Sudut antara dua vektor , :

Jika sudut antara dua vektor lancip, maka hasil kali skalarnya positif; jika sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul, maka hasil kali skalar vektor-vektor tersebut adalah negatif. Hasil kali skalar dua vektor bukan nol sama dengan nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal.

Latihan. Temukan sudut antara vektor dan

Larutan. Kosinus sudut yang diinginkan

16. Perhitungan sudut antara garis lurus, garis lurus dan bidang

Sudut antara garis lurus dan bidang, yang memotong garis ini dan tidak tegak lurus terhadapnya, adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang ini.

Menentukan sudut antara garis dan bidang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara dua garis yang berpotongan: garis lurus itu sendiri dan proyeksinya ke bidang. Oleh karena itu, sudut antara garis lurus dan bidang merupakan sudut lancip.

Sudut antara garis lurus tegak lurus dan bidang dianggap sama dengan , dan sudut antara garis lurus sejajar dan bidang tidak ditentukan sama sekali atau dianggap sama dengan .

§ 69. Perhitungan sudut antara garis lurus.

Masalah menghitung sudut antara dua garis lurus dalam ruang diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada bidang (§ 32). Mari kita nyatakan dengan φ besar sudut antar garis aku 1 dan aku 2, dan melalui ψ - besarnya sudut antara vektor arah A Dan B garis lurus ini.

Lalu jika

ψ 90° (Gbr. 206.6), maka φ = 180° - ψ. Jelasnya, dalam kedua kasus persamaan cos φ = |cos ψ| benar. Dengan rumus (1) § 20 kita punya

karena itu,

Biarkan garis-garis tersebut diberikan oleh persamaan kanoniknya

Kemudian sudut φ antar garis ditentukan dengan menggunakan rumus

Jika salah satu garis (atau keduanya) diberikan oleh persamaan non-kanonik, maka untuk menghitung sudut Anda perlu mencari koordinat vektor arah garis-garis tersebut, dan kemudian menggunakan rumus (1).

17. Garis sejajar, Teorema garis sejajar

Definisi. Dua garis pada suatu bidang disebut paralel, jika mereka tidak memiliki kesamaan.

Dua garis dalam ruang tiga dimensi disebut paralel, jika keduanya terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik yang sama.

Sudut antara dua vektor.

Dari definisi perkalian titik:

.

Syarat ortogonalitas dua vektor:

Syarat kolinearitas dua vektor:

.

Mengikuti dari Definisi 5 - . Memang dari definisi hasil kali vektor dan bilangan berikut ini. Oleh karena itu, berdasarkan aturan persamaan vektor, kita menulis , , , yang menyiratkan . Tetapi vektor hasil perkalian vektor dengan bilangan tersebut segaris terhadap vektor tersebut.

Proyeksi vektor ke vektor:

.

Contoh 4. Poin yang diberikan , , , .

Temukan produk titiknya.

Larutan. kita temukan menggunakan rumus perkalian skalar vektor-vektor yang ditentukan oleh koordinatnya. Karena

, ,

Contoh 5. Poin yang diberikan , , , .

Temukan proyeksi.

Larutan. Karena

, ,

Berdasarkan rumus proyeksi yang kita miliki

.

Contoh 6. Poin yang diberikan , , , .

Tentukan sudut antara vektor dan .

Larutan. Perhatikan bahwa vektor

, ,

tidak segaris karena koordinatnya tidak proporsional:

.

Vektor-vektor ini juga tidak tegak lurus karena hasil kali skalarnya adalah .

Ayo temukan

Sudut kita temukan dari rumus:

.

Contoh 7. Tentukan pada vektor apa dan segaris.

Larutan. Dalam kasus kolinearitas, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian dan harus proporsional, yaitu:

.

Oleh karena itu dan.

Contoh 8. Tentukan pada nilai vektor berapa Dan tegak lurus.

Larutan. Vektor dan tegak lurus jika hasil kali skalarnya nol. Dari kondisi ini diperoleh : . Itu adalah, .

Contoh 9. Menemukan , Jika , , .

Larutan. Karena sifat produk skalar, kita mempunyai:

Contoh 10. Temukan sudut antara vektor dan , di mana dan - vektor satuan dan sudut antara vektor dan sama dengan 120°.

Larutan. Kita punya: , ,

Akhirnya kami memiliki: .

5B. Karya seni vektor.

Definisi 21.Karya seni vektor vektor demi vektor disebut vektor, atau, ditentukan oleh tiga kondisi berikut:

1) Modulus vektor sama dengan , dimana adalah sudut antara vektor dan , yaitu. .

Oleh karena itu, modulus perkalian vektor secara numerik sama dengan luas jajar genjang yang dibangun pada vektor dan kedua sisinya.

2) Vektor tegak lurus terhadap masing-masing vektor dan ( ; ), yaitu. tegak lurus terhadap bidang jajar genjang yang dibangun pada vektor dan .

3) Vektor diarahkan sedemikian rupa sehingga jika dilihat dari ujungnya, putaran terpendek dari vektor ke vektor adalah berlawanan arah jarum jam (vektor , , membentuk rangkap tiga kanan).

Bagaimana cara menghitung sudut antar vektor?

Saat mempelajari geometri, banyak pertanyaan yang muncul pada topik vektor. Siswa mengalami kesulitan tertentu ketika perlu mencari sudut antar vektor.

Istilah dasar

Sebelum membahas tentang sudut antar vektor, ada baiknya kita mengenal terlebih dahulu pengertian vektor dan konsep sudut antar vektor.

Vektor adalah suatu segmen yang mempunyai arah, yaitu suatu segmen yang awal dan akhirnya ditentukan.

Sudut antara dua vektor pada suatu bidang yang mempunyai titik asal yang sama adalah sudut yang lebih kecil dengan besarnya salah satu vektor harus dipindahkan mengelilingi titik yang sama sampai arahnya bertepatan.

Formula untuk solusi

Setelah Anda memahami apa itu vektor dan cara menentukan sudutnya, Anda dapat menghitung sudut antar vektor. Rumus penyelesaiannya cukup sederhana, dan hasil penerapannya adalah nilai kosinus sudut. Menurut definisinya, itu sama dengan hasil bagi hasil kali skalar vektor dan hasil kali panjangnya.

Produk skalar vektor dihitung sebagai jumlah koordinat vektor faktor yang bersesuaian dikalikan satu sama lain. Panjang suatu vektor, atau modulusnya, dihitung sebagai akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.

Setelah mendapat nilai kosinus sudut, Anda dapat menghitung nilai sudut itu sendiri menggunakan kalkulator atau menggunakan tabel trigonometri.

Contoh

Setelah Anda mengetahui cara menghitung sudut antar vektor, penyelesaian masalah terkait akan menjadi sederhana dan jelas. Sebagai contoh, ada baiknya mempertimbangkan masalah sederhana dalam mencari nilai sudut.

Pertama-tama, akan lebih mudah untuk menghitung nilai panjang vektor dan produk skalarnya yang diperlukan untuk penyelesaiannya. Dengan menggunakan uraian yang disajikan di atas, kita mendapatkan:

Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus, kami menghitung nilai kosinus sudut yang diinginkan:

Angka ini bukan salah satu dari lima nilai kosinus yang umum, jadi untuk mendapatkan sudutnya, Anda harus menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri Bradis. Namun sebelum mendapatkan sudut antar vektor, rumusnya dapat disederhanakan untuk menghilangkan tanda negatif tambahan:

Untuk menjaga keakuratan, jawaban akhir dapat dibiarkan apa adanya, atau Anda dapat menghitung nilai sudut dalam derajat. Menurut tabel Bradis, nilainya kira-kira 116 derajat 70 menit, dan kalkulator akan menunjukkan nilai 116,57 derajat.

Menghitung sudut dalam ruang berdimensi n

Saat mempertimbangkan dua vektor dalam ruang tiga dimensi, akan jauh lebih sulit untuk memahami sudut mana yang dimaksud jika keduanya tidak terletak pada bidang yang sama. Untuk menyederhanakan persepsi, Anda dapat menggambar dua segmen berpotongan yang membentuk sudut terkecil di antara keduanya; ini akan menjadi yang diinginkan. Meskipun terdapat koordinat ketiga pada vektor, proses penghitungan sudut antar vektor tidak akan berubah. Hitung produk skalar dan modulus vektor; kosinus busur hasil bagi mereka akan menjadi jawaban untuk masalah ini.

Dalam geometri, seringkali terdapat permasalahan pada ruang yang mempunyai lebih dari tiga dimensi. Namun bagi mereka, algoritma untuk menemukan jawabannya terlihat serupa.

Perbedaan antara 0 dan 180 derajat

Salah satu kesalahan umum dalam menulis jawaban soal yang dirancang untuk menghitung sudut antar vektor adalah keputusan untuk menulis bahwa vektor-vektor tersebut sejajar, yaitu sudut yang diinginkan sama dengan 0 atau 180 derajat. Jawaban ini salah.

Setelah menerima nilai sudut 0 derajat sebagai hasil penyelesaian, jawaban yang benar adalah dengan menyatakan vektor-vektor tersebut sebagai searah, yaitu vektor-vektor tersebut akan mempunyai arah yang sama. Jika diperoleh 180 derajat, maka vektor-vektornya akan berlawanan arah.

Vektor tertentu

Setelah menemukan sudut antar vektor, Anda dapat menemukan salah satu tipe khusus, selain vektor searah dan berlawanan arah yang dijelaskan di atas.

• Beberapa vektor yang sejajar pada satu bidang disebut koplanar.
• Vektor-vektor yang sama panjang dan arahnya disebut sama besar.
• Vektor-vektor yang terletak pada suatu garis lurus yang sama tanpa memandang arahnya disebut segaris.
• Jika panjang suatu vektor sama dengan nol, yaitu awal dan akhir vektor sama, maka disebut nol, dan jika satu maka disebut satuan.

Bagaimana cara mencari sudut antar vektor?

tolong bantu aku! Aku tahu rumusnya, tapi aku tidak bisa menghitungnya ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Sudut antara vektor yang ditentukan oleh koordinatnya ditemukan menggunakan algoritma standar. Pertama, Anda perlu mencari hasil kali skalar vektor a dan b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Kami mengganti koordinat vektor-vektor ini di sini dan menghitung:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Selanjutnya kita tentukan panjang masing-masing vektor. Panjang atau modulus suatu vektor adalah akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya:
|sebuah| = akar dari (x1^2 + y1^2 + z1^2) = akar dari (8^2 + 10^2 + 4^2) = akar dari (64 + 100 + 16) = akar dari 180 = 6 akar dari 5
|b| = akar dari (x2^2 + y2^2 + z2^2) = akar dari (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = akar dari (25 + 400 + 100) = akar dari 525 = 5 akar dari 21.
Kami mengalikan panjangnya. Kami mendapatkan 30 akar dari 105.
Dan terakhir, kita membagi hasil kali skalar vektor dengan hasil kali panjang vektor tersebut. Kita mendapatkan -200/(30 akar dari 105) atau
- (4 akar dari 105) / 63. Ini adalah kosinus sudut antar vektor. Dan sudutnya sendiri sama dengan kosinus busur dari bilangan ini
f = arccos(-4 akar dari 105) / 63.
Jika saya menghitung semuanya dengan benar.

Cara menghitung sinus sudut antar vektor dengan menggunakan koordinat vektor

Mikhail Tkachev

Mari kalikan vektor-vektor ini. Hasil kali skalarnya sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor ini dan kosinus sudut di antara keduanya.
Sudutnya tidak kita ketahui, tetapi koordinatnya diketahui.
Mari kita tuliskan secara matematis seperti ini.
Misalkan vektor a(x1;y1) dan b(x2;y2) diberikan
Kemudian

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mari kita bicara.
a*b-hasil kali skalar vektor-vektor sama dengan jumlah hasil kali koordinat-koordinat yang bersesuaian dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut, yaitu sama dengan x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-hasil kali panjang vektor sama dengan √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Artinya kosinus sudut antar vektor sama dengan:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Dengan mengetahui cosinus suatu sudut, kita dapat menghitung sinusnya. Mari kita bahas cara melakukan ini:

Jika kosinus suatu sudut positif, maka sudut tersebut terletak pada 1 atau 4 kuadran, artinya sinusnya positif atau negatif. Tetapi karena sudut antar vektor kurang dari atau sama dengan 180 derajat, maka sinusnya positif. Kami beralasan serupa jika kosinusnya negatif.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Itu saja)))) semoga berhasil mengetahuinya)))

Dmitry Levishchev

Fakta bahwa tidak mungkin untuk membuat sinus secara langsung tidaklah benar.
Selain rumus:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ada juga yang ini:
||=|a|*|b|*dosa A
Artinya, alih-alih perkalian skalar, Anda dapat mengambil modul perkalian vektor.

Pengetahuan dan pemahaman istilah-istilah matematika akan membantu dalam menyelesaikan banyak permasalahan baik pada mata kuliah aljabar maupun geometri. Peran yang sama pentingnya diberikan pada rumus yang menampilkan hubungan antara karakteristik matematika.

Sudut antar vektor - penjelasan terminologi

Untuk merumuskan definisi sudut antar vektor, perlu diketahui apa yang dimaksud dengan istilah “vektor”. Konsep ini mencirikan suatu bagian garis lurus yang mempunyai permulaan, panjang dan arah. Jika di depanmu ada 2 ruas berarah yang bermula pada satu titik yang sama, maka keduanya membentuk sudut.

Itu. istilah “sudut antar vektor” mendefinisikan besaran derajat sudut terkecil yang memutar satu ruas berarah (relatif terhadap titik awal) sehingga mengambil posisi/arah ruas garis berarah kedua. Pernyataan ini berlaku untuk vektor-vektor yang berasal dari satu titik.

Besaran derajat sudut antara dua bagian berarah suatu garis lurus yang berasal dari titik yang sama terdapat dalam ruas dari 0 º hingga 180 º. Besaran ini dinotasikan sebagai ∠(ā,ū) – sudut antara segmen berarah ā dan ū.

Perhitungan sudut antar vektor

Perhitungan besaran derajat sudut yang dibentuk oleh sepasang bagian berarah suatu garis lurus dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – sudut yang diinginkan antara vektor tertentu ō dan ā,

(ō,ā) – hasil kali skalar dari bagian garis yang diarahkan,

|ō|·|ā| – hasil kali panjang segmen berarah tertentu.

Penentuan hasil kali skalar dari bagian-bagian berarah suatu garis lurus

Bagaimana cara menggunakan rumus ini dan menentukan nilai pembilang dan penyebut dari rasio yang disajikan?

Bergantung pada sistem koordinat (ruang Kartesius atau tiga dimensi) di mana vektor-vektor tertentu berada, setiap segmen berarah memiliki parameter berikut:

ō = { Hai X, Hai kamu ), ā = ( sebuah x, A kamu) atau

ō = { Hai X, Hai kamu ,Hai z ), ā = ( sebuah x, A kamu ,A z).

Oleh karena itu, untuk mencari nilai pembilang - skalar segmen berarah - Anda harus melakukan tindakan berikut:

(ō,ā) = ō * ā = Hai X* sebuah x+ Hai kamu *A y jika vektor-vektor yang ditinjau terletak pada bidang

(ō,ā) = ō * ā = Hai X* sebuah x+ Hai kamu *A kamu+ Hai z* A z jika bagian garis yang berarah terletak di luar angkasa.

Menentukan panjang vektor

Panjang segmen berarah dihitung menggunakan ekspresi:

|ō| = √ Hai x 2 + Hai kamu 2 atau |ō| = √ Hai x 2 + Hai kamu2+ Hai z 2

|ā| = √ a x 2 + A kamu 2 atau |ā| = √ A x 2 + A kamu2+ A z 2

Itu. dalam kasus umum pengukuran n-dimensi, ekspresi untuk menentukan besaran derajat sudut antara segmen berarah ō = ( Hai X, Hai kamu , … o n) dan ā = ( sebuah x, A kamu , … A n ) terlihat seperti ini:

φ = arccos (cosφ) = arccos (( Hai X* sebuah x+ Hai kamu *A kamu + … + Hai N* A n)/(√ Hai x 2 + Hai kamu 2 + … + Hai n2*√ A x 2 + A kamu 2 + … + A n 2)).

Contoh penghitungan sudut antar segmen berarah

Berdasarkan kondisi tersebut, diberikan vektor ī = (3; 4; 0) dan ū = (4; 4; 2). Berapa derajat sudut yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut?

Tentukan skalar dari vektor ī dan ū. Untuk ini:

saya * kamu = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

Kemudian hitung panjang ruas tersebut:

|saya| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Dengan menggunakan tabel nilai cosinus (Bradis), tentukan nilai sudut yang diinginkan:

cos (ī,ū) = 0,9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.

Produk titik dari vektor

Kami terus menangani vektor. Pada pelajaran pertama Vektor untuk boneka Kami melihat konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor, dan masalah paling sederhana dengan vektor. Jika Anda pertama kali membuka halaman ini dari mesin pencari, saya sangat menyarankan untuk membaca artikel pengantar di atas, karena untuk menguasai materi Anda harus memahami istilah dan notasi yang saya gunakan, memiliki pengetahuan dasar tentang vektor dan mampu menyelesaikan permasalahan mendasar. Pelajaran ini merupakan kelanjutan logis dari topik tersebut, dan di dalamnya saya akan menganalisis secara rinci tugas-tugas umum yang menggunakan produk skalar vektor. Ini adalah kegiatan yang SANGAT PENTING.. Cobalah untuk tidak melewatkan contoh; contoh tersebut memberikan bonus yang berguna - latihan akan membantu Anda mengkonsolidasikan materi yang telah Anda pelajari dan menjadi lebih baik dalam memecahkan masalah umum dalam geometri analitik.

Penjumlahan vektor, perkalian vektor dengan bilangan.... Naif jika berpikir bahwa ahli matematika belum menemukan hal lain. Selain tindakan yang telah dibahas, masih ada beberapa operasi lain dengan vektor, yaitu: perkalian titik dari vektor, produk vektor dari vektor Dan produk campuran vektor. Produk skalar vektor sudah kita kenal sejak sekolah, dua produk lainnya secara tradisional termasuk dalam mata pelajaran matematika tingkat tinggi. Topiknya sederhana, algoritma untuk memecahkan banyak masalah mudah dimengerti dan dimengerti. Satu-satunya. Ada cukup banyak informasi, jadi tidak diinginkan untuk mencoba menguasai dan menyelesaikan SEMUANYA SEKALI. Hal ini terutama berlaku untuk boneka, percayalah, penulis sama sekali tidak ingin merasa seperti Chikatilo dari matematika. Ya, bukan dari matematika tentunya juga =) Siswa yang lebih siap dapat menggunakan materi secara selektif, dalam arti tertentu “mendapatkan” ilmu yang hilang, bagimu saya akan menjadi Count Dracula yang tidak berbahaya =)

Mari kita akhirnya membuka pintu dan menyaksikan dengan antusias apa yang terjadi jika dua vektor bertemu satu sama lain...

Definisi produk skalar vektor.
Properti produk skalar. Tugas khas

Konsep produk titik

Tentang pertama sudut antar vektor. Saya rasa semua orang secara intuitif memahami apa itu sudut antar vektor, tetapi untuk berjaga-jaga, sedikit lebih detail. Mari kita pertimbangkan vektor bebas bukan nol dan . Jika Anda memplot vektor-vektor ini dari titik sembarang, Anda akan mendapatkan gambaran yang sudah banyak dibayangkan secara mental:

Saya akui, di sini saya menggambarkan situasinya hanya pada tingkat pemahaman. Jika Anda memerlukan definisi yang tegas tentang sudut antar vektor, silakan merujuk ke buku teks, untuk soal praktis pada prinsipnya kita tidak memerlukannya. Juga DI SINI DAN DI SINI saya akan mengabaikan vektor nol di beberapa tempat karena signifikansi praktisnya yang rendah. Saya membuat reservasi khusus untuk pengunjung situs tingkat lanjut yang mungkin mencela saya karena ketidaklengkapan teoretis dari beberapa pernyataan berikutnya.

Dalam literatur, simbol sudut sering kali dilewati dan ditulis begitu saja.

Definisi: Hasil kali skalar dua vektor adalah ANGKA yang sama dengan hasil kali panjang vektor-vektor tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya:

Ini adalah definisi yang cukup ketat.

Kami fokus pada informasi penting:

Penamaan: produk skalar dilambangkan dengan atau secara sederhana.

Hasil operasinya adalah ANGKA: Vektor dikalikan dengan vektor, dan hasilnya berupa bilangan. Memang benar, jika panjang suatu vektor adalah bilangan, kosinus suatu sudut adalah bilangan, maka hasil kali vektor-vektor tersebut juga akan menjadi angka.

Hanya beberapa contoh pemanasan:

Contoh 1

Larutan: Kami menggunakan rumusnya . Pada kasus ini:

Menjawab:

Nilai cosinus dapat ditemukan di tabel trigonometri. Saya sarankan untuk mencetaknya - ini akan dibutuhkan di hampir semua bagian menara dan akan dibutuhkan berkali-kali.

Dari sudut pandang matematis murni, perkalian skalar tidak berdimensi, artinya hasilnya dalam hal ini hanyalah bilangan dan hanya itu. Dari sudut pandang persoalan fisika, suatu perkalian skalar selalu mempunyai arti fisis tertentu, yaitu setelah hasilnya satu atau beberapa satuan fisis harus ditunjukkan. Contoh kanonik penghitungan kerja suatu gaya dapat ditemukan di buku teks mana pun (rumusnya persis merupakan produk skalar). Usaha suatu gaya diukur dalam Joule, oleh karena itu jawabannya akan ditulis secara spesifik, misalnya .

Contoh 2

Temukan jika , dan sudut antar vektor sama dengan .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, jawabannya ada di akhir pelajaran.

Sudut antara vektor dan nilai perkalian titik

Pada Contoh 1 hasil kali skalar ternyata positif, dan pada Contoh 2 hasilnya negatif. Mari kita cari tahu apa yang menentukan tanda hasil kali skalar. Mari kita lihat rumus kita: . Panjang vektor bukan nol selalu positif: , sehingga tandanya hanya bergantung pada nilai kosinus.

Catatan: Untuk lebih memahami informasi di bawah ini, ada baiknya mempelajari grafik kosinus di manual Grafik fungsi dan properti. Lihat bagaimana kosinus berperilaku pada segmen tersebut.

Seperti yang telah disebutkan, sudut antar vektor dapat bervariasi , dan kasus berikut mungkin terjadi:

1) Jika sudut antar vektor pedas: (dari 0 hingga 90 derajat), lalu , Dan produk titiknya akan positif diarahkan bersama, maka sudut antara keduanya dianggap nol, dan hasil kali skalarnya juga positif. Karena , rumusnya disederhanakan: .

2) Jika sudut antar vektor tumpul: (dari 90 hingga 180 derajat), lalu , dan dengan demikian, perkalian titik bernilai negatif: . Kasus khusus: jika vektor arah berlawanan, maka sudut antara keduanya dihitung diperluas: (180 derajat). Produk skalar juga negatif

Pernyataan sebaliknya juga benar:

1) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut lancip. Atau, vektor-vektornya searah.

2) Jika , maka sudut antara vektor-vektor tersebut tumpul. Atau, vektor-vektornya berada dalam arah yang berlawanan.

Namun kasus ketiga adalah hal yang menarik:

3) Jika sudut antar vektor lurus: (90 derajat), lalu produk skalar adalah nol: . Kebalikannya juga benar: jika, maka. Pernyataan tersebut dapat dirumuskan secara ringkas sebagai berikut: Hasil kali skalar dua vektor adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut ortogonal. Notasi matematika singkat:

! Catatan : Mari kita ulangi dasar-dasar logika matematika: Ikon konsekuensi logis dua sisi biasanya dibaca "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika". Seperti yang Anda lihat, panah diarahkan ke kedua arah - "dari ini mengikuti ini, dan sebaliknya - dari itu mengikuti ini". Ngomong-ngomong, apa bedanya dengan ikon ikuti satu arah? Ikon tersebut menyatakan hanya itu, bahwa “dari sini timbullah ini,” dan bukanlah fakta bahwa yang terjadi adalah sebaliknya. Misalnya: , tetapi tidak semua hewan adalah macan kumbang, jadi dalam hal ini Anda tidak dapat menggunakan ikon tersebut. Pada saat yang sama, alih-alih ikon Bisa gunakan ikon satu sisi. Misalnya, saat menyelesaikan soal, kami menemukan bahwa kami menyimpulkan bahwa vektor-vektornya ortogonal: - entri seperti itu akan benar, dan bahkan lebih tepat daripada .

Kasus ketiga mempunyai arti praktis yang besar, karena ini memungkinkan Anda memeriksa apakah vektor ortogonal atau tidak. Kita akan memecahkan masalah ini di bagian kedua pelajaran.

Properti produk titik

Mari kita kembali ke situasi ketika dua vektor diarahkan bersama. Dalam hal ini, sudut di antara keduanya adalah nol, , dan rumus hasil kali skalar berbentuk: .

Apa jadinya jika suatu vektor dikalikan dengan dirinya sendiri? Jelas bahwa vektor sejajar dengan dirinya sendiri, jadi kita menggunakan rumus sederhana di atas:

Nomor tersebut dipanggil skalar persegi vektor, dan dilambangkan sebagai .

Dengan demikian, kuadrat skalar suatu vektor sama dengan kuadrat panjang vektor tersebut:

Dari persamaan tersebut kita dapat memperoleh rumus untuk menghitung panjang vektor:

Sejauh ini tampaknya masih belum jelas, namun tujuan pembelajaran akan menempatkan segalanya pada tempatnya. Untuk memecahkan masalah kita juga membutuhkannya sifat perkalian titik.

Untuk vektor sembarang dan bilangan apa pun, sifat-sifat berikut ini berlaku:

1) – komutatif atau komutatif hukum produk skalar.

2) – distribusi atau distributif hukum produk skalar. Sederhananya, Anda bisa membuka tanda kurung.

3) – asosiatif atau asosiatif hukum produk skalar. Konstanta dapat diturunkan dari produk skalar.

Seringkali segala macam sifat (yang juga perlu dibuktikan!) dianggap oleh siswa sebagai sampah yang tidak perlu, yang hanya perlu dihafal dan dilupakan dengan aman segera setelah ujian. Tampaknya yang penting di sini, semua orang sudah tahu sejak kelas satu bahwa menata ulang faktor-faktor tidak mengubah produk: . Saya harus memperingatkan Anda bahwa dalam matematika yang lebih tinggi, mudah untuk mengacaukan segalanya dengan pendekatan seperti itu. Jadi, misalnya, sifat komutatif tidak berlaku matriks aljabar. Hal ini juga tidak benar produk vektor dari vektor. Oleh karena itu, paling tidak, lebih baik mempelajari sifat-sifat apa pun yang Anda temui dalam mata kuliah matematika tingkat tinggi untuk memahami apa yang bisa dilakukan dan apa yang tidak bisa dilakukan.

Contoh 3

.

Larutan: Pertama, mari kita perjelas situasinya dengan vektor. Apa ini sebenarnya? Jumlah vektor adalah vektor yang terdefinisi dengan baik, yang dilambangkan dengan . Interpretasi geometris dari tindakan dengan vektor dapat ditemukan di artikel Vektor untuk boneka. Peterseli yang sama dengan vektor adalah jumlah dari vektor dan .

Jadi sesuai dengan kondisi tersebut, perlu dicari hasil kali skalarnya. Secara teori, Anda perlu menerapkan rumus kerja , tetapi masalahnya adalah kita tidak mengetahui panjang vektor dan sudut di antara keduanya. Namun kondisi tersebut memberikan parameter serupa untuk vektor, jadi kita akan mengambil rute yang berbeda:

(1) Substitusikan ekspresi vektor-vektor tersebut.

(2) Kami membuka tanda kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial, twister lidah yang vulgar dapat ditemukan di artikel Bilangan kompleks atau Mengintegrasikan Fungsi Pecahan-Rasional. Saya tidak akan mengulanginya =) Omong-omong, properti distributif produk skalar memungkinkan kita membuka tanda kurung. Kami punya hak.

(3) Pada suku pertama dan terakhir kita tuliskan secara kompak kuadrat skalar dari vektor-vektor: . Pada suku kedua kita menggunakan komutabilitas produk skalar: .

(4) Kami menyajikan istilah serupa: .

(5) Pada suku pertama kita menggunakan rumus skalar kuadrat, yang telah disebutkan belum lama ini. Oleh karena itu, pada istilah terakhir, hal yang sama berlaku: . Kami memperluas suku kedua sesuai dengan rumus standar .

(6) Gantikan kondisi ini , dan HATI-HATI melakukan perhitungan akhir.

Menjawab:

Nilai negatif hasil kali skalar menyatakan fakta bahwa sudut antar vektor adalah tumpul.

Masalahnya biasa saja, berikut contoh penyelesaiannya sendiri:

Contoh 4

Temukan produk skalar vektor dan jika diketahui .

Sekarang tugas umum lainnya, hanya untuk rumus baru untuk panjang sebuah vektor. Notasi di sini akan sedikit tumpang tindih, jadi untuk lebih jelasnya saya akan menulis ulang dengan huruf yang berbeda:

Contoh 5

Tentukan panjang vektor jika .

Larutan akan menjadi sebagai berikut:

(1) Kami menyediakan ekspresi untuk vektor.

(2) Kita menggunakan rumus panjang: , dan seluruh ekspresi ve bertindak sebagai vektor “ve”.

(3) Kami menggunakan rumus sekolah untuk kuadrat jumlah tersebut. Perhatikan cara kerjanya di sini dengan cara yang aneh: – pada kenyataannya, ini adalah kuadrat selisihnya, dan, pada kenyataannya, begitulah adanya. Bagi yang berkeinginan dapat menyusun ulang vektor-vektornya: - Hal yang sama terjadi, hingga penataan ulang suku-sukunya.

(4) Yang berikut ini sudah familiar dari dua soal sebelumnya.

Menjawab:

Karena kita berbicara tentang panjang, jangan lupa untuk menunjukkan dimensi - “satuan”.

Contoh 6

Tentukan panjang vektor jika .

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kami terus memeras hal-hal yang berguna dari perkalian titik. Mari kita lihat rumus kita lagi . Dengan menggunakan aturan proporsi, kita mengembalikan panjang vektor ke penyebut ruas kiri:

Mari kita tukar bagiannya:

Apa arti dari rumus ini? Jika panjang dua vektor dan hasil kali skalarnya diketahui, maka kita dapat menghitung kosinus sudut antara vektor-vektor tersebut, dan akibatnya, sudut itu sendiri.

Apakah perkalian titik merupakan suatu bilangan? Nomor. Apakah panjang vektor merupakan bilangan? Angka. Artinya pecahan juga merupakan bilangan. Dan jika kosinus sudutnya diketahui: , maka dengan menggunakan fungsi invers mudah untuk mencari sudut itu sendiri: .

Contoh 7

Tentukan sudut antara vektor-vektor tersebut dan jika diketahui .

Larutan: Kami menggunakan rumus:

Pada tahap akhir perhitungan, teknik teknis digunakan - menghilangkan irasionalitas penyebut. Untuk menghilangkan irasionalitas, saya mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Jadi jika , Itu:

Nilai fungsi trigonometri terbalik dapat dicari dengan cara tabel trigonometri. Meskipun hal ini jarang terjadi. Dalam soal-soal geometri analitik, lebih sering ada orang yang kikuk seperti , dan nilai sudut harus dicari kira-kira menggunakan kalkulator. Sebenarnya kita akan melihat gambaran seperti itu lebih dari sekali.

Menjawab:

Sekali lagi, jangan lupa untuk menunjukkan dimensinya - radian dan derajat. Secara pribadi, untuk “menyelesaikan semua pertanyaan” dengan jelas, saya lebih suka menunjukkan keduanya (kecuali, tentu saja, kondisinya mengharuskan penyajian jawaban hanya dalam radian atau hanya dalam derajat).

Sekarang Anda dapat secara mandiri mengatasi tugas yang lebih kompleks:

Contoh 7*

Diberikan panjang vektor-vektor dan sudut di antara vektor-vektor tersebut. Temukan sudut antara vektor , .

Tugasnya tidak terlalu sulit karena bersifat multi-langkah.
Mari kita lihat algoritma solusinya:

1) Sesuai dengan syaratnya, Anda perlu mencari sudut antara vektor dan , jadi Anda perlu menggunakan rumus .

2) Temukan produk skalar (lihat Contoh No. 3, 4).

3) Tentukan panjang vektor dan panjang vektor (lihat Contoh No. 5, 6).

4) Akhir penyelesaiannya bertepatan dengan Contoh No. 7 - kita mengetahui bilangannya , yang artinya mudah untuk mencari sudutnya sendiri:

Solusi singkat dan jawaban di akhir pelajaran.

Bagian kedua dari pelajaran ini dikhususkan untuk produk skalar yang sama. Koordinat. Ini akan lebih mudah daripada bagian pertama.

Produk titik dari vektor,
diberikan oleh koordinat dalam basis ortonormal

Menjawab:

Tentu saja, berurusan dengan koordinat jauh lebih menyenangkan.

Contoh 14

Temukan produk skalar dari vektor dan jika

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di sini Anda dapat menggunakan asosiatifitas operasi, yaitu, jangan menghitung , tetapi segera keluarkan tripel dari produk skalar dan kalikan dengan yang terakhir. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.

Di akhir bagian, contoh provokatif dalam menghitung panjang vektor:

Contoh 15

Temukan panjang vektor , Jika

Larutan: Metode pada bagian sebelumnya muncul lagi: tetapi ada cara lain:

Mari kita cari vektornya:

Dan panjangnya menurut rumus sepele :

Perkalian titik sama sekali tidak relevan di sini!

Ini juga tidak berguna saat menghitung panjang sebuah vektor:
Berhenti. Bukankah kita harus memanfaatkan sifat panjang vektor yang jelas? Apa yang dapat kamu katakan tentang panjang vektor? Vektor ini 5 kali lebih panjang dari vektor. Arahnya berlawanan, tapi ini tidak masalah, karena kita berbicara tentang panjang. Jelasnya, panjang vektor sama dengan hasil kali modul angka per panjang vektor:
– tanda modulus “memakan” kemungkinan minus dari bilangan tersebut.

Dengan demikian:

Menjawab:

Rumus kosinus sudut antar vektor yang ditentukan oleh koordinat

Sekarang kita mempunyai informasi lengkap untuk menggunakan rumus turunan sebelumnya untuk kosinus sudut antar vektor nyatakan melalui koordinat vektor:

Kosinus sudut antar vektor bidang dan , ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:
.

Kosinus sudut antar vektor ruang, ditentukan dalam dasar ortonormal, dinyatakan dengan rumus:

Contoh 16

Diberikan tiga titik sudut pada suatu segitiga. Temukan (sudut titik).

Larutan: Menurut ketentuan, gambar tidak diperlukan, tetapi tetap:

Sudut yang diperlukan ditandai dengan busur hijau. Mari kita segera mengingat sebutan sekolah tentang sudut: – perhatian khusus pada rata-rata huruf - ini adalah titik sudut yang kita butuhkan. Untuk singkatnya, Anda juga dapat menulis secara sederhana .

Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa sudut segitiga berimpit dengan sudut antar vektor dan dengan kata lain: .

Dianjurkan untuk mempelajari cara melakukan analisis secara mental.

Mari kita cari vektornya:

Mari kita hitung produk skalar:

Dan panjang vektornya:

Kosinus sudut:

Inilah urutan menyelesaikan tugas yang saya rekomendasikan untuk boneka. Pembaca yang lebih mahir dapat menulis perhitungan “dalam satu baris”:

Berikut adalah contoh nilai kosinus yang “buruk”. Nilai yang dihasilkan belum final, jadi tidak ada gunanya menghilangkan irasionalitas pada penyebutnya.

Mari kita cari sudutnya sendiri:

Jika dilihat dari gambarnya, hasilnya cukup masuk akal. Untuk memeriksanya, sudut juga bisa diukur dengan busur derajat. Jangan merusak penutup monitor =)

Menjawab:

Dalam jawabannya kita tidak melupakan itu bertanya tentang sudut suatu segitiga(dan bukan tentang sudut antar vektor), jangan lupa untuk menunjukkan jawaban pastinya: dan perkiraan nilai sudut: , ditemukan menggunakan kalkulator.

Mereka yang telah menikmati prosesnya dapat menghitung sudut dan memverifikasi validitas persamaan kanonik

Contoh 17

Sebuah segitiga didefinisikan dalam ruang berdasarkan koordinat titik-titik sudutnya. Temukan sudut antara sisi dan

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran

Bagian akhir yang singkat akan dikhususkan untuk proyeksi, yang juga melibatkan produk skalar:

Proyeksi suatu vektor ke suatu vektor. Proyeksi vektor ke sumbu koordinat.
Kosinus arah suatu vektor

Perhatikan vektor dan :

Mari kita proyeksikan vektor ke vektor; untuk melakukan ini, dari awal dan akhir vektor kita hilangkan tegak lurus ke vektor (garis putus-putus hijau). Bayangkan sinar cahaya jatuh tegak lurus pada vektor. Maka ruas tersebut (garis merah) akan menjadi “bayangan” vektor tersebut. Dalam hal ini, proyeksi vektor ke vektor adalah PANJANG ruas tersebut. Artinya, PROYEKSI ADALAH ANGKA.

NOMOR ini dilambangkan sebagai berikut: , “vektor besar” menunjukkan vektor YANG proyek, "vektor subskrip kecil" menunjukkan vektor PADA yang diproyeksikan.

Entrinya sendiri berbunyi seperti ini: “proyeksi vektor “a” ke vektor “menjadi”.”

Apa yang terjadi jika vektor "menjadi" "terlalu pendek"? Kita menggambar garis lurus yang memuat vektor “menjadi”. Dan vektor “a” sudah diproyeksikan ke arah vektor "menjadi", cukup - ke garis lurus yang memuat vektor "menjadi". Hal yang sama akan terjadi jika vektor “a” diendapkan pada kingdom ketiga puluh - vektor tersebut masih dapat dengan mudah diproyeksikan ke garis lurus yang memuat vektor “menjadi”.

Jika sudutnya antar vektor pedas(seperti pada gambar), lalu

Jika vektor ortogonal, maka (proyeksinya adalah suatu titik yang dimensinya dianggap nol).

Jika sudutnya antar vektor tumpul(pada gambar, atur ulang panah vektor secara mental), lalu (panjangnya sama, tetapi diambil dengan tanda minus).

Mari kita gambarkan vektor-vektor ini dari satu titik:

Jelasnya, ketika sebuah vektor bergerak, proyeksinya tidak berubah