Përkufizimi i një katërkëndëshi

Katërkëndësh- trupi më i thjeshtë poliedrik, fytyrat dhe baza e të cilit janë trekëndësha.

Llogaritësi online

Katërkëndëshi ka katër faqe, secila prej të cilave formohet nga tre anë. Katërkëndëshi ka katër kulme, nga secila dalin tre skaje.

Ky trup ndahet në disa lloje. Më poshtë është klasifikimi i tyre.

1. Katërkëndësh izoedral- të gjitha fytyrat e tij janë të njëjtët trekëndësha;
2. Tetraedri ortocentrik- të gjitha lartësitë e tërhequra nga çdo kulm në faqen e kundërt janë të njëjta në gjatësi;
3. Katërkëndësh drejtkëndëshe- skajet që dalin nga një kulm formojnë një kënd prej 90 gradë me njëri -tjetrin;
4. Kornizë teli;
5. Proporcional;
6. Incentrik.

Formulat e vëllimit tetraedron

Vëllimi i një trupi të caktuar mund të gjendet në disa mënyra. Le t'i analizojmë ato në mënyrë më të detajuar.

Produkt i përzier i vektorëve

Nëse katërkëndëshi është ndërtuar në tre vektorë me koordinata:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \ vec (a) = (a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \ vec (b) = (b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \ vec (c) = (c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

atëherë vëllimi i këtij katërkëndëshi është një produkt i përzier i këtyre vektorëve, domethënë një përcaktues i tillë:

V = 1 6 ∣ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix )V = =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Koordinatat e katër kulmeve të tetëkëndëshit janë të njohura. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)... Gjeni vëllimin e tij.

Zgjidhja

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1 2, 1)

Hapi i parë është përcaktimi i koordinatave të vektorëve mbi të cilët është ndërtuar ky trup.
Për ta bërë këtë, duhet të gjeni secilën koordinatë të vektorit duke zbritur koordinatat përkatëse të dy pikave. Për shembull, koordinatat e vektorit A B → \ overrightarrow (AB) A B, domethënë vektori i drejtuar nga pika A A A drejt e në temë B B B, këto janë ndryshimet e koordinatave përkatëse të pikave B B B dhe A A A:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, - 6) \ shigjeta e sipërme (AB) = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, - 2, - 6) \ tejmbushur (AC) = (1-1, 2-4, 3-9) = (0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
Pas Krishtit (= (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, - 8) \ mbipopull (AD) = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -tetë)Një D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Tani do të gjejmë produktin e përzier të këtyre vektorëve, për këtë do të hartojmë përcaktuesin e rendit të tretë, duke supozuar se A B → = a ⃗ \ shigjeta e sipërme (AB) = \ vec (a)A B= a, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)A C= b, A D → = c ⃗ \ ngadalë (AD) = \ vec (c)Një D= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ ( - 2) ⋅ ( - 8) + 3 ⋅ ( - 6) ⋅ 6 + ( - 6) 0 ⋅ 8 - ( - 6) ⋅ ( - 2) 6 - 7 ⋅ ( - 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ ( - 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 \ filloj (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) = \ filloj (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \ fund (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8-(-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Kjo do të thotë, vëllimi i katërkëndëshit është:

$V=61\cdot |$

Pergjigju

$44.8\text{cm3 .}$

Formula për vëllimin e një katërkëndëshi izohedral në anën e tij

Kjo formulë është e vlefshme vetëm për llogaritjen e vëllimit të një katërkëndëshi barabrinjës, domethënë një katërkëndëshi në të cilin të gjitha fytyrat janë të njëjtët trekëndësha të rregullt.

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aaështë gjatësia e buzës së katërkëndëshit.

Përcaktoni vëllimin e një katërkëndëshi nëse i jepet një anë e barabartë me $11\text{cm.}$

Zgjidhja

$a=11$

Zëvendësues a aa në formulën për vëllimin e një katërkëndëshi:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Pergjigju

$156.8\text{cm3 .}$

Nga formula bazë për vëllimin e një katërkëndëshi

ku S Theshtë zona e çdo fytyre, dhe H- lartësia e rënë në të, ju mund të nxirrni një seri të tërë formulash që shprehin vëllimin në lidhje me elementë të ndryshëm të katërkëndëshit. Ne i paraqesim këto formula për katërkëndëshin ABCD.

(2) ,

ku ∠ ( Pas Krishtit,ABC) - këndi midis skajit Pas Krishtit dhe aeroplani i fytyrës ABC;

(3) ,

ku ∠ ( ABC,ABD) - këndi midis fytyrave ABC dhe ABD;

ku | AB,CD| - distanca midis brinjëve të kundërta AB dhe CD, ∠ (AB,CD) A është këndi midis këtyre skajeve.

Formulat (2) - (4) mund të përdoren për të gjetur vlerat e këndeve midis drejtëzave dhe rrafsheve; formula (4) është veçanërisht e dobishme, me ndihmën e së cilës është e mundur të gjesh distancën midis kalimit të vijave të drejta AB dhe CD.

Formulat (2) dhe (3) janë të ngjashme me formulën S = (1/2)ab mëkat C për sipërfaqen e trekëndëshit. Formula S = rp formula është e ngjashme

ku r A është rrezja e sferës së gdhendur të katërkëndëshit, Σ është sipërfaqja e saj totale (shuma e sipërfaqeve të të gjitha fytyrave). Ekziston gjithashtu një formulë e bukur që lidh vëllimin e një katërkëndëshi me rrezen R sfera e saj e përshkruar ( Formula e Crelle):

ku Δ është zona e një trekëndëshi, anët e të cilit janë numerikisht të barabarta me produktet e skajeve të kundërta ( AB× CD, AC× BD,Pas Krishtit× Para Krishtit) Nga formula (2) dhe teorema e kosinusit për këndet trekëndësh (shih trigonometrinë sferike), ne mund të nxjerrim një formulë të ngjashme me formulën e Heronit për trekëndëshat.

Konsideroni një trekëndësh arbitrar ABC dhe një pikë D që nuk shtrihet në rrafshin e këtij trekëndëshi. Le ta lidhim këtë pikë me kulmet e trekëndëshit ABC sipas segmenteve. Si rezultat, marrim trekëndëshat ADC, CDB, ABD. Sipërfaqja e kufizuar nga katër trekëndëshat ABC, ADC, CDB dhe ABD quhet katërkëndësh dhe shënohet DABC.
Trekëndëshat që përbëjnë një katërkëndësh quhen faqe të tij.
Anët e këtyre trekëndëshave quhen skajet e katërkëndëshit. Dhe majat e tyre janë majat e një katërkëndëshi

Tetraedri ka 4 fytyra, 6 brinjë dhe 4 kulme.
Dy skajet që nuk kanë një kulm të përbashkët quhen skaje të kundërta.
Shpesh për lehtësi, njëra nga fytyrat e katërkëndëshit quhet bazë, dhe tre fytyrat e mbetura janë fytyra anësore.

Kështu, një katërkëndësh është poliedri më i thjeshtë me katër trekëndësha si faqe.

Por është gjithashtu e vërtetë se çdo piramidë arbitrare trekëndore është një katërkëndësh. Atëherë është gjithashtu e vërtetë që quhet një katërkëndësh një piramidë me një trekëndësh në bazën e saj.

Lartësia e katërkëndëshit quhet segment që lidh një kulm me një pikë të vendosur në faqen e kundërt dhe pingul me të.
Tetraedri mesatar quhet segmenti që lidh kulmin me pikën e prerjes së mesatareve të fytyrës së kundërt.
Tetraedri bimedian quhet segmenti që lidh pikat e mesme të skajeve të kryqëzimit të katërkëndëshit.

Meqenëse një katërkëndësh është një piramidë me një bazë trekëndore, vëllimi i çdo katërkëndëshi mund të llogaritet me formulën

• S- zona e çdo fytyre,
• H- lartësia u ul në këtë fytyrë

Tetraedri i rregullt është një lloj i veçantë i katërkëndëshit

Quhet një katërkëndësh me të gjitha fytyrat e një trekëndëshi barabrinjës korrekt.
Karakteristikat e një katërkëndëshi të rregullt:

• Të gjitha fytyrat janë të barabarta.
• Të gjitha këndet planare të një katërkëndëshi të rregullt janë 60 °
• Meqenëse secili kulm i tij është kulmi i tre trekëndëshave të rregullt, shuma e këndeve të rrafshit në secilën kulm është 180 °
• Çdo kulm i një katërkëndëshi të rregullt projektohet në ortocentrin e fytyrës së kundërt (deri në pikën e kryqëzimit të lartësive të trekëndëshit).

Le të na jepet një katërkëndësh ABCD i rregullt me ​​skaj të barabartë me a. DH është lartësia e saj.
Le të bëjmë ndërtime shtesë BM - lartësia e trekëndëshit ABC dhe DM - lartësia e trekëndëshit ACD.
Lartësia BM është e barabartë me BM dhe është e barabartë me
Konsideroni një trekëndësh BDM, ku DH, e cila është lartësia e katërkëndëshit, është gjithashtu lartësia e këtij trekëndëshi.
Lartësia e trekëndëshit e ulur në anën MB mund të gjendet duke përdorur formulën

, ku
BM =, DM =, BD = a,
p = 1/2 (BM + BD + DM) =
Zëvendësoni këto vlera në formulën e lartësisë. Ne marrim


Hiq 1/2a. Ne marrim

Ne aplikojmë ndryshimin e formulës së katrorëve

Pas transformimeve të vogla, marrim


Vëllimi i çdo katërkëndëshi mund të llogaritet me formulën
,
ku ,

Duke zëvendësuar këto vlera, ne marrim

Kështu, formula e vëllimit për një katërkëndësh të rregullt është

ku a- buza e katërkëndëshit

Llogaritja e vëllimit të një katërkëndëshi nëse koordinatat e kulmeve të tij janë të njohura

Le të na jepen koordinatat e kulmeve të katërkëndëshit

Vizatoni vektorë ,, nga kulmi.
Për të gjetur koordinatat e secilit prej këtyre vektorëve, zbritni koordinatën përkatëse të fillimit nga koordinata përfundimtare. Ne marrim