MODEL MATEMATIKA - representasi suatu fenomena atau proses yang dipelajari dalam pengetahuan ilmiah konkrit dalam bahasa konsep matematika. Dalam hal ini, sejumlah sifat dari fenomena yang diteliti diharapkan dapat diperoleh melalui kajian terhadap karakteristik matematis sebenarnya dari model tersebut. Konstruksi M.m. paling sering ditentukan oleh kebutuhan untuk memiliki analisis kuantitatif terhadap fenomena dan proses yang sedang dipelajari, yang tanpanya, pada gilirannya, tidak mungkin membuat prediksi yang dapat diverifikasi secara eksperimental tentang jalannya fenomena dan proses tersebut.

Proses pemodelan matematika biasanya melalui tahapan sebagai berikut. Pada tahap pertama, hubungan antara parameter utama M.m masa depan diidentifikasi. Kita berbicara terutama tentang analisis kualitatif terhadap fenomena yang diteliti dan perumusan pola yang menghubungkan objek utama penelitian. Atas dasar ini, diidentifikasi objek-objek yang dapat dijelaskan secara kuantitatif. Tahap tersebut diakhiri dengan konstruksi model hipotetis, dengan kata lain pencatatan dalam bahasa konsep matematika gagasan kualitatif tentang hubungan antar objek utama model, yang dapat dicirikan secara kuantitatif.

Pada tahap kedua, masalah matematika aktual yang menjadi tujuan model hipotetis yang dibangun dipelajari. Hal utama pada tahap ini adalah memperoleh konsekuensi teoretis yang dapat diverifikasi secara empiris (pemecahan masalah langsung) sebagai hasil analisis matematis model. Pada saat yang sama, seringkali ada kasus ketika, untuk membangun dan mempelajari M.m. di berbagai bidang pengetahuan ilmiah tertentu, peralatan matematika yang sama digunakan (misalnya, persamaan diferensial) dan masalah matematika dengan jenis yang sama muncul, meskipun sangat non-sepele dalam setiap kasus tertentu. Selain itu, pada tahap ini, penggunaan komputer (komputer) berkecepatan tinggi menjadi sangat penting, yang memungkinkan diperolehnya solusi perkiraan untuk masalah, yang seringkali tidak mungkin dilakukan dalam kerangka matematika murni, dengan tingkat akurasi yang sebelumnya tidak dapat diakses ( tanpa menggunakan komputer).

Tahap ketiga ditandai dengan kegiatan untuk mengidentifikasi tingkat kecukupan hipotesis M.M. fenomena dan proses yang ingin dipelajari. Yaitu, jika semua parameter model telah ditentukan, peneliti mencoba mencari tahu sejauh mana, dalam batas akurasi pengamatan, hasilnya konsisten dengan konsekuensi teoretis dari model tersebut. Penyimpangan di luar batas akurasi observasi menunjukkan ketidakcukupan model. Namun, seringkali ada kasus ketika, ketika membangun sebuah model, sejumlah parameternya tetap ada

tidak pasti. Masalah di mana karakteristik parametrik model ditetapkan sedemikian rupa sehingga konsekuensi teoretisnya sebanding, dalam batas akurasi observasi, dengan hasil pengujian empiris disebut masalah invers.

Pada tahap keempat, dengan mempertimbangkan identifikasi derajat kecukupan model hipotetis yang dibangun dan munculnya data eksperimen baru terhadap fenomena yang diteliti, selanjutnya dilakukan analisis dan modifikasi model. Di sini keputusan yang diambil bervariasi dari penolakan tanpa syarat terhadap alat matematika terapan hingga penerimaan model yang dibangun sebagai landasan untuk pembangunan teori ilmiah baru yang fundamental.

M.m. muncul dalam ilmu pengetahuan kuno. Jadi, untuk memodelkan tata surya, ahli matematika dan astronom Yunani Eudoxus memberi setiap planet empat bola, kombinasi pergerakannya menciptakan kuda nil - kurva matematika yang mirip dengan pergerakan planet yang diamati. Namun, karena model ini tidak dapat menjelaskan semua anomali yang diamati dalam pergerakan planet, model ini kemudian digantikan oleh model episiklik Apollonius dari Perga. Model terakhir digunakan dalam studinya oleh Hipparchus, dan kemudian, setelah mengalami beberapa modifikasi, oleh Ptolemy. Model ini, seperti pendahulunya, didasarkan pada keyakinan bahwa planet-planet mengalami gerakan melingkar yang seragam, yang tumpang tindihnya menjelaskan ketidakteraturan yang tampak. Perlu dicatat bahwa model Copernicus pada dasarnya baru hanya dalam arti kualitatif (tetapi bukan sebagai M.M.). Dan hanya Kepler, berdasarkan pengamatan Tycho Brahe, yang membangun M.M. Tata surya, membuktikan bahwa planet-planet tidak bergerak dalam orbit melingkar, melainkan dalam orbit elips.

Saat ini, yang paling memadai dianggap yang dibuat untuk menggambarkan fenomena mekanis dan fisik. Tentang kecukupan M.m. di luar fisika, dengan beberapa pengecualian, seseorang dapat berbicara dengan cukup hati-hati. Namun demikian, memperbaiki sifat hipotetis, dan seringkali hanya kekurangan M.m. dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan, peranannya dalam pengembangan ilmu pengetahuan tidak boleh dianggap remeh. Seringkali terdapat kasus dimana model yang jauh dari memadai telah mengatur dan merangsang penelitian lebih lanjut secara signifikan, disertai dengan kesimpulan yang salah yang juga mengandung butir-butir kebenaran yang sepenuhnya membenarkan upaya yang dilakukan untuk mengembangkan model-model ini.

Literatur:

Pemodelan matematika. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematisasi pengetahuan ilmiah. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Persamaan diferensial dalam ekologi: refleksi historis dan metodologis // Pertanyaan tentang sejarah ilmu pengetahuan dan teknologi alam. 1997. Nomor 3.

Kamus istilah filosofis. Edisi ilmiah Profesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, hal. 310-311.

Empat siswa kelas tujuh.

Ada 15 perempuan dan 13 laki-laki di 7A,

di 7B - 12 perempuan dan 12 laki-laki,

di 7B - 9 perempuan dan 18 laki-laki,

di 7G - 20 perempuan dan 10 laki-laki.

Jika kita perlu menjawab pertanyaan berapa banyak siswa di setiap kelas tujuh, maka kita harus melakukan operasi penjumlahan yang sama sebanyak 4 kali:

di 7A 15 + 13 = 28 siswa;
di 7B 12 +12 = 24 siswa;
di 7B 9 + 18 = 27 siswa;
di 7G 20 + 10 = 30 siswa.

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk lembaga pendidikan

Model matematika

Model matematika - perkiraan opimakna objek pemodelan, diungkapkan dengan menggunakansimbolisme matematika.

Model matematika muncul bersamaan dengan matematika berabad-abad yang lalu. Munculnya komputer memberikan dorongan besar bagi perkembangan pemodelan matematika. Penggunaan komputer telah memungkinkan untuk menganalisis dan menerapkan dalam praktik banyak model matematika yang sebelumnya tidak dapat dilakukan penelitian analitis. Diimplementasikan pada komputer secara matematismodel langit ditelepon model matematika komputer, A melakukan perhitungan yang ditargetkan menggunakan model komputer ditelepon eksperimen komputasi.

Tahapan ilmu matematika komputerdivisi ditunjukkan pada gambar. Pertamapanggung - mendefinisikan tujuan pemodelan. Tujuan-tujuan ini bisa berbeda:

1. suatu model diperlukan untuk memahami cara kerja suatu objek tertentu, apa strukturnya, sifat dasarnya, hukum perkembangan dan interaksinya
   dengan dunia luar (pemahaman);
2. suatu model diperlukan untuk mempelajari cara mengelola suatu objek (atau proses) dan menentukan metode pengelolaan terbaik untuk tujuan dan kriteria (manajemen) tertentu;
3. model diperlukan untuk memprediksi akibat langsung dan tidak langsung dari penerapan metode dan bentuk pengaruh tertentu terhadap objek (forecasting).

Contoh dari wilayah yang sama sekali berbeda: populasi dua spesies individu yang hidup berdampingan secara damai dengan jumlah yang stabil dan memiliki persediaan makanan yang sama, “tiba-tiba” mulai mengubah jumlah mereka secara tajam. Dan di sini pemodelan matematika memungkinkan (dengan tingkat keandalan tertentu) untuk menetapkan penyebabnya (atau setidaknya menyangkal hipotesis tertentu).

Mengembangkan konsep untuk mengelola suatu objek adalah kemungkinan tujuan pemodelan lainnya. Mode penerbangan pesawat manakah yang harus saya pilih untuk memastikan penerbangan tersebut aman dan paling menguntungkan secara ekonomi? Bagaimana cara menjadwalkan ratusan jenis pekerjaan pada pembangunan suatu fasilitas besar agar selesai dalam waktu sesingkat-singkatnya? Banyak masalah seperti ini yang secara sistematis muncul di hadapan para ekonom, perancang, dan ilmuwan.

Terakhir, memprediksi konsekuensi dampak tertentu terhadap suatu objek dapat menjadi masalah yang relatif sederhana dalam sistem fisik sederhana, dan sangat kompleks - di ambang kelayakan - dalam sistem biologis, ekonomi, dan sosial. Meskipun relatif mudah untuk menjawab pertanyaan tentang perubahan cara distribusi panas pada batang tipis akibat perubahan paduan penyusunnya, namun jauh lebih sulit untuk melacak (memprediksi) konsekuensi lingkungan dan iklim dari konstruksi bangunan besar. pembangkit listrik tenaga air atau konsekuensi sosial dari perubahan undang-undang perpajakan. Mungkin di sini juga, metode pemodelan matematika akan memberikan bantuan yang lebih signifikan di masa depan.

Fase kedua: penentuan parameter masukan dan keluaran model; pembagian parameter masukan menurut tingkat pentingnya pengaruh perubahannya terhadap keluaran. Proses ini disebut pemeringkatan, atau pemisahan berdasarkan peringkat (lihat. "Formalisasition dan pemodelan").

Tahap ketiga: konstruksi model matematika. Pada tahap ini terjadi peralihan dari rumusan model yang abstrak ke rumusan yang mempunyai representasi matematis tertentu. Model matematika adalah persamaan, sistem persamaan, sistem pertidaksamaan, persamaan diferensial atau sistem persamaan tersebut, dan sebagainya.

Tahap keempat: memilih metode untuk mempelajari model matematika. Paling sering, metode numerik digunakan di sini, yang cocok untuk pemrograman. Biasanya, beberapa metode cocok untuk memecahkan masalah yang sama, berbeda dalam akurasi, stabilitas, dll. Keberhasilan seluruh proses pemodelan seringkali bergantung pada pilihan metode yang tepat.

Tahap kelima: mengembangkan suatu algoritma, mengkompilasi dan men-debug program komputer adalah proses yang sulit untuk diformalkan. Di antara bahasa pemrograman, banyak profesional lebih memilih FORTRAN untuk pemodelan matematika: baik karena tradisi maupun karena efisiensi kompiler (untuk pekerjaan perhitungan) yang tak tertandingi dan ketersediaan perpustakaan program standar yang besar, di-debug dengan cermat, dan dioptimalkan untuk metode matematika yang ditulis di dalamnya. . Bahasa seperti PASCAL, BASIC, C juga digunakan, tergantung pada sifat tugas dan kecenderungan pemrogram.

Tahap keenam: pengujian program. Pengoperasian program diuji pada soal tes dengan jawaban yang telah diketahui sebelumnya. Ini hanyalah permulaan dari prosedur pengujian yang sulit dijelaskan secara formal dan komprehensif. Biasanya, pengujian berakhir ketika pengguna, berdasarkan karakteristik profesionalnya, menganggap program tersebut benar.

Tahap ketujuh: eksperimen komputasi aktual, di mana ditentukan apakah model tersebut sesuai dengan objek (proses) nyata. Suatu model cukup memadai untuk proses nyata jika beberapa karakteristik proses yang diperoleh di komputer sesuai dengan karakteristik yang diperoleh secara eksperimental dengan tingkat akurasi tertentu. Jika model tidak sesuai dengan proses sebenarnya, kita kembali ke salah satu tahap sebelumnya.

Klasifikasi model matematika

Klasifikasi model matematika dapat didasarkan pada berbagai prinsip. Anda dapat mengklasifikasikan model berdasarkan cabang ilmu pengetahuan (model matematika dalam fisika, biologi, sosiologi, dll). Dapat diklasifikasikan menurut peralatan matematika yang digunakan (model berdasarkan penggunaan persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, metode stokastik, transformasi aljabar diskrit, dll). Akhirnya, jika kita melanjutkan dari masalah umum pemodelan dalam berbagai ilmu, apapun peralatan matematikanya, klasifikasi berikut adalah yang paling alami:

• model deskriptif (deskriptif);
• model optimasi;
• model multikriteria;
• model permainan.

Mari kita jelaskan ini dengan contoh.

Model deskriptif (deskriptif).. Misalnya, pemodelan gerak komet yang menginvasi tata surya dilakukan untuk memprediksi jalur penerbangannya, jarak yang akan ditempuhnya dari Bumi, dll. Dalam hal ini, tujuan pemodelan bersifat deskriptif, karena tidak ada cara untuk mempengaruhi pergerakan komet atau mengubah apapun di dalamnya.

Model optimasi digunakan untuk menggambarkan proses yang dapat dipengaruhi dalam upaya mencapai tujuan tertentu. Dalam hal ini model mencakup satu atau lebih parameter yang dapat dipengaruhi. Misalnya, ketika mengubah rezim termal di lumbung, Anda dapat menetapkan tujuan untuk memilih rezim yang akan mencapai keamanan biji-bijian maksimum, yaitu. mengoptimalkan proses penyimpanan.

Model multikriteria. Seringkali diperlukan untuk mengoptimalkan suatu proses berdasarkan beberapa parameter secara bersamaan, dan tujuannya bisa sangat kontradiktif. Misalnya, mengetahui harga pangan dan kebutuhan pangan seseorang, maka perlu dilakukan penataan gizi untuk kelompok besar orang (di tentara, perkemahan musim panas anak-anak, dll) secara fisiologis dengan benar dan, pada saat yang sama, semurah mungkin. mungkin. Jelas bahwa tujuan-tujuan ini tidak bersamaan sama sekali, yaitu. Saat melakukan pemodelan, beberapa kriteria akan digunakan, di antaranya harus dicari keseimbangannya.

Model permainan mungkin berhubungan tidak hanya dengan permainan komputer, tetapi juga dengan hal-hal yang sangat serius. Misalnya, sebelum pertempuran, seorang komandan, jika tidak ada informasi yang lengkap tentang pasukan lawan, harus mengembangkan rencana: bagaimana cara memasukkan unit-unit tertentu ke dalam pertempuran, dll., dengan mempertimbangkan kemungkinan reaksi musuh. Ada cabang khusus matematika modern - teori permainan - yang mempelajari metode pengambilan keputusan dalam kondisi informasi yang tidak lengkap.

Pada mata kuliah ilmu komputer sekolah, siswa memperoleh pemahaman awal tentang pemodelan matematika komputer sebagai bagian dari mata kuliah dasar. Di sekolah menengah, pemodelan matematika dapat dipelajari secara mendalam dalam kursus pendidikan umum untuk kelas fisika dan matematika, serta sebagai bagian dari mata kuliah pilihan khusus.

Bentuk utama pengajaran pemodelan matematika komputer di sekolah menengah adalah ceramah, laboratorium dan kelas tes. Biasanya, pekerjaan membuat dan mempersiapkan studi setiap model baru membutuhkan 3-4 pelajaran. Dalam penyampaian materi, ditetapkan masalah-masalah yang harus diselesaikan siswa secara mandiri di kemudian hari, dan cara penyelesaiannya diuraikan secara umum. Pertanyaan dirumuskan, jawabannya harus diperoleh ketika menyelesaikan tugas. Literatur tambahan ditunjukkan yang memungkinkan Anda memperoleh informasi tambahan untuk penyelesaian tugas yang lebih berhasil.

Bentuk penyelenggaraan kelas pada saat mempelajari materi baru biasanya berupa ceramah. Setelah selesai pembahasan model selanjutnya siswa memiliki informasi teoretis yang diperlukan dan serangkaian tugas untuk pekerjaan lebih lanjut. Dalam persiapan untuk menyelesaikan suatu tugas, siswa memilih metode solusi yang sesuai dan menguji program yang dikembangkan menggunakan beberapa solusi pribadi yang terkenal. Jika ada kemungkinan kesulitan dalam menyelesaikan tugas, konsultasi diberikan, dan proposal dibuat untuk mempelajari bagian ini secara lebih rinci dalam sumber-sumber literatur.

Yang paling tepat untuk bagian praktis pengajaran pemodelan komputer adalah metode proyek. Tugas dirumuskan untuk siswa dalam bentuk proyek pendidikan dan dilaksanakan dalam beberapa pembelajaran, dengan bentuk organisasi utama adalah pekerjaan laboratorium komputer. Pemodelan pengajaran dengan metode proyek pendidikan dapat dilaksanakan pada berbagai tingkatan. Yang pertama adalah presentasi bermasalah tentang proses penyelesaian proyek yang dipimpin oleh guru. Yang kedua adalah pelaksanaan proyek oleh siswa di bawah bimbingan seorang guru. Yang ketiga adalah agar siswa menyelesaikan proyek penelitian pendidikan secara mandiri.

Hasil pekerjaan harus disajikan dalam bentuk numerik, berupa grafik dan diagram. Jika memungkinkan, proses disajikan di layar komputer secara dinamis. Setelah menyelesaikan perhitungan dan menerima hasilnya, mereka dianalisis, dibandingkan dengan fakta-fakta yang diketahui dari teori, keandalan dikonfirmasi dan interpretasi yang bermakna dilakukan, yang kemudian tercermin dalam laporan tertulis.

Jika hasilnya memuaskan siswa dan guru, barulah berhasil penting selesai, dan tahap terakhirnya adalah penyusunan laporan. Laporan tersebut memuat informasi teoritis singkat tentang topik yang diteliti, rumusan masalah matematis, algoritma penyelesaian dan justifikasinya, program komputer, hasil program, analisis hasil dan kesimpulan, serta daftar referensi.

Ketika semua laporan telah disusun, selama pelajaran tes, siswa memberikan laporan singkat tentang pekerjaan yang dilakukan dan mempertahankan proyek mereka. Ini adalah bentuk laporan yang efektif dari kelompok yang melaksanakan proyek di depan kelas, termasuk menetapkan masalah, membangun model formal, memilih metode untuk mengerjakan model, mengimplementasikan model di komputer, mengerjakan model yang sudah jadi, menafsirkan hasilnya, dan membuat prediksi. Hasilnya, siswa dapat menerima dua nilai: yang pertama - untuk elaborasi proyek dan keberhasilan pertahanannya, yang kedua - untuk program, optimalitas algoritma, antarmuka, dll. Siswa juga menerima nilai selama kuis teori.

Pertanyaan penting adalah alat apa yang digunakan dalam kursus ilmu komputer sekolah untuk pemodelan matematika? Implementasi model komputer dapat dilakukan:

• menggunakan prosesor spreadsheet (biasanya MS Excel);
• dengan membuat program dalam bahasa pemrograman tradisional (Pascal, BASIC, dll), serta versi modernnya (Delphi, Visual
  Dasar untuk Aplikasi, dll.);
• menggunakan paket aplikasi khusus untuk memecahkan masalah matematika (MathCAD, dll).

Di tingkat sekolah dasar, cara pertama tampaknya lebih disukai. Namun, di sekolah menengah, ketika pemrograman, bersama dengan pemodelan, merupakan topik utama dalam ilmu komputer, disarankan untuk menggunakannya sebagai alat pemodelan. Selama proses pemrograman, rincian prosedur matematika tersedia bagi siswa; Selain itu, mereka hanya dipaksa untuk menguasainya, dan ini juga berkontribusi terhadap pendidikan matematika. Sedangkan untuk penggunaan paket perangkat lunak khusus, hal ini sesuai untuk kursus ilmu komputer khusus sebagai pelengkap alat lainnya.

Latihan :

• Buatlah diagram konsep-konsep kunci.

Contoh 1.5.1.

Misalkan suatu wilayah ekonomi tertentu memproduksi beberapa (n) jenis produk secara eksklusif dan hanya untuk penduduk wilayah tersebut. Diasumsikan bahwa proses teknologi telah berhasil, dan permintaan penduduk terhadap barang-barang tersebut telah dipelajari. Penting untuk menentukan volume keluaran produk tahunan, dengan mempertimbangkan fakta bahwa volume ini harus memenuhi konsumsi akhir dan industri.

Mari kita buat model matematika dari masalah ini. Menurut kondisinya, diberikan hal-hal berikut: jenis produk, permintaannya dan proses teknologinya; Anda perlu mencari volume keluaran setiap jenis produk.

Mari kita nyatakan besaran yang diketahui:

C Saya– permintaan penduduk untuk Saya produk ke ( Saya=1,...,N); A aku j- kuantitas Saya produk yang diperlukan untuk menghasilkan satu unit produk ke-j dengan menggunakan teknologi tertentu ( Saya=1,...,N ; J=1,...,N);

X Saya – volume keluaran Saya produk ke-( Saya=1,...,N); keseluruhan Dengan =(C 1 ,..., C N ) disebut vektor permintaan, angka A aku j– koefisien teknologi, dan totalitas X =(X 1 ,..., X N ) – vektor pelepasan.

Menurut kondisi masalah, vektor X didistribusikan menjadi dua bagian: untuk konsumsi akhir (vektor Dengan ) dan untuk reproduksi (vektor x-s ). Mari kita hitung bagian vektor tersebut X yang masuk ke dalam reproduksi. Sesuai peruntukan kami untuk produksi X J kuantitas produk ke-j yang dipasok A aku j · X J jumlah Saya produk -th.

Lalu jumlahnya A i1 · X 1 +...+ A di dalam · X N menunjukkan nilai itu Saya-produk ke-th, yang diperlukan untuk keseluruhan rilis X =(X 1 ,..., X N ).

Oleh karena itu, kesetaraan harus dipenuhi:

Dengan memperluas alasan ini ke semua jenis produk, kami sampai pada model yang diinginkan:

Menyelesaikan sistem n persamaan linear ini untuk X 1 ,...,X N dan temukan vektor rilis yang diperlukan.

Untuk menulis model ini dalam bentuk (vektor) yang lebih kompak, kami memperkenalkan notasi berikut:

Persegi (
) -matriks A disebut matriks teknologi. Sangat mudah untuk memeriksa bahwa model kita sekarang akan ditulis seperti ini: x-s=Ah atau

(1.6)

Kami menerima model klasik " Input output ", yang penulisnya adalah ekonom Amerika terkenal V. Leontiev.

Contoh 1.5.2.

Kilang minyak memiliki dua tingkatan minyak: tingkat A sebanyak 10 satuan, grade DI DALAM- 15 unit. Saat memurnikan minyak, dua bahan diperoleh: bensin (kami menyatakannya B) dan bahan bakar minyak ( M). Ada tiga opsi untuk proses teknologi pemrosesan:

SAYA: 1 unit A+ 2 unit DI DALAM memberikan 3 unit. B+ 2 unit M

II: 2 unit. A+ 1 satuan DI DALAM memberikan 1 satuan. B+ 5 unit M

AKU AKU AKU: 2 unit A+ 2 unit DI DALAM memberikan 1 satuan. B+ 2 unit M

Harga bensin $10 per unit, bahan bakar minyak $1 per unit.

Penting untuk menentukan kombinasi proses teknologi yang paling menguntungkan untuk memproses jumlah minyak yang tersedia.

Sebelum membuat model, mari kita perjelas poin-poin berikut. Dari kondisi permasalahan tersebut maka “profitabilitas” proses teknologi suatu pabrik harus dipahami dalam arti memperoleh pendapatan yang maksimal dari penjualan produk jadinya (bensin dan bahan bakar minyak). Dalam hal ini, jelas bahwa “pilihan (pengambilan) keputusan” pabrik terdiri dari penentuan teknologi mana yang akan diterapkan dan berapa kali. Tentu saja, ada banyak pilihan yang memungkinkan.

Mari kita nyatakan besaran yang tidak diketahui:

X Saya– jumlah penggunaan Saya proses teknologi (saya=1,2,3). Parameter model lainnya (cadangan minyak, harga bensin dan bahan bakar minyak) diketahui.

Sekarang satu keputusan spesifik pabrik adalah memilih satu vektor X =(x 1 ,X 2 ,X 3 ) , yang pendapatan pabriknya sama (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) dolar Di sini, 32 dolar adalah pendapatan yang diterima dari satu penerapan proses teknologi pertama ($10 3 unit. B+ 1 dolar ·2 unit. M= $32). Koefisien 15 dan 12 untuk proses teknologi kedua dan ketiga memiliki arti yang sama. Penghitungan cadangan minyak mengarah pada kondisi berikut:

untuk variasi A:

untuk variasi DI DALAM:,

dimana pada koefisien ketimpangan pertama 1, 2, 2 adalah tingkat konsumsi minyak kelas A untuk satu kali penggunaan proses teknologi SAYA,II,AKU AKU AKU masing-masing. Koefisien ketimpangan kedua mempunyai arti serupa untuk minyak kelas B.

Model matematika secara keseluruhan berbentuk:

Temukan vektor seperti itu x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) untuk memaksimalkan

f(x) =32x 1 +15x 2 +12x 3

dengan ketentuan sebagai berikut:

Bentuk singkat dari entri ini adalah:

di bawah pembatasan

(1.7)

Kami mendapat apa yang disebut masalah pemrograman linier.

Model (1.7.) adalah contoh model optimasi tipe deterministik (dengan elemen yang terdefinisi dengan baik).

Contoh 1.5.3.

Seorang investor perlu menentukan campuran terbaik antara saham, obligasi, dan surat berharga lainnya untuk dibeli dengan jumlah tertentu agar memperoleh keuntungan tertentu dengan risiko minimal bagi dirinya sendiri. Keuntungan per dolar yang diinvestasikan dalam sekuritas J- tipe, ditandai dengan dua indikator: keuntungan yang diharapkan dan keuntungan aktual. Bagi seorang investor, diharapkan keuntungan yang diharapkan per dolar investasi tidak lebih rendah dari nilai tertentu untuk seluruh rangkaian sekuritas. B.

Perhatikan bahwa untuk memodelkan masalah ini dengan benar, seorang ahli matematika diharuskan memiliki pengetahuan dasar tertentu di bidang teori portofolio sekuritas.

Mari kita nyatakan parameter masalah yang diketahui:

N– jumlah jenis surat berharga; A J– keuntungan aktual (angka acak) dari jenis sekuritas ke-j; – keuntungan yang diharapkan dari J-jenis keamanan.

Mari kita nyatakan besaran yang tidak diketahui :

kamu J - dana yang dialokasikan untuk pembelian surat berharga jenis tersebut J.

Dengan menggunakan notasi kami, seluruh jumlah yang diinvestasikan dinyatakan sebagai . Untuk menyederhanakan model, kami memperkenalkan besaran baru

.

Dengan demikian, X Saya- ini adalah bagian dari seluruh dana yang dialokasikan untuk perolehan sekuritas jenis tersebut J.

Sudah jelas itu

Dari kondisi permasalahan tersebut terlihat jelas bahwa tujuan investor adalah mencapai tingkat keuntungan tertentu dengan risiko yang minimal. Intinya, risiko adalah ukuran penyimpangan keuntungan aktual dari yang diharapkan. Oleh karena itu, dapat diidentifikasikan dengan kovarians keuntungan sekuritas tipe i dan tipe j. Di sini M adalah sebutan ekspektasi matematis.

Model matematika dari permasalahan awal berbentuk:

di bawah pembatasan

,
,
,
. (1.8)

Kami telah memperoleh model Markowitz yang terkenal untuk mengoptimalkan struktur portofolio sekuritas.

Model (1.8.) merupakan contoh model optimasi tipe stokastik (dengan unsur keacakan).

Contoh 1.5.4.

Berdasarkan suatu organisasi perdagangan, terdapat n jenis salah satu produk dari bermacam-macam minimum. Hanya satu jenis produk tertentu yang harus dibawa ke toko. Anda perlu memilih jenis produk yang sesuai untuk dibawa ke toko. Jika jenis produk J akan laris, toko akan mendapat untung dari penjualannya R J, jika tidak diminati - rugi Q J .

Sebelum membuat model, kita akan membahas beberapa poin mendasar. Dalam permasalahan ini, pengambil keputusan (DM) adalah pihak toko. Namun, hasil (keuntungan maksimum) tidak hanya bergantung pada keputusannya, tetapi juga pada apakah produk impor tersebut akan diminati, yaitu apakah akan dibeli oleh masyarakat (diasumsikan karena alasan tertentu toko tersebut tidak melakukannya. memiliki kesempatan untuk mempelajari permintaan populasi ). Oleh karena itu, masyarakat dapat dianggap sebagai pengambil keputusan kedua, yang memilih jenis produk sesuai dengan kesukaannya. “Keputusan” terburuk penduduk untuk sebuah toko adalah: “barang impor tidak diminati.” Jadi, untuk memperhitungkan semua situasi yang mungkin terjadi, toko perlu mempertimbangkan populasi sebagai “musuh” (bersyarat), dengan mengejar tujuan sebaliknya - untuk meminimalkan keuntungan toko.

Jadi, kita mempunyai masalah pengambilan keputusan dengan dua peserta yang mengejar tujuan yang berlawanan. Mari kita perjelas bahwa toko memilih salah satu jenis barang untuk dijual (ada n pilihan keputusan), dan penduduk memilih salah satu jenis barang yang paling banyak diminati ( N pilihan solusi).

Untuk menyusun model matematika, mari kita menggambar tabel dengan N garis dan N kolom (jumlah N 2 sel) dan setuju bahwa baris sesuai dengan pilihan toko, dan kolom sesuai dengan pilihan populasi. Lalu selnya (aku j) sesuai dengan situasi ketika toko memilih Saya jenis produk ( Saya-baris ke-), dan populasi memilih J jenis produk ( J- kolom ke-). Di setiap sel kami menuliskan penilaian numerik (untung atau rugi) dari situasi terkait dari sudut pandang toko:

Angka Q Saya ditulis dengan tanda minus untuk mencerminkan kerugian toko; dalam setiap situasi, “keuntungan” populasi (secara kondisional) sama dengan “keuntungan” simpanan, diambil dengan tanda berlawanan.

Bentuk singkat dari model ini adalah:

(1.9)

Kami mendapat apa yang disebut permainan matriks. Model (1.9.) adalah contoh model pengambilan keputusan permainan.

Untuk membangun model matematika yang Anda butuhkan:

1. menganalisis dengan cermat suatu objek atau proses nyata;
2. soroti fitur dan propertinya yang paling signifikan;
3. mendefinisikan variabel, yaitu parameter yang nilainya mempengaruhi fitur dan properti utama objek;
4. menggambarkan ketergantungan sifat-sifat dasar suatu objek, proses atau sistem pada nilai-nilai variabel dengan menggunakan hubungan logis-matematis (persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logis-matematis);
5. menyoroti hubungan internal suatu objek, proses atau sistem menggunakan batasan, persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logis dan matematis;
6. mengidentifikasi hubungan eksternal dan mendeskripsikannya menggunakan batasan, persamaan, persamaan, pertidaksamaan, konstruksi logis dan matematis.

Pemodelan matematika, selain mempelajari suatu objek, proses atau sistem dan menyusun deskripsi matematisnya, juga meliputi:

1. membangun algoritma yang memodelkan perilaku suatu objek, proses atau sistem;
2. memeriksa kecukupan model dan objek, proses atau sistem berdasarkan eksperimen komputasi dan skala penuh;
3. penyesuaian model;
4. menggunakan model tersebut.

Deskripsi matematis dari proses dan sistem yang diteliti bergantung pada:

1. sifat suatu proses atau sistem nyata dan disusun berdasarkan hukum fisika, kimia, mekanika, termodinamika, hidrodinamika, teknik elektro, teori plastisitas, teori elastisitas, dan lain-lain.
2. keandalan dan keakuratan yang diperlukan dari studi dan penelitian proses dan sistem nyata.

Konstruksi model matematika biasanya dimulai dengan konstruksi dan analisis model matematika yang paling sederhana dan paling kasar dari objek, proses, atau sistem yang sedang dipertimbangkan. Kedepannya, bila perlu, model disempurnakan dan kesesuaiannya dengan objek dibuat lebih lengkap.

Mari kita ambil contoh sederhana. Penting untuk menentukan luas permukaan meja. Biasanya hal ini dilakukan dengan mengukur panjang dan lebarnya, lalu mengalikan angka yang dihasilkan. Prosedur dasar ini sebenarnya berarti sebagai berikut: objek nyata (permukaan meja) diganti dengan model matematika abstrak - persegi panjang. Dimensi yang diperoleh dengan mengukur panjang dan lebar permukaan meja ditetapkan ke dalam persegi panjang, dan luas persegi panjang tersebut kira-kira dianggap sebagai luas meja yang diperlukan. Namun, model meja persegi panjang adalah model yang paling sederhana dan paling kasar. Jika Anda mengambil pendekatan yang lebih serius terhadap masalah tersebut, sebelum menggunakan model persegi panjang untuk menentukan luas meja, model ini perlu diperiksa. Pengecekan dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: ukur panjang sisi-sisi meja yang berhadapan, serta panjang diagonal-diagonalnya, dan bandingkan satu sama lain. Jika, dengan tingkat ketelitian yang disyaratkan, panjang sisi-sisi berhadapan dan panjang diagonal-diagonalnya sama berpasangan, maka permukaan meja tersebut benar-benar dapat dianggap persegi panjang. Jika tidak, model persegi panjang harus ditolak dan diganti dengan model segi empat pada umumnya. Dengan persyaratan akurasi yang lebih tinggi, model mungkin perlu disempurnakan lebih lanjut, misalnya, dengan memperhitungkan pembulatan sudut meja.

Dengan menggunakan contoh sederhana ini, ditunjukkan bahwa model matematika tidak ditentukan secara unik oleh objek, proses atau sistem.

ATAU (akan diklarifikasi besok)

Cara menyelesaikan matematika. Model:

1, Konstruksi model berdasarkan hukum alam (metode analitis)

2. Cara formal menggunakan metode statistik. Pengolahan dan pengukuran hasil (pendekatan statistik)

3. Konstruksi model berdasarkan model elemen (sistem kompleks)

1, Analitis - gunakan dengan studi yang memadai. Pola umumnya diketahui. Model.

2. percobaan. Dengan tidak adanya informasi.

3. Imitasi m.- mengeksplorasi sifat-sifat suatu benda. Umumnya.

Contoh membangun model matematika.

Model matematika adalah representasi matematis dari realitas.

Pemodelan matematika adalah proses membangun dan mempelajari model matematika.

Semua ilmu alam dan ilmu sosial yang menggunakan matematika pada dasarnya terlibat dalam pemodelan matematika: mereka mengganti suatu objek dengan model matematikanya dan kemudian mempelajari model matematika tersebut. Keterkaitan model matematika dengan kenyataan dilakukan melalui rangkaian hipotesis, idealisasi, dan penyederhanaan. Dengan menggunakan metode matematika, sebagai suatu peraturan, objek ideal yang dibangun pada tahap pemodelan bermakna dijelaskan.

Mengapa model dibutuhkan?

Seringkali, ketika mempelajari suatu objek, kesulitan muncul. Dokumen asli itu sendiri kadang-kadang tidak tersedia, atau penggunaannya tidak disarankan, atau menarik dokumen asli itu mahal. Semua permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan simulasi. Dalam arti tertentu, suatu model dapat menggantikan objek yang diteliti.

Contoh model paling sederhana

§ Sebuah foto dapat disebut sebagai model seseorang. Untuk mengenali seseorang, cukup dengan melihat fotonya.

§ Arsitek membuat model kawasan hunian baru. Ia dapat memindahkan gedung bertingkat dari satu bagian ke bagian lain hanya dengan satu gerakan tangannya. Pada kenyataannya hal ini tidak mungkin terjadi.

Jenis model

Model dapat dibagi menjadi bahan" Dan sempurna. contoh di atas adalah model material. Model ideal seringkali memiliki bentuk yang ikonik. Konsep nyata digantikan oleh beberapa tanda, yang dapat dengan mudah dicatat di atas kertas, di memori komputer, dll.

Pemodelan matematika

Pemodelan matematika termasuk dalam kelas pemodelan simbolik. Selain itu, model dapat dibuat dari objek matematika apa pun: angka, fungsi, persamaan, dll.

Membangun model matematika

§ Beberapa tahapan dalam membangun model matematika dapat diperhatikan:

1. Memahami masalah, mengidentifikasi kualitas, sifat, jumlah dan parameter yang paling penting bagi kami.

2. Pengenalan notasi.

3. Menyusun sistem batasan yang harus dipenuhi oleh nilai-nilai yang dimasukkan.

4. Perumusan dan pencatatan kondisi yang harus dipenuhi oleh solusi optimal yang diinginkan.

Proses pemodelan tidak berakhir dengan penciptaan suatu model, tetapi hanya dimulai dari situ. Setelah menyusun model, mereka memilih metode untuk menemukan jawaban dan memecahkan masalah. setelah jawabannya ditemukan, dibandingkan dengan kenyataan. Dan mungkin saja jawabannya tidak memuaskan, dalam hal ini modelnya dimodifikasi atau bahkan model yang dipilih sama sekali berbeda.

Contoh model matematika

Tugas

Asosiasi produksi, yang mencakup dua pabrik furnitur, perlu memperbarui tempat parkir mesinnya. Selain itu, pabrik furnitur pertama perlu mengganti tiga mesin, dan yang kedua - tujuh. Pesanan dapat dilakukan di dua pabrik peralatan mesin. Pabrik pertama dapat memproduksi tidak lebih dari 6 mesin, dan pabrik kedua akan menerima pesanan jika minimal ada tiga mesin. Anda perlu menentukan cara melakukan pemesanan.