 6 حواف.

الصيغ الأساسية لرباعي وجوه منتظم ترد في الجدول.

أين:
S - مساحة سطح رباعي السطوح العادي
الخامس - الحجم
ح - ارتفاع ينخفض \u200b\u200bإلى القاعدة
r - نصف قطر دائرة منقوشة في رباعي الوجوه
R - نصف قطر الدائرة المحددة
أ - طول الضلع

أمثلة عملية

القرار.
نظرًا لأن جميع حواف الهرم المثلث متساوية ، فهي منتظمة. مساحة سطح الهرم الثلاثي المنتظم هي S \u003d a 2 √3.
ثم
S \u003d 3√3

إجابة: 3√3

مهمة.
جميع حواف الهرم المثلث العادي طولها ٤ سم ، أوجد حجم الهرم

القرار.
نظرًا لأن ارتفاع الهرم في الهرم المثلث العادي يُسقط في مركز القاعدة ، وهو أيضًا مركز الدائرة المُحددة ، إذن

AO \u003d R \u003d √3 / 3 أ
AO \u003d 4√3 / 3

إذن ، يمكن إيجاد ارتفاع الهرم OM من المثلث القائم AOM

AO 2 + OM 2 \u003d AM 2
OM 2 \u003d AM 2 - AO 2
OM 2 \u003d 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 \u003d 16-16/3
OM \u003d √ (32/3)
OM \u003d 4√2 / √3

يمكن إيجاد حجم الهرم بالصيغة V \u003d 1/3 Sh
في هذه الحالة ، يمكن إيجاد مساحة القاعدة بالصيغة S \u003d √3 / 4 a 2

V \u003d 1/3 (3/4 * 16) (4√2 / √3)
الخامس \u003d 16√2 / 3

إجابة: 16√2 / 3 سم

تعريف رباعي الوجوه

رباعي الوجوه - أبسط جسم متعدد السطوح ، وجهه وقاعدته مثلثات.

آلة حاسبة على الانترنت

رباعي الوجوه له أربعة أوجه ، يتكون كل منها من ثلاثة جوانب. رباعي الوجوه له أربعة رؤوس ، ولكل منها ثلاثة حواف.

هذا الجسم مقسم إلى عدة أنواع. يوجد أدناه تصنيفهم.

1. متساوي رباعي السطوح - كل وجوهه مثلثات واحدة ؛
2. تقويم العظام رباعي السطوح - جميع الارتفاعات المرسومة من كل رأس إلى الوجه المقابل هي نفسها في الطول ؛
3. مستطيل رباعي السطوح - تشكل الحواف المنبثقة من رأس واحد زاوية 90 درجة مع بعضها البعض ؛
4. إطار سلكي;
5. متناسب;
6. لامركزية.

صيغ حجم رباعي السطوح

يمكن العثور على حجم جسم معين بعدة طرق. دعونا نفحصها بمزيد من التفصيل.

منتج مختلط من النواقل

إذا كان رباعي الوجوه مبنيًا على ثلاثة متجهات ذات إحداثيات:

أ ⃗ \u003d (أ س ، أ ص ، أ ض) \\ vec (أ) \u003d (أ_كس ، أ_ ص ، أ_ز)أ= (أ x​ , أ ذ​ , أ ض​ )
ب ⃗ \u003d (ب س ، ب ص ، ب ض) \\ vec (ب) \u003d (ب_س ، ب_ ص ، ب_ ع)ب= (ب x​ , ب ذ​ , ب ض​ )
ج ⃗ \u003d (ج س ، ج ص ، ج ض) \\ vec (ج) \u003d (ج_س ، ج_ ص ، ج_ ع)ج= (ج x​ , ج ذ​ , ج ض​ ) ,

ثم حجم هذا رباعي الوجوه هو منتج مختلط من هذه النواقل ، أي ، مثل هذا المحدد:

V \u003d 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V \u003d \\ frac (1) (6) \\ cdot \\ start (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix )الخامس \u003d6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ x​ ب x​ ج x​ ​ أ ذ​ ب ذ​ ج ذ​ ​ أ ض​ ب ض​ ج ض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

إن إحداثيات الرؤوس الأربعة للمجسم الثماني معروفة. أ (1، 4، 9) أ (1،4،9) أ (1 ، 4 ، 9), ب (8، 7، 3) ب (8،7،3) ب (8 ، 7 ، 3), ج (1، 2، 3) ج (1،2،3) ج (1 ، 2 ، 3), د (7، 12، 1) د (7،12،1) د (7 ، 1 2 ، 1)... ابحث عن حجمها.

القرار

أ (1، 4، 9) أ (1،4،9) أ (1 ، 4 ، 9)
ب (8، 7، 3) ب (8،7،3) ب (8 ، 7 ، 3)
ج (1، 2، 3) ج (1،2،3) ج (1 ، 2 ، 3)
د (7، 12، 1) د (7،12،1) د (7 ، 1 2 ، 1)

الخطوة الأولى هي تحديد إحداثيات المتجهات التي بُني عليها هذا الجسم.
للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد كل إحداثي للمتجه عن طريق طرح الإحداثيات المقابلة للنقطتين. على سبيل المثال ، إحداثيات المتجه A B → \\ overrightarrow (AB) أ ب، أي ، المتجه الموجه من النقطة أ أ الى حد، الى درجة ب ب ب، هذه هي الاختلافات في الإحداثيات المقابلة للنقاط ب ب ب و أ أ:

AB → \u003d (8-1 ، 7-4 ، 3-9) \u003d (7 ، 3 ، - 6) \\ overrightarrow (AB) \u003d (8-1 ، 7-4 ، 3-9) \u003d (7 ، 3 ، -6)أ ب= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → \u003d (1 - 1 ، 2-4 ، 3-9) \u003d (0 ، - 2 ، - 6) \\ overrightarrow (AC) \u003d (1-1 ، 2-4 ، 3-9) \u003d (0 ، - 2، -6)أ ج= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → \u003d (7-1 ، 12-4 ، 1-9) \u003d (6 ، 8 ، - 8) \\ overrightarrow (AD) \u003d (7-1 ، 12-4 ، 1-9) \u003d (6 ، 8 ، -8)ميلادي= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

الآن نجد حاصل الضرب المختلط لهذه المتجهات ، لذلك نكوّن محددًا من الدرجة الثالثة ، مع افتراض أن A B → \u003d a ⃗ \\ overrightarrow (AB) \u003d \\ vec (a)أ ب= أ, A C → \u003d b ⃗ \\ overrightarrow (AC) \u003d \\ vec (b)أ ج= ب, A D → \u003d c ⃗ \\ overrightarrow (AD) \u003d \\ vec (c)ميلادي= ج.

∣ axayazbxbybzcxcycz \u003d ∣ 7 3-6 0-2-6 6 8-8 ∣ \u003d 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 8 - (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6-7 (- 6) ⋅ 8-3 ⋅ 0 (- 8) \u003d 112-108-0-72 + 336 + 0 \u003d 268 \\ start (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix) \u003d \\ start (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\\\ 0 & -2 & -6 \\\\ 6 & 8 & -8 \\\\ end (vmatrix) \u003d 7 \\ cdot (-2) \\ cdot (-8) + 3 \\ cdot (-6) \\ cdot6 + (-6) \\ cdot0 \\ cdot8 - (-6) \\ cdot (-2) \\ cdot6 - 7 \\ cdot (-6) \\ cdot8 - 3 \\ cdot0 \\ cdot (-8) \u003d 112-108-0-72 + 336 + 0 \u003d 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ أ x​ ب x​ جx​ ​ أذ​ بذ​ جذ​ ​ أض​ بض​ جض​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

أي أن حجم رباعي الوجوه هو:

$الخامس=61\cdot |$

إجابة

$44.8\text{سم3 .}$

صيغة حجم رباعي السطوح متساوي السطوح على جانبها

هذه الصيغة صالحة فقط لحساب حجم رباعي السطوح متساوي الأضلاع ، أي رباعي السطوح حيث تكون جميع الوجوه هي نفس المثلثات العادية.

$الخامس=12\sqrt{2\cdot {أ}^3}$

اأ هو طول حافة رباعي الوجوه.

أوجد حجم رباعي الوجوه إذا أعطيت ضلعًا يساوي $11\text{سم.}$

القرار

$أ=11$

استبدل اأ في صيغة حجم رباعي الوجوه:

$الخامس=12\sqrt{2\cdot {أ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{سم3}}}}}$

إجابة

$156.8\text{سم3 .}$