Membiarkan X – kuantitas variabel. Artinya nilainya X mengubah maknanya. Inilah yang membuatnya berbeda secara mendasar dari yang lain nilai konstan a, yang tidak mengubah nilainya yang tidak berubah. Misalnya, tinggi sebuah tiang bernilai konstan, namun tinggi pohon hidup yang tumbuh bernilai variabel.

Nilai variabel X dianggap diberikan, urutan numerik diberikan

maknanya. Artinya, nilai-nilai itu X 1 ; X 2 ;X 3 ;..., yang secara konsisten, satu demi satu, diterima dalam proses perubahannya. Kami akan berasumsi bahwa proses ini berubah berdasarkan besarnya X nilainya tidak berhenti pada tahap apapun (variabel X tidak pernah membeku, ia “selalu hidup”). Artinya barisan (1) mempunyai jumlah nilai yang tak terhingga, yang pada (1) ditandai dengan elipsis.

Nilai suatu variabel dapat dianggap sebagai himpunan nilai suatu fungsi argumen natural xn =f(n). Anggota xn disebut anggota persekutuan barisan tersebut. Suatu barisan dianggap diberikan jika suatu metode diberikan untuk menghitung salah satu anggotanya dengan bilangan yang diketahui.

Contoh 1: Tuliskan sepuluh suku pertama barisan tersebut jika suku persekutuannya adalah .

Larutan: Menghitung nilai pecahan berdasarkan nilainya N sama dengan 1,2,3,…10, kita peroleh:

Secara umum barisan yang mempunyai suku yang sama akan ditulis seperti ini:

Tentu saja, timbul ketertarikan mengenai sifat perubahan besarnya X maknanya. Artinya, timbul pertanyaan: apakah nilai-nilai tersebut berubah secara tidak sistematis, kacau, atau disengaja?

Yang menjadi perhatian utama, tentu saja, adalah pilihan kedua. Yaitu, biarkan nilainya xn variabel X seiring bertambahnya jumlah mereka N mendekati tanpa batas waktu ( berjuang) ke nomor tertentu A. Artinya selisih (jarak) antar nilai xn variabel X dan nomor A berkontraksi, cenderung seiring peningkatannya N(pada ) ke nol. Dengan mengganti kata “mencari” dengan tanda panah, maka dapat dituliskan sebagai berikut:

Pada<=>di (2)

Jika (2) berlaku, maka kita katakan demikian variabel x cenderung ke angka a. Nomor ini A ditelepon batas variabel x. Dan tertulis sebagai berikut:

Membaca: batas x adalah a(x cenderung a).

Variabel aspirasi X sampai batasmu A dapat diilustrasikan dengan jelas pada sumbu bilangan. Arti matematis yang tepat dari keinginan ini X Ke A adalah betapapun kecilnya bilangan positif yang diambil, dan oleh karena itu, betapapun kecilnya intervalnya juga tidak mengelilingi bilangan pada garis bilangan A, dalam interval ini (dalam apa yang disebut -lingkungan nomor tersebut A) akan memukul mulai dari angka tertentu N, semua nilai xn variabel X. Secara khusus, pada Gambar. 1 ke dalam lingkungan angka yang digambarkan A mendapat semua nilai xn variabel X, dimulai dari angka.

Definisi: Nomor A disebut limit barisan (limit variabel X atau limit fungsinya f(n)), jika berapa pun bilangan positif yang telah ditentukan sebelumnya, bilangan asli tersebut selalu dapat ditemukan N, yang untuk semua anggota barisan dengan angka n>N ketimpangan akan terpenuhi.

Ketimpangan ini setara dengan dua ketimpangan berikut: . Nomor N tergantung pada yang dipilih. Jika Anda mengurangi angkanya, maka angka yang sesuai N akan meningkat.

Untuk suatu barisan (atau untuk suatu variabel X) tidak perlu ada batasannya, tetapi jika ada batasannya, maka itu satu-satunya. Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen. Barisan yang tidak mempunyai limit disebut berbeda.

Nilai variabel X, dapat berusaha mencapai batasnya dengan berbagai cara:

1. tetap di bawah batas Anda,

2. tetap berada di atas batas Anda,

3. berfluktuasi di sekitar batas Anda,

4. mengambil nilai sama dengan batasnya.

Pemilihan nomor bersifat sewenang-wenang, tetapi setelah dipilih, nomor tersebut tidak dapat diubah lebih lanjut.

Variabel X memiliki nol sebagai batasnya (yaitu cenderung nol) disebut kecil sekali. Sebuah variabel X, tumbuh tanpa batas dalam nilai absolut disebut sangat besar(modulusnya cenderung tak terhingga).

Jadi, jika , maka X adalah besaran variabel yang sangat kecil, dan jika , maka X– kuantitas variabel yang sangat besar. Khususnya, jika atau , maka X– kuantitas variabel yang sangat besar.

Jika kemudian . Dan sebaliknya jika , Itu . Dari sini kita mendapatkan hubungan penting berikut antara variabel X dan batasnya A:

Telah dikatakan bahwa tidak semua variabel X memiliki batas. Banyak variabel yang tidak memiliki batasan. Ada atau tidaknya tergantung pada barisan (1) nilai variabel tersebut.

Contoh 2 . Membiarkan

Di sini, jelas sekali.

Contoh 3 . Membiarkan

X– sangat kecil.

Contoh 4 . Membiarkan

Di sini, jelas sekali. Jadi variabelnya X– sangat besar.

Contoh 5 . Membiarkan

Di sini, jelas, variabelnya X tidak berusaha untuk apa pun. Maksudnya tidak ada batasnya (tidak ada).

Contoh 6 . Membiarkan

Inilah situasi dengan limit variabel X tidak sejelas empat contoh sebelumnya. Untuk memperjelas situasi ini, mari kita ubah nilainya xn variabel X:

Jelasnya, pada . Cara,

pada .

Dan ini berarti itu.

Contoh 7 . Membiarkan

Berikut urutannya ( xn) nilai variabel X mewakili barisan geometri tak hingga dengan penyebutnya Q. Oleh karena itu, limit variabelnya X adalah limit barisan geometri tak hingga.

a) Jika , maka, tentu saja, pada . Dan ini berarti ().

b) Jika , maka . Artinya, dalam hal ini nilai variabel X jangan berubah - selalu sama dengan 1. Maka limitnya juga sama dengan 1 ().

c) Jika , maka . Dalam hal ini, jelas tidak ada.

d) Jika , maka adalah barisan bilangan positif yang bertambah tak terhingga. Yang berarti ().

e) Jika , kemudian memperkenalkan notasi , di mana , kita memperoleh: – suatu barisan numerik bolak-balik dengan suku-suku yang nilai absolutnya meningkat tak terhingga:

Artinya variabel X sangat besar. Namun karena tanda-tanda anggotanya yang berganti-ganti, ia cenderung tidak +∞ maupun –∞ (tidak memiliki batas).

Contoh 8. Buktikan bahwa suatu barisan yang sukunya sama mempunyai limit sama dengan 2.

Bukti: Mari kita pilih bilangan positif sembarang dan tunjukkan bahwa bilangan tersebut dapat dipilih N, yang untuk semua nilai bilangan tersebut N, lebih besar dari angka ini N, ketidaksetaraan akan terpenuhi, yang harus kita ambil sebuah = 2, , yaitu. ketimpangan akan terpenuhi .

Dari pertidaksamaan ini, setelah mengurangkan tanda kurung menjadi penyebut yang sama, kita memperoleh . Dengan demikian: . Di belakang N Mari kita ambil bilangan bulat terkecil yang termasuk dalam interval tersebut. Dengan demikian, kami dapat menentukan, dari hal positif yang diberikan secara sewenang-wenang, hal yang alami N ketimpangan itu dilakukan untuk semua nomor n>N. Hal ini membuktikan bahwa 2 adalah limit suatu barisan yang sukunya sama.

Yang menarik adalah barisan monotonik dan terbatas.

Definisi: meningkat secara monoton, jika di depan semua orang N masing-masing anggotanya lebih besar dari yang sebelumnya, yaitu. jika , dan menurun secara monoton jika setiap sukunya lebih kecil dari suku sebelumnya, yaitu. .

Contoh 9. Barisan bilangan asli 1,2,3,…., N,… - meningkat secara monoton.

Contoh 10. Barisan bilangan, kebalikan bilangan asli, - menurun secara monoton.

Definisi: urutannya disebut terbatas, jika semua sukunya berada dalam interval berhingga (-M,+M) Dan M>0, yaitu. jika , untuk nomor berapa pun N.

Contoh 11. Selanjutnya (xn), Di mana xn Ada N tempat desimal ke-th dari bilangan tersebut dibatasi, karena .

Contoh 12. Urutannya terbatas karena .

Sifat dasar variabel dan batasannya

1) Jika (variabel X tidak dapat diubah dan sama dengan konstan A), maka wajar untuk berasumsi bahwa dan . Artinya, limit suatu konstanta sama dengan dirinya sendiri:

2) Jika , dan A Dan B terbatas, kalau begitu . Itu adalah

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN LEMBAGA PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI FEDERASI NEGARA FEDERASI RUSIA "UNVERSITAS POLITEKNIK PENELITIAN NASIONAL TOMSK" L.I. Samochernova MATEMATIKA TINGGI Bagian II Direkomendasikan sebagai buku teks oleh Dewan Editorial dan Penerbitan Universitas Politeknik Tomsk edisi ke-2, Rumah Penerbitan Universitas Politeknik Tomsk yang direvisi 2005 UDC 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Matematika yang lebih tinggi. Bagian II: buku teks / L.I. Samo-chernova; Universitas Politeknik Tomsk. – edisi ke-2, putaran. – Tomsk: Rumah Penerbitan Universitas Politeknik Tomsk, 2005. – 164 hal. Buku teks ini mencakup tiga bagian matematika tingkat tinggi: 1) pengantar analisis matematika (batas suatu barisan dan fungsi, besaran yang sangat kecil dan besar yang tidak terbatas, perbandingan yang sangat kecil, kontinuitas suatu fungsi, titik diskontinuitas); 2) kalkulus diferensial suatu fungsi satu variabel (turunan dan diferensial suatu fungsi, penerapan kalkulus diferensial untuk mempelajari fungsi); 3) kalkulus integral (integral tak tentu, integral tentu, penerapan geometri integral tentu). Manual ini disiapkan di Departemen Matematika Terapan dan ditujukan untuk mahasiswa pendidikan luar negeri yang belajar di bidang 080400 “Manajemen Sumber Daya Manusia”, 080200 “Manajemen”, 080100 “Ekonomi”, 100700 “Perdagangan”. UDC 514.12 Reviewer Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika, Associate Professor Departemen Aljabar TSU S.Ya. Kandidat Ilmu Teknik Grinshpon, Associate Professor Fakultas Sistem Kontrol TUSUR A.I. Kochegurov © Universitas Politeknik Tomsk, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Desain. Tomsk Polytechnic University Publishing House, 2005 2 1. PENGANTAR ANALISIS MATEMATIKA 1.1. Barisan numerik dan limitnya Definisi 1. Jika, menurut hukum tertentu, setiap bilangan asli n dikaitkan dengan bilangan tertentu xn, maka kita katakan bahwa barisan numerik (xn) diberikan: x1,x2, x3,. ..,xn,.. .. (1.1) Dengan kata lain, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural: xn = f(n). Bilangan-bilangan yang menyusun suatu barisan disebut suku-sukunya, dan xn adalah suku persekutuan atau suku ke-n barisan tersebut. Contoh barisan bilangan : 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Untuk barisan ini x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n adalah anggota persekutuan dari barisan bilangan genap. n Contoh 1. Mengetahui suku umum barisan xn = , tuliskan n+2 lima suku pertamanya. Larutan. Memberikan n nilai 1, 2, 3, 4, 5, kita mendapatkan 1 2 3 4 5 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n Secara umum barisan yang sukunya sama xn = ditulis seperti ini: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 Perhatikan bahwa karena xn =f(n) adalah suatu fungsi, yaitu suatu besaran variabel, maka untuk memudahkan kita sering menyebut fungsi xn sebagai besaran variabel, atau sekadar variabel xn. Barisan berbatas dan tak berbatas Definisi 2. Suatu barisan (xn) disebut berbatas dari atas (dari bawah) jika terdapat bilangan real M (bilangan m) sedemikian rupa sehingga setiap elemen xn barisan (xn) memenuhi pertidaksamaan xn ≤ M ( xn ≥m). Dalam hal ini bilangan M (bilangan m) disebut batas atas (batas bawah) barisan (xn), dan pertidaksamaan xn ≤ M (xn ≥ m) disebut syarat barisan tersebut dibatasi dari atas. (dari bawah). 3 Definisi 3. Suatu barisan disebut dibatasi pada kedua sisinya, atau dibatasi saja, jika dibatasi di atas dan di bawah, yaitu jika terdapat bilangan m dan M sedemikian rupa sehingga setiap elemen xn dari barisan ini memenuhi pertidaksamaan: m ≤ xn ≤ M. Jika suatu barisan (xn) berbatas dan M serta m adalah batas atas dan bawah, maka semua anggota barisan tersebut memenuhi pertidaksamaan xn ≤ A, (1.2) dengan A adalah maksimum dua bilangan |M| dan |m|. Sebaliknya, jika semua elemen barisan (xn) memenuhi pertidaksamaan (1.2), maka pertidaksamaan − A ≤ xn ≤ A juga berlaku sehingga barisan (xn) berbatas. Jadi, pertidaksamaan (1.2) merupakan bentuk lain dari syarat keterbatasan suatu barisan. Mari kita perjelas konsep barisan tak terbatas. Suatu barisan (xn) disebut tak terbatas jika untuk sembarang bilangan positif A terdapat elemen xn dari barisan tersebut yang memenuhi pertidaksamaan xn > A. 2n Contoh: 1. Suatu barisan yang sukunya sama xn = (− 1)n sin 3n n +1 berbatas, karena untuk semua n pertidaksamaan 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), maka barisan (xn) disebut bertambah (menurun). Barisan naik dan turun disebut juga monotonik. Contoh 2. Barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ..., dimana xn = 2n − 1, meningkat secara monoton. 4 Memang benar, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, jadi xn +1 − xn > 0, yaitu xn +1 > xn untuk semua n. Limit suatu barisan Mari kita definisikan salah satu konsep analisis matematis yang paling penting - limit suatu barisan, atau, yang sama, limit suatu variabel xn yang melalui barisan x1,x2,...,xn, ... Definisi 5. Konstanta bilangan a disebut barisan limit x1,x2 ,...,xn ,... atau limit variabel xn, jika untuk sembarang bilangan positif kecil ε dapat ditentukan suatu bilangan asli N sehingga untuk semua anggota barisan dengan bilangan n>N kamu - pertidaksamaan xn − a terpenuhi< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >N pertidaksamaan (1.3) akan terpenuhi, dimana kita harus mengambil a =1; n xn = , yaitu pertidaksamaan n +1 n 1−< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. Oleh karena itu, N dapat dianggap sebagai bilangan bulat terbesar yang terdapat pada (1/ε – 1), yaitu E(1/ε – 1). Maka pertidaksamaan (1.4) akan terpenuhi untuk semua n >N. Jika ternyata E(1/ε – 1) ≤ 0, maka N dapat dianggap sama dengan 1. Karena ε diambil secara sembarang, maka hal ini membuktikan bahwa 1 adalah limit barisan yang sukunya sama xn = n /( n + 1) . Khususnya, jika ε = 0,01, maka N = E (1 / 0,01 − 1) = E (100 – 1) = 99; jika ε=1/2, maka N=E (1 / 0,5 − 1)=1, dst. N yang dipilih dengan cara ini untuk nilai ε yang berbeda akan menjadi yang terkecil. Penafsiran geometri limit suatu barisan bilangan Barisan bilangan (1.1) dapat dianggap sebagai barisan titik-titik pada suatu garis. Dengan cara yang sama, kita dapat membicarakan limit sebagai sebuah titik pada sebuah garis. Karena pertidaksamaan xn − a< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N akan jatuh ke lingkungan tertentu. Mari kita nyatakan bilangan a, a – ε, a + ε dan nilai variabel xn sebagai titik pada sumbu bilangan (Gbr. 1). Pemenuhan pertidaksamaan (1.3) pada kondisi n > N secara geometri berarti semua titik xn, dimulai dari titik x N +1, yaitu dari titik yang indeksnya melebihi suatu bilangan asli N, pasti terletak pada - titik lingkungan a. Di luar lingkungan ini, meskipun ada titik xn, jumlahnya hanya terbatas. Beras. 1 Uji kekonvergenan barisan monoton Teorema 1. Setiap barisan tak naik (tak turun) (xn) atau variabel xn yang dibatasi dari bawah (dari atas) mempunyai limit. 6 1.2. Besaran-besaran yang sangat kecil dan besar yang tak terhingga Definisi 1. Suatu variabel xn disebut sangat kecil jika mempunyai limit sama dengan nol. Berdasarkan definisi limit, kita dapat mengatakan bahwa xn akan menjadi sangat kecil jika untuk ε > 0 yang sangat kecil terdapat N sehingga untuk semua n > N terdapat pertidaksamaan xn< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Contoh bilangan sangat kecil adalah variabel 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n untuk q< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. Dari pertidaksamaan xn = =< ε полу- n n чаем n >1/ε. Jika kita mengambil N = E(1/ε), maka untuk n > N kita akan mendapatkan xn< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 kita dapat menentukan suatu bilangan asli N sehingga untuk semua bilangan n > N berlaku pertidaksamaan xn > M. Dengan kata lain, suatu variabel xn disebut besar tak terhingga jika, mulai dari suatu bilangan tertentu, variabel tersebut menjadi dan tetap untuk semua bilangan berikutnya lebih besar nilai absolutnya daripada bilangan positif M mana pun. Variabel besar tak terhingga xn dikatakan cenderung tak terhingga atau mempunyai limit tak terhingga, dan dituliskan: xn → ∞ atau lim xn = ∞. n →∞ n →∞ 7 Sehubungan dengan diperkenalkannya konsep baru - “batas tak terhingga” - kami setuju untuk menyebut suatu batas dalam pengertian yang telah ditentukan sebelumnya sebagai batas berhingga. Contoh 2. Besaran xn = (− 1)n ⋅ n, dengan mengambil nilai -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K secara berturut-turut besarnya. Memang, xn = (− 1)n n = n . Dari sini jelas berapapun bilangan M, untuk semua n, dimulai dari beberapa, akan ada xn = n > M, yaitu lim xn = ∞. n →∞ Definisi 3. Besaran variabel xn disebut besaran positif tak terhingga jika untuk sembarang bilangan M dapat ditentukan bilangan asli N sehingga untuk semua bilangan n > N berlaku pertidaksamaan xn > M. Dalam hal ini, variabel besaran dikatakan xn cenderung ditambah tak terhingga dan secara simbolis dituliskan seperti ini: xn → +∞ atau lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Definisi 4. Suatu variabel xn disebut besaran negatif tak terhingga jika untuk sembarang bilangan M dapat ditentukan suatu bilangan asli N sehingga untuk semua n > N pertidaksamaan xn berlaku<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) dengan pusat di titik asal koordinat, titik xn, yang mewakili nilai-nilai besaran yang tak terhingga besarnya, dengan jumlah n yang cukup besar akan berada di luar segmen yang ditunjukkan dan dengan peningkatan lebih lanjut n akan tetap berada di luarnya ( Gambar 2). Selain itu, jika xn adalah besaran positif (negatif) yang sangat besar, maka titik yang mewakili nilainya adalah untuk bilangan yang cukup besar n di luar segmen yang ditentukan di sisi kanan (kiri) titik asal. Beras. 2 8 Catatan 2. 1. Simbol ∞, + ∞, − ∞ bukanlah bilangan, namun diperkenalkan hanya untuk menyederhanakan notasi dan untuk menyatakan secara singkat fakta bahwa suatu variabel adalah besar tak terhingga, besaran positif tak terhingga, dan besaran negatif tak terhingga. Harus diingat dengan tegas bahwa tidak ada operasi aritmatika yang dapat dilakukan pada simbol-simbol ini! 2. Anda tidak dapat mencampurkan bilangan konstan yang sangat besar dengan nilai yang sangat besar. Hubungan antara besaran tak terhingga besarnya dan besaran tak terhingga Teorema 1. Misal xn ≠0 (untuk sembarang n). Jika xn sangat besar, maka yn = 1 / xn sangat kecil; jika xn sangat kecil, maka yn = 1 / xn sangat besar. 1.3. Operasi aritmatika pada besaran variabel. Teorema dasar limit variabel (barisan) Mari kita perkenalkan konsep operasi aritmatika pada variabel. Misalkan kita mempunyai dua besaran variabel xn dan yn, masing-masing mengambil nilai sebagai berikut: x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... Jumlah dua variabel tertentu xn dan yn dipahami sebagai suatu variabel, yang masing-masing nilainya sama dengan jumlah nilai-nilai yang bersesuaian (dengan bilangan yang sama) dari variabel xn dan yn, yaitu suatu variabel yang mengambil a barisan nilai x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K Kita akan menyatakan variabel ini dengan xn + yn . Jumlah sejumlah variabel, produknya, serta selisih dua variabel dan hasil bagi mereka ditentukan dengan cara yang sama. Dengan demikian, muncul variabel baru: xn + yn, xn − y n, xn ⋅ y n dan x n / y n. (Dalam kasus terakhir, diasumsikan bahwa, setidaknya dari suatu bilangan, yn ≠0, dan hasil bagi xn / yn dianggap hanya untuk bilangan tersebut). Demikian pula definisi-definisi ini dirumuskan dalam urutan-urutan. 9 Teorema limit variabel Teorema 1. Variabel xn hanya dapat mempunyai satu limit. Ada hubungan antar variabel yang mempunyai limit dan besaran yang sangat kecil. Teorema 2. Besaran variabel yang mempunyai batas dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari batasnya dan beberapa besaran yang sangat kecil. Teorema 3 (berkonversi dengan Teorema 2). Jika variabel xn dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua suku xn = a + α n, (1.5) dimana a adalah suatu bilangan tertentu dan α n adalah bilangan yang sangat kecil, maka a adalah limit dari variabel xn. Teorema 4. Jika suatu variabel xn mempunyai limit berhingga, maka variabel tersebut dibatasi. Konsekuensi. Variabel yang sangat kecil terbatas. Lemma 1. Jumlah aljabar dari sejumlah besaran yang sangat kecil (tetapi terbatas) juga merupakan besaran yang sangat kecil. Lemma 2. Hasil kali variabel terbatas xn dan α n yang sangat kecil adalah besaran yang sangat kecil. Akibat wajar 1. Hasil kali suatu bilangan berhingga dari besaran-besaran yang sangat kecil menyatakan suatu besaran yang sangat kecil. Akibat wajar 2. Hasil kali suatu besaran tetap dan besaran yang sangat kecil adalah besaran yang sangat kecil. Akibat wajar 3. Hasil kali suatu besaran variabel yang cenderung ke limit dan suatu besaran yang sangat kecil adalah besaran yang sangat kecil. Dengan menggunakan Lemmas 1 dan 2, kita dapat membuktikan teorema tentang limit berikut. Teorema 5. Jika variabel xn dan yn mempunyai limit berhingga, maka jumlah, selisih, hasil kali juga mempunyai limit berhingga, dan: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Catatan 1. Teorema ini berlaku untuk sejumlah suku dan faktor tetap. Konsekuensi. Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda limit, yaitu lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ dengan c adalah suatu konstanta. Teorema 6. Jika variabel xn dan yn mempunyai limit berhingga dan yn ≠0, lim yn ≠ 0, maka hasil bagi variabel tersebut juga mempunyai limit, dan n →∞ 10

Urutan nomor.

Variabel berjalan melalui urutan nomor

Jika untuk setiap bilangan asli N diberi bilangan real xn, yaitu.

1, 2, 3, 4, …, N, …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

kemudian mereka mengatakan bahwa suatu barisan bilangan dengan suku yang sama diberikan xn. Berikut ini kita akan mengatakan bahwa variabel diberikan X, menelusuri barisan bilangan dengan suku yang sama xn. Dalam hal ini, kami akan menyatakan variabel ini xn. Nilai variabel xn diwakili oleh titik-titik pada sumbu bilangan.

Misalnya, jika diberi variabel:

: atau ;

: 1, 4, 6, …, 2N ..

Nomor A ditelepon batas variabel x n , jika untuk bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan asli N xn, nomor siapa N nomor lebih banyak N, memenuhi pertidaksamaan.

Fakta ini secara simbolis dituliskan sebagai berikut:

Secara geometris, ini berarti titik-titik yang mewakili nilai-nilai variabel xn, menebal, menumpuk di sekitar suatu titik A.

Perhatikan bahwa jika suatu variabel mempunyai batas, maka itu adalah satu-satunya. Limit suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri, yaitu , Jika c=konstan. Suatu variabel mungkin tidak memiliki batasan sama sekali.

Misalnya variabel x n =(-1) n tidak memiliki batas, mis. Tidak ada satu angka pun di mana nilai-nilai suatu variabel diakumulasikan. Secara geometris sudah jelas .

Variabel terbatas

Variabel xn ditelepon terbatas , jika nomor tersebut ada M> 0, yang mana | xn| < M untuk semua nomor N.

Diberikan sebuah variabel. Sebagai angka M Anda dapat mengambil, misalnya, 3. Tentunya untuk semua angka N. Oleh karena itu, merupakan variabel terbatas.

Variabel xn = 2N tidak terbatas, karena seiring bertambahnya jumlah N nilainya meningkat dan tidak mungkin menemukan angka seperti itu M> 0 hingga |2 N| < M untuk semua nomor N.

Dalil. Jika suatu variabel mempunyai limit yang berhingga, maka variabel tersebut terbatas.

Teorema kebalikannya tidak benar.

Jumlah yang sangat kecil

Variabel xn ditelepon kecil sekali , jika batasnya adalah 0.

Misalnya, besaran yang sangat kecil adalah:

Karena ;

Karena

Kuantitasnya bukanlah kuantitas yang sangat kecil, melainkan kuantitas yang terbatas.

Jumlah (selisih) suatu bilangan berhingga yang sangat kecil adalah besaran yang sangat kecil.

Hasil kali suatu besaran yang sangat kecil dengan suatu besaran yang tetap, atau dengan suatu besaran yang sangat kecil atau dengan suatu besaran yang mempunyai batas berhingga adalah suatu besaran yang sangat kecil.

Jumlah yang sangat besar

Variabel xn ditelepon sangat besar , jika untuk sejumlah besar yang sewenang-wenang SEBUAH>0, ada bilangan asli N, itu semua nilai variabel xn, nomor siapa n>N, memenuhi pertidaksamaan.

Dalam hal ini mereka menulis atau.

Misalnya, variabel berikut ini sangat besar:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; xn = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n ×n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Terlihat besaran nilai variabel-variabel tersebut meningkat tanpa batas.

, , .

Hasil kali suatu besaran tak terhingga dengan besaran tak terhingga atau suatu besaran yang mempunyai batas adalah besaran yang tak terhingga besarnya.

Jumlah bilangan yang sangat besar dari satu tanda adalah besarnya yang tidak terhingga.

Kebalikan dari tak terhingga besarnya adalah kecil sekali.

Kebalikan dari sesuatu yang sangat kecil adalah sesuatu yang sangat besar.

Komentar.

Jika , A- nomor, lalu mereka mengatakan itu xn Memiliki terbatas membatasi.

Jika , maka mereka mengatakan itu xn Memiliki tak ada habisnya membatasi.

Operasi aritmatika pada variabel

Jika variabel xn Dan kamu n mempunyai batas berhingga, maka jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi juga mempunyai batas berhingga, dan jika dan kemudian

(4.3)

Komentar: , c = konstanta.

Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda limit.

Fungsi

Biarkan dua variabel diberikan X Dan kamu.

Variabel kamu ditelepon fungsi dari variabel X, jika setiap nilai X dari suatu himpunan tertentu, menurut hukum tertentu, suatu nilai tertentu bersesuaian kamu.

Di mana X ditelepon variabel bebas atau argumen , y – variabel terikat atau fungsi . Ditunjukkan oleh: kamu = f(x) atau kamu=kamu(x).

Batas adalah salah satu konsep paling mendasar dalam matematika tingkat tinggi. Dalam bab ini kita akan melihat dua jenis limit utama: 1) limit suatu variabel; 2) limit fungsi.

Membiarkan X – Nilai variabel. Artinya nilainya X mengubah maknanya. Inilah yang membuatnya berbeda secara mendasar dari yang lain Nilai konstan A, yang tidak mengubah nilainya yang tidak berubah. Misalnya, tinggi sebuah tiang bernilai konstan, namun tinggi pohon hidup yang tumbuh bernilai variabel.

Nilai variabel X dianggap diberikan jika urutannya diberikan

Artinya. Artinya, nilai-nilai itu X 1; X 2; X 3;..., yang secara konsisten, satu demi satu, diterima dalam proses perubahannya. Kami akan berasumsi bahwa proses ini berubah berdasarkan besarnya X nilainya tidak berhenti pada tahap apapun (variabel X tidak pernah membeku, ia “selalu hidup”). Artinya barisan (1.1) mempunyai jumlah nilai yang tak terhingga, yang pada (1.1) ditandai dengan elipsis.

Tentu saja, timbul ketertarikan mengenai sifat perubahan besarnya X maknanya. Artinya, timbul pertanyaan: apakah nilai-nilai tersebut berubah secara tidak sistematis, kacau, atau disengaja?

Yang menjadi perhatian utama, tentu saja, adalah pilihan kedua. Yaitu, biarkan nilainya Xn Variabel X seiring bertambahnya jumlah mereka N mendekati tanpa batas waktu ( berjuang) ke nomor tertentu A. Artinya selisih (jarak) antar nilai Xn Variabel X dan nomor A berkontraksi, cenderung seiring peningkatannya N(pada ) ke nol. Dengan mengganti kata “mencari” dengan tanda panah, maka dapat dituliskan sebagai berikut:

Pada<=>di (1.2)

Jika (1.2) berlaku, maka kita katakan demikian Variabel x cenderung ke bilangan a. Nomor ini A Ditelepon Batas variabelX. Dan tertulis sebagai berikut:

<=> (1.3)

Membaca: MembatasiXsamaA (Xberjuang untukA).

Variabel aspirasi X sampai batasmu A Dapat digambarkan dengan jelas pada sumbu bilangan. Arti matematis yang tepat dari keinginan ini X Ke A adalah betapapun kecilnya bilangan positif yang diambil, dan oleh karena itu, betapapun kecilnya intervalnya juga tidak mengelilingi bilangan pada garis bilangan A, dalam interval ini (dalam apa yang disebut -lingkungan nomor tersebut A) akan memukul mulai dari angka tertentu N, semua nilai Xn Variabel X. Secara khusus, pada Gambar. 3.1 di lingkungan nomor yang digambarkan A mendapat semua nilai Xn Variabel X, dimulai dari angka.

Variabel X memiliki nol sebagai batasnya (yaitu cenderung nol) disebut Kecil sekali. Sebuah variabel X, tumbuh tanpa batas dalam nilai absolut disebut Sangat besar(modulusnya cenderung tak terhingga).

Jadi, jika , maka X adalah besaran variabel yang sangat kecil, dan jika , maka X– kuantitas variabel yang sangat besar. Khususnya, jika atau , maka X– kuantitas variabel yang sangat besar.

Jika kemudian . Dan sebaliknya jika , Itu . Dari sini kita mendapatkan hubungan penting berikut antara variabel X dan batasnya A:

Perhatikan bahwa tidak semua variabel X memiliki batas. Banyak variabel yang tidak memiliki batasan. Ada atau tidaknya tergantung pada urutan (1.1) nilai variabel tersebut.

Contoh 1 . Membiarkan

Di sini, jelas sekali.

Contoh 2 . Membiarkan

X– sangat kecil.

Contoh 3 . Membiarkan

Di sini, jelas sekali. Jadi variabelnya X– sangat besar.

Contoh 4 . Membiarkan

Di sini, jelas, variabelnya X tidak berusaha untuk apa pun. Maksudnya tidak ada batasnya (tidak ada).

Contoh 5 . Membiarkan

Inilah situasi dengan limit variabel X tidak sejelas empat contoh sebelumnya. Untuk memperjelas situasi ini, mari kita ubah nilainya Xn variabel X:

Jelasnya, pada . Cara,

pada .

Dan ini berarti itu.

Contoh 6 . Membiarkan

Berikut urutannya ( Xn) nilai variabel X mewakili barisan geometri tak hingga dengan penyebutnya Q. Oleh karena itu, limit variabelnya X adalah limit barisan geometri tak hingga.

A) Jika , maka, tentu saja, pada . Dan ini berarti ().