Artikel ini adalah tentang mencari pembagi persekutuan terbesar (PBT) dua angka atau lebih. Pertama, mari kita lihat algoritma Euclid; ini memungkinkan Anda menemukan gcd dari dua angka. Setelah ini, kita akan fokus pada metode yang memungkinkan kita menghitung gcd bilangan-bilangan sebagai hasil kali faktor prima persekutuannya. Selanjutnya, kita akan melihat cara mencari pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memberikan contoh penghitungan gcd bilangan negatif.

Navigasi halaman.

Algoritma Euclidean untuk mencari GCD

Perhatikan bahwa jika kita melihat tabel bilangan prima dari awal, kita akan menemukan bahwa bilangan 661 dan 113 adalah bilangan prima, sehingga kita dapat langsung mengatakan bahwa pembagi persekutuan terbesarnya adalah 1.

Menjawab:

KPK(661, 113)=1 .

Menemukan GCD dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima

Mari pertimbangkan cara lain untuk menemukan GCD. Pembagi persekutuan terbesar dapat dicari dengan memfaktorkan bilangan-bilangan menjadi faktor prima. Mari kita merumuskan aturannya: Gcd dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali semua faktor prima persekutuan yang terdapat pada faktorisasi prima bilangan a dan b.

Mari kita beri contoh untuk menjelaskan aturan mencari GCD. Mari kita ketahui penguraian bilangan 220 dan 600 menjadi faktor prima, berbentuk 220=2·2·5·11 dan 600=2·2·2·3·5·5. Faktor prima persekutuan dalam memfaktorkan bilangan 220 dan 600 adalah 2, 2, dan 5. Oleh karena itu, KPK(220, 600)=2·2·5=20.

Jadi, jika kita memfaktorkan bilangan a dan b menjadi faktor prima dan mencari hasil kali semua faktor persekutuannya, maka kita akan mencari pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b.

Mari kita perhatikan contoh mencari GCD menurut aturan yang disebutkan.

Contoh.

Temukan pembagi persekutuan terbesar dari angka 72 dan 96.

Larutan.

Mari kita faktorkan bilangan 72 dan 96 menjadi faktor prima:

Artinya, 72=2·2·2·3·3 dan 96=2·2·2·2·2·3. Faktor prima persekutuannya adalah 2, 2, 2 dan 3. Jadi, KPK(72, 96)=2·2·2·3=24.

Menjawab:

KPK(72, 96)=24 .

Sebagai penutup paragraf ini, kami mencatat bahwa validitas aturan mencari GCD di atas mengikuti properti pembagi persekutuan terbesar, yang menyatakan bahwa KPK(ma 1 , m b 1)=m KPK(a 1 , b 1), di mana m adalah bilangan bulat positif.

Menemukan gcd dari tiga bilangan atau lebih

Mencari pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Kami menyebutkan hal ini ketika mempelajari properti GCD. Disana kita merumuskan dan membuktikan teorema: pembagi persekutuan terbesar dari beberapa bilangan a 1, a 2, ..., a k sama dengan bilangan d k, yang dicari dengan menghitung KPK secara berurutan(a 1, a 2)=d 2 , KPK(d 2, a 3) =d 3, KPK(d 3, a 4)=d 4,..., KPK(d k-1, a k)=d k.

Mari kita lihat seperti apa proses mencari KPK dari beberapa bilangan dengan melihat penyelesaian pada contoh.

Contoh.

Tentukan faktor persekutuan terbesar dari empat bilangan 78, 294, 570 dan 36.

Larutan.

Dalam contoh ini, a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Pertama, dengan menggunakan algoritma Euclidean, kita menentukan pembagi persekutuan terbesar d 2 dari dua bilangan pertama 78 dan 294. Saat membagi, kita memperoleh persamaan 294 = 78 3 + 60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 dan 18=6·3. Jadi, d 2 =PBB(78, 294)=6.

Sekarang mari kita hitung d 3 =PBB(d 2, a 3)=PBB(6, 570). Mari kita terapkan lagi algoritma Euclidean: 570=6·95, oleh karena itu, d 3 = GCD(6, 570)=6.

Masih menghitung d 4 =PBB(d 3, a 4)=PBB(6, 36). Karena 36 habis dibagi 6, maka d 4 = KPK(6, 36) = 6.

Jadi, pembagi persekutuan terbesar dari empat bilangan yang diberikan adalah d 4 =6, yaitu gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Menjawab:

KPK(78, 294, 570, 36)=6 .

Memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima juga memungkinkan Anda menghitung gcd dari tiga bilangan atau lebih. Dalam hal ini, pembagi persekutuan terbesar ditemukan sebagai hasil kali semua faktor prima persekutuan dari bilangan-bilangan tersebut.

Contoh.

Hitung gcd bilangan-bilangan dari contoh sebelumnya menggunakan faktorisasi primanya.

Larutan.

Mari kita faktorkan bilangan 78, 294, 570 dan 36 menjadi faktor prima, kita mendapatkan 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3· 3. Faktor prima persekutuan keempat bilangan tersebut adalah bilangan 2 dan 3. Karena itu, KPK(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Lingkaran menunjukkan bagaimana Anda dapat mengekstrak akar kuadrat dalam sebuah kolom. Anda dapat menghitung akar dengan presisi yang berubah-ubah, menemukan sejumlah digit dalam notasi desimalnya, meskipun ternyata tidak rasional. Algoritmenya diingat, tetapi pertanyaannya tetap ada. Tidak jelas dari mana metode ini berasal dan mengapa memberikan hasil yang benar. Itu tidak ada di buku, atau mungkin saya hanya mencari di buku yang salah. Pada akhirnya, seperti sebagian besar hal yang saya ketahui dan dapat lakukan hari ini, saya sendiri yang menemukannya. Saya berbagi pengetahuan saya di sini. Ngomong-ngomong, saya masih belum tahu di mana alasan algoritma tersebut diberikan)))

Jadi, pertama-tama saya beri tahu Anda “cara kerja sistem” dengan sebuah contoh, lalu saya jelaskan mengapa sistem itu benar-benar berfungsi.

Mari kita ambil sebuah nomor (nomor tersebut diambil begitu saja, begitu saja terlintas dalam pikiran).

1. Kita membagi angka-angkanya menjadi berpasangan: angka-angka di sebelah kiri koma desimal dikelompokkan dua dari kanan ke kiri, dan angka-angka di sebelah kanan dikelompokkan dua dari kiri ke kanan. Kita mendapatkan.

2. Kami mengekstrak akar kuadrat dari kelompok angka pertama di sebelah kiri - dalam kasus kami ini (jelas bahwa akar pastinya tidak dapat diekstraksi, kami mengambil angka yang kuadratnya sedekat mungkin dengan angka kami yang dibentuk oleh kelompok angka pertama, tetapi tidak melebihinya). Dalam kasus kami, ini akan menjadi angka. Kami menuliskan jawabannya - ini adalah digit akar yang paling signifikan.

3. Kami mengkuadratkan angka yang sudah ada dalam jawabannya - ini - dan menguranginya dari kelompok angka pertama di sebelah kiri - dari angka tersebut. Dalam kasus kami, hal itu tetap ada.

4. Kami menetapkan kelompok dua nomor berikut ke kanan: . Kita mengalikan angka yang sudah ada di jawaban dengan , dan kita mendapatkan .

5. Sekarang perhatikan baik-baik. Kita perlu memasukkan satu digit ke angka di sebelah kanan, dan mengalikan angka tersebut dengan, yaitu dengan digit yang sama. Hasilnya harus sedekat mungkin, tapi sekali lagi tidak lebih dari angka ini. Dalam kasus kami, ini akan menjadi nomornya, kami menuliskannya di jawaban di sebelah kanan. Ini adalah digit berikutnya dalam notasi desimal dari akar kuadrat kita.

6. Dari pengurangan hasil kali, kita peroleh.

7. Selanjutnya, kita ulangi operasi yang sudah biasa: kita tetapkan kelompok digit berikut ke kanan, kalikan dengan , ke angka yang dihasilkan > kita tetapkan satu digit ke kanan, sehingga ketika dikalikan dengan digit tersebut kita mendapatkan angka yang lebih kecil dari , tapi paling dekat untuk itu - ini adalah digit berikutnya dalam notasi akar desimal.

Perhitungannya akan ditulis sebagai berikut:

Dan sekarang penjelasan yang dijanjikan. Algoritmanya didasarkan pada rumus

Komentar: 51

1. 2 anton:

   Terlalu kacau dan membingungkan. Susun semuanya poin demi poin dan beri nomor. Plus: jelaskan di mana kita mengganti nilai yang diperlukan dalam setiap tindakan. Saya belum pernah menghitung akar akar sebelumnya; Saya kesulitan mencari tahu.

2. 5Julia:

3. 6 :

   Yulia, 23 saat ini tertulis di sebelah kanan, ini adalah dua digit pertama (di sebelah kiri) dari akar kata yang sudah diterima dalam jawabannya. Kalikan dengan 2 sesuai algoritma. Kami mengulangi langkah-langkah yang dijelaskan pada poin 4.

4. 7 zzz:

   kesalahan dalam “6. Dari 167 kita kurangi hasil perkaliannya 43 * 3 = 123 (129 nada), kita mendapat 38.”
   Saya tidak mengerti bagaimana hasilnya menjadi 08 setelah koma...

5. 9Fedotov Alexander:

   Dan bahkan di era pra-kalkulator, kami diajari di sekolah tidak hanya akar kuadrat, tetapi juga akar pangkat tiga dalam sebuah kolom, tetapi ini adalah pekerjaan yang lebih membosankan dan melelahkan. Lebih mudah menggunakan tabel Bradis atau mistar hitung, yang sudah kita pelajari di sekolah menengah.

6. 10 :

   Alexander, Anda benar, Anda dapat mengekstrak akar kekuatan besar ke dalam kolom. Saya akan menulis tentang cara mencari akar pangkat tiga.

7. 12Sergey Valentinovich:

   Elizaveta Alexandrovna yang terhormat! Pada akhir tahun 70-an, saya mengembangkan skema penghitungan kuadrat secara otomatis (yaitu, bukan melalui seleksi). root pada mesin penambah Felix. Jika Anda tertarik, saya dapat mengirimkan deskripsinya kepada Anda.

8. 14Vlad dari Engelsstadt:

   (((Mengekstraksi akar kuadrat kolom)))
   Algoritmenya disederhanakan jika Anda menggunakan sistem bilangan ke-2, yang dipelajari dalam ilmu komputer, tetapi juga berguna dalam matematika. SEBUAH. Kolmogorov mempresentasikan algoritma ini dalam ceramah populer untuk anak sekolah. Artikelnya dapat ditemukan di “Koleksi Chebyshev” (Jurnal Matematika, cari linknya di Internet)
   Ngomong-ngomong, katakan:
   G. Leibniz pernah bermain-main dengan ide peralihan dari sistem bilangan 10 ke biner karena kesederhanaan dan aksesibilitasnya bagi pemula (anak sekolah dasar). Namun melanggar tradisi yang sudah ada ibarat mendobrak gerbang benteng dengan dahi: mungkin saja, tapi percuma. Ternyata, menurut filsuf berjanggut yang paling banyak dikutip di masa lalu: tradisi semua generasi yang mati menekan kesadaran orang yang hidup.

   Sampai Lain waktu.

9. 15Vlad dari Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, ya, saya tertarik...((

   Saya yakin ini adalah variasi dari metode “Felix” Babilonia dalam mengekstraksi ksatria persegi menggunakan metode perkiraan berturut-turut. Algoritma ini tercakup dalam metode Newton (metode tangen)

   Saya ingin tahu apakah perkiraan saya salah?

10. 18 :

    2Vlad dari Engelsstadt

    Ya, algoritma dalam biner seharusnya lebih sederhana, itu cukup jelas.

    Tentang metode Newton. Mungkin itu benar, tapi tetap menarik

11. 20 Kirill:

    Terima kasih banyak. Tapi algoritmanya masih belum ada, tidak ada yang tahu dari mana asalnya, tapi hasilnya benar. TERIMA KASIH BANYAK! Saya sudah mencari ini sejak lama)

12. 21 Alexander:

    Bagaimana cara mengekstrak akar suatu bilangan yang kelompok kedua dari kiri ke kanan sangat kecil? misalnya angka favorit semua orang adalah 4.398.046.511.104. Setelah pengurangan pertama, tidak mungkin melanjutkan semuanya sesuai algoritma. Bisakah Anda menjelaskannya.

13. 22 Alexei:

    Ya, saya tahu metode ini. Saya ingat pernah membacanya di buku “Aljabar” edisi lama. Kemudian, dengan analogi, dia sendiri menyimpulkan cara mengekstrak akar pangkat tiga dalam sebuah kolom. Tapi di sana sudah lebih rumit: setiap digit ditentukan bukan dengan satu (seperti persegi), tetapi dengan dua pengurangan, dan bahkan di sana Anda harus mengalikan angka yang panjang setiap saat.

14. 23 Artem:

    Terdapat kesalahan ketik pada contoh mengekstrak akar kuadrat 56789.321. Kelompok angka 32 diberi dua kali angka 145 dan 243, pada angka 2388025 angka 8 yang kedua harus diganti dengan 3. Maka pengurangan terakhir ditulis sebagai berikut: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Selain itu, ketika membagi sisanya dengan nilai jawaban yang digandakan (tanpa memperhitungkan koma), kita memperoleh tambahan jumlah angka penting (47975/(2*238305) = 0,100658819...), yang harus ditambahkan ke jawabannya (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Sergei:

    Rupanya algoritma tersebut berasal dari buku Isaac Newton “General Arithmetic atau buku tentang sintesis dan analisis aritmatika.” Berikut kutipannya:

    TENTANG EKSTRAKSI AKAR

    Untuk mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan, pertama-tama Anda harus meletakkan titik di atas angka-angkanya, dimulai dari angka satuan. Kemudian tuliskan dalam hasil bagi atau radikal bilangan yang kuadratnya sama dengan atau paling dekat kerugiannya dengan bilangan atau bilangan yang mendahului titik pertama. Setelah mengurangkan kuadrat ini, sisa digit akar akan ditemukan secara berurutan dengan membagi sisanya dengan dua kali nilai bagian akar yang sudah diekstraksi dan setiap kali mengurangkan sisa kuadrat digit terakhir yang ditemukan dan hasil kali sepuluh kali lipatnya dengan pembagi bernama.

16. 25 Sergei:

    Mohon koreksi juga judul buku “Aritmatika Umum atau Buku Sintesis dan Analisis Aritmatika”

17. 26 Alexander:

    Terima kasih atas materinya yang menarik. Namun cara ini menurut saya agak lebih rumit dari yang dibutuhkan, misalnya untuk anak sekolah. Saya menggunakan metode yang lebih sederhana berdasarkan perluasan fungsi kuadrat menggunakan dua turunan pertama. Rumusnya adalah:
    persegi(x)= A1+A2-A3, dimana
    A1 adalah bilangan bulat yang kuadratnya paling dekat dengan x;
    A2 adalah pecahan, pembilangnya x-A1, penyebutnya 2*A1.
    Untuk sebagian besar angka yang ditemui dalam kursus sekolah, ini cukup untuk mendapatkan hasil yang akurat hingga seperseratus.
    Jika Anda membutuhkan hasil yang lebih akurat, ambillah
    A3 adalah pecahan, pembilangnya A2 kuadrat, penyebutnya 2*A1+1.
    Tentu saja, untuk menggunakannya Anda memerlukan tabel kuadrat bilangan bulat, tetapi hal ini tidak menjadi masalah di sekolah. Mengingat rumus ini cukup sederhana.
    Namun, saya bingung karena saya memperoleh A3 secara empiris sebagai hasil percobaan dengan spreadsheet dan saya tidak begitu mengerti mengapa anggota ini memiliki penampilan seperti itu. Mungkin Anda bisa memberi saya saran?

18. 27 Alexander:

    Ya, saya sudah mempertimbangkan pertimbangan ini juga, tetapi masalahnya ada pada detailnya. Anda menulis:
    “karena a2 dan b hanya berbeda sedikit.” Pertanyaannya adalah seberapa sedikitnya.
    Rumus ini bekerja dengan baik pada angka sepuluh kedua dan jauh lebih buruk (tidak sampai seperseratus, hanya sampai sepersepuluh) pada angka sepuluh pertama. Mengapa hal ini terjadi sulit untuk dipahami tanpa menggunakan turunannya.

19. 28 Alexander:

    Saya akan mengklarifikasi apa yang saya lihat sebagai kelebihan dari formula yang saya usulkan. Hal ini tidak memerlukan pembagian bilangan yang tidak sepenuhnya alami menjadi pasangan-pasangan angka, yang, seperti ditunjukkan oleh pengalaman, sering kali dilakukan dengan kesalahan. Maknanya jelas, tetapi bagi orang yang akrab dengan analisis, itu adalah hal yang sepele. Berfungsi dengan baik pada angka dari 100 hingga 1000, yang merupakan angka paling umum ditemui di sekolah.

20. 29 Alexander:

    Ngomong-ngomong, saya menggali lebih dalam dan menemukan ekspresi yang tepat untuk A3 dalam rumus saya:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Di zaman kita, dengan meluasnya penggunaan teknologi komputer, pertanyaan tentang mengekstraksi ksatria persegi dari suatu bilangan tidak sepadan dari sudut pandang praktis. Namun bagi pecinta matematika, berbagai pilihan penyelesaian masalah ini tentunya akan menarik. Dalam kurikulum sekolah, cara penghitungan tanpa menggunakan dana tambahan harus dilakukan bersamaan dengan perkalian dan pembagian panjang. Algoritma perhitungan tidak hanya harus dihafal, tetapi juga dipahami. Metode klasik yang disajikan dalam materi pembahasan ini dengan pengungkapan esensinya sepenuhnya memenuhi kriteria di atas.
    Kelemahan signifikan dari metode yang diusulkan oleh Alexander adalah penggunaan tabel kuadrat bilangan bulat. Penulis bungkam tentang sebagian besar angka yang ditemui dalam kursus sekolah. Untuk rumusnya, secara umum saya menyukainya karena akurasi perhitungannya yang relatif tinggi.

22. 31 Alexander:

    untuk 30 vasil stryzhak
    Saya tidak diam saja. Tabel kuadratnya seharusnya sampai 1000. Dulu saya di sekolah, mereka hanya menghafalkannya dan itu ada di semua buku pelajaran matematika. Saya secara eksplisit menamai interval ini.
    Sedangkan untuk teknologi komputer tidak digunakan terutama dalam pelajaran matematika, kecuali jika topik penggunaan kalkulator dibahas secara khusus. Kalkulator sekarang terpasang pada perangkat yang dilarang untuk digunakan pada Ujian Negara Bersatu.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexander, terima kasih atas klarifikasinya! Saya pikir untuk metode yang diusulkan secara teoritis perlu mengingat atau menggunakan tabel kuadrat semua bilangan dua digit. Kemudian untuk bilangan radikal yang tidak termasuk dalam interval 100 hingga 10.000, Anda bisa gunakan teknik menambah atau menguranginya sebanyak lipat yang diperlukan dengan memindahkan koma desimal.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39ALEXANDER:

    PROGRAM PERTAMA SAYA DALAM BAHASA IAMB PADA MESIN SOVIET “ISKRA 555″ DITULIS UNTUK MENGEKSTRAK AKAR KOTAK SUATU ANGKA MENGGUNAKAN ALGORITMA EKSTRAKSI KOLOM! dan sekarang saya lupa cara mengekstraknya secara manual!

Sejak zaman kuno, pekerjaan dengan angka telah dibagi menjadi dua bidang berbeda: satu bidang yang berkaitan langsung dengan sifat-sifat bilangan, yang lain terkait dengan teknik berhitung. Yang dimaksud dengan "aritmatika" di banyak negara adalah bidang terakhir ini, yang tidak diragukan lagi merupakan cabang matematika tertua.

Rupanya, kesulitan terbesar bagi kalkulator kuno adalah bekerja dengan pecahan. Hal ini dapat dilihat dari Papirus Ahmes (juga disebut Papirus Rhind), sebuah karya matematika Mesir kuno yang berasal dari sekitar tahun 1650 SM. Semua pecahan yang disebutkan dalam papirus, kecuali 2/3, memiliki pembilang yang sama dengan 1. Kesulitan dalam menangani pecahan juga terlihat ketika mempelajari tablet paku Babilonia kuno. Baik orang Mesir kuno maupun Babilonia rupanya melakukan perhitungan dengan menggunakan suatu bentuk sempoa. Ilmu bilangan mendapat perkembangan yang signifikan di kalangan bangsa Yunani kuno dimulai dari Pythagoras, sekitar tahun 530 SM. Sedangkan untuk teknologi perhitungannya sendiri, lebih sedikit lagi yang dilakukan di bidang ini oleh orang Yunani.

Sebaliknya, bangsa Romawi kemudian tidak memberikan kontribusi apa pun terhadap ilmu angka, tetapi berdasarkan kebutuhan produksi dan perdagangan yang berkembang pesat, mereka meningkatkan sempoa sebagai alat penghitung. Sangat sedikit yang diketahui tentang asal usul aritmatika India. Hanya beberapa karya kemudian tentang teori dan praktik operasi bilangan yang sampai kepada kita, ditulis setelah sistem posisi India diperbaiki dengan memasukkan nol ke dalamnya. Kita tidak mengetahui secara pasti kapan hal ini terjadi, namun pada saat itulah fondasi algoritma aritmetika kita yang paling umum diletakkan.

Sistem bilangan India dan algoritma aritmatika pertama dipinjam oleh orang Arab. Buku teks aritmatika Arab paling awal yang masih ada ditulis oleh al-Khawarizmi sekitar tahun 825. Buku ini banyak menggunakan dan menjelaskan angka-angka India. Buku teks ini kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin dan mempunyai pengaruh yang signifikan di Eropa Barat. Versi terdistorsi dari nama al-Khawarizmi telah sampai kepada kita dalam kata “algorism”, yang bila selanjutnya dicampur dengan kata Yunani aritmos menjadi istilah "algoritma".

Aritmatika Indo-Arab mulai dikenal di Eropa Barat terutama berkat karya L. Fibonacci Buku sempoa (Liber sempoa, 1202). Metode Abacist menawarkan penyederhanaan serupa dengan penggunaan sistem posisi kita, setidaknya untuk penjumlahan dan perkalian. Abacists digantikan oleh algoritma yang menggunakan nol dan metode pembagian dan ekstraksi akar kuadrat Arab. Salah satu buku teks aritmatika pertama, yang penulisnya tidak kita ketahui, diterbitkan di Treviso (Italia) pada tahun 1478. Buku ini membahas tentang perhitungan saat melakukan transaksi perdagangan. Buku teks ini menjadi pendahulu dari banyak buku teks aritmatika yang muncul kemudian. Sampai awal abad ke-17. Lebih dari tiga ratus buku teks serupa diterbitkan di Eropa. Algoritma aritmatika telah ditingkatkan secara signifikan selama ini. Pada abad 16-17. Muncul simbol-simbol untuk operasi aritmatika seperti =, +, -, ɑ, ё dan .

Mekanisasi perhitungan aritmatika.

Seiring berkembangnya masyarakat, kebutuhan akan perhitungan yang lebih cepat dan akurat juga meningkat. Kebutuhan ini memunculkan empat penemuan luar biasa: angka Indo-Arab, desimal, logaritma, dan mesin komputasi modern.

Faktanya, alat hitung paling sederhana sudah ada sebelum munculnya aritmatika modern, karena pada zaman kuno, operasi aritmatika dasar dilakukan dengan sempoa (di Rusia, sempoa digunakan untuk tujuan ini). Perangkat komputasi modern yang paling sederhana dapat dianggap sebagai mistar hitung, yang terdiri dari dua skala logaritmik yang digeser satu sama lain, yang memungkinkan perkalian dan pembagian dengan menjumlahkan dan mengurangi segmen skala. B. Pascal (1642) dianggap sebagai penemu mesin penjumlah mekanis pertama. Kemudian pada abad yang sama, G. Leibniz (1671) di Jerman dan S. Moreland (1673) di Inggris menemukan mesin untuk melakukan perkalian. Mesin-mesin ini menjadi cikal bakal perangkat komputasi desktop (aritmometer) abad ke-20, yang memungkinkan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dilakukan dengan cepat dan akurat.

Pada tahun 1812, ahli matematika Inggris C. Babbage mulai membuat desain mesin untuk menghitung tabel matematika. Meskipun pengerjaan proyek ini berlanjut selama bertahun-tahun, proyek tersebut masih belum selesai. Namun demikian, proyek Babbage menjadi insentif bagi penciptaan komputer elektronik modern, contoh pertama muncul sekitar tahun 1944. Kecepatan mesin ini luar biasa: dengan bantuan mereka, dalam hitungan menit atau jam, masalah yang sebelumnya diperlukan dapat diselesaikan. perhitungan terus menerus selama bertahun-tahun, bahkan dengan menggunakan mesin penjumlah.

Bilangan bulat positif.

Membiarkan A Dan B adalah dua himpunan berhingga yang tidak mempunyai elemen persekutuan, dan misalkan A mengandung N elemen, dan B mengandung M elemen. Lalu banyak S, terdiri dari semua elemen himpunan A Dan B, jika digabungkan, adalah himpunan berhingga yang memuat, katakanlah, S elemen. Misalnya jika A terdiri dari elemen ( A, B, C), sekelompok DI DALAM– dari elemen ( X, kamu), lalu himpunan S=SEBUAH+B dan terdiri dari elemen ( A, B, C, X, kamu). Nomor S ditelepon jumlah angka N Dan M, dan kami menulisnya seperti ini: s = n + m. Dalam entri ini angkanya N Dan M disebut ketentuan, operasi mencari jumlah – tambahan. Simbol operasi "+" dibaca sebagai "plus". Sekelompok P, terdiri dari semua pasangan terurut yang elemen pertama dipilih dari himpunan A, dan yang kedua dari set B, adalah himpunan berhingga yang memuat, katakanlah, P elemen. Misalnya, jika, seperti sebelumnya, A = {A, B, C}, B = {X, kamu), Itu P=SEBUAHґB = {(A,X), (A,kamu), (B,X), (B,kamu), (C,X), (C,kamu)). Nomor P ditelepon bekerja angka A Dan B, dan kami menulisnya seperti ini: hal = sebuahґB atau p = a×b. Angka A Dan B dalam pekerjaan mereka dipanggil pengganda, operasi pencarian produk – perkalian. Simbol operasi ɑ dibaca sebagai “dikalikan dengan”.

Dapat ditunjukkan bahwa dari definisi-definisi tersebut berikut hukum dasar penjumlahan dan perkalian bilangan bulat:

– hukum penjumlahan komutatif: a + b = b + a;

– hukum penjumlahan asosiatif: A + (B + C) = (A + B) + C;

– hukum perkalian komutatif: Aґb = bґA;

– hukum asosiatif perkalian: Aґ(BґC) = (AґB)ґC;

– hukum distributifitas: Aґ(B + C)= (AґB) + (AґC).

Jika A Dan B– dua bilangan bulat positif dan jika ada bilangan bulat positif C, seperti yang a = b + c, lalu kami mengatakan itu A lagi B(ini ditulis seperti ini: a>b), atau apa B lebih sedikit A(ini ditulis seperti ini: B). Untuk dua angka apa pun A Dan B salah satu dari tiga hubungan berlaku: baik a = b, atau a>b, atau A.

Dua hukum dasar pertama menyatakan bahwa jumlah dua suku atau lebih tidak bergantung pada cara pengelompokannya atau urutan penyusunannya. Demikian pula, dari hukum ketiga dan keempat, hasil kali dua faktor atau lebih tidak bergantung pada bagaimana faktor-faktor tersebut dikelompokkan atau bagaimana urutannya. Fakta-fakta ini dikenal sebagai "hukum umum komutatifitas dan asosiatif" penjumlahan dan perkalian. Oleh karena itu, ketika menulis jumlah beberapa suku atau hasil kali beberapa faktor, urutan suku dan faktor tidak penting dan tanda kurung dapat dihilangkan.

Khususnya, jumlah yang berulang a + a + ... + a dari N syaratnya sama dengan NґA. Pekerjaan berulang AґAґ ... ґA dari N Kami sepakat untuk menunjukkan faktor-faktornya sebuah; nomor A ditelepon dasar, dan nomornya N – ulangi indikator produk, pekerjaan berulang itu sendiri – kekuatan ke-n angka A. Definisi ini memungkinkan kita untuk menetapkan hukum dasar eksponen berikut:

Konsekuensi penting lainnya dari definisi tersebut: Aґ1 = A untuk bilangan bulat apa pun A, dan 1 adalah satu-satunya bilangan bulat yang memiliki properti ini. Nomor 1 dipanggil satuan.

Pembagi bilangan bulat.

Jika A, B, C– bilangan bulat dan Aґb = c, Itu A Dan B adalah pembagi suatu bilangan C. Karena Aґ1 = A untuk bilangan bulat apa pun A, kita simpulkan bahwa 1 adalah pembagi suatu bilangan bulat dan setiap bilangan bulat adalah pembagi bilangan bulat itu sendiri. Pembagi bilangan bulat apa pun A, berbeda dari 1 atau A, mendapat namanya pembagi yang tepat angka A.

Bilangan bulat selain 1 dan tidak mempunyai pembagi sendiri disebut bilangan prima. (Contoh bilangan prima adalah bilangan 7.) Bilangan bulat yang mempunyai pembaginya sendiri disebut Angka komposit. (Misalnya, bilangan 6 adalah bilangan komposit, karena 2 membagi 6.) Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan semua bilangan bulat dibagi menjadi tiga kelas: satu, bilangan prima, dan bilangan komposit.

Ada teorema yang sangat penting dalam teori bilangan yang menyatakan bahwa “bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan sebagai hasil kali bilangan prima, dan hingga urutan faktornya, representasi tersebut unik.” Teorema ini dikenal sebagai “teorema dasar aritmatika”. Hal ini menunjukkan bahwa bilangan prima berfungsi sebagai “blok penyusun” dimana semua bilangan bulat selain satu dapat dibangun menggunakan perkalian.

Jika diberikan himpunan bilangan bulat tertentu, maka bilangan bulat terbesar yang merupakan pembagi setiap bilangan yang termasuk dalam himpunan tersebut disebut pembagi persekutuan terbesar kumpulan angka tertentu; bilangan bulat terkecil yang pembaginya adalah setiap bilangan dari suatu himpunan disebut kelipatan persekutuan terkecil kumpulan angka yang diberikan. Jadi, pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 12, 18 dan 30 adalah 6. Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang sama adalah 180. Jika pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat A Dan B sama dengan 1, maka angkanya A Dan B disebut saling prima. Misalnya, bilangan 8 dan 9 relatif prima, meskipun tidak satu pun dari bilangan prima.

Bilangan rasional positif.

Seperti yang telah kita lihat, bilangan bulat adalah abstraksi yang muncul dari proses penghitungan himpunan objek berhingga. Namun untuk kebutuhan hidup sehari-hari, bilangan bulat saja tidak cukup. Misalnya, saat mengukur panjang bagian atas meja, satuan pengukuran yang digunakan mungkin terlalu besar dan tidak sesuai dengan panjang yang diukur. Untuk mengatasi kesulitan seperti itu, dengan bantuan yang disebut. pecahan(yaitu, secara harafiah, “patah”) bilangan, satuan panjang yang lebih kecil diperkenalkan. Jika D– bilangan bulat, lalu satuan pecahan 1/ D ditentukan oleh properti Dґ1/D= 1, dan jika N adalah bilangan bulat, lalu Nґ1/D kami hanya menulisnya sebagai N/D. Bilangan baru ini disebut pecahan “biasa” atau “sederhana”. Bilangan bulat N ditelepon pembilang pecahan dan angka D – penyebut. Penyebutnya menunjukkan berapa banyak bagian yang sama yang dibagi, dan pembilangnya menunjukkan berapa banyak bagian yang diambil. Jika N d, pecahan tersebut disebut wajar; jika n = d atau n>d, maka itu salah. Bilangan bulat diperlakukan sebagai pecahan dengan penyebut 1; misalnya 2 = 2/1.

Sejak pecahan N/D dapat diartikan sebagai hasil pembagian N unit per D bagian yang sama dan dengan mengambil salah satu dari bagian tersebut, pecahan dapat dianggap sebagai "hasil bagi" atau "perbandingan" dari dua bilangan bulat N Dan D, dan memahami garis pecahan sebagai tanda pembagian. Oleh karena itu, pecahan (termasuk bilangan bulat sebagai kasus khusus pecahan) biasanya disebut rasional angka (dari bahasa Latin rasio - rasio).

Dua pecahan N/D Dan ( kґN)/(kґD), Di mana k– bilangan bulat, dapat dianggap setara; misalnya 4/6 = 2/3. (Di Sini N = 2, D= 3 dan k= 2.) Hal ini dikenal sebagai “sifat dasar pecahan”: nilai pecahan apa pun tidak akan berubah jika pembilang dan penyebut pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama. Oleh karena itu, pecahan apa pun dapat ditulis sebagai perbandingan dua bilangan relatif prima.

Dari penafsiran pecahan yang dikemukakan di atas juga dapat disimpulkan bahwa pecahan adalah penjumlahan dua pecahan N/D Dan M/D yang penyebutnya sama, ambil pecahan ( N + M)/D. Saat menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus mengubahnya terlebih dahulu, menggunakan sifat dasar pecahan, menjadi pecahan senilai dengan penyebut yang sama. Misalnya, N 1 /D 1 = (N 1 jam D 2)/(D 1 jam D 2) dan N 2 /D 2 = (N 2 jam D 1)/(D 1 jam D 2), dari mana

Seseorang dapat melakukannya secara berbeda dan pertama-tama menemukan kelipatan persekutuan terkecil, misalnya M, penyebut D 1 dan D 2. Lalu ada bilangan bulat k 1 dan k 2 , sedemikian rupa m = k 1 jam D 1 = k 2 jam D 2 dan kita mendapatkan:

Dengan metode ini jumlahnya M biasa dipanggil penyebut persekutuan terendah dua pecahan. Kedua hasil ini ekuivalen menurut definisi persamaan pecahan.

Hasil kali dua pecahan N 1 /D 1 dan N 2 /D 2 diambil sama dengan pecahan ( N 1 jam N 2)/(D 1 jam D 2).

Delapan hukum dasar yang diberikan di atas untuk bilangan bulat juga berlaku jika, di bawah A, B, C memahami bilangan rasional positif sembarang. Juga, jika diberikan dua bilangan rasional positif N 1 /D 1 dan N 2 /D 2, lalu kita katakan itu N 1 /D 1 > N 2 /D 2 jika dan hanya jika N 1 jam D 2 > N 2 jam D 1 .

Bilangan real positif.

Penggunaan angka untuk mengukur panjang ruas garis menunjukkan bahwa untuk dua ruas garis tertentu AB Dan CD pasti ada beberapa segmen UV, mungkin sangat kecil, yang dapat ditunda beberapa kali di setiap segmen AB Dan CD. Jika demikian satuan panjang yang umum UV ada, maka segmennya AB Dan CD disebut sepadan. Sudah di zaman kuno, orang Pythagoras mengetahui keberadaan ruas lurus yang tidak dapat dibandingkan. Contoh klasiknya adalah sisi persegi dan diagonalnya. Jika kita mengambil sisi sebuah persegi sebagai satuan panjang, maka tidak ada bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran diagonal persegi tersebut. Anda dapat memverifikasi ini dengan berdebat berdasarkan kontradiksi. Memang, misalkan itu bilangan rasional N/D adalah ukuran diagonalnya. Tapi kemudian segmen 1/ D bisa ditunda N sekali secara diagonal dan D kali pada sisi persegi, padahal diagonal dan sisi persegi tidak dapat dibandingkan. Akibatnya, apapun pilihan satuan panjang, tidak semua ruas garis memiliki panjang yang dapat dinyatakan dalam bilangan rasional. Agar semua ruas garis dapat diukur dengan satuan panjang tertentu, maka sistem bilangan harus diperluas hingga mencakup bilangan-bilangan yang mewakili hasil pengukuran panjang ruas garis yang tidak sebanding dengan satuan panjang yang dipilih. Angka-angka baru ini disebut positif irasional angka. Yang terakhir, bersama dengan bilangan rasional positif, membentuk himpunan bilangan yang lebih luas, yang unsur-unsurnya disebut positif sah angka.

Jika ATAU– setengah garis horizontal yang berasal dari suatu titik HAI, kamu– arahkan ATAU, berbeda dari aslinya HAI, Dan kamu dipilih sebagai segmen satuan, lalu setiap titik P pada setengah garis ATAU dapat dikaitkan dengan satu bilangan real positif P, menyatakan panjang segmen op. Dengan cara ini kita membuat korespondensi satu-satu antara bilangan real positif dan titik selain HAI, pada setengah garis ATAU. Jika P Dan Q– dua bilangan real positif yang bersesuaian dengan titik P Dan Q pada ATAU, lalu kita menulis p>q,hal = q atau p tergantung pada lokasi titik P di sebelah kanan titik Q pada ATAU, bertepatan dengan Q atau terletak di sebelah kiri Q.

Pengenalan bilangan irasional positif secara signifikan memperluas cakupan penerapan aritmatika. Misalnya jika A– sembarang bilangan real positif dan N adalah bilangan bulat apa pun, maka hanya ada satu bilangan real positif B, seperti yang bn=a. Nomor ini B disebut akar N derajat ke- A dan ditulis sebagai, dimana lambang pada garis besarnya menyerupai huruf latin R, yang mengawali kata Latin akar(root) dan dipanggil radikal. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa

Hubungan-hubungan ini dikenal sebagai sifat dasar radikal.

Dari sudut pandang praktis, sangat penting bahwa bilangan irasional positif apa pun dapat didekati seakurat yang diinginkan dengan bilangan rasional positif. Artinya jika R adalah bilangan irasional positif dan e adalah bilangan rasional positif yang kecil, maka kita dapat mencari bilangan rasional positif A Dan B, seperti yang sebuah dan B. Misalnya, suatu bilangan tidak rasional. Jika Anda memilih e= 0,01, maka ; jika Anda memilih e= 0,001, maka .

Sistem bilangan Indo-Arab.

Algoritma, atau skema perhitungan, aritmatika bergantung pada sistem bilangan yang digunakan. Misalnya, cukup jelas bahwa metode perhitungan yang ditemukan untuk sistem bilangan Romawi mungkin berbeda dari algoritma yang ditemukan untuk sistem Indo-Arab saat ini. Selain itu, beberapa sistem bilangan mungkin sama sekali tidak cocok untuk membangun algoritma aritmatika. Data sejarah menunjukkan bahwa sebelum penerapan sistem notasi bilangan Indo-Arab, tidak ada algoritma sama sekali yang cukup memudahkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan dengan menggunakan “pensil dan kertas”. Selama bertahun-tahun keberadaan sistem Indo-Arab, banyak prosedur algoritmik yang khusus disesuaikan dengannya telah dikembangkan, sehingga algoritme modern kita adalah produk dari seluruh era pengembangan dan peningkatan.

Dalam sistem bilangan Hindu-Arab, setiap entri yang mewakili suatu bilangan adalah himpunan sepuluh simbol dasar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 yang disebut bilangan. Misalnya notasi Hindu-Arab untuk bilangan empat ratus dua puluh tiga berbentuk barisan angka 423. Arti suatu angka dalam notasi Hindu-Arab suatu bilangan ditentukan oleh tempat atau kedudukannya. dalam urutan angka yang membentuk notasi ini. Pada contoh yang kami berikan, angka 4 berarti empat ratus, angka 2 berarti dua puluhan, dan angka 3 berarti tiga satuan. Angka 0 (nol) yang digunakan untuk mengisi posisi yang kosong mempunyai peranan yang sangat penting; misalnya entri 403 berarti angka empat ratus tiga, yaitu. puluhan hilang. Jika A, B, C, D, e berarti angka individu, kemudian dalam sistem Indo-Arab abcde berarti singkatan dari bilangan bulat

Karena setiap bilangan bulat menerima representasi unik dalam bentuk

Di mana N adalah bilangan bulat, dan A 0 , A 1 ,..., sebuah- angka, kami menyimpulkan bahwa dalam sistem bilangan tertentu, setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara yang unik.

Sistem bilangan Hindu-Arab memungkinkan Anda menulis secara ringkas tidak hanya bilangan bulat, tetapi juga bilangan real positif apa pun. Mari kita perkenalkan notasi 10 - N untuk 1/10 N, Di mana N– bilangan bulat positif sembarang. Kemudian, seperti yang dapat ditunjukkan, bilangan real positif apa pun dapat direpresentasikan, dan secara unik, dalam bentuk

Catatan ini dapat dikompresi dengan menuliskannya sebagai rangkaian angka

di mana tandanya, yang disebut titik desimal, di antara A 0 dan B Angka 1 menunjukkan di mana pangkat negatif 10 dimulai (di beberapa negara, titik digunakan untuk tujuan ini). Cara penulisan bilangan real positif ini disebut pemuaian desimal, dan pecahan yang disajikan dalam bentuk pemuaian desimal disebut desimal.

Dapat ditunjukkan bahwa untuk bilangan rasional positif, pemuaian desimal setelah koma terputus (misalnya, 7/4 = 1,75) atau berulang (misalnya, 6577/1980 = 3,32171717...). Jika suatu bilangan irasional, maka pemuaian desimalnya tidak terputus dan tidak berulang. Jika pemuaian desimal suatu bilangan irasional diinterupsi pada suatu tempat desimal, kita memperoleh perkiraan rasionalnya. Semakin jauh ke kanan titik desimal letak tanda tempat kita mengakhiri perluasan desimal, semakin baik perkiraan rasionalnya (semakin kecil kesalahannya).

Dalam sistem Hindu-Arab, suatu bilangan ditulis dengan menggunakan sepuluh angka dasar yang maknanya bergantung pada tempat atau posisinya dalam notasi angka tersebut (nilai suatu angka sama dengan hasil kali angka tersebut dan beberapa angka). kekuatan 10). Oleh karena itu, sistem seperti ini disebut sistem posisi desimal. Sistem bilangan posisional sangat cocok untuk menyusun algoritma aritmatika, dan inilah sebabnya sistem bilangan Indo-Arab begitu tersebar luas di dunia modern, meskipun simbol yang berbeda dapat digunakan untuk menunjukkan bilangan individual di berbagai negara.

Nama-nama angka.

Penamaan angka dalam sistem Indo-Arab mengikuti aturan tertentu. Cara paling umum untuk memberi nama pada suatu bilangan adalah dengan membagi bilangan tersebut terlebih dahulu menjadi kelompok tiga digit dari kanan ke kiri. Kelompok-kelompok ini disebut “periode”. Periode pertama disebut periode "satuan", periode kedua - periode "ribuan", periode ketiga - periode "jutaan", dan seterusnya, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut:

Setiap titik dibaca seolah-olah merupakan angka tiga digit. Misalnya, periode 962 dibaca "sembilan ratus enam puluh dua". Untuk membaca suatu bilangan yang terdiri dari beberapa titik, dibacalah kelompok angka-angka pada setiap periode, dimulai dari yang paling kiri kemudian dilanjutkan secara berurutan dari kiri ke kanan; Setiap kelompok diikuti dengan nama periodenya. Misalnya angka di atas berbunyi “tujuh puluh tiga triliun delapan ratus empat puluh dua miliar sembilan ratus enam puluh dua juta lima ratus tiga puluh dua ribu tujuh ratus sembilan puluh delapan”. Perhatikan bahwa ketika membaca dan menulis bilangan bulat, kata hubung “dan” biasanya tidak digunakan. Nama kategori unit dihilangkan. Triliunan diikuti oleh kuadriliun, kuintiliun, sextiliun, septiliun, oktiliun, nonalion, dan desiliun. Setiap periode memiliki nilai 1000 kali lebih besar dari periode sebelumnya.

Dalam sistem Hindu-Arab, merupakan kebiasaan untuk mengikuti prosedur berikut dalam membaca angka di sebelah kanan koma desimal. Di sini posisinya disebut (dalam urutan dari kiri ke kanan): "sepersepuluh", "seratus", "seperseribu", "sepuluh ribu", dll. Desimal biasa dibaca seolah-olah angka setelah koma membentuk bilangan bulat, diikuti dengan nama posisi angka terakhir di sebelah kanan. Misalnya, 0,752 dibaca sebagai "tujuh ratus lima puluh dua ribu". Desimal campuran dibaca dengan menggabungkan aturan penamaan bilangan bulat dengan aturan penamaan desimal biasa. Misalnya, 632.752 berbunyi "enam ratus tiga puluh dua koma tujuh ratus lima puluh dua ribu". Perhatikan kata "bilangan bulat" sebelum titik desimal. Dalam beberapa tahun terakhir, angka desimal semakin mudah dibaca, misalnya 3,782 sebagai "tiga koma tujuh ratus delapan puluh dua".

Tambahan.

Sekarang kita siap menganalisis algoritma aritmatika yang diajarkan di sekolah dasar. Algoritme ini menangani operasi bilangan real positif yang ditulis sebagai ekspansi desimal. Kami berasumsi bahwa tabel penjumlahan dan perkalian dasar telah dipelajari dengan hati.

Perhatikan soal penjumlahan: hitung 279,8 + 5,632 + 27,54:

Pertama, kita jumlahkan pangkat yang sama dari angka 10. Angka 19Х10 –1 dibagi menurut hukum distributif menjadi 9Х10 –1 dan 10Х10 –1 = 1. Kita pindahkan satuannya ke kiri dan tambahkan ke 21, yang mana menghasilkan 22. Selanjutnya, kita bagi angka 22 menjadi 2 dan 20 = 2H10. Kita pindahkan angka 2H10 ke kiri dan tambahkan ke 9H10, sehingga menghasilkan 11H10. Terakhir, kita bagi 11H10 menjadi 1H10 dan 10H10 = 1H10 2, pindahkan 1H10 2 ke kiri dan tambahkan ke 2H10 2, sehingga menghasilkan 3H10 2. Total akhirnya menjadi 312.972.

Jelas bahwa perhitungan yang dilakukan dapat disajikan dalam bentuk yang lebih ringkas, sekaligus menjadi contoh algoritma penjumlahan yang diajarkan di sekolah. Untuk melakukan ini, kita menulis ketiga angka satu di bawah yang lain sehingga koma desimal berada pada vertikal yang sama:

Mulai dari kanan, kita menemukan bahwa jumlah koefisien pada 10 –3 sama dengan 2, yang kita tulis pada kolom yang sesuai di bawah garis. Jumlah koefisien pada 10 –2 sama dengan 7, yang juga ditulis pada kolom yang sesuai di bawah garis. Jumlah koefisien 10 –1 adalah 19. Kita tuliskan angka 9 di bawah garis, dan pindahkan 1 ke kolom sebelumnya, di mana angka satu berada. Dengan memperhitungkan satuan ini, jumlah koefisien pada kolom ini ternyata sama dengan 22. Kita tuliskan satu dua di bawah garis, dan pindahkan yang lainnya ke kolom sebelumnya, tempat puluhan berada. Dengan memperhitungkan dua yang ditransfer, jumlah koefisien pada kolom ini sama dengan 11. Kita menulis satu satuan di bawah garis, dan memindahkan satuan lainnya ke kolom sebelumnya, yang jumlahnya ratusan. Jumlah koefisien pada kolom ini ternyata sama dengan 3, yang kita tulis di bawah garis. Jumlah yang dibutuhkan adalah 312.972.

Pengurangan.

Pengurangan adalah kebalikan dari penjumlahan. Jika tiga bilangan real positif A, B, C saling berhubungan sehingga a+b=c, lalu kita menulis a = c – b, dimana simbol “-” dibaca “minus”. Menemukan nomor A menurut angka yang diketahui B Dan C disebut "pengurangan". Nomor C disebut minuend, nomor B– “dapat dikurangkan”, dan jumlahnya A- "perbedaan". Karena kita berhadapan dengan bilangan real positif, syaratnya harus dipenuhi c > b.

Mari kita lihat contoh pengurangan: hitung 453,87 – 82,94.

Pertama-tama, jika perlu, meminjam satuan dari kiri, kita ubah perluasan minuend sehingga koefisiennya untuk pangkat 10 lebih besar daripada koefisien pengurang untuk pangkat yang sama. Dari 4H10 2 kita meminjam 1H10 2 = 10H10, menambahkan bilangan terakhir ke suku berikutnya dalam pemuaian, sehingga menghasilkan 15H10; demikian pula, kita meminjam 1Х10 0, atau 10Ч10 –1, dan menambahkan bilangan ini ke suku kedua dari belakang perluasan. Setelah ini, kita mendapat kesempatan untuk mengurangi koefisien pangkat yang sama dari angka 10 dan dengan mudah menemukan selisih 370,93.

Pencatatan operasi pengurangan dapat disajikan dalam bentuk yang lebih ringkas dan Anda bisa mendapatkan contoh algoritma pengurangan yang dipelajari di sekolah. Kita tuliskan pengurangnya di bawah minuend sehingga titik desimalnya berada pada vertikal yang sama. Mulai dari kanan, kita temukan selisih koefisien pada 10 –2 sama dengan 3, dan kita tuliskan bilangan ini pada kolom yang sama di bawah garis. Karena pada kolom berikutnya di sebelah kiri kita tidak dapat mengurangkan 9 dari 8, kita ubah tiga pada posisi satuan di ujung bawah menjadi dua dan perlakukan angka 8 pada posisi persepuluhan sebagai 18. Setelah mengurangkan 9 dari 18 kita mendapatkan 9, dst. ., yaitu..

Perkalian.

Pertama mari kita pertimbangkan apa yang disebut Perkalian “pendek” adalah perkalian suatu bilangan real positif dengan salah satu bilangan satu digit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, misalnya 32.67ґ4. Dengan menggunakan hukum distributifitas, serta hukum asosiatif dan komutatifitas perkalian, kita mendapat kesempatan untuk memecah faktor menjadi beberapa bagian dan menyusunnya dengan cara yang lebih mudah. Misalnya,

Perhitungan tersebut dapat ditulis lebih ringkas sebagai berikut:

Proses kompresi dapat dilanjutkan. Kami menulis faktor 4 di bawah perkalian 32,67, seperti yang ditunjukkan:

Karena 4ґ7 = 28, kita tuliskan angka 8 di bawah garis, dan tempatkan 2 di atas angka 6 perkaliannya. Selanjutnya, 4ґ6 = 24, yang jika dihitung ditransfer dari kolom sebelah kanan, menghasilkan 26. Kita tuliskan angka 6 di bawah garis, dan tulis 2 di atas angka 2 perkalian. Kemudian kita mendapatkan 4ґ2 = 8, yang jika digabungkan dengan dua yang ditransfer menghasilkan 10. Kita menandatangani angka 0 di bawah garis, dan angka di atas angka 3 dari perkalian. Terakhir, 4ґ3 = 12, yang jika dihitung dengan unit yang ditransfer, menghasilkan 13; Angka 13 ditulis di bawah garis. Dengan memberi koma desimal, kita mendapatkan jawabannya: hasil kali sama dengan 130,68.

Perkalian "panjang" hanyalah perkalian "pendek" yang diulang terus menerus. Misalnya saja mengalikan angka 32,67 dengan angka 72,4. Mari kita tempatkan pengali di bawah pengali, seperti yang ditunjukkan:

Mengalikan pendek dari kanan ke kiri menghasilkan hasil bagi pertama 13,068, hasil bagi kedua 65,34, dan hasil bagi ketiga 2286,9. Menurut hukum distribusi, hasil kali yang perlu dicari adalah jumlah dari hasil kali parsial tersebut, atau 2365.308. Dalam notasi tertulis, koma pada hasil perkalian parsial dihilangkan, namun harus disusun dengan benar dalam “langkah-langkah” agar kemudian dapat dijumlahkan untuk memperoleh hasil perkalian lengkap. Banyaknya tempat desimal pada hasil kali sama dengan jumlah tempat desimal pada perkalian dan pengali.

Divisi.

Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian; sama seperti perkalian menggantikan penjumlahan berulang, pembagian menggantikan pengurangan berulang. Perhatikan, misalnya, pertanyaan berikut: berapa kali 3 terdapat dalam 14? Mengulangi operasi pengurangan 3 dari 14, kita menemukan bahwa 3 “masuk” 14 empat kali, dan angka 2 “tetap”, yaitu.

Nomor 14 dipanggil terbagi, nomor 3 - pembagi, nomor 4 – pribadi dan nomor 2 – pengingat. Hubungan yang dihasilkan dapat diungkapkan dengan kata-kata sebagai berikut:

dividen = (pembagi q hasil bagi) + sisa,

0 dan sisanya

Mencari hasil bagi dan sisa 1400 dibagi 3 dengan mengurangkan 3 berulang kali akan membutuhkan banyak waktu dan tenaga. Prosedur ini dapat dipercepat secara signifikan jika kita mengurangi 300 dari 1400 terlebih dahulu, kemudian 30 dari sisanya, dan terakhir 3. Setelah mengurangkan 300 sebanyak empat kali, kita akan mendapatkan sisa 200; setelah mengurangi 30 dari 200 sebanyak enam kali, sisanya menjadi 20; akhirnya, setelah mengurangi 3 dari 20 sebanyak enam kali, kita mendapatkan sisanya 2. Oleh karena itu,

Hasil bagi dan sisa yang dicari masing-masing adalah 466 dan 2. Perhitungannya dapat disusun kemudian dikompres secara berurutan sebagai berikut:

Alasan di atas berlaku jika pembagian dan pembaginya adalah bilangan real positif yang dinyatakan dalam sistem desimal. Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh 817.65е23.7.

Pertama, pembagi harus diubah menjadi bilangan bulat menggunakan pergeseran koma desimal. Dalam hal ini, koma desimal dari pembagian digeser dengan jumlah desimal yang sama. Pembagi dan pembagiannya disusun seperti gambar di bawah ini:

Mari kita tentukan berapa kali pembagi terdapat pada tiga angka 817, bagian pertama dari pembagi yang kita bagi dengan pembagi tersebut. Karena diperkirakan berisi tiga kali, kita kalikan 237 dengan 3 dan kurangi hasil kali 711 dari 817. Selisih 106 lebih kecil dari pembaginya. Artinya angka 237 yang muncul dalam dividen percobaan tidak lebih dari tiga kali. Angka 3 yang ditulis di bawah pembagi angka 2 di bawah garis mendatar adalah angka pertama hasil bagi yang perlu dicari. Setelah kita menurunkan digit dividen berikutnya, kita mendapatkan dividen percobaan berikutnya 1066, dan kita perlu menentukan berapa kali pembagi 237 cocok dengan angka 1066; Katakanlah 4 kali. Kita mengalikan pembaginya dengan 4 dan mendapatkan hasil kali 948, yang kita kurangi dari 1066; selisihnya ternyata 118, artinya angka hasil bagi berikutnya adalah 4. Kemudian kita kurangi angka pembagian berikutnya dan ulangi seluruh prosedur yang dijelaskan di atas. Kali ini ternyata dividen percobaan 1185 tepat (tanpa sisa) habis dibagi 237 (sisa pembagian akhirnya menjadi 0). Dengan memisahkan jumlah digit yang sama dengan koma desimal pada hasil bagi dengan jumlah digit yang dipisahkan pada pembagian (ingat bahwa kita sebelumnya memindahkan koma desimal), kita mendapatkan jawabannya: hasil bagi sama dengan 34,5.

Pecahan.

Perhitungan dengan pecahan meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, serta penyederhanaan pecahan kompleks.

Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama dilakukan dengan menjumlahkan pembilangnya, misalnya

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Jika pecahan mempunyai penyebut yang berbeda, maka pecahan tersebut harus direduksi terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama, yaitu. ubah menjadi pecahan yang penyebutnya sama. Untuk melakukan ini, kita mencari penyebut terkecil (kelipatan terkecil dari masing-masing penyebut yang diberikan). Misalnya, saat menjumlahkan 2/3, 1/6, dan 3/5, penyebut terkecilnya adalah 30:

Kesimpulannya, kita mengerti

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

Pengurangan pecahan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan. Jika penyebutnya sama, maka pengurangannya dikurangi dengan mengurangkan pembilangnya: 10/13 – 2/13 = 8/13; Jika pecahan memiliki penyebut yang berbeda, maka Anda harus membawanya ke penyebut yang sama terlebih dahulu:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

Saat mengalikan pecahan, pembilang dan penyebutnya dikalikan secara terpisah. Misalnya,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, Anda perlu mengalikan pecahan pertama (pembagi) dengan pecahan kebalikan dari pecahan kedua (pembagi) (untuk mendapatkan pecahan kebalikannya, Anda perlu menukar pembilang dan penyebut pecahan aslinya), mis. ( N 1 /D 1)е( N 2 /D 2) = (N 1 jam D 2)/(D 1 jam N 2). Misalnya,

3/4е7/8 = 3/4¬8/7 = 24/28 = 6/7.

Bilangan campuran adalah jumlah (atau selisih) bilangan bulat dan pecahan, misalnya 4 + 2/3 atau 10 – 1/8. Karena bilangan bulat dapat dianggap sebagai pecahan dengan penyebut 1, maka bilangan campuran tidak lebih dari jumlah (atau selisih) dua pecahan. Misalnya,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Pecahan kompleks adalah pecahan yang memiliki pembilang, penyebut, atau pembilang dan penyebut pecahan. Pecahan ini dapat diubah menjadi pecahan sederhana:

Akar pangkat dua.

Jika N R, seperti yang R 2 = N. Nomor R ditelepon akar pangkat dua dari N dan ditunjuk. Di sekolah mereka mengajari Anda cara mengekstrak akar kuadrat dengan dua cara.

Cara pertama lebih populer karena lebih sederhana dan mudah diterapkan; perhitungan menggunakan metode ini mudah diterapkan pada kalkulator desktop dan digeneralisasikan ke kasus akar pangkat tiga dan akar yang lebih tinggi. Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa jika R 1 – mendekati akar, kalau begitu R 2 = (1/2)(R 1 + N/R 1) – perkiraan akar yang lebih akurat.

Mari kita ilustrasikan prosedurnya dengan menghitung akar kuadrat suatu bilangan antara 1 dan 100, katakanlah bilangan 40. Karena 6 2 = 36 dan 7 2 = 49, kita menyimpulkan bahwa 6 adalah perkiraan terbaik untuk bilangan bulat. Perkiraan yang lebih akurat diperoleh dari 6 sebagai berikut. Membagi 40 dengan 6 menghasilkan 6,6 (dibulatkan ke desimal pertama) bahkan angka persepuluh). Untuk mendapatkan perkiraan kedua, kita rata-ratakan dua angka 6 dan 6,6 dan mendapatkan 6,3. Mengulangi prosedur ini, kami memperoleh perkiraan yang lebih baik. Membagi 40 dengan 6,3, kita menemukan angka 6,350, dan perkiraan ketiga ternyata sama dengan (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Pengulangan lainnya menghasilkan 40е6.325 = 6.3241106, dan perkiraan keempat menjadi (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. Prosesnya dapat berlanjut selama yang diinginkan. Secara umum, setiap perkiraan berikutnya dapat berisi angka dua kali lebih banyak dari perkiraan sebelumnya. Jadi, dalam contoh kita, karena perkiraan pertama, bilangan bulat 6, hanya berisi satu digit, kita dapat menyimpan dua digit pada perkiraan kedua, empat pada perkiraan ketiga, dan delapan pada perkiraan keempat.

Jika nomornya N tidak terletak antara 1 dan 100, maka harus membagi (atau mengalikan) terlebih dahulu N untuk pangkat 100, katakanlah, untuk k-th, sehingga hasil kali berada pada kisaran 1 sampai 100. Maka akar kuadrat dari hasil kali tersebut akan berada pada kisaran 1 sampai 10, dan setelah diekstraksi, kita kalikan (atau bagi) bilangan yang dihasilkan dengan 10 k, temukan akar kuadrat yang diperlukan. Misalnya jika N= 400000, maka kita dulu membagi 400000 kali 100 2 dan kita mendapatkan angka 40, yang terletak pada rentang 1 hingga 100. Seperti yang ditunjukkan di atas, kira-kira sama dengan 6,3245553. Mengalikan angka ini dengan 10 2, kita mendapatkan 632.45553 sebagai nilai perkiraan, dan angka 0.63245553 berfungsi sebagai nilai perkiraan.

Prosedur kedua yang disebutkan di atas didasarkan pada identitas aljabar ( A + B) 2 = A 2 + (2A + B)B. Pada setiap langkah, bagian akar kuadrat yang sudah diperoleh diambil sebagai A, dan bagian yang masih perlu ditentukan adalah untuk B.

Akar pangkat tiga.

Untuk mengekstrak akar pangkat tiga dari bilangan real positif, terdapat algoritma yang mirip dengan algoritma untuk mengekstrak akar kuadrat. Misalnya untuk mencari akar pangkat tiga suatu bilangan N, pertama-tama kita memperkirakan akarnya dengan beberapa angka R 1 . Kemudian kami membuat perkiraan yang lebih akurat R 2 = (1/3)(2R 1 + N/R 1 2), yang pada gilirannya memberikan pendekatan yang lebih akurat R 3 = (1/3)(2R 2 + N/R 2 2), dll. Prosedur untuk membangun perkiraan akar yang semakin akurat dapat berlanjut tanpa batas waktu.

Misalnya, menghitung akar pangkat tiga suatu bilangan antara 1 dan 1000, misalnya 200. Karena 5 3 = 125 dan 6 3 = 216, kita menyimpulkan bahwa 6 adalah bilangan bulat terdekat dengan akar pangkat tiga dari 200. Oleh karena itu, kami memilih R 1 = 6 dan hitung secara berurutan R 2 = 5,9, R 3 = 5,85, R 4 = 5,8480. Dalam setiap perkiraan, mulai dari perkiraan ketiga, diperbolehkan untuk mempertahankan jumlah karakter yang kurang dari satu kali jumlah karakter pada perkiraan sebelumnya. Jika bilangan yang ingin diambil akar pangkat tiganya bukan antara 1 dan 1000, maka Anda harus membagi (atau mengalikannya) terlebih dahulu dengan beberapa, misalnya, k th, pangkat dari angka 1000 dan dengan demikian membawanya ke kisaran angka yang diinginkan. Akar pangkat tiga dari bilangan yang baru diperoleh terletak pada kisaran 1 sampai 10. Setelah dihitung harus dikalikan (atau dibagi) dengan 10 k untuk mendapatkan akar pangkat tiga dari bilangan aslinya.

Algoritme kedua yang lebih kompleks untuk mencari akar pangkat tiga suatu bilangan real positif didasarkan pada penggunaan identitas aljabar ( A + B) 3 = A 3 + (3A 2 + 3ab + B 2)B. Saat ini, algoritma untuk mengekstrak akar pangkat tiga, serta akar pangkat yang lebih tinggi, tidak diajarkan di sekolah menengah, karena lebih mudah ditemukan menggunakan metode logaritma atau aljabar.

Algoritma Euclid.

Algoritma ini disajikan pada Awal Euclid (c. 300 SM). Ini digunakan untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat. Untuk bilangan positif dirumuskan sebagai aturan prosedural: “Bagilah bilangan yang lebih besar dari dua bilangan yang diberikan dengan bilangan yang lebih kecil. Kemudian bagilah pembagi tersebut dengan sisanya dan lanjutkan dengan cara yang sama hingga pembagi terakhir habis dibagi dengan sisa terakhir. Pembagi terakhir adalah pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan yang diberikan.”

Sebagai contoh numerik, perhatikan dua bilangan bulat 3132 dan 7200. Algoritma dalam hal ini turun ke langkah-langkah berikut:

Pembagi persekutuan terbesar sama dengan pembagi terakhir yaitu angka 36. Penjelasannya sederhana. Dalam contoh kita, kita melihat dari baris terakhir bahwa angka 36 membagi angka 288. Dari garis kedua dari belakang maka angka 36 membagi 324. Jadi, jika kita berpindah dari baris ke baris, kita yakin bahwa angka 36 membagi 936 , 3132 dan 7200 Sekarang kita nyatakan bahwa bilangan 36 adalah pembagi persekutuan dari bilangan 3132 dan 7200. Misalkan G adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 3132 dan 7200. Sejak G membagi 3132 dan 7200, dari baris pertama berikut ini G membagi 936. Dari baris kedua kita simpulkan bahwa G membagi 324. Jadi, dari baris ke baris, kami yakin akan hal itu G membagi 288 dan 36. Dan karena 36 adalah pembagi persekutuan dari bilangan 3132 dan 7200 dan habis dibagi dengan pembagi persekutuan terbesarnya, maka kita simpulkan bahwa 36 adalah pembagi persekutuan terbesarnya.

Penyelidikan.

Perhitungan aritmatika memerlukan perhatian terus-menerus dan oleh karena itu rentan terhadap kesalahan. Oleh karena itu, sangat penting untuk memeriksa hasil perhitungan.

1. Penjumlahan suatu kolom angka dapat diperiksa dengan cara menjumlahkan angka-angka pada kolom tersebut terlebih dahulu dari atas ke bawah kemudian dari bawah ke atas. Pembenaran metode verifikasi ini adalah hukum umum komutatifitas dan asosiatif penjumlahan.

2. Pengurangan diperiksa dengan menjumlahkan selisihnya dengan pengurang - harus diperoleh minuend. Dasar pemikiran metode verifikasi ini adalah definisi operasi pengurangan.

3. Perkalian dapat diperiksa dengan menyusun ulang perkalian dan pengalinya. Pembenaran metode verifikasi ini adalah hukum perkalian komutatif. Anda dapat memeriksa perkalian dengan membagi faktor (atau perkalian) menjadi dua suku, melakukan dua operasi perkalian terpisah dan menjumlahkan hasil perkalian - Anda akan mendapatkan hasil perkalian asli.

4. Untuk memeriksa pembagian, Anda perlu mengalikan hasil bagi dengan pembagi dan menambahkan sisanya ke hasil kali. Anda harus mendapatkan dividennya. Dasar pemikiran metode verifikasi ini adalah definisi operasi pembagian.

5. Memeriksa kebenaran ekstraksi akar kuadrat (atau kubik) terdiri dari menaikkan angka yang dihasilkan dengan mengkuadratkan (atau kubus) - angka aslinya harus diperoleh.

Cara yang sangat sederhana dan sangat andal untuk memeriksa penjumlahan atau perkalian bilangan bulat adalah teknik yang mewakili transisi ke apa yang disebut. "perbandingan modulo 9". Mari kita sebut “berlebih” sebagai sisa jumlah angka-angka yang digunakan untuk menulis suatu bilangan jika dibagi 9. Kemudian, mengenai “kelebihan”, dapat dirumuskan dua teorema: “kelebihan jumlah bilangan bulat sama dengan kelebihan jumlah kelebihan suku”, dan “kelebihan hasil kali dua bilangan bulat sama dengan kelebihan kelebihan produk dari kelebihan mereka.” Di bawah ini adalah contoh pemeriksaan berdasarkan teorema ini:

Metode perpindahan ke perbandingan modulo 9 juga dapat digunakan saat menguji algoritma aritmatika lainnya. Tentu saja, pemeriksaan seperti itu tidak sempurna, karena bekerja dengan "berlebihan" juga rentan terhadap kesalahan, tetapi situasi seperti itu tidak mungkin terjadi.

Minat.

Persentase adalah pecahan yang penyebutnya 100; Persen dapat ditulis dengan tiga cara: sebagai pecahan, desimal, atau menggunakan notasi persentase khusus %. Misalnya, 7 persen dapat ditulis sebagai 7/100, 0,07, atau 7%.

Contoh jenis soal persentase yang paling umum adalah sebagai berikut: “Temukan 17% dari 82.” Untuk mengatasi masalah ini, Anda perlu menghitung hasil kali 0,17ґ82 = 13,94. Dalam produk semacam ini, 0,17 disebut tarif, 82 adalah basis, dan 13,94 adalah bagian, yang dinyatakan dalam persentase. Ketiga besaran tersebut saling berhubungan satu sama lain melalui relasi

Nilai ֑ dasar = persentase pembagian.

Jika ada dua besaran yang diketahui, besaran ketiga dapat ditentukan dari hubungan ini. Oleh karena itu, kita mendapatkan tiga jenis masalah “menggunakan persentase”.

Contoh 1. Jumlah siswa yang terdaftar di sekolah ini meningkat dari 351 menjadi 396. Berapa persentase peningkatan jumlah ini?

Bertambahnya 396 – 351 = 45 orang. Menuliskan pecahan 45/351 sebagai persentase, diperoleh 45/351 = 0,128 = 12,8%.

Contoh 2. Sebuah iklan di toko selama penjualan mengatakan “diskon 25% untuk semua item.” Berapa harga jual suatu barang yang biasanya dijual seharga $3,60?

Penurunan harga sebesar 25% sebesar $3,60 berarti penurunan sebesar 0,25-3,60 = $0,90; oleh karena itu, harga barang selama penjualan adalah $3,60 – $0,90 = $2,70.

Contoh 3. Uang yang disimpan di bank dengan bunga 5% per tahun menghasilkan keuntungan $40 per tahun. Berapa jumlah yang disetorkan ke bank?

Karena 5% dari jumlah tersebut adalah $40, mis. 5/100 к jumlah = $40, atau 1/100 к jumlah = 8 dolar, jumlah totalnya adalah 800 dolar.

Aritmatika angka perkiraan.

Banyak angka yang digunakan dalam perhitungan muncul dari pengukuran atau perkiraan dan oleh karena itu hanya dapat dianggap sebagai perkiraan. Jelas sekali bahwa hasil perhitungan yang dilakukan dengan angka perkiraan hanya dapat berupa angka perkiraan saja. Misalnya, pengukuran permukaan counter menghasilkan hasil berikut (dibulatkan ke sepersepuluh meter terdekat): lebar 1,2 m, panjang 3,1 m; bisa dikatakan luas counternya adalah 1.2ґ3.1 = 3.72 m2. Namun kenyataannya, informasi tersebut masih jauh dari kepastian. Karena nilai 1,2 m hanya menunjukkan bahwa ukuran lebar antara 1,15 dan 1,25 m, dan 3,1 menunjukkan bahwa ukuran panjang antara 3,05 dan 3,15 m, mengenai luas penghitung kita hanya dapat mengatakan bahwa itu harus lebih besar dari 1,15ґ3,05 = 3,5075, tetapi kurang dari 1,25ґ3,15 = 3,9375. Oleh karena itu, satu-satunya jawaban yang masuk akal terhadap pertanyaan tentang luas penghitung adalah dengan mengatakan bahwa luasnya kira-kira 3,7 m 2 .

Selanjutnya mari kita perhatikan soal penjumlahan hasil perkiraan pengukuran 3,73 m, 52,1 m, dan 0,282 m.Jumlah sederhananya adalah 56,112 m.Tetapi, seperti pada soal sebelumnya, yang dapat dikatakan dengan pasti adalah jumlah sebenarnya harus lebih besar dari 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m dan kurang dari 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m Jadi, satu-satunya jawaban yang masuk akal terhadap pertanyaan tersebut adalah dengan mengatakan bahwa jumlahnya kira-kira sama dengan 56,1 m.

Dua contoh di atas mengilustrasikan beberapa aturan yang berguna ketika bekerja dengan angka perkiraan. Ada berbagai cara untuk membulatkan angka. Salah satunya adalah membuang angka terbawah dari angka tersebut. Apalagi jika angka pertama yang dibuang lebih dari lima, maka angka terakhir yang tersisa harus ditambah satu, jika kurang maka angka terakhir dari sisa tersebut tetap tidak berubah.

Jika angka pertama yang dibuang tepat lima, maka angka terakhir yang dipertahankan ditambah satu jika ganjil dan tetap tidak berubah jika genap. Misalnya bila dibulatkan ke seratus terdekat bilangan 3.14159;17.7682; 28.999; 0,00234; 7.235 dan 7.325 menjadi 3.14; 17,77; 29.00; 0,00; 7.24 dan 7.32.

Metode pembulatan lainnya dikaitkan dengan konsep angka penting dan digunakan saat menulis angka dengan mesin. Angka penting suatu bilangan perkiraan adalah angka-angka dalam notasi desimalnya secara berurutan dari kiri ke kanan, dimulai dari angka pertama bukan nol dan diakhiri dengan angka yang menggantikan tempat desimal yang sesuai dengan kesalahannya. Misalnya angka penting dari bilangan perkiraan 12.1 adalah bilangan 1, 2, 1; perkiraan angka 0,072 – angka 7, 2; perkiraan angka 82000, ditulis ke ratusan terdekat, adalah 8, 2, 0.

Sekarang kita akan merumuskan dua aturan operasi dengan perkiraan angka yang disebutkan di atas.

Saat menjumlahkan dan mengurangkan bilangan perkiraan, setiap bilangan harus dibulatkan ke angka yang mengikuti digit terakhir dari bilangan yang paling tidak akurat, dan hasil penjumlahan serta selisihnya harus dibulatkan ke jumlah digit yang sama dengan bilangan yang paling tidak akurat. Saat mengalikan dan membagi bilangan perkiraan, setiap bilangan harus dibulatkan ke tanda yang mengikuti angka penting terakhir dari bilangan penting terkecil, dan hasil kali serta hasil bagi harus dibulatkan dengan ketelitian yang sama dengan bilangan yang paling tidak akurat yang diketahui.

Kembali ke masalah yang dibahas sebelumnya, kita mendapatkan:

1.2ґ3.1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

dimana tanda " berarti "kurang lebih sama".

Beberapa buku teks aritmatika menyediakan algoritma untuk bekerja dengan angka perkiraan, sehingga Anda menghindari tanda-tanda yang tidak perlu saat menghitung. Selain itu, mereka menggunakan apa yang disebut. mencatat perkiraan angka, mis. bilangan apa pun direpresentasikan dalam bentuk (bilangan dalam rentang 1 sampai 10) (pangkat 10), dengan faktor pertama hanya berisi angka penting dari bilangan tersebut. Misalnya, 82000 km, dibulatkan ke ratusan km terdekat, ditulis 8,20¬10 4 km, dan 0,00702 cm ditulis 7,02¬10 –3 cm.

Angka-angka dalam tabel matematika, tabel trigonometri atau logaritma merupakan perkiraan, ditulis dengan sejumlah tanda tertentu. Saat bekerja dengan tabel seperti itu, Anda harus mengikuti aturan perhitungan dengan angka perkiraan.

Logaritma.

Pada awal abad ke-17. Kompleksitas masalah komputasi terapan telah meningkat sedemikian rupa sehingga tidak mungkin untuk mengatasinya “secara manual” karena terlalu banyak tenaga dan waktu. Untungnya, ditemukan tepat waktu oleh J. Napier pada awal abad ke-17. logaritma memungkinkan untuk mengatasi masalah yang muncul. Karena teori dan penerapan logaritma dijelaskan secara rinci dalam artikel khusus LOGARITMA, kami akan membatasi diri hanya pada informasi yang paling diperlukan saja.

Dapat ditunjukkan bahwa jika N adalah bilangan real positif, maka terdapat bilangan real positif unik X, sehingga 10 X = N. Nomor X disebut (biasa atau desimal) logaritma angka N; secara konvensional ditulis seperti ini: X=log N. Jadi, logaritma adalah eksponen, dan berikut ini dari hukum operasi dengan eksponen

Sifat-sifat logaritma inilah yang menjelaskan penggunaannya secara luas dalam aritmatika. Sifat pertama dan kedua memungkinkan kita mereduksi masalah perkalian dan pembagian menjadi masalah penjumlahan dan pengurangan yang lebih sederhana. Sifat ketiga dan keempat memungkinkan untuk mengurangi eksponensial dan ekstraksi akar menjadi operasi yang lebih sederhana: perkalian dan pembagian.

Untuk kemudahan penggunaan logaritma, tabelnya telah dikompilasi. Untuk menyusun tabel logaritma desimal, cukup dengan menyertakan logaritma angka dari 1 sampai 10 saja. Misalnya, karena 247.6 = 10 2 2.476, kita mempunyai: log247.6 = log10 2 + log2.476 = 2 + log2.476, dan karena 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, maka log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Perhatikan bahwa logaritma desimal suatu bilangan antara 1 dan 10 terletak antara 0 dan 1 dan dapat ditulis sebagai desimal. Oleh karena itu, logaritma desimal suatu bilangan adalah jumlah dari bilangan bulat, yang disebut karakteristik logaritma, dan pecahan desimal, yang disebut mantissa dari logaritma. Karakteristik logaritma suatu bilangan dapat ditemukan “dalam pikiran”; Mantissa harus ditemukan menggunakan tabel logaritma. Misalnya, dari tabel kita menemukan bahwa log2.476 = 0.39375, maka log247.63 = 2.39375. Jika karakteristik logaritmanya negatif (bila bilangannya kurang dari satu), maka akan lebih mudah untuk menyatakannya sebagai selisih dua bilangan bulat positif, misalnya log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. contoh berikut menjelaskan teknik ini.

Literatur:

Sejarah matematika dari zaman dahulu hingga awal abad ke-19., jilid. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Kursus aritmatika. M., 1972
Nechaev V.I. Sistem numerik. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Jalan dan labirin. Esai tentang sejarah matematika. M., 1986
Engler E. Matematika Dasar. M., 1987

Ukuran: piksel

Mulai tampilkan dari halaman:

Salinan

1 KULIAH 2 PERHITUNGAN PEMBAGI PERSAMAAN TERBESAR Algoritma Euclid Saat bekerja dengan bilangan komposit besar, penguraiannya menjadi faktor prima biasanya tidak diketahui. Namun bagi banyak permasalahan terapan dalam teori bilangan, menemukan faktorisasi suatu bilangan merupakan permasalahan praktis yang penting dan sering ditemui. Dalam teori bilangan, ada cara yang relatif cepat untuk menghitung gcd dua bilangan, yang disebut dengan algoritma Euclidean. Algoritma 1. Algoritma Euclidean. Pintu masuk. Bilangan bulat a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b >0, algoritma Euclidean berhenti dan bilangan d yang dihasilkannya merupakan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b. Bukti . Berdasarkan teorema pembagian dengan sisa untuk setiap i 1 kita mempunyai r i 1 = q i r i + r i+1, di mana 0 r i+1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 >r 2 > r 3 >... 0, dibatasi di bawah. Urutan seperti itu tidak mungkin tak terbatas, oleh karena itu, algoritma Euclidean berhenti. Algoritma Biner Euclidean Algoritma Biner Euclidean untuk menghitung GCD ternyata lebih cepat ketika mengimplementasikan hal ini

2 algoritma pada komputer karena menggunakan representasi biner dari angka a dan b. Algoritme biner Euclidean didasarkan pada sifat-sifat pembagi persekutuan terbesar berikut ini (kami berasumsi bahwa 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а >b, maka gcd(a, b) = gcd(a b, b); 4) jika a = b, maka gcd(a, b) = a. Algoritma 2. Algoritma Biner Euclidean. Pintu masuk. Bilangan bulat a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a >B. Lalu terdapat bilangan bulat x dan y sehingga d = ax + by. Dengan kata lain, gcd dari dua bilangan dapat direpresentasikan

3 sebagai kombinasi linier dari angka-angka ini dengan koefisien bilangan bulat. Algoritma 3. Skema algoritma Euclidean yang diperluas. 1. Tentukan = 1, = 0, = 0, = 1, α = a, β = b. 2. Misalkan bilangan q adalah hasil bagi bilangan a dibagi bilangan b, dan bilangan r adalah sisa pembagian bilangan-bilangan tersebut (yaitu a = qb + r). a = b; b = r; t = ; //t = x saya-1 ; = tq; // = x i untuk ruas kanan = x i+1 untuk ruas kanan; //t = kamu saya-1 ; = tq; 5. Kembali ke langkah Tentukan x = x 0, y = y 0, d = αx + βy. Varian dari masukan algoritma Euclidean yang diperluas. Bilangan bulat a, b;< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,

4 dihitung dengan algoritma, teorema berikut menunjukkan. Teorema 4. Pada setiap iterasi Algoritma 3, persamaan sumbu i + oleh i = r i terpenuhi, untuk i 0. Bukti. Mari kita gunakan metode induksi matematika. Untuk i = 0 dan i = 1, persamaan yang diperlukan terjadi karena langkah 1 Algoritma 3. Mari kita asumsikan bahwa persamaan tersebut benar untuk i 1 dan i. Kemudian pada langkah 3 kita mendapatkan x i+1 = x i 1 x i dan y i+1 = y i 1 y i. Oleh karena itu, ax i+1 + oleh i+1 = a(xi 1 x i) + b(y i 1 y i,) = ax i 1 + oleh i 1 (ax i + oleh i) = r i 1 r i = r i+1 . Contoh. Diketahui a = 1769, b = 551. Dengan menggunakan algoritma Euclidean yang diperluas, carilah bilangan bulat x dan y sehingga d = ax + by, dengan d adalah gcd dari bilangan a dan b. Tahap I dari urutan perhitungan. 1. Tentukan = 1, = 0, = 0, = 1, α = 1769, β = Hasil Bagi q = a/b = 1769/551 = 3, dan sisanya r = 116. a = 551; b = 116; t = =0: = t q = 1 0 = 1 = 0; = tq = 3; nilai antara berikut

5 parameter: a= 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = Karena sisa pembagian r adalah 0, kita kembali ke langkah 2. Tahap II urutan perhitungan. 1. Nilai parameter: a = 551, b = 116, = 0, = 1, = 1, = hasil bagi q = a/b = 551/116 = 4, dan sisanya r = 87. a = 116; b = 87; t = = 0; =1: = tq = = 4 = 3; = tq = 1 (3) 4 = 13; nilai antara parameter berikut: a = 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = Karena sisa pembagian r adalah 0, kita kembali ke langkah 2. Tahap III dari urutan perhitungan . 1. Nilai parameter: a= 116, b = 87, = 1, = 4, = 3, = hasil bagi q = a/b = 116/87 = 1, dan sisanya r = 29.

6a = 87; b = 29; t = = 4: = t q = 1 (4) 1 = 5; = 3; = 13; = tq = 3 (13) 1 = 16; nilai parameter perantara berikut: a = 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = Karena sisa pembagian r adalah 0, kita kembali ke langkah 2. Tahap IV dari urutan perhitungan. 1. Nilai parameter: a= 87, b = 29, = 4, = 5, = 13, = hasil bagi q = a/b = 87/29 = 3, dan sisanya r = 0. a = 87; b = 29; t = = 4; = 5; = 19; = 13; = 16; = tq = 13 (16) 3 = 61; nilai parameter perantara berikut: a = 87, b = 29, = 5, = 19, = 16, = Karena sisa pembagiannya adalah r = 0, kita lakukan langkah 6.

7 6. Kita menghitung GCD menggunakan rumus d = αx + βy, dimana x = x 0 = 5, y = y 0 = 16, α = 1769, β = 551. Substitusikan nilai parameternya, kita peroleh d = αx + βy = = = 29 Algoritma Euclidean yang diperluas juga dapat diimplementasikan dalam bentuk biner. Algoritma 4. Algoritma Euclidean biner yang diperluas. Pintu masuk. Bilangan bulat a, b;< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.

Menyelesaikan persamaan bilangan bulat Persamaan linier. Contoh metode brute force. Kelinci dan burung pegar sedang duduk di dalam sangkar. Mereka memiliki total 8 kaki. Cari tahu berapa banyak keduanya yang ada di dalam kandang. Buat daftar semua solusi. Larutan.

Pelajaran 7 Bilangan d disebut pembagi persekutuan terbesar (PBB) dari bilangan a dan b jika (1) da dan d b, serta (2) untuk semua x dari x a dan x b mengikuti x d. Dalam hal ini kita menulis d = (a, b). Lemma 1. Untuk nomor berapa pun

Subjek. Dasar-dasar teori bilangan dasar dan aplikasinya - Materi teori. Satu set residu modulo, sifat perbandingan. Biarkan bilangan asli lebih besar. Misalkan Z melambangkan himpunan semua kelas

Yugra Fisika dan Matematika Lyceum VP Chuvakov DASAR TEORI ANGKA Catatan Kuliah (0)(mod) (0)(mod) Bilangan asli N, - himpunan bilangan asli yang digunakan untuk berhitung atau enumerasi

Bab 2 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional dan Bilangan Real 2.. Bilangan Bulat Bilangan, 2, 3,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan N, yaitu. N = (,2,3,...). Angka..., 3, 2,0,2,3,...

Pecahan lanjutan Pecahan lanjutan hingga Definisi Suatu persamaan bentuk a 0 + a + a + + am dimana a 0 Z a a m N a m N/() disebut pecahan lanjutan dan m adalah panjang pecahan lanjutan a 0 a m adalah disebut koefisien pecahan lanjutan

KULIAH 1 BEBERAPA UNSUR TEORI ANGKA Panduan ini tidak menguraikan teori bilangan, tetapi memberikan alat minimum dari teori ini yang akan diperlukan di masa depan untuk mempelajari sistem kriptografi yang digunakan

Gorbachev BUKAN Polinomial satu variabel Menyelesaikan persamaan derajat Konsep polinomial Operasi aritmatika pada polinomial Definisi polinomial (polinomial) derajat ke-th terhadap suatu nilai variabel

Pembagian bilangan bulat Bilangan a habis dibagi b (atau b membagi a) jika ada bilangan c sehingga a = bc Dalam hal ini bilangan c disebut hasil bagi a dibagi b Sebutan: a - a habis dibagi oleh b atau ba b membagi

KULIAH 12 PERBANDINGAN MODUL DERAJAT KEDUA DAN HASIL KUADRAT Bentuk umum perbandingan modulo p derajat kedua berbentuk (1) c 0 x 2 + c 1 x + c 2 0 mod p. Menemukan solusi perbandingan (1)

Arah, penyelesaian, jawaban PERSAMAAN INTEGER. Persamaan dengan yang tidak diketahui.. Solusi. Mari kita masukkan ke dalam persamaan. Kita memperoleh persamaan (4a b 4) (a b 8) 0. Persamaan A B 0, dimana A dan B bilangan bulat, terpenuhi,

Polinomial aljabar. 1 Polinomial aljabar berderajat n pada suatu bidang K Definisi 1.1 Polinomial berderajat n, n N (0), pada variabel z pada suatu bidang bilangan K merupakan ekspresi bentuk: fz = a n z n

Kuliah Residu kuadrat dan non-residu Dosen: NU Zolotykh Direkam oleh: E Zamaraeva?? September 00 Daftar Isi Residu kuadrat dan non-residu Simbol Legendre Sifat-sifat simbol Legendre Hukum timbal balik kuadrat

Pondok Pesantren GOU ""Intelektual"" Karya penelitian matematika dengan topik: "Tentang keterwakilan bilangan asli dalam bentuk kombinasi linier dengan koefisien bilangan bulat"

Analisis Matematika Bagian: Integral Tak Tentu Topik: Integrasi Pecahan Rasional Dosen E.G. Pakhomova 0 g 5. Integrasi pecahan rasional DEFINISI. Pecahan rasional disebut

4 Teori Bilangan 4 Bilangan Bulat 7 Definisi Misalkan, b Z Maka bagilah b jika ada bilangan bulat sedemikian sehingga b (dilambangkan dengan b) 73 Teorema (pembagian dengan sisa) Jika, b Z dan b, maka terdapat bilangan bulat

Analisis Matematika Bagian: Integral Tak Tentu Topik: Integrasi Pecahan Rasional Dosen Rozhkova S.V. 0 g 5. Integrasi pecahan rasional DEFINISI. Pecahan rasional disebut

009-00 sekolah tahun. 6, 9 kelas Matematika. Elemen teori bilangan. 4. Perhitungan pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil Mari kita simpan notasi dari bagian tersebut. Untuk bilangan asli n, tulislah n

ALJABAR TERAPAN. Bagian I: Bidang terbatas (bidang Galois). I 1 / 67 Bagian I Bidang terbatas (bidang Galois). SAYA MENERAPKAN ALJABAR. Bagian I: Bidang terbatas (bidang Galois). I 2 / 67 Bidang residu modulo prime

5 Menyelesaikan persamaan bilangan bulat Menyelesaikan persamaan sederhana sekalipun seperti persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui memiliki kekhasan tersendiri jika koefisien persamaan tersebut adalah bilangan bulat, dan diperlukan

Pekerjaan Laboratorium 8 Perhitungan pembagi persekutuan terbesar dua bilangan dengan menggunakan algoritma Euclidean Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk membuat program dengan menggunakan algoritma Euclidean yang dapat menentukan bilangan terbesar a dan b

Bagian 1. Landasan matematika kriptografi 1 Definisi suatu bidang Bidang berhingga GF q (atau bidang Galois) adalah himpunan elemen sembarang berhingga dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang ditentukan di antara elemen-elemen tersebut

Olimpiade Antar Daerah XIX Matematika dan Kriptografi Soal Kelas 11 Penyelesaian Soal 1 Pertama, perhatikan bahwa jika N = pq, dimana p dan q adalah bilangan prima, maka banyaknya bilangan asli lebih kecil dari

Polinomial dan Akarnya 2018 Gushchina Elena Nikolaevna Definisi: Polinomial berderajat n n N adalah sembarang ekspresi dalam bentuk: P & z = a & z & + a &+, z &+, + + a, z + a., di mana sebuah & , sebuah &+, sebuah, sebuah. R,a&

Kuliah 4. STANDAR AES. ALGORITMA RIJNDAEL. Standar AES (Advnced Encrypton Stndrd) adalah standar enkripsi kunci tunggal baru yang menggantikan standar DES. Algoritma Rjndel (Rhein Dal)

Polinomial dan akar-akarnya Definisi: Polinomial berderajat n (n N) adalah sembarang ekspresi dalam bentuk: P n (z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, di mana a n, a n 1, a 1, a 0 R, n koefisien senior, a

1 Algoritma Euclid dan Kompleksitasnya Definisi 1. Pembagi persekutuan bilangan a dan b adalah bilangan c sedemikian rupa sehingga c a dan c b. Definisi 2. Pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b adalah pembagi persekutuannya,

KULIAH 14 Perhitungan komposit modulo akar kuadrat Dari teori di atas dapat disimpulkan bahwa jika =, di mana dan adalah bilangan prima, maka grup Z isomorfik terhadap ruang Z Z. Karena isomorfisme mempertahankan sifat-sifatnya

KULIAH 3 MENGHITUNG MODUL AKAR KOTAK Kasus modulus sederhana Perhatikan perbandingan x a mod p, () dimana bilangan p adalah bilangan prima dan bilangan bulat a tidak habis dibagi p. Menghitung penyelesaian x persamaan ini adalah

Program kolokium matematika diskrit (aliran utama) Di awal kolokium Anda akan menerima tiket yang berisi tiga pertanyaan: pertanyaan tentang pengetahuan definisi, masalah, pertanyaan tentang pengetahuan pembuktian.

Algoritma Shor Yu.Lifshits. 1 Desember 005 Garis Besar Perkuliahan 1. Persiapan (a) Memfaktorkan bilangan (b) Komputasi kuantum (c) Emulasi komputasi klasik. Algoritma Simon (a) Paralelisme kuantum

Dari sejarah matematika Buku pertama yang cukup banyak di mana aritmatika disajikan secara independen dari geometri adalah Pengantar Aritmatika oleh Nicomacheus (Oc. AD). Dalam sejarah aritmatika, perannya sebanding dengan peran

Pengenalan singkat tentang permulaan teori bilangan dasar Denis Kiriyenko Sekolah komputer musim panas, 1 Januari 2009 Pembagian bilangan bulat Misalkan terdapat dua bilangan bulat a dan b, b 0. Hasil bagi bilangan bulat dari pembagian

Topik 1-9: Polinomial. Konstruksi cincin polinomial. Teori keterbagian. Turunan A. Ya.Ovsyannikov Universitas Federal Ural Institut Matematika dan Ilmu Komputer Departemen Aljabar dan Diskrit

Persamaan aljabar dimana Definisi. Persamaan yang berbentuk 0, P() 0, beberapa bilangan real disebut aljabar. 0 0 Dalam hal ini, besaran variabel disebut tidak diketahui, dan angka 0 disebut koefisien

Kuliah 6 Unsur teori bilangan 1 Soal. Lanjutkan deret bilangan 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 Aritmatika Bilangan Bulat Menggunakan bilangan bulat: Z = (, - 2, -1, 0,

Polinomial Polinomial dengan satu variabel x berderajat n adalah ekspresi bentuk, dimana bilangan apa pun disebut koefisien polinomial, dan disebut koefisien terdepan dari polinomial Jika bukan variabel

1 2 Isi. 1. Perkenalan. 4-6 1.1. Abstrak...4 1.2. Soal 4 1.3. Tujuan Pekerjaan 5 1.4. Hipotesis..5 1.5. Subyek penelitian... 5 1.6. Objek studi. 5 1.7. Kebaruan... 5-6 1.8. Metode penelitian...6

8.3, 8.4.2 kelas, Matematika (buku teks Makarychev) tahun ajaran 2018-2019 Topik modulnya adalah “Bilangan Bulat. Pembagian angka. Gelar dengan indikator bilangan bulat” Tes ini menguji bagian teoritis dan praktis. TOPIK Tahu

Kuliah INTEGRASI FRAKSI RASIONAL Pecahan rasional Integrasi pecahan rasional sederhana Penguraian pecahan rasional menjadi pecahan sederhana Integrasi pecahan rasional Rasional

Www.cryptolymp.ru XIX Olimpiade Antar Daerah untuk anak sekolah matematika dan kriptografi (kelas 11) Penyelesaian soal 1 Pertama, perhatikan jika N pq, dimana p dan q adalah bilangan prima, maka bilangan tersebut adalah bilangan asli,

Bab Integer Teori Pembagian Bilangan bulat adalah bilangan -3, -, -, 0, 3, bilangan asli tersebut, 3, 4, serta bilangan nol dan negatif -, -, -3, -4. Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan

Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia Universitas Ekonomi Negeri Ural Yu B. Melnikov Polinomial Bagian dari buku teks elektronik untuk menemani kuliah Ed. 4, putaran. dan tambahan surel: [dilindungi email],

(contoh sistem trigonometri deret trigonometri - pemuaian pada interval [ -l; l ] untuk fungsi periode sembarang - pemuaian deret tidak lengkap dalam sinus dan cosinus kelanjutan genap dan ganjil)

Ilmu Komputer Teoritis II Kuliah 5. Algoritma bilangan bulat: algoritma Euclidean yang diperluas, invers modulo, eksponensial modulo. Kriptografi kunci publik, protokol RSA. Probabilistik

5. Kode Bose-Chaudhuri-Hocquenghem Sifat koreksi kode siklik dapat ditentukan berdasarkan dua teorema. Teorema 1. Untuk sembarang m dan t terdapat kode siklik dengan panjang n = 2 m 1, dengan multiplisitas

ARITMETIK MODULAR Dalam beberapa aplikasi akan lebih mudah untuk melakukan operasi aritmatika pada bilangan bulat yang ditentukan dalam apa yang disebut notasi modular. Representasi ini mengasumsikan bahwa bilangan bulat

PENGGUNAAN MATEMATIKA 00 Koryanov A.G. Tugas Dari Bryansk Silakan kirim komentar dan saran ke: [dilindungi email] PERSAMAAN DAN KETIMPANGAN ANGKA BURUH (mulai dari soal pendidikan sampai soal olimpiade) Linier

2.22. Keluarkan faktor persekutuannya (n adalah bilangan asli): 1) x n + 3 + x n ; 3) z 3n - z n ; 2) yn + 2 - yn - 2, n > 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Setiap nomor ditugaskan

KULIAH 15 ANGKA PRIME Bilangan asli p yang lebih besar dari satu disebut bilangan prima jika hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri. Teorema (Euklid). Himpunan bilangan prima tidak terhingga. Mari kita nyatakan dengan π(x)

Topik 3. Unsur-unsur teori bilangan aljabar dan analitik Materi teori 1. Pecahan lanjutan. Pecahan lanjutan terakhir adalah persamaan a +, (1) dengan a adalah bilangan bulat, a, i > 0, bilangan asli,

Http://vk.ucoz.et/ Operasi pada polinomial k a k Polinomial (polinomial) berderajat k merupakan fungsi dari bentuk a, dimana variabel a adalah koefisien numerik (=,.k), dan. Angka apa pun yang bukan nol dapat dipertimbangkan

Universitas Pedagogis Negeri Penza dinamai V. G. Belinsky M. V. Glebova V. F. Timerbulatova PELAJARAN PRAKTIS DALAM ALJABAR POLINOMI Manual pendidikan dan metodologi Penza Diterbitkan oleh

PEMBAGIAN BILANGAN BULAT BULAT DENGAN SISA Misalkan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Jika m > n dan m tidak habis dibagi n, maka m dapat dibagi dengan n dengan sisa. Definisi 3 Untuk sembarang bilangan bulat m dan sembarang

Avdoshin S.M., Savelyeva A.A. Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linear pada ring residu Algoritma yang efektif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear pada ring residu telah dikembangkan, dengan kompleksitas yang setara

ALJABAR TERAPAN. Bagian I: Bidang hingga (bidang Galois) I 1 / 88 Bagian I Bidang hingga (bidang Galois) I MENERAPKAN ALJABAR. Bagian I: Bidang terbatas (bidang Galois) I 2 / 88 Bidang residu modulo bilangan prima

5 Struktur aljabar 6 Definisi Operasi biner pada himpunan S adalah pemetaan dari S S ke S Yaitu, aturan yang menetapkan setiap pasangan elemen terurut dari S suatu nilai tertentu

/E Elemen teori bilangan dan. rochev Agustus 28, 2018 Daftar isi Daftar isi i 1 Bilangan Bulat 1 1.1 Pendahuluan Soal................................ ... ..... 1 1.2 Pembagi persekutuan terbesar..................................

Bab Bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real. Pembagian dengan sisa. Bagilah setiap bilangan ±23, ±4 dengan sisanya masing-masing bilangan ±5. 2. Temukan semua faktor positif dari bilangan 42. 3. Sekarang jam 3 sore.

Persamaan diferensial kuliah 4 Persamaan diferensial total. Faktor pengintegrasian Dosen Anna Igorevna Sherstneva 9. Persamaan diferensial total Persamaan d + d = 14 disebut persamaan

Subjek. Dasar-dasar teori bilangan dasar dan aplikasinya. Akar primitif, indeks. Materi teori Misalkan a, m adalah bilangan koprima natural, dan m, maka menurut teorema Euler, a m)

Departemen Matematika dan Ilmu Komputer Elemen Pendidikan Matematika Tinggi dan Kompleks metodologi untuk siswa pendidikan kejuruan menengah yang belajar menggunakan teknologi jarak jauh Modul Teori Batas Disusun oleh: Associate Professor

Bagian 2. Metode teori numerik dalam kriptografi Tugas kerja mandiri Mempelajari algoritma yang banyak digunakan dalam kriptografi. Elemen teori bilangan: algoritma Euclidean yang diperluas;

Rencana tematik disusun berdasarkan materi program tahun ajaran 206-207 menurut buku teks “Aljabar 8”, ed. A.G. Mordkovich, dengan mempertimbangkan konten minimum wajib yang direkomendasikan dari Topik pendidikan

Kuliah 2. Sifat-sifat koefisien binomial. Perhitungan jumlah dan metode pembangkitan fungsi (kasus akhir). Koefisien polinomial. Perkiraan koefisien binomial dan polinomial. Perkiraan jumlah

Algoritma Euclid

Pembagi persekutuan terbesar

Pertimbangkan masalah berikut: Anda perlu menulis sebuah program untuk menentukan pembagi persekutuan terbesar (PBT) dari dua bilangan asli.

Mari kita ingat matematika. Pembagi persekutuan terbesar dua bilangan asli adalah bilangan asli terbesar yang dapat membagi bilangan tersebut secara merata. Misalnya bilangan 12 dan 18 mempunyai faktor persekutuan: 2, 3, 6. Faktor persekutuan terbesar adalah bilangan 6. Penulisannya seperti ini:

KPK(12, 18) = 6.

Mari kita nyatakan data awal sebagai M u N. Rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:
Diberikan: M N
Menemukan: KPK(M,N).

Dalam hal ini, tidak diperlukan formalisasi matematika tambahan. Rumusan masalahnya sendiri bersifat matematis formal. Belum ada rumus untuk menghitung GCD(M,N) dari nilai M dan N. Namun dahulu kala, jauh sebelum munculnya komputer, telah dikenal metode algoritmik untuk menyelesaikan masalah ini. Ini disebut Algoritma Euclidean .

Ide dari algoritma Euclidean

Ide algoritma ini didasarkan pada sifat jika M>N, maka

KPK(M, N) = KPK(M - N, N).

Dengan kata lain, gcd dua bilangan asli sama dengan gcd selisih positifnya (modulus selisihnya) dan bilangan yang lebih kecil.

Sangat mudah untuk membuktikan properti ini. Misalkan K adalah pembagi persekutuan dari M u N (M> N). Artinya M = mK, N = nK, dimana m, n adalah bilangan asli, dan m > n. Maka M - N = K(m - n), artinya K adalah pembagi bilangan M - N. Artinya semua pembagi persekutuan bilangan M dan N adalah pembagi selisihnya M - N, termasuk yang terbesar pembagi persekutuan.

Properti jelas kedua:

KPK(M, M) = M.

Untuk penghitungan "manual", algoritma Euclidean terlihat seperti ini:

1) jika angkanya sama, ambil salah satu dari angka tersebut sebagai jawabannya, jika tidak, lanjutkan menjalankan algoritme;

2) mengganti bilangan yang lebih besar dengan selisih antara bilangan yang lebih besar dan lebih kecil;

3) kembali ke langkah 1.

Mari kita pertimbangkan algoritma ini menggunakan contoh M=32, N=24:

Struktur algoritmanya adalah perulangan sementara dengan percabangan bersarang. Siklus tersebut diulangi hingga nilai M dan N sama satu sama lain. Dalam percabangan, nilai yang lebih besar dari kedua nilai tersebut digantikan oleh selisihnya.

Sekarang lihat tabel penelusuran algoritma untuk nilai awal M = 32, N = 24.

Pada akhirnya, hasilnya benar.

Program dalam AY dan Pascal

Mari kita tulis algoritmanya dalam AY dan programnya dalam Pascal.

Pertanyaan dan tugas

1. Jalankan program Evklid di komputer Anda. Ujilah pada nilai M = 32, N = 24; M = 696, N = 234.

2. Tulislah program untuk mencari pembagi persekutuan terbesar dari tiga bilangan dengan menggunakan rumus berikut:

KPK(A, B, C) = KPK(PBB(A, B), C).

3. Tulislah program untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan dengan menggunakan rumus:

A × B = KPK(A, B) × KPK(A, B).