사면체의 정의

사면체-면과 밑면이 삼각형인 가장 단순한 다면체.

온라인 계산기

정사면체는 4개의 면을 가지고 있으며 각 면은 3개의 면으로 이루어져 있습니다. 정사면체에는 꼭짓점이 4개 있으며 각 꼭짓점에는 3개의 모서리가 있습니다.

이 몸은 여러 유형으로 나뉩니다. 아래는 그들의 분류입니다.

1. 정사면체- 그의 모든 얼굴은 같은 삼각형입니다.
2. 직교 사면체- 각 꼭짓점에서 반대쪽 면까지 그린 모든 높이는 길이가 동일합니다.
3. 직사각형 사면체- 한 정점에서 나오는 가장자리는 서로 90도 각도를 형성합니다.
4. 와이어프레임;
5. 어울리게 하다;
6. 인센트릭.

사면체 부피 공식

주어진 몸체의 부피는 여러 가지 방법으로 찾을 수 있습니다. 더 자세히 분석해 보겠습니다.

벡터의 혼합 곱

4면체가 좌표가 있는 3개의 벡터로 구성된 경우:

A ⃗ = (a x, a y, a z) \ vec (a) = (a_x, a_y, a_z)NS= (NS NS​ , NS 와이​ , NS 지​ )
b ⃗ = (b x, b y, b z) \ vec (b) = (b_x, b_y, b_z)NS= (NS NS​ , NS 와이​ , NS 지​ )
c ⃗ = (c x, c y, c z) \ vec (c) = (c_x, c_y, c_z)씨= (씨 NS​ , 씨 와이​ , 씨 지​ ) ,

이 사면체의 부피는 이러한 벡터의 혼합 곱, 즉 다음과 같은 행렬식입니다.

V = 1 6 ⋅ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V = \ frac (1) (6) \ cdot \ begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end (vmatrix) )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ NS NS​ NS NS​ 씨 NS​ ​ NS 와이​ NS 와이​ 씨 와이​ ​ NS 지​ NS 지​ 씨 지​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

팔면체의 네 꼭짓점의 좌표는 알려져 있습니다. A (1, 4, 9) A (1,4,9) 에이 (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) 디 (7, 1 2, 1)... 볼륨을 찾으십시오.

해결책

A (1, 4, 9) A (1,4,9) 에이 (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) 디 (7, 1 2, 1)

첫 번째 단계는 이 몸체가 만들어지는 벡터의 좌표를 결정하는 것입니다.
이렇게 하려면 두 점의 해당 좌표를 빼서 벡터의 각 좌표를 찾아야 합니다. 예를 들어, 벡터의 좌표 A B → \ 오른쪽 화살표(AB) 에이비, 즉, 점에서 향하는 벡터 에이 NS요점까지 비비 NS, 이것은 점의 해당 좌표의 차이입니다. 비비 NS그리고 에이 NS:

AB → = (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) = (7, 3, - 6) \ overrightarrow (AB) = (8-1, 7-4, 3-9) = (7, 3, -6)에이비= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) = (0, - 2, - 6) \ overrightarrow (AC) = (1-1, 2-4, 3-9) = (0, - 2, -6)에이씨= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) = (6, 8, - 8) \ overrightarrow (AD) = (7-1, 12-4, 1-9) = (6, 8, -여덟)기원 후= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

이제 우리는 이 벡터들의 혼합 곱을 찾을 것입니다. 이를 위해 우리는 다음과 같이 가정하면서 3차 행렬식을 구성할 것입니다. A B → = a ⃗ \ overrightarrow (AB) = \ vec (a)에이비= NS, A C → = b ⃗ \ overrightarrow (AC) = \ vec (b)에이씨= NS, A D → = c ⃗ \ overrightarrow (AD) = \ vec (c)기원 후= 씨.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ = ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268 \ begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \ end(vmatrix) = \ begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \ end (vmatrix) = 7 \ cdot (-2) \ cdot (-8) + 3 \ cdot (-6) \ cdot6 + (-6) \ cdot0 \ cdot8 - (-6) \ cdot (-2) \ cdot6 - 7 \ cdot (-6) \ cdot8 - 3 \ cdot0 \ cdot (-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ NS NS​ NS NS​ 씨NS​ ​ NS와이​ NS와이​ 씨와이​ ​ NS지​ NS지​ 씨지​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

즉, 사면체의 부피는 다음과 같습니다.

$V=61\cdot |$

답변

$44.8\text{센티미터3 .}$

측면의 정사면체의 부피 공식

이 공식은 정사면체, 즉 모든 면이 동일한 정삼각형인 사면체의 부피를 계산하는 경우에만 유효합니다.

$V=12\sqrt{2\cdot {NS}^3}$

에이NS사면체의 모서리 길이입니다.

한 변이 다음과 같으면 사면체의 부피를 결정하십시오. $11\text{센티미터.}$

해결책

$NS=11$

대리자 에이NS사면체의 부피 공식으로:

$V=12\sqrt{2\cdot {NS}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{센티미터3}}}}}$

답변

$156.8\text{센티미터3 .}$

사면체의 부피에 대한 기본 공식에서

어디 NS어떤 얼굴의 면적이며, 시간- 높이가 떨어지면 사면체의 다양한 요소로 부피를 표현하는 일련의 공식을 도출할 수 있습니다. 우리는 사면체에 대한 다음 공식을 제시합니다. ABCD.

(2) ,

여기서 ∠ ( 기원 후,알파벳) - 모서리 사이의 각도 기원 후그리고 면 알파벳;

(3) ,

여기서 ∠ ( 알파벳,ABD) - 면 사이의 각도 알파벳그리고 ABD;

어디 | AB,CD| - 반대쪽 갈비뼈 사이의 거리 AB그리고 CD, ∠ (AB,CD) 이 모서리 사이의 각도입니다.

공식 (2) - (4)는 직선과 평면 사이의 각도 값을 찾는 데 사용할 수 있습니다. 공식 (4)는 특히 유용하며, 이를 통해 교차하는 직선 사이의 거리를 찾을 수 있습니다. AB그리고 CD.

공식 (2) 및 (3)은 공식과 유사합니다. NS = (1/2)ab죄 씨삼각형의 면적에 대해. 공식 NS = rp공식은 비슷하다

어디 NS는 사면체의 내접 구의 반지름이고, Σ는 전체 표면(모든 면의 면적의 합)입니다. 사면체의 부피와 반지름을 연결하는 아름다운 공식도 있습니다. NS설명된 구( 크렐의 공식):

여기서 Δ는 삼각형의 면적이며, 그 변은 반대쪽 모서리의 곱과 수치적으로 동일합니다( AB× CD, 교류× BD,기원 후× 기원전). 식 (2)와 삼각각에 대한 코사인 정리(구면 삼각법 참조)로부터 삼각형에 대한 헤론의 공식과 유사한 공식을 도출할 수 있습니다.

임의의 삼각형 ABC와 이 삼각형의 평면에 있지 않은 점 D를 고려하십시오. 이 점을 삼각형 ABC의 꼭짓점과 선분으로 연결해 보겠습니다. 결과적으로 삼각형 ADC, CDB, ABD를 얻습니다. 4개의 삼각형 ABC, ADC, CDB 및 ABD로 둘러싸인 표면을 사면체라고 하며 DABC로 표시합니다.
사면체를 구성하는 삼각형을 면이라고 합니다.
이 삼각형의 변을 사면체의 모서리라고 합니다. 그리고 그들의 봉우리는 사면체의 봉우리입니다

사면체는 4면, 6개 갈비그리고 4개의 꼭짓점.
공통 꼭짓점이 없는 두 모서리를 대향 모서리라고 합니다.
종종 편의를 위해 사면체의 면 중 하나를 기초, 나머지 세 면은 측면입니다.

따라서 4면체는 면이 4개의 삼각형을 갖는 가장 단순한 다면체입니다.

그러나 임의의 삼각형 피라미드는 사면체라는 것도 사실입니다. 그렇다면 사면체라고 불리는 것도 사실입니다. 밑변에 삼각형이 있는 피라미드.

사면체 높이꼭짓점과 반대쪽 면에 있고 수직인 점을 연결하는 선분이라고 합니다.
정중사면체꼭짓점과 반대쪽 면의 중앙값의 교차점을 연결하는 선분이라고 합니다.
이중 정사면체사면체의 교차 모서리의 중점을 연결하는 선분이라고 합니다.

사면체는 밑변이 삼각형인 피라미드이므로 사면체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

• NS- 모든 얼굴의 영역,
• 시간- 높이가 이 면까지 낮아짐

정사면체는 특정 유형의 사면체입니다.

모든 면이 정삼각형인 사면체를 정삼각형이라고 합니다. 옳은.
정사면체의 속성:

• 모든 얼굴은 평등합니다.
• 정사면체의 모든 평면 각도는 60 °입니다.
• 각 꼭짓점은 세 개의 정삼각형의 꼭짓점이므로 각 꼭짓점의 평면 각의 합은 180 °
• 정사면체의 모든 꼭짓점은 반대쪽 면의 직교 중심에 투영됩니다(삼각형 높이의 교차점까지).

모서리가 다음과 같은 정사면체 ABCD가 주어집니다. DH는 높이입니다.
추가 구성 BM-삼각형 ABC의 높이와 DM-삼각형 ACD의 높이를 만들어 봅시다.
높이 BM은 BM과 같고
정사면체의 높이인 DH가 이 삼각형의 높이이기도 한 삼각형 BDM을 고려하십시오.
측면 MB로 낮아진 삼각형의 높이는 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

, 어디
BM =, DM =, BD = 에이,
p = 1/2(BM + BD + DM) =
이 값을 높이 공식에 대입하십시오. 우리는 얻는다


1/2a를 꺼냅니다. 우리는 얻는다

우리는 제곱의 공식 차이를 적용합니다

작은 변형 후에 우리는


모든 사면체의 부피는 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.
,
어디 ,

이 값을 대입하면 다음을 얻습니다.

따라서 정사면체의 부피 공식은 다음과 같습니다.

어디 NS- 사면체의 가장자리

꼭짓점의 좌표를 알고 있는 경우 사면체의 부피 계산

정사면체의 꼭짓점 좌표가 주어집니다.

정점에서 벡터를 그립니다.
이러한 각 벡터의 좌표를 찾으려면 끝 좌표에서 해당 시작 좌표를 뺍니다. 우리는 얻는다