Sifat-sifat fungsi pangkat dan grafiknya

Fungsi pangkat dengan eksponen sama dengan nol, p = 0

Jika eksponen fungsi pangkat y = x p sama dengan nol, p = 0, maka fungsi pangkat terdefinisi untuk semua x ≠ 0 dan merupakan konstanta yang sama dengan satu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Fungsi pangkat dengan eksponen ganjil alami, p = n = 1, 3, 5, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen ganjil natural n = 1, 3, 5, .... Eksponen ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k + 1, dimana k = 0, 1, 2 , 3, ... – keseluruhannya tidak negatif. Di bawah ini adalah sifat-sifat dan grafik fungsi-fungsi tersebut.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen ganjil alami untuk berbagai nilai eksponen n = 1, 3, 5, ....

Domain: –∞< x < ∞

Beberapa nilai: –∞< y < ∞

Ekstrem: tidak

Cembung:

di –∞< x < 0 выпукла вверх

pada 0< x < ∞ выпукла вниз

Titik belok: x = 0, y = 0

Nilai-nilai pribadi:

pada x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m+1 = –1

pada x = 0, y(0) = 0 n = 0

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen genap alami, p = n = 2, 4, 6, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen genap natural n = 2, 4, 6, .... Eksponen ini juga dapat ditulis dalam bentuk: n = 2k, dimana k = 1, 2, 3, . .. - alami . Properti dan grafik fungsi tersebut diberikan di bawah ini.

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen genap natural untuk berbagai nilai eksponen n = 2, 4, 6, ....

Domain: –∞< x < ∞

Beberapa nilai: 0 ≤ y< ∞

Nada datar:

di x< 0 монотонно убывает

untuk x > 0 meningkat secara monoton

Ekstrem: minimum, x = 0, y = 0

Cembung: cembung ke bawah

Titik belok: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0
Nilai-nilai pribadi:

pada x = –1, y(–1) = (–1) n ≡ (–1) 2m = 1

pada x = 0, y(0) = 0 n = 0

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, p = n = -1, -2, -3, ...

Perhatikan fungsi pangkat y = x p = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif n = -1, -2, -3, .... Jika kita menetapkan n = –k, di mana k = 1, 2, 3, ... adalah bilangan asli, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Grafik fungsi pangkat y = x n dengan eksponen bilangan bulat negatif untuk berbagai nilai eksponen n = -1, -2, -3, ....

Eksponen ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Di bawah ini sifat-sifat fungsi y = x n dengan pangkat ganjil negatif n = -1, -3, -5, ....

Rentang definisi: x ≠ 0

Beberapa nilai: y ≠ 0

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вверх

untuk x > 0: cembung ke bawah

Titik belok: tidak

Tanda: di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai-nilai pribadi:

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Eksponen genap, n = -2, -4, -6, ...

Di bawah ini adalah sifat-sifat fungsi y = x n dengan eksponen genap negatif n = -2, -4, -6, ....

Rentang definisi: x ≠ 0

Beberapa nilai: y > 0

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно возрастает

untuk x > 0: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung: cembung ke bawah

Titik belok: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat : no

Tanda: y > 0

Nilai-nilai pribadi:

pada x = –1, y(–1) = (–1) n = 1

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional (fraksional).

Perhatikan fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional (fraksional), dimana n adalah bilangan bulat, m > 1 adalah bilangan asli. Selain itu, n, m tidak memiliki pembagi persekutuan.

Penyebut eksponen pecahannya ganjil

Misalkan penyebut eksponen pecahannya ganjil: m = 3, 5, 7, ... . Dalam hal ini, fungsi pangkat x p didefinisikan untuk nilai argumen positif dan negatif. Mari kita perhatikan sifat-sifat fungsi pangkat tersebut ketika eksponen p berada dalam batas tertentu.

Nilai p negatif, p< 0

Misalkan eksponen rasional (dengan penyebut ganjil m = 3, 5, 7, ...) kurang dari nol: .

Grafik fungsi daya dengan eksponen negatif rasional untuk berbagai nilai eksponen, dimana m = 3, 5, 7, ... ganjil.

Pembilang ganjil, n = -1, -3, -5, ...

Kita sajikan sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen negatif rasional, dimana n = -1, -3, -5, ... adalah bilangan bulat negatif ganjil, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat bilangan bulat alami ganjil.

Rentang definisi: x ≠ 0

Beberapa nilai: y ≠ 0

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Monotonisitas: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вверх

untuk x > 0: cembung ke bawah

Titik belok: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat : no

di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai-nilai pribadi:

pada x = –1, y(–1) = (–1) n = –1

untuk x = 1, y(1) = 1 n = 1

Pembilang genap, n = -2, -4, -6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional negatif, dimana n = -2, -4, -6, ... adalah bilangan bulat negatif genap, m = 3, 5, 7 ... adalah bilangan bulat ganjil .

Rentang definisi: x ≠ 0

Beberapa nilai: y > 0

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно возрастает

untuk x > 0: menurun secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung: cembung ke bawah

Titik belok: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat : no

Tanda: y > 0

Nilai p positif, kurang dari satu, 0< p < 1

Grafik fungsi daya dengan eksponen rasional (0< p < 1) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pembilang ganjil, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1, где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: –∞< x < +∞

Beberapa nilai: –∞< y < +∞

Paritas: ganjil, y(–x) = – y(x)

Monotonisitas: meningkat secara monoton

Ekstrem: tidak

Cembung:

di x< 0: выпукла вниз

untuk x > 0: cembung ke atas

Titik belok: x = 0, y = 0

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0

di x< 0, y < 0

untuk x > 0, y > 0

Nilai-nilai pribadi:

pada x = –1, y(–1) = –1

pada x = 0, y(0) = 0

untuk x = 1, y(1) = 1

Pembilang genap, n = 2, 4, 6, ...

Sifat-sifat fungsi pangkat y = x p dengan eksponen rasional dalam 0 disajikan< p < 1, где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: –∞< x < +∞

Beberapa nilai: 0 ≤ y< +∞

Paritas: genap, y(–x) = y(x)

Nada datar:

di x< 0: монотонно убывает

untuk x > 0: meningkat secara monoton

Ekstrem: minimum di x = 0, y = 0

Konveksitas: cembung ke atas pada x ≠ 0

Titik belok: tidak

Titik potong dengan sumbu koordinat: x = 0, y = 0

Tanda: untuk x ≠ 0, y > 0

Fungsi pangkat disebut fungsi dengan bentuk y=x n (dibaca karena y sama dengan x pangkat n), dengan n adalah suatu bilangan tertentu. Kasus khusus fungsi pangkat adalah fungsi berbentuk y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x dan masih banyak lainnya. Mari beri tahu Anda lebih banyak tentang masing-masingnya.

Fungsi linier y=x 1 (y=x)

Grafiknya berupa garis lurus yang melalui titik (0;0) dengan sudut 45 derajat terhadap arah positif sumbu Ox.

Grafiknya disajikan di bawah ini.

Sifat dasar fungsi linier:

• Fungsinya meningkat dan terdefinisi pada seluruh garis bilangan.
• Itu tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.

Fungsi kuadrat y=x 2

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola.

Sifat dasar fungsi kuadrat:

• 1. Pada x =0, y=0, dan y>0 pada x0
• 2. Fungsi kuadrat mencapai nilai minimumnya pada titik puncaknya. Ymin di x=0; Perlu diperhatikan juga bahwa fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimal.
• 3. Fungsinya berkurang pada interval (-∞;0] dan bertambah pada interval)