Ushbu maqola haqida eng katta umumiy bo'luvchini topish (GCD) ikki yoki undan ortiq raqam. Birinchidan, Evklid algoritmini ko'rib chiqamiz, bu sizga ikkita raqamning gcd ni topish imkonini beradi. Shundan so'ng, biz raqamlarning gcd ni umumiy tub omillarning mahsuloti sifatida hisoblash imkonini beradigan usulga e'tibor qaratamiz. Keyinchalik, biz uch yoki undan ortiq sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisini topishni ko'rib chiqamiz, shuningdek, manfiy sonlarning gcd ni hisoblash misollarini keltiramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

GCD ni topish uchun Evklid algoritmi

E'tibor bering, agar biz tub sonlar jadvaliga boshidan o'tgan bo'lsak, 661 va 113 raqamlari tub sonlar ekanligini bilib olgan bo'lardik, ulardan darhol ularning eng katta umumiy bo'luvchisi 1 ekanligini aytishimiz mumkin edi.

Javob:

GCD(661, 113)=1 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish orqali GCD ni topish

Keling, GCDni topishning boshqa usulini ko'rib chiqaylik. Eng katta umumiy bo‘luvchini sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratish yo‘li bilan topish mumkin. Keling, qoida tuzamiz: Ikki musbat butun a va b sonlarning gcd a va b sonlarining tub koeffitsientlarida topilgan barcha umumiy tub omillarning mahsulotiga teng..

GCD ni topish qoidasini tushuntirish uchun misol keltiramiz. 220 va 600 sonlarining tub koʻpaytuvchilarga boʻlinishini bilib olaylik, ular 220=2·2·5·11 va 600=2·2·2·3·5·5 koʻrinishga ega. 220 va 600 sonlarini faktoringlashda qatnashadigan umumiy tub omillar 2, 2 va 5 dir. Demak, GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Shunday qilib, agar a va b sonlarni tub omillarga ajratib, ularning barcha umumiy ko‘paytmalari ko‘paytmasini topsak, u holda a va b sonlarining eng katta umumiy bo‘luvchisi topiladi.

Belgilangan qoida bo'yicha GCD ni topish misolini ko'rib chiqaylik.

Misol.

72 va 96 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisini toping.

Yechim.

Keling, 72 va 96 sonlarini tub koʻpaytiruvchilarga ajratamiz:

Ya'ni, 72=2·2·2·3·3 va 96=2·2·2·2·2·3. Umumiy tub omillar 2, 2, 2 va 3. Shunday qilib, GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Javob:

GCD(72, 96)=24 .

Ushbu bandni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, GCDni topish uchun yuqoridagi qoidaning to'g'riligi eng katta umumiy bo'luvchining xususiyatidan kelib chiqadi. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), bu yerda m har qanday musbat butun son.

Uch yoki undan ortiq sonning gcd ni topish

Uch yoki undan ortiq sonning eng katta umumiy boʻluvchisini topish ketma-ket ikki sonning gcd ni topishga qisqartirilishi mumkin. GCD xususiyatlarini o'rganishda biz buni eslatib o'tdik. U yerda biz teoremani shakllantirdik va isbotladik: a 1, a 2, ..., a k bir nechta sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi d k soniga teng boʻlib, u GCD(a 1, a 2)=d 2 ni ketma-ket hisoblash yoʻli bilan topiladi. , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Keling, misolning yechimiga qarab bir nechta sonlarning gcd ni topish jarayoni qanday ko'rinishini ko'rib chiqamiz.

Misol.

78, 294, 570 va 36 to‘rtta sonning eng katta umumiy ko‘rsatkichini toping.

Yechim.

Bu misolda a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Birinchidan, Evklid algoritmidan foydalanib, birinchi ikkita 78 va 294 sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi d 2 ni aniqlaymiz. Bo'lishda biz 294 = 78 3 + 60 tengliklarini olamiz; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 va 18=6·3. Shunday qilib, d 2 =GCD(78, 294)=6.

Endi hisoblaylik d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Yevklid algoritmini yana qo‘llaymiz: 570=6·95, demak, d 3 = GCD(6, 570)=6.

Hisoblash uchun qoladi d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 soni 6 ga bo'linishi uchun d 4 = GCD(6, 36) = 6 bo'ladi.

Shunday qilib, berilgan to'rtta sonning eng katta umumiy bo'luvchisi d 4 =6, ya'ni gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Javob:

GCD(78, 294, 570, 36)=6 .

Raqamlarni tub omillarga ajratish, shuningdek, uch yoki undan ortiq sonlarning gcd ni hisoblash imkonini beradi. Bunday holda, eng katta umumiy bo'luvchi berilgan sonlarning barcha umumiy tub omillarining ko'paytmasi sifatida topiladi.

Misol.

Oldingi misoldagi raqamlarning gcd qiymatini ularning asosiy faktorizatsiyalaridan foydalanib hisoblang.

Yechim.

78, 294, 570 va 36 sonlarini tub ko‘paytmalarga ajratamiz, 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ni olamiz. · 3· 3. Ushbu to'rtta sonning umumiy tub omillari 2 va 3 raqamlaridir. Demak, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Doira ustunda kvadrat ildizlarni qanday chiqarish mumkinligini ko'rsatdi. Siz ildizni o'zboshimchalik bilan aniqlik bilan hisoblashingiz, uning o'nli kasr belgisida istalgan sonli raqamlarni topishingiz mumkin, hatto u mantiqsiz bo'lib chiqsa ham. Algoritm eslab qoldi, ammo savollar qoldi. Usul qayerdan kelgani va nima uchun to'g'ri natija bergani aniq emas edi. Bu kitoblarda yo'q edi, yoki men noto'g'ri kitoblarni qidirayotgandirman. Oxir-oqibat, men bilgan va qila oladigan ko'p narsalar kabi, men ham buni o'zim ishlab chiqdim. Men bu erda o'z bilimlarimni baham ko'raman. Aytgancha, algoritmning mantiqiy asoslari qayerda berilganligini hali ham bilmayman)))

Shunday qilib, birinchi navbatda men sizga "tizim qanday ishlashini" misol bilan aytaman va keyin nima uchun u aslida ishlashini tushuntiraman.

Keling, bir raqamni olaylik (raqam "havodan" olingan", shunchaki xayolga keldi).

1. Biz uning raqamlarini juftlarga ajratamiz: o'nli kasrning chap tomonidagilar o'ngdan chapga ikkita, o'ngdagilari esa chapdan o'ngga ikkita guruhlangan. olamiz.

2. Biz chapdagi raqamlarning birinchi guruhidan kvadrat ildizni chiqaramiz - bizning holatlarimizda bu (aniq ildiz chiqarilmasligi aniq, biz kvadrati bizning raqamimizga imkon qadar yaqin bo'lgan raqamni olamiz) raqamlarning birinchi guruhi, lekin undan oshmaydi). Bizning holatlarimizda bu raqam bo'ladi. Biz javobni yozamiz - bu ildizning eng muhim raqami.

3. Biz allaqachon javobda bo'lgan raqamni kvadratga aylantiramiz - bu - va uni chapdagi raqamlarning birinchi guruhidan - raqamdan ayiramiz. Bizning holatda u qoladi.

4. O'ngga ikkita raqamdan iborat quyidagi guruhni belgilaymiz: . Javobda allaqachon mavjud bo'lgan raqamni ko'paytiramiz va biz olamiz.

5. Endi diqqat bilan kuzatib boring. Biz o'ngdagi raqamga bitta raqamni belgilashimiz va raqamni, ya'ni bir xil tayinlangan raqamga ko'paytirishimiz kerak. Natija imkon qadar yaqin bo'lishi kerak, lekin yana bu raqamdan oshmasligi kerak. Bizning holatda, bu raqam bo'ladi, biz uni yonidagi, o'ngdagi javobga yozamiz. Bu kvadrat ildizimizning o'nlik yozuvidagi keyingi raqam.

6. Mahsulotni ayirishdan biz olamiz.

7. Keyinchalik, biz tanish operatsiyalarni takrorlaymiz: biz quyidagi raqamlar guruhini o'ngga belgilaymiz, ga ko'paytiramiz, natijada paydo bo'lgan songa > biz o'ngga bitta raqamni beramiz, shunda unga ko'paytirilganda biz dan kichikroq, lekin eng yaqin raqamni olamiz. unga - bu o'nlik ildiz yozuvidagi keyingi raqam.

Hisob-kitoblar quyidagicha yoziladi:

Va endi va'da qilingan tushuntirish. Algoritm formulaga asoslanadi

Izohlar: 51

1. 2 Anton:

   Juda xaotik va chalkash. Har bir narsani nuqta bilan tartibga soling va ularni raqamlang. Plyus: har bir harakatda kerakli qiymatlarni qayerga almashtirishimizni tushuntiring. Men ilgari hech qachon ildiz ildizini hisoblamaganman; uni tushunishga qiynalganman.

2. 5 Yuliya:

3. 6 :

   Yuliya, 23 hozirda o'ng tomonda yozilgan; bu javobda allaqachon olingan ildizning birinchi ikkita (chapda) raqami. Algoritmga muvofiq 2 ga ko'paytiring. Biz 4-bandda tavsiflangan amallarni takrorlaymiz.

4. 7 zz:

   "6" da xato. 167 dan 43 * 3 = 123 (129 nada) ko'paytmani ayiramiz, biz 38 ni olamiz.
   O'nli nuqtadan keyin qanday qilib 08 bo'lganini tushunmayapman ...

5. 9 Fedotov Aleksandr:

   Va hatto kalkulyatordan oldingi davrda ham biz maktabda nafaqat kvadrat ildizni, balki ustundagi kub ildizini ham o'rgatishgan, ammo bu yanada zerikarli va mashaqqatli ish edi. Bradis jadvallari yoki biz o'rta maktabda o'qigan slayd qoidasidan foydalanish osonroq edi.

6. 10 :

   Aleksandr, siz haqsiz, siz katta kuchlarning ildizlarini ustunga olishingiz mumkin. Men kub ildizini qanday topish haqida yozmoqchiman.

7. 12 Sergey Valentinovich:

   Hurmatli Yelizaveta Aleksandrovna! 70-yillarning oxirida men quadrani avtomatik (ya'ni, tanlov bilan emas) hisoblash uchun sxemani ishlab chiqdim. Feliks qo'shish mashinasida ildiz. Agar siz qiziqsangiz, men sizga tavsifni yuborishim mumkin.

8. 14 Vlad va Engelsshtadt:

   (((Ustunning kvadrat ildizini chiqarish)))
   Informatika fanida o'rganiladigan, lekin matematikada ham foydali bo'lgan 2-son tizimidan foydalansangiz, algoritm soddalashtirilgan. A.N. Kolmogorov ushbu algoritmni maktab o'quvchilari uchun mashhur ma'ruzalarda taqdim etdi. Uning maqolasini "Chebishev to'plami" da topish mumkin (Matematik jurnal, Internetda havolani qidiring)
   Aytgancha, ayting:
   G. Leybnits bir vaqtning o'zida yangi boshlanuvchilar (boshlang'ich maktab o'quvchilari) uchun soddaligi va qulayligi tufayli 10-sonli tizimdan ikkilik tizimga o'tish g'oyasi bilan o'ynagan. Ammo o'rnatilgan an'analarni buzish peshonangiz bilan qal'a darvozasini buzishga o'xshaydi: bu mumkin, lekin foydasiz. Qadimgi kunlarda eng ko'p iqtibos keltirgan soqolli faylasufning so'zlariga ko'ra, shunday bo'ladi: barcha o'lik avlodlarning an'analari tiriklarning ongini bostiradi.

   Keyingi safargacha.

9. 15 Vlad va Engelsshtadt:

   ))Sergey Valentinovich, ha, qiziqaman...((

   Ishonchim komilki, bu ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida kvadrat ritsarni ajratib olishning Bobil usulining "Feliks" ning o'zgarishi. Ushbu algoritm Nyuton usuli (tangens usuli) bilan qoplangan.

   Qiziq, prognozimda xato qildimmi?

10. 18 :

    2Vlad va Engelsshtadt

    Ha, ikkilik algoritm oddiyroq bo'lishi kerak, bu juda aniq.

    Nyuton usuli haqida. Ehtimol, bu haqiqatdir, lekin bu hali ham qiziq

11. 20 Kirill:

    Katta rahmat. Lekin hali ham algoritm yo'q, uning qaerdan kelganini hech kim bilmaydi, lekin natija to'g'ri. KATTA RAHMAT! Men buni uzoq vaqtdan beri qidiryapman)

12. 21 Aleksandr:

    Chapdan o'ngga ikkinchi guruh juda kichik bo'lgan raqamdan ildizni qanday chiqarish mumkin? masalan, hammaning sevimli raqami 4,398,046,511,104. Birinchi ayirishdan so'ng, algoritm bo'yicha hamma narsani davom ettirish mumkin emas. Iltimos tushuntirib bera olasizmi.

13. 22 Aleksey:

    Ha, men bu usulni bilaman. Qadimgi nashrning "Algebra" kitobida o'qiganimni eslayman. Keyin, o'xshatish orqali, uning o'zi kub ildizini ustunda qanday qilib olish kerakligini aniqladi. Ammo bu erda u allaqachon murakkabroq: har bir raqam bitta (kvadrat uchun) emas, balki ikkita ayirish bilan aniqlanadi va hatto u erda ham har safar uzun raqamlarni ko'paytirish kerak.

14. 23 Artem:

    56789.321 kvadrat ildizini olish misolida matn terish xatolari mavjud. 32 raqamlar guruhi 145 va 243 raqamlariga ikki marta beriladi, 2388025 raqamida ikkinchi 8 3 bilan almashtirilishi kerak. Keyin oxirgi ayirish quyidagicha yozilishi kerak: 2431000 - 2383025 = 47975.
    Bundan tashqari, qoldiqni javobning ikki barobar qiymatiga bo'lishda (vergulni hisobga olmagan holda) biz qo'shimcha muhim raqamlarni olamiz (47975/(2*238305) = 0,100658819...), ularni qo'shish kerak javob (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Sergey:

    Ko'rinishidan, algoritm Isaak Nyutonning "Umumiy arifmetika yoki arifmetik sintez va tahlil bo'yicha kitob" kitobidan olingan. Undan bir parcha:

    ILDIZLARNI OLIB OLISH HAQIDA

    Raqamning kvadrat ildizini chiqarish uchun birinchi navbatda uning raqamlari ustiga bir nuqtadan boshlab nuqta qo'yish kerak. Keyin kvadrati birinchi nuqtadan oldingi raqamlar yoki raqamga teng yoki eng yaqin bo'lgan sonni qism yoki radikalda yozishingiz kerak. Ushbu kvadratni ayirgandan so'ng, ildizning qolgan raqamlari qoldiqni ildizning allaqachon chiqarilgan qismi qiymatining ikki barobariga bo'lish va har safar kvadratning qolgan qismidan oxirgi topilgan raqamni va uning o'n barobar ko'paytmasini ayirish orqali ketma-ket topiladi. atalgan bo'luvchi.

16. 25 Sergey:

    Iltimos, "Umumiy arifmetika yoki arifmetik sintez va analiz haqidagi kitob" nomini ham tuzating.

17. 26 Aleksandr:

    Qiziqarli material uchun rahmat. Ammo bu usul menga, masalan, maktab o'quvchisi uchun kerak bo'lganidan biroz murakkabroq ko'rinadi. Men birinchi ikkita lotin yordamida kvadratik funktsiyani kengaytirishga asoslangan oddiyroq usuldan foydalanaman. Uning formulasi:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, bu yerda
    A1 - kvadrati x ga eng yaqin bo'lgan butun son;
    A2 kasr, ayirgich x-A1, maxraj 2*A1.
    Maktab kursida uchraydigan ko'pchilik raqamlar uchun bu natijani yuzdan biriga aniq olish uchun etarli.
    Agar sizga aniqroq natija kerak bo'lsa, oling
    A3 kasr, ayiruvchi A2 kvadrat, maxraj 2*A1+1.
    Albatta, undan foydalanish uchun butun sonlar kvadratlari jadvali kerak, lekin bu maktabda muammo emas. Ushbu formulani eslab qolish juda oddiy.
    Biroq, men A3 ni elektron jadval bilan tajribalar natijasida empirik tarzda olganim meni chalkashtirib yubordi va men bu a'zoning nima uchun bunday ko'rinishga ega ekanligini tushunmayapman. Balki menga maslahat bera olasizmi?

18. 27 Aleksandr:

    Ha, men ham bu mulohazalarni ko'rib chiqdim, lekin shayton tafsilotlarda. Siz yozasiz:
    "Chunki a2 va b juda oz farq qiladi." Savol aynan qanchalik kam.
    Ushbu formula ikkinchi o'nlikdagi raqamlarda yaxshi ishlaydi va birinchi o'nlikdagi raqamlarda juda yomonroq (yuzdan birgacha emas, faqat o'ndan birgacha) ishlaydi. Nega bu sodir bo'lishini lotinlardan foydalanmasdan tushunish qiyin.

19. 28 Aleksandr:

    Men taklif qilayotgan formulaning afzalligi sifatida nimani ko'rayotganimni aniqlab beraman. Bu raqamlarning mutlaqo tabiiy bo'lmagan juft raqamlarga bo'linishini talab qilmaydi, tajriba shuni ko'rsatadiki, bu ko'pincha xatolar bilan amalga oshiriladi. Uning ma'nosi ravshan, ammo tahlil bilan tanish odam uchun bu ahamiyatsiz. 100 dan 1000 gacha bo'lgan raqamlarda yaxshi ishlaydi, bu maktabda eng ko'p uchraydigan raqamlardir.

20. 29 Aleksandr:

    Aytgancha, men qazib oldim va formulamda A3 uchun aniq ifodani topdim:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Bizning davrimizda, kompyuter texnologiyalarining keng qo'llanilishi bilan, kvadrat ritsarni raqamdan ajratib olish masalasi amaliy nuqtai nazardan bunga loyiq emas. Ammo matematikani sevuvchilar uchun ushbu muammoni hal qilishning turli xil variantlari shubhasiz qiziqish uyg'otadi. Maktab o'quv dasturida qo'shimcha mablag'lardan foydalanmasdan bu hisoblash usuli ko'paytirish va uzun bo'linish bilan teng ravishda amalga oshirilishi kerak. Hisoblash algoritmi nafaqat esda qolishi, balki tushunarli bo'lishi kerak. Ushbu materialda mohiyatni ochib berish bilan muhokama qilish uchun taqdim etilgan klassik usul yuqoridagi mezonlarga to'liq mos keladi.
    Aleksandr tomonidan taklif qilingan usulning muhim kamchiliklari - bu butun sonlar kvadratlari jadvalidan foydalanish. Muallif maktab kursida uchraydigan raqamlarning aksariyati haqida sukut saqlaydi. Formulaga kelsak, umuman olganda, hisoblashning nisbatan yuqori aniqligi tufayli menga yoqadi.

22. 31 Aleksandr:

    30 vasil stryzhak uchun
    Men hech narsani indamadim. Kvadratchalar jadvali 1000 tagacha bo'lishi kerak edi. Men maktabda o'qigan paytimda ular buni oddiygina yoddan o'rganishgan va hamma matematika darsliklarida ham shunday bo'lgan. Men bu intervalni aniq nomladim.
    Kompyuter texnologiyasiga kelsak, u asosan matematika darslarida qo'llanilmaydi, agar kalkulyatordan foydalanish mavzusi alohida muhokama qilinmasa. Endi kalkulyatorlar Yagona davlat imtihonida foydalanish taqiqlangan qurilmalarga o'rnatilgan.

23. 32 vasil stryzhak:

    Aleksandr, tushuntirish uchun rahmat! Men taklif qilingan usul uchun nazariy jihatdan barcha ikki xonali raqamlarning kvadratlari jadvalini eslab qolish yoki undan foydalanish kerak deb o'yladim. Keyin 100 dan 10000 gacha bo'lgan intervalga kiritilmagan radikal sonlar uchun siz mumkin kasrli kasrni siljitish orqali ularni kattalik tartiblarining kerakli soniga oshirish yoki kamaytirish texnikasidan foydalaning.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 Aleksandr:

    SOVET MASHINASIDAGI “ISKRA 555” IAMB TILIDAGI BIRINCHI DASTURIM USTUNLARNI AYRISH ALGORITMIDAN FOYDALANGAN SONNING Kvadrat Ildizini OLISH UCHUN YOZILGAN! va endi men uni qo'lda qanday chiqarishni unutdim!

Qadim zamonlardan beri raqamlar bilan ishlash ikki xil sohaga bo'lingan: biri bevosita raqamlarning xususiyatlariga tegishli, ikkinchisi hisoblash texnikasi bilan bog'liq. Ko'pgina mamlakatlarda "arifmetika" deganda, odatda, bu oxirgi soha nazarda tutiladi, bu shubhasiz matematikaning eng qadimgi bo'limidir.

Ko'rinishidan, qadimgi kalkulyatorlar uchun eng katta qiyinchilik kasrlar bilan ishlash edi. Buni miloddan avvalgi 1650-yillarga oid matematikaga oid qadimgi Misr asari Axmes papirusidan (Rhind papirusi deb ham ataladi) ko‘rish mumkin. Papirusda tilga olingan barcha kasrlar, 2/3 qismidan tashqari, 1 ga teng numeratorlarga ega. Qadimgi Bobil mixxatli lavhalarini o'rganishda kasrlar bilan ishlashning qiyinligi ham seziladi. Qadimgi misrliklar ham, bobilliklar ham abakning qandaydir ko'rinishidan foydalangan holda hisob-kitob qilishgan. Qadimgi yunonlar orasida raqamlar fani Pifagordan boshlab, miloddan avvalgi 530-yillarda sezilarli darajada rivojlandi. Hisoblash texnologiyasining o'ziga kelsak, bu sohada yunonlar tomonidan juda kam ish qilingan.

Keyingi rimliklar, aksincha, raqamlar faniga deyarli hech qanday hissa qo'shmadilar, lekin jadal rivojlanayotgan ishlab chiqarish va savdo ehtiyojlaridan kelib chiqib, ular hisoblagich sifatida abakni takomillashtirdilar. Hind arifmetikasining kelib chiqishi haqida juda kam narsa ma'lum. Bizgacha hind pozitsion sistemasi nolni kiritish orqali takomillashtirilgandan keyin yozilgan, son amallari nazariyasi va amaliyotiga oid bir necha keyingi ishlar yetib keldi. Bu aynan qachon sodir bo'lganini biz aniq bilmaymiz, lekin o'sha paytda bizning eng keng tarqalgan arifmetik algoritmlarimiz uchun poydevor qo'yilgan edi.

Hind sanoq sistemasi va birinchi arifmetik algoritmlar arablar tomonidan o'zlashtirilgan. Eng qadimgi arab arifmetika darsligi taxminan 825 yilda al-Xorazmiy tomonidan yozilgan. Unda hind raqamlaridan keng foydalanilgan va tushuntirilgan. Bu darslik keyinchalik lotin tiliga tarjima qilingan va Gʻarbiy Yevropaga sezilarli taʼsir koʻrsatgan. Al-Xorazmiy nomining buzib koʻrsatilgan varianti bizgacha “algorizm” soʻzida yetib kelgan, u keyinchalik yunoncha soʻz bilan aralashib ketgan. aritmos“algoritm” atamasiga aylandi.

Hind-arab arifmetikasi Gʻarbiy Yevropada asosan L.Fibonachchi mehnati tufayli maʼlum boʻldi. Abaks kitobi (Liber abaci, 1202). Abacist usuli hech bo'lmaganda qo'shish va ko'paytirish uchun bizning pozitsion tizimimizdan foydalanishga o'xshash soddalashtirishlarni taklif qildi. Abacistlar o'rniga nol va arabcha bo'linish va kvadrat ildiz olish usulini qo'llagan algoritmlar qo'yildi. Birinchi arifmetika darsliklaridan biri, muallifi bizga noma'lum bo'lib, 1478 yilda Trevisoda (Italiya) nashr etilgan bo'lib, u savdo operatsiyalarini amalga oshirishda hisob-kitoblarga bag'ishlangan. Ushbu darslik keyinchalik paydo bo'lgan ko'plab arifmetika darsliklarining salafi bo'ldi. 17-asr boshlarigacha. Yevropada uch yuzdan ortiq shunday darsliklar nashr etilgan. Bu vaqt ichida arifmetik algoritmlar sezilarli darajada yaxshilandi. 16-17-asrlarda. Arifmetik amallar uchun =, +, -, gʻ, yo va kabi belgilar paydo boʻldi.

Arifmetik hisoblarni mexanizatsiyalash.

Jamiyat rivojlanib borgani sari tezroq va aniqroq hisob-kitoblarga ehtiyoj paydo bo‘ldi. Bu ehtiyoj to'rtta ajoyib ixtironi keltirib chiqardi: hind-arab raqamlari, o'nli kasrlar, logarifmlar va zamonaviy hisoblash mashinalari.

Darhaqiqat, eng oddiy hisoblash asboblari zamonaviy arifmetika paydo bo'lgunga qadar mavjud bo'lgan, chunki qadimgi davrlarda abakusda elementar arifmetik amallar bajarilgan (Rossiyada bu maqsadda abakuslardan foydalanilgan). Eng oddiy zamonaviy hisoblash moslamasini slayd qoidasi deb hisoblash mumkin, u ikkita logarifmik shkaladan iborat bo'lib, ular bir-biri bo'ylab siljiydi, bu esa o'lchov segmentlarini yig'ish va ayirish orqali ko'paytirish va bo'lish imkonini beradi. B. Paskal (1642) birinchi mexanik qoʻshish mashinasining ixtirochisi hisoblanadi. Xuddi shu asrning oxirida Germaniyada G. Leybnits (1671) va Angliyada S. Moreland (1673) ko'paytirishni amalga oshirish uchun mashinalar ixtiro qildilar. Ushbu mashinalar 20-asrning ish stoli hisoblash qurilmalari (arifmometrlari) ning salaflari bo'lib, qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish amallarini tez va aniq bajarishga imkon berdi.

1812-yilda ingliz matematigi K.Bebbij matematik jadvallarni hisoblash mashinasining konstruksiyasini yaratishga kirishdi. Loyiha ustida ish ko'p yillar davom etgan bo'lsa-da, u tugallanmagan edi. Shunga qaramay, Bebbijning loyihasi zamonaviy elektron hisoblash mashinalarini yaratish uchun rag'bat bo'lib xizmat qildi, ularning dastlabki namunalari taxminan 1944 yilda paydo bo'lgan. Bu mashinalarning tezligi hayratlanarli edi: ular yordamida bir necha daqiqa yoki soat ichida ilgari talab qilinadigan muammolarni hal qilish mumkin edi. ko'p yillik uzluksiz hisob-kitoblar, hatto qo'shish mashinalari yordamida ham.

Musbat butun sonlar.

Mayli A Va B umumiy elementlarga ega boʻlmagan ikkita chekli toʻplamlar va ruxsat A o'z ichiga oladi n elementlar va B o'z ichiga oladi m elementlar. Keyin ko'p S, to'plamlarning barcha elementlaridan iborat A Va B, birgalikda olingan, o'z ichiga olgan cheklangan to'plam, deylik, s elementlar. Masalan, agar A elementlardan iborat ( a, b, c), bir guruh IN- elementlardan ( x, y), keyin to'plam S=A+B va elementlardan iborat ( a, b, c, x, y). Raqam s chaqirdi miqdori raqamlar n Va m, va biz buni shunday yozamiz: s = n + m. Ushbu yozuvda raqamlar n Va m chaqiriladi shartlari, summani topish amali – qo'shimcha. Operatsiya belgisi "+" "ortiqcha" sifatida o'qiladi. Bir guruh P, to'plamdan birinchi element tanlangan barcha tartiblangan juftliklardan iborat A, ikkinchisi esa to'plamdan B, o‘z ichiga olgan chekli to‘plam, deylik, p elementlar. Masalan, agar avvalgidek, A = {a, b, c}, B = {x, y), Bu P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Raqam p chaqirdi ish raqamlar a Va b, va biz buni shunday yozamiz: p = aґb yoki p = a × b. Raqamlar a Va b ishda ular deyiladi multiplikatorlar, mahsulotni topish operatsiyasi - ko'paytirish. Operatsion belgisi ǰ "ko'paytirilgan" deb o'qiladi.

Ushbu ta'riflardan butun sonlarni qo'shish va ko'paytirishning quyidagi asosiy qonunlari kelib chiqishini ko'rsatish mumkin:

- kommutativ qo'shish qonuni: a + b = b + a;

- assotsiativ qo'shilish qonuni: a + (b + c) = (a + b) + c;

- kommutativ ko'paytirish qonuni: aґb = bґa;

- ko'paytirishning assotsiativlik qonuni: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

- taqsimlanish qonuni: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Agar a Va b– ikkita musbat butun son va agar musbat butun son bo‘lsa c, shu kabi a = b + c, keyin biz buni aytamiz a Ko'proq b(bu shunday yozilgan: a>b), yoki nima b Ozroq a(bu shunday yozilgan: b). Har qanday ikkita raqam uchun a Va b uchta munosabatlardan biri mavjud: yoki a = b, yoki a>b, yoki a.

Birinchi ikkita asosiy qonunda aytilishicha, ikki yoki undan ortiq atamalarning yig'indisi ularning qanday guruhlanganligiga yoki qanday tartibda joylashtirilganiga bog'liq emas. Xuddi shunday, uchinchi va to'rtinchi qonunlardan kelib chiqadiki, ikki yoki undan ortiq omillarning mahsuloti omillar qanday guruhlanganligiga yoki ularning tartibi qanday bo'lishiga bog'liq emas. Bu faktlar qoʻshish va koʻpaytirishning “umumiy kommutativlik va assotsiativlik qonunlari” deb nomlanadi. Ulardan kelib chiqadiki, bir nechta hadlar yig'indisini yoki bir necha omillarning ko'paytmasini yozishda atamalar va omillarning tartibi muhim emas va qavslar olib tashlanishi mumkin.

Xususan, takroriy miqdor a + a + ... + a dan n shartlariga teng nґa. Takroriy ish aґaґ ... ґa dan n Biz omillarni belgilashga kelishib oldik a n; raqam a chaqirdi asos, va raqam n – takroriy mahsulot ko'rsatkichi, takroriy ishning o'zi - n-chi kuch raqamlar a. Ushbu ta'riflar ko'rsatkichlar uchun quyidagi asosiy qonunlarni o'rnatishga imkon beradi:

Ta'riflarning yana bir muhim natijasi: aґ1 = a har qanday butun son uchun a, va 1 bu xususiyatga ega bo'lgan yagona butun sondir. 1 raqami chaqiriladi birlik.

Butun sonlarning bo‘luvchilari.

Agar a, b, c– butun sonlar va aґb = c, Bu a Va b sonning bo'luvchilari c. Chunki aґ1 = a har qanday butun son uchun a, biz 1 har qanday butun sonning bo'luvchisi va har qanday butun son o'zining bo'luvchisi degan xulosaga kelamiz. Har qanday butun son bo'luvchi a, 1 dan farqli yoki a, nomini oldi to'g'ri bo'luvchi raqamlar a.

1 dan boshqa va o'z bo'luvchilariga ega bo'lmagan har qanday butun son deyiladi tub son. (tut songa 7 raqami misol bo‘la oladi.) O‘z bo‘luvchilari bo‘lgan butun son deyiladi. kompozit raqam. (Masalan, 6 soni kompozitdir, chunki 2 6 ni bo'ladi.) Yuqoridagilardan barcha butun sonlar to'plami uchta sinfga bo'linganligi kelib chiqadi: bir, tub sonlar va qo'shma sonlar.

Sonlar nazariyasida juda muhim bir teorema mavjud bo‘lib, unda “har qanday butun son tub sonlar ko‘paytmasi sifatida ko‘rsatilishi mumkin va omillar tartibigacha bunday tasvir yagonadir”. Bu teorema "arifmetikaning asosiy teoremasi" deb nomlanadi. Bu tub sonlar "qurilish bloklari" bo'lib xizmat qilishini ko'rsatadi, ulardan bittadan boshqa barcha butun sonlarni ko'paytirish yordamida qurish mumkin.

Agar ma'lum bir butun sonlar to'plami berilgan bo'lsa, u holda ushbu to'plamga kiritilgan har bir sonning bo'luvchisi bo'lgan eng katta butun son deyiladi. eng katta umumiy bo'luvchi berilgan raqamlar to'plami; bo'luvchisi berilgan to'plamdagi har bir son bo'lgan eng kichik butun son deyiladi eng kichik umumiy karra berilgan raqamlar to'plami. Shunday qilib, 12, 18 va 30 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisi 6 ga teng. Xuddi shu sonlarning eng kichik umumiy boʻluvchisi 180 ga teng. Agar ikkita butun sonning eng katta umumiy boʻluvchisi boʻlsa. a Va b 1 ga teng, keyin raqamlar a Va b chaqiriladi o'zaro asosiy. Misol uchun, 8 va 9 raqamlari nisbatan tubdir, garchi ularning hech biri tub emas.

Musbat ratsional sonlar.

Ko'rib turganimizdek, butun sonlar ob'ektlarning cheklangan to'plamlarini hisoblash jarayonidan kelib chiqadigan abstraktsiyalardir. Biroq, kundalik hayot ehtiyojlari uchun butun sonlar etarli emas. Masalan, stol usti uzunligini o'lchashda qabul qilingan o'lchov birligi juda katta bo'lishi mumkin va o'lchangan uzunlikka bir necha marta to'g'ri kelmasligi mumkin. Bunday qiyinchilikni engish uchun, deb atalmish yordami bilan. kasr(ya'ni, so'zma-so'z "singan") raqamlar, kichikroq uzunlik birligi kiritiladi. Agar d– bir necha butun son, keyin kasr birligi 1/ d mulk bilan belgilanadi dґ1/d= 1 va agar n demak, bu butun sondir nґ1/d biz uni shunchaki yozamiz n/d. Ushbu yangi raqamlar "oddiy" yoki "oddiy" kasrlar deb ataladi. Butun son n chaqirdi hisoblagich kasrlar va raqamlar d – maxraj. Maxraj birlik necha teng ulushga bo'linganligini, hisoblagich esa qancha ulush olinganligini ko'rsatadi. Agar n d, kasr to'g'ri deyiladi; agar n = d yoki n>d, keyin bu noto'g'ri. Butun sonlar maxraji 1 ga teng kasrlar sifatida qaraladi; masalan, 2 = 2/1.

Kasrdan beri n/d bo‘linish natijasi sifatida talqin qilish mumkin n boshiga birlik d teng qismlar va bu qismlardan birini olgan holda, kasrni ikkita butun sonning "bo'limi" yoki "nisbati" deb hisoblash mumkin. n Va d, va kasr chizig'ini bo'linish belgisi sifatida tushuning. Shuning uchun kasrlar (shu jumladan, kasrlarning maxsus holati sifatida butun sonlar) odatda deyiladi oqilona raqamlar (lotincha nisbatdan - nisbat).

Ikki kasr n/d va ( kґn)/(kґd), Qayerda k– butun sonni teng deb hisoblash mumkin; masalan, 4/6 = 2/3. (Bu yerga n = 2, d= 3 va k= 2.) Bu "kasrning asosiy xususiyati" sifatida tanilgan: kasrning numeratori va maxraji bir xil songa ko'paytirilsa (yoki bo'linsa) har qanday kasrning qiymati o'zgarmaydi. Bundan kelib chiqadiki, har qanday kasrni ikkita nisbatan tub sonning nisbati sifatida yozish mumkin.

Yuqorida taklif qilingan kasrning talqinidan ikki kasrning yig'indisi sifatida ham kelib chiqadi n/d Va m/d bir xil maxrajga ega bo'lsangiz, kasrni olishingiz kerak ( n + m)/d. Turli xil maxrajli kasrlarni qo‘shishda avval ularni kasrning asosiy xususiyatidan foydalanib, bir xil (umumiy) maxrajli ekvivalent kasrlarga aylantirish kerak. Masalan, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) va n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), qayerdan

Buni boshqacha qilish mumkin va birinchi navbatda eng kichik umumiy ko'paytmani topish mumkin m, denominatorlar d 1 va d 2. Keyin butun sonlar mavjud k 1 va k 2, shunday m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 va biz olamiz:

Ushbu usul bilan raqam m odatda chaqiriladi eng kichik umumiy maxraj ikki kasr. Bu ikki natija kasrlar tengligi ta'rifi bo'yicha ekvivalentdir.

Ikki kasrning mahsuloti n 1 /d 1 va n 2 /d 2 kasrga teng qabul qilinadi ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Butun sonlar uchun yuqorida keltirilgan sakkiz asosiy qonun, agar ostida bo'lsa ham amal qiladi a, b, c ixtiyoriy musbat ratsional sonlarni tushunish. Bundan tashqari, agar ikkita ijobiy ratsional son berilgan bo'lsa n 1 /d 1 va n 2 /d 2, keyin biz buni aytamiz n 1 /d 1 > n 2 /d 2 agar va faqat agar n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Ijobiy haqiqiy sonlar.

Chiziq segmentlarining uzunligini o'lchash uchun raqamlardan foydalanish har qanday ikkita chiziq segmenti uchun ekanligini ko'rsatadi AB Va CD qandaydir segment bo'lishi kerak UV, ehtimol, juda kichik bo'lib, segmentlarning har birida butun sonni kechiktirish mumkin AB Va CD. Bunday umumiy uzunlik birligi bo'lsa UV mavjud, keyin segmentlar AB Va CD mutanosib deb ataladi. Qadim zamonlarda ham Pifagoriyaliklar tengsiz to'g'ri segmentlar mavjudligi haqida bilishgan. Klassik misol - kvadratning yon tomoni va uning diagonali. Agar kvadratning yon tomonini uzunlik birligi sifatida oladigan bo'lsak, unda bu kvadratning diagonalining o'lchovi bo'lishi mumkin bo'lgan ratsional son yo'q. Buni qarama-qarshilik orqali tasdiqlashingiz mumkin. Haqiqatan ham, ratsional son deb faraz qilaylik n/d diagonalning o'lchovidir. Ammo keyin segment 1/ d keyinga qoldirilishi mumkin edi n bir marta diagonal va d kvadratning yon tomonidagi marta, kvadratning diagonali va tomoni o'lchovsiz bo'lishiga qaramay. Binobarin, uzunlik birligini tanlashdan qat'i nazar, barcha chiziq segmentlari ratsional sonlarda ifodalanishi mumkin bo'lgan uzunliklarga ega emas. Barcha chiziq boʻlaklari qandaydir uzunlik birligi bilan oʻlchanishi uchun, sanoq sistemasi tanlangan uzunlik birligiga mos kelmaydigan chiziq boʻlaklarining uzunliklarini oʻlchash natijalarini ifodalovchi raqamlarni qamrab oladigan darajada kengaytirilishi kerak. Ushbu yangi raqamlar ijobiy deb nomlanadi mantiqsiz raqamlar. Ikkinchisi musbat ratsional sonlar bilan birgalikda kengroq sonlar to'plamini hosil qiladi, ularning elementlari musbat deb ataladi. yaroqli raqamlar.

Agar YOKI– nuqtadan chiqadigan gorizontal yarim chiziq O, U- ishora YOKI, kelib chiqishidan farq qiladi O, Va OU birlik segmenti sifatida tanlanadi, keyin har bir nuqta P yarim chiziqda YOKI bitta musbat haqiqiy son bilan bog‘lanishi mumkin p, segment uzunligini ifodalovchi OP. Shu tarzda biz musbat haqiqiy sonlar va boshqa nuqtalar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni o'rnatamiz O, yarim chiziqda YOKI. Agar p Va q– nuqtalarga mos keladigan ikkita musbat haqiqiy son P Va Q yoqilgan YOKI, keyin yozamiz p>q,p = q yoki p nuqtaning joylashishiga qarab P nuqtaning o'ng tomoniga Q yoqilgan YOKI, bilan mos keladi Q yoki chap tomonda joylashgan Q.

Ijobiy irratsional sonlarning kiritilishi arifmetikani qo'llash doirasini sezilarli darajada kengaytirdi. Masalan, agar a– har qanday ijobiy haqiqiy son va n har qanday butun son bo'lsa, u holda faqat bitta musbat haqiqiy son mavjud b, shu kabi bn=a. Bu raqam b ildiz deb ataladi n ning darajasi a va shunday yoziladi, bu erda uning konturidagi belgi lotin harfiga o'xshaydi r, bu bilan lotincha so'z boshlanadi radikal(ildiz) va deyiladi radikal. Buni ko'rsatish mumkin

Bu munosabatlar radikallarning asosiy xossalari sifatida tanilgan.

Amaliy nuqtai nazardan, har qanday ijobiy irratsional sonni ijobiy ratsional son bilan kerakli darajada aniqlik bilan taxmin qilish juda muhimdir. Bu shuni anglatadiki, agar r musbat irratsional son va e o'zboshimchalik bilan kichik musbat ratsional son bo'lsa, biz ijobiy ratsional sonlarni topishimiz mumkin a Va b, shu kabi a va b. Masalan, raqam irratsionaldir. Agar tanlasangiz e= 0,01, keyin ; tanlasangiz e= 0,001, keyin .

Hind-arab sanoq tizimi.

Arifmetikaning algoritmlari yoki hisoblash sxemalari ishlatiladigan sanoq tizimiga bog'liq. Masalan, Rim sanoq tizimi uchun ixtiro qilingan hisoblash usullari hozirgi hind-arab tizimi uchun ixtiro qilingan algoritmlardan farq qilishi aniq. Bundan tashqari, ba'zi sanoq tizimlari arifmetik algoritmlarni qurish uchun mutlaqo yaroqsiz bo'lishi mumkin. Tarixiy ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, hind-arab raqamlari tizimi qabul qilinishidan oldin, "qalam va qog'oz" yordamida raqamlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish uchun etarli darajada osonlashtiradigan algoritmlar umuman yo'q edi. Hind-arab tizimi mavjud bo'lgan uzoq yillar davomida unga maxsus moslashtirilgan ko'plab algoritmik protseduralar ishlab chiqildi, shuning uchun bizning zamonaviy algoritmlarimiz butun rivojlanish va takomillashtirish davrining mahsulidir.

Hind-arab sanoq sistemasida raqamni ifodalovchi har bir yozuv raqamlar deb ataladigan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oʻnta asosiy belgilar toʻplamidir. Masalan, to‘rt yuz yigirma uch raqamining hind-arab yozuvi 423 raqamlar ketma-ketligi shaklini oladi. Hind-arabcha raqam yozuvidagi raqamning ma’nosi uning o‘rni yoki o‘rni bilan belgilanadi. bu belgini tashkil etuvchi raqamlar ketma-ketligida. Biz keltirgan misolda 4 soni to‘rt yuzlik, 2 soni ikki o‘nlik, 3 soni esa uchta birlikni bildiradi. Bo'sh o'rinlarni to'ldirish uchun ishlatiladigan 0 (nol) raqami juda muhim rol o'ynaydi; masalan, 403 yozuvi to'rt yuz uch raqamni bildiradi, ya'ni. o'nlab yo'qolgan. Agar a, b, c, d, e individual raqamlarni bildiradi, keyin hind-arab tizimida abcde butun sonning qisqartmasini bildiradi

Chunki har bir butun son shakldagi noyob tasvirni qabul qiladi

Qayerda n butun sondir va a 0 , a 1 ,..., a n- sonlar, degan xulosaga kelamizki, berilgan sanoq sistemasida har bir butun sonni o'ziga xos tarzda ifodalash mumkin.

Hind-arab sanoq sistemasi nafaqat butun sonlarni, balki har qanday musbat haqiqiy sonlarni ham ixcham yozish imkonini beradi. Keling, 10 belgisini kiritamiz - n 1/10 uchun n, Qayerda n– ixtiyoriy musbat butun son. Keyin, ko'rsatilgandek, har qanday musbat haqiqiy sonni ko'rinishda va noyob tarzda ifodalash mumkin

Ushbu yozuvni raqamlar ketma-ketligi sifatida yozish orqali siqilishi mumkin

o'nli kasr deb ataladigan belgi qayerda a 0 va b 1 10 ning salbiy kuchlari qaerdan boshlanganini ko'rsatadi (ba'zi mamlakatlarda bu maqsadda nuqta ishlatiladi). Musbat haqiqiy sonni yozishning bu usuli o'nli kengaytma deb ataladi va uning o'nli kengayishi ko'rinishidagi kasr deyiladi. kasr.

Ko'rsatish mumkinki, ijobiy ratsional son uchun o'nli kasrdan keyin o'nli kengaytma yoki uziladi (masalan, 7/4 = 1,75) yoki takrorlanadi (masalan, 6577/1980 = 3,32171717...). Agar raqam irratsional bo'lsa, uning o'nli kengayishi uzilmaydi va takrorlanmaydi. Agar irratsional sonning o'nli kengayishi qandaydir o'nli kasrda uzilib qolsa, biz uning ratsional yaqinligini olamiz. O'nli kasrning o'ng tomonida biz o'nli kengaytmani tugatadigan belgi joylashgan bo'lsa, ratsional yaqinlashish shunchalik yaxshi bo'ladi (xato shunchalik kichik).

Hind-arab tizimida raqam o'nta asosiy raqam yordamida yoziladi, ularning ma'nosi raqamning yozuvidagi o'rni yoki pozitsiyasiga bog'liq (raqamning qiymati raqamning ko'paytmasiga teng va ba'zi raqamlar). quvvat 10). Shuning uchun bunday sistema o'nlik pozitsion sistema deyiladi. Pozitsion sanoq sistemalari arifmetik algoritmlarni tuzish uchun juda qulay va shuning uchun ham hind-arab sanoq tizimi zamonaviy dunyoda juda keng tarqalgan, garchi turli mamlakatlarda alohida raqamlarni belgilash uchun turli belgilar ishlatilishi mumkin.

Raqamlarning nomlari.

Hind-arab tizimidagi raqamlarning nomlari ma'lum qoidalarga amal qiladi. Raqamlarni nomlashning eng keng tarqalgan usuli bu raqam birinchi navbatda o'ngdan chapga uchta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. Bu guruhlar "davrlar" deb ataladi. Birinchi davr "birliklar davri", ikkinchisi - "minglar davri", uchinchisi - "millionlar" davri va boshqalar deb ataladi, bu quyidagi misolda ko'rsatilgan:

Har bir davr uch xonali son kabi o'qiladi. Masalan, 962-sonli davr "to'qqiz yuz oltmish ikki" deb o'qiladi. Bir necha nuqtadan iborat raqamni o'qish uchun har bir davrdagi raqamlar guruhi eng chapdan boshlab, keyin chapdan o'ngga tartibda o'qiladi; Har bir guruhdan keyin davr nomi yoziladi. Masalan, yuqoridagi raqam “etmish uch trillion sakkiz yuz qirq ikki milliard to‘qqiz yuz oltmish ikki million besh yuz o‘ttiz ikki ming yetti yuz to‘qson sakkiz” deb yozilgan. E'tibor bering, butun sonlarni o'qish va yozishda odatda "va" birikmasi ishlatilmaydi. Birlik toifasining nomi ko'rsatilmagan. Trillionlardan keyin kvadrilionlar, kvintillionlar, sekstilionlar, septilonlar, oktillionlar, noallionlar va desillionlar turadi. Har bir davr avvalgisidan 1000 marta kattaroq qiymatga ega.

Hind-arab tizimida o'nli kasrning o'ng tomonidagi raqamlarni o'qish uchun quyidagi tartibni bajarish odatiy holdir. Bu erda pozitsiyalar chaqiriladi (chapdan o'ngga qarab): "o'ndan", "yuzdan", "minglikdan", "o'n mingdan" va hokazo. To'g'ri o'nli kasr go'yo o'nli kasrdan keyingi raqamlar butun sonni tashkil etayotgandek o'qiladi, so'ngra o'ngdagi oxirgi raqam pozitsiyasining nomi keladi. Misol uchun, 0,752 "etti yuz ellik ikki mingdan bir" deb o'qiladi. Aralash o'nli kasr butun sonlarni nomlash qoidasi bilan to'g'ri o'nli kasrlarni nomlash qoidasini birlashtirib o'qiladi. Misol uchun, 632.752 "olti yuz o'ttiz ikki ball etti yuz ellik ikki mingdan" deb o'qiladi. Kasrdan oldin "butun sonlar" so'ziga e'tibor bering. So'nggi yillarda o'nlik sonlar tobora oddiyroq o'qilmoqda, masalan, 3,782 "uch nuqta etti yuz sakson ikki".

Qo'shish.

Endi biz boshlang'ich maktabda o'qitiladigan arifmetik algoritmlarni tahlil qilishga tayyormiz. Ushbu algoritmlar o'nli kengaytmalar sifatida yozilgan musbat haqiqiy sonlar ustidagi operatsiyalar bilan shug'ullanadi. Biz elementar qo'shish va ko'paytirish jadvallarini yoddan o'rgangan deb hisoblaymiz.

Qo'shish masalasini ko'rib chiqing: 279,8 + 5,632 + 27,54 ni hisoblang:

Birinchidan, biz 10 raqamining bir xil kuchlarini jamlaymiz. 19X10 -1 soni taqsimlash qonuniga ko'ra 9X10 -1 va 10X10 -1 = 1 ga bo'linadi. Biz birlikni chapga siljitamiz va uni 21 ga qo'shamiz. beradi 22. O'z navbatida, biz 22 raqamini 2 va 20 = 2H10 ga ajratamiz. Biz 2H10 raqamini chapga siljitamiz va uni 9H10 ga qo'shamiz, bu esa 11H10 ni beradi. Nihoyat, biz 11H10 ni 1H10 va 10H10 = 1H10 2 ga ajratamiz, 1H10 2 ni chapga siljitamiz va uni 2H10 2 ga qo'shamiz, bu esa 3H10 2 ni beradi. Yakuniy jami 312,972 bo'ladi.

Ko'rinib turibdiki, amalga oshirilgan hisob-kitoblarni yanada ixcham shaklda taqdim etish, shu bilan birga uni maktabda o'qitiladigan qo'shish algoritmiga misol sifatida ishlatish mumkin. Buni amalga oshirish uchun biz uchta raqamni bir-birining ostiga yozamiz, shunda kasr nuqtalari bir xil vertikalda bo'ladi:

O'ngdan boshlab, biz 10 -3 da koeffitsientlar yig'indisi 2 ga teng ekanligini aniqlaymiz, biz chiziq ostidagi tegishli ustunga yozamiz. 10 -2 da koeffitsientlar yig'indisi 7 ga teng, u ham chiziq ostidagi tegishli ustunga yoziladi. 10 -1 uchun koeffitsientlar yig'indisi 19 ga teng. Biz 9 raqamini chiziq ostida yozamiz va 1 ni oldingi ustunga o'tkazamiz, bu erda ular joylashgan. Ushbu birlikni hisobga olgan holda, ushbu ustundagi koeffitsientning yig'indisi 22 ga teng bo'ladi. Biz chiziq ostida bitta ikkitani yozamiz, ikkinchisini esa o'nliklar joylashgan oldingi ustunga o'tkazamiz. O'tkazilgan ikkitani hisobga olgan holda, ushbu ustundagi koeffitsientlar yig'indisi 11 ga teng. Biz chiziq ostida bir birlikni yozamiz, ikkinchisini esa yuzlab bo'lgan oldingi ustunga o'tkazamiz. Ushbu ustundagi koeffitsientlar yig'indisi 3 ga teng bo'lib chiqadi, biz uni chiziq ostida yozamiz. Kerakli miqdor - 312,972.

Ayirish.

Ayirish qo'shishga teskari hisoblanadi. Agar uchta musbat haqiqiy son bo'lsa a, b, c shunday bir-biriga bog'langan a+b=c, keyin yozamiz a = c - b, bu erda "-" belgisi "minus" sifatida o'qiladi. Raqamni topish a ma'lum raqamlarga ko'ra b Va c"ayirish" deb ataladi. Raqam c chaqirilgan minuend, raqam b– “ayriluvchi” va raqam a- "farq". Biz ijobiy haqiqiy sonlar bilan ishlayotganimiz sababli, shart bajarilishi kerak c > b.

Keling, ayirish misolini ko'rib chiqaylik: 453,87 - 82,94 ni hisoblang.

Avvalo, agar kerak bo'lsa, chapdan birlikni qarzga olib, biz minuendning kengayishini shunday o'zgartiramizki, uning har qanday 10 quvvat uchun koeffitsienti bir xil kuch uchun ajratma koeffitsientidan kattaroq bo'ladi. 4H10 2 dan biz 1H10 2 = 10H10 qarz olamiz, kengaytirishda keyingi muddatga oxirgi raqamni qo'shamiz, bu 15H10 ni beradi; xuddi shunday, biz 1X10 0 yoki 10Ch10 –1 qarz olamiz va bu raqamni kengaytirishning oxirgi muddatiga qo'shamiz. Shundan so'ng, biz 10 raqamining bir xil kuchlari uchun koeffitsientlarni ayirish va 370,93 ning farqini osongina topish imkoniyatiga ega bo'lamiz.

Ayirish operatsiyalarini qayd etish yanada siqilgan shaklda taqdim etilishi mumkin va siz maktabda o'rganilgan ayirish algoritmining misolini olishingiz mumkin. Minuend ostiga ayirishni yozamiz, shunda ularning kasrlari bir xil vertikalda bo'ladi. O'ngdan boshlab, biz 10 -2 da koeffitsientlar farqi 3 ga teng ekanligini topamiz va biz bu raqamni chiziq ostidagi bir xil ustunga yozamiz. Chapdagi keyingi ustunda biz 8 dan 9 ni ayira olmaganimiz uchun minuendning birlik pozitsiyasidagi uchtani ikkiga o'zgartiramiz va o'ninchi o'rindagi 8 raqamini 18 deb hisoblaymiz. 18 dan 9 ni ayirib, 9 ni olamiz va hokazo. ., ya'ni.

Ko'paytirish.

Keling, birinchi navbatda, deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqaylik "Qisqa" ko'paytirish - bu musbat haqiqiy sonni bitta xonali 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, masalan, 32,67g'4ga ko'paytirish. Taqsimlanish qonunidan, shuningdek, ko'paytirishning assotsiativlik va kommutativlik qonunlaridan foydalanib, biz omillarni qismlarga ajratish va ularni qulayroq tartibga solish imkoniyatiga ega bo'lamiz. Masalan,

Bu hisob-kitoblarni ixchamroq qilib quyidagicha yozish mumkin:

Siqish jarayoni davom ettirilishi mumkin. Ko'rsatilgandek 32,67 ko'paytmasi ostida 4 omilni yozamiz:

4g̀7 = 28 bo‘lgani uchun chiziq ostiga 8 raqamini yozamiz va ko‘paytmaning 6 raqamining ustiga 2 raqamini qo‘yamiz. Keyinchalik, o'ngdagi ustundan ko'chirilgan narsani hisobga olgan holda 4g'6 = 24, 26. Biz chiziq ostida 6 raqamini yozamiz va ko'paytmaning 2 raqamining ustiga 2 yozamiz. Keyin biz 4g̀2 = 8 ni olamiz, bu ko‘chirilgan ikkitasi bilan birgalikda 10 ni beradi. Biz chiziq ostidagi 0 raqamini va ko‘paytmaning 3 raqamidan yuqorisini belgilaymiz. Nihoyat, 4g̀3 = 12, bu o‘tkazilgan birlikni hisobga olgan holda 13 ni beradi; Chiziq ostida 13 raqami yozilgan. Kasr nuqtasini qo'yib, biz javob olamiz: mahsulot 130,68 ga teng.

"Uzoq" ko'paytirish oddiygina "qisqa" ko'payish qayta-qayta takrorlanadi. Masalan, 32,67 raqamini 72,4 raqamiga ko'paytirishni ko'rib chiqing. Ko'rsatilgandek ko'paytuvchini ko'paytma ostiga qo'yamiz:

O'ngdan chapga qisqa ko'paytirishni amalga oshirib, biz 13.068 ning birinchi qismini, 65.34 ning ikkinchi qismini va 2286.9 ning uchinchi qismini olamiz. Taqsimlanish qonuniga ko'ra, topilishi kerak bo'lgan mahsulot bu qisman mahsulotlarning yig'indisi yoki 2365.308. Yozma yozuvda, qisman mahsulotlarda kasr belgisi qo'yilmaydi, lekin to'liq mahsulotni olish uchun ularni jamlash uchun ular "qadamlar" bo'yicha to'g'ri joylashtirilishi kerak. Ko'paytmadagi kasrlar soni ko'paytma va ko'paytmadagi o'nli kasrlar sonining yig'indisiga teng.

Bo'lim.

Bo'lish - ko'paytirishning teskari amali; ko‘paytirish takroriy qo‘shish o‘rniga bo‘lgani kabi, bo‘lish ham takroriy ayirish o‘rnini egallaydi. Masalan, quyidagi savolni ko'rib chiqing: 14 sonida 3 soni necha marta mavjud? 14 dan 3 ni ayirish amaliyotini takrorlab, biz 3 ning 14 ga to'rt marta "kirishini", 2 raqami esa "qolganini", ya'ni.

14 raqami chaqiriladi bo'linadigan, 3 raqami - ajratuvchi, 4 raqami - xususiy va 2 raqami - qolgan. Olingan munosabatni quyidagi so'zlar bilan ifodalash mumkin:

dividend = (bo'luvchi g'i qism) + qoldiq,

0 Ј qoldi

3 ni qayta-qayta ayirish orqali 1400 ning 3 ga bo'linadigan qismi va qoldiqlarini topish juda ko'p vaqt va kuch talab qiladi. Agar avval 1400 dan 300 ni, keyin qolgandan 30 ni va nihoyat 3 ni ayirsak, protsedura sezilarli darajada tezlashishi mumkin. 200 dan 30 ni olti marta ayirgandan so'ng, qolgan 20 bo'ladi; Nihoyat, 20 dan 3 ni olti marta ayirib, qolgan 2 ni olamiz.

Topilishi kerak bo'lgan qism va qoldiq mos ravishda 466 va 2 ga teng. Hisoblashlarni quyidagicha tartibga solish va keyin ketma-ket siqishni mumkin:

Yuqoridagi fikr, agar dividend va bo'luvchi o'nlik kasr tizimida ifodalangan har qanday ijobiy haqiqiy sonlar bo'lsa, amal qiladi. Buni 817.65e23.7 misolida ko'rsatamiz.

Birinchidan, bo'linuvchi o'nli kasrni siljitish yordamida butun songa aylantirilishi kerak. Bunday holda, dividendning kasr nuqtasi bir xil sonli kasrlar soniga o'tkaziladi. Bo'luvchi va dividendlar quyidagicha tartibga solinadi:

Keling, bo'linuvchining uch xonali soni 817, bo'linuvchiga bo'linadigan dividendning birinchi qismida necha marta borligini aniqlaymiz. U uch marta bo'lishi taxmin qilinganligi sababli, biz 237 ni 3 ga ko'paytiramiz va 817 dan 711 ko'paytmasini ayiramiz. 106 ning farqi bo'luvchidan kichik. Bu shuni anglatadiki, 237 raqami sud dividendlarida uch martadan ko'p bo'lmagan holda paydo bo'ladi. Gorizontal chiziq ostidagi 2-bo'linuvchi ostida yozilgan 3 raqami, topilishi kerak bo'lgan qismning birinchi raqamidir. Dividendning keyingi raqamini pastga tushirganimizdan so'ng, biz navbatdagi sinov dividendini 1066 olamiz va biz 237 bo'luvchi 1066 raqamiga necha marta mos kelishini aniqlashimiz kerak; 4 marta aytaylik. Biz bo'luvchini 4 ga ko'paytiramiz va 948 ko'paytmani olamiz, biz 1066 dan ayiramiz; farq 118 ga aylanadi, ya'ni bo'linishning keyingi raqami 4 ga teng. Keyin biz dividendning keyingi raqamini ayirib tashlaymiz va yuqorida tavsiflangan barcha protsedurani takrorlaymiz. Bu safar ma'lum bo'lishicha, sinov dividendlari 1185 aniq (qoldiqsiz) 237 ga bo'linadi (bo'linishning qolgan qismi nihoyat 0 ga aylanadi). O'nli kasr bilan dividendda qanday raqamlar ajratilgan bo'lsa, o'nli kasr bilan ajratish orqali (esda tutingki, biz o'nli kasrni ilgari ko'chirdik), biz javob olamiz: bo'linma 34,5 ga teng.

Kasrlar.

Kasrlar bilan hisob-kitoblarga qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish, shuningdek, murakkab kasrlarni soddalashtirish kiradi.

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish sanoqlarni qo'shish orqali amalga oshiriladi, masalan,

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, unda ular birinchi navbatda umumiy maxrajga qisqartirilishi kerak, ya'ni. bir xil maxrajli kasrlarga aylantiring. Buning uchun biz eng kichik umumiy maxrajni topamiz (berilgan maxrajlarning har birining eng kichik karrali). Masalan, 2/3, 1/6 va 3/5 qo'shilganda eng kichik umumiy maxraj 30 ga teng:

Xulosa qilib, biz tushunamiz

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Kasrlarni ayirish ularni qo'shish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. Agar maxrajlar bir xil bo'lsa, ayirish hisoblarni ayirish uchun tushadi: 10/13 - 2/13 = 8/13; Agar kasrlar turli xil maxrajlarga ega bo'lsa, avval ularni umumiy maxrajga keltirishingiz kerak:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Kasrlarni ko'paytirishda ularning sonlari va maxrajlari alohida ko'paytiriladi. Masalan,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Bir kasrni boshqasiga bo'lish uchun birinchi kasrni (dividend) ikkinchi (bo'luvchi) ning o'zaro ulushiga ko'paytirish kerak (o'zaro kasrni olish uchun siz asl kasrning numeratorini va maxrajini almashtirishingiz kerak), ya'ni. ( n 1 /d 1)e( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Masalan,

3/4e7/8 = 3/4g8/7 = 24/28 = 6/7.

Aralash son - bu butun son va kasrning yig'indisi (yoki farqi), masalan, 4 + 2/3 yoki 10 - 1/8. Butun sonni maxraji 1 bo‘lgan kasr sifatida ko‘rish mumkin bo‘lganligi sababli, aralash son ikki kasrning yig‘indisidan (yoki farqidan) boshqa narsa emas. Masalan,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Murakkab kasr deganda ayiruvchi, maxraj yoki ayiruvchi va maxrajda kasr bo'lgan kasr tushuniladi. Bu kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin:

Kvadrat ildiz.

Agar n r, shu kabi r 2 = n. Raqam r chaqirdi kvadrat ildiz dan n va belgilangan. Maktabda ular sizga kvadrat ildizlarni ikki usulda ajratib olishni o'rgatishadi.

Birinchi usul ko'proq mashhur, chunki u sodda va qo'llanilishi osonroq; Ushbu usul yordamida hisob-kitoblar ish stoli kalkulyatorida osonlik bilan amalga oshiriladi va kub ildizlari va yuqori ildizlar holatiga umumlashtiriladi. Usul, agar shunday bo'lishiga asoslanadi r 1 - ildizga yaqinlashish, keyin r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) - ildizning aniqroq yaqinlashishi.

Keling, 1 dan 100 gacha bo'lgan ba'zi bir sonning kvadrat ildizini hisoblash orqali protsedurani ko'rsatamiz, aytaylik 40 raqami. 6 2 = 36 va 7 2 = 49 ekan, biz 6 butun sonlarga eng yaxshi yaqinlik degan xulosaga keldik. 6 ga nisbatan aniqroq yaqinlik quyidagi tarzda olinadi. 40 ni 6 ga bo'lish 6,6 ni beradi (birinchi kasrgacha yaxlitlangan) hatto o'ndan birlik raqamlari). ga ikkinchi yaqinlashish uchun biz ikkita 6 va 6,6 raqamlarini o'rtacha hisoblaymiz va 6,3 ni olamiz. Jarayonni takrorlab, biz yanada yaxshi yaqinlashuvga erishamiz. 40 ni 6,3 ga bo'lib, biz 6,350 raqamini topamiz va uchinchi yaqinlashish (1/2) (6,3 + 6,350) = 6,325 bo'ladi. Yana bir takrorlash 40e6.325 = 6.3241106 ni beradi va toʻrtinchi yaqinlashish (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553 boʻlib chiqadi. Jarayon xohlagancha davom etishi mumkin. Umuman olganda, har bir keyingi yaqinlashish avvalgisidan ikki baravar ko'p raqamlarni o'z ichiga olishi mumkin. Shunday qilib, bizning misolimizda birinchi yaqinlashish, ya'ni 6 butun soni faqat bitta raqamni o'z ichiga olganligi sababli, biz ikkinchi yaqinlashishda ikkita, uchinchida to'rtta va to'rtinchisida sakkizta raqamni saqlashimiz mumkin.

Agar raqam n 1 dan 100 gacha bo'lmasa, avval siz bo'lishingiz (yoki ko'paytirishingiz) kerak. n 100 ning qandaydir kuchiga, aytaylik, to k-th, shuning uchun mahsulot 1 dan 100 gacha bo'lgan oraliqda bo'ladi. Keyin mahsulotning kvadrat ildizi 1 dan 10 gacha bo'ladi va u chiqarilgandan so'ng, biz hosil bo'lgan sonni 10 ga ko'paytiramiz (yoki bo'lamiz). k, kerakli kvadrat ildizni toping. Masalan, agar n= 400000, keyin biz birinchi bo'lmoq 400000 ga 100 2 va biz 1 dan 100 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan 40 raqamini olamiz. Yuqorida ko'rsatilganidek, u taxminan 6,3245553 ga teng. Ko'paytirish bu raqam 10 2 ga teng bo'lsa, biz taxminiy qiymat sifatida 632,45553 ni olamiz va 0,63245553 soni taxminiy qiymat sifatida xizmat qiladi.

Yuqorida aytib o'tilgan protseduralarning ikkinchisi algebraik identifikatsiyaga asoslangan ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Har bir qadamda kvadrat ildizning allaqachon olingan qismi sifatida olinadi a, va hali aniqlanishi kerak bo'lgan qismi uchun b.

Kub ildizi.

Musbat haqiqiy sonning kub ildizini olish uchun kvadrat ildizni chiqarish algoritmlariga o'xshash algoritmlar mavjud. Masalan, sonning kub ildizini topish n, birinchi navbatda ildizni qandaydir raqamga yaqinlashtiramiz r 1 . Keyin biz aniqroq taxminni quramiz r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), bu esa, o'z navbatida, yanada aniqroq yaqinlashishga imkon beradi r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) va boshqalar. Ildizning tobora aniqroq yaqinlashuvlarini qurish tartibi cheksiz davom etishi mumkin.

Masalan, 1 dan 1000 gacha bo'lgan sonning kub ildizini hisoblashni ko'rib chiqaylik, 200 raqamini ayting. 5 3 = 125 va 6 3 = 216 bo'lgani uchun, biz 6 200 ning kub ildiziga eng yaqin butun son degan xulosaga kelamiz. Shuning uchun biz tanlaymiz r 1 = 6 va ketma-ket hisoblang r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Har bir yaqinlashishda, uchinchidan boshlab, oldingi yaqinlashishdagi belgilar sonidan ikki baravar kam bo'lgan belgilar sonini saqlashga ruxsat beriladi. Agar kub ildizini chiqarmoqchi bo'lgan raqam 1 dan 1000 gacha bo'lmasa, avval uni bir nechtasiga bo'lishingiz (yoki ko'paytirishingiz), aytaylik: k th, 1000 raqamining kuchi va shu bilan uni kerakli raqamlar oralig'iga keltiring. Yangi olingan raqamning kub ildizi 1 dan 10 gacha bo'lgan oraliqda joylashgan. Uni hisoblab bo'lgach, uni 10 ga ko'paytirish (yoki bo'lish) kerak. k asl raqamning kub ildizini olish uchun.

Musbat haqiqiy sonning kub ildizini topishning ikkinchi, murakkabroq algoritmi algebraik identifikatsiyadan foydalanishga asoslangan ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Hozirgi vaqtda kub ildizlarini, shuningdek, yuqori kuchlarning ildizlarini olish algoritmlari o'rta maktabda o'qitilmaydi, chunki ularni logarifmlar yoki algebraik usullar yordamida topish osonroq.

Evklid algoritmi.

Ushbu algoritm taqdim etilgan Boshlanishlar Evklid (miloddan avvalgi 300-yillar). U ikkita butun sonning eng katta umumiy bo'luvchisini hisoblash uchun ishlatiladi. Musbat sonlar uchun u protsessual qoida sifatida shakllantiriladi: “Belgilangan ikkita sonning kattasini kichigiga bo'ling. Keyin bo'luvchini qolganga bo'ling va oxirgi bo'luvchi oxirgi qoldiqqa teng bo'linguncha shu tarzda davom eting. Bo'luvchilarning oxirgisi berilgan ikkita sonning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'ladi."

Raqamli misol sifatida ikkita butun sonni ko'rib chiqing 3132 va 7200. Bu holda algoritm quyidagi bosqichlarga tushadi:

Eng katta umumiy bo'luvchi oxirgi bo'luvchi bilan bir xil - 36 raqami. Izoh oddiy. Bizning misolimizda biz oxirgi satrdan 36 raqami 288 sonni bo'lishini ko'ramiz. Oxirgi qatordan 36 soni 324 ni bo'ladi degan xulosa kelib chiqadi. Shunday qilib, qatordan qatorga o'tsak, 36 soni 936 ni bo'lishiga amin bo'ldik. , 3132 va 7200 Endi biz 36 soni 3132 va 7200 sonlarining umumiy boʻluvchisi ekanligini daʼvo qilamiz. g 3132 va 7200 sonlarining eng katta umumiy boʻluvchisidir g 3132 va 7200 ni ajratadi, birinchi qatordan shunday xulosa chiqariladi g ajratadi 936. Ikkinchi qatordan shunday xulosaga kelamiz g bo'ladi 324. Shunday qilib, chiziqdan qatorga tushib, biz bunga amin bo'ldik g 288 va 36 ni ajratadi. Va 36 soni 3132 va 7200 sonlarining umumiy boʻluvchisi boʻlgani va ularning eng katta umumiy boʻluvchisiga boʻlinganligi sababli, 36 soni bu eng katta umumiy boʻluvchi degan xulosaga kelamiz.

Imtihon.

Arifmetik hisoblar doimiy e'tiborni talab qiladi va shuning uchun xatolarga moyil. Shuning uchun hisoblash natijalarini tekshirish juda muhimdir.

1. Raqamlar ustunining qo‘shilishi ustundagi raqamlarni avval yuqoridan pastga, keyin esa pastdan yuqoriga qo‘shish orqali tekshirilishi mumkin. Ushbu tekshirish usulining asosi qo'shishning umumiy kommutativlik va assotsiativlik qonunidir.

2. Ayirish ayirish bilan farqni qo'shish orqali tekshiriladi - minuend olinishi kerak. Ushbu tekshirish usulining asosi ayirish operatsiyasining ta'rifidir.

3. Ko'paytirishni ko'paytma va ko'paytmani qayta joylashtirish orqali tekshirish mumkin. Ushbu tekshirish usulini asoslash kommutativ ko'paytirish qonunidir. Koeffitsientni (yoki ko'paytmani) ikki shartga bo'lish, ikkita alohida ko'paytirish amalini bajarish va natijada olingan mahsulotlarni qo'shish orqali ko'paytirishni tekshirishingiz mumkin - siz asl mahsulotni olishingiz kerak.

4. Bo'linishni tekshirish uchun bo'linuvchini bo'linuvchiga ko'paytirish va qolgan qismini mahsulotga qo'shish kerak. Siz dividend olishingiz kerak. Ushbu tekshirish usulining asosi bo'linish operatsiyasining ta'rifidir.

5. Kvadrat (yoki kub) ildizni ajratib olishning to'g'riligini tekshirish natijada olingan sonni kvadratga (yoki kubga) ko'tarishdan iborat - asl raqamni olish kerak.

Butun sonlarni qo'shish yoki ko'paytirishni tekshirishning juda oddiy va juda ishonchli usuli - bu so'zlarga o'tishni ifodalovchi usul. "taqqoslash moduli 9". 9 ga bo'linganda raqamni yozish uchun ishlatiladigan raqamlar yig'indisining qolgan qismini "ortiqcha" deb ataymiz. Keyin, "ortiqcha" ga nisbatan ikkita teoremani shakllantirish mumkin: "butun sonlar yig'indisining ortig'i hadlarning ortiqchalari yig'indisining ortig'iga teng" va "ikki butun sonning ko'paytmasining ortig'i ularning ortiqchalari mahsulotining ortig'i." Quyida ushbu teoremaga asoslangan tekshirish misollari keltirilgan:

Taqqoslash moduli 9 ga o'tish usuli boshqa arifmetik algoritmlarni sinab ko'rishda ham qo'llanilishi mumkin. Albatta, bunday tekshiruv xato bo'lmaydi, chunki "ortiqcha" bilan ishlash ham xatolarga yo'l qo'yishi mumkin, ammo bunday vaziyat bo'lishi mumkin emas.

Qiziqish.

Foiz - maxraji 100 bo'lgan kasr; Foizlar uchta usulda yozilishi mumkin: kasr, o'nli kasr yoki % maxsus foiz belgisi yordamida. Masalan, 7 foizni 7/100, 0,07 yoki 7 foiz sifatida yozish mumkin.

Foiz muammosining eng keng tarqalgan turiga quyidagi misol keltiriladi: "82 dan 17% ni toping." Ushbu muammoni hal qilish uchun siz 0.17g82 = 13.94 mahsulotini hisoblashingiz kerak. Bunday turdagi mahsulotlarda 0,17 stavka, 82 - bazaviy, 13,94 esa foiz sifatida ifodalangan ulush deb ataladi. Qayd etilgan uch miqdor bir-biriga munosabat orqali bog'lanadi

Rate g bazi = foiz ulushi.

Agar ikkita kattalik ma'lum bo'lsa, uchinchisini shu munosabatdan aniqlash mumkin. Shunga ko'ra, biz "foizlar yordamida" uch turdagi muammolarni olamiz.

1-misol. Ushbu maktabda tahsil olayotgan o‘quvchilar soni 351 nafardan 396 nafarga ko‘paydi. Bu raqam necha foizga oshdi?

O'sish 396 - 351 = 45 kishini tashkil etdi. 45/351 kasrni foiz sifatida yozsak, biz 45/351 = 0,128 = 12,8% ni olamiz.

2-misol. Savdo paytida do'kondagi e'londa "barcha tovarlarga 25% chegirma" deyiladi. Odatda 3,60 dollarga sotiladigan buyumning sotish narxi qancha?

Narxning 25% ga 3,60 dollarga tushishi 0,25-3,60 = 0,90 dollar pasayish demakdir; shuning uchun, sotish paytida ob'ektning narxi $3,60 - $0,90 = $2,70 bo'ladi.

3-misol. Yillik 5% bilan bankka qo'yilgan pul yiliga 40 dollar foyda keltirdi. Bankka qancha pul tushdi?

Miqdorning 5% 40 dollar bo'lganligi sababli, ya'ni. 5/100 g' miqdori = $40, yoki 1/100 g' miqdori = 8 dollar, umumiy summasi 800 dollar.

Taxminiy sonlar arifmetikasi.

Hisoblashda ishlatiladigan ko'plab raqamlar o'lchovlar yoki taxminlardan kelib chiqadi va shuning uchun faqat taxminiy hisoblanishi mumkin. Ko'rinib turibdiki, taxminiy raqamlar bilan bajarilgan hisob-kitoblarning natijasi faqat taxminiy son bo'lishi mumkin. Masalan, hisoblagich sirtining o'lchovlari quyidagi natijalarni berdi deylik (metrning eng yaqin o'ndan bir qismigacha yaxlitlangan): eni 1,2 m, uzunligi 3,1 m; Hisoblagichning maydoni 1,2g'3,1 = 3,72 m2 deb aytish mumkin. Biroq, aslida ma'lumotlar unchalik aniq emas. qiymati 1,2 m faqat kengligi o'lchov 1,15 va 1,25 m orasida ekanligini ko'rsatadi beri, va 3,1 uzunligi o'lchov 3,05 va 3,15 m orasida ekanligini ko'rsatadi, hisoblagich maydoni haqida biz faqat 1,15g'3,05 dan katta bo'lishi kerak, deb aytish mumkin. = 3,5075, lekin 1,25g'3,15 = 3,9375 dan kam. Shuning uchun, hisoblagichning maydoni haqidagi savolga yagona oqilona javob bu taxminan 3,7 m 2 ekanligini aytishdir.

Keling, 3,73 m, 52,1 m va 0,282 m ning taxminiy o'lchovlari natijalarini qo'shish masalasini ko'rib chiqaylik.Oddiy yig'indi 56,112 m.Ammo, avvalgi masalada bo'lgani kabi, aniq aytish mumkin bo'lgan narsa - haqiqiy yig'indi. 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m dan katta va 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m dan kichik bo'lishi kerak.Shunday qilib, savolga yagona oqilona javob yig'indini taxminan 56 ga teng deb aytishdir.1.

Yuqoridagi ikkita misol taxminiy raqamlar bilan ishlashda foydali bo'lgan ba'zi qoidalarni ko'rsatadi. Raqamlarni yaxlitlashning turli usullari mavjud. Ulardan biri raqamning pastki raqamlarini tashlashdir. Bundan tashqari, agar bekor qilinadigan birinchi raqam beshdan ko'p bo'lsa, qolgan oxirgi raqam bittaga ko'paytirilishi kerak, agar u kamroq bo'lsa, qolgan qismning oxirgi raqami o'zgarishsiz qoladi.

Agar tashlab yuborilishi kerak bo'lgan birinchi raqam aniq besh bo'lsa, unda saqlanadigan oxirgi raqam toq bo'lsa, bittaga oshiriladi va agar u juft bo'lsa, o'zgarishsiz qoladi. Masalan, yuzlik yaqinlikgacha yaxlitlashda 3.14159;17.7682; 28 999; 0,00234; 7.235 va 7.325 3.14 ga aylanadi; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 va 7.32.

Yaxlitlashning yana bir usuli muhim raqamlar tushunchasi bilan bog'liq bo'lib, raqamni mashinada yozishda qo'llaniladi. Taxminiy sonning muhim raqamlari chapdan o'ngga tartibdagi o'nli kasr yozuvidagi raqamlar bo'lib, birinchi nolga teng bo'lmagan raqamdan boshlanib, xatoga mos keladigan kasr o'rnida turgan raqam bilan tugaydi. Masalan, 12.1 taxminiy sonining muhim raqamlari 1, 2, 1 raqamlari; taxminiy raqam 0,072 - 7, 2 raqamlari; 82000 taxminiy soni, eng yaqin yuzlikka yoziladi, 8, 2, 0.

Endi biz yuqorida aytib o'tilgan taxminiy raqamlar bilan ishlash uchun ikkita qoidani shakllantiramiz.

Taxminiy raqamlarni qo'shish va ayirishda har bir raqamni eng kam aniq sonning oxirgi raqamidan keyingi raqamga yaxlitlash va natijada olingan yig'indi va farqni eng kichik aniq raqam bilan bir xil raqamlar soniga yaxlitlash kerak. Taxminiy raqamlarni ko'paytirish va bo'lishda har bir raqam eng kam ahamiyatli sonning oxirgi muhim raqamidan keyingi belgigacha yaxlitlanishi kerak va mahsulot va qism eng kam aniq son ma'lum bo'lgan bir xil aniqlik bilan yaxlitlanishi kerak.

Oldin ko'rib chiqilgan muammolarga qaytsak, biz quyidagilarni olamiz:

1,2g̀3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

bu erda " belgisi "taxminan teng" degan ma'noni anglatadi.

Ba'zi arifmetika darsliklarida taxminiy raqamlar bilan ishlash algoritmlari mavjud bo'lib, hisoblashda keraksiz belgilardan qochish imkonini beradi. Bundan tashqari, ular so'zda foydalanadilar. taxminiy raqamlarni yozish, ya'ni. har qanday raqam (1 dan 10 gacha bo'lgan raqam) g' (10 ning kuchi) shaklida ifodalanadi, bu erda birinchi omil faqat raqamning muhim raqamlarini o'z ichiga oladi. Masalan, 82000 km, yaxlitlangan yuz km, 8,20g10 4 km, 0,00702 sm esa 7,02g10 –3 sm deb yoziladi.

Matematik jadvallar, trigonometrik yoki logarifmik jadvallardagi raqamlar taxminiy bo'lib, ma'lum miqdordagi belgilar bilan yoziladi. Bunday jadvallar bilan ishlashda siz taxminiy raqamlar bilan hisoblash qoidalariga rioya qilishingiz kerak.

Logarifmlar.

17-asr boshlariga kelib. Amaliy hisoblash muammolarining murakkabligi shunchalik oshdiki, juda ko'p mehnat va vaqt tufayli ularni "qo'lda" hal qilishning iloji bo'lmadi. Yaxshiyamki, 17-asrning boshlarida J. Napier tomonidan o'z vaqtida ixtiro qilingan. logarifmlar yuzaga kelgan muammoni engish imkonini berdi. Logarifmlar nazariyasi va qo'llanilishi LOGARITM maxsus maqolasida batafsil bayon qilinganligi sababli, biz faqat eng kerakli ma'lumotlar bilan cheklanamiz.

Ko'rsatish mumkinki, agar n musbat haqiqiy son bo'lsa, unda yagona ijobiy haqiqiy son mavjud x, shuning uchun 10 x = n. Raqam x deyiladi (odatiy yoki kasrli) logarifm raqamlar n; an'anaviy ravishda shunday yoziladi: x= jurnal n. Demak, logarifm ko‘rsatkich bo‘lib, ko‘rsatkichlar bilan amallar qonunlaridan kelib chiqadiki,

Logarifmlarning ana shu xossalari ularning arifmetikada keng qo‘llanilishini tushuntiradi. Birinchi va ikkinchi xossalar har qanday ko‘paytirish va bo‘lish masalasini oddiyroq qo‘shish va ayirish masalasiga qisqartirish imkonini beradi. Uchinchi va to'rtinchi xossalar eksponentatsiya va ildiz chiqarishni ancha sodda operatsiyalarga qisqartirish imkonini beradi: ko'paytirish va bo'lish.

Logarifmlardan foydalanish qulayligi uchun ularning jadvallari tuzilgan. O'nlik logarifmlar jadvalini tuzish uchun faqat 1 dan 10 gacha bo'lgan sonlarning logarifmlarini kiritish kifoya. Masalan, 247,6 = 10 2 ̱2.476 dan beri bizda: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2,476, va 0,02476 = 10 –2 ̧2,476 dan beri, keyin log0,02476 = log10 –2 + log2,476 = –2 + log2,476. E'tibor bering, 1 dan 10 gacha bo'lgan sonning o'nlik logarifmi 0 dan 1 gacha bo'lib, o'nli kasr sifatida yozilishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, har qanday sonning o'nlik logarifmi logarifmning xarakteristikasi deb ataladigan butun son va logarifmning mantissi deb ataladigan o'nli kasrning yig'indisidir. Har qanday raqamning logarifmining xarakteristikasi "ongda" topilishi mumkin; Mantisni logarifmlar jadvallari yordamida topish kerak. Masalan, jadvallardan log2,476 = 0,39375, demak log247,63 = 2,39375 ekanligini topamiz. Agar logarifmning xarakteristikasi manfiy bo'lsa (son birdan kichik bo'lsa), uni ikkita musbat butun sonning ayirmasi sifatida ko'rsatish qulay, masalan, log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. Quyidagi misollar ushbu texnikani tushuntiradi.

Adabiyot:

Qadim zamonlardan 19-asr boshlarigacha boʻlgan matematika tarixi., jild. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Arifmetika kursi. M., 1972 yil
Nechaev V.I. Raqamli tizimlar. M., 1975 yil
Daan-Dalmediko A., Peiffer J . Yo'llar va labirintlar. Matematika tarixi bo'yicha insholar. M., 1986 yil
Engler E. Boshlang'ich matematika. M., 1987 yil

Hajmi: px

Ko'rsatishni sahifadan boshlang:

Transkripsiya

1 2-MA'RUZA ENG KATTA UMUMIY BO'LGICHINING HISOBI Evklid algoritmi Katta kompozit sonlar bilan ishlashda ularning tub ko'paytuvchilarga parchalanishi odatda noma'lum. Ammo sonlar nazariyasidagi ko'plab amaliy masalalar uchun sonni koeffitsientlarga ajratishni topish muhim, tez-tez duch keladigan amaliy muammodir. Sonlar nazariyasida Evklid algoritmi deb ataladigan ikkita sonning gcd ni hisoblashning nisbatan tez usuli mavjud. Algoritm 1. Evklid algoritmi. Kirish. a, b butun sonlar; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0 bo'lsa, Evklid algoritmi to'xtaydi va u hosil qilgan d soni a va b sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisidir. Isbot. Har qanday i 1 uchun qoldiq bilan bo‘linish teoremasi bo‘yicha r i 1 = q i r i + r i+1 bo‘ladi, bunda 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0, quyida chegaralangan. Bunday ketma-ketlik cheksiz bo'lishi mumkin emas, shuning uchun Evklid algoritmi to'xtaydi. Ikkilik Evklid algoritmi GCD ni hisoblash uchun ikkilik Evklid algoritmi buni amalga oshirishda tezroq bo'ladi.

Kompyuterda 2 ta algoritm, chunki u a va b raqamlarining ikkilik ko'rinishidan foydalanadi. Evklidning ikkilik algoritmi eng katta umumiy boʻluvchining quyidagi xossalariga asoslanadi (biz faraz qilamizki, 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, keyin gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) agar a = b, u holda gcd(a, b) = a. Algoritm 2. Binar Evklid algoritmi. Kirish. a, b butun sonlar; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >b. U holda d = ax + by bo'ladigan x va y butun sonlar mavjud. Boshqacha qilib aytganda, ikkita raqamning gcd ni ifodalash mumkin

3 bu raqamlarning butun son koeffitsientlari bilan chiziqli birikmasi sifatida. Algoritm 3. Kengaytirilgan Evklid algoritmining sxemasi. 1. = 1, = 0, = 0, = 1, a = a, b = b ni aniqlang. 2. q soni a sonining b soniga bo‘linadigan qismi bo‘lsin, r soni esa bu sonlar bo‘linmasidan qolgan qismi bo‘lsin (ya’ni a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x i-1 ; = t q; // o'ng tomon uchun = x i = o'ng uchun x i+1; //t = y i-1 ; = t q; 5. Qadamga qaytish x = x 0, y = y 0, d = ax + by ni aniqlang. Kengaytirilgan Evklid algoritmining varianti Kirish. a, b butun sonlar;< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 algoritm bilan hisoblangan, quyidagi teorema ko'rsatadi. Teorema 4. 3-algoritmning har bir iteratsiyasida ax i + ga i = r i tenglik bajariladi, i uchun 0. Isbot. Matematik induksiya usulidan foydalanamiz. i = 0 va i = 1 uchun talab qilinadigan tenglik 3-algoritmning 1-bosqichi tufayli yuzaga keladi. Faraz qilaylik, i 1 va i uchun. Keyin 3-bosqichda biz x i+1 = x i 1 x i va y i+1 = y i 1 y i ni olamiz. Demak, ax i+1 + i+1 = a(x i 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + by i 1 (ax i + by i) = r i 1 r i = r i+1 . Misol. Berilgan a = 1769, b = 551. Kengaytirilgan Evklid algoritmidan foydalanib, x va y butun sonlarni toping, d = ax + by, bu erda d - a va b sonlarining gcd. Hisoblash ketma-ketligining I bosqichi. 1. Aniqlang = 1, = 0, = 0, = 1, a = 1769, b = Quotient q = a/b = 1769/551 = 3, qoldiq r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = t q = 3; quyidagi oraliq qiymatlar

5 ta parametr: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = r bo'linishning qolgan qismi 0 ga teng bo'lgani uchun 2-bosqichga qaytamiz. Hisoblash ketma-ketligining II bosqichi. 1. Parametr qiymatlari: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = q = a/b = 551/116 = 4, qoldiq r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = t q = = 4 = 3; = t q = 1 (3) 4 = 13; parametrlarning quyidagi oraliq qiymatlari: a = 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = r bo'limining qolgan qismi 0 bo'lgani uchun biz 2-bosqichga qaytamiz. Hisoblash ketma-ketligining III bosqichi . 1. Parametr qiymatlari: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = qism q = a/b = 116/87 = 1, qoldiq r = 29.

6 a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = t q = 3 (13) 1 = 16; quyidagi oraliq parametr qiymatlari: a = 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = r bo'limining qolgan qismi 0 bo'lgani uchun biz 2-bosqichga qaytamiz. Hisoblash ketma-ketligining IV bosqichi. 1. Parametr qiymatlari: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = q = a/b = 87/29 = 3, qolgan r = 0. a = 87; b = 29; t = = 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = t q = 13 (16) 3 = 61; quyidagi oraliq parametr qiymatlari: a = 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Bo'linishning qolgan qismi r = 0 bo'lgani uchun biz 6-bosqichni bajaramiz.

7 6. GCD ni d = ax + by formulasi yordamida hisoblaymiz, bu erda x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, a = 1769, b = 551. Parametrlarning qiymatlarini almashtirib, biz olamiz d = ax + by = = = 29 Kengaytirilgan Evklid algoritmi ikkilik shaklda ham amalga oshirilishi mumkin. Algoritm 4. Kengaytirilgan ikkilik Evklid algoritmi. Kirish. a, b butun sonlar;< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Butun sonlardagi tenglamalarni yechish Chiziqli tenglamalar. Qo'pol kuch usuli Misol. Quyonlar va qirg‘ovullar qafasda o‘tirishibdi. Ularning jami 8 ta oyoqlari bor. Qafasda ikkalasining nechtasi borligini aniqlang. Barcha echimlarni sanab o'ting. Yechim.

7-dars Agar (1) d a va d b, shuningdek, (2) x a va x b dan keyin x d dan keyin barcha x uchun d soni a va b sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi (GCD) deb ataladi. Bu holda biz d = (a, b) yozamiz. Lemma 1. Har qanday raqamlar uchun

Mavzu. Elementar sonlar nazariyasi asoslari va ilovalari - Nazariy material. Modul qoldiqlari to'plami, taqqoslash xususiyatlari. Natural son kattaroq bo'lsin. Z barcha sinflar to'plamini belgilasin

Yugra fizika-matematika litseyi V.P.Chuvakov SONLAR NAZARIYASI ASOSLARI Ma’ruza matni (0)(mod) (0)(mod) Natural sonlar N, – sanash yoki sanash uchun ishlatiladigan natural sonlar to‘plami.

2-bob Butun sonlar, ratsional va haqiqiy sonlar 2.. Butun sonlar, 2, 3,... sonlar natural sonlar deyiladi. Barcha natural sonlar to'plami N bilan belgilanadi, ya'ni. N = (,2,3,...). Raqamlar..., 3, 2,0,2,3,...

Davomli kasrlar Cheklangan davomli kasrlar Ta'rif a 0 + a + a + + a m ko'rinishdagi ifoda bu erda a 0 Z a a m N a m N/() davomli kasr deyiladi va m davomli kasrning uzunligi a 0 a a m bo'ladi. davomli kasrning koeffitsientlari deyiladi

1-MA'RUZA SONLAR NAZARIYASINING BA'ZI Elementlari Qo'llanmada sonlar nazariyasi ko'rsatilmagan, ammo bu nazariyadan kelajakda foydalaniladigan kriptografik tizimlarni o'rganish uchun zarur bo'ladigan minimal vositalar keltirilgan.

Gorbachev EMAS Bir oʻzgaruvchining koʻpnomlari Darajali tenglamalarni yechish Koʻphad tushunchasi Koʻphadlar ustida arifmetik amallar Oʻzgaruvchan qiymatga nisbatan th darajali koʻphadni (koʻpnom) taʼrifi.

Butun sonlarning bo'linuvchanligi a soni b soniga bo'linadi (yoki b a bo'linadi), agar c soni shunday bo'lsa, a = bc Bu holda c soni a ga bo'lingan a ning ko'rsatkichi deyiladi Belgilar: a - a bo'linadi. b yoki ba b ga bo'linadi

12-MA'RUZA IKKINCHI DARAJA MODULI VA KVADRAT NATIJALARNING QOYISHASI Ikkinchi darajali p modulini taqqoslashning umumiy shakli (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p ko'rinishga ega. Taqqoslash yechimini topish (1)

Yo'nalishlar, yechimlar, javoblar BUTUN TENGLAMALAR. Bitta noma'lum tenglama. Yechish. Keling, uni tenglamaga kiritamiz. Biz tenglikni olamiz (4a b 4) (a b 8) 0. A B 0 tengligi bajariladi, bunda A va B butun sonlar,

Algebraik polinomlar. 1 K maydoni bo'yicha n darajali algebraik ko'phadlar Ta'rif 1.1 K son maydonidagi z o'zgaruvchisidagi n, n N (0) darajali ko'phad: fz = a n z n ko'rinishdagi ifodadir.

Ma'ruza Kvadrat qoldiqlar va qoldiq bo'lmaganlar Ma'ruzachi: N.U.Zolotix Yozgan: E Zamaraeva?? 00 sentyabr Mundarija Kvadrat qoldiqlar va qoldiq bo'lmaganlar Legendre belgisi Legendre belgisining xususiyatlari Kvadrat o'zaro qonuni

GOU "Intellektual" maktab-internati" Matematika bo'yicha "Natural sonlarning butun sonli koeffitsientlar bilan chiziqli birikma ko'rinishida ifodalanishi to'g'risida" mavzusidagi ilmiy-tadqiqot ishlari.

Matematik tahlil Bo'lim: Noaniq integral Mavzu: Ratsional kasrlarni integrallash O'qituvchi E.G.Paxomova 0 g 5. Ratsional kasrlarni integrallash TA’RIF. Ratsional kasr deyiladi

4 Sonlar nazariyasi 4 Butun sonlar 7 taʼrifi, b Z boʻlsin, agar b (b bilan belgilanadi) butun son boʻlsa, b boʻlinadi 73 Teorema (qoldiq bilan boʻlinish) Agar, b Z va b, u holda butun sonlar mavjud boʻladi.

Matematik tahlil Bo'lim: Noaniq integral Mavzu: Ratsional kasrlarni integrallash O'qituvchi Rojkova S.V. 0 g 5. Ratsional kasrlarni integrallash TA’RIF. Ratsional kasr deyiladi

009-00 maktab yil. 6, 9 sinflar Matematika. Sonlar nazariyasining elementlari. 4. Eng katta umumiy bo‘luvchi va eng kichik umumiy karralini hisoblash Kesimdan yozuvni saqlab qolamiz. n natural soni uchun n yozing

AMALIY ALGEBRA. I qism: Cheklangan maydonlar (Galua maydonlari). I 1 / 67 I qism Cheklangan maydonlar (Galua maydonlari). MEN ALGEBRA FANINI QO'LLAB QILGANMAN. I qism: Cheklangan maydonlar (Galua maydonlari). I 2 / 67 qoldiqlar moduli prime maydonlari

5 Tenglamalarni butun sonlarda yechish Bitta noma’lum chiziqli tenglama kabi oddiy tenglamalarni ham yechishning o‘ziga xos xususiyatlari bor, agar tenglamaning koeffitsientlari butun son bo‘lsa va bu talab etilsa.

8-laboratoriya ishi Evklid algoritmi yordamida ikkita sonning eng katta umumiy boʻluvchisini hisoblash Ishdan maqsad a va b sonlar uchun eng kattani aniqlaydigan Evklid algoritmidan foydalanib dastur yaratish.

1-bo'lim. Kriptografiyaning matematik asoslari 1 Maydonning ta'rifi Cheklangan maydon GF q (yoki Galua maydoni) - ular o'rtasida qo'shish va ko'paytirish amallari belgilangan chekli ixtiyoriy elementlar to'plami.

Maktab o‘quvchilari uchun matematika va kriptografiya bo‘yicha XIX viloyatlararo olimpiada 11-sinf uchun masalalar 1-masala yechimi Birinchidan, shuni e’tiborga olingki, agar N = pq, bu yerda p va q tub sonlar bo‘lsa, natural sonlar soni dan kichik bo‘ladi.

Ko'phadlar va ularning ildizlari 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Ta'rif: n n N darajali ko'phad - ko'rinishning har qanday ifodasi: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., bu erda a & , a &+, a, a. R,a&

Ma’ruza 4. AES STANDARTI. RIJNDAEL ALGORITMI. AES (Advnced Encrypton Stndrd) standarti DES standarti o‘rnini bosuvchi yangi bitta kalitli shifrlash standartidir. Rjndel algoritmi (Rhein Dal)

Ko'p nomlilar va ularning ildizlari Ta'rif: n (n N) darajali ko'phad ko'rinishning istalgan ifodasidir: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, bu erda a n, a n 1, a. 1, a 0 R, a n katta koeffitsient, a

1 Evklid algoritmi va uning murakkabligi Ta'rif 1. a va b sonlarning umumiy bo'luvchisi c a va c b bo'ladigan sondir. Ta'rif 2. a va b sonlarning eng katta umumiy bo'luvchisi ularning umumiy bo'luvchisidir,

14-MA'RUZA Kvadrat ildizlarni modulli kompozitsion hisoblash Yuqoridagi nazariyadan kelib chiqadiki, agar =, bu yerda va tub sonlar bo'lsa, Z guruhi Z Z fazosiga izomorf bo'ladi. Chunki izomorfizm xossalarini saqlaydi.

3-MA'RUZA Kvadrat ildizlarni xisoblash MODULI Oddiy modul holati X a mod p, () taqqoslashni ko'rib chiqaylik, bunda p soni tub va a butun soni p ga bo'linmaydi. Bu tenglamaning x yechimini hisoblash.

Diskret matematika bo'yicha kollokvium dasturi (asosiy oqim) Kollokvium boshida siz uchta savoldan iborat chipta olasiz: ta'riflarni bilish bo'yicha savol, masala, isbotlarni bilish bo'yicha savol.

Shor algoritmi Yu.Lifshits. 1-dekabr, 005 Ma'ruza rejasi 1. Tayyorlash (a) Faktoring raqamlari (b) Kvant hisoblash (c) Klassik hisoblashning emulyatsiyasi. Simon algoritmi (a) Kvant parallelizmi

Matematika tarixidan Arifmetika geometriyadan mustaqil ravishda taqdim etilgan birinchi yetarli hajmli kitob Nikomaxeyning (milodiy ok. ok.) Arifmetikaga kirish kitobidir.Arifmetika tarixida uning roli bilan solishtirish mumkin.

Boshlang'ich sonlar nazariyasining boshlanishiga qisqacha kirish Denis Kiriyenko Yozgi kompyuter maktabi, 2009 yil 1 yanvar Butun sonli bo'linish Ikkita a va b butun sonlari berilsin, b 0. Bo'linishning butun soni

1-9-mavzu: Ko‘p nomlilar. Polinomlar halqasini qurish. Bo'linish nazariyasi. Hosil A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal universiteti Matematika va informatika instituti Algebra va diskret kafedrasi

Algebraik tenglamalar bu erda Ta'rif. 0, P () 0 ko'rinishdagi tenglama, ba'zi haqiqiy sonlar algebraik deyiladi. 0 0 Bu holda, o'zgaruvchan miqdor noma'lum deb ataladi va 0 raqamlari, koeffitsientlar

6-ma’ruza Sonlar nazariyasi elementlari 1- masala. 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 sonlar qatorini davom ettiring. Integer arifmetikada butun sonlardan foydalaniladi: Z = (-, 2, -1, 0,

Ko'phadlar Bir o'zgaruvchisi n bo'lgan ko'phad shaklning ifodasidir, bu erda har qanday sonlar ko'phadning koeffitsientlari deb ataladi va o'zgaruvchi o'rniga If ko'phadning yetakchi koeffitsienti deyiladi.

1 2 Tarkib. 1.Kirish. 4-6 1.1. Annotatsiya...4 1.2. 4-masala 1.3. Ishning maqsadi 5 1.4. Gipoteza..5 1.5. Tadqiqot predmeti... 5 1.6. O'rganish ob'ekti. 5 1.7. Yangilik... 5-6 1.8. Tadqiqot usullari...6

8.3, 8.4.2-sinf, Matematika (darslik Makarychev) 2018-2019 o‘quv yili Modul mavzusi “Butun sonlar. Raqamlarning bo'linuvchanligi. Butun sonli indikatorli daraja” Test nazariy va amaliy qismlarni sinovdan o'tkazadi. MAVZU Bilish

Ma’ruza RASAL kasrlarni integrallash Ratsional kasrlar Oddiy ratsional kasrlarni integrallash Ratsional kasrlarni oddiy kasrlarga ajratish Ratsional kasrlarni integrasiyalash Ratsional kasrlar.

Www.cryptolymp.ru Matematika va kriptografiya fanidan maktab o‘quvchilari uchun XIX viloyatlararo olimpiada (11-sinf) 1-masala yechimi Avval shuni e’tiborga olish kerakki, agar N pq, bu yerda p va q tub sonlar bo‘lsa, natural sonlar soni,

Butun sonlar bo'linuvchanlik nazariyasi Butun sonlar -3, -, -, 0, 3 sonlari, o'sha natural sonlar, 3, 4, shuningdek nol va manfiy sonlar -, -, -3, -4. Barcha butun sonlar to'plami. bilan belgilanadi

Rossiya Federatsiyasi Ta'lim va fan vazirligi Ural Davlat Iqtisodiyot Universiteti Yu. B. Melnikov Polinomiyalar bo'limi ma'ruza bilan birga elektron darslik Ed. 4, rev. va qo'shimcha elektron pochta: [elektron pochta himoyalangan],

(trigonometrik qator trigonometrik sistemaga misollar - ixtiyoriy davr funksiyalari uchun [ -l; l ] oraliqda kengayish - sinus va kosinuslarda juft va toq davomiyliklarda toʻliq boʻlmagan qator kengayishi)

Nazariy informatika II ma’ruza 5. Butun son algoritmlari: kengaytirilgan Evklid algoritmi, modul teskari, modul ko‘rsatkichi. Ochiq kalit kriptografiyasi, RSA protokoli. Ehtimoliy

5. Bose-Chaudxuri-Xokkengem kodlari Tsiklik kodlarning tuzatish xossalarini ikkita teorema asosida aniqlash mumkin. Teorema 1. Har qanday m va t uchun n = 2 m 1 uzunlikdagi ko‘paytmali siklik kod mavjud.

MODULYAR ARIFMETIKA Ba'zi ilovalarda modulli yozuv deb ataladigan butun sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish qulay.Bu tasvir butun sonni nazarda tutadi.

MATEMATIKA FOYDALANISH 00 Koryanov A.G. Bryanskdan topshiriqlar Iltimos, sharh va takliflaringizni quyidagi manzilga yuboring: [elektron pochta himoyalangan] BUTUN SONLARDAGI TENGLAMA VA TENGSIZLIKLAR (ta’lim masalalaridan olimpiada masalalarigacha) Chiziqli.

2.22. Umumiy omilni chiqaring (n - natural son): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n; 2) y n + 2 - y n - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Har bir raqam tayinlandi

15-MA'RUZA BOSH SONLAR Birdan katta p natural son faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan bo'lsa tub son deyiladi. Teorema (Evklid). Tub sonlar to'plami cheksizdir. p(x) bilan belgilaymiz

3-mavzu. Algebraik va analitik sonlar nazariyasi elementlari Nazariy material 1. Davomli kasrlar. Yakuniy davomli kasr a +, (1) ifodasidir, bunda a butun son, a, i > 0, natural sonlar,

Http://vk.ucoz.et/ Ko'phadlar ustida amallar k a k darajali ko'phad (ko'pnom) a ko'rinishdagi funktsiya, bunda o'zgaruvchi, a sonli koeffitsientlar (=,.k) va. Nolga teng bo'lmagan har qanday raqamni hisobga olish mumkin

V. G. Belinskiy nomidagi Penza davlat pedagogika universiteti M. V. Glebova V. F. Timerbulatova KO'P NOMALAR ALGEBRAsidan AMALIY DARSLAR O'quv-uslubiy qo'llanma Penza nashriyoti.

BUTUN SONLARNING QOLIQ BILAN BO'LISHI m butun son va n natural son bo'lsin.Agar m > n va m n ga bo'linmasa, u holda m ni n ga qoldiq bilan bo'lish mumkin.3-ta'rif Har qanday m va istalgan butun son uchun

Avdoshin S.M., Savelyeva A.A. Qoldiq halqalardagi chiziqli tenglamalar tizimini yechish algoritmi Murakkabligi bo‘yicha ekvivalent qoldiq halqalardagi chiziqli tenglamalar tizimini echishning samarali algoritmi ishlab chiqildi.

AMALIY ALGEBRA. I qism: Cheklangan maydonlar (Galua maydonlari) I 1 / 88 I qism Cheklangan maydonlar (Galua maydonlari) I ALGEBRANI TOLLANGAN. I qism: Cheklangan maydonlar (Galois maydonlari) I 2 / 88 Qoldiq maydonlari tub sonni modul qiladi

5 Algebraik tuzilmalar 6 Ta'rif S to'plamdagi ikkilik amal S S dan S gacha bo'lgan xaritalashdir, ya'ni S dan har bir tartiblangan elementlar juftiga ma'lum bir qiymatni belgilaydigan qoidadir.

/E Sonlar nazariyasi elementlari va. rochev 2018 yil 28 avgust Mundarija Mundarija i 1 Butun sonlar 1 1.1 Kirish masalalari................................ ... ..... 1 1.2 Eng katta umumiy bo‘luvchi......................................

Bob Butun sonlar, ratsional va haqiqiy sonlar. Qolgan bilan bo'linish. Har bir raqamni ±23, ±4, qolganini esa ±5 songa bo'ling. 2. 42 sonining barcha ijobiy omillarini toping. 3. Hozir soat 3.

Differensial tenglamalar ma'ruza 4 Umumiy differentsiallardagi tenglamalar. Integrallashtiruvchi omil O'qituvchi Anna Igorevna Sherstneva 9. To'liq differentsiallardagi tenglamalar d + d = 14 tenglama tenglama deyiladi.

Mavzu. Elementar sonlar nazariyasi asoslari va tatbiqlari. Ibtidoiy ildizlar, indekslar. Nazariy material. a, m natural ko‘p sonlar va m bo‘lsin, u holda Eyler teoremasiga ko‘ra a m)

“Oliy matematika fanining matematika va informatika elementlari” kafedrasi Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan o‘rta kasb-hunar ta’limi talabalari uchun o‘quv-uslubiy majmua Modul Chegaralar nazariyasi Tuzuvchi: dotsent

2-bo'lim. Kriptografiyada sonli-nazariy usullar Mustaqil ish topshiriq Kriptografiyada keng qo'llaniladigan algoritmlarni o'rganish. Sonlar nazariyasi elementlari: kengaytirilgan Evklid algoritmi;

Tematik reja 206-207 o'quv yilining dasturiy materiali asosida "Algebra 8" darsligi bo'yicha tuzilgan, nashr. A.G. Mordkovich, ta'limning tavsiya etilgan majburiy minimal mazmunini hisobga olgan holda Mavzu

Ma'ruza 2. Binom koeffitsientlarining xossalari. Yig'indilarni hisoblash va funksiyalarni hosil qilish usuli (yakuniy holat). Polinom koeffitsientlari. Binom va polinom koeffitsientlarini baholash. Hisob-kitoblar miqdori

Evklid algoritmi

Eng katta umumiy bo'luvchi

Quyidagi masalani ko'rib chiqing: ikkita natural sonning eng katta umumiy bo'luvchisini (GCD) aniqlash uchun dastur yozishingiz kerak.

Keling, matematikani eslaylik. Ikki natural sonning eng katta umumiy boʻluvchisi ular teng boʻlinadigan eng katta natural sondir. Masalan, 12 va 18 raqamlari umumiy ko'rsatkichlarga ega: 2, 3, 6. Eng katta umumiy ko'rsatkich 6 raqamidir. Bu quyidagicha yoziladi:

GCD(12, 18) = 6.

Dastlabki ma’lumotlarni M u N deb belgilaymiz. Muammoning bayoni quyidagicha:
Berilgan: M, N
Toping: GCD (M, N).

Bunday holda, qo'shimcha matematik rasmiylashtirish talab qilinmaydi. Muammoning o'zi rasmiy matematik xususiyatga ega. M va N qiymatlaridan GCD(M, N) ni hisoblash uchun formulalar mavjud emas. Ammo ancha vaqt oldin, kompyuterlar paydo bo'lishidan ancha oldin, bu muammoni hal qilishning algoritmik usuli ma'lum edi. Bu deyiladi Evklid algoritmi .

Evklid algoritmi g'oyasi

Ushbu algoritmning g'oyasi agar M>N bo'lsa, u holda xususiyatga asoslangan

GCD (M, N) = GCD (M - N, N).

Boshqacha qilib aytganda, ikkita natural sonning gcd si ularning musbat farqi (ularning farqining moduli) va undan kichikroq sonning gcd ga teng.

Bu xususiyatni isbotlash oson. M u N (M> N) ning umumiy bo'luvchisi K bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, M = mK, N = nK, bu erda m, n natural sonlar va m > n. Keyin M - N = K(m - n), ya'ni K M sonining bo'luvchisi - N. Bu shuni anglatadiki, M va N sonlarning barcha umumiy bo'luvchilari ularning M - N farqining bo'luvchilari, shu jumladan eng kattasi ham. umumiy bo'luvchi.

Ikkinchi aniq xususiyat:

GCD(M, M) = M.

"Qo'lda" hisoblash uchun Evklid algoritmi quyidagicha ko'rinadi:

1) agar raqamlar teng bo'lsa, ulardan birortasini javob sifatida qabul qiling, aks holda algoritmni bajarishda davom eting;

2) katta sonni katta va kichik sonlar orasidagi farq bilan almashtiring;

3) 1-bosqichga qayting.

M=32, N=24 misolida bu algoritmni ko‘rib chiqamiz:

Algoritmning tuzilishi ichki tarmoqqa ega while-loopdir. M va N qiymatlari bir-biriga teng bo'lguncha tsikl takrorlanadi. Tarmoqlanishda ikkita qiymatdan kattasi ularning farqi bilan almashtiriladi.

Endi M = 32, N = 24 boshlang'ich qiymatlari uchun algoritmning kuzatuv jadvaliga qarang.

Oxir-oqibat, natija to'g'ri bo'ldi.

AY va Paskal tillarida dastur

Algoritmni AY, dasturni Paskalda yozamiz.

Savol va topshiriqlar

1. Kompyuteringizda Evklid dasturini ishga tushiring. Uni M = 32, N = 24 qiymatlari bo'yicha sinab ko'ring; M = 696, N = 234.

2. Quyidagi formula yordamida uchta sonning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish dasturini tuzing:

GCD (A, B, C) = GCD (GCD (A, B), C).

3. Ikki sonning eng kichik umumiy karralini (LCM) formuladan foydalanib topish dasturini tuzing:

A × B = GCD (A, B) × GCD (A, B).