Winkel zwischen zwei Vektoren:

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren spitz ist, ist ihr Skalarprodukt positiv; Wenn der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist, ist das Skalarprodukt dieser Vektoren negativ. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ungleich Null ist genau dann gleich Null, wenn diese Vektoren orthogonal sind.

Übung. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und

Lösung. Kosinus des gewünschten Winkels

16. Berechnung des Winkels zwischen Geraden, Geraden und Ebene

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, die diese Linie schneidet und nicht senkrecht dazu steht, ist der Winkel zwischen der Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene.

Die Bestimmung des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene lässt den Schluss zu, dass der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Linien ist: der Geraden selbst und ihrer Projektion auf die Ebene. Daher ist der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene ein spitzer Winkel.

Der Winkel zwischen einer senkrechten Geraden und einer Ebene wird als gleich angesehen, und der Winkel zwischen einer parallelen Geraden und einer Ebene wird entweder gar nicht bestimmt oder als gleich angesehen.

§ 69. Berechnung des Winkels zwischen Geraden.

Das Problem der Berechnung des Winkels zwischen zwei Geraden im Raum wird auf die gleiche Weise wie in einer Ebene gelöst (§ 32). Bezeichnen wir mit φ die Größe des Winkels zwischen den Geraden l 1 und l 2 und durch ψ - die Größe des Winkels zwischen den Richtungsvektoren A Und B diese geraden Linien.

Dann wenn

ψ 90° (Abb. 206.6), dann φ = 180° - ψ. Offensichtlich gilt in beiden Fällen die Gleichheit cos φ = |cos ψ|. Nach Formel (1) § 20 haben wir

somit,

Die Geraden seien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben

Anschließend wird der Winkel φ zwischen den Geraden mit der Formel bestimmt

Wenn eine der Linien (oder beide) durch nichtkanonische Gleichungen gegeben ist, müssen Sie zur Berechnung des Winkels die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien ermitteln und dann Formel (1) verwenden.

17. Parallele Geraden, Sätze über parallele Geraden

Definition. Es werden zwei Geraden in einer Ebene aufgerufen parallel, wenn sie keine Gemeinsamkeiten haben.

Zwei Linien im dreidimensionalen Raum werden aufgerufen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren.

Aus der Definition des Skalarprodukts:

.

Bedingung für die Orthogonalität zweier Vektoren:

Bedingung für die Kollinearität zweier Vektoren:

.

Folgt aus Definition 5 - . Tatsächlich folgt aus der Definition des Produkts eines Vektors und einer Zahl. Basierend auf der Regel der Vektorgleichheit schreiben wir daher , , , was impliziert . Aber der Vektor, der sich aus der Multiplikation des Vektors mit der Zahl ergibt, ist kollinear zum Vektor.

Projektion von Vektor auf Vektor:

.

Beispiel 4. Gegebene Punkte , , , .

Finden Sie das Skalarprodukt.

Lösung. Wir finden mit der Formel das Skalarprodukt von Vektoren, die durch ihre Koordinaten angegeben werden. Weil das

, ,

Beispiel 5. Gegebene Punkte , , , .

Projektion finden.

Lösung. Weil das

, ,

Basierend auf der Projektionsformel haben wir

.

Beispiel 6. Gegebene Punkte , , , .

Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und .

Lösung. Beachten Sie, dass die Vektoren

, ,

sind nicht kollinear, da ihre Koordinaten nicht proportional sind:

.

Diese Vektoren sind auch nicht senkrecht, da ihr Skalarprodukt ist.

Lass uns finden

Ecke wir finden aus der Formel:

.

Beispiel 7. Bestimmen Sie, bei welchen Vektoren und kollinear.

Lösung. Im Falle der Kollinearität die entsprechenden Koordinaten der Vektoren und muss proportional sein, das heißt:

.

Daher und.

Beispiel 8. Bestimmen Sie den Wert des Vektors Und aufrecht.

Lösung. Vektor und sind senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Aus dieser Bedingung erhalten wir: . Das ist, .

Beispiel 9. Finden , Wenn , , .

Lösung. Aufgrund der Eigenschaften des Skalarprodukts gilt:

Beispiel 10. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und , wo und - Einheitsvektoren und der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 120°.

Lösung. Wir haben: , ,

Endlich haben wir: .

5 B. Vektorgrafiken.

Definition 21.Vektorgrafiken Vektor für Vektor wird als Vektor bezeichnet oder durch die folgenden drei Bedingungen definiert:

1) Der Modul des Vektors ist gleich, wobei der Winkel zwischen den Vektoren und ist, d. h. .

Daraus folgt, dass der Modul des Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche eines Parallelogramms ist, das aus Vektoren und beiden Seiten aufgebaut ist.

2) Der Vektor steht senkrecht auf jedem der Vektoren und ( ; ), d. h. senkrecht zur Ebene eines Parallelogramms, das aus den Vektoren und aufgebaut ist.

3) Der Vektor ist so ausgerichtet, dass, von seinem Ende aus betrachtet, die kürzeste Drehung von Vektor zu Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn erfolgen würde (die Vektoren , , bilden ein rechtsdrehendes Tripel).

Wie berechnet man Winkel zwischen Vektoren?

Beim Studium der Geometrie stellen sich viele Fragen zum Thema Vektoren. Besondere Schwierigkeiten bereitet der Schüler, wenn es darum geht, die Winkel zwischen Vektoren zu ermitteln.

Grundbegriffe

Bevor Sie sich mit Winkeln zwischen Vektoren befassen, müssen Sie sich mit der Definition eines Vektors und dem Konzept eines Winkels zwischen Vektoren vertraut machen.

Ein Vektor ist ein Segment, das eine Richtung hat, also ein Segment, für das Anfang und Ende definiert sind.

Der Winkel zwischen zwei Vektoren auf einer Ebene, die einen gemeinsamen Ursprung haben, ist der kleinere der Winkel um den Betrag, um den einer der Vektoren um den gemeinsamen Punkt bewegt werden muss, bis ihre Richtungen übereinstimmen.

Formel zur Lösung

Sobald Sie verstanden haben, was ein Vektor ist und wie sein Winkel bestimmt wird, können Sie den Winkel zwischen den Vektoren berechnen. Die Lösungsformel hierfür ist recht einfach und das Ergebnis ihrer Anwendung ist der Wert des Kosinus des Winkels. Laut Definition ist er gleich dem Quotienten aus dem Skalarprodukt von Vektoren und dem Produkt ihrer Längen.

Das Skalarprodukt von Vektoren wird als Summe der entsprechenden Koordinaten der Faktorvektoren multipliziert miteinander berechnet. Die Länge eines Vektors oder sein Modul wird als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten berechnet.

Nachdem Sie den Wert des Kosinus des Winkels erhalten haben, können Sie den Wert des Winkels selbst mit einem Taschenrechner oder einer trigonometrischen Tabelle berechnen.

Beispiel

Sobald Sie herausgefunden haben, wie der Winkel zwischen Vektoren berechnet wird, wird die Lösung des entsprechenden Problems einfach und klar. Als Beispiel lohnt es sich, das einfache Problem zu betrachten, den Wert eines Winkels zu ermitteln.

Zunächst ist es bequemer, die für die Lösung erforderlichen Werte der Vektorlängen und ihres Skalarprodukts zu berechnen. Mit der oben dargestellten Beschreibung erhalten wir:

Indem wir die erhaltenen Werte in die Formel einsetzen, berechnen wir den Wert des Kosinus des gewünschten Winkels:

Da es sich bei dieser Zahl nicht um einen der fünf gebräuchlichen Kosinuswerte handelt, müssen Sie zum Berechnen des Winkels einen Taschenrechner oder die trigonometrische Tabelle von Bradis verwenden. Bevor jedoch der Winkel zwischen den Vektoren ermittelt wird, kann die Formel vereinfacht werden, um das zusätzliche negative Vorzeichen zu entfernen:

Um die Genauigkeit zu gewährleisten, können Sie die endgültige Antwort unverändert lassen oder den Wert des Winkels in Grad berechnen. Laut Bradis-Tabelle beträgt sein Wert etwa 116 Grad und 70 Minuten, und der Rechner zeigt einen Wert von 116,57 Grad an.

Berechnen eines Winkels im n-dimensionalen Raum

Bei der Betrachtung zweier Vektoren im dreidimensionalen Raum ist es viel schwieriger zu verstehen, um welchen Winkel es sich handelt, wenn sie nicht in derselben Ebene liegen. Um die Wahrnehmung zu vereinfachen, können Sie zwei sich schneidende Segmente zeichnen, die den kleinsten Winkel zwischen ihnen bilden. Dies ist der gewünschte. Auch wenn der Vektor eine dritte Koordinate enthält, ändert sich der Prozess zur Berechnung der Winkel zwischen Vektoren nicht. Berechnen Sie das Skalarprodukt und die Moduli der Vektoren; der Arkuskosinus ihres Quotienten ist die Antwort auf dieses Problem.

In der Geometrie gibt es häufig Probleme mit Räumen, die mehr als drei Dimensionen haben. Aber für sie sieht der Algorithmus zum Finden der Antwort ähnlich aus.

Unterschied zwischen 0 und 180 Grad

Einer der häufigsten Fehler beim Verfassen einer Antwort auf eine Aufgabe zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren ist die Entscheidung zu schreiben, dass die Vektoren parallel sind, das heißt, der gewünschte Winkel sei gleich 0 oder 180 Grad. Diese Antwort ist falsch.

Nachdem die Lösung den Winkelwert 0 Grad erhalten hat, wäre die richtige Antwort, die Vektoren als kodirektional zu bezeichnen, das heißt, die Vektoren haben die gleiche Richtung. Wenn 180 Grad erreicht werden, sind die Vektoren entgegengesetzt gerichtet.

Spezifische Vektoren

Nachdem Sie die Winkel zwischen den Vektoren ermittelt haben, können Sie neben den oben beschriebenen gleich- und gegenläufigen auch einen der Sondertypen finden.

• Mehrere zu einer Ebene parallele Vektoren werden als koplanar bezeichnet.
• Vektoren, die in Länge und Richtung gleich sind, heißen gleich.
• Vektoren, die unabhängig von der Richtung auf derselben Geraden liegen, werden als kollinear bezeichnet.
• Wenn die Länge eines Vektors Null ist, also Anfang und Ende zusammenfallen, heißt er Null, und wenn er Eins ist, dann Einheit.

Wie finde ich den Winkel zwischen Vektoren?

helfen Sie mir bitte! Ich kenne die Formel, kann sie aber nicht berechnen ((
Vektor a (8; 10; 4) Vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titow

Der durch ihre Koordinaten angegebene Winkel zwischen Vektoren wird mithilfe eines Standardalgorithmus ermittelt. Zuerst müssen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b finden: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Wir ersetzen hier die Koordinaten dieser Vektoren und berechnen:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Als nächstes bestimmen wir die Länge jedes Vektors. Die Länge oder der Modul eines Vektors ist die Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten:
|a| = Wurzel von (x1^2 + y1^2 + z1^2) = Wurzel von (8^2 + 10^2 + 4^2) = Wurzel von (64 + 100 + 16) = Wurzel von 180 = 6 Wurzeln von 5
|b| = Wurzel von (x2^2 + y2^2 + z2^2) = Wurzel von (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = Wurzel von (25 + 400 + 100) = Wurzel von 525 = 5 Wurzeln von 21.
Wir multiplizieren diese Längen. Wir bekommen 30 Wurzeln aus 105.
Und schließlich dividieren wir das Skalarprodukt von Vektoren durch das Produkt der Längen dieser Vektoren. Wir erhalten -200/(30 Wurzeln von 105) oder
- (4 Wurzeln von 105) / 63. Dies ist der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren. Und der Winkel selbst ist gleich dem Arkuskosinus dieser Zahl
f = arccos(-4 Wurzeln von 105) / 63.
Wenn ich alles richtig gezählt habe.

So berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen Vektoren anhand der Koordinaten der Vektoren

Michail Tkatschew

Lassen Sie uns diese Vektoren multiplizieren. Ihr Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Der Winkel ist uns unbekannt, aber die Koordinaten sind bekannt.
Schreiben wir es mathematisch so auf.
Gegeben seien die Vektoren a(x1;y1) und b(x2;y2).
Dann

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Lass uns reden.
Das a*b-Skalarprodukt von Vektoren ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten der Koordinaten dieser Vektoren, d. h. gleich x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-Produkt von Vektorlängen ist gleich √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Das bedeutet, dass der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren gleich ist:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus berechnen. Lassen Sie uns besprechen, wie das geht:

Wenn der Kosinus eines Winkels positiv ist, dann liegt dieser Winkel in 1 oder 4 Quadranten, was bedeutet, dass sein Sinus entweder positiv oder negativ ist. Da aber der Winkel zwischen den Vektoren kleiner oder gleich 180 Grad ist, ist sein Sinus positiv. Das Gleiche gilt für den Fall, dass der Kosinus negativ ist.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Das ist es)))) Viel Glück beim Herausfinden)))

Dmitri Levishchev

Die Tatsache, dass es unmöglich ist, direkt zu sinusieren, ist nicht wahr.
Zusätzlich zur Formel:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Es gibt auch dieses hier:
||=|a|*|b|*sin A
Das heißt, anstelle des Skalarprodukts können Sie den Modul des Vektorprodukts nehmen.

Kenntnisse und Verständnis mathematischer Begriffe helfen bei der Lösung vieler Probleme sowohl in Algebra- als auch in Geometriekursen. Eine ebenso wichtige Rolle kommt Formeln zu, die die Zusammenhänge zwischen mathematischen Merkmalen darstellen.

Winkel zwischen Vektoren – Terminologie erklärt

Um eine Definition des Winkels zwischen Vektoren zu formulieren, ist es notwendig herauszufinden, was der Begriff „Vektor“ bedeutet. Dieses Konzept charakterisiert einen Abschnitt einer Geraden, der einen Anfang, eine Länge und eine Richtung hat. Wenn sich vor Ihnen zwei gerichtete Segmente befinden, die am selben Punkt entstehen, bilden sie einen Winkel.

Das. Der Begriff „Winkel zwischen Vektoren“ definiert das Gradmaß des kleinsten Winkels, um den ein gerichtetes Segment (relativ zum Startpunkt) gedreht werden sollte, damit es die Position/Richtung des zweiten gerichteten Segments der Linie einnimmt. Diese Aussage gilt für Vektoren, die von einem Punkt ausgehen.

Das Gradmaß des Winkels zwischen zwei gerichteten Abschnitten einer Geraden, die im selben Punkt beginnen, ist in einem Segment von 0 enthalten º bis 180 º. Diese Größe wird als ∠(ā,ū) bezeichnet – der Winkel zwischen den gerichteten Segmenten ā und ū.

Berechnung des Winkels zwischen Vektoren

Die Berechnung des Gradmaßes des Winkels, der durch ein Paar gerichteter Teile einer Geraden gebildet wird, erfolgt nach folgender Formel:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – der gewünschte Winkel zwischen den gegebenen Vektoren ō und ā,

(ō,ā) – das Produkt der Skalare der gerichteten Teile der Linie,

|ō|·|ā| – Produkt der Längen gegebener gerichteter Segmente.

Bestimmung des Skalarprodukts gerichteter Abschnitte einer Geraden

Wie verwendet man diese Formel und bestimmt den Wert von Zähler und Nenner des dargestellten Verhältnisses?

Abhängig vom Koordinatensystem (kartesischer oder dreidimensionaler Raum), in dem sich die angegebenen Vektoren befinden, hat jedes gerichtete Segment die folgenden Parameter:

ō = { Ö X, Ö y ), a = ( ein x, A y) oder

ō = { Ö X, Ö j , Ö z ), ā = ( ein x, A j , A z).

Um den Wert des Zählers – des Skalars gerichteter Segmente – zu ermitteln, sollten Sie daher die folgenden Aktionen ausführen:

(ō,ā) = ō * ā = Ö X* ein x+ Ö j *A y, wenn die betrachteten Vektoren in der Ebene liegen

(ō,ā) = ō * ā = Ö X* ein x+ Ö j *A y + Ö z* A z, wenn die gerichteten Abschnitte der Linie im Raum liegen.

Bestimmen von Vektorlängen

Die Länge des gerichteten Segments wird mit den Ausdrücken berechnet:

|ō| = √ Ö x 2 + Ö y 2 oder |ō| = √ Ö x 2 + Ö y2+ Ö z 2

|ā| = √ a x 2 + A y 2 oder |ā| = √ A x 2 + A y2+ A z 2

Das. im allgemeinen Fall der n-dimensionalen Messung ist der Ausdruck zur Bestimmung des Gradmaßes des Winkels zwischen gerichteten Segmenten ō = ( Ö X, Ö j , … Ö n) und ā = ( ein x, A j , … A n) sieht so aus:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( Ö X* ein x+ Ö j *A y + … + Ö N* A n)/(√ Ö x 2 + Ö y 2 + … + Ö n2*√ A x 2 + A y 2 + … + A n 2)).

Ein Beispiel für die Berechnung des Winkels zwischen gerichteten Segmenten

Entsprechend den Bedingungen sind die Vektoren ī = (3; 4; 0) und ū = (4; 4; 2) gegeben. Was ist das Gradmaß des Winkels, den diese Segmente bilden?

Definieren Sie den Skalar der Vektoren ī und ū. Dafür:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Berechnen Sie dann die Längen der Segmente:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Bestimmen Sie anhand der Tabelle der Kosinuswerte (Bradis) den Wert des gewünschten Winkels:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Skalarprodukt von Vektoren

Wir beschäftigen uns weiterhin mit Vektoren. In der ersten Unterrichtsstunde Vektoren für Dummies Wir haben uns das Konzept eines Vektors, Aktionen mit Vektoren, Vektorkoordinaten und die einfachsten Probleme mit Vektoren angesehen. Wenn Sie zum ersten Mal über eine Suchmaschine auf diese Seite gelangt sind, empfehle ich Ihnen dringend, den obigen Einführungsartikel zu lesen, denn um das Material zu beherrschen, müssen Sie mit den von mir verwendeten Begriffen und Notationen vertraut sein, über Grundkenntnisse über Vektoren verfügen und in der Lage sein, grundlegende Probleme zu lösen. Diese Lektion ist eine logische Fortsetzung des Themas und ich werde darin typische Aufgaben, die das Skalarprodukt von Vektoren verwenden, im Detail analysieren. Dies ist eine SEHR WICHTIGE Aktivität.. Versuchen Sie, die Beispiele nicht zu überspringen; sie bieten einen nützlichen Bonus: Durch Übung können Sie das behandelte Material festigen und häufig auftretende Probleme in der analytischen Geometrie besser lösen.

Addition von Vektoren, Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl.... Es wäre naiv zu glauben, die Mathematiker hätten sich nichts anderes ausgedacht. Zusätzlich zu den bereits besprochenen Aktionen gibt es eine Reihe weiterer Operationen mit Vektoren, nämlich: Skalarprodukt von Vektoren, Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren. Das Skalarprodukt von Vektoren ist uns aus der Schule bekannt, die beiden anderen Produkte gehören traditionell zum Studium der höheren Mathematik. Die Themen sind einfach, der Algorithmus zur Lösung vieler Probleme ist unkompliziert und verständlich. Das einzige. Es gibt eine anständige Menge an Informationen, daher ist es unerwünscht, zu versuchen, ALLES AUF EINMAL zu beherrschen und zu lösen. Dies gilt insbesondere für Dummies; glauben Sie mir, der Autor möchte sich auf keinen Fall wie Chikatilo aus der Mathematik fühlen. Na ja, natürlich auch nicht aus der Mathematik =) Besser vorbereitete Schüler können Materialien selektiv einsetzen, sich gewissermaßen das fehlende Wissen „holen“; für Sie werde ich ein harmloser Graf Dracula sein =)

Lasst uns endlich die Tür öffnen und mit Begeisterung beobachten, was passiert, wenn zwei Vektoren aufeinander treffen ...

Definition des Skalarprodukts von Vektoren.
Eigenschaften des Skalarprodukts. Typische Aufgaben

Das Konzept eines Skalarprodukts

Zuerst ungefähr Winkel zwischen Vektoren. Ich denke, jeder versteht intuitiv, wie groß der Winkel zwischen Vektoren ist, aber für alle Fälle etwas detaillierter. Betrachten wir freie Vektoren ungleich Null und . Wenn Sie diese Vektoren von einem beliebigen Punkt aus zeichnen, erhalten Sie ein Bild, das sich viele bereits gedanklich vorgestellt haben:

Ich gebe zu, hier habe ich die Situation nur auf der Ebene des Verstehens beschrieben. Wenn Sie eine strenge Definition des Winkels zwischen Vektoren benötigen, lesen Sie bitte das Lehrbuch; für praktische Probleme ist es für uns im Prinzip nutzlos. Auch HIER UND HIER werde ich Nullvektoren aufgrund ihrer geringen praktischen Bedeutung stellenweise ignorieren. Ich habe eine Reservierung speziell für fortgeschrittene Website-Besucher vorgenommen, die mir möglicherweise die theoretische Unvollständigkeit einiger nachfolgender Aussagen vorwerfen.

In der Literatur wird das Winkelsymbol oft weggelassen und einfach geschrieben.

Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine ZAHL, die dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen entspricht:

Nun, das ist eine ziemlich strenge Definition.

Wir konzentrieren uns auf wesentliche Informationen:

Bezeichnung: Das Skalarprodukt wird einfach mit oder bezeichnet.

Das Ergebnis der Operation ist eine ZAHL: Vektor wird mit Vektor multipliziert und das Ergebnis ist eine Zahl. Wenn nämlich die Längen von Vektoren Zahlen sind, der Kosinus eines Winkels eine Zahl ist, dann ist ihr Produkt wird auch eine Zahl sein.

Nur ein paar Beispiele zum Aufwärmen:

Beispiel 1

Lösung: Wir verwenden die Formel . In diesem Fall:

Antwort:

Kosinuswerte finden sich in trigonometrische Tabelle. Ich empfehle, es auszudrucken – es wird in fast allen Abschnitten des Turms benötigt und wird viele Male benötigt.

Aus rein mathematischer Sicht ist das Skalarprodukt dimensionslos, das heißt, das Ergebnis ist in diesem Fall nur eine Zahl und das war’s. Aus physikalischer Sicht hat ein Skalarprodukt immer eine bestimmte physikalische Bedeutung, das heißt, nach dem Ergebnis muss die eine oder andere physikalische Einheit angegeben werden. Ein kanonisches Beispiel für die Berechnung der Arbeit einer Kraft findet sich in jedem Lehrbuch (die Formel ist genau ein Skalarprodukt). Die Arbeit einer Kraft wird in Joule gemessen, daher wird die Antwort ganz konkret geschrieben, zum Beispiel .

Beispiel 2

Finden Sie, ob und der Winkel zwischen den Vektoren ist gleich.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Winkel zwischen Vektoren und Skalarproduktwert

In Beispiel 1 erwies sich das Skalarprodukt als positiv und in Beispiel 2 als negativ. Lassen Sie uns herausfinden, wovon das Vorzeichen des Skalarprodukts abhängt. Schauen wir uns unsere Formel an: . Die Längen von Vektoren ungleich Null sind immer positiv: , daher kann das Vorzeichen nur vom Wert des Kosinus abhängen.

Notiz: Um die folgenden Informationen besser zu verstehen, ist es besser, das Kosinusdiagramm im Handbuch zu studieren Funktionsgraphen und Eigenschaften. Sehen Sie, wie sich der Kosinus auf dem Segment verhält.

Wie bereits erwähnt, kann der Winkel zwischen den Vektoren innerhalb variieren , und folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn Ecke zwischen Vektoren scharf: (von 0 bis 90 Grad), dann , Und Das Skalarprodukt wird positiv sein Co-Regie, dann wird der Winkel zwischen ihnen als Null betrachtet und das Skalarprodukt ist ebenfalls positiv. Da vereinfacht sich die Formel: .

2) Wenn Ecke zwischen Vektoren unverblümt: (von 90 bis 180 Grad), dann , und dementsprechend, Skalarprodukt ist negativ: . Sonderfall: wenn die Vektoren entgegengesetzte Richtungen, dann wird der Winkel zwischen ihnen berücksichtigt erweitert: (180 Grad). Auch das Skalarprodukt ist negativ, da

Es gelten auch die umgekehrten Aussagen:

1) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren spitz. Alternativ sind die Vektoren gleichgerichtet.

2) Wenn , dann ist der Winkel zwischen diesen Vektoren stumpf. Alternativ sind die Vektoren in entgegengesetzte Richtungen gerichtet.

Aber der dritte Fall ist von besonderem Interesse:

3) Wenn Ecke zwischen Vektoren gerade: (90 Grad), dann Skalarprodukt ist Null: . Das Umgekehrte gilt auch: wenn, dann. Die Aussage lässt sich kompakt wie folgt formulieren: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn die Vektoren orthogonal sind. Kurze mathematische Notation:

! Notiz : Wiederholen wir Grundlagen der mathematischen Logik: Ein doppelseitiges logisches Konsequenz-Symbol lautet normalerweise „wenn und nur wenn“, „wenn und nur wenn“. Wie Sie sehen können, sind die Pfeile in beide Richtungen gerichtet – „aus diesem folgt dieses und umgekehrt – daraus folgt dieses.“ Was ist übrigens der Unterschied zum Einweg-Folgen-Symbol? Das Symbol besagt nur das, dass „daraus dies folgt“, und es ist keine Tatsache, dass das Gegenteil der Fall ist. Zum Beispiel: , aber nicht jedes Tier ist ein Panther, daher können Sie in diesem Fall das Symbol nicht verwenden. Gleichzeitig anstelle des Symbols Kann Verwenden Sie einseitiges Symbol. Bei der Lösung des Problems haben wir beispielsweise herausgefunden, dass wir zu dem Schluss gekommen sind, dass die Vektoren orthogonal sind: - Ein solcher Eintrag wäre korrekt und noch passender als .

Der dritte Fall ist von großer praktischer Bedeutung, da Sie damit überprüfen können, ob Vektoren orthogonal sind oder nicht. Wir werden dieses Problem im zweiten Abschnitt der Lektion lösen.

Eigenschaften des Skalarprodukts

Kehren wir zu der Situation zurück, in der zwei Vektoren vorliegen Co-Regie. In diesem Fall beträgt der Winkel zwischen ihnen Null, und die Skalarproduktformel hat die Form: .

Was passiert, wenn ein Vektor mit sich selbst multipliziert wird? Es ist klar, dass der Vektor an sich selbst ausgerichtet ist, daher verwenden wir die obige vereinfachte Formel:

Die Nummer wird angerufen Skalarquadrat Vektor und werden als bezeichnet.

Auf diese Weise, Das Skalarquadrat eines Vektors ist gleich dem Quadrat der Länge des gegebenen Vektors:

Aus dieser Gleichung können wir eine Formel zur Berechnung der Länge des Vektors erhalten:

Bisher scheint es unklar, aber die Ziele des Unterrichts werden alles in Ordnung bringen. Um die Probleme zu lösen, brauchen wir auch Eigenschaften des Skalarprodukts.

Für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften:

1) – kommutativ oder kommutativ Skalarproduktgesetz.

2) – Vertrieb bzw verteilend Skalarproduktgesetz. Sie können die Klammern einfach öffnen.

3) – assoziativ oder assoziativ Skalarproduktgesetz. Die Konstante kann aus dem Skalarprodukt abgeleitet werden.

Oftmals werden Eigenschaften aller Art (die auch nachgewiesen werden müssen!) von Studierenden als unnötiger Schrott empfunden, den man sich nur noch merken und direkt nach der Prüfung sicher vergessen muss. Es scheint, dass das Wichtigste hier ist, dass jeder bereits in der ersten Klasse weiß, dass eine Neuordnung der Faktoren das Produkt nicht verändert: . Ich muss Sie warnen, dass es in der höheren Mathematik leicht ist, mit einem solchen Ansatz Dinge durcheinander zu bringen. So gilt beispielsweise die Kommutativeigenschaft nicht für algebraische Matrizen. Es gilt auch nicht für Vektorprodukt von Vektoren. Daher ist es zumindest besser, sich mit allen Eigenschaften zu befassen, auf die Sie in einem höheren Mathematikkurs stoßen, um zu verstehen, was Sie tun können und was nicht.

Beispiel 3

.

Lösung: Lassen Sie uns zunächst die Situation mit dem Vektor klären. Was ist das überhaupt? Die Summe der Vektoren ist ein wohldefinierter Vektor, der mit bezeichnet wird. Eine geometrische Interpretation von Aktionen mit Vektoren finden Sie im Artikel Vektoren für Dummies. Die gleiche Petersilie mit einem Vektor ist die Summe der Vektoren und .

Je nach Bedingung ist es also erforderlich, das Skalarprodukt zu finden. Theoretisch müssen Sie die Arbeitsformel anwenden , aber das Problem ist, dass wir die Länge der Vektoren und den Winkel zwischen ihnen nicht kennen. Da die Bedingung jedoch ähnliche Parameter für Vektoren liefert, gehen wir einen anderen Weg:

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Wir öffnen die Klammern nach der Regel zur Multiplikation von Polynomen; einen vulgären Zungenbrecher finden Sie im Artikel Komplexe Zahlen oder Integration einer gebrochenrationalen Funktion. Ich werde mich nicht wiederholen =) Die Verteilungseigenschaft des Skalarprodukts erlaubt es uns übrigens, die Klammern zu öffnen. Wir haben das Recht.

(3) Im ersten und letzten Term schreiben wir kompakt die Skalarquadrate der Vektoren: . Im zweiten Term nutzen wir die Kommutierbarkeit des Skalarprodukts: .

(4) Wir präsentieren ähnliche Begriffe: .

(5) Im ersten Term verwenden wir die Skalarquadratformel, die vor nicht allzu langer Zeit erwähnt wurde. Im letzten Semester funktioniert dementsprechend das Gleiche: . Den zweiten Term entwickeln wir nach der Standardformel .

(6) Ersetzen Sie diese Bedingungen , und führen Sie die endgültigen Berechnungen SORGFÄLTIG durch.

Antwort:

Ein negativer Wert des Skalarprodukts gibt an, dass der Winkel zwischen den Vektoren stumpf ist.

Das Problem ist typisch, hier ein Beispiel zur Selbstlösung:

Beispiel 4

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und wenn es bekannt ist .

Nun eine weitere häufige Aufgabe, nur für die neue Formel für die Länge eines Vektors. Die Notation wird sich hier etwas überschneiden, daher werde ich sie der Übersichtlichkeit halber mit einem anderen Buchstaben umschreiben:

Beispiel 5

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Lösung wird wie folgt sein:

(1) Wir liefern den Ausdruck für den Vektor.

(2) Wir verwenden die Längenformel: und der gesamte Ausdruck ve fungiert als Vektor „ve“.

(3) Für das Quadrat der Summe verwenden wir die Schulformel. Beachten Sie, wie es hier auf seltsame Weise funktioniert: – Tatsächlich ist es das Quadrat der Differenz, und tatsächlich ist es so. Wer möchte, kann die Vektoren neu anordnen: - Das Gleiche passiert, bis auf die Neuordnung der Terme.

(4) Was folgt, ist bereits aus den beiden vorherigen Problemen bekannt.

Antwort:

Da es sich um die Länge handelt, vergessen Sie nicht, die Dimension anzugeben – „Einheiten“.

Beispiel 6

Finden Sie die Länge des Vektors if .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Wir quetschen weiterhin nützliche Dinge aus dem Skalarprodukt heraus. Schauen wir uns noch einmal unsere Formel an . Mithilfe der Proportionsregel setzen wir die Längen der Vektoren auf den Nenner der linken Seite zurück:

Tauschen wir die Teile aus:

Was bedeutet diese Formel? Wenn die Längen zweier Vektoren und ihr Skalarprodukt bekannt sind, können wir den Kosinus des Winkels zwischen diesen Vektoren und damit den Winkel selbst berechnen.

Ist ein Skalarprodukt eine Zahl? Nummer. Sind Vektorlängen Zahlen? Zahlen. Das bedeutet, dass ein Bruch auch eine Zahl ist. Und wenn der Kosinus des Winkels bekannt ist: , dann ist es mit der Umkehrfunktion einfach, den Winkel selbst zu finden: .

Beispiel 7

Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren und wenn bekannt ist, dass .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

In der letzten Phase der Berechnungen wurde eine technische Technik eingesetzt – die Beseitigung der Irrationalität im Nenner. Um Irrationalität auszuschließen, habe ich Zähler und Nenner mit multipliziert.

Also wenn , Das:

Die Werte der inversen trigonometrischen Funktionen können ermittelt werden durch trigonometrische Tabelle. Obwohl dies selten vorkommt. Bei Problemen der analytischen Geometrie kommen einige ungeschickte Bären viel häufiger zum Einsatz, und der Wert des Winkels muss ungefähr mit einem Taschenrechner ermittelt werden. Tatsächlich werden wir ein solches Bild mehr als einmal sehen.

Antwort:

Vergessen Sie auch hier nicht, die Abmessungen anzugeben – Bogenmaß und Grad. Persönlich bevorzuge ich, um offensichtlich „alle Fragen zu lösen“, beides anzugeben (es sei denn, die Bedingung erfordert natürlich, dass die Antwort nur im Bogenmaß oder nur in Grad angegeben wird).

Jetzt können Sie eine komplexere Aufgabe selbstständig bewältigen:

Beispiel 7*

Gegeben sind die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen. Finden Sie den Winkel zwischen den Vektoren , .

Die Aufgabe ist nicht so schwierig, da sie mehrstufig ist.
Schauen wir uns den Lösungsalgorithmus an:

1) Gemäß der Bedingung müssen Sie den Winkel zwischen den Vektoren und ermitteln, also müssen Sie die Formel verwenden .

2) Finden Sie das Skalarprodukt (siehe Beispiele Nr. 3, 4).

3) Finden Sie die Länge des Vektors und die Länge des Vektors (siehe Beispiele Nr. 5, 6).

4) Das Ende der Lösung stimmt mit Beispiel Nr. 7 überein – wir kennen die Zahl, was bedeutet, dass es einfach ist, den Winkel selbst zu finden:

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Der zweite Abschnitt der Lektion ist demselben Skalarprodukt gewidmet. Koordinaten. Es wird noch einfacher sein als im ersten Teil.

Skalarprodukt von Vektoren,
gegeben durch Koordinaten auf orthonormaler Basis

Antwort:

Natürlich ist der Umgang mit Koordinaten viel angenehmer.

Beispiel 14

Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren und if

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Hier können Sie die Assoziativität der Operation nutzen, also nicht zählen, sondern gleich das Tripel außerhalb des Skalarprodukts nehmen und zuletzt damit multiplizieren. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

Am Ende des Abschnitts ein provokantes Beispiel zur Berechnung der Länge eines Vektors:

Beispiel 15

Finden Sie die Längen von Vektoren , Wenn

Lösung: Die Methode des vorherigen Abschnitts bietet sich wieder an: Es geht aber auch anders:

Finden wir den Vektor:

Und seine Länge nach der trivialen Formel :

Das Skalarprodukt ist hier überhaupt nicht relevant!

Es ist auch nicht nützlich, wenn man die Länge eines Vektors berechnet:
Stoppen. Sollten wir uns nicht die offensichtliche Eigenschaft der Vektorlänge zunutze machen? Was können Sie über die Länge des Vektors sagen? Dieser Vektor ist fünfmal länger als der Vektor. Die Richtung ist umgekehrt, aber das spielt keine Rolle, da es sich um die Länge handelt. Offensichtlich ist die Länge des Vektors gleich dem Produkt Modul Zahlen pro Vektorlänge:
– Das Modulzeichen „frisst“ das mögliche Minus der Zahl.

Auf diese Weise:

Antwort:

Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren, die durch Koordinaten angegeben werden

Jetzt verfügen wir über vollständige Informationen, um die zuvor abgeleitete Formel für den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren zu verwenden durch Vektorkoordinaten ausdrücken:

Kosinus des Winkels zwischen Ebenenvektoren und , angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:
.

Kosinus des Winkels zwischen Raumvektoren, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Beispiel 16

Gegeben sind drei Eckpunkte eines Dreiecks. Finden (Scheitelwinkel).

Lösung: Gemäß den Bedingungen ist die Zeichnung nicht erforderlich, aber dennoch:

Der erforderliche Winkel ist mit einem grünen Bogen markiert. Erinnern wir uns sofort an die Schulbezeichnung eines Winkels: – besondere Aufmerksamkeit auf Durchschnitt Buchstabe - das ist der Scheitelpunkt des Winkels, den wir brauchen. Der Kürze halber könnten Sie auch einfach schreiben.

Aus der Zeichnung geht deutlich hervor, dass der Winkel des Dreiecks mit dem Winkel zwischen den Vektoren übereinstimmt und, mit anderen Worten: .

Es ist ratsam zu lernen, wie man die Analyse mental durchführt.

Finden wir die Vektoren:

Berechnen wir das Skalarprodukt:

Und die Längen der Vektoren:

Winkelkosinus:

Dies ist genau die Reihenfolge zum Erledigen der Aufgabe, die ich für Dummies empfehle. Fortgeschrittenere Leser können die Berechnungen „in einer Zeile“ schreiben:

Hier ist ein Beispiel für einen „schlechten“ Kosinuswert. Der resultierende Wert ist nicht endgültig, daher macht es wenig Sinn, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen.

Finden wir den Winkel selbst:

Schaut man sich die Zeichnung an, ist das Ergebnis durchaus plausibel. Zur Kontrolle kann der Winkel auch mit einem Winkelmesser gemessen werden. Beschädigen Sie die Monitorabdeckung nicht =)

Antwort:

Das vergessen wir in der Antwort nicht fragte nach dem Winkel eines Dreiecks(und nicht über den Winkel zwischen den Vektoren), vergessen Sie nicht, die genaue Antwort anzugeben: und den ungefähren Wert des Winkels: , mit einem Taschenrechner ermittelt.

Diejenigen, denen der Prozess Spaß gemacht hat, können die Winkel berechnen und die Gültigkeit der kanonischen Gleichheit überprüfen

Beispiel 17

Ein Dreieck wird im Raum durch die Koordinaten seiner Eckpunkte definiert. Finden Sie den Winkel zwischen den Seiten und

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion

Ein kurzer Schlussabschnitt ist den Projektionen gewidmet, bei denen es sich ebenfalls um ein Skalarprodukt handelt:

Projektion eines Vektors auf einen Vektor. Projektion eines Vektors auf Koordinatenachsen.
Richtungskosinus eines Vektors

Betrachten Sie die Vektoren und:

Projizieren wir den Vektor auf den Vektor; dazu lassen wir den Anfang und das Ende des Vektors weg Senkrechte zum Vektor (grüne gepunktete Linien). Stellen Sie sich vor, dass Lichtstrahlen senkrecht auf den Vektor fallen. Dann ist das Segment (rote Linie) der „Schatten“ des Vektors. In diesem Fall ist die Projektion des Vektors auf den Vektor die LÄNGE des Segments. Das heißt, PROJEKTION IST EINE ZAHL.

Diese ZAHL wird wie folgt bezeichnet: „großer Vektor“ bezeichnet den Vektor WELCHE Im Projekt bezeichnet „kleiner tiefgestellter Vektor“ den Vektor AN was projiziert wird.

Der Eintrag selbst lautet wie folgt: „Projektion des Vektors „a“ auf den Vektor „be“.

Was passiert, wenn der Vektor „be“ „zu kurz“ ist? Wir zeichnen eine Gerade, die den Vektor „be“ enthält. Und der Vektor „a“ wird bereits projiziert zur Richtung des Vektors „be“, einfach - zur Geraden, die den Vektor „be“ enthält. Das Gleiche passiert, wenn der Vektor „a“ in das dreißigste Königreich verschoben wird – er lässt sich immer noch leicht auf die Gerade projizieren, die den Vektor „be“ enthält.

Wenn der Winkel zwischen Vektoren scharf(wie im Bild), dann

Wenn die Vektoren senkrecht, dann (die Projektion ist ein Punkt, dessen Abmessungen als Null betrachtet werden).

Wenn der Winkel zwischen Vektoren unverblümt(Ordnen Sie in der Abbildung den Vektorpfeil im Geiste neu an), dann (die gleiche Länge, aber mit einem Minuszeichen versehen).

Zeichnen wir diese Vektoren von einem Punkt aus:

Wenn sich ein Vektor bewegt, ändert sich seine Projektion offensichtlich nicht