Товчилсон үржүүлэх томъёо, дүрмийг арифметик, эсвэл алгебрийн хувьд том алгебрийн илэрхийллийг хурдан тооцоолоход ашигладаг. Томъёог өөрсдөө хэд хэдэн олон тооны үржүүлэх алгебр дээр байдаг дүрмүүдээс гаргаж авсан болно.

Эдгээр томъёог ашиглах нь математикийн янз бүрийн асуудлыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжийг олгодог бөгөөд мөн илэрхийлэлийг хялбаршуулахад тусалдаг. Алгебрийн хувиргах дүрмүүд нь илэрхийлэлүүдтэй харьцах боломжийг танд олгодог бөгөөд үүний дараа та тэгш байдлын зүүн тал дахь илэрхийлэлийг баруун талд нь авах, эсвэл тэгш байдлын баруун талыг өөрчлөх боломжтой (тэгш тэмдгийн дараа зүүн талд илэрхийлэлийг олж авах).

Санамж, тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг тул санах ойд үржүүлэхэд ашигладаг томъёог мэдэх нь тохиромжтой. Энэ жагсаалтад орсон гол томъёонууд ба тэдгээрийн нэрийг доор харуулав.

Сум квадрат

Нийлбэр квадратыг тооцоолохын тулд эхний нэр томъёоны квадратаас, нийлбэрийн хоёрдох бүтээгдэхүүнээс хоёр, хоёр дахь квадратаас бүрдэх нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Энэхүү дүрмийг илэрхийлэл болгон дараах байдлаар бичнэ: (a + c) ² \u003d a² + 2ac + c².

Ялгаа квадрат

Ялгааны квадратыг тооцоолохын тулд эхний тооны квадратаас бүрдэх нийлбэрийг, эхний тооны үржвэрийг хоёрдугаарт (эсрэг тэмдгээр авсан) ба хоёр дахь тооны квадратыг тооцоолох шаардлагатай. Илэрхийллийн хувьд энэ дүрмээр дараах байдалтай байна: (a - c) ² \u003d a² - 2ac + c².

Квадратуудын ялгаа

Хоёр тооны квадрат хоорондын зөрүүний томъёо нь эдгээр тооны нийлбэрийг тэдгээрийн зөрүүгээр үржүүлнэ. Илэрхийллийн хувьд энэ дүрэм дараахь байдлаар харагдаж байна: a² - c² \u003d (a + c) · (a - c).

Сум шоо

Хоёр нэр томъёоны кубыг тооцоолохдоо эхний нэр томъёоны куб, эхний үгийн квадрат бүтээгдэхүүний хоёрт, эхний ба гуравдахь квадрат бүтээгдэхүүн, хоёр дахь нэр томъёоны куб зэргээс бүрдэх нийлбэрийг тооцоолох шаардлагатай. Үүний илэрхийлэл болгон энэ дүрмийг дараах байдлаар харуулна: (a + c) ³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Шоо нийлбэр

Томъёоны дагуу тэдгээрийн зөрүүг бүрэн бус квадратаар эдгээр нэр томъёоны нийлбэртэй тэнцүү байна. Илэрц хэлбэрээр энэ дүрмийг дараах байдлаар харуулна: a³ + c³ \u003d (a + c) · (a² - ac + c²).

Жишээ. Хоёр куб нэмэх замаар үүссэн зургийн хэмжээг тооцоолох шаардлагатай. Зөвхөн тэдний талуудын хэмжээ нь мэдэгддэг.

Хэрэв хажуугийн утга бага бол тооцоолол хялбар болно.

Хэрэв талуудын уртыг төвөгтэй тоогоор илэрхийлэх юм бол энэ тохиолдолд "Кубын нийлбэр" томъёог хэрэглэх нь илүү хялбар бөгөөд энэ нь тооцооллыг маш хялбаршуулна.

Ялгаа куб

Кубын зөрүүг илэрхийлэх байдал нь дараахь байдлаар байна. Эхний нэрсийн гуравдахь хүчийн нийлбэр нь эхний нэрлэсэн квадратын сөрөг бүтээгдэхүүнийг хоёрдугаарт, эхний нэрийн бүтээгдэхүүнийг 2-р квадратаар, гуравдахь хугацааны сөрөг кубыг хас. Математик илэрхийлэл хэлбэрийн хувьд ялгааны шоо дараах байдлаар харагдаж байна: (a - c) ³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Ялгаа куб

Кубуудын зөрүүний томъёо нь зөвхөн нэг тэмдэг дэх кубуудын нийлбэрээс ялгаатай. Тиймээс кубуудын ялгаа нь эдгээр тоонуудын нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар эдгээр тоонуудын ялгавартай тэнцүү гэсэн томъёо юм. Хэлбэрийн хувьд кубуудын зөрүү дараахь байна: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Жишээ. Шар эзэлхүүний дүрсийг цэнхэр кубын эзэлхүүнээс хассны дараа үлдэх зургийн хэмжээг тооцоолох шаардлагатай болно. Зөвхөн жижиг, том кубын хажуугийн хэмжээг мэддэг.

Хэрэв хажуугийн утга бага бол тооцоолол нь маш энгийн юм. Хэрэв талуудын уртыг мэдэгдэхүйц тоогоор илэрхийлэх юм бол "Ялгаатай куб" (эсвэл "Ялгаатай шоо") гэсэн томъёог ашиглах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь тооцооллыг маш хялбаршуулна.

Өмнөх хичээлүүдэд бид олон тооны хүчин зүйлийг хүчин зүйл болгон хуваах хоёр аргыг авч үзсэн: хаалт ба бүлэглэл.

Энэ хичээл дээр бид олон тооны хүчин зүйлийг тодорхойлох өөр аргыг авч үзэх болно товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан.

Бид томъёо тус бүрийг дор хаяж 12 удаа зааж өгөхийг зөвлөж байна. Илүү сайн цээжилж авахын тулд жижиг том хуурамч хуудсан дээр товчилсон үржүүлэх бүх томъёог бичнэ үү.

Кубын ялгааг тодорхойлох томъёо юу болохыг харцгаая.

Шоо дөрвөлжингүүдийн ялгааг томъёо нь цээжлэхэд тийм ч хялбар биш тул цээжлэх тусгай аргыг ашиглахыг зөвлөж байна.

Товчилсон үржүүлэх аливаа томъёо ажилладаг гэдгийг ойлгох нь чухал юм ар тал.

Нэг жишээ харцгаая. Энэ нь шоо дөрвөлжингийн ялгааг харгалзан үзэх шаардлагатай.

"27a 3" нь "(3a) 3" гэсэн үг бөгөөд кубын ялгааг тодорхойлох томъёонд "a" биш харин "3a" ашигладаг болохыг анхаарна уу.

Бид кубын зөрүүний томъёог ашигладаг. "A 3" хэсэгт "27a 3", мөн "b 3" гэсэн томъёонд "b 3" байна.

Кубын зөрүүг эсрэг чиглэлд хэрэглэнэ

Өөр нэг жишээг харцгаая. Та олонлогийн бүтээгдэхүүнийг товчлолын үржүүлэх томъёог ашиглан кубуудын ялгааг хувиргахыг хүсч байна.

Олон өнцөгт бүтээгдэхүүн "(x - 1) (x 2 + x + 1)" кубын ялгааг тодорхойлох томъёоны баруун талыг "", "а" -гийн оронд "x", харин "b" -гийн оронд "1" байгааг анхаарна уу. ….

Бид "(x - 1) (x 2 + x + 1)" хувьд эсрэг чиглэлд байгаа кубуудын зөрүүний томъёог ашигладаг.

Илүү төвөгтэй жишээг авч үзье. Энэ нь полиномын бүтээгдэхүүнийг хялбаршуулахад шаардлагатай байдаг.

Хэрэв бид "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" -ийг кубын зөрүүний томъёоны баруун талтай харьцуулж үзвэл
« a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Дараа нь та эхний хаалтнаас" а "нь" у 2 "," b "хэсэгт" 1 "байх болно гэдгийг та ойлгож болно.

Квадратуудын ялгаа

Бид $ a ^ 2-b ^ 2 $-ийн квадратуудын зөрүүний томъёог гаргаж авна.

Үүнийг хийхийн тулд дараах дүрмийг санаарай.

Хэрэв бид илэрхийлэлд ямар нэгэн мономал нэмээд ижил мономиалыг хасвал зөв таних тэмдгийг олж авна.

Бид илэрхийлэлдээ нэмж, $ ab $ мономиаль зүйлийг хасъя:

Нийтийг бид авах болно:

Өөрөөр хэлбэл хоёр мономийн квадратуудын ялгаа нь тэдгээрийн нийлбэрээр ялгааны үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 1

$ (4x) ^ 2-y ^ 2 $ гэж бүтээгдэхүүнээр төлөөлнө

\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]

\\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ зүүн (2x-y \\ баруун) (2x + y) \\]

Шоо нийлбэр

Бид кубын нийлбэрийн томъёог $ a ^ 3 + b ^ 3 $ авна.

Нийтлэг хүчин зүйлүүдийг харгалзан үзэх.

$ $ Зүүн (a + b \\ баруун) $ -ийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:

Нийтийг бид авах болно:

Өөрөөр хэлбэл хоёр мономын кубуудын нийлбэр нь тэдгээрийн зөрүүг бүрэн бус квадратаар нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 2

$ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $ гэж бүтээгдэхүүнээр төлөөлнө

Энэ илэрхийлэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

\\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ зүүн (2x + y \\ баруун) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]

Ялгаа куб

$ A ^ 3-b ^ 3 $ - ийн кубын томъёоны ялгааг олцгооё.

Үүний тулд бид дээр дурдсан дүрмийг ашиглана.

Бидний илэрхийлэлд нэмэх ба үүнээс $ a ^ 2b \\ ба \\ (ab) ^ 2 $ гэсэн мономалуудыг хас.

Нийтлэг хүчин зүйлүүдийг харгалзан үзэх.

$ $ Зүүн (a-b \\ right) $ -ийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:

Нийтийг бид авах болно:

Өөрөөр хэлбэл, хоёр мономын кубын зөрүү нь тэдгээрийн нийлбэрийн бүрэн бус квадратаар тэдгээрийн зөрүүтэй харьцуулсан бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.

Жишээ 3

$ (8x) ^ 3-y ^ 3 $ гэж бүтээгдэхүүнээр төлөөлнө

Энэ илэрхийлэлийг дараах байдлаар бичиж болно.

\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг авна.

\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ зүүн (2x-y \\ баруун) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]

Квадратуудын зөрүү, кубын нийлбэр ба зөрүүний томъёог ашиглах асуудлын жишээ

Жишээ 4

Хүчин зүйл.

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $ байна

c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Шийдвэр:

a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $ байна

\\ [((((a + 5)) ^ 2-9 \u003d (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]

Квадратуудын зөрүүний томъёог хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

\\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ зүүн (a + 5-3 \\ баруун) \\ зүүн (a + 5 + 3 \\ баруун) \u003d \\ зүүн (a + 2 \\ баруун) (a +8) \\]

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

Кума кубын томъёог хэрэглэцгээе.

c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $

Энэ илэрхийлэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ зүүн (\\ frac (1) (3) \\ right)) ^ 3-x ^ 3 \\]

Кума кубын томъёог хэрэглэцгээе.

\\ [(\\ зүүн (\\ frac (1) (3) \\ баруун)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ зүүн (\\ frac (1) (3) -x \\ баруун) \\ зүүн (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ right) \\]