Teori probabilitas pada Unified State Examination dalam matematika dapat disajikan baik dalam bentuk tugas-tugas sederhana pada definisi klasik probabilitas, maupun dalam bentuk tugas-tugas yang cukup kompleks pada penerapan teorema-teorema yang sesuai.

Pada bagian ini, kita akan membahas masalah-masalah yang cukup menggunakan definisi probabilitas. Terkadang di sini kita juga akan menggunakan rumus untuk menghitung peluang kejadian sebaliknya. Meskipun Anda dapat melakukannya tanpa rumus ini di sini, Anda tetap memerlukannya saat menyelesaikan soal berikut.

Bagian teoretis

Acak adalah suatu peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi (tidak mungkin diperkirakan sebelumnya) selama suatu observasi atau tes.

Misalkan terdapat kemungkinan hasil yang sama ketika melakukan suatu tes (melempar koin atau dadu, mengambil kartu ujian, dan lain-lain). Misalnya, ketika melempar koin, jumlah semua hasil adalah 2, karena tidak ada hasil lain selain kepala atau ekor. Pada pelemparan sebuah dadu, terdapat 6 hasil yang mungkin terjadi, karena angka berapapun dari 1 sampai 6 mempunyai peluang yang sama untuk muncul pada permukaan atas dadu. Misalkan juga suatu kejadian A disukai oleh hasil tersebut.

Probabilitas suatu kejadian A adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah total kemungkinan hasil yang sama (ini adalah definisi klasik tentang probabilitas). Kami menulis

Misalnya, kejadian A terdiri dari perolehan poin ganjil saat melempar sebuah dadu. Ada total 6 kemungkinan hasil: muncul 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada permukaan atas kubus. Dalam hal ini, hasil dengan munculnya 1, 3, 5 menguntungkan kejadian A. Jadi, .

Perhatikan bahwa pertidaksamaan ganda selalu terpenuhi, oleh karena itu peluang terjadinya suatu kejadian A terletak pada interval, yaitu . Jika jawaban Anda memiliki probabilitas lebih besar dari satu, berarti Anda melakukan kesalahan di suatu tempat dan solusinya perlu diperiksa ulang.

Peristiwa A dan B disebut di depan satu sama lain jika ada hasil yang menguntungkan salah satu dari mereka.

Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, kejadian “pelemparan angka ganjil” adalah kebalikan dari kejadian “pelemparan angka genap”.

Peristiwa yang berlawanan dengan peristiwa A ditetapkan. Dari definisi peristiwa yang berlawanan berikut ini
, Cara,
.

Masalah dalam memilih objek dari suatu himpunan

Tugas 1. Ada 24 tim yang berpartisipasi dalam Kejuaraan Dunia. Dengan menggunakan undian, mereka perlu dibagi menjadi empat grup yang masing-masing terdiri dari enam tim. Terdapat kartu-kartu yang nomor kelompoknya tercampur di dalam kotak:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Kapten tim masing-masing mengambil satu kartu. Berapa peluang tim Rusia berada di grup ketiga?

Jumlah hasil sama dengan jumlah kartu - ada 24. Ada 6 hasil yang menguntungkan (karena angka 3 tertulis pada enam kartu). Probabilitas yang dibutuhkan sama dengan .

Jawaban: 0,25.

Tugas 2. Ada 14 bola merah, 9 kuning, dan 7 bola hijau dalam sebuah guci. Satu bola diambil secara acak dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna kuning?

Jumlah total hasil sama dengan jumlah bola: 14 + 9 + 7 = 30. Banyaknya hasil yang menguntungkan untuk kejadian ini adalah 9. Peluang yang diperlukan sama dengan .

Tugas 3. Terdapat 10 angka pada keypad ponsel, dari 0 sampai 9. Berapakah peluang terambilnya angka genap yang ditekan secara acak dan lebih besar dari 5?

Hasil di sini adalah menekan tombol tertentu, jadi ada total 10 kemungkinan hasil yang sama. Peristiwa tertentu disukai oleh hasil yang berarti menekan tombol 6 atau 8. Ada dua hasil seperti itu. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,2.

Masalah 4. Berapa peluang suatu bilangan asli yang dipilih secara acak dari 4 sampai 23 habis dibagi tiga?

Pada ruas 4 sampai 23 terdapat 23 – 4 + 1 = 20 bilangan asli, artinya ada total 20 kemungkinan hasil. Pada ruas ini terdapat bilangan-bilangan berikut yang merupakan kelipatan tiga: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Jumlah bilangan tersebut ada 6, sehingga kejadian yang dimaksud disukai oleh 6 hasil. Probabilitas yang dibutuhkan sama dengan .

Jawaban: 0,3.

Tugas 5. Dari 20 tiket yang ditawarkan dalam ujian, siswa tersebut hanya dapat menjawab 17. Berapa peluang siswa tersebut tidak dapat menjawab tiket yang dipilih secara acak?

metode pertama.

Karena seorang siswa dapat menjawab 17 tiket, maka dia tidak dapat menjawab 3 tiket. Peluang mendapatkan salah satu tiket ini menurut definisi sama dengan .

metode ke-2.

Mari kita nyatakan dengan A kejadian “siswa dapat menjawab tiket”. Kemudian . Peluang kejadian sebaliknya adalah =1 – 0,85 = 0,15.

Jawaban: 0,15.

Masalah 6. Kejuaraan senam ritmik diikuti 20 atlet: 6 dari Rusia, 5 dari Jerman, sisanya dari Prancis. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian. Tentukan peluang bahwa atlet yang bertanding pada posisi ketujuh berasal dari Perancis.

Total ada 20 atlet, semuanya punya peluang sama untuk bertanding di peringkat ketujuh. Oleh karena itu, ada 20 kemungkinan hasil yang sama. Ada 20 – 6 – 5 = 9 atlet dari Perancis, jadi ada 9 hasil yang menguntungkan untuk event tertentu. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,45.

Tugas 7. Konferensi ilmiah ini diadakan selama 5 hari. Sebanyak 50 laporan direncanakan - tiga hari pertama masing-masing 12 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian. Berapa kemungkinan laporan Profesor N. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?

Pertama, cari tahu berapa banyak laporan yang dijadwalkan untuk hari terakhir. Presentasi dijadwalkan untuk tiga hari pertama. Masih ada 50 – 36 = 14 laporan tersisa yang dibagikan rata pada dua hari tersisa, jadi ada laporan yang dijadwalkan pada hari terakhir.

Kita akan menganggap hasilnya sebagai nomor seri laporan Profesor N. Ada 50 kemungkinan hasil yang sama. Ada 7 hasil yang mendukung kejadian tertentu (7 angka terakhir dalam daftar laporan). Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,14.

Masalah 8. Terdapat 10 kursi di dalam pesawat di sebelah pintu keluar darurat dan 15 kursi di belakang sekat pemisah kabin. Kursi yang tersisa tidak nyaman untuk penumpang bertubuh tinggi. Penumpang K. tinggi. Tentukan peluang bahwa pada saat check-in, jika suatu tempat duduk dipilih secara acak, penumpang K akan memperoleh tempat duduk yang nyaman jika terdapat 200 tempat duduk di dalam pesawat.

Hasil dari tugas ini adalah pemilihan lokasi. Ada total 200 kemungkinan hasil yang sama. Peristiwa “tempat yang dipilih nyaman” disukai dengan 15 + 10 = 25 hasil. Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,125.

Masalah 9. Dari 1000 mesin penggiling kopi yang dirakit di pabrik, 7 diantaranya rusak. Seorang ahli menguji satu penggiling kopi yang dipilih secara acak dari 1000 penggiling tersebut. Tentukan peluang bahwa penggiling kopi yang diuji tersebut rusak.

Saat memilih penggiling kopi secara acak, 1000 hasil mungkin terjadi; untuk kejadian A “penggiling kopi yang dipilih rusak”, 7 hasil menguntungkan. Menurut definisi probabilitas.

Jawaban: 0,007.

Masalah 10. Pabrik ini memproduksi lemari es. Rata-rata, untuk setiap 100 lemari es berkualitas tinggi, terdapat 15 lemari es dengan cacat tersembunyi. Temukan kemungkinan bahwa lemari es yang dibeli berkualitas tinggi. Bulatkan hasilnya menjadi seperseratus.

Tugas ini mirip dengan yang sebelumnya. Namun rumusan “untuk 100 lemari es berkualitas tinggi, ada 15 yang cacat” menunjukkan kepada kita bahwa 15 buah cacat tidak termasuk dalam 100 buah berkualitas. Oleh karena itu, jumlah total hasil adalah 100 + 15 = 115 (sama dengan jumlah total lemari es), terdapat 100 hasil yang menguntungkan. Probabilitas yang diperlukan adalah sama dengan . Untuk menghitung perkiraan nilai pecahan, akan lebih mudah menggunakan pembagian sudut. Kita mendapatkan 0,869... yaitu 0,87.

Jawaban: 0,87.

Masalah 11. Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan tenis, peserta dibagi secara acak menjadi pasangan-pasangan dengan menggunakan undian. Total ada 16 petenis yang mengikuti kejuaraan tersebut, termasuk 7 peserta dari Rusia, termasuk Maxim Zaitsev. Temukan peluang bahwa pada putaran pertama Maxim Zaitsev akan bermain dengan pemain tenis mana pun dari Rusia.

Seperti pada tugas sebelumnya, Anda perlu membaca kondisi dengan cermat dan memahami apa yang merupakan hasil dan apa yang merupakan hasil yang menguntungkan (misalnya, penerapan rumus probabilitas yang tidak bijaksana akan menghasilkan jawaban yang salah).

Di sini hasilnya adalah lawan dari Maxim Zaitsev. Karena total ada 16 pemain tenis, dan Maxim tidak bisa bermain melawan dirinya sendiri, maka ada 16 – 1 = 15 kemungkinan hasil yang sama. Hasil yang menguntungkan adalah lawan dari Rusia. Ada 7 – 1 = 6 hasil yang menguntungkan (kami mengecualikan Maxim sendiri dari jumlah orang Rusia). Probabilitas yang diperlukan sama dengan .

Jawaban: 0,4.

Masalah 12. Bagian sepak bola dihadiri oleh 33 orang, di antaranya dua bersaudara - Anton dan Dmitry. Mereka yang menghadiri bagian tersebut dibagi secara acak menjadi tiga tim yang masing-masing beranggotakan 11 orang. Temukan kemungkinan Anton dan Dmitry berada di tim yang sama.

Kami akan membentuk tim, secara berurutan menempatkan pemain di kursi kosong, dimulai dari Anton dan Dmitry. Pertama, mari kita tempatkan Anton di tempat yang dipilih secara acak dari 33 yang gratis. Sekarang kita tempatkan Dmitry di tempat yang bebas (kami akan mempertimbangkan pilihan tempat untuknya sebagai hasilnya). Ada total 32 tempat gratis (Anton sudah mengambil satu), jadi total ada 32 kemungkinan hasil. Ada 10 tempat kosong tersisa di tim yang sama dengan Anton, sehingga acara “Anton dan Dmitry di tim yang sama” diunggulkan dengan 10 hasil. Peluang kejadian ini adalah .

Jawaban: 0,3125.

Masalah 13. Sebuah jam tangan mekanis dengan putaran dua belas jam rusak di beberapa titik dan berhenti bekerja. Tentukan peluang jarum penunjuk jam terhenti, mencapai pukul 11, tetapi tidak mencapai pukul 2.

Secara konvensional, dial dapat dibagi menjadi 12 sektor, terletak di antara tanda angka yang berdekatan (antara 12 dan 1, 1 dan 2, 2 dan 3, ..., 11 dan 12). Kami akan menganggap hasilnya sebagai perhentian jarum jam di salah satu sektor yang ditunjukkan. Ada total 12 kemungkinan hasil yang sama. Acara ini disukai oleh tiga hasil (sektor antara 11 dan 12, 12 dan 1, 1 dan 2). Probabilitas yang dibutuhkan sama dengan .

Jawaban: 0,25.

Meringkaskan

Setelah mempelajari materi pemecahan masalah sederhana dalam teori probabilitas, saya sarankan menyelesaikan tugas penyelesaian mandiri yang kami publikasikan saluran Telegram kami. Anda juga dapat memeriksa apakah sudah diisi dengan benar dengan memasukkan jawaban pada formulir yang tersedia.

Terima kasih telah berbagi artikel di jejaring sosial.

Sumber “Persiapan Ujian Negara Bersatu. Matematika.Teori Probabilitas.” Diedit oleh F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova

Rencanakan lokakarya untuk guru matematika di lembaga pendidikan kota Tula dengan topik “Menyelesaikan tugas-tugas USE dalam matematika dari bagian: kombinatorika, teori probabilitas. Metodologi Pengajaran"

Menghabiskan waktu: 12 00 ; 15 00

Lokasi: MBOU "Lyceum No. 1", kantor. Nomor 8

SAYA. Memecahkan masalah probabilitas

1. Memecahkan masalah yang melibatkan penentuan probabilitas klasik

Kita sebagai guru sudah mengetahui bahwa jenis-jenis soal utama dalam Unified State Examination dalam teori probabilitas didasarkan pada definisi klasik tentang probabilitas. Mari kita ingat apa yang disebut peluang suatu kejadian?

Kemungkinan kejadian tersebut adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan suatu peristiwa tertentu dengan jumlah total hasil.

Asosiasi ilmiah dan metodologis guru matematika kami telah mengembangkan skema umum untuk memecahkan masalah probabilitas. Saya ingin menyampaikannya kepada Anda. Ngomong-ngomong, kami berbagi pengalaman kerja kami, dan dalam materi yang kami berikan kepada Anda untuk diskusi bersama tentang pemecahan masalah, kami memberikan diagram ini. Namun, saya ingin menyuarakannya.

Menurut pendapat kami, skema ini membantu dengan cepat menyortir segala sesuatunya secara logis, dan setelah itu masalahnya dapat diselesaikan dengan lebih mudah baik bagi guru maupun siswa.

Jadi, saya ingin menganalisis secara detail tugas berikut.

Saya ingin berbicara dengan Anda bersama untuk menjelaskan metodologi, bagaimana menyampaikan solusi seperti itu kepada anak-anak, di mana anak-anak akan memahami masalah khas ini, dan selanjutnya mereka akan memahami masalah ini sendiri.

Apa yang dimaksud dengan eksperimen acak dalam soal ini? Sekarang kita perlu mengisolasi peristiwa dasar dalam percobaan ini. Apa acara dasar ini? Mari kita daftarkan mereka.

Pertanyaan tentang tugas tersebut?

Rekan-rekan yang terhormat, Anda juga jelas telah mempertimbangkan masalah probabilitas dengan dadu. Saya kira kita perlu menganalisisnya, karena memiliki nuansa tersendiri. Mari kita analisa masalah ini sesuai dengan skema yang kami usulkan kepada Anda. Karena pada setiap sisi kubus terdapat bilangan 1 sampai 6, maka kejadian elementernya adalah bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6. Diketahui jumlah kejadian elementer adalah 6. Mari kita tentukan peristiwa dasar mana yang mendukung peristiwa tersebut. Hanya dua event yang mendukung event ini - 5 dan 6 (karena mengikuti ketentuan bahwa 5 dan 6 poin harus keluar).

Jelaskan bahwa semua kejadian dasar mempunyai kemungkinan yang sama. Pertanyaan apa yang akan muncul mengenai tugas tersebut?

Bagaimana cara mengetahui bahwa sebuah koin itu simetris? Mari kita luruskan, terkadang frasa tertentu menyebabkan kesalahpahaman. Mari kita pahami masalah ini secara konseptual. Mari kita cari tahu bersama Anda dalam eksperimen yang menjelaskan apa saja hasil dasar yang bisa dihasilkan. Apakah Anda semua tahu di mana kepala dan di mana ekor? Apa saja pilihan dropout yang mungkin ada? Apakah ada acara lainnya? Berapa jumlah total kejadiannya? Berdasarkan soal, diketahui bahwa kepala muncul tepat satu kali. Artinya acara iniperistiwa dasar dari keempat OR dan RO ini menguntungkan; hal ini tidak dapat terjadi dua kali. Kami menggunakan rumus yang menghitung probabilitas suatu peristiwa. Sebagai pengingat, jawaban di Bagian B harus berupa bilangan bulat atau desimal.

Kami menunjukkannya di papan interaktif. Kami membaca masalahnya. Apa hasil mendasar dari pengalaman ini? Klarifikasi bahwa pasangan tersebut berurutan - yaitu, angkanya jatuh pada dadu pertama dan pada dadu kedua. Dalam setiap masalah ada saatnya Anda perlu memilih metode rasional, bentuk dan menyajikan solusinya dalam bentuk tabel, diagram, dll. Dalam soal ini akan lebih mudah untuk menggunakan tabel seperti itu. Saya memberikan solusi yang sudah jadi, namun pada saat penyelesaian ternyata dalam soal ini rasional menggunakan solusi dalam bentuk tabel. Kami menjelaskan apa arti tabel tersebut. Anda dapat memahami mengapa kolomnya bertuliskan 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mari kita menggambar sebuah persegi. Garis-garis tersebut sesuai dengan hasil lemparan pertama - ada enam, karena dadu memiliki enam sisi. Begitu juga dengan kolomnya. Di setiap sel kami menulis jumlah poin yang diambil. Kami menunjukkan tabel yang sudah selesai. Mari kita mewarnai sel yang jumlahnya sama dengan delapan (karena ini diperlukan dalam kondisi).

Saya percaya bahwa masalah selanjutnya, setelah menganalisis masalah-masalah sebelumnya, dapat diberikan kepada anak-anak untuk diselesaikan sendiri.

Dalam soal-soal berikut, tidak perlu menuliskan semua hasil dasar. Cukup dengan menghitung jumlahnya saja.

(Tidak ada solusi) Saya memberikan masalah ini kepada teman-teman untuk diselesaikan sendiri. Algoritma untuk memecahkan masalah

1. Tentukan apa yang dimaksud dengan percobaan acak dan apa yang dimaksud dengan kejadian acak.

2. Tentukan banyaknya kejadian dasar.

3. Temukan banyaknya kejadian yang mendukung kejadian yang ditentukan dalam rumusan masalah.

4. Carilah peluang suatu kejadian dengan menggunakan rumus.

Siswa dapat ditanyai pertanyaan: jika 1000 baterai mulai dijual, dan 6 diantaranya rusak, maka baterai yang dipilih ditentukan oleh bagaimana? Apa tugas kita? Selanjutnya saya mengajukan pertanyaan untuk menemukan apa yang digunakan sebagai angka di sinidan saya sarankan Anda menemukannyanomor. Selanjutnya saya bertanya, ada acara apa disini? Berapa banyak akumulator yang berkontribusi pada acara tersebut? Selanjutnya, dengan menggunakan rumus, kami menghitung probabilitas ini.

Di sini teman-teman bisa ditawari solusi kedua. Mari kita bahas apa saja metode ini?

1. Peristiwa apa yang dapat kita pertimbangkan sekarang?

2. Bagaimana cara mencari peluang suatu kejadian?

Para pria perlu diberi tahu tentang formula ini. Mereka adalah sebagai berikut

Soal kedelapan bisa ditawarkan sendiri kepada anak, karena mirip dengan soal keenam. Hal ini dapat ditawarkan kepada mereka sebagai pekerjaan mandiri, atau pada kartu di dewan.

Permasalahan tersebut dapat diatasi sehubungan dengan olimpiade yang sedang berlangsung. Terlepas dari kenyataan bahwa berbagai peristiwa terlibat dalam tugas-tugas tersebut, tugas-tugas tersebut bersifat tipikal.

2. Aturan dan rumus paling sederhana untuk menghitung probabilitas (kejadian berlawanan, jumlah kejadian, hasil kali kejadian)

Ini adalah tugas dari kumpulan Ujian Negara Bersatu. Kami menampilkan solusinya di papan tulis. Pertanyaan apa yang harus kita ajukan kepada siswa untuk memahami masalah ini?

1. Berapa jumlah mesin yang ada? Jika ada dua mesin, maka sudah ada dua kejadian. Saya mengajukan pertanyaan kepada anak-anak - seperti apa acaranya?? Apa yang akan menjadi acara kedua?

2. adalah probabilitas suatu kejadian. Kita tidak perlu menghitungnya, karena sudah diberikan dalam kondisi. Berdasarkan kondisi permasalahan, peluang “kopi akan habis di kedua mesin” adalah 0,12. Ada event A, ada event B. Dan muncul event baru? Saya mengajukan pertanyaan kepada anak-anak - yang mana? Ini adalah kejadian ketika kedua mesin kehabisan kopi. Dalam hal ini, dalam teori probabilitas, ini adalah peristiwa baru, yang disebut perpotongan dua peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan cara ini.

Mari kita gunakan rumus penjumlahan probabilitas. Rumusnya adalah sebagai berikut

Kami berikan kepada kalian di bahan referensi dan teman-teman bisa diberikan rumus ini. Ini memungkinkan Anda menemukan probabilitas sejumlah kejadian. Kami ditanyai peluang kejadian sebaliknya, yang peluangnya ditentukan dengan menggunakan rumus.

Soal 13 menggunakan konsep hasil kali kejadian, rumus mencari peluangnya diberikan pada lampiran.

3. Masalah yang melibatkan penggunaan pohon pilihan yang memungkinkan

Berdasarkan kondisi permasalahan, mudah untuk membuat diagram dan menemukan probabilitas yang ditunjukkan.

Materi teori apa yang Anda gunakan untuk membantu siswa memecahkan masalah semacam ini? Sudahkah Anda menggunakan pohon yang mungkin atau metode lain untuk memecahkan masalah tersebut? Sudahkah Anda memberikan konsep grafik? Di kelas lima atau enam, anak-anak mempunyai masalah seperti itu, yang analisisnya memberikan konsep grafik.

Saya ingin bertanya kepada Anda, apakah Anda dan siswa Anda mempertimbangkan untuk menggunakan pohon pilihan yang mungkin ketika memecahkan masalah probabilitas? Faktanya adalah bahwa Ujian Negara Bersatu tidak hanya memiliki tugas seperti itu, tetapi telah muncul masalah yang cukup rumit yang sekarang akan kita pecahkan.

Mari kita berdiskusi dengan Anda metodologi untuk menyelesaikan masalah seperti itu - jika sesuai dengan metodologi saya, seperti yang saya jelaskan kepada teman-teman, maka akan lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan Anda, jika tidak, maka saya akan membantu Anda mengatasi masalah ini.

Mari kita bahas kejadiannya. Peristiwa apa dalam soal 17 yang dapat diisolasi?

Saat membuat pohon pada suatu bidang, suatu titik ditentukan, yang disebut akar pohon. Selanjutnya kita mulai mempertimbangkan peristiwa-peristiwa tersebutDan. Kita akan membuat sebuah segmen (dalam teori probabilitas disebut cabang). Berdasarkan kondisi tersebut dikatakan bahwa pabrik pertama memproduksi 30% ponsel merek tersebut (yang mana? Yang mereka produksi), artinya saat ini saya bertanya kepada siswa, berapa peluang pabrik pertama? memproduksi ponsel merek ini, yang mereka produksi? Karena peristiwa tersebut adalah pelepasan ponsel di pabrik pertama, maka peluang terjadinya peristiwa ini adalah 30% atau 0,3. Ponsel yang tersisa diproduksi di pabrik kedua - kami sedang membangun segmen kedua, dan kemungkinan kejadian ini adalah 0,7.

Siswa ditanyai pertanyaan: Jenis ponsel apa yang bisa diproduksi oleh pabrik pertama? Dengan atau tanpa cacat. Berapa peluang ponsel yang diproduksi oleh pabrik pertama mengalami cacat? Kondisinya mengatakan sama dengan 0,01. Pertanyaan: Berapa peluang ponsel yang diproduksi oleh pabrik pertama tidak cacat? Karena kejadian ini berlawanan dengan kejadian tertentu, maka probabilitasnya sama.

Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon tersebut rusak. Bisa dari pabrik pertama, atau mungkin dari pabrik kedua. Kemudian kita menggunakan rumus untuk menjumlahkan probabilitas dan menemukan bahwa seluruh probabilitas adalah jumlah probabilitas bahwa ponsel yang cacat berasal dari pabrik pertama, dan ponsel yang cacat berasal dari pabrik kedua. Kita akan mencari kemungkinan ponsel tersebut cacat dan diproduksi di pabrik pertama menggunakan rumus perkalian probabilitas, yang diberikan dalam lampiran.

4. Salah satu soal tersulit dari bank Ujian Negara Terpadu dalam hal probabilitas

Kita lihat misalnya Nomor 320199 dari Bank Tugas FIPI. Ini adalah salah satu tugas tersulit di B6.

Untuk memasuki institut untuk spesialisasi "Linguistik", pelamar Z. harus mencetak setidaknya 70 poin pada Ujian Negara Bersatu di masing-masing dari tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan bahasa asing. Untuk mendaftar di spesialisasi "Perdagangan", Anda harus mencetak setidaknya 70 poin di masing-masing tiga mata pelajaran - matematika, bahasa Rusia, dan ilmu sosial.

Probabilitas pelamar Z. akan menerima setidaknya 70 poin dalam matematika adalah 0,6, dalam bahasa Rusia - 0,8, dalam bahasa asing - 0,7 dan dalam ilmu sosial - 0,5.

Temukan probabilitas bahwa Z. akan dapat mendaftar di setidaknya satu dari dua spesialisasi yang disebutkan.

Perhatikan bahwa masalahnya tidak menanyakan apakah pelamar bernama Z. akan belajar linguistik dan perdagangan sekaligus dan menerima dua diploma. Di sini kita perlu mencari kemungkinan bahwa Z. akan dapat mendaftar di setidaknya satu dari dua spesialisasi ini - yaitu, dia akan mencetak jumlah poin yang diperlukan.

Untuk memasuki setidaknya satu dari dua spesialisasi, Z. harus mencetak setidaknya 70 poin dalam matematika. Dan dalam bahasa Rusia. Dan juga - ilmu sosial atau asing.

Peluang dia mendapat 70 poin dalam matematika adalah 0,6.

Kemungkinan mencetak poin dalam matematika dan bahasa Rusia adalah sama.

Mari kita berurusan dengan studi asing dan sosial. Pilihan yang cocok untuk kami adalah ketika pelamar mendapat nilai dalam IPS, studi luar negeri, atau keduanya. Pilihan ini tidak cocok jika dia tidak mencetak poin apa pun dalam bahasa atau “masyarakat”. Artinya peluang lulus IPS atau bahasa asing dengan minimal 70 poin adalah sama. Akibatnya, kemungkinan lulus matematika, Rusia dan IPS atau asing adalah sama

Inilah jawabannya.

II . Memecahkan masalah kombinatorial

1. Banyaknya kombinasi dan faktorial

Mari kita lihat secara singkat materi teorinya.

EkspresiN ! dibaca sebagai "en-faktorial" dan menunjukkan hasil kali semua bilangan asli dari 1 hinggaN inklusif:N ! = 1 · 2 · 3 · ... ·N .

Selain itu, dalam matematika, menurut definisi, mereka percaya bahwa 0! = 1. Ekspresi seperti itu jarang terjadi, tetapi masih terjadi pada permasalahan dalam teori probabilitas.

Definisi

Biarkan ada benda (pensil, permen, apa pun) yang ingin Anda pilih objeknya persis berbeda. Kemudian banyaknya pilihan untuk pilihan tersebut disebutjumlah kombinasi dari elemen oleh. Nomor ini ditentukan dan dihitung menggunakan rumus khusus.

Penamaan

Apa yang diberikan rumus ini kepada kita? Faktanya, hampir tidak ada masalah serius yang bisa diselesaikan tanpanya.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa masalah kombinatorial sederhana:

Tugas

Bartender memiliki 6 jenis teh hijau. Untuk mengadakan upacara minum teh, Anda perlu menyajikan 3 jenis teh hijau yang berbeda. Berapa banyak cara bartender dapat memenuhi pesanan?

Larutan

Semuanya sederhana di sini: adaN = 6 varietas untuk dipilihk = 3 varietas. Banyaknya kombinasi dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Menjawab

Gantikan ke dalam rumus. Kami tidak dapat menyelesaikan semua masalah, tetapi kami telah menuliskan masalah-masalah umum dan disajikan untuk perhatian Anda.

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, Anda harus memilih 2 perwakilan untuk berbicara di konferensi. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Larutan

Sekali lagi, hanya itu yang kami punyaN = 20 siswa, tetapi Anda harus memilihk = 2 siswa. Temukan jumlah kombinasi:

Harap diperhatikan: faktor-faktor yang termasuk dalam faktorial berbeda ditandai dengan warna merah. Pengganda ini dapat dikurangi tanpa kesulitan dan dengan demikian mengurangi jumlah keseluruhan penghitungan secara signifikan.

Menjawab

190

Tugas

17 server dengan berbagai cacat dikirim ke gudang, dengan biaya 2 kali lebih murah dari server normal. Direktur membeli 14 server tersebut untuk sekolah, dan menggunakan uang yang dihemat sebesar 200.000 rubel untuk membeli peralatan lainnya. Dalam berapa cara direktur dapat memilih server yang rusak?

Larutan

Soal tersebut mengandung cukup banyak data tambahan yang dapat membingungkan. Fakta terpenting: hanya adaN = 17 server, dan kebutuhan direkturk = 14 server. Kami menghitung jumlah kombinasi:

Pengganda yang dikurangi kembali ditandai dengan warna merah. Totalnya ada 680 kombinasi. Secara umum, sutradara memiliki banyak pilihan.

Menjawab

680

Tugas ini rumit karena ada data tambahan dalam tugas ini. Mereka menyesatkan banyak siswa dalam mengambil keputusan yang tepat. Ada total 17 server, dan direktur harus memilih 14. Mengganti ke dalam rumus, kami mendapatkan 680 kombinasi.

2. Hukum perkalian

Definisi

Hukum perkalian dalam kombinatorik: jumlah kombinasi (cara, kombinasi) dalam himpunan independen dikalikan.

Dengan kata lain, biarlah adaA cara untuk melakukan satu tindakan danB cara untuk melakukan tindakan lain. Jalannya juga tindakan-tindakan ini independen, yaitu. tidak berhubungan satu sama lain dengan cara apa pun. Kemudian Anda dapat mencari banyak cara untuk melakukan tindakan pertama dan kedua dengan menggunakan rumus:C = A · B .

Tugas

Petya memiliki 4 koin 1 rubel dan 2 koin 10 rubel. Petya, tanpa melihat, mengeluarkan dari sakunya 1 koin dengan nilai nominal 1 rubel dan 1 koin lagi dengan nilai nominal 10 rubel untuk membeli pena seharga 11 rubel. Berapa banyak cara dia dapat memilih koin-koin tersebut?

Larutan

Jadi, Petya yang pertama mendapatkannyak = 1 koin dariN = 4 koin yang tersedia dengan nilai nominal 1 rubel. Banyaknya cara untuk melakukan hal ini adalahC 4 1 = ... = 4.

Kemudian Petya merogoh sakunya lagi dan mengeluarkannyak = 1 koin dariN = 2 koin yang tersedia dengan nilai nominal 10 rubel. Di sini jumlah kombinasinya sama denganC 2 1 = ... = 2.

Karena tindakan ini independen, jumlah opsinya sama denganC = 4 · 2 = 8.

Menjawab

Tugas

Ada 8 bola putih dan 12 bola hitam dalam sebuah keranjang. Ada berapa cara untuk mengambil 2 bola putih dan 2 bola hitam dari keranjang tersebut?

Larutan

Total di keranjangN = 8 bola putih untuk dipilihk = 2 bola. Itu bisa dilakukanC 8 2 = ... = 28 cara berbeda.

Selain itu, gerobak berisiN = 12 bola hitam, yang harus Anda pilih lagik = 2 bola. Banyaknya cara untuk melakukan hal ini adalahC 12 2 = ... = 66.

Karena pemilihan bola putih dan pemilihan bola hitam merupakan kejadian yang saling bebas, maka jumlah total kombinasi dihitung berdasarkan hukum perkalian:C = 28 · 66 = 1848. Seperti yang Anda lihat, ada banyak pilihan.

Menjawab

1848

Hukum perkalian menunjukkan berapa banyak cara suatu tindakan kompleks dapat dilakukan yang terdiri dari dua atau lebih tindakan sederhana - asalkan semuanya independen.

3. Hukum penjumlahan

Jika hukum perkalian berlaku pada kejadian-kejadian “terisolasi” yang tidak bergantung satu sama lain, maka dalam hukum penjumlahan yang berlaku adalah sebaliknya. Ini berkaitan dengan peristiwa yang saling eksklusif yang tidak pernah terjadi pada waktu yang sama.

Misalnya, “Petya mengeluarkan 1 koin dari sakunya” dan “Petya tidak mengeluarkan satu koin pun dari sakunya” adalah peristiwa yang saling eksklusif, karena tidak mungkin mengeluarkan satu koin tanpa mengeluarkan satu koin pun.

Demikian pula dengan kejadian “Bola Acak Berwarna Putih” dan “Bola Acak Berwarna Hitam” juga saling eksklusif.

Definisi

Hukum penjumlahan dalam kombinatorik: jika dua tindakan yang saling eksklusif dapat dilakukanA DanB metode yang sesuai, maka peristiwa ini dapat digabungkan. Ini akan membuat acara baru yang dapat Anda jalankanX = A + B cara.

Dengan kata lain, ketika tindakan yang saling eksklusif (peristiwa, opsi) digabungkan, jumlah kombinasinya bertambah.

Kita dapat mengatakan bahwa hukum penjumlahan adalah “ATAU” yang logis dalam kombinatorik, ketika kita puas dengan salah satu opsi yang saling eksklusif. Sebaliknya, hukum perkalian adalah “DAN” yang logis, di mana kita tertarik pada pelaksanaan tindakan pertama dan kedua secara bersamaan.

Tugas

Ada 9 bola hitam dan 7 bola merah dalam sebuah keranjang. Anak laki-laki itu mengeluarkan 2 bola yang warnanya sama. Dalam berapa cara dia dapat melakukan hal ini?

Larutan

Jika bolanya memiliki warna yang sama, maka pilihannya sedikit: keduanya berwarna hitam atau merah. Tentu saja, pilihan-pilihan ini saling eksklusif.

Dalam kasus pertama, anak laki-laki itu harus memilihk = 2 bola hitam dariN = 9 tersedia. Banyaknya cara untuk melakukan hal ini adalahC 9 2 = ... = 36.

Demikian pula, dalam kasus kedua kita memilihk = 2 bola merah dariN = 7 kemungkinan. Banyaknya cara samaC 7 2 = ... = 21.

Masih mencari jumlah cara. Karena pilihan dengan bola hitam dan merah saling eksklusif, menurut hukum penjumlahan kita mempunyai:X = 36 + 21 = 57.

Menjawab57

Tugas

Kios tersebut menjual 15 bunga mawar dan 18 bunga tulip. Seorang siswa kelas 9 ingin membeli 3 bunga untuk teman sekelasnya, dan semua bunganya harus sama. Berapa banyak cara dia dapat membuat karangan bunga seperti itu?

Larutan

Sesuai syaratnya, semua bunga harus sama. Artinya kita akan membeli 3 bunga mawar atau 3 bunga tulip. Bagaimanapun,k = 3.

Dalam hal mawar, Anda harus memilihN = 15 pilihan, jadi banyaknya kombinasinya adalahC 15 3 = ... = 455. Untuk bunga tulipN = 18, dan banyaknya kombinasinya adalahC 18 3 = ... = 816.

Karena mawar dan tulip merupakan pilihan yang saling eksklusif, kami bekerja berdasarkan hukum penjumlahan. Kami mendapatkan jumlah total opsiX = 455 + 816 = 1271. Inilah jawabannya.

Menjawab

1271

Syarat dan batasan tambahan

Seringkali teks soal berisi ketentuan tambahan yang memberlakukan batasan signifikan pada kombinasi yang kami minati. Bandingkan dua kalimat:

Ada satu set 5 pena dengan warna berbeda. Dalam berapa cara kamu dapat memilih 3 pena untuk membuat outline sebuah gambar?

Ada satu set 5 pena dengan warna berbeda. Dalam berapa cara kamu dapat memilih 3 pulpen untuk membuat outline suatu gambar jika salah satunya harus berwarna merah?

Dalam kasus pertama, kami berhak mengambil warna apa pun yang kami suka - tidak ada batasan tambahan. Dalam kasus kedua, semuanya menjadi lebih rumit, karena kita diharuskan memilih pena merah (diasumsikan ada di set aslinya).

Tentu saja, pembatasan apa pun secara signifikan mengurangi jumlah opsi akhir. Nah, bagaimana cara mencari banyaknya kombinasi dalam kasus ini? Ingat saja aturan ini:

Biarkan ada satu setN elemen yang dapat dipilihk elemen. Saat memperkenalkan pembatasan tambahan pada nomor tersebutN Dank berkurang dengan jumlah yang sama.

Dengan kata lain, jika dari 5 pena Anda harus memilih 3, dan salah satunya harus berwarna merah, maka Anda harus memilih dariN = 5 − 1 = masing-masing 4 elemenk = 3 − 1 = 2 elemen. Jadi, bukannyaC 5 3 harus dihitungC 4 2 .

Sekarang mari kita lihat cara kerja aturan ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas

Dalam kelompok yang terdiri dari 20 siswa, termasuk 2 siswa berprestasi, Anda harus memilih 4 orang untuk berpartisipasi dalam konferensi. Dalam berapa cara keempat orang ini dapat dipilih jika siswa yang berprestasi harus menghadiri konferensi?

Larutan

Jadi ada sekelompokN = 20 siswa. Tapi Anda hanya perlu memilihk = 4 diantaranya. Jika tidak ada batasan tambahan, maka jumlah opsi akan sama dengan jumlah kombinasiC 20 4 .

Namun, kami diberi syarat tambahan: 2 siswa berprestasi harus termasuk di antara empat siswa tersebut. Jadi, sesuai aturan di atas, kita kurangi jumlahnyaN Dank oleh 2. Kami memiliki:

Menjawab

153

Tugas

Petya memiliki 8 koin di sakunya, 6 di antaranya koin rubel dan 2 koin 10 rubel. Petya mentransfer sekitar tiga koin ke kantong lain. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan Petya jika diketahui kedua koin 10 rubel tersebut ada di kantong yang lain?

Larutan

Jadi adaN = 8 koin. Petya bergeserk = 3 koin, 2 di antaranya adalah koin sepuluh rubel. Ternyata dari 3 koin yang akan ditransfer, 2 sudah diperbaiki, begitu jumlahnyaN Dank harus dikurangi 2. Kita mempunyai:

Menjawab

AKU AKU AKU . Menyelesaikan masalah gabungan menggunakan rumus kombinatorik dan teori probabilitas

Tugas

Petya memiliki 4 koin rubel dan 2 koin rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar tiga koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa kedua koin dua rubel berada di kantong yang sama.

Larutan

Misalkan kedua koin dua rubel benar-benar berakhir di kantong yang sama, maka ada 2 pilihan yang mungkin: Petya tidak mentransfernya sama sekali, atau dia mentransfer keduanya sekaligus.

Dalam kasus pertama, ketika koin dua rubel tidak digeser, Anda harus menggeser 3 koin rubel. Karena totalnya ada 4 koin, banyaknya cara untuk melakukan ini sama dengan banyaknya kombinasi 4 kali 3:C 4 3 .

Dalam kasus kedua, ketika kedua koin dua rubel telah ditransfer, koin rubel lainnya harus ditransfer. Itu harus dipilih dari 4 yang sudah ada, dan banyak cara untuk melakukan ini sama dengan jumlah kombinasi 4 kali 1:C 4 1 .

Sekarang mari kita cari jumlah total cara menyusun ulang koin-koin tersebut. Karena totalnya ada 4 + 2 = 6 koin, dan Anda hanya perlu memilih 3 koin, jumlah opsi sama dengan jumlah kombinasi 6 kali 3:C 6 3 .

Masih mencari kemungkinannya:

Menjawab

0,4

Tampilkan di papan tulis interaktif. Perhatikan fakta bahwa, sesuai dengan kondisi soal, Petya tanpa melihat memasukkan tiga koin ke dalam satu saku. Menjawab pertanyaan ini, kita dapat berasumsi bahwa dua koin dua rubel sebenarnya tertinggal di satu saku. Lihat rumus untuk menjumlahkan probabilitas. Tunjukkan rumusnya lagi.

Tugas

Petya memiliki 2 koin 5 rubel dan 4 koin 10 rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar 3 koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa koin lima rubel sekarang berada di kantong yang berbeda.

Larutan

Untuk menyimpan koin lima rubel di kantong berbeda, Anda hanya perlu memindahkan salah satunya. Banyaknya cara untuk melakukan ini sama dengan banyaknya kombinasi 2 kali 1:C 2 1 .

Karena Petya memindahkan total 3 koin, dia harus memindahkan 2 koin lagi yang masing-masing bernilai 10 rubel. Petya mempunyai 4 koin seperti itu, jadi banyaknya cara sama dengan banyaknya kombinasi 4 kali 2:C 4 2 .

Masih mencari tahu berapa banyak opsi yang ada untuk mentransfer 3 koin dari 6 koin yang tersedia. Besaran ini, seperti pada soal sebelumnya, sama dengan banyaknya kombinasi 6 kali 3:C 6 3 .

Kami menemukan kemungkinannya:

Pada langkah terakhir, kami mengalikan banyaknya cara untuk memilih koin dua rubel dan banyaknya cara untuk memilih koin sepuluh rubel, karena kejadian-kejadian ini bersifat independen.

Menjawab

0,6

Jadi, soal koin memiliki rumus probabilitasnya sendiri. Hal ini sangat sederhana dan penting sehingga dapat dirumuskan sebagai sebuah teorema.

Dalil

Biarkan koin itu dilemparN sekali. Maka kemungkinan kepala akan mendarat dengan tepatk kali, dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Di manaC N k - jumlah kombinasiN elemen olehk , yang dihitung dengan rumus:

Jadi, untuk menyelesaikan soal koin, Anda memerlukan dua angka: jumlah pelemparan dan jumlah kepala. Paling sering, angka-angka ini diberikan langsung dalam teks soal. Selain itu, tidak masalah apa sebenarnya yang Anda hitung: ekor atau kepala. Jawabannya akan sama.

Sekilas, teorema ini tampak terlalu rumit. Namun begitu Anda berlatih sedikit, Anda tidak akan ingin lagi kembali ke algoritma standar yang dijelaskan di atas.

Koin tersebut dilempar sebanyak empat kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat tiga kali.

Larutan

Berdasarkan soal, total lemparannya adalahN = 4. Jumlah elang yang dibutuhkan:k = 3. PenggantiN Dank ke dalam rumus:

Anda dapat dengan mudah menghitung jumlah kepala:k = 4 − 3 = 1. Jawabannya akan sama.

Menjawab

0,25

Tugas [Buku Kerja “Ujian Negara Terpadu 2012 Matematika. Soal B6"]

Koin tersebut dilempar sebanyak tiga kali. Temukan kemungkinan bahwa Anda tidak akan pernah mendapat perhatian.

Larutan

Menuliskan angka-angkanya lagiN Dank . Karena uang logam tersebut dilempar sebanyak 3 kali, makaN = 3. Dan karena tidak boleh ada kepala,k = 0. Tetap mengganti angkanyaN Dank ke dalam rumus:

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa 0! = 1 menurut definisi. Itu sebabnyaC 3 0 = 1.

Menjawab

0,125

Soal [Uji Coba Ujian Negara Terpadu Matematika 2012. Irkutsk]

Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak 4 kali. Tentukan peluang munculnya kepala lebih sering daripada ekor.

Larutan

Agar jumlah kepala lebih banyak daripada ekor, maka harus muncul 3 kali (maka akan ada 1 ekor) atau 4 kali (maka tidak akan ada ekor sama sekali). Mari kita cari peluang masing-masing kejadian tersebut.

MembiarkanP 1 - peluang munculnya kepala sebanyak 3 kali. KemudianN = 4, k = 3. Kita mempunyai:

Sekarang mari kita temukanP 2 - peluang munculnya kepala sebanyak 4 kali. Pada kasus iniN = 4, k = 4. Kita mempunyai:

Untuk mendapatkan jawabannya, yang tersisa hanyalah menjumlahkan probabilitasnyaP 1 DanP 2 . Ingat: Anda hanya dapat menambahkan probabilitas untuk kejadian yang saling eksklusif. Kita punya:

P = P 1 + P 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Menjawab

0,3125

Untuk menghemat waktu kalian dalam mempersiapkan diri bersama teman-teman untuk Ujian Negara Bersatu dan Ujian Negara, kami telah menghadirkan solusi untuk lebih banyak masalah yang dapat kalian pilih dan selesaikan bersama teman-teman.

Materi dari Lembaga Ujian Negara, Ujian Negara Terpadu berbagai tahun, buku teks dan website.

IV. Materi referensi

Definisi klasik tentang probabilitas

Peristiwa acak – peristiwa apa pun yang mungkin terjadi atau tidak terjadi sebagai akibat dari suatu pengalaman.

Kemungkinan kejadian R sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan k dengan jumlah kemungkinan hasil N, yaitu.

p=\frac(k)(n)

Rumus penjumlahan dan perkalian teori probabilitas

Peristiwa \bar(A) ditelepon berlawanan dengan kejadian A, jika kejadian A tidak terjadi.

Jumlah probabilitas kejadian yang berlawanan sama dengan satu, yaitu

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Peluang suatu kejadian tidak boleh lebih besar dari 1.
• Jika peluang suatu kejadian adalah 0, maka kejadian tersebut tidak akan terjadi.
• Jika peluang suatu kejadian adalah 1, maka kejadian tersebut akan terjadi.

Teorema penjumlahan probabilitas:

“Peluang jumlah dua kejadian yang tidak sejalan sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian tersebut.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Kemungkinan jumlah dua acara bersama sama dengan jumlah peluang kejadian-kejadian ini tanpa memperhitungkan kejadian gabungannya:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema perkalian probabilitas

“Probabilitas terjadinya dua peristiwa sama dengan hasil kali probabilitas salah satu peristiwa tersebut dan probabilitas bersyarat dari peristiwa lainnya, dihitung dengan syarat terjadinya peristiwa pertama.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Acara disebut tidak kompatibel, jika penampakan salah satunya meniadakan penampakan yang lain. Artinya, hanya satu atau beberapa peristiwa tertentu yang dapat terjadi.

Acara disebut persendian, jika kemunculan salah satunya tidak menutup kemungkinan terjadinya yang lain.

Dua peristiwa acak A dan B dipanggil mandiri, jika kemunculan salah satu dari peristiwa tersebut tidak mengubah peluang terjadinya peristiwa lainnya. Jika tidak, kejadian A dan B disebut saling bergantung.

Pada suatu pabrik ubin keramik, 5% ubin yang diproduksi mengalami cacat. Selama kontrol kualitas produk, hanya 40% ubin cacat yang terdeteksi. Ubin yang tersisa dikirim untuk dijual. Temukan probabilitas bahwa ubin yang dipilih secara acak pada saat pembelian tidak memiliki cacat. Bulatkan jawabanmu ke ratusan terdekat.

Larutan

Selama pengendalian kualitas produk, 40% ubin cacat diidentifikasi, yang merupakan 5% dari ubin yang diproduksi, dan ubin tersebut tidak dijual. Artinya 0,4 · 5% = 2% ubin yang diproduksi tidak dijual. Sisa ubin yang diproduksi - 100% - 2% = 98% - mulai dijual.

100% - 95% ubin yang diproduksi bebas dari cacat. Kemungkinan ubin yang dibeli tidak cacat adalah 95%:98% = \frac(95)(98)\kira-kira 0,97

Menjawab

Kondisi

Peluang baterai tidak terisi adalah 0,15. Seorang pelanggan di sebuah toko membeli paket acak yang berisi dua baterai ini. Temukan probabilitas bahwa kedua baterai dalam paket ini akan terisi dayanya.

Larutan

Peluang baterai terisi adalah 1-0,15 = 0,85. Mari kita cari peluang kejadian “kedua baterai terisi”. Mari kita nyatakan dengan A dan B kejadian “baterai pertama terisi” dan “baterai kedua terisi”. Kita mendapat P(A) = P(B) = 0,85. Kejadian “kedua baterai terisi” merupakan perpotongan kejadian A \cap B, peluangnya sama dengan P(A\tutup B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Peluang mesin cuci baru akan diperbaiki dengan garansi dalam waktu satu tahun adalah 0,065. Di kota tertentu, 1.200 mesin cuci terjual sepanjang tahun, 72 di antaranya dikirim ke bengkel garansi. Tentukan seberapa berbeda frekuensi relatif kejadian “perbaikan garansi” dengan kemungkinannya di kota ini?

Larutan

Frekuensi kejadian “mesin cuci akan diperbaiki berdasarkan garansi dalam waktu satu tahun” adalah sama dengan \frac(72)(1200) = 0,06. Berbeda dengan probabilitas sebesar 0,065-0,06=0,005.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Peluang pena rusak adalah 0,05. Seorang pelanggan di sebuah toko membeli paket acak yang berisi dua pena. Tentukan peluang kedua pena dalam kemasan ini bagus.

Larutan

Peluang gagang berfungsi adalah 1-0,05 = 0,95. Mari kita cari peluang kejadian “kedua tuas berfungsi”. Mari kita nyatakan dengan A dan B kejadian “pegangan pertama berfungsi” dan “pegangan kedua berfungsi”. Kita mendapat P(A) = P(B) = 0,95. Kejadian “kedua pegangan berfungsi” adalah perpotongan kejadian A\cap B, probabilitasnya sama dengan P(A\tutup B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Gambar menunjukkan sebuah labirin. Kumbang merangkak ke dalam labirin di titik “Pintu Masuk”. Kumbang tidak dapat berbalik dan merangkak ke arah yang berlawanan, sehingga pada setiap pertigaan ia memilih salah satu jalur yang belum dilaluinya. Berapa peluang kumbang tersebut sampai ke pintu keluar D jika pilihan jalur selanjutnya acak?

Larutan

Mari kita letakkan panah di persimpangan arah pergerakan kumbang (lihat gambar).

Di setiap persimpangan kita akan memilih satu arah dari dua kemungkinan dan berasumsi bahwa ketika sampai di persimpangan, kumbang akan bergerak ke arah yang telah kita pilih.

Agar kumbang dapat mencapai pintu keluar D, pada setiap persimpangan harus dipilih arah yang ditunjukkan oleh garis merah solid. Secara total, pemilihan arah dilakukan sebanyak 4 kali, setiap kali terlepas dari pilihan sebelumnya. Peluang terambilnya panah merah solid setiap kali adalah \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kondisi

Ada 16 atlet di bagian tersebut, di antaranya dua orang teman - Olya dan Masha. Atlet dibagi secara acak ke dalam 4 kelompok yang sama. Tentukan peluang Olya dan Masha berada dalam kelompok yang sama.