시스템은 평형 방정식(정역학 방정식)에서만 결정할 수 없는 내부 힘인 정적으로 불확정이라고 합니다.

정적으로 불확정한 구조는 소위 불필요한의사 소통. 지지대, 막대 및 기타 요소에서 발생할 수 있습니다. 그러한 연결은 구조의 평형을 보장하는 데 필요하지 않지만 강도와 강성에 대한 요구 사항에 의해 조절되기 때문에 "불필요한" 연결이라고 합니다. 이러한 추가 연결을 외부의.또한 디자인 자체의 특성으로 인해 불필요한 연결이 발생할 수 있습니다. 예를 들어, 닫힌 프레임 윤곽(그림 46, NS)각 섹션에는 세 가지 알려지지 않은 내부 힘이 있습니다. 6개만 있고 그 중 3개는 "불필요한" 것입니다. 이러한 추가 노력을 내부의.외부 또는 내부 "추가" 연결 수에 따라 설정 시스템의 정적 불확실성 정도.결정해야 할 미지수의 수와 정적 방정식의 수의 차이와 같습니다. 하나의 "추가"를 알 수 없는 경우 시스템이 한 번 호출되거나 한 번은 정적으로 정의할 수 없고 두 번은 정적으로 정의할 수 없는 식으로 호출됩니다.

그림에 표시된 구성. 46, NS, 는 한 번 정적으로 불확정이며 그림 1에 표시된 구성. 46, NS그리고 V, -그림에서 두 번 정적으로 불확정. 46, d - 정적으로 불확정 구조의 3배.

정적으로 불확실한 문제를 풀 때 정적 방정식 외에도 구조 요소의 변형을 고려한 방정식이 사용됩니다.

정적으로 불확실한 문제를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 변위비교법, 힘법, 변위법.

힘 방법

정적으로 부정확한 시스템을 계산할 때 힘은 미지수로 간주됩니다.

에 의해 계산 힘의 방법다음 순서로 수행:

• 1. 정적 불확정성의 정도를 결정합니다.
• 2. "추가" 링크를 제거하면 원래 시스템이 정적으로 정의할 수 있는 시스템으로 대체됩니다. 메인 시스템.이러한 시스템은 지리적 조건을 관찰하면서 구축할 수 있습니다.

메트릭 불변성.

• 3. 주 시스템은 지정된 외부 힘과 원격 연결의 동작을 대체하는 "추가" 알려지지 않은 힘으로 로드되어 결과적으로 동등한 시스템.
• 4. 초기 시스템과 기본 시스템의 동등성을 보장하기 위해 기본 시스템의 변형이 초기 정적으로 부정확한 시스템의 변형과 다르지 않도록 미지의 힘을 선택해야 합니다. 이를 위해 "추가"미지의 적용 지점이 행동 방향으로 이동하는 것은 0과 같습니다. 이런 식으로 얻은 추가 방정식에서 "추가"알 수없는 노력의 값이 결정됩니다. 해당 점의 변위 결정은 어떤 방식으로든 수행할 수 있지만 가장 일반적인 Mohr's 방법을 사용하는 것이 좋습니다.
• 5. "추가"알 수없는 힘의 값을 결정한 후 반응이 결정되고 내부 힘의 다이어그램이 그려지고 섹션이 선택되고 일반적인 방식으로 강도가 확인됩니다.

힘의 방법의 정규 방정식

"추가" 미지수의 방향으로 변위의 0과 동등함을 표현하는 변위의 추가 방정식은 소위 구성하는 것이 편리합니다. 정식 형식,저것들. 특정 패턴에 따라. 가장 간단한 정적으로 불확정 시스템을 푸는 예를 통해 이를 보여줍시다(그림 47, NS).

연결 지원을 버리고 콘솔을 주 시스템으로 선택하겠습니다. 외력 T 7 및 "추가" 미지의 인가 후 등가 시스템을 얻습니다. NS(그림 47, NS).

정규 방정식, 이는 점 변위의 평등을 0으로 표현합니다. V힘 F와 NS,~ 할 것이다

우리가 가진 방정식에서

두 개의 "추가" 제약 조건이 있는 시스템의 경우 정규 방정식 시스템의 형식은 다음과 같습니다.

• 8 11 X 1 + B 12 ^ 2 + ^ 1
• 621- ^ 1 + 622 ^ 2 "나" ^ 20-

동정 에이 [피그리고 표준방정식에 포함된 b[y]는 Mohr's method에 의해 결정된다.

직선 요소로 구성된 시스템의 경우 Vereshchagin 방법을 사용하여 변위를 계산하는 것이 편리합니다.

예를 들어 그림 1에 표시된 문제의 경우 47, 다이어그램을 곱하면 (그림 48) 정규 방정식의 계수를 얻습니다.

1 2 나 3 1 나 / 나 2 1 5 R1 3

이] b 엘 =-/ / -/ = -, E] LR =-------- +-------.

1 11 2 3 3 1 1P 2 2 2 2 3 2/ 48 이자형]

우리는 얻는다 클 - - = - 이자형.

강도를 결정한 후 NS,우리는 실제로 지원 반응을 찾았습니다 나는 ~ 안에있다.또한, 내부 힘 계수를 결정하는 문제는 평소와 같이 단면 방법을 사용하여 해결할 수 있습니다.

피봇 시스템은 평형 방정식만으로는 지지체의 반응을 결정하기에 충분하지 않은 정적으로 불확정 시스템이라고 합니다. 운동 학적 관점에서 볼 때 이러한 막대 시스템은 자유도가 결합 수보다 적습니다. 이러한 시스템의 정적 불확실성을 밝히기 위해서는 변형의 호환성에 대한 추가 방정식을 작성할 필요가 있습니다. 이러한 방정식의 수는 로드 시스템의 정적 불확실성의 수에 의해 결정됩니다. 그림 8.14는 정적으로 부정확한 보와 골조의 예를 보여줍니다.

그림 8.14b에 표시된 빔은 자르지 않은빔. 이 이름은 중간 지지대가 보만 지지한다는 사실에서 유래합니다. 지지점에서 빔은 힌지로 절단되지 않고 힌지는 빔 본체로 절단되지 않습니다. 따라서 보가 받는 응력과 변형이 왼쪽 스팬에 미치는 영향은 오른쪽 스팬에도 영향을 줍니다. 중간 지지대 대신 힌지가 보의 몸체로 절단되면 결과적으로 시스템이 하나의 보에서 정적으로 결정됩니다.  서로 독립적인 두 개의 보를 얻을 수 있습니다. 정적으로 결정됩니다. 연속 빔은 길이를 따라 굽힘 모멘트를 더 합리적으로 분배하기 때문에 분할 빔보다 재료 집약도가 낮습니다. 이와 관련하여 연속 빔은 건설 및 기계 공학에서 널리 사용됩니다. 그러나 정적으로 불확정인 연속 빔은 시스템 변형을 사용하는 특별한 계산 방법이 필요합니다.

정적으로 부정확한 시스템의 계산을 진행하기 전에 정적 불확정성의 정도를 결정하는 방법을 배우는 것이 필요합니다. 정적 불확실성의 정도를 결정하는 가장 간단한 규칙 중 하나는 다음과 같습니다.

, (8.3)

어디  구조물에 부과된 연결 수  고려 중인 시스템에 대해 작성할 수 있는 가능한 독립 평형 방정식의 수.

방정식 (8.3)을 사용하여 그림 8.14에 표시된 시스템의 정적 불확실성 정도를 결정하겠습니다.

그림 8.14a에 표시된 빔은 왼쪽 지지대에 3개의 링크와 오른쪽 지지대에 1개의 링크가 있기 때문에 한 번 정적으로 미확정입니다. 그러한 빔에 대한 세 가지 독립적인 평형 방정식이 있습니다. 따라서 빔의 정적 불확정성의 정도는
... 그림 8.14b에 표시된 연속 빔은 왼쪽 지지대에 2개의 타이가 있고 중간 지지대와 오른쪽 지지대에 각각 1개의 타이가 있기 때문에 한 번만 정적으로 불확정입니다. 단 4개의 타이만 있습니다. 따라서 정적 정의 불가능 정도
.

그림에 표시된 프레임. 8.14c, 지지대에 6개의 연결이 있으므로 3배 정적으로 정의할 수 없습니다. 이 프레임에 대한 독립 평형 방정식은 세 개뿐입니다. 따라서 방정식(8.3)의 이 프레임에 대한 정적 불확실성 정도는 다음과 같습니다.
... 프레임이 지지대에 7개의 링크를 가지고 있기 때문에 그림 8.18에 표시된 프레임의 정적 비결정성 정도 d는 4와 같습니다. 결과적으로 정적 불확정성의 정도는
.

정적 불확실성 정도를 결정하기 위한 규칙(8.3)은 단순 시스템에만 적용됩니다. 더 복잡한 경우에는 이 규칙이 작동하지 않습니다. 그림 8.15는 방정식 (8.3)을 사용하여 결정할 수 없는 정적 불확실성의 정도를 나타내는 프레임을 보여줍니다.

외부적으로 그림 8.15에 표시된 시스템은 5번 정적으로 부정확합니다. 이것은 방정식 (8.3)을 사용하여 쉽게 설정할 수 있습니다. 6개의 외부 결합에서 세 가지 가능한 평형 방정식을 뺍니다(섹션 A에 3개, 섹션 B에 3개, 섹션 C에 2개). 그러나 이 시스템에는 내부 정적 불확정성도 있습니다. 방정식(8.3)을 사용하여 내부 정적 불확도를 고려하는 것은 불가능합니다. 그림 8.15에 표시된 프레임의 정적 불확실성 정도를 결정하기 전에 몇 가지 정의를 소개합니다. 이러한 정의 중 첫 번째는 단순 경첩의 개념을 포함합니다.

단순한두 막대를 연결하는 경첩이라고 합니다(그림 8.16).

그림 8.16. 단순 경첩

여러 개의 막대를 연결하는 경첩이라고 합니다. 복잡한(그림 8.17).

그림 8.17. 복잡한 경첩

하나의 복잡한 경첩을 대체할 수 있는 단순 경첩의 수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

, (8.4)

어디
 노드에 포함된 로드의 수.

식 (8.4)를 사용하여 그림 8.17에 표시된 복잡한 경첩을 단순 경첩의 수로 다시 계산합니다.
... 따라서 그림 8.17에 표시된 복잡한 경첩은 네 개의 단순 경첩으로 대체할 수 있습니다.

개념을 하나 더 소개하겠습니다  폐쇄 루프.

정리를 증명합시다. 닫힌 윤곽선은 세 번 정적으로 정의되지 않습니다.

정리를 증명하기 위해 외부 힘이 가해지는 폐쇄 루프를 고려하십시오(그림 8.18).

닫힌 윤곽선을 수직 단면으로 자르고 단면에서 발생하는 내력 계수를 표시해 보겠습니다. 각 섹션에서 세 가지 내부 요인이 발생합니다. 전단력 , 굽힘 모멘트
및 종방향 힘
... 전체적으로 외력 외에도 6개의 내부 요인이 윤곽의 각 절단 부분에 작용합니다(그림 8.18, b, c). 예를 들어 왼쪽 부분(그림 8.18, b)과 같은 절단 부분 중 하나의 평형을 고려하면 문제가 정적으로 세 번 정의할 수 없다는 것을 알 수 있습니다. 세 개의 독립적인 평형 방정식과 차단부에 작용하는 미지의 힘은 6 ... 따라서 닫힌 루프의 정적 불확정성의 정도는 다음과 같습니다.
... 정리가 증명되었습니다.

이제 간단한 힌지와 닫힌 루프의 개념을 사용하여 정적 불확정성의 정도를 결정하는 또 다른 규칙을 공식화할 수 있습니다.

, (8.5)

어디
 닫힌 윤곽의 수;
 소수로 환산한 경첩의 수(8.4).

방정식 (8.5)를 사용하여 그림 8.15에 표시된 프레임의 정적 불확실성 정도를 결정합니다. 프레임에는 5개의 윤곽이 있습니다.
지지 바에 의해 형성된 윤곽을 포함합니다. 노드 D의 경첩은 두 개의 막대를 연결하기 때문에 간단합니다. 섹션 K의 경첩은 4개의 막대를 연결하기 때문에 복잡합니다. 섹션 K에서 경첩을 대체할 수 있는 단순 경첩의 수는 공식 (8.4)와 같습니다.
... 힌지 C도 세 개의 막대를 연결하기 때문에 복잡합니다. 이 경첩의 경우
... 또한 시스템에는 받침대에 부착되는 두 개의 간단한 경첩이 있습니다. 따라서 시스템의 단순 힌지의 수는 다음과 같습니다.
... 닫힌 루프의 수 대체
그리고 단순 관절의 수
공식 (8.5)에서 프레임의 정적 불확실성 정도를 결정합니다.
... 따라서 도 1에 도시된 8.15 프레임, 7번 정적으로 정의되지 않음. 즉, 이러한 시스템을 계산하려면 3개의 평형 방정식 외에 7개의 변형 호환성 방정식을 구성해야 합니다. 이러한 방정식에 포함된 미지수에 대해 이러한 방식으로 얻은 10개의 방정식 시스템을 풀면 외부 연결에서 반작용의 크기와 프레임에서 발생하는 내부 힘을 모두 결정할 수 있습니다. 이 문제를 해결하는 절차는 방정식 시스템에서 평형 방정식을 제거하여 다소 단순화할 수 있습니다. 그러나 이 접근 방식은 특별한 해결 방법을 사용해야 하며 그 중 하나는 힘의 방법입니다.

러시아 연방 교육부

국가 기관

KUZBASS 주립 공과 대학

재료강도학과

인장 중 정적으로 정의되지 않은 HINGE-ROD 시스템의 계산 - 압축

모든 전문 분야의 학생들을 위한 자료의 강도에 대한 계산 및 그래픽 작업 구현을 위한 방법론적 지침

V.D에 의해 컴파일됨 모이센코

01. 6. 29.자 8번 학과 회의에서 가결

전자 사본은 KuzGTU 본관 도서관에 있습니다.

케메로보 2002

소개. 과제의 범위 및 목적

정적으로 불확정 힌지 로드 시스템은 로드의 힘과 지지대의 반력이 평형 상태에서만 결정될 수 없는 시스템입니다.

그림 1은 일반적인 2바 브래킷을 보여줍니다. 이 브래킷의 막대에 있는 힘 N 1 과 N 2 는 잘려진 노드 C에 적용된 수렴력 시스템의 평형 조건에서 쉽게 결정됩니다. 두 개의 미지수가 있는 이 힘 시스템에 대한 두 방정식이 풀렸기 때문입니다.

막대를 하나 더 추가하여 브래킷의 구조가 복잡하다면(그림 1, b) 막대의 힘은 같은 방식으로 결정할 수 없습니다. 노드 C의 경우 정적 평형 방정식 두 개만 여전히 그릴 수 있기 때문입니다 up (ΣX = 0; ΣY = 0), 미지수 노력의 수는 3입니다. 우리는 한때 정적으로 불확정적인 시스템을 가지고 있습니다.

설계를 복잡하게 하고 새로운 봉을 도입하면 정적으로 부정확한 시스템을 두 번(그림 1, c 참조), 세 번 등으로 얻을 수 있습니다. 결과적으로, n배란 정적으로 부정확한 시스템은 제약 조건의 수가 정적 독립 방정식의 수를 n 단위 초과하는 시스템을 의미합니다.

문제 해결에 필요한 추가 방정식은 변형된 상태의 시스템을 고려하고 구조 요소의 변위와 변형 간의 관계를 설정하여 찾을 수 있습니다. 결과 방정식을 변형률 호환성 방정식이라고 합니다.

그림 2는 일부 정적으로 불확정 시스템의 다이어그램을 보여줍니다.

그림 2. 일부 유형의 정적으로 확정되지 않은 시스템

"정적으로 불확정 막대 시스템" 섹션을 공부하고 이 계산 그래픽 작업을 수행할 때 학생은 정적으로 불확정 시스템의 기능을 마스터해야 합니다. 정적 불확정성의 공개, 구조적 요소의 노력 결정 및 강도 조건에서 단면적 선택에 대한 기술을 습득합니다.

과제에서 학생은 다음 작업을 수행해야 합니다.

- 막대의 힘을 결정하고 외부 하중의 작용에서 단면적을 선택하십시오.

- 온도 변화로 인한 막대의 추가 응력을 결정합니다.

- 로드 제조의 부정확성으로 인한 추가 설치 응력을 결정합니다.

- 제한 상태에 따라 막대의 단면을 선택합니다.

계산 및 그래픽 작업 실행의 양과 형식은 학습 과정의 양에 따라 다르며 실제 수업에서 교사가 협상합니다.

1. 간략한 이론적 정보

정적으로 불확실한 문제를 풀 때 다음 순서를 따라야 합니다.

1.1. 문제의 정적 측면을 고려하십시오. 힘의 계획을 세우고 정적 방정식을 작성하십시오.

1.2. 문제의 기하학적 측면을 고려하십시오. 이사 계획을 세웁니다. 모든 미지의 힘을 찾을 수 있는 양의 변형 호환성에 대한 추가 방정식을 작성하십시오.

1.3. 문제의 물리적 측면을 고려하십시오. 물리학 법칙(온도 계산 포함)과 Hooke의 법칙에 따라 막대에 작용하는 알 수 없는 힘을 통해 호환성 방정식의 변형을 표현합니다.

1.4. 정적, 기하학, 물리학 방정식의 공동 솔루션을 수행하고 미지의 힘을 결정합니다.

1.5. 압축 또는 인장 강도 조건 사용 N / F = [σ], 막대의 단면적을 선택합니다.

1.6. 막대에 알려진 힘과 허용되는 단면적을 사용하여 다음 공식으로 수직 응력을 계산합니다.

σ = N F.

2. 예

주어진: 균일하게 분포된 하중과 힘 P로 하중을 받는 절대적으로 단단한 빔 AB가 그림 3과 같이 지지됩니다.

그림 3. 정적으로 부정확한 시스템의 다이어그램

계산을 위한 초기 데이터

4. 하중 작용, 온도 변화 및 제조 부정확성에서 로드의 총 응력을 결정합니다.

2.1. 외부 하중에 대한 정적으로 불확정 힌지 로드 시스템의 계산

P = 30kN q = 15kN / m

A C B

그림 4. 초기 설계 계획

2.1.1. 문제의 정적 측면

작업의 정적 측면은 힘 계획에서 고려됩니다. 힘 계획은 힌지 로드 시스템의 요소에 적용된 모든 힘(알려진 힘과 알려지지 않은 힘 모두)을 보여주는 설계 다이어그램으로, 균형이 고려됩니다(이 경우에는 고정 빔 AB). 우리는 강철과 구리 막대를 자르고 버려진 하부 부품을 내부 힘으로 교체합니다(그림 5).

P = 30kN q = 15kN / m

A C B

60 °

쌀. 5. 외부 하중으로부터의 힘의 계획

힘 계획(그림 5 참조)에서 정적 평형 방정식을 작성합니다. 문제의 첫 번째 질문에 답하려면 막대의 힘(강과 구리)을 알아야 합니다. 이 경우 관절 고정 지지대의 반력을 계산할 필요가 없습니다. 따라서 세 가지 중

가능한 정적 방정식(ΣX = 0, ΣY = 0, Σm c = 0)

관절 고정 지지대 C의 반응을 포함하지 않는 것:

∑ mC = 0

- N CT a + q a 2 2 + p a + NM sin60o b = 0,

- N CT 2 + 15 2 2 2 + 30 2 - NM 0.866 4 = 0,

대수적 작용 후에 평형 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

2.1.2. 문제의 기하학적 측면

문제의 기하학적 측면은 변위 계획에 의해 고려됩니다. 변위 계획은 하중 전후의 힌지로드 시스템의 위치를 ​​나타내는 설계도입니다. 변위 계획에서 보 점(AA1 및 BB1)의 변위를 표시하고,

구리 및 강철 막대의 절대 변형(∆ l ST, ∆ l M)

(그림 6). 또한 작은 변형으로 인해 빔 포인트를 수직으로 위 또는 아래로 이동하고 경사 막대의 변형을 수직으로 표시합니다.

쌀. 6. 외부 하중 작용으로 인한 변위 계획

변위 계획에 따라 변형 호환성 방정식을 작성합니다. 우선, 삼각형 AA1 C 및 SVB1의 유사성에서 빔 점의 변위 비율을 기록합니다(그림 6).

빔 포인트(AA1 및 BB1)의 변위는 변형을 통해 표현됩니다.

식 (2.3)과 (2.4)를 관계식 (2.2)로 대체합니다.

2.1.3. 문제의 물리적 측면

이 형식에서 얻은 변형 적합성 방정식(2.5)은 평형 방정식(2.1)으로 풀지 않습니다. 왜냐하면 다른 성질의 미지의 양이 포함되어 있기 때문입니다.

절대 변형률 ∆ l CT 및 ∆ l M 식 (2.5)에서 우리는 다음과 같이 표현합니다.

막대의 힘으로 작성된 변형의 호환성 방정식을 받았습니다.

2.1.4. 합성

평형 방정식(2.1)과 변형 적합성 방정식(2.6)을 함께 풉니다.

NCT + 1.73NM = 45

0.67NCT = 0.95NM.

시스템의 두 번째 방정식에서 노력 N ST를 표현합니다.

시스템의 첫 번째 방정식에 대입합니다.

N ST 및 N M의 긍정적인 결과는 강철 막대의 압축과 구리 막대의 장력에 대한 우리의 가정을 확인시켜줍니다. 즉, 막대의 힘은 다음과 같습니다.

2.1.5. 철근 단면 선택

막대의 단면 선택은 인장 - 압축 강도의 조건에 따라 수행됩니다.

NF ≤ [σ].

a) 강도 조건에서 요구되는 철근의 단면적은 다음과 같이 결정됩니다.

b) 강도 조건에서 요구되는 구리 막대의 단면적은 다음과 같이 결정됩니다.

이 경우 주어진 면적 비율에 따라 철근의 면적은 다음과 같아야 합니다.

FST = 4 3 FM = 4 3 1.7 10 - 4 = 1.275 10 - 4 m2 ..

우리는 막대의 큰 단면적을 허용합니다.

구리 및 강철 막대의 허용 단면적을 사용하여 이 막대의 응력을 결정합니다.

2.2. 정적으로 불확정 힌지 로드 시스템의 온도 계산

온도 계산의 목적은 온도 변화로 인한 구리 및 강봉의 추가 응력을 결정하는 것입니다.

시스템이 ∆ t = 20 o C만큼 가열된다고 가정해 보겠습니다. 솔루션 알고리즘은 동일하게 유지됩니다. 초기 설계 계획은 그림 1에 나와 있습니다. 7.

평형 방정식만으로는 찾을 수 없는 막대 시스템, 지지 반응 및 내부 힘 요인을 정적으로 정의되지 않은.

추구하는 미지의 힘의 수와 독립 평형 방정식 사이의 차이는 다음을 결정합니다. 시스템의 정적 불확실성 정도... 정적 불확정성의 정도는 항상 중복(불필요한) 연결의 수와 같으며, 이를 제거하면 정적으로 불확정 시스템을 정적으로 정의할 수 있는 기하학적으로 변경할 수 없는 시스템으로 바꿉니다. 서로에 대한 시스템 섹션의 이동에 특정 제한을 부과하는 외부(지원) 연결과 내부 연결은 모두 중복될 수 있습니다.

기하학적으로 불변그러한 시스템은 요소의 변형과 관련하여 만 가능한 모양의 변경이라고합니다.

기하학적으로 가변적그러한 시스템이 호출되며, 그 요소는 변형 없이 외력의 작용에 따라 움직일 수 있습니다(메커니즘).

그림에 나와 있습니다. 12.1 프레임에는 7개의 외부(지원) 링크가 있습니다. 이러한 연결(지지 반응)에서의 노력을 결정하기 위해 세 가지 독립적인 평형 방정식만 작성할 수 있습니다. 따라서 이 시스템에는 4개의 중복 링크가 있으며 이는 4번 정적으로 미확정임을 의미합니다. 따라서 플랫 프레임의 정적 불확실성 정도는 다음과 같습니다.

어디 NS- 지원 반응의 수.

여러 요소(직선 또는 곡선)로 구성되고 단단하게(힌지 없이) 상호 연결되어 닫힌 사슬을 형성하는 윤곽을 닫힌 사슬이라고 합니다. . 그림 12.2에 표시된 직사각형 프레임은 닫힌 루프입니다. 정적으로 정의할 수 있도록 하려면 요소 중 하나를 잘라내고 세 개의 추가 연결을 제거해야 하기 때문에 정적으로 정의할 수 없습니다. 이러한 결합의 반응은 절단 위치에 작용하는 세로 방향 힘, 가로 방향 힘 및 굽힘 모멘트입니다. 그들은 정적 방정식을 사용하여 결정할 수 없습니다. 유사한 조건에서 정적 불확정성의 의미에서 닫힌 루프가 있습니다. 세 번 정적으로 정의되지 않음.

두 개의 로드가 수렴하는 프레임 노드에 힌지를 포함하거나 로드 축의 아무 곳에나 배치하면 하나의 연결이 제거되고 전체 정적 불확실성 정도가 1 감소합니다. 이러한 경첩을 단일 또는 단순이라고 합니다(그림 12.3).

일반적으로 노드 연결에 포함된 각 힌지는 씨막대, 정적 불확실성의 정도를 감소 씨-1 , 이러한 경첩이 대체하기 때문에 씨-1 단일 경첩(그림 12.3). 따라서 폐쇄 루프가 있는 시스템의 정적 불확실성 정도는 공식에 의해 결정됩니다.

평형 방정식(정적 방정식)을 사용하여 주어진 하중으로부터 내부 힘을 결정할 수 있는 막대 및 힌지 로드 시스템을 정적으로 확정이라고 합니다.

이와 대조적으로 막대와 시스템은 평형 방정식만으로는 결정할 수 없는 내부 힘인 정적으로 불확정이라고 합니다. 따라서 계산할 때 추가 방정식 (시스템 변형의 특성을 고려한 변위 방정식. 시스템 계산에 필요한 추가 방정식의 수는 정적 불확실성의 정도를 특성화합니다. 문제를 해결하는 데 필요한 만큼의 추가 방정식.

정적으로 정의 가능한 시스템 요소의 힘은 외부 하중(구조물의 자중 포함)의 작용에서만 발생합니다. 정적으로 불확정한 시스템의 요소에서 외부 하중이 없는 경우에도 힘이 발생할 수 있습니다(예: 온도 변화, 지지 고정구의 변위, 개별 구조 요소 제조의 부정확성).

정적으로 불확정계를 계산하는 가장 중요한 단계는 (평형 방정식에) 변위 방정식을 추가하는 것입니다. 정적으로 불확정 시스템을 계산하는 다양한 문제를 해결하는 예를 사용하여 컴파일하는 방법을 고려할 것입니다.

양 끝이 구속(밀봉)되고 힘 P가 가해지는 막대를 고려하십시오(그림 26.2, a). 힘 P의 작용에 따라 피팅에서 반작용이 발생하며 이러한 힘의 크기를 결정하는 데 필요합니다. 이 경우(모든 힘이 하나의 직선을 따라 작용할 때) 정역학을 사용하면 하나의 평형 방정식만 작성할 수 있습니다.

따라서 두 개의 미지수를 결정하려면 추가 방정식을 작성해야 합니다. 따라서 고려된 막대는 한 번 정적으로 불확정합니다(즉, 정적 불확정성의 정도가 1임). 추가 방정식을 작성하기 위해 더 낮은 종단을 버리고 막대에 미치는 영향을 반응으로 바꿉니다(그림 26.2, b). 하나의 힘 P만 작용하고 힘은 없다고 가정합니다. 힘 R의 작용에 따라 길이가 a인 막대의 위쪽 부분만 변형되고 그 결과 힘 P가 적용된 부분이 값만큼 아래쪽으로 이동합니다. 특히, 로드의 하단은 같은 양만큼 아래쪽으로 이동합니다.

이제 힘만 작용하고 힘 P는 없다고 가정합니다.

힘의 작용에 따라 전체 막대가 변형되어 막대의 하단이 일정량 위로 이동합니다.

실제로는 막대의 하단이 내장되었을 때 움직임을 받지 않습니다. 결과적으로, 힘 P에 의해 야기된 하향 변위는 방정식(46.2)에서 값을 알 수 있는 힘에 의해 야기된 상향 변위와 같아야 합니다.

힘 P의 작용으로 인한 반작용을 결정한 후, 정적으로 정의할 수 있는 문제의 경우와 같이 종방향 힘의 플로팅 및 강도 계산이 수행됩니다.

미지의 반응, 변위 등의 방향은 완전히 임의적으로 취해질 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 고려된 예에서는 반응에 대해 위쪽 방향을 취합니다. 계산 결과 두 반응의 값은 모두 양성으로 처리되었습니다. 이는 실제 방향이 이전에 승인된 방향과 일치함을 의미합니다. 예를 들어 반응이 아래쪽 방향을 취하는 경우 추가 방정식을 풀면 "빼기"기호가 얻어집니다. 아래쪽 종단 반응의 실제 방향이 허용되는 방향과 반대임을 나타냅니다. 즉, 위쪽을 향하고 있습니다. 따라서 계산의 최종 결과는 이전에 가정한 반응 방향에 의존하지 않습니다.

세 개의 로드로 구성된 정적으로 불확정적인 평평한 힌지 로드 시스템을 고려하십시오. 이 로드의 하단은 공통 힌지 D로 연결됩니다(그림 27.2). 중간 막대의 단면적은 극단 막대의 단면적과 같습니다.

수직력 P가 힌지 D에 가해집니다. 이 힘의 작용에서 막대의 힘을 결정하는 데 필요합니다.

막대의 모든 끝 부분이 힌지 연결되어 있기 때문에 힌지 A, B 및 C의 반응은 막대의 축을 따라 진행되므로 점 D에서 교차합니다.

반응의 수는 3입니다. 그러나 계와 하중은 수직축을 중심으로 대칭이므로 반작용 RA와 는 서로 같으므로 문제를 풀기 위해서는 두 반작용 RA와 2를 정의하면 충분하다.

한 점에서 교차하는 힘의 평면 시스템에 대해 알려진 바와 같이 두 개의 평형 방정식을 구성하는 것이 가능합니다. 그러나 대칭 조건이 이미 사용되었기 때문에 이 두 방정식은 반작용과 RB를 결정하기에 충분하지 않습니다. 그리고 이것은 평형방정식을 사용하는 것과 동일합니다. 평형방정식은 하나만 남아있고, 미지수 노력의 수는 2입니다. 따라서 문제를 풀기 위해서는 하나의 방정식을 추가로 공식화해야 하므로 문제는 일단 정적으로 불확정이다.

평형 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

추가 방정식을 작성하려면 시스템의 변위를 고려하십시오.

세로 방향 힘은 각각 동일한 막대 AD, BD 및 CD에서 발생합니다. 막대 BD는 길이 방향 힘의 작용에 의해 값만큼 길어집니다.

힌지 D가 어느 정도 낮아지고 위치 D를 취합니다(그림 27.2).

변위 측면에서 막대 AD의 연신율을 표현하려면 막대 축 방향으로 이 변위를 투영해야 합니다.

여기서, 로드의 길이에 비해 변위가 작다는 사실 때문에 각도 ADB(그림 27.2)는 a, 즉 각도 ADB(로드의 축 AD와 BD의 축 사이)와 동일하게 취합니다. 변형되지 않은 구조).

식 (48.2)에 식과 위에서 얻은 DB를 대입:

평형 방정식(47.2)과 함께 이 방정식을 풀면 다음을 얻습니다.

식 (49.2)에서 막대 AD 및 CD의 단면적이 증가하면(즉, 증가함에 따라) 힘이 증가하고 막대 BD의 힘이 감소함을 알 수 있습니다.

이 결과는 일부 요소의 강성이 증가하면 해당 요소의 노력이 증가하고 일반적으로 다른 요소의 노력이 감소하는 정적 불확정 시스템의 특징을 반영합니다. 정적으로 정의 가능한 시스템에서 구조의 힘 분포는 요소의 강성에 의존하지 않습니다.

3개의 막대로 구성된 시스템을 고려하십시오. 강관 2의 알루미늄 관이 알루미늄에 삽입되고, 주철 막대 3이 강관 내부에 삽입됩니다(그림 28.2, a).

튜브와 주철 막대 모두 절대적으로 단단한 판 사이에 배치되고 힘 P에 의해 압축됩니다. 힘 P에 의해 발생하는 각 막대의 단면 응력을 결정해야 합니다.

수평 단면을 그리고 시스템의 상부에 대한 평형 방정식을 작성합시다(그림 28.2, b).

여기서 은 각각 알루미늄, 강철 및 주철 막대의 단면에서 수직 응력입니다(압축 수직 응력은 여기에서 양수인 것으로 가정됨). 이 막대의 단면적입니다.

제품은 철근 단면의 세로 방향 힘을 나타냅니다.

고려된 평행력 시스템에 대해 다른 평형 방정식을 구성하는 것은 불가능하므로 평형 방정식(50.2) 외에 3개의 미지의 응력을 결정하려면 두 개의 추가 방정식을 구성해야 합니다. 이에 따라 고려 중인 시스템은 정적으로 2배(2배) 불확정이다.

추가 방정식을 작성하기 위해 세 개의 막대가 두 개의 단단한 판 사이에 모두 고정되어 있으므로 모든 막대의 길이 방향 변형이 동일하다는 사실을 사용합니다. 막대의 상대적인 세로 변형을 나타내자.

후크의 법칙에 근거

막대 재료의 탄성 계수는 ​​어디에 있습니까?

이 평등에서 우리는 두 개의 추가 방정식을 얻습니다.

방정식 (52.2)의 값을 방정식 (50.2)에 대입하면 다음을 찾습니다.

여기서 알루미늄으로 감소된 전체 복합 바의 단면적은 다음과 같습니다.

그림에서. 28.2, b는 탄성 계수 사이의 비율이 1:3:2인 고려 중인 시스템의 수직 응력 다이어그램의 형태를 보여줍니다.

주어진 영역은 예를 들어 콘크리트에 위치한 강철 막대(보강)로 구성된 철근 콘크리트 기둥과 같이 탄성이 다른 보의 설계에 사용됩니다. 철근과 콘크리트 사이의 결합은 주변 콘크리트에 대한 철근의 이동 가능성을 제거합니다. 따라서 콘크리트와 철근의 종방향 변형은 동일하며 철근의 수직응력 대 콘크리트 응력의 비율은 이러한 재료의 탄성계수의 비율과 같습니다.

이제 그림 1에 표시된 시스템을 고려하십시오. 29.2, a, 경첩이 있는 지지대에 지지되고 경첩을 통해 두 개의 막대 AAX 및 CCX(플라스틱 강철로 제작됨)에 부착된 절대적으로 단단한 막대로 구성됩니다.

강봉의 허용하중의 상태로부터 극한하중과 최대허용하중을 구해봅시다.

반응과 막대는 이 막대의 축을 따라 향하는 끝에서 피벗식으로 부착됩니다. 지지대 B의 반작용은 수평 성분과 수직 성분이 있는데, 이 지지대는 보의 B 지점의 수평 및 수직 변위를 방지하기 때문입니다.

따라서 총 4개의 미지의 반응이 있으며(그림 29.2, b), 힘의 평평한 시스템에 대한 평형 방정식은 3개뿐입니다. 결과적으로 이 시스템은 한 번 정적으로 미확정이며 이를 풀기 위해 하나의 추가 방정식이 필요합니다.

문제의 조건에 따라 강봉 AAX 및 CCX의 반력(이 막대의 단면에 있는 세로 방향 힘과 동일)을 결정할 필요가 있으며 반력을 결정할 필요는 없습니다. 따라서 반응을 포함하지 않는 세 가지 가능한 평형 방정식 중 하나를 사용하는 것으로 충분합니다.

이것은 경첩 B에 대한 모든 힘의 모멘트의 합 형태의 방정식입니다.

추가 방정식을 작성하려면 시스템의 변형을 고려하십시오. 그림에서. 29.2, b에서 점선은 시스템 변형 후 막대의 축을 나타냅니다. 이 축은 막대가 절대적으로 단단하므로 변형되지 않고 점 B 주위에서만 회전할 수 있기 때문에 직선으로 유지됩니다. 변형 후 경첩 A와 C는 각각 위치 A와 C로 이동합니다. 즉, 수직으로 움직입니다. 가치로. 삼각형 AAB와 CCB의 유사성에서 우리는 다음을 찾습니다.

철근의 신장과 변위를 통한 철근의 신장을 표현해 보자. 이를 위해 로드 방향에 대한 변위를 설계합니다.

또는 평등을 고려(56.2)

그러나 Hooke의 법칙에 따르면 [공식 (13.2)에 따라]

따라서 평등에 기반(57.2)

평형 방정식 (55.2)과 함께 방정식 (58.2)을 풀면 하중 Q로 표현되는 길이 방향 힘의 값을 찾습니다. 단면적에 가해지는 힘을 각각 나누면 법선을 결정합니다. 강철 막대의 응력. 이러한 응력 중 더 큰 것을 허용 전압과 동일시하면 허용 부하 값과 동일한 Q 값을 찾습니다.

하중 Q가 두 막대의 응력 값을 초과하여 증가하면 먼저 하중에 정비례하여 증가합니다. 예를 들어 조건에서 값을 찾으면 하중이 특정 값으로 증가함에 따라 첫 번째 막대의 응력이 항복점에 도달합니다.

하중을 추가로 증가시키는 과정에서 첫 번째 막대의 응력은 항복점과 동일하게 일정하게 유지되고 두 번째 막대에서도 동일해질 때까지 증가합니다. 이러한 시스템 상태를 제한 상태라고 하며, 운반 능력의 소진; 또한 부하의 미미한 증가조차도 시스템의 매우 큰 변형과 관련이 있습니다. 한계 상태를 유발하는 양 Q를 표시하고 극한 하중이라고 합니다.

값을 결정하기 위해 제한 상태에서 강성 빔에 작용하는 모든 힘의 모멘트(힌지 B에 상대적)의 합 형태로 평형 방정식을 작성합니다.

베어링 용량의 표준 안전 계수로 나누면 최대 허용 하중 값을 얻습니다.

공식 (59.2)의 값이 값과 동일하게 취해지면 [참조. 공식 (42.2)], 최대 허용 하중의 값은 허용 응력을 계산하여 얻은 허용 하중의 값보다 클 것입니다.

더 자세하게, 한계 및 최대 허용 하중을 결정하는 문제는 Ch. 17.

이제 요소 제조의 부정확성으로 인한 정적으로 부정확한 구조에서 어셈블리 응력을 결정하는 방법을 설정해 보겠습니다. 예를 들어 단면적이 있는 3개의 강철 막대로 구성된 구조를 생각해 보십시오. 모든 막대의 길이는 l이 같아야 했지만 첫 번째 막대는 더 길게 만들고 두 번째 막대는 프로젝트에 따라 68만큼 짧고 I)에 비해 매우 작습니다. 이와 관련하여 설치 후 로드에 소위 초기(또는 설치) 응력이 나타납니다. 이러한 응력을 정의합시다.

구조물을 설치한 후 바닥판이 그림 1과 같은 위치를 취했다고 가정합니다. 30.2, 그러나 점선으로 표시됩니다. 즉, 설치 중에 모든 막대가 늘어나서 모두 늘어납니다.

막대를 통해 단면을 그리고(그림 30.2, o) 구조의 아래쪽(절단된 부분) 부분에 대한 평형 조건을 구성해 보겠습니다(그림 30.2, b).

a) 수직에 대한 힘 투영의 합

b) 왼쪽 하단 힌지 A에 대한 힘 모멘트의 합

방정식 (61.2)에서 두 번째 막대와 세 번째 막대의 힘은 부호가 다르다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 그 중 하나는 늘어나고 다른 하나는 압축됩니다.

따라서 모든 막대가 늘어진다는 가정은 잘못된 것입니다. 그러나 추가 추론을 단순화하고 계산 결과에 오류를 발생시키지 않습니다.

두 개의 평형 방정식(60.2)과 (61.2)에는 세 개의 미지의 힘이 포함됩니다. 결과적으로 고려 중인 구성은 한 번 정적으로 불확실합니다.

추가 방정식을 작성하려면 설치 중 막대의 신장을 고려하십시오. 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 막대의 신장을 각각 표시합시다 (그림 30.2, a). 판의 절대 강성 가정에 기초하여 3개의 하부 힌지가 모두 하나의 직선에 위치한다는 결론을 내립니다. 이를 통해 유사한 삼각형 ACE 및 BCD(그림 30.2, a)에 대해 다음 관계를 구성할 수 있습니다.

그러나 무화과에서. 30.2, 그러나 다음을 따릅니다.

후크의 법칙에 근거