Elemen analisis matematis dalam Ujian Negara Bersatu Malinovskaya Galina Mikhailovna [dilindungi email] Bahan Referensi Tabel turunan fungsi dasar.  Aturan diferensiasi (turunan suatu jumlah, hasil kali, hasil bagi dua fungsi).  Turunan dari fungsi kompleks.  Makna geometrik turunan.  Makna fisis turunan.  Bahan referensi Titik ekstrem (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi ditentukan secara grafis.  Mencari nilai terbesar (terkecil) suatu fungsi kontinu pada interval tertentu.  Fungsi antiturunan. Rumus Newton-Leibniz. Mencari luas trapesium lengkung.  Penerapan Fisika  1.1 Suatu titik benda bergerak lurus menurut hukum 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, dimana x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik, diukur dari awal gerakan. Tentukan kecepatannya (dalam meter per detik) pada waktu t= 3s.  1.2 Sebuah titik material bergerak 1 3 lurus menurut hukum 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , dengan x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik, diukur dari awal titik pergerakan. Pada titik waktu berapa (dalam detik) kecepatannya sama dengan 2 m/s? Solusi: Kita mencari turunan dari x(t) (fungsi jalur terhadap waktu).  Pada soal 1.1, gantikan nilainya dengan t dan hitung kecepatannya (Jawaban: 59).  Dalam soal 1.2, kita menyamakan turunan yang ditemukan dengan bilangan tertentu dan menyelesaikan persamaan terhadap variabel t. (Jawaban: 7).  Penerapan Geometri 2.1 Garis 𝑦 = 7𝑥 − 5 sejajar garis singgung grafik 2 fungsi 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . Temukan absis titik singgungnya. 2.2 Garis lurus 𝑦 = 3𝑥 + 1 bersinggungan dengan grafik ke-2 fungsi 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. Menemukan sebuah. 2.3 Garis lurus 𝑦 = −5𝑥 + 8 bersinggungan dengan grafik ke-2 fungsi 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. Carilah b, jika absis titik singgung lebih besar dari 0. 2.4 Garis 𝑦 = 3𝑥 + 4 bersinggungan dengan grafik 2 fungsi 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. Temukan c. Penyelesaian: Pada soal 2.1, kita mencari turunan fungsi tersebut dan menyamakannya dengan kemiringan garis lurus (Jawaban: 0,5).  Dalam soal 2.2-2.4 kita membuat sistem dua persamaan. Di satu fungsi kita menyamakan, di sisi lain kita menyamakan turunannya. Dalam sistem dengan dua hal yang tidak diketahui (variabel x dan parameter), kita mencari parameter. (Jawaban: 2.2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4)c=7).   2.5 Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik absis 𝑥0. Carilah nilai turunan fungsi f(x) di titik 𝑥0.  2.6 Gambar berikut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik absis 𝑥0. Carilah nilai turunan fungsi f(x) di titik 𝑥0.  2.7 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x). Garis lurus yang melalui titik asal menyentuh grafik fungsi ini di titik dengan absis 10. Tentukan nilai turunan fungsi tersebut di titik x=10. 𝑥0 = 0 Penyelesaian :     Nilai turunan suatu fungsi di suatu titik adalah garis singgung dari sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi yang tergambar di titik tersebut. Kita “menyelesaikan” segitiga siku-siku dan mencari garis singgung dari sudut yang bersesuaian, yang kita anggap positif jika garis singgung tersebut membentuk sudut lancip dengan arah positif sumbu Ox (“garis singgung “bertambah”) dan negatif jika sudutnya adalah tumpul (garis singgungnya mengecil). Dalam soal 2.7, Anda perlu menggambar garis singgung melalui titik tertentu dan titik asal. Jawaban: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2.7) -0.6. Membaca grafik suatu fungsi atau grafik turunan suatu fungsi  3.1 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (6;8). Tentukan banyaknya titik bilangan bulat yang turunan fungsinya positif.  3.2 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (-5;5). Tentukan banyak titik bilangan bulat yang turunan fungsi f(x) negatif. Penyelesaian: Tanda turunannya berkaitan dengan perilaku fungsi.  Jika turunannya positif, maka kita pilih bagian grafik fungsi yang fungsinya bertambah. Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun. Kami memilih interval yang sesuai dengan bagian ini pada sumbu Ox.  Sesuai dengan soal soal, kita menghitung ulang banyaknya bilangan bulat yang termasuk dalam interval tertentu atau mencari jumlahnya.  Jawaban: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (-2;12). Tentukan jumlah titik ekstrem fungsi f(x). Pertama-tama kita lihat apa yang ada pada gambar: grafik suatu fungsi atau grafik turunan.  Jika ini adalah grafik turunan, maka kita hanya tertarik pada tanda turunan dan absis titik potongnya dengan sumbu Ox.  Agar lebih jelas, Anda dapat membuat gambaran yang lebih familiar mengenai tanda-tanda turunan pada interval yang dihasilkan dan perilaku fungsi tersebut.  Jawablah pertanyaan pada soal sesuai gambar. (Jawaban: 3.3) 44).   3.4 Gambar tersebut menunjukkan grafik ′ y=𝑓 (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-7;14). Tentukan banyaknya titik maksimum dari fungsi f(x ) milik segmen [-6;9]  3.5 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-11;11).Cari banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) yang termasuk dalam segmen [-10;10] Solusi: Kita mencari titik potong grafik turunan dengan sumbu Ox, soroti bagian sumbu yang ditunjukkan dalam soal .  Kita tentukan tanda turunannya pada setiap interval yang dihasilkan (jika grafik turunannya berada di bawah sumbu, maka “-”, jika di atas, maka “+”).  Poin maksimum adalah poin yang tandanya berubah dari “+” menjadi “-”, poin minimum - dari “-” menjadi “+”. Keduanya merupakan titik ekstrem.  Jawaban: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-8;3). Pada titik manakah pada segmen [-3;2] fungsi f(x) mengambil nilai terbesar.  3.7 Gambar tersebut menunjukkan grafik ′ y=𝑓 (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-8;4). Pada titik segmen [-7;-3] manakah fungsi f(x) mengambil nilai terkecil. Penyelesaian:    Jika turunan berubah tanda pada ruas yang ditinjau, maka penyelesaiannya didasarkan pada teorema: jika suatu fungsi kontinu pada suatu ruas mempunyai satu titik ekstrem dan titik tersebut merupakan titik maksimum (minimum), maka nilai fungsi terbesar (terkecil) pada segmen ini dicapai pada titik ini. Jika suatu fungsi kontinu pada suatu segmen bersifat monotonik, maka fungsi tersebut mencapai nilai minimum dan maksimumnya pada segmen tertentu di ujungnya. Jawaban: 3.6) -3; 3.7) -7.  3.8 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (-5;5). Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis lurus y=6.  3.9 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan delapan titik pada sumbu absis: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . Di berapa banyak titik-titik tersebut yang merupakan turunan dari f(x) positif?  4.2 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-5;7). Tentukan interval penurunan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.  4.5 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-4;8). Tentukan titik ekstrem fungsi f(x), yang termasuk dalam segmen [-2;6].  4.6 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-10;2). Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y=-2x-11. Solusi: 4.6 Karena gambar tersebut menunjukkan grafik turunan, dan garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka turunan fungsi pada titik ini sama dengan -2. Kita mencari titik-titik pada grafik turunan yang ordinatnya sama dengan -2 dan menghitung jumlahnya. Didapatkan 5.  Jawaban: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 Gambar tersebut menunjukkan grafik y=𝑓 ′ (𝑥) - turunan dari fungsi f(x). Tentukan absis titik yang garis singgung grafik y=f(x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis. Penyelesaian: Jika suatu garis lurus sejajar dengan sumbu Ox, maka kemiringannya nol.  Kemiringan garis singgungnya adalah nol, artinya turunannya juga nol.  Kita mencari absis titik potong grafik turunan dengan sumbu Ox.  Kita mendapatkan -3.   4.9 Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=𝑓 ′ (x) turunan dari fungsi f(x) dan delapan titik pada sumbu absis: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . Pada berapa titik tersebut turunan fungsi f(x) bertambah? Arti Geometris Integral Pasti  5.1 Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi y=f(x) (dua sinar dengan titik pangkal yang sama). Dengan menggunakan gambar tersebut, hitunglah F(8)-F(2), dengan F(x) adalah salah satu antiturunan dari fungsi f(x). Penyelesaian :     Luas trapesium lengkung dihitung melalui integral tertentu. Integral tertentu dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz sebagai pertambahan antiturunan. Pada soal 5.1, kita menghitung luas trapesium menggunakan rumus kursus geometri yang terkenal (ini akan menjadi pertambahan antiturunan). Pada soal 5.2 dan 5.3 antiturunan sudah diberikan. Penting untuk menghitung nilainya di ujung segmen dan menghitung selisihnya.  5.2 Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi y=f(x). Fungsi 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − merupakan salah satu dari 8 antiturunan dari fungsi f(x). Temukan luas gambar yang diarsir. Penyelesaian :     Luas trapesium lengkung dihitung melalui integral tertentu. Integral tertentu dihitung menggunakan rumus Newton-Leibniz sebagai pertambahan antiturunan. Pada soal 5.1, kita menghitung luas trapesium menggunakan rumus kursus geometri yang terkenal (ini akan menjadi pertambahan antiturunan). Pada Soal 5.2 antiturunan sudah diberikan. Penting untuk menghitung nilainya di ujung segmen dan menghitung selisihnya. Semoga berhasil dalam Ujian Negara Terpadu Matematika 

Pelajaran umum dengan topik: “Menggunakan turunan dan grafiknya untuk membaca sifat-sifat fungsi” Tujuan pelajaran: Mengembangkan keterampilan khusus dalam bekerja dengan grafik turunan fungsi untuk digunakan ketika lulus Ujian Negara Bersatu; Mengembangkan kemampuan membaca sifat-sifat suatu fungsi dari grafik turunannya. Persiapkan diri untuk ujian

Pemutakhiran pengetahuan dasar 3. Hubungan nilai turunan, kemiringan garis singgung, sudut antara garis singgung dengan arah positif sumbu OX Turunan fungsi pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik ke grafik fungsi pada titik ini, yaitu garis singgung sudut kemiringan garis singgung terhadap arah positif sumbu absis. Jika turunannya positif, maka koefisien sudutnya positif, maka sudut kemiringan garis singgung sumbu OX adalah lancip. Jika turunannya negatif, maka koefisien sudutnya negatif, maka sudut kemiringan garis singgung sumbu OX adalah tumpul. Jika turunannya nol, maka kemiringannya nol, maka garis singgungnya sejajar sumbu OX

0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 7 Memperbarui pengetahuan dasar Tanda-tanda monotonisitas suatu fungsi yang memadai. Jika f(x) > 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval tersebut. Jika f(x) title="Memperbarui latar belakang pengetahuan Tanda-tanda monotonisitas fungsi mencukupi. Jika f(x) > 0 pada setiap titik interval (a,b), maka fungsi f(x) bertambah m pada interval ini Jika f(x)

Pemutakhiran pengetahuan referensi Titik-titik internal domain definisi suatu fungsi yang turunannya sama dengan nol atau tidak ada disebut titik kritis fungsi tersebut. Hanya pada titik-titik inilah fungsinya dapat memiliki titik ekstrem (minimum atau maksimum, Gambar 5a, b). Di titik x 1, x 2 (Gbr. 5a) dan x 3 (Gbr. 5b) turunannya adalah 0; di titik x 1, x 2 (Gbr. 5b) turunannya tidak ada. Tapi itu semua adalah titik ekstrim. 5. Penerapan turunan untuk menentukan titik kritis dan titik ekstrem

Memperbarui pengetahuan dasar Suatu kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem. Jika x 0 adalah titik ekstrem fungsi f(x) dan turunan f ada di titik ini, maka f(x 0)=0. Teorema ini merupakan syarat perlu untuk suatu ekstrem. Jika turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan 0, bukan berarti fungsi tersebut mempunyai ekstrem di titik tersebut. Misalnya turunan fungsi f(x) = x 3 sama dengan 0 di x = 0, tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai titik ekstrem pada titik tersebut, sedangkan fungsi y = | x | mempunyai minimum di x = 0, tetapi turunannya tidak ada pada titik ini. Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Jika turunannya ketika melalui titik x 0 berubah tandanya dari plus menjadi minus, maka x 0 adalah titik maksimumnya. Jika turunannya ketika melalui titik x 0 berubah tanda dari minus menjadi plus, maka x 0 adalah titik minimumnya. 6. Kondisi perlu dan cukup untuk keadaan ekstrem

Memperbarui pengetahuan referensi Nilai minimum dan maksimum fungsi kontinu f(x) dapat dicapai baik pada titik dalam segmen [a; c], dan pada ujungnya. Jika nilai-nilai ini tercapai pada titik-titik internal segmen, maka titik-titik tersebut adalah titik ekstrem. Oleh karena itu, perlu dicari nilai fungsi pada titik-titik ekstrem segmen [a; c], di ujung segmen dan bandingkan. 7. Menggunakan turunan untuk mencari nilai terbesar dan terkecil suatu fungsi

1. Pengembangan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan pada topik Dengan menggunakan data berikut yang diberikan dalam tabel, cirikan perilaku fungsi. Lembar contekan untuk kerja praktek x(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Karakteristik perilaku fungsi 1.ODZ: x termasuk dalam interval dari -3 hingga +; 2.Meningkat pada interval (-3;0) dan (8;+); 3.Penurunan interval (0;8); 4.Х=0 – poin maksimum; 5.Х=4 – titik belok; 6.Х=8 – poin minimum; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

5. Pengembangan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan pada topik Fungsi y = f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval [–6; 6]. Rumuskan 10 pertanyaan untuk menentukan sifat-sifat suatu fungsi dari grafik turunan y = f"(x). Tugas Anda bukan hanya memberikan jawaban yang benar, tetapi dengan terampil memperdebatkan (membuktikan) menggunakan definisi, properti yang sesuai , dan aturan.

Daftar soal (dikoreksi) 1) banyaknya interval kenaikan fungsi y = f(x); 2) panjang interval penurunan fungsi y = f(x); 3) banyaknya titik ekstrem fungsi y = f(x); 4) titik maksimum fungsi y = f(x); 5) titik kritis (stasioner) dari fungsi y = f(x), yang bukan merupakan titik ekstrem; 6) absis titik grafik di mana fungsi y = f(x) mengambil nilai terbesar pada segmen tersebut; 7) absis titik grafik di mana fungsi y = f(x) mengambil nilai terkecil pada ruas [–2; 2]; 8) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x), yang garis singgungnya tegak lurus terhadap sumbu OU; 9) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x) yang garis singgungnya membentuk sudut 60° terhadap arah positif sumbu OX; 10) absis titik grafik fungsi y = f(x) yang kemiringannya Jawaban: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Pengujian (B8 dari Unified State Examination) 1. Tugas tes disajikan pada slide. 2. Masukkan jawaban Anda pada tabel. 3.Setelah menyelesaikan tes, tukar lembar jawaban dan periksa pekerjaan tetangga Anda menggunakan hasil yang sudah selesai; evaluasi. 4.Kami mempertimbangkan dan mendiskusikan tugas-tugas yang bermasalah bersama-sama.

Garis singgung ditarik ke grafik fungsi y =f(x) pada titiknya dengan absis x 0 =2. Tentukan kemiringan garis singgung jika gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi tersebut. Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval (-5;5). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Tentukan banyaknya titik pada grafik fungsi yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu x. 1

Fungsi tersebut didefinisikan pada interval (-5;6). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tunjukkan banyaknya titik yang garis singgungnya membentuk sudut 135° terhadap arah positif sumbu x. Fungsi tersebut didefinisikan pada interval (-6;6). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyaknya titik yang garis singgungnya membentuk sudut 45° terhadap arah positif sumbu x.

Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-6;6]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tunjukkan banyaknya interval kenaikan fungsi y = f(x) pada ruas [-6;6]. Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-5;5]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tunjukkan banyaknya titik maksimum fungsi y = f(x) pada ruas [-5;5].

Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tunjukkan banyaknya titik minimum fungsi y =f(x) pada ruas tersebut. Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-6;6]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tunjukkan banyaknya interval penurunan fungsi y=f(x) pada ruas [-6;6]. ab

Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-6;6]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tentukan interval kenaikan fungsi y = f(x) pada ruas [-6;6]. Dalam jawaban Anda, tunjukkan yang terpendek dari panjang interval ini. Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-5;5]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tentukan interval penurunan fungsi y = f(x) pada ruas [-5;5]. Dalam jawaban Anda, tunjukkan yang terbesar dari panjang interval tersebut.

Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-5;4]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tentukan nilai X terkecil yang fungsi tersebut mempunyai maksimum. Fungsi y = f(x) didefinisikan pada interval [-5;5]. Grafik turunannya ditunjukkan pada gambar. Tentukan nilai terkecil dari X yang fungsi tersebut memiliki minimum.

Fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval (-6,6) Gambar menunjukkan turunan dari fungsi tersebut. Temukan titik minimum dari fungsi tersebut. Fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval (-6,7) Gambar menunjukkan turunan dari fungsi tersebut. Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut.

,

Penyelesaian tugas 19 Dengan menggunakan grafik turunan fungsi y = f(x), tentukan nilai fungsi di titik x = 5 jika f(6) = 8 Untuk x 3 f (x) =k=3, oleh karena itu pada interval ini garis singgungnya diberikan dengan rumus y =3x+b. Nilai fungsi pada titik singgung bertepatan dengan nilai garis singgung. Dengan syarat f(6) = 8 8=3·6 + b b = -10 f(5) =3·5 -10 = 5 Jawaban: 5

Menyimpulkan pelajaran Kami memeriksa hubungan antara monotonisitas suatu fungsi dan tanda turunannya, dan kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem. Kami memeriksa berbagai tugas untuk membaca grafik fungsi turunan, yang ditemukan dalam teks ujian negara terpadu. Semua tugas yang kami pertimbangkan bagus karena tidak memakan banyak waktu untuk menyelesaikannya. Selama ujian negara terpadu, ini sangat penting: tuliskan jawabannya dengan cepat dan benar.

Pekerjaan rumah: tugas yang melibatkan membaca grafik yang sama, tetapi dalam satu kasus itu adalah grafik suatu fungsi, dan di lain waktu itu adalah grafik turunannya. Fungsi y = f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval [–6; 5]. Gambar tersebut menunjukkan: a) grafik fungsi y = f(x); b) grafik turunan y = f"(x). Dari grafik tersebut, tentukan: 1) titik minimum fungsi y = f(x); 2) banyaknya interval penurunan fungsi y = f(x) ; 3) absis titik pada grafik fungsi y = f (x) yang mempunyai nilai terbesar pada segmen tersebut; 4) banyaknya titik pada grafik fungsi y = f(x) , yang garis singgungnya sejajar dengan sumbu OX (atau bertepatan dengannya).

Sastra 1. Buku Ajar Aljabar dan Analisis Awal Kelas 11. CM. Nikolsky, M.K. Potapov dan lainnya Moskow. Matematika Ujian Negara Bersatu "Pencerahan". Tugas tes yang khas. 3. Panduan persiapan intensif ujian matematika. Wisuda, masuk, Ujian Negara Bersatu di +5. M. Sumber daya Internet "VAKO".

Pelajaran umum tentang topik:

“Menggunakan turunan dan grafiknya untuk membaca sifat-sifat suatu fungsi”

Jenis pelajaran: pelajaran umum menggunakan TIK dalam bentuk presentasi.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

Untuk meningkatkan pemahaman siswa tentang penggunaan turunan dalam tugas praktek;

Ajari siswa untuk menggunakan dengan jelas sifat-sifat fungsi dan turunannya.

Pendidikan:

Mengembangkan kemampuan menganalisis pertanyaan tugas dan menarik kesimpulan;

Mengembangkan kemampuan untuk menerapkan pengetahuan yang ada dalam tugas-tugas praktis.

Pendidikan:

Menumbuhkan minat pada subjek;

Perlunya keterampilan teoritis dan praktis tersebut untuk terus belajar.

Tujuan pelajaran:

Mengembangkan keterampilan khusus dalam bekerja dengan grafik fungsi turunan untuk digunakan saat lulus Ujian Negara Bersatu;

Bersiaplah untuk ujian.

Rencana belajar.

1. Pemutakhiran referensi ilmu pengetahuan (BK).

2. Pengembangan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan pada topik tersebut.

3. Pengujian (B8 dari Unified State Examination).

4. Saling mengecek, memberi tanda pada “tetangga”.

5. Menyimpulkan hasil pembelajaran.

Peralatan: kelas komputer, papan tulis, spidol, tes (2 pilihan).

Selama kelas.

Momen organisasi.

Guru . Halo, silakan duduk.

Dalam pembelajaran dengan topik “Mempelajari fungsi menggunakan turunan”, keterampilan dikembangkan untuk mencari titik kritis suatu fungsi, turunan, menentukan sifat-sifat suatu fungsi dengan bantuannya, dan membuat grafiknya. Hari ini kita akan melihat topik ini dari sudut yang berbeda: bagaimana menentukan sifat-sifat fungsi itu sendiri melalui grafik turunan suatu fungsi. Tugas kita: belajar menavigasi berbagai tugas yang berkaitan dengan grafik fungsi dan turunannya.

Dalam persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika, KIM diberikan soal penggunaan grafik turunan untuk mempelajari fungsi. Oleh karena itu, dalam pelajaran ini kita harus mensistematisasikan pengetahuan kita tentang topik ini dan belajar bagaimana cepat menemukan jawaban atas pertanyaan tugas B8.

Geser nomor 1.

Subjek: “Menggunakan turunan dan grafiknya untuk membaca sifat-sifat fungsi”

Tujuan pelajaran:

Pengembangan pengetahuan penerapan turunan, makna geometrinya dan grafik turunan untuk menentukan sifat-sifat fungsi.

Pengembangan efisiensi dalam pelaksanaan tes Unified State Examination.

Mengembangkan ciri-ciri kepribadian seperti perhatian, kemampuan bekerja dengan teks, kemampuan bekerja dengan grafik turunan

2.Memperbarui pengetahuan dasar (BK). Slide No.4 sampai No.10.

Pertanyaan ulasan sekarang akan muncul di layar. Tugas Anda: memberikan jawaban yang jelas dan ringkas untuk setiap poin. Kebenaran jawaban Anda dapat diperiksa di layar.

( Sebuah pertanyaan pertama kali muncul di layar, setelah siswa menjawab, jawaban yang benar muncul untuk verifikasi.)

Daftar pertanyaan untuk AOD.

Definisi turunan.

Arti geometris dari turunan.

Hubungan antara nilai turunan, kemiringan garis singgung, sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu OX.

Menggunakan turunan untuk mencari interval monotonisitas suatu fungsi.

Penerapan turunan untuk menentukan titik kritis, titik ekstrem

6 Kondisi perlu dan cukup untuk kondisi ekstrem

7 . Menggunakan Derivatif untuk Mencari Nilai Terbesar dan Terkecil suatu Fungsi

(Siswa menjawab setiap item, disertai jawabannya dengan catatan dan gambar di papan tulis. Jika ada jawaban yang salah dan tidak lengkap, teman sekelas mengoreksi dan melengkapinya. Setelah siswa menjawab, muncul jawaban yang benar di layar. Dengan demikian, siswa dapat segera menentukan kebenaran jawaban mereka. )

3. Pengembangan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan pada topik tersebut. Slide No.11 sampai No.15.

Siswa ditawari tugas dari KIM Unified State Examination matematika tahun-tahun sebelumnya, dari situs internet tentang penggunaan turunan dan grafiknya untuk mempelajari sifat-sifat fungsi. Tugas muncul secara berurutan. Siswa menyusun solusi di papan tulis atau dengan penalaran lisan. Solusi yang benar kemudian muncul pada slide dan dibandingkan dengan solusi siswa. Jika ada kesalahan dalam penyelesaian, maka dianalisis oleh seluruh kelas.

Geser No.16 dan No.17.

Selanjutnya, di kelas, disarankan untuk mempertimbangkan tugas utama: dengan menggunakan grafik turunan yang diberikan, siswa harus mengajukan (tentu saja, dengan bantuan guru) berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan sifat-sifat fungsi itu sendiri. Tentu saja, masalah-masalah ini dibahas, dikoreksi jika perlu, dirangkum, dicatat dalam buku catatan, setelah itu tahap penyelesaian tugas-tugas ini dimulai. Di sini perlu dipastikan bahwa siswa tidak hanya memberikan jawaban yang benar, tetapi mampu berargumen (membuktikan) dengan menggunakan definisi, sifat, dan kaidah yang sesuai.

Pengujian (B8 dari Unified State Examination). Slide No. 18 hingga No. 29. Slide No. 30 – kunci ujian.

Guru : Jadi, kami telah merangkum pengetahuan Anda tentang topik ini: kami mengulangi sifat-sifat dasar turunan, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan grafik turunan, menganalisis aspek-aspek kompleks dan bermasalah dalam penggunaan turunan dan grafik turunan untuk mempelajari sifat-sifatnya. fungsi.

Sekarang kita akan menguji dalam 2 pilihan. Tugas akan muncul di layar di kedua versi secara bersamaan. Anda mempelajari pertanyaannya, menemukan jawabannya, dan menuliskannya di lembar jawaban Anda. Setelah menyelesaikan tes, tukar formulir dan periksa pekerjaan tetangga Anda menggunakan jawaban yang sudah jadi. Berikan peringkat(hingga 10 poin – “2”, dari 11 menjadi 15 poin – “3”, dari 16 menjadi 19 poin – “4”, lebih dari 19 poin – “5”.).

Menyimpulkan pelajaran

Kami memeriksa hubungan antara monotonisitas suatu fungsi dan tanda turunannya, dan kondisi yang cukup untuk keberadaan suatu ekstrem. Kami memeriksa berbagai tugas untuk membaca grafik fungsi turunan, yang ditemukan dalam teks ujian negara terpadu. Semua tugas yang kami pertimbangkan bagus karena tidak memakan banyak waktu untuk menyelesaikannya.

Selama ujian negara terpadu, ini sangat penting: tuliskan jawabannya dengan cepat dan benar.

Serahkan formulir jawaban Anda. Nilai pelajaran sudah Anda ketahui dan akan dimasukkan ke dalam jurnal.

Saya pikir kelas telah bersiap untuk ujian.

Pekerjaan rumah akan menjadi kreatif . Geser nomor 33 .

Geser 12

Simetri terhadap garis lurus y=x

Grafik fungsi-fungsi ini meningkat pada > 1 dan menurun pada 0

Geser 13

Salah satu gambar menunjukkan grafik fungsi y=2-x. Tolong tunjukkan gambar ini. Grafik fungsi eksponensial Grafik fungsi eksponensial melalui titik (0, 1), karena alas derajatnya kurang dari 1, maka fungsi tersebut pasti menurun.

Geser 14

Salah satu gambar menunjukkan grafik fungsi y=log5 (x-4). Tunjukkan nomor jadwal ini. Grafik fungsi logaritma y=log5x melalui titik (1;0), maka jika x -4 = 1, maka = 0, x = 1 + 4, x = 5. (5;0) – titik potong grafik dengan sumbu OX Jika x -4 = 5, maka y = 1, x = 5 + 4, x = 9, Grafik fungsi logaritma 9 5 1

Geser 15

Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval (-6;7). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Semua garis singgung yang sejajar dengan garis lurus y = 5-2x (atau berimpit dengannya) digambarkan pada grafik fungsi. Tunjukkan jumlah titik pada grafik fungsi di mana garis singgung tersebut digambarkan. K = tga = f'(xo) Dengan syarat k = -2, maka f'(xo) = -2 Kita tarik garis lurus y = -2 yang memotong grafik di dua titik, yang berarti garis singgung fungsi tersebut ditarik pada dua titik. Mencari banyaknya garis singgung grafik suatu fungsi dari grafik turunannya

Geser 16

Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval [-7;3]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyaknya titik pada grafik fungsi y=f(x) yang garis singgung grafiknya sejajar atau berimpit dengan sumbu x. Koefisien sudut garis yang sejajar sumbu absis atau berimpit dengannya adalah nol. Oleh karena itu K=tg a = f `(xo)=0 Sumbu OX memotong grafik ini di empat titik. Mencari banyak garis singgung suatu fungsi dari grafik turunannya

Geser 17

Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval (-6;6). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyak titik pada grafik fungsi y=f(x) yang garis singgung grafiknya membentuk sudut 135 terhadap arah positif sumbu x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Maka f`(xo)=-1 Tariklah garis lurus y=-1 yang memotong grafik di tiga titik , yang berarti garis singgung fungsi yang dilakukan di tiga titik. Mencari banyak garis singgung suatu fungsi dari grafik turunannya

Geser 18

Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval [-2;6]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Tunjukkan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai koefisien sudut terkecil k=tg a=f'(xo) Turunan dari fungsi tersebut mempunyai nilai terkecil y=-3 di titik x=2. Jadi, garis singgung grafik tersebut mempunyai kemiringan terkecil di titik x=2 Mencari kemiringan garis singgung dari grafik turunan fungsi -3 2

Geser 19

Fungsi y=f(x) didefinisikan pada interval [-7;3]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Tunjukkan absis yang garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai kemiringan terbesar. k=tg a=f’(xo) Turunan fungsi tersebut bernilai terbesar y=3 di titik x=-5. Jadi, garis singgung grafik tersebut mempunyai kemiringan terbesar di titik x = -5 Mencari kemiringan garis singgung dari grafik turunan fungsi 3 -5

Geser 20

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik absis xo. Tentukan nilai turunan f `(x) di titik xo f ’(xo) =tg a Karena pada gambar a merupakan sudut tumpul, maka tan a

Geser 21

Mencari nilai minimum (maksimum) suatu fungsi dari grafik turunannya

Di titik x=4, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Artinya x = 4 merupakan titik minimum dari fungsi y = f (x) 4 Pada titik x = 1, turunannya berubah tanda dari plus. minusMeanx=1 adalah titik maksimum dari fungsi y=f(x))

Geser 22

Pekerjaan mandiri

Gambar 11) Temukan domain definisi fungsi. 2) Selesaikan pertidaksamaan f(x) ≥ 0 3) Tentukan interval penurunan fungsi tersebut. Gambar 2 – grafik turunan fungsi y=f(x) 4) Tentukan titik minimum fungsi tersebut. 5) Tunjukkan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai koefisien sudut terbesar. Gambar 11) Temukan rentang nilai fungsi. 2) Selesaikan pertidaksamaan f(x)≤ 0 3) Tentukan interval kenaikan fungsi tersebut. Gambar 2 – grafik turunan fungsi y=f(x) 4) Tentukan titik maksimum fungsi tersebut. 5) Tunjukkan absis titik yang garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai kemiringan terkecil. 1 Opsi 2 Opsi

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua fitur presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Tujuan pelajaran:

Pendidikan: Untuk memperkuat keterampilan siswa dalam bekerja dengan grafik fungsi dalam persiapan menghadapi Ujian Negara Terpadu.

Perkembangan: untuk mengembangkan minat kognitif siswa dalam disiplin akademik, kemampuan untuk menerapkan pengetahuan mereka dalam praktik.

Pendidikan: menumbuhkan perhatian, ketelitian, memperluas wawasan siswa.

Peralatan dan bahan: komputer, layar, proyektor, presentasi “Membaca grafik. Ujian Negara Bersatu"

Selama kelas

1. Survei frontal.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Apa yang disebut grafik suatu fungsi, daerah definisi, dan jangkauan nilai suatu fungsi? Tentukan domain definisi dan rentang nilai fungsi.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Fungsi manakah yang disebut sifat genap, ganjil, dari grafik fungsi-fungsi ini?

2. Solusi latihan

1) <Презентация. Слайд 7>.

Fungsi periodik. Definisi.

Selesaikan soal: Diketahui grafik fungsi periodik, x termasuk dalam interval [-2;1]. Hitung f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan grafik fungsi.

a) Selesaikan pertidaksamaan f(x) 0 jika gambar menunjukkan grafik fungsi y=f(x) pada interval [-7;6]. Pilihan jawaban: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang ditentukan pada segmen [-4;7] Tunjukkan semua nilai X yang memiliki pertidaksamaan f(x) -1.

1. [-0,5;3], 2) [-0,5;3] kamu , 3) [-4;0,5] kamu+, 4) [-4;0,5]

c) Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), dan y=g(x), yang ditentukan pada interval [-3;6]. Sebutkan semua nilai X yang memiliki pertidaksamaan f(x) g(x).

1. [-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] kamu+, 4) [-3;-1] kamu

3) <Презентация. Слайд 11>.

Menambah dan mengurangi fungsi

Salah satu gambar menunjukkan grafik suatu fungsi meningkat pada segmen tersebut , dan yang lainnya - menurun pada segmen [-2;0]. Tolong tunjukkan gambar-gambar ini.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Fungsi eksponensial dan logaritma

a) Sebutkan syarat kenaikan dan penurunan fungsi eksponensial dan logaritma. Grafik fungsi eksponensial dan logaritma melewati titik manakah, sifat apa yang dimiliki grafik fungsi tersebut?

b) Salah satu gambar menunjukkan grafik fungsi y=2 -x Tunjukkan gambar ini .

Grafik fungsi eksponensial melalui titik (0, 1) Karena alas derajatnya kurang dari 1, maka fungsi tersebut pasti menurun. (Nomor 3)

c) Salah satu gambar menunjukkan grafik fungsi y=log 5 (x-4). Tunjukkan nomor jadwal ini.

Grafik fungsi logaritma y=log 5 x melalui titik (1;0) , maka jika x -4 = 1, maka y = 0, x = 1 + 4, x=5. (5;0) – titik potong grafik dengan sumbu OX. Jika x -4 = 5 , maka y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Mencari banyaknya garis singgung grafik suatu fungsi dari grafik turunannya

a) Fungsi y=f(x) terdefinisi pada interval (-6;7). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Semua garis singgung yang sejajar dengan garis lurus y=5-2x (atau berimpit dengannya) digambarkan pada grafik fungsi. Tunjukkan jumlah titik pada grafik fungsi di mana garis singgung tersebut digambarkan.

K = tga = f'(xo). Dengan syarat k=-2, maka f’(xo) =-2. Kita menggambar garis lurus y=-2. Grafik tersebut memotong grafik di dua titik, yang berarti garis singgung fungsi tersebut digambarkan di dua titik.

b) Fungsi y=f(x) terdefinisi pada interval [-7;3]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyaknya titik pada grafik fungsi y=f(x) yang garis singgung grafiknya sejajar atau berimpit dengan sumbu x.

Koefisien sudut garis lurus yang sejajar sumbu absis atau berimpit dengannya adalah nol. Oleh karena itu, K=tg a = f `(x o)=0. Sumbu OX memotong grafik ini di empat titik.

c) Fungsi kamu=f(x) ditentukan pada interval (-6;6). Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyak titik pada grafik fungsi y=f(x) yang garis singgung grafiknya membentuk sudut 135° terhadap arah positif sumbu x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Mencari kemiringan garis singgung dari grafik turunan suatu fungsi

a) Fungsi y=f(x) terdefinisi pada interval [-2;6]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Tunjukkan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai kemiringan terkecil.

k=tga=f'(xo). Turunan fungsi tersebut mengambil nilai terkecil y=-3 di titik x=2. Oleh karena itu, garis singgung grafik tersebut mempunyai kemiringan terkecil di titik x=2

b) Fungsi y=f(x) terdefinisi pada interval [-7;3]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi ini. Tunjukkan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y=f(x) paling besar koefisien sudut.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Mencari nilai turunan dari grafik suatu fungsi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x o. Temukan nilai turunannya f `(x)di titik x o

f'(xo) =tga. Karena pada gambar a merupakan sudut tumpul, maka tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Mencari nilai minimum (maksimum) suatu fungsi dari grafik turunannya

Di titik x=4 turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Artinya x=4 adalah titik minimum dari fungsi y=f(x)

Pada titik x=1 turunannya berubah tanda dari plus ke minus . Artinya x=1 adalah sebuah titik maksimum fungsiy=f(x))

3. Kerja mandiri

<Презентация. Слайд 22>.

1 Pilihan

1) Temukan domain definisi fungsi.

2) Selesaikan pertidaksamaan f(x) 0

3) Tentukan interval penurunan fungsi tersebut.

4) Temukan titik minimum dari fungsi tersebut.

5) Tunjukkan absis titik di mana garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai kemiringan terbesar.

pilihan 2

1) Temukan rentang nilai fungsi tersebut.

2) Selesaikan pertidaksamaan f(x) 0

3) Tentukan interval kenaikan fungsi tersebut.

Grafik turunan fungsi y=f(x)

4) Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut.

5) Tunjukkan absis titik yang garis singgung grafik fungsi y=f(x) mempunyai kemiringan terkecil.

4. Menyimpulkan pelajaran