원래 "분수 더하기 및 빼기" 단락에 공통 분모 방법을 포함하고 싶었습니다. 그러나 정보가 너무 많았고 그 중요성이 너무 커서(결국 숫자 분수에만 공통 분모가 있는 것이 아니라) 이 문제를 별도로 연구하는 것이 좋습니다.

분모가 다른 두 분수가 있다고 가정해 보겠습니다. 그리고 분모가 같아지도록 하고 싶습니다. 분수의 주요 속성은 다음과 같이 들립니다.

분수는 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱해도 변하지 않습니다.

따라서 요인을 올바르게 선택하면 분수의 분모가 같아집니다. 이 과정을 공통 분모로의 축소라고 합니다. 그리고 분모를 "평준화"하는 원하는 숫자를 추가 요소라고합니다.

분수를 공통 분모로 가져와야 하는 이유는 무엇입니까? 다음은 몇 가지 이유입니다.

1. 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈. 이 작업을 수행하는 다른 방법은 없습니다.
2. 분수 비교. 때로는 공통 분모로 축소하면 이 작업이 크게 간소화됩니다.
3. 주식 및 백분율에 대한 문제 해결. 백분율은 실제로 분수를 포함하는 일반 표현식입니다.

곱할 때 분모를 같게 만드는 숫자를 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 복잡성이 증가하고 어떤 의미에서는 효율성이 증가하는 순서대로 그 중 세 가지만 고려할 것입니다.

곱셈 "십자형"

분모를 균등화하도록 보장되는 가장 간단하고 신뢰할 수 있는 방법입니다. 우리는 "앞서" 행동할 것입니다. 첫 번째 분수에 두 번째 분수의 분모를 곱하고 두 번째 분수에 첫 번째 분수를 곱합니다. 결과적으로 두 분수의 분모는 원래 분모의 곱과 같아집니다. 구경하다:

추가 요인으로 이웃 분수의 분모를 고려하십시오. 우리는 다음을 얻습니다:

네, 간단합니다. 분수를 배우기 시작했다면 이 방법을 사용하는 것이 좋습니다. 이렇게 하면 많은 실수로부터 자신을 보호하고 결과를 얻을 수 있습니다.

이 방법의 유일한 단점은 분모가 "앞으로" 곱해져 결과적으로 매우 큰 수를 얻을 수 있기 때문에 많이 계산해야 한다는 것입니다. 그것이 바로 신뢰성의 대가입니다.

공약수법

이 기술은 계산을 크게 줄이는 데 도움이 되지만 불행히도 거의 사용되지 않습니다. 방법은 다음과 같습니다.

1. "통과"(즉, "십자형")로 이동하기 전에 분모를 살펴보십시오. 아마도 그들 중 하나(더 큰 것)는 다른 것으로 나눌 수 있습니다.
2. 이러한 나눗셈으로 인한 숫자는 분모가 더 작은 분수에 대한 추가 요소가 됩니다.
3. 동시에 분모가 큰 분수에는 아무 것도 곱할 필요가 없습니다. 이것이 절약입니다. 동시에 오류 확률이 급격히 감소합니다.

일. 표현식 값 찾기:

84: 21 = 4; 72:12 = 6. 두 경우 모두 한 분모는 나머지 없이 다른 분모로 나눌 수 있으므로 공약수 방법을 사용합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

두 번째 분수에는 아무 것도 곱하지 않았습니다. 실제로 계산량을 반으로 줄였습니다!

그건 그렇고, 나는 이유 때문에이 예에서 분수를 취했습니다. 관심이 있다면 십자형 방법을 사용하여 세어보십시오. 축소 후 답변은 동일하지만 훨씬 더 많은 작업이 필요합니다.

이것이 공약수법의 강점이지만, 다시 말하지만, 분모 중 하나를 나머지 없이 다른 분모로 나눈 경우에만 적용할 수 있습니다. 아주 드물게 발생합니다.

최소공배수법

분수를 공통 분모로 줄이면 기본적으로 각 분모로 나누어 떨어지는 수를 찾으려고 합니다. 그런 다음 두 분수의 분모를 이 숫자로 가져옵니다.

그러한 숫자가 많이 있으며 "십자형" 방법에서 가정한 것처럼 가장 작은 숫자가 원래 분수의 분모의 직접 곱과 반드시 ​​같지는 않습니다.

예를 들어, 분모 8과 12의 경우 24: 8 = 3이므로 숫자 24가 매우 적합합니다. 24:12 = 2. 이 숫자는 곱 8 12 = 96보다 훨씬 작습니다.

각 분모로 나누어 떨어지는 가장 작은 수를 최소공배수(LCM)라고 합니다.

표기법: 및 b의 최소 공배수는 LCM(a ; b ) 으로 표시됩니다. 예를 들어, LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

그러한 숫자를 찾으면 총 계산량이 최소화됩니다. 예를 살펴보십시오.

일. 표현식 값 찾기:

234 = 117 2입니다. 351 = 117 3 . 요인 2와 3은 공소수(1을 제외하고 공약수가 없음)이고, 요인 117은 공통입니다. 따라서 LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702입니다.

유사하게, 15 = 5 3; 20 = 5 4 . 요인 3과 4는 상대적으로 소수이고 요인 5는 공통입니다. 따라서 LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60입니다.

이제 분수를 공통 분모로 가져와 보겠습니다.

원래 분모의 인수분해가 얼마나 유용한지 확인하십시오.

1. 동일한 요인을 찾은 후 우리는 즉시 최소 공배수에 도달했습니다. 일반적으로 말해서 사소한 문제입니다.
2. 결과 확장에서 각 분수에 대해 "누락된" 요소를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 234 3 \u003d 702이므로 첫 번째 분수의 경우 추가 요소는 3입니다.

최소공배수 방법이 얼마나 많은 승리를 가져다 주는지 알아보려면 십자형 방법을 사용하여 동일한 예를 계산해 보십시오. 물론 계산기 없이. 그 이후에는 댓글이 중복될 것 같아요.

그러한 복잡한 분수가 실제 예에 없을 것이라고 생각하지 마십시오. 그들은 항상 만나고 위의 작업은 제한이 없습니다!

유일한 문제는 이 NOC를 찾는 방법입니다. 때로는 모든 것이 문자 그대로 "눈으로" 몇 초 안에 발견되지만 일반적으로 이것은 별도의 고려가 필요한 복잡한 계산 문제입니다. 여기서 우리는 이에 대해 다루지 않을 것입니다.

공통분모로 환원하는 방안

1. 분수의 분모에 대한 최소 공배수가 무엇인지 결정할 필요가 있습니다. 혼합 또는 정수를 처리하는 경우 먼저 분수로 변환한 다음 최소 공배수를 결정해야 합니다. 정수를 분수로 바꾸려면 분자에 숫자 자체를 쓰고 분모에 하나를 써야 합니다. 예를 들어 숫자 5를 분수로 나타내면 5/1과 같습니다. 대분수를 분수로 바꾸려면 정수에 분모를 곱하고 분자를 더해야 합니다. 예: 8개의 정수와 분수로 나타낸 3/5 = 8x5+3/5 = 43/5.
2. 그런 다음 NOZ를 각 분수의 분모로 나누어 결정되는 추가 요소를 찾아야합니다.
3. 마지막 단계는 분수에 추가 요소를 곱하는 것입니다.

덧셈이나 뺄셈뿐만 아니라 공통 분모로의 축소가 필요하다는 것을 기억하는 것이 중요합니다. 분모가 다른 여러 분수를 비교하려면 먼저 각 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다.

분수를 공통 분모로 가져오기

분수를 공통 분모로 줄이는 방법을 이해하려면 분수의 몇 가지 속성을 이해할 필요가 있습니다. 따라서 NOZ로 줄이는 데 사용되는 중요한 속성은 분수의 평등입니다. 즉, 분수의 분자와 분모에 숫자를 곱하면 결과는 이전 분수와 같은 분수가 됩니다. 다음 예를 예로 들어 보겠습니다. 분수 5/9와 5/6을 가장 낮은 공통 분모로 줄이려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 먼저 분모의 최소공배수를 구합니다. 이 경우 숫자 9와 6의 경우 NOC는 18이 됩니다.
2. 각 분수에 대한 추가 요소를 결정합니다. 이것은 다음과 같은 방식으로 수행됩니다. LCM을 각 분수의 분모로 나눕니다. 결과적으로 18:9 \u003d 2 및 18:6 \u003d 3이 됩니다. 이 숫자는 추가 요소가 됩니다.
3. 두 개의 분수를 NOZ로 가져왔습니다. 분수에 숫자를 곱할 때는 분자와 분모를 모두 곱해야 합니다. 분수 5/9에 추가 인수 2를 곱하면 주어진 1과 같은 분수가 됩니다(10/18). 두 번째 분수에서도 동일한 작업을 수행합니다. 5/6에 3을 곱하면 15/18이 됩니다.

위의 예에서 볼 수 있듯이 두 분수 모두 가장 낮은 공통 분모로 축소되었습니다. 마지막으로 공통 분모를 찾는 방법을 이해하려면 분수의 속성을 하나 더 마스터해야 합니다. 그것은 분수의 분자와 분모가 같은 수로 줄어들 수 있다는 사실에 있으며, 이것을 공약수라고 합니다. 예를 들어, 분수 12/30은 공약수(숫자 6)로 나누면 2/5로 줄일 수 있습니다.

분수는 분모가 다르거나 같습니다. 같은 분모 또는 다른 이름으로 불림 공통분모분수에서 공통 분모의 예:

\(\frac(17)(5), \frac(1)(5)\)

분수에 대한 다른 분모의 예:

\(\frac(8)(3), \frac(2)(13)\)

분수의 공통 분모를 찾는 방법은 무엇입니까?

첫 번째 분수는 분모가 3이고 두 번째 분수는 13입니다. 3과 13으로 나누어 떨어지는 수를 찾아야 합니다. 이 수는 39입니다.

첫 번째 분수는 다음을 곱해야 합니다. 추가 승수 13. 분수가 변하지 않도록 분자에 13과 분모를 곱해야 합니다.

\(\frac(8)(3) = \frac(8 \times \color(빨간색) (13))(3 \times \color(빨간색) (13)) = \frac(104)(39)\)

두 번째 분수에 3의 추가 인수를 곱합니다.

\(\frac(2)(13) = \frac(2 \times \color(red) (3))(13 \times \color(red) (3)) = \frac(6)(39)\)

분수의 공통 분모를 줄였습니다.

\(\frac(8)(3) = \frac(104)(39), \frac(2)(13) = \frac(6)(39)\)

가장 낮은 공통 분모.

다른 예를 고려하십시오.

분수 \(\frac(5)(8)\) 와 \(\frac(7)(12)\) 를 공통 분모로 가져오자.

숫자 8과 12의 공통 분모는 숫자 24, 48, 96, 120, ...일 수 있습니다. 선택하는 것이 일반적입니다. 가장 낮은 공통 분모우리의 경우 이 숫자는 24입니다.

최소 공통 분모첫 번째 분수와 두 번째 분수의 분모를 나누는 가장 작은 숫자입니다.

가장 낮은 공통 분모를 찾는 방법은 무엇입니까?
첫 번째 분수와 두 번째 분수의 분모를 나누어서 가장 작은 것을 선택하는 숫자의 열거.

분모가 8인 분수에 3을 곱하고 분모가 12인 분수에 2를 곱해야 합니다.

\(\begin(align)&\frac(5)(8) = \frac(5 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3)) = \frac(15 )(24)\\\\&\frac(7)(12) = \frac(7 \times \color(빨간색) (2))(12 \times \color(빨간색) (2)) = \frac( 14)(24)\\\\ \end(정렬)\)

분수를 최하공약수까지 바로 가져오지 못한다면 문제가 없는 것입니다. 앞으로 예제를 풀 때 답을 구해야 할 수도 있습니다.

두 분수에 대해 공통 분모를 찾을 수 있으며, 이는 이러한 분수의 분모를 곱한 것일 수 있습니다.

예를 들어:
분수 \(\frac(1)(4)\) 와 \(\frac(9)(16)\) 를 가장 낮은 공통 분모로 줄입니다.

공통 분모를 찾는 가장 쉬운 방법은 분모 4⋅16=64를 곱하는 것입니다. 숫자 64는 가장 낮은 공통 분모가 아닙니다. 작업은 가장 작은 공통 분모를 찾는 것입니다. 그래서 우리는 더 찾고 있습니다. 4와 16으로 나눌 수 있는 숫자가 필요합니다. 이것이 숫자 16입니다. 분수를 공통 분모로 줄이고 분모가 4인 분수에 4를 곱하고 분모가 16인 분수에 1을 곱합시다. 우리는 다음을 얻습니다:

\(\begin(align)&\frac(1)(4) = \frac(1 \times \color(red) (4))(4 \times \color(red) (4)) = \frac(4 )(16)\\\\&\frac(9)(16) = \frac(9 \times \color(red) (1))(16 \times \color(red) (1)) = \frac( 9)(16)\\\\ \end(정렬)\)

이 자료에서는 분수를 새 분모로 올바르게 가져오는 방법, 추가 요소가 무엇이며 찾는 방법을 분석합니다. 그런 다음 분수를 새로운 분모로 줄이는 기본 규칙을 공식화하고 문제의 예를 들어 설명합니다.

분수를 다른 분모로 줄이는 개념

분수의 기본 속성을 기억하십시오. 그에 따르면 일반 분수 b(여기서 및 b는 임의의 숫자임)는 그것과 동일한 분수의 무한한 수를 가지고 있습니다. 이러한 분수는 분자와 분모에 같은 수 m(자연)을 곱하여 얻을 수 있습니다. 즉, 모든 일반 분수는 a m b m 형식의 다른 분수로 대체될 수 있습니다. 이것은 원래 값을 원하는 분모가 있는 분수로 줄이는 것입니다.

분수의 분자와 분모에 자연수를 곱하여 분수를 다른 분모로 만들 수 있습니다. 주요 조건은 승수가 분수의 두 부분에 대해 동일해야 한다는 것입니다. 결과는 원본과 동일한 분수입니다.

예를 들어 설명하겠습니다.

실시예 1

분수 11 25를 새 분모로 변환합니다.

해결책

임의의 자연수 4를 가져와 원래 분수의 두 부분에 곱합니다. 우리는 11 4 \u003d 44 및 25 4 \u003d 100을 고려합니다. 결과는 44,100의 분수입니다.

모든 계산은 11 25 \u003d 11 4 25 4 \u003d 44 100 형식으로 작성할 수 있습니다.

어떤 분수라도 엄청난 수의 다른 분모로 줄일 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 4 대신에 다른 자연수를 가져와 원래의 분수와 동일한 분수를 얻을 수 있습니다.

그러나 어떤 숫자도 새로운 분수의 분모가 될 수 없습니다. 따라서 b의 경우 분모는 b의 배수인 숫자 b · m만 포함할 수 있습니다. 나눗셈의 기본 개념인 배수와 제수를 상기하십시오. 숫자가 b의 배수가 아니지만 새로운 분수의 약수가 될 수 없는 경우. 문제 해결의 예를 들어 우리의 아이디어를 설명하겠습니다.

실시예 2

분수 5 9를 분모 54와 21로 줄이는 것이 가능한지 계산하십시오.

해결책

54는 새로운 분수의 분모인 9의 배수입니다(즉, 54는 9로 나눌 수 있음). 따라서 이러한 감소가 가능합니다. 그리고 우리는 21을 9로 나눌 수 없으므로 이 분수에 대해 그러한 작업을 수행할 수 없습니다.

추가 승수의 개념

추가 요인이 무엇인지 공식화합시다.

정의 1

추가 승수분수의 두 부분을 곱하여 새로운 분모가 되는 자연수입니다.

저것들. 분수에 대해 이 작업을 수행할 때 추가 승수를 사용합니다. 예를 들어 분수 7 10 을 21 30 형태로 줄이려면 추가 인수 3 이 필요합니다. 그리고 승수 5를 사용하여 3 8 중 분수 15 40을 얻을 수 있습니다.

따라서 분수를 줄여야 하는 분모를 알고 있으면 추가 요소를 계산할 수 있습니다. 어떻게 하는지 알아봅시다.

분모 c 로 줄일 수 있는 분수 b 가 있습니다. 추가 요소 m을 계산합니다. 원래 분수의 분모에 m을 곱해야 합니다. 우리는 b · m, 그리고 문제의 조건에 따라 b · m = c를 얻습니다. 곱셈과 나눗셈이 어떻게 관련되어 있는지 기억하십시오. 이 연결은 우리를 다음과 같은 결론에 이르게 할 것입니다. 추가 요소는 c를 b로 나눈 몫, 즉 m = c: b일 뿐입니다.

따라서 추가 요소를 찾으려면 필요한 분모를 원래 분모로 나누어야 합니다.

실시예 3

분수 17 4 가 분모 ​​124 가 된 추가 인수를 찾으십시오.

해결책

위의 규칙을 사용하여 124를 원래 분수의 분모인 4로 나누면 됩니다.

우리는 124:4 \u003d 31을 고려합니다.

이러한 유형의 계산은 분수를 공통 분모로 줄일 때 종종 필요합니다.

분수를 지정된 분모로 줄이는 규칙

분수를 지정된 분모로 가져올 수 있는 기본 규칙의 정의로 넘어갑시다. 그래서,

정의 2

분수를 지정된 분모로 가져오려면 다음이 필요합니다.

1. 추가 승수를 결정합니다.
2. 원래 분수의 분자와 분모를 모두 곱합니다.

이 규칙을 실제로 적용하는 방법은 무엇입니까? 문제 해결의 예를 들어 보겠습니다.

실시예 4

분수 7 16 을 분모 336 으로 줄입니다.

해결책

추가 승수를 계산하여 시작하겠습니다. 나누기: 336: 16 = 21.

받은 답에 원래 분수의 두 부분인 7 16 \u003d 7 21 16 21 \u003d 147 336을 곱합니다. 그래서 우리는 원래 분수를 원하는 분모 336으로 가져왔습니다.

답: 7 16 = 147 336입니다.

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

분모가 다른 분수를 더하는 방법을 이해하려면 먼저 규칙을 연구한 다음 구체적인 예를 살펴보겠습니다.

분모가 다른 분수를 더하거나 빼려면:

1) 주어진 분수를 찾습니다(NOZ).

2) 각 분수에 대한 추가 요소를 찾습니다. 이렇게 하려면 새 분모를 이전 분모로 나누어야 합니다.

3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱하고 동일한 분모를 가진 분수를 더하거나 뺍니다.

4) 결과 분수가 규칙적이고 환원 불가능한지 확인합니다.

다음 예에서는 분모가 다른 분수를 더하거나 빼야 합니다.

1) 분모가 다른 분수를 빼려면 먼저 이들 분수의 공통 분모가 가장 작은 것을 찾습니다. 우리는 더 큰 숫자를 선택하고 더 작은 숫자로 나눌 수 있는지 확인합니다. 25는 20으로 나누어 떨어지지 않습니다. 25에 2를 곱합니다. 50은 20으로 나누어지지 않습니다. 25에 3을 곱합니다. 75는 20으로 나눌 수 없습니다. 25에 4를 곱합니다. 100은 20으로 나눌 수 있습니다. 따라서 최소 공통 분모는 100입니다.

2) 각 분수에 대한 추가 인수를 찾으려면 새 분모를 이전 분모로 나누어야 합니다. 100:25=4, 100:20=5. 따라서 첫 번째 분수에 추가 요소는 4이고 두 번째 분수에는 5입니다.

3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱하고 분모가 같은 분수를 빼는 규칙에 따라 분수를 뺍니다.

4) 결과 분수는 규칙적이고 기약합니다. 이것이 답입니다.

1) 분모가 다른 분수를 더하려면 먼저 가장 작은 공통 분모를 찾습니다. 16은 12로 나누어 떨어지지 않습니다. 16∙2=32는 12로 나누어 떨어지지 않습니다. 16∙3=48은 12의 배수입니다. 따라서 48은 NOZ입니다.

2) 48:16=3, 48:12=4. 이들은 각 분수에 대한 추가 요소입니다.

3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱하고 새 분수를 추가합니다.

4) 결과 분수는 규칙적이고 기약합니다.

1) 30은 20으로 나누어 떨어지지 않습니다. 30∙2=60은 20의 배수입니다. 따라서 60은 이러한 분수의 최소 공통 분모입니다.

2) 각 분수에 대한 추가 요소를 찾으려면 새 분모를 이전 분모로 나누어야 합니다(60:20=3, 60:30=2).

3) 각 분수의 분자와 분모에 추가 인수를 곱하고 새로운 분수를 뺍니다.

4) 결과 분수 5.

1) 8은 6으로 나누어 떨어지지 않습니다. 8∙2=16은 6으로 나누어 떨어지지 않습니다. 8∙3=24는 4와 6으로 나눌 수 있습니다. 따라서 24는 NOZ입니다.

2) 각 분수에 대한 추가 요소를 찾으려면 새 분모를 이전 분모로 나누어야 합니다. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. 따라서 3, 6 및 4는 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 분수에 대한 추가 요소입니다.

3) 각 돌비의 분자와 분모에 추가 인수를 곱합니다. 우리는 더하고 뺍니다. 결과 분수가 부적절하므로 전체 부분을 선택해야 합니다.