결론.
고려된 방법의 중요한 특징은 주로 곡선의 거동에서 특징적인 특징의 탐지 및 연구에 기반한다는 것입니다. 기능이 원활하게 변하는 곳은 특별히 자세히 연구되지 않고, 그런 연구는 필요하지 않습니다. 그러나 기능이 동작에 특이성을 갖는 곳은 완전한 연구와 가장 정확한 그래픽 표현이 필요합니다. 이러한 기능은 최대, 최소, 기능의 불연속 점 등입니다.

오목 및 굽힘의 방향을 결정하고 점근선을 찾는 표시된 방법을 사용하면 기능을 훨씬 더 자세히 연구하고 그래프에 대한 더 정확한 아이디어를 얻을 수 있습니다.

함수 그래프 와이=f (x)~라고 불리는 볼록한간격에 (a; b)이 간격에서 접선 아래에 있는 경우.

함수 그래프 와이=f (x)~라고 불리는 오목한간격에 (a; b)이 간격의 접선 위에 위치하는 경우.

그림은 볼록한 곡선을 보여줍니다 (a; b)그리고 오목하다 (나, 다).

예.

주어진 간격에서 함수의 그래프가 볼록 또는 오목인지 여부를 설정할 수 있는 충분한 기능을 고려해 보겠습니다.

정리... 하자 와이=f (x)미분 가능 (a; b)... 간격의 모든 지점에서 (a; b)함수의 2차 도함수 와이 = f (x)부정적인, 즉 NS ""(NS) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же NS""(NS)> 0 - 오목.

증거... 확실성을 위해 다음과 같이 가정합니다. NS""(NS) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

그래프의 기능을 살펴보자 y = f(x)임의의 점 남 0가로 좌표로 x 0 Î ( NS; NS) 점을 통해 그립니다. 남 0접선. 그녀의 방정식. 우리는 함수의 그래프가 (a; b)이 접선 아래에 있습니다. 같은 값으로 NS곡선 좌표 y = f(x)접선의 세로 좌표보다 작습니다.

따라서 곡선의 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. y = f(x)... 가로 좌표에 해당하는 접선의 세로 좌표를 나타냅니다. NS... 그 다음에 . 따라서 같은 값에서 곡선의 세로좌표와 접선의 차이 NS할 것이다 .

차이점 f(x) - f(x 0) Lagrange의 정리에 의해 변환, 여기서 씨~ 사이 NS그리고 x 0.

따라서,

라그랑주 정리를 대괄호 안의 표현식에 다시 적용합니다. c 1~ 사이 c 0그리고 x 0... 정리의 가설에 의해 NS ""(NS) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

따라서 곡선의 모든 점은 모든 값에 대한 곡선의 접선 아래에 있습니다. NS그리고 x 0 Î ( NS; NS), 이는 곡선이 볼록함을 의미합니다. 정리의 두 번째 부분도 비슷한 방식으로 증명됩니다.

의 예.

연속 함수의 그래프에서 볼록 부분과 오목 부분을 분리하는 점을 호출합니다. 변곡점.

분명히, 변곡점에서 접선이 존재하는 경우 곡선과 교차합니다. 이 점의 한 면에서 곡선은 접선 아래에 있고 다른 한편으로는 그 위에 있습니다.

곡선의 주어진 점이 변곡점이 되기 위한 충분한 조건을 정의합시다.

정리... 곡선을 방정식에 의해 결정하자 y = f(x)... 만약에 NS ""(NS 0) = 0 또는 NS ""(NS 0) 존재하지 않고 값을 전달할 때 NS = x 0유도체 NS ""(NS) 기호를 변경한 다음 횡좌표가 있는 함수 그래프의 점 NS = x 0변곡점이 있다.

증거... 하자 NS ""(NS) < 0 при NS < x 0그리고 NS ""(NS)> 0 NS > x 0... 그런 다음 NS < x 0곡선은 볼록하고, NS > x 0- 오목한. 따라서 요점 NS횡좌표가 있는 곡선에서 x 0변곡점이 있다. 두 번째 경우도 유사하게 생각할 수 있습니다. NS ""(NS)> 0 NS < x 0그리고 NS ""(NS) < 0 при NS > x 0.

따라서 변곡점은 2차 도함수가 사라지거나 존재하지 않는 점 중에서만 구해야 합니다.

예.변곡점을 찾고 곡선의 볼록 및 오목 간격을 정의합니다.

점근적인 그래픽 기능

함수를 검사할 때 그래프 점의 원점에서 무제한 거리로 그래프의 모양을 설정하는 것이 중요합니다.

특히 흥미로운 점은 함수의 그래프가 변수의 점을 무한대로 제거했을 때 특정 직선에 제한 없이 접근하는 경우입니다.

직선이라고 한다 점근선기능 그래픽 와이 = f (x)변수 점으로부터의 거리가 있는 경우 미디엄점을 삭제할 때 이 선에 그래프 미디엄 0에서 무한대까지 가는 경향이 있습니다. 함수 그래프의 점은 무한대로 가는 경향이 있으므로 점근선에 무한정 접근해야 합니다.

곡선은 점근선에 접근하여 한쪽 또는 다른 면에 남아 있고, 무한히 여러 번 점근선을 가로질러 한쪽에서 다른 쪽으로 지나갈 수 있습니다.

점으로부터의 거리를 d로 표시하면 미디엄점근선으로 곡선을 그리면 d가 점이 0이 되는 경향이 있음이 분명합니다. 미디엄무한대로.

수직 점근선과 사선 점근선을 더 구분하겠습니다.

수직 점근선

하자 NS→ x 0양쪽 기능에서 와이 = f (x)절대값이 무한정 증가합니다. 또는 또는 ... 그런 다음 선은 점근선의 정의에서 따릅니다. NS = x 0점근선이다. 직선이면 반대도 분명하다. NS = x 0점근선, 즉 ...

따라서 함수 그래프의 수직 점근선 y = f(x)인 경우 직선이라고 합니다. f (x)→ 적어도 하나의 조건에서 ∞ NS→ x 0- 0 또는 NS → x 0 + 0, NS = x 0

따라서 함수 그래프의 수직 점근선을 찾으려면 와이 = f (x)그 가치를 찾아야 한다 NS = x 0함수가 무한대로 가는 지점(무한 불연속을 겪음). 그런 다음 수직 점근선은 다음 방정식을 갖습니다. NS = x 0.

예.

기울어진 점근선

점근선이 직선이므로 곡선이 와이 = f (x)비스듬한 점근선이 있으면 방정식은 다음과 같습니다. 와이 = kx + NS... 우리의 임무는 계수를 찾는 것입니다 케이그리고 NS.

정리... 똑바로 와이 = kx + NS에서 사선 점근선 역할을 합니다. NS→ + ∞ 함수의 그래프 와이 = f (x)만약 그리고 만약에 ... 에 대해서도 비슷한 진술이 성립한다. NS → –∞.

증거... 하자 의원- 선분의 길이는 점으로부터의 거리와 같습니다. 미디엄점근선에. 조건으로 . φ는 축에 대한 점근선의 경사각을 나타냅니다. 황소... 그럼 부터 ΔMNP그 뒤를 따릅니다. φ는 일정한 각도(φ ≠ π / 2)이므로

함수의 그래프를 그릴 때 볼록 구간과 변곡점을 결정하는 것이 중요합니다. 감소 및 증가 간격과 함께 함수를 그래픽 형식으로 명확하게 나타내기 위해 필요합니다.

이 주제를 이해하려면 함수의 도함수가 무엇인지, 어떤 차수까지 계산하는 방법과 다양한 종류의 부등식을 해결할 수 있어야 합니다.

기사의 시작 부분에서 기본 개념이 정의됩니다. 그런 다음 특정 간격에서 볼록 방향과 2차 도함수 값 사이에 어떤 연결이 있는지 보여줍니다. 다음으로 그래프의 변곡점을 결정할 수 있는 조건을 알려드리겠습니다. 모든 추론은 문제 솔루션의 예와 함께 설명됩니다.

그래프가이 간격의 어느 지점에서든 접선보다 낮지 않은 경우 특정 간격에서 아래쪽으로.

정의 2

미분할 함수는 볼록이 함수의 그래프가 이 간격의 어느 지점에서든 접선보다 높지 않은 위치에 있으면 특정 간격에서 위쪽으로 이동합니다.

하향 볼록 함수는 오목이라고도 합니다. 두 정의 모두 아래 그래프에 나와 있습니다.

정의 3

기능 변곡점함수의 그래프가 다른 지점 x 0 부근에 도함수가 존재하는 경우 함수의 그래프에 접하는 지점이 M(x 0; f(x 0))입니까? 왼쪽과 오른쪽의 볼록한 방향.

간단히 말해서, 변곡점은 접선이 있는 그래프상의 한 곳이며, 곡선의 벌지 방향은 이 곳을 지나갈 때 벌지의 방향을 바꿀 것입니다. 어떤 조건에서 수직 및 비수직 탄젠트의 존재가 가능한지 기억나지 않는다면 한 점에서 함수 그래프의 탄젠트에 대한 섹션을 반복하는 것이 좋습니다.

아래는 빨간색으로 강조 표시된 여러 변곡점이 있는 함수의 그래프입니다. 변곡점의 존재는 선택 사항임을 명확히 합시다. 한 함수의 그래프에는 하나, 둘, 여러 개, 무한히 많거나 없을 수 있습니다.

이 섹션에서는 특정 함수의 그래프에서 볼록 구간을 결정하는 데 사용할 수 있는 정리에 대해 설명합니다.

정의 4

부등식 f ""(x) ≥ 0 ∀ x ∈인 경우 해당 함수 y = f(x)가 표시된 간격 x에서 2차 유한 도함수를 갖는 경우 함수의 그래프는 아래쪽 또는 위쪽 방향으로 볼록합니다. X(f ""(x) ≤ 0 ∀ x ∈ X)는 참입니다.

이 정리를 사용하여 함수의 모든 그래프에서 오목함과 볼록함의 간격을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 해당 함수의 영역에서 부등식 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0을 풀면 됩니다.

2차 도함수가 존재하지 않지만 함수 y = f(x)가 정의된 지점은 볼록 및 오목 구간에 포함될 것임을 명확히 합시다.

이 정리를 올바르게 적용하는 방법에 대한 특정 문제의 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

상태:주어진 함수 y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1. 그래프에 부풀어오른 부분과 오목한 부분이 있는 간격을 결정합니다.

해결책

이 함수의 영역은 전체 실수 집합입니다. 2차 도함수를 계산하는 것부터 시작하겠습니다.

y "= x 3 6 - x 2 + 3 x - 1" = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y "" = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

2차 도함수의 영역이 함수 자체의 영역과 일치함을 알 수 있으므로 볼록한 구간을 식별하려면 부등식 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0을 풀어야 합니다. .

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

주어진 함수의 그래프가 세그먼트 [2; + ∞) 및 세그먼트의 볼록성(- ∞; 2].

명확성을 위해 함수의 그래프를 묘사하고 볼록한 부분은 파란색으로 표시하고 오목한 부분은 빨간색으로 표시합니다.

답변:주어진 함수의 그래프는 세그먼트에 오목한 부분을 가질 것입니다 [2; + ∞) 및 세그먼트의 볼록성(- ∞; 2].

그러나 이차 도함수의 영역이 함수의 영역과 일치하지 않으면 어떻게 해야 합니까? 여기서 위에서 언급한 내용이 유용합니다. 최종 2차 도함수가 존재하지 않는 지점은 오목 및 볼록 부분에도 포함됩니다.

실시예 2

상태:함수 y = 8 x x - 1이 제공됩니다. 그래프에 오목한 부분이 있는 간격과 볼록한 부분을 결정합니다.

해결책

먼저 함수의 범위를 알아봅시다.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞)

이제 2차 도함수를 계산합니다.

y "= 8 xx - 1" = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 "= - 4 1 xx - 1 2 - (x + 1) xx - 1 2" x (x - 1) 4 = = - 4 1 xx - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) xx - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 (x - 1) 3

2차 미분의 영역은 집합 x ∈(0, 1) ∪(1, + ∞)입니다. 0과 같은 x는 원래 함수의 영역에 속하지만 2차 도함수의 영역에는 속하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이 점은 오목 또는 볼록 세그먼트에 포함되어야 합니다.

그 후, 우리는 주어진 함수의 영역에서 부등식 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0을 풀어야 합니다. 이를 위해 간격 방법을 사용합니다. x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 또는 x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 분자 2 (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 x - 1 3은 0이 되고, x가 0 또는 1일 때 분모는 0입니다.

결과 점을 그래프에 놓고 원래 함수의 영역에 포함된 모든 간격에서 표현식의 부호를 결정합시다. 이 영역은 그래프에서 해칭으로 표시됩니다. 값이 양수이면 간격을 플러스로 표시하고 음수이면 마이너스로 표시하십시오.

따라서,

f ""(x) ≥ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) 및 f "" (x) ≤ 0 x ∈ [0; 1) ∪ (1; + ∞) ⇔ x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1)

이전에 표시된 점 x = 0을 켜고 원하는 답을 얻습니다. 원래 함수 그래프는 0에서 아래쪽으로 팽창합니다. - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) 및 위쪽 - x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1) .

볼록한 부분을 파란색으로, 오목한 부분을 빨간색으로 표시하여 그래프를 그려봅시다. 수직 점근선은 검은색 점선으로 표시됩니다.

답변:원래 함수 그래프는 0에서 아래쪽으로 팽창합니다. - 1 + 2 3 3 ∪ (1; + ∞) 및 위쪽 - x ∈ [- 1 + 2 3 3; 1) .

함수 그래프의 변곡 조건

어떤 함수의 그래프의 변곡을 위한 필요 조건의 공식화부터 시작합시다.

정의 5

그래프에 변곡점이 있는 함수 y = f(x)가 있다고 가정해 보겠습니다. x = x 0의 경우 연속 2차 도함수를 가지므로 등식 f "" (x 0) = 0이 유지됩니다.

이 조건이 주어지면 이차 도함수가 사라질 변곡점을 찾아야 합니다. 이 조건은 충분하지 않습니다. 그러한 모든 점이 우리에게 적합한 것은 아닙니다.

또한 일반적인 정의에 따라 수직 또는 비수직 접선이 필요합니다. 실제로 이것은 변곡점을 찾기 위해 주어진 함수의 2차 도함수가 사라지는 변곡점을 취해야 함을 의미합니다. 따라서 변곡점의 가로 좌표를 찾으려면 함수 영역에서 모든 x 0을 가져와야 합니다. 여기서 lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ 및 lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞. 대부분의 경우 이들은 1차 도함수의 분모가 0으로 변하는 지점입니다.

함수 그래프의 변곡점이 존재하기 위한 첫 번째 충분 조건

변곡점의 횡좌표로 취할 수 있는 모든 x 0 값을 찾았습니다. 그런 다음 첫 번째 충분 변곡 조건을 적용해야 합니다.

정의 6

점 M(x 0; f(x 0))에서 연속적인 함수 y = f(x)가 있다고 가정합니다. 또한, 이 점에서 접선을 가지며, 함수 자체는 이 점 x 0 부근에서 2차 도함수를 갖는다. 이 경우 왼쪽과 오른쪽에서 2차 도함수가 반대 부호를 얻으면 이 점을 변곡점으로 간주할 수 있습니다.

우리는 이 조건이 2차 도함수가 이 지점에 확실히 존재할 필요가 없다는 것을 알 수 있습니다.

위의 모든 것은 일련의 작업 형태로 편리하게 제공됩니다.

1. 먼저 가능한 변곡점의 모든 가로좌표 x 0을 찾아야 합니다. 여기서 f ""(x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞.
2. 도함수가 부호를 바꾸는 지점을 알아봅시다. 이 값은 변곡점의 횡좌표이며, 이에 해당하는 점 M(x 0; f(x 0))이 변곡점 자체입니다.

명확성을 위해 두 가지 작업을 분석하겠습니다.

실시예 3

상태:함수 y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x가 주어집니다. 이 함수의 그래프에서 변곡점과 돌출점이 있는 위치를 결정합니다.

해결책

지정된 함수는 전체 실수 집합에 대해 정의됩니다. 1차 도함수를 계산합니다.

y "= 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x" = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

이제 1차 도함수의 정의역을 구해봅시다. 또한 모든 실수의 집합입니다. 따라서 등식 lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ 및 lim x → x 0 + 0 f"(x) = ∞는 x 0의 값에 대해 충족될 수 없습니다.

우리는 이차 도함수를 계산합니다:

y "" = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 "= 1 10 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

우리는 두 개의 가능한 변곡점인 2와 3의 가로좌표를 찾았습니다. 우리에게 남은 것은 도함수가 부호를 변경할 지점을 확인하는 것뿐입니다. 우리는 숫자 축을 묘사하고 그 위에 이 점들을 그릴 것입니다. 그런 다음 결과 간격에 2차 도함수의 부호를 배열할 것입니다.

호는 각 간격에서 그래프의 볼록성의 방향을 나타냅니다.

2차 도함수는 가로 좌표 3이 있는 점에서 부호를 반전시켜 왼쪽에서 오른쪽으로 통과하고 가로 좌표 3이 있는 점에서도 이 작업(마이너스에서 플러스로)을 수행합니다. 따라서 우리는 x = - 2 및 x = 3이 함수 그래프의 변곡점의 횡좌표라는 결론을 내릴 수 있습니다. 그들은 그래프의 포인트에 해당합니다 - 2; - 4 3 및 3; - 15 8.

요철의 위치와 볼록한 위치에 대한 결론을 내리기 위해 숫자 축의 이미지와 간격에 따른 결과 기호를 다시 살펴 보겠습니다. 벌지가 세그먼트에 위치하는 것으로 나타났습니다 - 2; 3, 세그먼트의 오목함(- ∞; - 2] 및 [3; + ∞).

문제에 대한 해결책은 그래프에 명확하게 나와 있습니다. 파란색 - 볼록함, 빨간색 - 오목함, 검은색은 변곡점을 의미합니다.

답변:벌지는 세그먼트에 위치합니다 - 2; 3, 세그먼트의 오목함(- ∞; - 2] 및 [3; + ∞).

실시예 4

상태:함수 y = 1 8 x 2 + 3 x + 2 x - 3 3 5 그래프의 모든 변곡점의 가로 좌표를 계산합니다.

해결책

주어진 함수의 정의역은 모든 실수의 집합입니다. 도함수를 계산합니다.

y "= 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5" = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " + 2) x - 3 3 5 "= = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 (x - 3) 2 5

함수와 달리 x가 3일 때 1차 도함수는 정의되지 않지만 다음과 같습니다.

lim x → 3 - 0 y "(x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y" (x) = 13 (3 + 0) 2 - 6 (3 + 0) - 39 40 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

즉, 그래프에 대한 수직 접선이 이 점을 통과합니다. 따라서 3은 변곡점의 가로 좌표가 될 수 있습니다.

우리는 이차 도함수를 계산합니다. 또한 정의 영역과 0으로 변하는 지점을 찾습니다.

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 "= = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39" (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 x - 3 2 5 "(x - 3) 4 5 = = 1 25 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5, x ∈ (- ∞; 3) ∪ (3; + ∞ ) y "" ( x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3.456, x 2 = 51 - 1509 5 26.4≈

가능한 변곡점이 두 개 더 있습니다. 모두 숫자 줄에 놓고 결과 간격을 기호로 표시합시다.

지정된 각 지점을 지날 때 부호 반전이 발생하므로 모두 변곡점입니다.

답변:오목한 부분을 빨간색으로, 볼록한 부분을 파란색으로, 변곡점을 검은색으로 표시하여 함수의 그래프를 그려 보겠습니다.

첫 번째 충분 변곡 조건을 알면 두 번째 미분의 존재가 필요하지 않은 필수 지점을 결정할 수 있습니다. 이를 바탕으로 첫 번째 조건은 다양한 유형의 문제를 해결하는 데 가장 보편적이고 적합한 것으로 간주될 수 있습니다.

두 개의 변곡 조건이 더 있지만 표시된 점에 유한 도함수가 있는 경우에만 적용할 수 있습니다.

f "" (x 0) = 0이고 f "" "(x 0) ≠ 0이면 x 0은 그래프 y = f(x)의 변곡점의 가로 좌표가 됩니다.

실시예 5

상태:함수 y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5가 주어집니다. 함수의 그래프가 점 3에서 변곡점이 있는지 확인합니다. 4 5.

해결책

가장 먼저 해야 할 일은 주어진 점이 이 함수의 그래프에 전혀 속하는지 확인하는 것입니다.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

지정된 함수는 실수인 모든 인수에 대해 정의됩니다. 1차 및 2차 도함수를 계산해 보겠습니다.

y "= 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 "= 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

x가 0이면 2차 도함수가 사라집니다. 이것은 이 점에 필요한 변곡 조건이 충족된다는 것을 의미합니다. 이제 우리는 두 번째 조건을 사용합니다. 세 번째 도함수를 찾고 그것이 3에서 사라질지 여부를 찾습니다.

y "" "= 1 10 (x - 3)" = 1 10

3차 도함수는 x 값에 대해 사라지지 않습니다. 따라서 이 지점이 함수 그래프의 변곡점이 될 것이라고 결론지을 수 있습니다.

답변:그림에서 솔루션을 보여 드리겠습니다.

f "(x 0) = 0, f" "(x 0) = 0,..., F(n)(x 0) = 0 및 f(n + 1)(x 0) ≠ 0이라고 가정합니다. 이 경우 짝수 n에 대해 x 0이 그래프 y = f(x)의 변곡점의 가로 좌표임을 얻습니다.

실시예 6

상태:함수 y = (x - 3) 5 + 1이 제공됩니다. 그녀의 그래프의 변곡점을 계산합니다.

해결책

이 함수는 전체 실수 집합에 대해 정의됩니다. 미분 계산: y "= ((x - 3) 5 + 1)" = 5 · x - 3 4. 인수의 모든 유효한 값에 대해서도 정의되므로 그래프의 어느 지점에든 수직이 아닌 접선이 존재합니다.

이제 이차 도함수가 사라질 값을 계산해 보겠습니다.

y "" = 5 (x - 3) 4 "= 20 x - 3 3 y" "= 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

우리는 x = 3에서 함수의 그래프가 변곡점을 가질 수 있다는 것을 알았습니다. 이를 확인하기 위해 세 번째 조건을 사용하겠습니다.

y "" "= 20 · (x - 3) 3" = 60 · x - 3 2, y "" "(3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 "= 120(x - 3), y(4)(3) = 120(3 - 3) = 0 y(5) = 120(x - 3)" = 120, y(5)(3) = 120 ≠ 0

우리는 세 번째 충분 조건에 의해 n = 4를 갖습니다. 이것은 짝수입니다. 즉, x = 3이 변곡점의 횡좌표가 되고 함수(3; 1)의 그래프 상의 점이 이에 해당합니다.

답변:다음은 범프, 오목부 및 변곡점이 표시된 이 함수의 그래프입니다.

텍스트에 오류가 있는 경우 해당 텍스트를 선택하고 Ctrl + Enter를 누르십시오.

함수를 검사하고 단계 중 하나에서 그래프를 그릴 때 변곡점과 볼록 구간을 결정합니다. 이러한 데이터는 증가 및 감소 간격과 함께 연구 중인 함수의 그래프를 개략적으로 나타낼 수 있습니다.

추가 프레젠테이션에서는 귀하가 일부 주문 및 다른 유형을 할 수 있다고 가정합니다.

우리는 필요한 정의와 개념으로 자료의 연구를 시작할 것입니다. 다음으로, 우리는 특정 구간에서 함수의 2차 도함수 값과 볼록한 방향 사이의 연결을 들을 것입니다. 그런 다음 함수 그래프의 변곡점을 결정할 수 있는 조건으로 넘어가 보겠습니다. 텍스트 전체에서 자세한 솔루션과 함께 일반적인 예를 제공합니다.

페이지 탐색.

볼록, 기능의 오목, 변곡점.

정의.

아래로 볼록구간 X에서 그래프가 구간 X의 임의 지점에서 해당 그래프의 접선보다 낮지 않은 경우

정의.

미분할 함수를 호출합니다. 위로 볼록구간 X에서 그래프가 구간 X의 임의 지점에서 해당 그래프의 접선보다 높지 않은 경우

상향 볼록 함수는 종종 볼록한, 그리고 아래쪽으로 볼록 - 오목한.

이러한 정의를 설명하는 그림을 살펴보십시오.

정의.

점이라고 한다 함수 그래프의 변곡점 y = f(x), 주어진 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선이 있고(Oy 축에 평행할 수 있음) 함수의 그래프가 다음과 같은 점의 이웃이 있는 경우 점 M의 왼쪽과 오른쪽으로 볼록성의 다른 방향.

즉, 이 점에 접선이 있고 함수의 그래프가 이를 지나며 볼록성의 방향을 바꾸면 점 M을 함수의 그래프의 변곡점이라고 합니다.

필요한 경우 비수직 및 수직 접선의 존재 조건을 상기하는 섹션을 참조하십시오.

아래 그림은 변곡점의 몇 가지 예를 보여줍니다(빨간색 점으로 표시). 일부 기능에는 변곡점이 없을 수 있지만 다른 기능에는 하나, 여러 개 또는 무한히 많은 변곡점이 있을 수 있습니다.

함수의 볼록한 간격을 찾습니다.

함수의 볼록한 간격을 결정할 수 있는 정리를 공식화해 보겠습니다.

정리.

함수 y = f(x)가 구간 X에 유한 2차 도함수를 갖고 부등식이면 (), 함수의 그래프는 X에서 아래쪽(위쪽) 방향으로 팽창합니다.

이 정리는 함수의 요철과 볼록의 간격을 찾는 것을 가능하게 하며, 부등식을 풀고 각각 원래 함수의 정의 영역에서만 필요합니다.

함수 y = f(x)가 정의되고 2차 도함수가 존재하지 않는 지점은 요철 구간과 볼록 구간에 포함된다는 점에 유의해야 합니다.

이를 예를 들어 살펴보겠습니다.

예시.

함수의 그래프가 표시되는 간격을 찾으십시오. 위쪽 돌출부와 아래쪽 돌출부가 있습니다.

해결책.

함수의 영역은 실수의 전체 집합입니다.

2차 도함수를 구해보자.

2차 도함수의 정의 영역은 원래 함수의 정의 영역과 일치하므로 요철과 볼록의 구간을 찾기 위해서는 와 를 각각 풀면 충분합니다.

따라서 함수는 구간에서 아래쪽으로 볼록하고 구간에서 위쪽으로 볼록합니다.

그래픽 그림입니다.

볼록 구간에 대한 함수 그래프의 일부는 파란색으로, 오목 구간에는 빨간색으로 표시됩니다.

이제 2차 도함수의 영역이 함수의 영역과 일치하지 않는 경우를 예로 들어 보겠습니다. 이 경우 이미 언급했듯이 유한 2차 도함수가 존재하지 않는 정의 영역의 점은 볼록 및(또는) 오목 구간에 포함되어야 합니다.

예시.

함수 그래프의 볼록함과 오목함의 간격을 찾으십시오.

해결책.

함수의 범위부터 시작하겠습니다.

2차 도함수를 구해봅시다.

이차 도함수의 영역은 집합입니다. ... 보시다시피 x = 0은 원래 함수의 영역에 속하지만 2차 도함수의 영역에는 속하지 않습니다. 이 점을 잊지 마십시오. 볼록 및(또는) 오목 간격에 포함되어야 합니다.

이제 우리는 원래 함수의 영역에서도 부등식을 해결합니다. 신청합시다. 식 분자 에 사라진다 또는 , 분모는 x = 0 또는 x = 1에 있습니다. 이 점들을 숫자선에 도식적으로 표시하고 원래 함수의 영역에 포함된 각 간격에서 표현식의 부호를 찾습니다(아래 숫자선의 음영 영역으로 표시됨). 양수 값으로 더하기 기호를 넣고 음수 값으로 빼기 기호를 넣습니다.

따라서,

그리고

따라서 점 x = 0을 포함하여 답을 얻습니다.

~에 함수의 그래프는 아래로 볼록합니다. - 상향 돌출.

그래픽 그림입니다.

볼록 구간의 함수 그래프 부분은 파란색으로 표시되고 오목 구간은 빨간색으로 표시됩니다. 수직 점근선은 검은색 점선입니다.

필요충분조건.

필요한 변곡 조건입니다.

공식화하자 꼬임 전제 조건기능 그래픽.

함수 y = f(x)의 그래프가 한 점에서 변곡점을 갖고 에서 연속 2차 도함수를 가지면 평등이 유지됩니다.

이 조건에서 함수의 2차 도함수가 사라지는 변곡점의 가로 좌표를 찾아야 합니다. 그러나이 조건은 충분하지 않습니다. 즉, 2 차 도함수가 0과 같은 모든 값이 변곡점의 가로 좌표가 아닙니다.

또한 변곡점의 정의에 따르면 접선의 존재가 요구되며 수직선도 가능하다는 점에 유의해야 한다. 이것은 무엇을 의미 하는가? 그리고 이것은 다음을 의미합니다. 변곡점의 가로 좌표는 함수 영역의 모든 것이 될 수 있습니다. 그리고 ... 이들은 일반적으로 1차 도함수의 분모가 사라지는 점입니다.

첫 번째 충분변곡조건.

변곡점의 가로 좌표가 될 수 있는 모든 것을 찾은 후 다음을 사용해야 합니다. 첫 번째 충분한 굽힘 조건기능 그래픽.

함수 y = f(x)가 점에서 연속이고 접선이 있고(수직일 수 있음) 이 함수는 점의 일부 이웃에서 2차 도함수를 갖습니다. 그런 다음 이 이웃 내에서 왼쪽과 오른쪽으로 2차 도함수의 부호가 다르면 함수 그래프의 변곡점이 됩니다.

보시다시피, 첫 번째 충분 조건은 점 자체에 이차 도함수가 있어야 하는 것이 아니라 점 근처에 있어야 합니다.

이제 모든 정보를 알고리즘 형태로 요약해 보겠습니다.

함수의 변곡점을 찾는 알고리즘.

함수 그래프의 가능한 변곡점의 모든 가로 좌표 찾기(또는 그리고 ) 어떤 이차 도함수가 부호를 변경하는지 알아내십시오. 이러한 값은 변곡점의 횡좌표가 될 것이며, 이에 해당하는 점은 함수 그래프의 변곡점이 될 것입니다.

설명을 위해 변곡점을 찾는 두 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시.

함수 그래프의 변곡점과 볼록 및 오목 구간을 찾습니다.

해결책.

함수의 영역은 실수의 전체 집합입니다.

1차 도함수를 구해봅시다.

1차 도함수의 영역은 실수의 전체 집합이기도 하므로 등식 그리고 에 대해 수행되지 않습니다.

2차 도함수를 구해봅시다.

인수 x 이차 도함수의 어떤 값이 사라지는지 알아 보겠습니다.

따라서 가능한 변곡점의 가로 좌표는 x = -2 및 x = 3입니다.

이제 충분한 변곡 기준을 사용하여 이 지점 중 어느 지점에서 2차 도함수가 부호를 변경하는지 확인해야 합니다. 이렇게 하려면 숫자 축에 점 x = -2 및 x = 3을 그리고 다음과 같이 일반화된 간격 방법, 이차 도함수의 부호를 각 구간에 배치합니다. 각 구간에서 함수 그래프의 볼록한 방향은 호로 개략적으로 표시됩니다.

2차 도함수는 왼쪽에서 오른쪽으로 점 x = -2를 지나서 플러스에서 마이너스로 부호를 바꾸고 x = 3을 지나 마이너스에서 플러스로 부호를 바꾼다. 따라서 x = -2와 x = 3은 모두 함수 그래프의 변곡점의 가로 좌표입니다. 그들은 그래프의 점에 해당합니다.

숫자 축과 그 간격에 대한 이차 도함수의 부호를 다시 보면 볼록함과 오목함의 간격에 대한 결론을 도출할 수 있습니다. 함수의 그래프는 구간에서 볼록하고 구간에서 오목합니다.

그래픽 그림입니다.

볼록 구간에 대한 함수 그래프의 일부는 파란색으로 표시되고 오목 구간에는 빨간색으로 변곡점이 검은 점으로 표시됩니다.

예시.

함수 그래프의 모든 변곡점의 가로 좌표 찾기 .

해결책.

이 함수의 영역은 전체 실수 집합입니다.

파생상품을 찾아보자.

원래 함수와 달리 1차 도함수는 x = 3에 대해 정의되지 않습니다. 하지만 그리고 ... 따라서 가로축 x = 3인 점에서 원래 함수의 그래프에 수직 접선이 있습니다. 따라서 x = 3은 함수 그래프의 변곡점의 가로 좌표가 될 수 있습니다.

우리는 이차 도함수, 정의 영역 및 그것이 사라지는 지점을 찾습니다.

변곡점의 두 개의 가능한 가로좌표가 더 얻어졌습니다. 숫자 선에 세 점을 모두 표시하고 얻은 각 간격에서 이차 도함수의 부호를 결정합니다.

2차 도함수는 각 점을 통과하여 부호를 변경하므로 모두 변곡점의 가로좌표입니다.

그래픽 그림입니다.

볼록 구간의 함수 그래프 부분은 파란색으로 표시되고 오목 구간에서는 빨간색으로 변곡점이 검은 점으로 표시됩니다.

함수 그래프의 변곡점에 대한 첫 번째 충분 조건은 변곡점을 결정할 수 있게 하고 변곡점에 2차 도함수의 존재를 요구하지 않습니다. 따라서 첫 번째 충분 조건은 보편적이고 가장 많이 사용되는 것으로 간주 될 수 있습니다.

이제 우리는 두 가지 더 충분한 변곡 조건을 공식화할 것이지만, 특정 차수까지 변곡점에 유한 도함수가 있는 경우에만 적용할 수 있습니다.

두 번째 충분변곡조건.

a이면 함수 y = f(x) x = 3의 그래프 변곡점의 가로축은 0이 아닙니다.

분명히, 3차 도함수의 값은 x = 3을 포함하여 모든 x에 대해 0이 아닙니다. 따라서 함수 그래프의 변곡점을 위한 두 번째 충분조건에 따르면 그 점이 변곡점이다.

그래픽 그림입니다.

세 번째 충분변곡조건.

a, n이 짝수이면 함수 y = f(x)의 그래프 변곡점의 가로 좌표입니다.

예시.

함수 그래프의 변곡점 찾기 .

해결책.

함수는 전체 실수 집합에 대해 정의됩니다.

파생 상품을 찾아 보겠습니다. ... 분명히 모든 실수 x에 대해서도 정의되므로 그래프의 모든 지점에는 수직이 아닌 접선이 있습니다.

이차 도함수가 사라지는 x의 값을 결정합시다.

따라서 가로축 x = 3인 점에서 함수의 그래프에 굴곡이 있을 수 있습니다. x = 3이 실제로 변곡점의 가로좌표인지 확인하기 위해 세 번째 충분 조건을 사용합니다.

함수 그래프의 변곡에 대한 세 번째 충분 조건에 따르면 n = 4(5차 도함수가 사라짐) - 짝수이므로 x = 3은 변곡점의 가로 좌표이며 그래프의 점에 해당합니다. 기능의 (3; 1).

그래픽 그림입니다.

볼록 구간에 대한 함수 그래프의 일부는 파란색으로 표시되고 오목 구간에는 빨간색으로 변곡점이 검은 점으로 표시됩니다.

특정 간격에서 함수의 볼록도(오목도)를 결정하기 위해 다음 정리를 사용할 수 있습니다.

정리 1.함수가 간격에 대해 정의되고 연속적이며 유한 도함수를 갖도록 합니다. 함수가 볼록(오목)하려면 이 구간에서 미분 값이 감소(증가)하는 것이 필요하고 충분합니다.

정리 2.함수를 정의하고 도함수와 함께 연속이라고 하고 내부에 연속 2차 도함수를 갖습니다. 기능의 볼록함(오목함)을 위해서는 내부가 필요하고 충분합니다.

함수의 볼록성의 경우에 대해 정리 2를 증명합시다.

필요. 임의의 점을 취합시다. Taylor 급수에서 한 점 근처의 함수 확장

횡좌표가 있는 점에서 곡선에 대한 접선 방정식:

그런 다음 점에서 접선에 대한 곡선의 초과는 다음과 같습니다.

따라서 나머지는 한 점에서 접선에 대한 곡선의 초과분과 같습니다. 연속성으로 인해 , 그리고 또한, 점의 충분히 작은 이웃에 속하는, 따라서 분명히 표시된 이웃에 속하는 값 이외의 값에 대해.

따라서 함수의 그래프는 접선 위에 있고 곡선은 임의의 점에서 볼록합니다.

적절. 곡선이 간격에서 볼록하게 둡니다. 임의의 점을 취합시다.

이전 함수와 유사하게 점 근처의 함수를 Taylor 급수로 확장합니다.

식에 의해 결정되는 가로 좌표를 갖는 점에서 접선에 대한 곡선의 초과분은 다음과 같습니다.

점의 충분히 작은 이웃에 대해 초과가 양수이므로 2차 도함수도 양수입니다. 우리가 노력할 때, 우리는 임의의 점에 대해 그것을 얻습니다. .

예시.볼록(오목) 함수를 탐색합니다.

파생 상품 전체 숫자 축에서 증가합니다. 이는 정리 1에 의해 함수가 오목하다는 것을 의미합니다.

그것의 2차 도함수 , 따라서 정리 2에 의해 함수는 오목합니다.

3.4.2.2 변곡점

정의. 변곡점연속 함수의 그래프는 함수가 볼록하고 오목한 구간을 구분하는 점이라고 합니다.

이 정의에서 변곡점은 1차 도함수의 극점이라는 결론이 나옵니다. 이는 필요충분조건에 대한 다음과 같은 진술을 의미한다.

정리(필요변곡조건)... 점이 2배 미분 가능한 함수의 변곡점이 되려면 이 점에서 2차 도함수가 0( ) 또는 존재하지 않습니다.

정리(충분한 변곡 조건). 2배 미분 가능한 함수의 2차 도함수가 특정 지점, 즉 변곡점을 지날 때 부호가 바뀌면.

2차 도함수는 점 자체에 존재하지 않을 수 있습니다.

변곡점의 기하학적 해석은 그림 1에 나와 있습니다. 3.9

점 근처에서 함수는 볼록하고 그래프는 이 점에서 그려진 접선 아래에 있습니다. 점 근처에서 함수는 오목하고 그래프는 이 점에서 그린 접선 위에 있습니다. 변곡점에서 접선은 함수의 그래프를 볼록 및 오목 영역으로 나눕니다.

3.4.2.3 볼록성에 대한 함수 및 변곡점의 존재 조사

1. 2차 도함수를 구합니다.

2. 2차 도함수가 존재하지 않거나 존재하지 않는 점을 찾습니다.

3. 찾은 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 2차 도함수의 부호를 조사하고 볼록 또는 오목의 간격과 변곡점의 존재에 대한 결론을 도출합니다.

예시. 볼록성에 대한 함수와 변곡점의 존재를 조사합니다.

2. 2차 도함수는 0과 같습니다.

3. 2차 도함수는 에서 부호를 변경하므로 점이 변곡점입니다.

구간에서 함수는 해당 구간에서 볼록합니다.

구간에서 함수는 이 구간에서 오목합니다.

3.4.2.4 기능 및 플로팅 연구의 일반 계획

함수를 검사하고 그래프를 그릴 때 다음 구성표를 사용하는 것이 좋습니다.

1. 함수의 영역을 찾습니다.
2. 짝수 - 홀수에 대한 기능을 조사하십시오. 짝수 함수의 그래프는 세로축에 대해 대칭이고 홀수 함수의 그래프는 원점에 대해 대칭입니다.
3. 수직 점근선을 찾습니다.
4. 무한대에서 함수의 동작을 탐색하고 수평 또는 사선 점근선을 찾습니다.
5. 함수의 단조성의 극값과 구간을 찾습니다.
6. 함수의 볼록 구간과 변곡점을 찾습니다.
7. 좌표축과의 교차점을 찾습니다.

함수의 연구는 그래프의 구성과 동시에 수행됩니다.

예시. 탐색 기능 그녀의 일정을 짜십시오.

1. 기능 정의 영역 -.

2. 조사된 기능은 짝수 따라서 그래프는 세로축에 대해 대칭입니다.

3. 함수의 분모는 에서 사라지므로 함수의 그래프는 수직 점근선 및를 갖습니다.

이 점에서 왼쪽과 오른쪽의 한계가 경향이 있기 때문에 점은 두 번째 종류의 불연속 점입니다.

4. 무한대에서 함수의 동작.

따라서 함수의 그래프는 수평 점근선을 갖습니다.

5. 극단과 단조로움의 간격. 1차 도함수 찾기

따라서 이 간격에서 함수가 감소합니다.

따라서 이 간격에서 함수가 증가합니다.

따라서 시점이 임계점일 때.

이차 도함수 찾기

점은 함수의 최소점이기 때문입니다.

6. 볼록한 간격과 변곡점.

기능 , 따라서 이 구간에서 함수는 오목합니다.

이 구간에서 함수는 볼록합니다.

기능은 어디에도 사라지지 않으므로 변곡점이 없습니다.

7. 좌표축과의 교차점.

방정식에는 함수 그래프와 세로축(0, 1)의 교차점을 의미하는 해가 있습니다.

방정식에는 해가 없으므로 가로축과의 교차점이 없습니다.

수행된 연구를 고려하여 함수의 그래프를 작성하는 것이 가능합니다.

함수의 개략도 그림에 나와 있습니다. 3.10.

3.4.2.5 함수 그래프의 점근선

정의. 점근선함수의 그래프를 직선이라고 하며, 점()에서 이 직선까지의 거리가 그래프 점의 원점으로부터의 거리에 제한이 없이 0이 되는 성질을 가지고 있습니다.

	기능 연구 및 그래프 구성의 일반적인 계획. 1. 볼록과 오목에 대한 함수의 조사. 함수 그래프의 점근선. 소개. 학교 수학 과정에서 이미 함수 그래프를 그릴 필요성을 충족했습니다. 에서는 점별 시공법을 사용했습니다. 개념이 간단하고 상대적으로 빠르게 목표에 도달한다는 점에 유의해야 합니다. 함수가 연속적이고 다소 부드럽게 변경되는 경우 이 방법은 그래픽 표현에 필요한 정도의 정확도를 제공할 수 있습니다. 이렇게하려면 배치의 특정 밀도를 달성하기 위해 더 많은 포인트를 가져와야합니다. 이제 일부 장소의 기능이 "동작"에 기능을 가지고 있다고 가정합니다. 작은 영역의 값이 갑자기 변경되거나 불연속성이 있습니다. 그래프의 가장 중요한 부분은 이러한 방식으로 감지되지 않을 수 있습니다. 이 상황은 또한 "포인트별로" 그래프를 그리는 방법의 가치를 감소시킵니다. 함수에 대한 분석적 연구를 기반으로 차트를 작성하는 두 번째 방법이 있습니다. 그것은 학교 수학 과정에서 논의된 방법과 유리하게 비교됩니다. 1. 볼록함과 오목함의 기능 연구 . 기능을 보자 구간 (a, c)에서 미분 가능합니다. 그러면 임의의 점에서 함수의 그래프에 접선이 있습니다. 이 그래프( ), 접선은 기울기가 다음과 같기 때문에 OY 축과 평행하지 않습니다. , 물론이야. 영형 과제 우리는 함수의 그래프가 on (a, b)는 (a, b)의 함수 그래프에 대한 접선 아래에 있지 않은 경우(위가 아닌 경우) 하향(위쪽) 릴리스를 갖습니다. a) 오목 곡선 b) 볼록 곡선 정리 1 (곡선의 볼록함(오목)에 대한 필요 조건). 2회 미분 가능한 함수의 그래프가 볼록(오목) 곡선이면 구간(a, b)의 2차 도함수는 이 구간에서 음(양)입니다. 정리 2(곡선의 볼록함(오목)에 대한 충분 조건). 함수가 (a, b)에서 두 번 미분 가능한 경우 ( ) 이 구간의 모든 점에서 함수의 그래프인 곡선은 이 구간에서 볼록(오목)합니다. 함수 그래프의 변곡점. 정의가리키다 점에 있는 경우 함수 그래프의 변곡점이라고 합니다. 그래프에는 접선이 있고 점의 이웃이 있습니다. , 그 안에서 점의 왼쪽과 오른쪽에 있는 함수의 그래프는 볼록성의 방향이 다릅니다. 영형 변곡점에서 접선이 함수의 그래프와 교차한다는 것을 알 수 있습니다. 이 점의 한쪽에는 그래프가 접선 위에 있고 다른 쪽에는 그 아래, 즉 변곡점 근처에 있기 때문입니다 , 함수의 그래프는 기하학적으로 접선의 한쪽에서 다른 쪽으로 이동하고 그 위로 "구부려집니다". 여기에서 "변곡점"이라는 이름이 유래했습니다. 정리 3(변곡점의 전제 조건). 함수의 그래프가 점에서 변곡점을 갖도록 하고 함수가 점에서 변곡점을 갖도록 하십시오. 연속 이차 미분. 그 다음에 . 모든 지점이 변곡점이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 함수의 그래프 점 (0, 0)에서 굴절이 없지만 ~에 ... 따라서 2차 도함수의 0과 동등함은 단지 필요한 변곡 조건일 뿐입니다. 호출되는 그래프의 점 임계점II- 도시.각 임계점에서 굴절의 존재 문제를 추가로 조사할 필요가 있습니다. 정리 4(변곡점에 대한 충분 조건). 함수가 점의 일부 이웃에서 2차 도함수를 갖도록 하십시오. 그런 다음 지정된 이웃 내에 있으면 점의 왼쪽과 오른쪽에 다른 부호가 있으면 그래프는 점에 변곡점이 있습니다. 논평.정리는 다음과 같은 경우 참으로 유지됩니다. 점 자체를 제외하고 점의 일부 이웃에 2차 도함수가 있고 점에서 함수 그래프에 접선이 있습니다. ... 그런 다음 지정된 이웃 내에서 점의 왼쪽과 오른쪽에 다른 부호가 있는 경우 함수에 대한 그래프는 해당 점에 변곡점이 있습니다. 볼록, 오목, 변곡점에 대한 기능 연구 계획. 예시.탐색 기능 볼록, 오목, 변곡점에. 1. 2. , = 3. 를 위해 존재하지 않습니다 ) 1 (1, +) - + 1 함수 그래프의 점근선. 함수의 동작을 연구할 때 또는 두 번째 종류의 불연속 점 근처에서 함수의 그래프가 하나 또는 다른 직선에 가능한 한 가깝게 접근한다는 것이 종종 나타납니다. 이러한 직선을 호출합니다. 영형 정의 1. 똑바로 점이 곡선을 따라 무한대로 이동할 때 곡선의 점에서 이 직선까지의 거리가 0이 되는 경향이 있는 경우 곡선 L의 점근선이라고 합니다. 점근선에는 수직, 수평, 사선의 세 가지 유형이 있습니다. 정의 2.똑바로 단측 극한 중 하나 이상이 다음과 같은 경우 함수 그래프의 수직 점근선이라고 합니다. , 즉, 또는 예를 들어, 함수의 그래프 수직 점근선이 있습니다 , 왜냐하면. , NS . 정의 3.직선 y = A를 함수 그래프의 수평 점근선이라고 합니다. 만약 . 예를 들어, 함수의 그래프는 수평 점근선 y = 0을 갖습니다. . 정의 4.똑바로 ( )는 함수 그래프의 사선 점근선이라고 합니다. 만약 ; 한계 중 하나 이상이 존재하지 않으면 곡선에 점근선이 없습니다. 그렇다면 이러한 한계를 별도로 찾아야 하며, . 예를 들어. 함수 그래프의 점근선 찾기 ; x = 0 - 수직 점근선 ; . - 사선 점근선. 4. 기능 및 플로팅에 대한 완전한 연구 계획. 함수의 동작을 조사하고 그래프를 작성하는 것이 좋습니다. 예시.탐색 기능 그녀의 일정을 짜십시오. 1. x = -1을 제외하고. 2. 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다	-		-		+		+
와이		-4		피.		0