제곱의 차이

제곱 $a^2-b^2$의 차에 대한 공식을 도출합니다.

이렇게 하려면 다음 규칙을 기억하십시오.

식에 단항식을 추가하고 같은 단항식을 빼면 올바른 항등식을 얻을 수 있습니다.

표현식에 추가하고 단항식 $ab$를 빼보겠습니다.

전체적으로 다음을 얻습니다.

즉, 두 단항식의 제곱의 차는 그 차이와 그 합의 곱과 같습니다.

실시예 1

$(4x)^2-y^2$의 곱으로 표현

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

큐브의 합

큐브 $a^3+b^3$의 합에 대한 공식을 도출합니다.

대괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

대괄호에서 $\left(a+b\right)$를 빼자:

전체적으로 다음을 얻습니다.

즉, 두 단항식의 세제곱의 합은 그 차의 불완전 제곱에 의한 합의 곱과 같습니다.

실시예 2

상품으로 표현하기 $(8x)^3+y^3$

이 표현식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

제곱의 차이 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

큐브의 차이

세제곱 $a^3-b^3$의 차에 대한 공식을 도출합니다.

이를 위해 위와 동일한 규칙을 사용합니다.

표현식에 추가하고 단항식 $a^2b\ 및\ (ab)^2$를 빼보겠습니다.

대괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.

대괄호에서 $\left(a-b\right)$를 빼자:

전체적으로 다음을 얻습니다.

즉, 두 단항식의 세제곱의 차이는 그 합의 불완전 제곱에 의한 차이의 곱과 같습니다.

실시예 3

$(8x)^3-y^3$의 곱으로 표현

이 표현식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

제곱의 차이 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

제곱의 차와 입방체의 합과 차에 대한 공식을 사용하는 작업의 예

실시예 4

곱하다.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

결정:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

제곱의 차이 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

이 표현식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

큐브의 큐브 공식을 적용해 보겠습니다.

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

이 표현식을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

큐브의 큐브 공식을 적용해 보겠습니다.

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]

공식 또는 감소된 곱셈의 규칙은 큰 대수식을 계산하는 더 빠른 프로세스를 위해 산술, 특히 대수학에서 사용됩니다. 공식 자체는 여러 다항식의 곱셈에 대한 대수학의 기존 규칙에서 파생됩니다.

이러한 공식을 사용하면 다양한 수학적 문제에 대한 상당히 빠른 솔루션을 제공하고 표현식을 단순화하는 데 도움이 됩니다. 대수 변환 규칙을 사용하면 표현식을 사용하여 몇 가지 조작을 수행할 수 있으며, 이에 따라 오른쪽에 있는 등식의 왼쪽에서 표현식을 얻거나 등식의 오른쪽에서 변환(식을 얻기 위해 등호 뒤의 왼쪽).

메모리에 의한 약식 곱셈에 사용되는 공식은 문제와 방정식을 푸는 데 자주 사용되므로 알면 편리합니다. 이 목록에 포함된 주요 공식과 그 이름은 아래에 나열되어 있습니다.

합 광장

합의 제곱을 계산하려면 첫 번째 항의 제곱, 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 두 배, 두 번째 항의 제곱으로 구성된 합을 찾아야 합니다. 표현식의 형태로 이 규칙은 (a + c)² = a² + 2ac + c²와 같이 작성됩니다.

차이의 제곱

차이의 제곱을 계산하려면 첫 번째 숫자의 제곱, 첫 번째 숫자의 두 번째 곱(반대 부호 사용) 및 두 번째 숫자의 제곱으로 구성된 합계를 계산해야 합니다. 표현식 형태에서 이 규칙은 (a - c)² \u003d a² - 2ac + c²와 같습니다.

제곱의 차이

두 수의 차를 제곱한 공식은 이 수의 합과 그 차의 곱과 같습니다. 표현식의 형태로이 규칙은 a² - c² \u003d (a + c) (a - c)와 같습니다.

합계 큐브

두 항의 합에 대한 세제곱을 계산하려면 첫 번째 항의 세제곱, 첫 번째 항과 두 번째 항의 제곱의 삼중곱, 첫 번째 항의 삼중곱 및 두 번째 제곱과 두 번째 항의 세제곱입니다. 표현식의 형태로이 규칙은 (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³와 같습니다.

큐브의 합

공식에 따르면 이러한 항의 합과 차의 불완전 제곱의 곱과 같습니다. 표현식의 형태로이 규칙은 다음과 같습니다. a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

예시.두 개의 큐브를 추가하여 형성되는 그림의 부피를 계산해야 합니다. 측면의 크기만 알려져 있습니다.

측면의 값이 작으면 계산을 수행하기 쉽습니다.

변의 길이가 복잡한 숫자로 표현되는 경우 이 경우 "큐브의 합" 공식을 적용하는 것이 더 쉬우므로 계산이 크게 간소화됩니다.

차이 큐브

3차 차이에 대한 표현은 다음과 같이 들립니다. 첫 번째 항의 3승의 합으로 첫 번째 항의 제곱의 음수를 두 번째 항으로 3배, 첫 번째 항의 곱을 두 번째 항의 제곱으로 세 배로 만듭니다. , 그리고 두 번째 항의 음의 입방체. 수학적 표현의 형태로 차이 큐브는 (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³와 같습니다.

큐브의 차이

입방체의 차에 대한 공식은 입방체의 합과 한 부호만 다릅니다. 따라서 입방체의 차이는 합계의 불완전한 제곱에 의해 이러한 숫자의 차이의 곱과 같은 공식입니다. 형식에서 큐브의 차이는 다음과 같습니다. a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

예시.파란색 정육면체의 부피에서 정육면체이기도 한 노란색 체적도형을 뺀 후에 남을 도형의 부피를 계산할 필요가 있습니다. 크고 작은 정육면체의 한 변의 크기만 알려져 있습니다.

측면의 값이 작으면 계산이 매우 간단합니다. 그리고 변의 길이가 유효 숫자로 표시되는 경우 "Difference of Cubes"(또는 "Difference Cube")라는 공식을 사용하면 계산이 크게 단순화됩니다.

약식 곱셈 공식.

약식 곱셈 공식 연구: 두 식의 합과 차의 제곱 두 식의 제곱의 차이; 합계의 세제곱수와 두 식의 차이 세제곱수; 두 식의 세제곱의 합과 차.

예제를 풀 때 약식 곱셈 공식의 적용.

식을 단순화하고, 다항식을 인수분해하고, 다항식을 표준 형식으로 가져오기 위해 약식 곱셈 공식이 사용됩니다. 암기해야 할 약식 곱셈 공식.

하자, b R. 그런 다음:

1. 두 식의 합의 제곱은첫 번째 표현식의 제곱에 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 표현식에 두 번째 표현식의 제곱을 더한 값입니다.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. 두 식의 차이의 제곱은첫 번째 표현식의 제곱에서 첫 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 더하기 두 번째 표현식의 제곱입니다.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. 제곱의 차이두 표현식은 이러한 표현식의 차이와 그 합계의 곱과 같습니다.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

4. 합계 큐브두 표현식의 제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에 첫 번째 표현식의 제곱을 3배 더한 값 두 번째 더하기 첫 번째 표현식의 곱 곱하기 두 번째 표현식의 제곱을 더한 두 번째 표현식의 세제곱을 더한 값과 같습니다.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. 차이 큐브두 표현식의 제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식의 제곱의 곱의 3배를 뺀 것과 같고 두 번째 더하기는 첫 번째 표현식의 곱과 두 번째의 제곱에서 두 번째 표현식의 세제곱을 뺀 값입니다.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. 큐브의 합두 표현식은 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 합을 이러한 표현식의 차이의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. 큐브의 차이두 표현식의 제곱은 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 차이를 이러한 표현식 합계의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

예제를 풀 때 약식 곱셈 공식의 적용.

실시예 1

계산하다

) 두 식의 합을 제곱하는 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

b) 두 식의 차 제곱에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604

실시예 2

계산하다

두 식의 제곱의 차에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

실시예 3

표현 단순화

(x - y) 2 + (x + y) 2

두 식의 합과 차의 제곱에 대한 공식을 사용합니다.

(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2

한 표에 간략한 곱셈 공식:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

FSU(약식 곱셈 공식)는 숫자와 표현식을 지수화하고 곱하는 데 사용됩니다. 종종 이러한 공식을 사용하면 더 간결하고 빠르게 계산할 수 있습니다.

이 기사에서는 약식 곱셈의 주요 공식을 나열하고 테이블로 그룹화하고 이러한 공식을 사용하는 예를 고려하고 약식 곱셈 공식을 증명하는 원칙에 대해 설명합니다.

처음으로 FSU의 주제는 7학년을 위한 "대수학" 과정에서 고려됩니다. 다음은 7가지 기본 공식입니다.

약식 곱셈 공식

1. 제곱합 공식: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. 차이 제곱 공식: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. 합 세제곱 공식: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. 차분 세제곱 공식: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. 제곱의 차이 공식: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. 세제곱합 공식: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. 큐브 차이 공식: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

이 표현식의 문자, b, c는 숫자, 변수 또는 표현식일 수 있습니다. 사용의 편의를 위해 7가지 기본 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 우리는 그것들을 표로 요약하고 상자로 동그라미를 쳐서 아래에 제공합니다.

처음 4개의 공식을 사용하면 두 표현식의 합이나 차의 제곱이나 세제곱을 각각 계산할 수 있습니다.

다섯 번째 공식은 합과 차를 곱하여 식의 제곱의 차를 계산합니다.

여섯 번째 및 일곱 번째 공식은 각각 식의 합과 차에 미분의 불완전 제곱과 합의 불완전 제곱을 곱한 것입니다.

약식 곱셈 공식은 때때로 약식 곱셈 ID라고도 합니다. 모든 평등은 동일성이므로 이것은 놀라운 일이 아닙니다.

실제 예제를 풀 때 축약된 곱셈 공식은 종종 왼쪽과 오른쪽 부분을 재배열하는 데 사용됩니다. 이것은 다항식을 인수분해할 때 특히 편리합니다.

추가 약식 곱셈 공식

우리는 7학년 대수학 과정에 국한되지 않고 FSU 표에 몇 가지 공식을 더 추가할 것입니다.

먼저 Newton의 이항 공식을 고려하십시오.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

여기서 C n k는 파스칼 삼각형의 n번째 줄에 있는 이항 계수입니다. 이항 계수는 다음 공식으로 계산됩니다.

C nk = n ! 케이! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

보시다시피 FSU의 제곱과 세제곱의 차이와 합은 각각 n=2와 n=3에 대한 뉴턴의 이항식의 특수한 경우입니다.

그러나 거듭제곱할 합계에 두 개 이상의 항이 있으면 어떻게 됩니까? 3, 4 또는 그 이상의 항의 합을 제곱하는 공식이 유용할 것입니다.

1 + 2 + . . + 엔 2 = 에이 1 2 + 에이 2 2 + . . + an 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 an + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 에 2 에 n + 2 에 n - 1에 엔

유용할 수 있는 또 다른 공식은 두 항의 n제곱의 차에 대한 공식입니다.

n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

이 공식은 일반적으로 각각 짝수 및 홀수 두 가지 공식으로 나뉩니다.

짝수 지수 2m의 경우:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2m - 2

홀수 지수 2m+1의 경우:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2m

제곱의 차이와 세제곱의 차이에 대한 공식은 각각 n = 2 및 n = 3에 대한 이 공식의 특수한 경우입니다. 입방체의 차이에 대해 b는 -b로도 대체됩니다.

약식 곱셈 공식을 읽는 방법은 무엇입니까?

우리는 각 공식에 해당하는 공식을 제공할 것이지만 먼저 공식을 읽는 원리를 다룰 것입니다. 이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 예제를 사용하는 것입니다. 두 숫자의 합 제곱에 대한 첫 번째 공식을 취합시다.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

그들은 다음과 같이 말합니다. 두 식 a와 b의 합계의 제곱은 첫 번째 식의 제곱의 합과 같으며, 식의 곱과 두 번째 식의 제곱의 두 배입니다.

다른 모든 수식은 비슷하게 읽습니다. 제곱 차이 a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2에 대해 다음과 같이 씁니다.

두 표현식과 b의 차이의 제곱은 이러한 표현식의 제곱의 합에서 첫 번째와 두 번째 표현식의 곱의 두 배를 뺀 것과 같습니다.

공식 a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3을 읽어봅시다. 두 식 a와 b의 합을 세제곱하면 이 두 식의 세제곱합과 같으며 첫 번째 식과 두 번째 식의 제곱 곱의 3배, 두 번째 식의 제곱 곱의 3배입니다. 그리고 첫 번째 표현.

큐브 a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3의 차이에 대한 공식을 계속 읽습니다. 두 표현식 a와 b의 차이의 세제곱은 첫 번째 표현식의 세제곱에서 첫 번째 표현식과 두 번째 표현식의 제곱을 3배로 하고 더하기 두 번째 표현식과 첫 번째 표현식의 제곱을 3배로 하고 큐브를 뺀 것과 같습니다. 두 번째 표현의.

다섯 번째 공식 a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (제곱의 차이)는 다음과 같습니다. 두 표현식의 제곱의 차이는 차이의 곱과 두 표현식의 합과 같습니다.

편의상 a 2 + a b + b 2 와 a 2 - a b + b 2 와 같은 식을 각각 덧셈의 불완전 제곱과 차이의 불완전 제곱이라고 합니다.

이를 염두에 두고 입방체의 합과 차에 대한 공식은 다음과 같이 읽습니다.

두 식의 세제곱의 합은 이러한 식의 합과 그 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.

두 표현식의 세제곱의 차이는 이러한 표현식의 차이를 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.

FSU 증거

FSU를 증명하는 것은 아주 간단합니다. 곱셈의 속성을 기반으로 괄호 안의 공식 부분의 곱셈을 수행합니다.

예를 들어, 차이의 제곱에 대한 공식을 고려하십시오.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

표현식을 2제곱하려면 표현식 자체를 곱해야 합니다.

a-b 2 \u003d a-b a-b.

대괄호를 확장해 보겠습니다.

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

공식이 입증되었습니다. 다른 FSO도 유사하게 증명됩니다.

FSO 적용 예

축소 곱셈 공식을 사용하는 목적은 표현식을 빠르고 간결하게 곱하고 지수를 나타내는 것입니다. 그러나 이것이 FSO의 전체 범위는 아닙니다. 그들은 표현식을 줄이고 분수를 줄이고 다항식을 인수 분해하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.

실시예 1. FSO

표현식 9 y - (1 + 3 y) 2 를 단순화합시다.

제곱합 공식을 적용하고 다음을 얻습니다.

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

실시예 2. FSO

분수 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 를 줄입니다.

분자의 표현은 세제곱의 차이이고 분모의 표현은 제곱의 차이입니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

우리는 줄이고 다음을 얻습니다.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU는 또한 표현식의 값을 계산하는 데 도움이 됩니다. 가장 중요한 것은 공식을 어디에 적용해야 하는지 알 수 있다는 것입니다. 이것을 예를 들어 보여줍시다.

숫자 79를 제곱해 봅시다. 번거로운 계산 대신 다음과 같이 작성합니다.

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

구구단 축약식과 구구단만 활용하면 복잡한 계산을 빠르게 처리한 것 같다.

또 다른 중요한 포인트- 이항의 제곱의 선택. 4 x 2 + 4 x - 3 표현식은 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 로 변환할 수 있습니다. 이러한 변환은 통합에 널리 사용됩니다.

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