Eigenschaften von Potenzfunktionen und ihren Graphen

Potenzfunktion mit Exponent gleich Null, p = 0

Wenn der Exponent der Potenzfunktion y = x p gleich Null ist, p = 0, dann ist die Potenzfunktion für alle x ≠ 0 definiert und eine Konstante gleich eins:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Potenzfunktion mit natürlichem ungeraden Exponenten, p = n = 1, 3, 5, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem natürlichen ungeraden Exponenten n = 1, 3, 5, .... Dieser Exponent kann auch in der Form geschrieben werden: n = 2k + 1, wobei k = 0, 1, 2 , 3, ... – das Ganze ist nicht negativ. Nachfolgend finden Sie die Eigenschaften und Diagramme solcher Funktionen.

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen ungeraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 1, 3, 5, ....

Domäne: –∞< x < ∞

Mehrere Werte: –∞< y < ∞

Extreme: nein

Konvex:

bei –∞< x < 0 выпукла вверх

bei 0< x < ∞ выпукла вниз

Wendepunkte: x = 0, y = 0

Private Werte:

bei x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

bei x = 0, y(0) = 0 n = 0

für x = 1, y(1) = 1 n = 1

Potenzfunktion mit natürlichem geradem Exponenten, p = n = 2, 4, 6, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem natürlichen geraden Exponenten n = 2, 4, 6, .... Dieser Exponent kann auch in der Form geschrieben werden: n = 2k, wobei k = 1, 2, 3, . .. - natürlich . Die Eigenschaften und Diagramme solcher Funktionen sind unten angegeben.

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem natürlichen geraden Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = 2, 4, 6, ....

Domäne: –∞< x < ∞

Mehrere Werte: 0 ≤ y< ∞

Monoton:

bei x< 0 монотонно убывает

für x > 0 steigt monoton

Extreme: Minimum, x = 0, y = 0

Konvex: konvex nach unten

Wendepunkte: nein

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0
Private Werte:

bei x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

bei x = 0, y(0) = 0 n = 0

für x = 1, y(1) = 1 n = 1

Potenzfunktion mit negativem ganzzahligem Exponenten, p = n = -1, -2, -3, ...

Betrachten Sie eine Potenzfunktion y = x p = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten n = -1, -2, -3, .... Wenn wir n = –k setzen, wobei k = 1, 2, 3, ... ist eine natürliche Zahl, dann kann sie dargestellt werden als:

Graph einer Potenzfunktion y = x n mit einem negativen ganzzahligen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten n = -1, -2, -3, ....

Ungerader Exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nachfolgend sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem ungeraden negativen Exponenten n = -1, -3, -5, ... aufgeführt.

Definitionsbereich: x ≠ 0

Mehrere Werte: y ≠ 0

Parität: ungerade, y(–x) = – y(x)

Extreme: nein

Konvex:

bei x< 0: выпукла вверх

für x > 0: konvex nach unten

Wendepunkte: nein

Zeichen: bei x< 0, y < 0

für x > 0, y > 0

Private Werte:

für x = 1, y(1) = 1 n = 1

Gerader Exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nachfolgend sind die Eigenschaften der Funktion y = x n mit einem geraden negativen Exponenten n = -2, -4, -6, ... aufgeführt.

Definitionsbereich: x ≠ 0

Mehrere Werte: y > 0

Parität: gerade, y(–x) = y(x)

Monoton:

bei x< 0: монотонно возрастает

für x > 0: monoton abnehmend

Extreme: nein

Konvex: konvex nach unten

Wendepunkte: nein

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein

Vorzeichen: y > 0

Private Werte:

bei x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

für x = 1, y(1) = 1 n = 1

Potenzfunktion mit rationalem (gebrochenem) Exponenten

Betrachten Sie die Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen (gebrochenen) Exponenten, wobei n eine ganze Zahl und m > 1 eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus haben n, m keine gemeinsamen Teiler.

Der Nenner des Bruchindikators ist ungerade

Der Nenner des gebrochenen Exponenten sei ungerade: m = 3, 5, 7, ... . In diesem Fall ist die Potenzfunktion x p sowohl für positive als auch für negative Werte des Arguments definiert. Betrachten wir die Eigenschaften solcher Potenzfunktionen, wenn der Exponent p innerhalb bestimmter Grenzen liegt.

Der p-Wert ist negativ, p< 0

Der rationale Exponent (mit ungeradem Nenner m = 3, 5, 7, ...) sei kleiner als Null: .

Graphen von Potenzfunktionen mit einem rationalen negativen Exponenten für verschiedene Werte des Exponenten, wobei m = 3, 5, 7, ... ungerade ist.

Ungerader Zähler, n = -1, -3, -5, ...

Wir stellen die Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten dar, wobei n = -1, -3, -5, ... eine ungerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche ganze Zahl.

Definitionsbereich: x ≠ 0

Mehrere Werte: y ≠ 0

Parität: ungerade, y(–x) = – y(x)

Monotonie: monoton fallend

Extreme: nein

Konvex:

bei x< 0: выпукла вверх

für x > 0: konvex nach unten

Wendepunkte: nein

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein

bei x< 0, y < 0

für x > 0, y > 0

Private Werte:

bei x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

für x = 1, y(1) = 1 n = 1

Gerader Zähler, n = -2, -4, -6, ...

Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen negativen Exponenten, wobei n = -2, -4, -6, ... eine gerade negative ganze Zahl ist, m = 3, 5, 7 ... eine ungerade natürliche ganze Zahl ist .

Definitionsbereich: x ≠ 0

Mehrere Werte: y > 0

Parität: gerade, y(–x) = y(x)

Monoton:

bei x< 0: монотонно возрастает

für x > 0: monoton abnehmend

Extreme: nein

Konvex: konvex nach unten

Wendepunkte: nein

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: nein

Vorzeichen: y > 0

Der p-Wert ist positiv, kleiner als eins, 0< p < 1

Potenzfunktionsdiagramm mit rationalem Exponenten (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Ungerader Zähler, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domäne: –∞< x < +∞

Mehrere Werte: –∞< y < +∞

Parität: ungerade, y(–x) = – y(x)

Monotonie: monoton steigend

Extreme: nein

Konvex:

bei x< 0: выпукла вниз

für x > 0: konvex nach oben

Wendepunkte: x = 0, y = 0

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0

bei x< 0, y < 0

für x > 0, y > 0

Private Werte:

bei x = –1, y(–1) = –1

bei x = 0, y(0) = 0

für x = 1, y(1) = 1

Gerader Zähler, n = 2, 4, 6, ...

Die Eigenschaften der Potenzfunktion y = x p mit einem rationalen Exponenten innerhalb von 0 werden vorgestellt< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domäne: –∞< x < +∞

Mehrere Werte: 0 ≤ y< +∞

Parität: gerade, y(–x) = y(x)

Monoton:

bei x< 0: монотонно убывает

für x > 0: monoton steigend

Extreme: Minimum bei x = 0, y = 0

Konvexität: konvex nach oben bei x ≠ 0

Wendepunkte: nein

Schnittpunkte mit Koordinatenachsen: x = 0, y = 0

Vorzeichen: für x ≠ 0, y > 0

Eine Potenzfunktion wird als Funktion der Form y=x n bezeichnet (gelesen als y gleich x hoch n), wobei n eine gegebene Zahl ist. Sonderfälle von Potenzfunktionen sind Funktionen der Form y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x und viele andere. Lassen Sie uns Ihnen mehr über jeden von ihnen erzählen.

Lineare Funktion y=x 1 (y=x)

Der Graph ist eine gerade Linie, die durch den Punkt (0;0) in einem Winkel von 45 Grad zur positiven Richtung der Ox-Achse verläuft.

Die Grafik ist unten dargestellt.

Grundlegende Eigenschaften einer linearen Funktion:

• Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl wachsend und definiert.
• Es gibt keine Maximal- oder Minimalwerte.

Quadratische Funktion y=x 2

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.

Grundlegende Eigenschaften einer quadratischen Funktion:

• 1. Bei x =0, y=0 und y>0 bei x0
• 2. Die quadratische Funktion erreicht an ihrem Scheitelpunkt ihren Minimalwert. Ymin bei x=0; Außerdem ist zu beachten, dass die Funktion keinen Maximalwert hat.
• 3. Die Funktion nimmt im Intervall ab (-∞;0] und nimmt im Intervall zu)