도함수와 그 계산 방법에 대한 지식 없이 수학의 물리적 문제나 예를 푸는 것은 절대 불가능합니다. 도함수는 수학적 분석에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다. 우리는 오늘의 기사를 이 근본적인 주제에 할애하기로 결정했습니다. 미분이란 무엇이며 물리적 및 기하학적 의미는 무엇이며 함수의 미분을 계산하는 방법은 무엇입니까? 이 모든 질문을 하나로 결합할 수 있습니다. 파생 상품을 이해하는 방법은 무엇입니까?

도함수의 기하학적, 물리적 의미

기능이 있게 하라 f (x) 일정 간격으로 주어진 (아, 나) ... 점 х와 х0은 이 구간에 속합니다. x가 변경되면 함수 자체가 변경됩니다. 인수 변경 - 값의 차이 x-x0 ... 이 차이는 다음과 같이 작성됩니다. 델타 x 인수 증분이라고 합니다. 함수의 변경 또는 증가는 두 지점에서 함수 값의 차이입니다. 파생 정의:

한 점에서 함수의 도함수는 주어진 점에서 함수의 증분에 대한 인수 증가가 0이 되는 경향이 있을 때의 비율의 한계입니다.

그렇지 않으면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

그런 한계를 찾는 것이 무슨 의미가 있습니까? 다음은 다음과 같습니다.

한 점에서 함수의 도함수는 OX 축과 이 점에서 함수 그래프에 대한 접선 사이 각도의 접선과 같습니다.

파생 상품의 물리적 의미: 시간에 대한 경로의 미분은 직선 운동의 속도와 같습니다.

사실 학창시절부터 속도는 사적인 길이라는 것을 누구나 알고 있습니다. x = f(t) 그리고 시간 NS ... 일정 기간 동안의 평균 속도:

한 번에 이동 속도를 알아보려면 t0 한계를 계산해야 합니다.

규칙 1: 상수 빼기

상수는 도함수의 부호 밖으로 이동할 수 있습니다. 더욱이 그것은 이루어져야 합니다. 수학의 예를 해결할 때 원칙적으로 - 표현을 단순화할 수 있다면 .

예시. 도함수를 계산해 보겠습니다.

규칙 2: 함수 합계의 미분

두 함수의 도함수의 도함수는 이 함수의 도함수의 합과 같습니다. 함수의 차이의 미분에 대해서도 마찬가지입니다.

우리는 이 정리에 대한 증명을 제공하지 않고 오히려 실제 예를 고려합니다.

함수의 도함수 찾기:

규칙 3: 함수 곱의 미분

미분 가능한 두 함수의 곱의 도함수는 다음 공식으로 계산됩니다.

예: 함수의 도함수 찾기:

해결책:

여기에서 복잡한 함수의 도함수 계산에 대해 말하는 것이 중요합니다. 복소수 함수의 도함수는 독립 변수에 대한 중간 인수의 도함수에 의한 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수의 곱과 같습니다.

위의 예에서 우리는 다음과 같은 표현을 만납니다.

이 경우 중간 인수는 8x의 5승입니다. 이러한 식의 도함수를 계산하기 위해 먼저 중간 인수에 대한 외부 함수의 도함수를 계산한 다음 독립 변수에 대한 직접 중간 인수의 도함수를 곱합니다.

규칙 4: 두 함수의 몫 도함수

두 함수의 몫의 도함수를 결정하는 공식:

우리는 처음부터 인형에 대한 파생 상품에 대해 이야기하려고했습니다. 이 주제는 들리는 것처럼 간단하지 않으므로 경고합니다. 예제에는 종종 함정이 있으므로 도함수를 계산할 때 주의하십시오.

이 주제 및 기타 주제에 대한 질문은 학생 서비스에 문의할 수 있습니다. 단시간에 미분계산을 한 번도 해본 적이 없으시더라도 가장 어려운 테스트를 풀고 작업을 처리하도록 도와드리겠습니다.

그리고 복소수 함수의 미분에 대한 정리는 다음과 같이 공식화됩니다.

1) 함수 $ u = \ varphi (x) $ $ x_0 $ 미분 $ u_ (x) "= \ varphi" (x_0) $, 2) 함수 $ y = f (u) $ $ u_0 = \ varphi (x_0) $ 미분 $ y_ (u) "= f"(u) $에 해당하는 점에 있습니다. 그러면 언급된 지점에서 복소수 함수 $ y = f \ left (\ varphi (x) \ right) $도 $ f (u) $ 및 $ \ varphi ( x) $:

$$ \ 왼쪽 (f (\ varphi (x)) \ 오른쪽) "= f_ (u)" \ 왼쪽 (\ varphi (x_0) \ 오른쪽) \ cdot \ varphi "(x_0) $$

또는 더 짧은 방법으로 $ y_ (x) "= y_ (u)" \ cdot u_ (x) "$.

이 섹션의 예에서 모든 함수는 $ y = f(x) $ 형식입니다(즉, 하나의 변수 $ x $의 함수만 고려합니다). 따라서 모든 예에서 도함수 $ y "$는 변수 $ x $에 대해 취합니다. 도함수가 변수 $ x $에 대해 취한다는 것을 강조하기 위해 종종 $ 대신 $ y" _x $로 작성됩니다. y "$.

예제 # 1, # 2 및 # 3은 복잡한 함수의 도함수를 찾는 자세한 프로세스를 제공합니다. 예제 번호 4는 도함수 표를 보다 완벽하게 이해하기 위한 것이며 이를 숙지하는 것이 좋습니다.

예 1-3의 자료를 연구한 후 예 5, 6 및 7의 독립적인 솔루션으로 이동하는 것이 좋습니다. 예제 #5, #6, #7은 독자가 결과의 정확성을 확인할 수 있도록 짧은 솔루션을 제공합니다.

예 # 1

함수 $ y = e ^ (\ cos x) $의 도함수를 찾습니다.

우리는 복소수 함수 $ y "$의 도함수를 찾아야 합니다. $ y = e ^ (\ cos x) $이므로 $ y" = \ left(e ^ (\ cos x) \ right) "$입니다. 미분 찾기 $ \ left (e ^ (\ cos x) \ right) "$ 미분 표에서 공식 # 6을 사용하십시오. 공식 # 6을 사용하려면 우리의 경우 $ u = \ cos x $를 고려해야 합니다. 추가 솔루션은 공식 # 6에서 $ u $ 대신 $ \ cos x $ 표현식의 간단한 대체로 구성됩니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (e ^ (\ cos x) \ 오른쪽)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "\ 태그(1.1) $$

이제 우리는 표현식 $ (\ cos x) "$의 값을 찾아야합니다. 다시 미분 표로 돌아가서 공식 번호 10을 선택합니다. 공식 번호 10에 $ u = x $를 대입하면 $ (\ cos x)" = - \ sin x \ cdot x "$가 있습니다. 이제 평등(1.1)을 계속하여 찾은 결과로 보완합니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (e ^ (\ cos x) \ 오른쪽)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x ") \ 태그(1.2) $$

$ x "= 1 $이므로 평등(1.2)을 계속합니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (e ^ (\ cos x) \ 오른쪽)" = e ^ (\ cos x) \ cdot (\ cos x) "= e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot x ") = e ^ (\ cos x) \ cdot (- \ sin x \ cdot 1) = - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) \ 태그(1.3) $$

따라서 등식(1.3)에서 우리는 다음을 얻습니다. $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $. 당연히 설명과 중간 등식을 건너뛰고 유도를 한 줄로 작성합니다. ( 1.3) 따라서 복소수 함수의 도함수를 찾았고 답을 쓰는 일만 남았습니다.

답변: $ y "= - \ sin x \ cdot e ^ (\ cos x) $.

실시예 2

함수 $ y = 9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) $의 도함수를 구합니다.

미분 $ y "= \ left (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right)" $를 계산해야 합니다. 우선 상수(즉, 숫자 9)는 도함수의 부호 외부로 이동할 수 있습니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽)" = 9 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) "\ 태그(2.1) $$

이제 표현식을 $ \ left (\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ right) "$로 바꾸어 보겠습니다. 미분 표에서 원하는 공식을 선택하는 것이 더 쉬웠으므로 해당 표현식을 나타내겠습니다. 이 형식으로: $ \ 왼쪽 ( \ 왼쪽 (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (12) \ 오른쪽) "$. 이제 공식 # 2를 사용해야 함을 알 수 있습니다. $ \ 왼쪽 (u ^ \ 알파 \ 오른쪽) "= \ 알파 \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. $ u = \ arctg (4 \ cdot \ ln x) $ 및 $ \ alpha = 12 $를 다음 공식에 대입합니다.

얻은 결과와 동등성(2.1)을 보완하면 다음과 같습니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽)" = 9 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) "= 108 \ cdot \ 왼쪽 (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" \ 태그(2.2) $$

이런 상황에서 첫 번째 단계의 솔버가 공식 대신 $ (\ arctg \; u) "= \ frac (1) (1 + u ^ 2) \ cdot u" $ 공식을 선택할 때 종종 오류가 발생합니다. $ \ 왼쪽 (u ^ \ 알파 \ 오른쪽) "= \ 알파 \ cdot u ^ (\ alpha-1) \ cdot u" $. 요점은 외부 함수의 도함수가 첫 번째여야 한다는 것입니다. $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ 표현식의 외부에 있는 함수를 이해하려면 $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $ x $의 일부 값에 대한 $. 먼저 $ 5 ^ x $의 값을 계산한 다음 결과에 4를 곱하여 $ 4 \ cdot 5 ^ x $를 얻습니다. 이제 우리는 이 결과로부터 아크탄젠트를 취하여 $ \ arctg (4 \ cdot 5 ^ x) $를 얻습니다. 그런 다음 결과 숫자를 12제곱하여 $ \ arctg ^ (12) (4 \ cdot 5 ^ x) $를 얻습니다. 마지막 작업, 즉 12의 거듭제곱으로 올리면 - 외부 함수가 됩니다. 그리고 그것과 함께 도함수를 찾기 시작해야 합니다. 이는 동등하게 수행되었습니다(2.2).

이제 우리는 $ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "$를 찾아야 합니다. 우리는 $ u = 4 \ cdot \ ln x $를 도함수 표의 공식 # 19에 대입합니다.

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" $$

$ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2 = 4 ^ 2 \ cdot (\ ln x) ^ 2 = 16 \ cdot \ ln ^ 2 x $를 고려하여 얻은 식을 조금 단순화합시다.

$$ (\ arctg (4 \ cdot \ ln x)) "= \ frac (1) (1+ (4 \ cdot \ ln x) ^ 2) \ cdot (4 \ cdot \ ln x)" = \ frac( 1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) "$$

평등(2.2)은 이제 다음이 됩니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽)" = 9 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) "= \\ = 108 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ 왼쪽 (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " \ 태그(2.3) $$

$ (4 \ cdot \ ln x) "$. 미분 기호 외부로 상수(즉, 4)를 이동하십시오: $ (4 \ cdot \ ln x)" = 4 \ cdot (\ ln x) "$. $ (\ ln x) "$를 찾기 위해 공식 # 8을 사용하고 $ u = x $를 $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "$로 대체합니다. $ x "= 1 $이므로 $ (\ ln x)" = \ frac (1) (x) \ cdot x "= \ frac (1) (x) \ cdot 1 = \ frac (1) (x ) $. 얻어진 결과를 공식 (2.3)에 대입하면 다음을 얻습니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (9 \ cdot \ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽)" = 9 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg ^ (12) (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) "= \\ = 108 \ cdot \ 왼쪽(\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot (\ arctg (4 \ cdot \ ln x))" = 108 \ cdot \ 왼쪽 (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot (4 \ cdot \ ln x) " = \\ = 108 \ cdot \ 왼쪽 (\ arctg (4 \ cdot \ ln x) \ 오른쪽) ^ (11) \ cdot \ frac (1) (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x) \ cdot 4 \ cdot \ frac (1) (x) = 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $ $

복소수 함수의 도함수는 마지막 항등식에 쓰여진 것처럼 한 줄에 있는 경우가 가장 많다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 따라서 표준 계산이나 제어 작업을 할 때 솔루션을 동일한 세부 사항으로 칠할 필요가 전혀 없습니다.

답변: $ y "= 432 \ cdot \ frac (\ arctg ^ (11) (4 \ cdot \ ln x)) (x \ cdot (1 + 16 \ cdot \ ln ^ 2 x)) $.

실시예 3

$ y "$ 함수 $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) $를 찾습니다.

먼저, 함수 $ y $를 약간 변형하여 급진적(근)을 거듭제곱으로 표현해 보겠습니다. $ y = \ sqrt (\ sin ^ 3 (5 \ cdot9 ^ x)) = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) $. 이제 도함수를 찾기 시작합니다. $ y = \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7)) $이므로,

$$ y "= \ 왼쪽(\ 왼쪽(\ 죄(5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) \ 오른쪽)" \ 태그(3.1) $$

$ u = \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) $ 및 $ \ alpha = \ frac (3) (7) $를 대입하여 미분 표에서 공식 # 2를 사용합니다.

$$ \ 왼쪽 (\ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) \ 오른쪽) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 ( \ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (\ frac (3) (7) -1) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$$

이 결과를 사용하여 평등(3.1)을 계속합니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (\ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) \ 오른쪽)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ 죄 (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ 죄 (5 \ cdot 9 ^ x)) "\ 태그 (3.2) $$

이제 우리는 $ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "$를 찾아야 합니다. 이를 위해 우리는 $ u = 5 \ cdot 9 ^ x $를 대입하여 미분 표에서 공식 9번을 사용합니다.

$$ (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x)" $$

얻은 결과와 동등성(3.2)을 보완하면 다음과 같습니다.

$$ y "= \ 왼쪽 (\ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) \ 오른쪽)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "\ 태그(3.3) $$

$ (5 \ cdot 9 ^ x) "$를 찾는 것이 남아 있습니다. 먼저 상수 (숫자 $ 5 $)를 도함수의 부호 밖으로 이동하십시오. 즉, $ (5 \ cdot 9 ^ x)" = 5 \ cdot (9 ^ x) "$. 도함수를 찾으려면 $ (9 ^ x)" $ $ a = 9 $ 및 $ u = x $를 대입하여 도함수 테이블의 공식 5를 적용하십시오. $ (9 ^ x) "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "$. $ x "= 1 $이므로 $ (9 ^ x)" = 9 ^ x \ cdot \ ln9 \ cdot x "= 9 ^ x \ cdot \ ln9 $입니다. 이제 평등을 계속할 수 있습니다(3.3).

$$ y "= \ 왼쪽(\ 왼쪽(\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (3) (7)) \ 오른쪽)" = \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x)) "= \\ = \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot (5 \ cdot 9 ^ x) "= \ frac (3) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 5 \ cdot 9 ^ x \ cdot \ ln9 = \\ = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x. $$

$ \ left (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ right) ^ (- \ frac (4) (7)) $를 $ \ frac (1 ) (\ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (\ frac (4) (7))) = \ frac (1) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^) x))) $. 그러면 파생 상품은 다음 형식으로 작성됩니다.

$$ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ 왼쪽 (\ sin (5 \ cdot 9 ^ x) \ 오른쪽) ^ (- \ frac (4) (7)) \ cdot \ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x = \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x))).$$

답변: $ y "= \ frac (15 \ cdot \ ln 9) (7) \ cdot \ frac (\ cos (5 \ cdot 9 ^ x) \ cdot 9 ^ x) (\ sqrt (\ sin ^ 4 (5 \ cdot 9 ^ x)))) $.

실시예 4

도함수 표의 공식 3번과 4번이 이 표의 공식 2번의 특수한 경우임을 보여라.

도함수 표의 공식 2에는 $ u ^ \ alpha $ 함수의 도함수가 포함되어 있습니다. $ \ alpha = -1 $를 공식 # 2에 대입하면 다음을 얻습니다.

$$ (u ^ (- 1)) "= - 1 \ cdot u ^ (- 1-1) \ cdot u" = - u ^ (- 2) \ cdot u "\ 태그(4.1) $$

$ u ^ (- 1) = \ frac (1) (u) $ 및 $ u ^ (- 2) = \ frac (1) (u ^ 2) $이므로 등식(4.1)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. \ 왼쪽 (\ frac (1) (u) \ 오른쪽) "= - \ frac (1) (u ^ 2) \ cdot u" $. 이것은 도함수 표의 공식 # 3입니다.

도함수 표의 공식 # 2로 다시 돌아가 보겠습니다. $ \ alpha = \ frac (1) (2) $를 대입해 보겠습니다.

$$ \ 왼쪽 (u ^ (\ frac (1) (2)) \ 오른쪽) "= \ frac (1) (2) \ cdot u ^ (\ frac (1) (2) -1) \ cdot u" = \ frac (1) (2) u ^ (- \ frac (1) (2)) \ cdot u "\ 태그 (4.2) $$

$ u ^ (\ frac (1) (2)) = \ sqrt (u) $ 및 $ u ^ (- \ frac (1) (2)) = \ frac (1) (u ^ (\ frac ( 1) ) (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (u)) $인 경우 등식(4.2)은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

$$ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (u)) \ cdot u" = \ frac (1) (2 \ sqrt (u) ) \ cdot u "$$

결과 평등 $ (\ sqrt (u)) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (u)) \ cdot u" $는 도함수 표의 공식 # 4입니다. 보시다시피 미분 표의 공식 # 3 및 # 4는 $ \ alpha $에 해당 값을 대입하여 공식 # 2에서 얻습니다.

복잡한 파생 상품. 대수 도함수.
지수 함수의 도함수

차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 단원에서는 다루는 자료를 통합하고 더 복잡한 도함수를 고려하며 도함수, 특히 대수 도함수를 찾기 위한 새로운 기술과 트릭에 대해서도 알게 됩니다.

교육 수준이 낮은 독자는 기사를 참조해야 합니다. 파생상품은 어떻게 찾나요? 솔루션의 예, 거의 처음부터 기술을 올릴 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복소수 함수의 도함수, 이해하고 해결하다 모두내가 준 예. 이 수업은 논리적으로 세 번째 연속이며, 마스터한 후에는 다소 복잡한 기능을 자신 있게 구별할 수 있습니다. "다른 곳이 어디입니까?"라는 입장을 고수하는 것은 바람직하지 않습니다. 그리고 그것으로 충분합니다!”, 모든 예제와 솔루션은 실제 테스트에서 가져왔고 실제로 종종 발견되기 때문입니다.

반복부터 시작합시다. 수업에서 복소수 함수의 도함수우리는 자세한 설명과 함께 여러 예를 살펴보았습니다. 미적분학 및 기타 수학적 분석 분야를 공부하는 과정에서 매우 자주 미분해야 하며 예를 매우 자세하게 작성하는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것은 아님). 따라서 파생 상품을 구두로 찾는 연습을 할 것입니다. 이에 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 기능의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복잡한 함수의 미분 법칙에 따르면 :

미래에 마탄의 다른 주제를 공부할 때, 그러한 상세한 기록은 종종 필요하지 않으며, 학생이 자동 자동 조종 장치에서 유사한 파생 상품을 찾을 수 있다고 가정합니다. 새벽 3시에 전화가 울렸고 유쾌한 목소리가 "두 X의 탄젠트의 미분은 무엇입니까?"라고 물었다고 상상해보십시오. 이것은 거의 즉각적이고 정중한 응답으로 이어집니다. .

첫 번째 예는 즉시 독립적인 솔루션을 위한 것입니다.

실시예 1

예를 들어 다음 파생어를 한 단계에서 구두로 찾으십시오. 작업을 완료하려면 다음을 사용해야 합니다. 기본 함수의 도함수 표(아직 기억나지 않는 경우). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다. 복소수 함수의 도함수.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

수업이 끝날 때의 답변

복합 파생 상품

예비 포병 준비 후, 3-4-5 기능 어태치먼트가 있는 예는 덜 무섭게 될 것입니다. 아마도 다음 두 가지 예가 어떤 사람들에게는 어려워 보일 수 있지만 이해하면(누군가는 고통을 겪을 것입니다), 미분 미적분학의 다른 거의 모든 것은 유치한 농담처럼 보일 것입니다.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급했듯이 복소수 함수의 도함수를 찾을 때 먼저 다음이 필요합니다. 오른쪽첨부 파일을 이해하십시오. 의심이 가는 경우 유용한 기술을 기억합니다. 예를 들어 실험 값 "X"를 사용하고 "끔찍한 표현"에서 이 값을 (정신적으로 또는 초안에서) 대체하려고 시도합니다.

1) 먼저, 금액이 가장 깊은 투자임을 의미하는 표현식을 계산해야합니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 입방체로 올립니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점:

6) 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소수 미분 공식 가장 바깥쪽 함수에서 가장 안쪽 함수로 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다.

실수가 없는듯....

(1) 제곱근의 미분을 취합니다.

(2) 규칙을 사용하여 차이의 미분을 취합니다.

(3) 삼중의 도함수는 0입니다. 두 번째 항에서 우리는 차수(입방체)의 도함수를 취합니다.

(4) 코사인의 미분을 취합니다.

(5) 로그의 미분을 취합니다.

(6) 마지막으로, 우리는 가장 깊은 중첩의 도함수를 취합니다.

너무 어렵게 들릴지 모르지만 이것은 아직 가장 잔인한 예가 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 보면 분석된 파생 상품의 모든 매력과 단순함을 감상할 수 있습니다. 나는 그들이 학생이 복잡한 함수의 도함수를 찾는 방법을 이해하는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 DIY 솔루션에 대한 것입니다.

실시예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 선형성 규칙과 곱 미분 규칙을 적용합니다.

튜토리얼 끝 부분에 완전한 솔루션과 답변이 있습니다.

이제 더 작고 귀여운 것으로 넘어갈 때입니다.
예를 들어 두 가지가 아닌 세 가지 기능의 곱을 제공하는 것은 드문 일이 아닙니다. 세 가지 요인의 곱의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 3가지 함수의 곱을 2가지 함수의 곱으로 바꾸는 것이 가능한지 볼까요? 예를 들어 제품에 두 개의 다항식이 있는 경우 대괄호를 확장할 수 있습니다. 그러나 이 예에서는 차수, 지수 및 로그와 같은 모든 기능이 다릅니다.

그러한 경우에 필요한 일관되게제품 차별화 규칙 적용 두 배

트릭은 "y"의 경우 두 함수의 곱을 나타내고 "ve"의 경우 대수를 나타냅니다. 왜 이것이 가능합니까? 인가 - 이것은 두 가지 요소의 산물이 아니며 규칙이 작동하지 않습니다?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 적용하는 것이 두 번째로 남아 있습니다. 괄호까지:

여전히 왜곡되어 괄호 밖에 무언가를 넣을 수 있지만이 경우이 형식으로 답을 남겨 두는 것이 좋습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

고려한 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 절대적으로 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이것은 독립 솔루션의 예이며 샘플에서는 첫 번째 방법으로 해결됩니다.

분수와 유사한 예를 살펴 보겠습니다.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기에 가는 방법은 여러 가지가 있습니다.

또는 다음과 같이:

그러나 우선 몫을 미분하는 규칙을 사용하면 솔루션이 더 간결하게 작성됩니다. , 전체 분자에 대해 다음을 수행합니다.

원칙적으로 예제는 해결되며 그대로 두면 오류가 발생하지 않습니다. 하지만 시간이 있으면 항상 초안을 확인하는 것이 좋지만 답변을 단순화 할 수 있습니까? 분자의 표현을 공통 분모로 줄이고 삼층분수를 없애다:

추가 단순화의 단점은 도함수를 찾는 것이 아니라 진부한 학교 변환의 경우 실수를 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사들은 종종 과제를 거부하고 파생 상품을 "기억해 달라"고 요청합니다.

DIY 솔루션에 대한 더 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 방법을 계속 마스터하고 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 일반적인 경우를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 기능을 구별하는 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담에 빠뜨립니다. 분수 정도에서 불쾌한 파생 상품을 가져온 다음 분수에서도 가져와야합니다.

그렇기 때문에 ~ 전에"멋진" 로그의 도함수를 취하는 방법은 잘 알려진 학교 속성을 사용하여 미리 단순화됩니다.

! 연습용 노트가 있다면 바로 이 공식을 복사하세요. 공책이 없으면 나머지 강의 예제가 이 공식을 중심으로 돌아가므로 종이에 다시 그립니다.

솔루션 자체는 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

파생 상품 찾기:

기능 자체를 미리 구성하면 솔루션이 크게 간소화되었습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분할"하는 것이 좋습니다.

이제 독립 솔루션에 대한 몇 가지 간단한 예:

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

수업이 끝날 때 모든 변형 및 답변.

대수 도함수

로그의 도함수가 그런 감미로운 음악이라면 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능한가라는 의문이 생깁니다. 할 수있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리는 최근에 비슷한 예를 보았습니다. 무엇을 할까요? 몫 미분 규칙을 일관되게 적용한 다음 작업 미분 규칙을 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 전혀 처리하고 싶지 않은 거대한 3층 부분을 얻게 된다는 것입니다.

그러나 이론과 실제에는 로그 도함수와 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "매달"하여 인위적으로 구성할 수 있습니다.

메모 : 부터 함수는 음수 값을 취할 수 있으므로 일반적으로 모듈을 사용해야 합니다. 차별화의 결과로 사라질 것입니다. 그러나 기본값이 고려되는 현재 디자인도 허용됩니다. 복잡한가치. 그러나 모든 심각성으로 인해 두 경우 모두 다음과 같이 예약해야 합니다..

이제 오른쪽의 로그(눈 앞의 공식?)의 로그를 최대한 "파괴"해야 합니다. 이 과정을 자세히 설명하겠습니다.

실제로 우리는 차별화를 진행합니다.
획 아래에 두 부분을 모두 포함합니다.

우변의 미분은 매우 간단합니다. 이 텍스트를 읽고 있다면 자신 있게 대처해야 하기 때문에 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에 우리는 복잡한 기능... 나는 "왜, 로그 아래에 하나의 문자가 있습니까?"ygrek "라는 질문을 예상합니다.

사실은이 "한 글자 igrek"- 그 자체가 함수다(매우 명확하지 않은 경우 암시적 함수에서 파생 문서 참조). 따라서 로그는 외부 함수이고 "게임"은 내부 함수입니다. 그리고 우리는 복잡한 기능을 미분하는 규칙을 사용합니다 :

왼쪽에는 마치 마법처럼 파생물이 있습니다. 또한 비례 규칙에 따라 왼쪽의 분모에서 오른쪽의 위쪽으로 "게임"을 던집니다.

이제 우리는 차별화에서 논의한 어떤 종류의 "게임" 기능을 기억합니까? 우리는 조건을 봅니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 수업이 끝날 때이 유형의 예에 대한 디자인 샘플.

대수 도함수의 도움으로 예제 4-7 중 하나를 풀 수 있었지만 다른 것은 거기에 있는 함수가 더 간단하고 아마도 대수 도함수의 사용이 그다지 정당하지 않다는 것입니다.

지수 함수의 도함수

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 지수 함수는 다음과 같은 함수입니다. 차수와 밑수는 "x"에 따라 다릅니다.... 모든 교과서 또는 강의에서 제공되는 고전적인 예:

지수 함수의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 고려한 기술인 대수 도함수를 사용해야 합니다. 우리는 양쪽에 로그를 걸었습니다.

일반적으로 차수는 오른쪽의 로그 아래에서 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 두 함수의 곱이 표시되며 표준 공식에 따라 미분됩니다. .

우리는 도함수를 찾습니다. 이를 위해 두 부분을 획 아래에 묶습니다.

추가 작업은 간단합니다.

마침내:

변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽으십시오.

실제 작업에서 지수 함수는 항상 고려된 강의 예제보다 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

로그 도함수를 사용합니다.

오른쪽에는 상수와 "x"와 "x의 로그 로그"(로그 아래에 다른 로그가 포함됨)라는 두 가지 요소의 곱이 있습니다. 우리가 기억하는 것처럼 상수를 미분할 때 발 아래 방해가 되지 않도록 도함수의 부호를 즉시 제거하는 것이 좋습니다. 물론 우리는 친숙한 규칙을 적용합니다. :