از فرمول اصلی برای حجم یک چهار راه آهن

جایی که س مساحت هر صورت است ، و ح - ارتفاع به آن کاهش یافته است ، می توانید مجموعه ای از فرمول ها را بیان کنید که از نظر عناصر مختلف چهار ضلعی ، میزان صدا را بیان می کنند. ما این فرمول ها را برای چهار راهرو ارائه می دهیم آ ب پ ت.

(2) ,

کجا ∠ ( آگهی,ABC) - زاویه بین لبه آگهی و چهره هواپیما ABC;

(3) ,

کجا ∠ ( ABC,ABD) - زاویه بین صورت ABC و ABD;

کجا | AB,سی دی| - فاصله بین دنده های مخالف AB و سی دی, ∠ (AB,سی دی) زاویه بین این لبه ها است.

فرمول (2) - (4) می تواند برای یافتن مقادیر زاویه ها بین خطوط مستقیم و هواپیماها استفاده شود. فرمول (4) به ویژه مفید است ، که به کمک آن می توانید فاصله بین خطوط مستقیم را پیدا کنید AB و سی دی.

فرمول (2) و (3) شبیه به فرمول هستند س = (1/2)ابگناه ج برای مساحت مثلث فرمول س = rp فرمول مشابه است

جایی که r آیا شعاع کره کتیبه ای چهار ضلعی است ، Σ سطح كامل آن (مجموعه مناطق تمام صورت) است. همچنین فرمول زیبایی وجود دارد که حجم یک تتراشرون را با شعاع پیوند می دهد ر حوزه توصیف شده آن ( فرمول کرل):

جایی که Δ مساحت مثلث است ، دو طرف آن عددی برابر با محصولات لبه های مخالف است ( AB× سی دی, AC× BD,آگهی× قبل از میلاد مسیح) از فرمول (2) و قضیه کسینوس برای زوایای سه گانه (به مثلثات کروی نگاه کنید) ، می توانیم یک فرمول شبیه به فرمول هرون برای مثلث ها استخراج کنیم.

یک مثلث دلخواه ABC و یک نقطه D را در نظر بگیرید که در صفحه این مثلث قرار ندارد. بیایید این نقطه را با رئوس مثلث ABC براساس بخش ها متصل کنیم. در نتیجه ، ما مثلث ADC ، CDB ، ABD را بدست می آوریم. سطح محدود شده توسط چهار مثلث ABC ، \u200b\u200bADC ، CDB و ABD یک چهار ضلعی خوانده می شود و به DABC گفته می شود.
مثلث هایی که یک چهار ضلعی تشکیل می دهند صورت های آن نامیده می شوند.
کناره های این مثلث ها لبه های چهار ضلعی خوانده می شوند. و قله های آنها قله های چهار ضلعی است

چهار ضلعی دارد 4 چهره, 6 دنده و 4 رأس.
دو لبه که یک راس مشترک ندارند لبه های مخالف گفته می شود.
اغلب برای راحتی ، یکی از چهره های چهار ضلعی خوانده می شود اساس، و سه چهره باقی مانده چهره های جانبی هستند.

بنابراین ، یک چهار راه آهن ساده ترین چند رول با چهار مثلث به عنوان صورت است.

اما این نیز صحیح است که هرم مثلثی دلخواه ، چهار ضلعی است. سپس این حقیقت نیز وجود دارد که یک چهار راهرو خوانده می شود یک هرم با مثلث در پایه آن.

ارتفاع Tetrahedron قطعه ای گفته می شود که یک راس را به نقطه ای که در طرف مقابل و عمود بر آن متصل است متصل می کند.
چهار ضلعی متوسط قطعه ای گفته می شود که راس را با نقطه تقاطع مدیان صورت مقابل متصل می كند.
چهار ضلعی Bimedian قطعه ای گفته می شود که میانه های حاشیه های عبور چهار ضلعی را وصل می کند.

از آنجا که یک چهار ضلعی هرمی با پایه مثلثی است ، می توان حجم هر چهار راه آهن را با فرمول محاسبه کرد

• س - ناحیه هر صورت ،
• ح - قد به این صورت پایین آمد

Tetrahedron معمولی یک نوع خاص از tetrahedron است

چهار ضلعی با همه طرفهای مثلث مساوی نامیده می شود درست.
خواص یک چهار ضلعی معمولی:

• همه صورت برابر است.
• تمام زوایای مسطح یک چهار ضلعی معمولی 60 درجه است
• از آنجا که هر یک از راسهای آن راس سه مثلث معمولی است ، مجموع زاویه های هواپیما در هر راس 180 درجه است
• هر راس یک چهار ضلعی معمولی به سمت ارتودنسی صورت مقابل (تا نقطه تقاطع ارتفاعات مثلث) پیش بینی می شود.

بگذارید یک چهار ضلعی معمولی ABCD با لبه های آن برابر باشد. DH قد آن است.
بیایید سازه های اضافی BM ایجاد کنیم - ارتفاع مثلث ABC و DM - ارتفاع مثلث ACD.
قد BM برابر است با BM و برابر است
یک مثلث BDM را در نظر بگیرید که DH ، که ارتفاع چهار ضلعی است ، همچنین ارتفاع این مثلث است.
با استفاده از فرمول می توان ارتفاع مثلث را به سمت سمت MB کاهش داد

جایی که
BM \u003d ، DM \u003d ، BD \u003d a ،
p \u003d 1/2 (BM + BD + DM) \u003d
این مقادیر را در فرمول ارتفاع جایگزین کنید. ما گرفتیم


بیرون بیاورید 1 / 2a. ما گرفتیم

ما تفاوت فرمول مربعات را اعمال می کنیم

بعد از تحولات كوچك ما


حجم هر چهار راه آهن را می توان با فرمول محاسبه کرد
,
جایی که ,

با جایگزین کردن این مقادیر ، می گیریم

بنابراین ، فرمول حجم برای یک چهار ضلعی معمولی است

جایی که آ - حاشیه چهار راه آهن

اگر مختصات راس آن مشخص باشد ، محاسبه حجم یک چهار راه آهن است

اجازه دهید مختصات رئوس چهار ضلعی به ما داده شود

بردارها را بکشید ، از راس.
برای یافتن مختصات هر یک از این بردارها ، مختصات شروع مربوطه را از مختصات انتهای آن کم کنید. ما گرفتیم

برای یک چهار ضلعی معمولی ، تمام زوایای دیافراگم در لبه ها و تمام زوایای سه ضلعی در راس برابر هستند

تتراهدرن دارای 4 صورت ، 4 راس و 6 لبه است.

فرمول های اصلی برای یک چهار ضلعی معمولی در جدول آورده شده است.

جایی که:
S - مساحت یک چهار ضلعی معمولی
V - حجم
ساعت - ارتفاع به پایه پایین می آید
r - شعاع دایره ای که در چهار ضلعی حک شده است
R - شعاع دایره تقسیم شده
a - طول دنده

مثالهای عملی

تصمیم گیری.
از آنجایی که تمام لبه های یک هرم مثلثی برابر هستند ، منظم است. مساحت هرم مثلثی منظم S \u003d a 2 √ 3 است.
سپس
S \u003d 3√3

پاسخ: 3√3

یک وظیفه.
تمام لبه های یک هرم مثلثی معمولی 4 سانتی متر است. حجم هرم را پیدا کنید

تصمیم گیری.
از آنجا که در یک هرم مثلثی منظم ، ارتفاع هرم در مرکز پایه پیش بینی می شود ، که همچنین مرکز دایره تقاطع شده است ، پس از آن

AO \u003d R \u003d √3 / 3 a
AO \u003d 4/3/3

بنابراین ارتفاع هرم OM را می توان از مثلث راست AOM یافت

AO 2 + OM 2 \u003d AM 2
OM 2 \u003d AM 2 - AO 2
OM 2 \u003d 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 \u003d 16 - 16/3
OM \u003d √ (32/3)
OM \u003d 4√2 / √3

حجم هرم با فرمول V \u003d 1/3 Sh یافت می شود
در این حالت ، مساحت پایه با فرمول S \u003d √ 3/4 a 2 پیدا می شود

V \u003d 1/3 (√3 / 4 * 16) (4/2 / √3)
V \u003d 16/2/3

پاسخ: 16√2 / 3 سانتی متر

تعریف یک چهار راهرو

Tetrahedron - ساده ترین بدنه ی چند ضلعی که صورت و پایه آن مثلث است.

ماشین حساب آنلاین

چهار ضلعی دارای چهار صورت است که هر یک از آنها از سه طرف تشکیل شده است. چهار ضلعی دارای چهار راس است که هر کدام دارای سه لبه است.

این بدن به چندین نوع تقسیم می شود. در زیر طبقه بندی آنها قرار دارد.

1. چهار ضلعی مسکونی - تمام صورتهای او مثلث هستند.
2. چهار ضلعی اورتوسنتریک - تمام ارتفاعات کشیده شده از هر راس به طرف مقابل به طول یکسان است.
3. چهار ضلعی مستطیل شکل - لبه های سرچشمه گرفته از یک راس زاویه 90 درجه با یکدیگر را تشکیل می دهند.
4. Wireframe;
5. متناسب;
6. متمرکز.

فرمول های حجم Tetrahedron

حجم یک بدن معین را می توان از چند طریق پیدا کرد. بیایید آنها را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم.

محصول مخلوط بردارها

اگر چهار ضلعی روی سه بردار با مختصات ساخته شده است:

A ⃗ \u003d (a x، a y، z) \\ vec (a) \u003d (a_x، a_y، a_z)آ= (آ ایکس​ , آ ی​ , آ z​ )
b ⃗ \u003d (b x، b y، b z) \\ vec (b) \u003d (b_x، b_y، b_z)ب= (ب ایکس​ , ب ی​ , ب z​ )
c ⃗ \u003d (c x، c y، c z) \\ vec (c) \u003d (c_x، c_y، c_z)ج= (ج ایکس​ , ج ی​ , ج z​ ) ,

سپس حجم این چهار راه آهن محصولی مختلط از این بردارها است ، یعنی چنین تعیین کننده:

V \u003d 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V \u003d \\ frac (1) (6) \\ cdot \\ fill (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix )V \u003d6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ آ ایکس​ ب ایکس​ ج ایکس​ ​ آ ی​ ب ی​ ج ی​ ​ آ z​ ب z​ ج z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

مختصات چهار رئوس هشت ضلعی شناخته شده است. A (1 ، 4 ، 9) A (1،4،9) الف (1 ، 4 ، 9), B (8 ، 7 ، 3) B (8،7،3) ب (8 ، 7 ، 3), C (1 ، 2 ، 3) C (1،2،3) C (1 ، 2 ، 3), D (7 ، 12 ، 1) D (7،12،1) د (7 ، 1 2 ، 1)... حجم آن را پیدا کنید.

تصمیم گیری

A (1 ، 4 ، 9) A (1،4،9) الف (1 ، 4 ، 9)
B (8 ، 7 ، 3) B (8،7،3) ب (8 ، 7 ، 3)
C (1 ، 2 ، 3) C (1،2،3) C (1 ، 2 ، 3)
D (7 ، 12 ، 1) D (7،12،1) د (7 ، 1 2 ، 1)

اولین قدم تعیین مختصات بردارهایی است که این بدن بر روی آن ساخته شده است.
برای انجام این کار ، شما باید با کم کردن مختصات مربوط به دو نقطه ، هر مختصات بردار را پیدا کنید. به عنوان مثال مختصات بردار A B → \\ overrightarrow (AB) A B، یعنی وکتور کارگردانی از یک نقطه الف آ تا نکته ب ب ب، این تفاوت های مختصات مربوط به نقاط است ب ب ب و الف آ:

AB → \u003d (8 - 1، 7 - 4، 3 - 9) \u003d (7، 3، - 6) \\ overrightarrow (AB) \u003d (8-1، 7-4، 3-9) \u003d (7، 3، -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → \u003d (1 - 1، 2 - 4، 3 - 9) \u003d (0، - 2، - 6) \\ overrightarrow (AC) \u003d (1-1، 2-4، 3-9) \u003d (0، - 2 ، -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → \u003d (7 - 1، 12 - 4، 1 - 9) \u003d (6، 8، - 8) \\ overrightarrow (AD) \u003d (7-1، 12-4، 1-9) \u003d (6، 8، -8)آگهی= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

اکنون ما محصول مخلوط این بردارها را پیدا خواهیم کرد ، برای این کار تعیین کننده مرتبه سوم را تشکیل می دهیم ، در حالی که فرض می کنیم A B → \u003d a ⃗ \\ overrightarrow (AB) \u003d \\ vec (a)A B= آ, A C → \u003d b ⃗ \\ overrightarrow (AC) \u003d \\ vec (b)A C= ب, A D → \u003d c ⃗ \\ overrightarrow (AD) \u003d \\ vec (c)آگهی= ج.

axayazbxbybzcxcycz ∣ \u003d ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 8 \u003d 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) \u003d 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 \u003d 268 \\ شروع (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ end (vmatrix) \u003d \\ fill (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\\\ 0 & -2 & -6 \\\\ 6 & 8 & -8 \\\\ \\ end (vmatrix) \u003d 7 \\ cdot (-2) \\ cdot (-8) + 3 \\ cdot (-6) \\ cdot6 + (-6) \\ cdot0 \\ cdot8 - (-6) \\ cdot (-2) \\ cdot6 - 7 \\ cdot (-6) \\ cdot8 - 3 \\ cdot0 \\ cdot (-8) \u003d 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 \u003d 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ آ ایکس​ ب ایکس​ جایکس​ ​ آی​ بی​ جی​ ​ آz​ بz​ جz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

یعنی حجم چهار ضلعی این است:

$V=61\cdot |$

پاسخ

$44.8\text{سانتی متر3 .}$

فرمول حجم یك چهار ضلعی ایزوآتس در كنار آن

این فرمول فقط برای محاسبه حجم یک چهار ضلعی متساوی معتبر ، یعنی یک چهار ضلعی که در آن تمام صورت ها مثلث معمولی یکسان هستند ، معتبر است.

$V=12\sqrt{2\cdot {آ}^3}$

الفآ طول لبه چهار ضلعی است.

اگر یک طرف آن برابر است حجم یک چهار راه آهن را تعیین کنید $11\text{سانتی متر.}$

تصمیم گیری

$آ=11$

جایگزین الفآ به فرمول حجم یک چهار ضلعی:

$V=12\sqrt{2\cdot {آ}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{سانتی متر3}}}}}$

پاسخ

$156.8\text{سانتی متر3 .}$